Een meetopstelling voor het bepalen van massatraagheids-grootheden

Een meetopstelling voor het bepalen van

massatraagheids-grootheden

Citation for published version (APA):

Winkelmolen, W. (1986). Een meetopstelling voor het bepalen van massatraagheids-grootheden. (DCT rapporten; Vol. 1986.048). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

VOORWOORD

Dit is het verslag van de stage bij de vakgroep WFW, uitgevoerd tussen

maart en juni ' 8 6 . De stage is uitgevoerd in het kader van het knieproject.

Bij het modelleren van het kniegewricht is er behoefte aan de numerieke waarde van traagheids-grootheden van bovenbeen-deel en onderbeen-deel.

Hieruit is de opdracht VOOL deze stage, het bouwen van een opstelling om

deze grootheden experimenteel te bepalen, tot stand gekomen.

die ze bij de uitvoering van deze stage gegeven hebben. Tevens wil ik de

medewerkers van de vakgroeps-werkplaats bedanken voor het maken van de opstelling, en Dhr de Gilde voor het doormeten van deze opstelling.

T'l?u YIP

c

n t

HOOFDSTUK 1

THEORETISCHE BESCHOUWINGEN OVER ZWAARTEPUNTEN EN MASSATWGHEIDS-MONENTEN

Het doel vam de opdracht is het maken van een opstelling om massatraag-

heden te bepalen. Daarom volgt er allereerst een beschouwing over begrippen als zwaartepunt, massatraagheids-moment en aanverwante zaken. De hele

afleiding zal zich dan ook toespitsen op resultaten die voor het vervolg van de opdracht van belang zijn.

$1.1 Het zwaartepunt.

Stel O is een vast punt in de ruimte met orthogonale vectorbasis

F.

Neem een star lichaam: Massa m

Soortelijke massa p

Volume v Zwaartepunt M

Er geldt dus: m= ,JpdV.

Fig. 1 . 1

P is een punt in het lichaam met orthogonale basis

3’

aan het lichaam

gekoppeld.

b

is de positievector van een infinitesimaal volumedeeltje dV

t.o.v. P.

*

Deel A/Hfst 1

$1.2 De hoeksnelheid.

Stel [R=orthogonale rotatietensor. ( EPRC = H en det( IR) = 1 )

T T

Stel rv

ép

= W.?

.

Gedifferentieerd naar de tijd:

omdat geldt:

Net 3 = Hoeksnelheidsvector. $1.3 De massatraasheids-tensor.

T

Stel

b

=

zpq

b b = kolom met scalars. (Zie fig. 1 . 4 )

u N

d

In figuur 1.2 geldt: rr, r = F

+ b

& .p r, r = P + b .p 3

2

= r"

+

wxb P , *

Def. kinetische energie: T = 1/2*vJp(?* ?)dV

T = 1/2*vJ~[(2

+

&&)*

(5

t 9 4 wxb)]dV P P Met + - b 3 = 1/2m crp rp)

+

mT.(WxijM)

+

I/ZW~S w P P 3 is de traagheids-tensor. P

J =

vJ~[(g-i))

E - bb]dV zie ook lit

[I].

P

Belangrijke eigenschappen van deze traagheidstensor zijn: -Symmetrisch

-Positief definiet (alle eigenwaarden groter dan nul)

$1.4 Assen-transformaties.

Zie figuur 1.2 voor gebruikte notaties.

*TRANSLATIES

* - e 4

Deel A/Hfst

1

Voorbeeld.

T Coördinatenstelsel:

?

=

,r

T

5

4 0

(Alleen verschuiving in éo-richting.

₁

) Stel

sM

= 2

-

moa

-

-Jn

= _{- 0} J

‘o

o

o

o

1

o~

( 1 . 1 )

O 0 1

Dit i s de algemene vorm van de verschuivingsregel van Steiner in matrixnotatie.

*ROTATIES

W e beschouwen nu de rotatie van het assenstelsel in het zwaartepunt M en

traagheidstensor J. Assenstelsel 1 vectorbasis

5’

T 42 =

W’S

i 1

Stel:

e,

Dan geldt: J 2 = R , J . R T I

-

e - -Voorbeeld.

Ga over op een orthogcmaal cobrdinatenstelsel. 5’ r i f 2 f ,R T StelI

$1

-

i 3 1 91

3 1

7

-

1‘1

“2

e 3 J Assenstelsel 2 vectorbasis

e2

N

Fig 1 . 3 Rotatie van het assenstelsel om coördinaatas 3 .

....

R = [cosa -sina

sina cosa

Deze rotatiematrix ontstaat als we het lichaam over -OL verdraaien.

Er geldt: 2 . T 5 J1 =

* J . R

1 - J21 1 1 J22

-

J32 1 1 1

-

J31 - J32

5

3 Hieruit volgt: 2 1 2 1 1

2 ~ 1 1 = cos a J~~ t sin a J~~ - 2sinacosa J~~

-2J,1 t -2J33 + t L - J22 2 1 cos a J I 1 2 1 2 1 cos B 533 cos Y J22 t t t 2 1 sin a JS2 2 1 sin fl J l l 2 1 sin y 5 3 3

Indien we beurtelings de assenstelsels om de assen 3 ' 2 en 1 roteren over resp. een hoek a, fl en y volgt hieruit:

1 1 1 2sinacosa J21 2sinpcosfl J31 Ssinycosy J32 ( 1 . 2 )

Deel A/Hfst 1

Deze vergelijkingen zullen later nog gebruikt gaan worden om m.b.v. de experimenteel bepaalde diagonaaltermen de totale traagheids-matrix te

berekenen. EK zal een opstelling gebouwd worden om om 6 verschillende assen

van het bot het massatraagheids-moment te bepalen. Dit wordt gedaan door de

massatraagheids-momenten te bepalen om de 3 coördinaatassen van het

4 4 4

I i 1

assenstelsel dat vast aan het bot gekoppeld is. ( J I 1 , J22 en J33). De

andere 3 traagheids-momenten, ( 2 J1 1 f 2J22 en J33) 2

,

worden bepaald om assen

van assenstelsels die, overeenkomstig het voorbeeld, om $èn as verdraaid

zijn t.o.v. het vaste assenstelsel. Bij voorkeur zullen de verdraaide hoeken ongeveer 45 graden zijn. Vergelijkingen ( 1 . 2 ) worden dan gebruikt om de massatraagheids-matrix t.o.v. het vaste assenstelsel te bepalen.

$1.5 De eisenwaarden en eisenvectoren.

Omdat de matrix J een positief-definiete symmetrische matrix is zullen

alle eigenwaarden reëel en positief zijn. De bijbehorende eigenvectoren

staan loodrecht op elkaar. De eigenwaarden zijn de hoofdtraagheids-momenten

en de eigenvectoren zijn de hoofdtraagheids-assen van het lichaam.

Voor het bot houdt dit in dat we eigenwaarden en eigenvectoren van de

traagheids-matrix analytisch gaan bepalen. De resulterende eigenvectoren horen bij het assenstelsel dat vast aan het bot gekoppeld is.

HOOFDSTUK 2

ENKELE METHODEN TER BEPALING VAN MASSAMIDDELPUNT EN WSSATRAAGHEIDS-MATRIX

Voor de experimentele bepaling van het massamiddelpunt en de

massatraagheid van de botdelen moet eerst een assenstelsel gekozen worden.

Dit assenstelsel wordt op een goed gedefinieerde manier aan de botbus vast

gekozen.

$ 2 - 1 Het massamiddelmmt.

Er zijn vele mogelijkheden denkbaar om experimenteel het massamiddelpunt van een star lichaam te bepalen. Ik behandel hier in het kort 3

mogelijkheden.

-1)

Vrij ophangen

1"

~

Fig 2.1 Het vrij opgehangen bot.

Door het bot achtereenvolgens vrij op te hangen aan 3 goed gedefinieerde

plaatsen aan het bot kan uit de stand van het bot het massamiddelpunt

berekend worden. Het nadeel is dat de stand van het bot, (hoeken!), moeilijk

Deel A/Hfst 2

- 2 ) Reactiekracht bepalen bij

1

oplegpunt.

Fig 2 . 2 Reactiekracht bepaling (schematisch).

Door de reactiekracht in

1

oplegpunt te meten kan het massamiddelpunt

berekend worden. Dit zou dan voor 3 onderling loodrechte richtingen kunnen

gebeuren. Het voordeel is dat de meting relatief eenvoudig en nauwkeurig uit te voeren is. Het nadeel is dat er een extra frame gebouwd moet worden

om 2 goed gedefiniëerde oplegpunten te garanderen.

-3) Traagheids-momentmeting bij parallel verschoven assen.

Fig 2 . 3 Traagheidsmoment meting bij verschoven assen.

Met behulp van de verschuivingsregel van Steiner kan de aicstand tussen de draaifngs-as en het massamiddelpunt bepaald worden. Het nadeel is dat er

in totaal 6 metingen gedaan moeten worden om 3 grootheden te weten te

komen. Het voordeel i5 dat er reeds een opstelling voor massatraagheids- metingen aanwezig zal zijn.

$ 2 . 2 Massatraaqheids-moment bepalinq.

Het doel is om de hoofdmassatraagheden en hoofdtraagheids-assen t.o.v. het massamiddelpunt te bepalen. (Dat gedefiniëerd is t.o.v. de botbus.)

Hiervoor moet dus de matrix

GM

bepaald worden.

Volgens de wet van Newton is

&

rechtstreeks gekoppeld aan een uitwendige

belasting en een versnellingsvector. Het is dus in principe mogelijk om een opstelling te verzinnen waarin bij een bepaalde beweging versnellingen en krachten gemeten worden, waaruit2

M

bepaalde constante hoeksnelheid de optredende krachten gemeten kunnen worden. Deze zijn dan gekoppeld aan de nevendiagonaal-termen van de matrix

.

Zo'n soort experiment lijkt op voorhand zeer complex te worden. Daarom

berekend kan worden. Zo zouden bij een

4

4

zal ik er hier ook niet verder op in gaan. Een eenvoudiger experiment is de

slingerproef waarbij de massatraagheid van het voorwerp rechtstreeks

gekoppeld is aan de trillingstijd van de vrije trilling in het gravitatie- veld.

I

Fig 2 . 3 De vrije trilling.

Het bepaalde massatraagheids-moment kan, (m.b.v. Steiner), omgerekend worden naar het massatraagheids-moment om een as door het massamiddelpunt

evenwijdig aan de draailngsas.

Als we de matrix_JM willen bepalen, zoals in $1.4 afgeleid, moeten we 6 maal

de slingerproef uitvoeren. Als we voor het bepalen van het massamiddelpunt

Deel A/Hfst 2

$2.3 Conclusies

Uit het voorafgaande blijkt dat er voor een massamiddelpunt meting

meerdere methoden aan de orde zouden kunnen komen. Alternatief 1 lijkt toch

het minst uitvoerbare. Om tussen oplossing 2 en 3 een keuze te kunnen maken moet eerst een nauwkeurigheids-analyse gepleegd worden. Voor de

massatraagheids-momentmeting beschouwen we maar êên methode n.1. de slingertijdmeting.

HOOFDSTUK 3

UITWERKING SLINGERPROEF EN REACTIEKRACHT METING (ALTERNATIEF 2 )

$ 3 - 1 De slinsermoef.

De slingerproef wordt in ieder geval voor de traagheidsmoment meting en misschien ook voor de massaniddelpunt meting gebruikt.

Fig 3.1 De slingerproef

In figuur 3.1 geldt:

Frame = Alles wat meeslingert en niet bij het bot hoort.

Gh = NassamiddeLpil~tt_ b e t .

Gf = Massamiddelpunt frame.

Mb = Massa bot.

Mf = Massa frame.

Ib = Massatraagheids-moment van het bot om Gb. (Gevraagd)

If = Massatraagheids-moment van h e t frame om Gf. (bekend)

IP = Slingerhoek.

8b = arctan(Qb/Rb).

kìf = asctan(Qf/Rf).

Deel AfHfst 3 De differentiaalvergelijking luidt:

1tot.y t Mot?=

o

met: Itot = totale traagheidsmoment om het scharnierpunt.

Mtot = totale moment om het scharnierpunt.

Itot = {(Mf*(Qf2 t Rf2) t If) t (Mb*(Qb 2 t Rb 2

1

t Ib))

sin(@ t 8 f ) = sincptcos8f i- costp*singf

Stel: cp

<<

1 => sin@ 3: (B coscp 3: 1

Hierdoor geldt voor Mtot:

M t ~ t zz Mf*gr(Rf*Q t Qf}

+

Mb*g,(Rb*tp t Qb)

De differentiaalvergelijking wordt:

(,Mf*(Qf2 i Rf2) t If t Mb*(Qb2 i- Rb2) i 1b)Vt.p t ge(M€*Rf

+

Mb*Rb)ay, =

-g (MfeQf t Mb*Qb)

Uit de homogene oplossing van deze differentiaalvgl. kan de trillingstijd afgeleid worden. Hiervoor geldt:

Mf* (Qf2 t Rf2) t If t Mb. (Qb 2 t Rb 2 ) t Ib

d

g * ( * Mf* R f

+

Mb*Rb]

Stel To is de trillingstijd van het frame zonder bot.

To2 = 4a2/ Mf*(Qf2

+

Rf2) t If

Indien we de trillingstijd meting uitvoeren voor het geval dat we hier het massamiddelpunt mee willen bepalen resulteert dit in de volgende afleiding.

Situatie 1:

Trillingstijd T1, afstanden tot scharnierpunt Rfl en Rbl, eigentrillingstijd

van het frame Tol, traagheid van het bot om de trillings-as 11.

Situatie 2:

Trillingstijd T2, afstanden tot scharnierpunt Rf2 en Rb2, eigentrillingstijd van het frame To2, traagheid van het bot om de trillings-as 12.

Stel de verschuiving van de trillings-as is ar. Dus geldt:

Rfl - Rf2 = Rbl - Rb2 = 6 r

Verder geldt m.b.v. Steiner (vgl. (1.1)):

2 I1 - I2 = Mb*(Rb12 - Rb22)

+

Mf* (Rf12 - Rb2 ) M.b.v. vgl (3.1) volgt hieruit: 2 Rbl-p6r*Mb

-

g e Mb- (Tj2 - T2

-

Tol ) .-I 2 2

-

Rf2. (T22

-

TO^^)}

+

MbBT22* 6r]

-

Mf*(Rf12 - Rbf )

+

Nb (3.2) Uit deze vergelijkiong kan Rbl eenvoudig bepaald worden als Zir, Rfl, Rf2,

Pîf, Mb, Tol, To2, T1, T2 en g bekend zijn.

Op dit resultaat zal geen nauwkeurigheids-analyse toegepast worden, maar we zullen de resultaten van de “gewone” slingerproef gebruiken om iets te kunnen zeggen over üe te halen nauwkeurigheià bij een massamiddeìpunt bepaling.

Deel A / H f s t 3

$ 3 . 2 Zwaartepuntsmetins d.m.v. reactiekracht metinq.

Ik zal nu een afleiding geven van de massamiddelpunts meting bij het

frame zowel als bij het frame met bot. De formules worden in zo’n vorm

gegoten dat ze bij de nauwkeurigheids-analyse van het volgende hoofdstuk

gemakkelijk te gebruiken zijn.

*

Massamiddelpunt meting frame.

Fig 3 . 2 Bepaling van het massamiddelpunt van het frame.

Gf = Massamiddelpunt frame.

Mf = massa frame.

M1 = Qplegkracht/g

Rgf = positie van massamiddelpunt t.o.v. oplegpunt.

L = De afstand tussen de oplegpunten.

Rgf = (Wf-MI)* L Mf

*

Massamiddelpunt meting bot.

( 3 . 3 )

+ ”

Zie ook fig 3.2. verder geldt: Mb = massa bot

Rgb = De afstand tussen opleg- en massamiddel-punt.

M2 = De oplegkracht/g

Rgb = (Mb

-+

(M1

-

M2))wL

Mb

(3.4)

Vergelijkingen (3.3) en (3.4) zijn niet in de vorm zoals ze uiteindelijk

gebruikt gaan worden voor het bepalen van het massamiddelpunt. In $6.2 zijn ze wel in de vorm geschreven zoals ze later gebruikt gaan worden.

Deel A/Hfst 4

HOOFDSTUK 4

DE NAUWKEURIGHEIDS-ANALYSE

$4.1 Inleiding.

Om wat meer inzicht te krijgen in de haalbare nauwkeurigheid, bij met

name de slingerproef, wordt een nauwkeurigheids-analyse uitgevoerd. In $ 4 . 2

woEdt een nauwkeurigheids-analyse uitgevoerd bij een massamiddelpunt meting d.m.v. reactiekracht meting. In $4.3 wordt een analyse op een trillingstijd meting uitgevoerd. In $4.4 volgen de resultaten van een foutensimulatie van een gecombineerde meting. (Dus eerst een massamiddelpunt meting d.m.v. reactiekracht meting en dan met deze resultaten een trillingstijd meting uitvoeren.)

Voor de massa-middelpunt en -traagheidsmoment meting maken we gebruik van 3

soorten metingen n.l.:trillingstijd meting (TI, massa meting (NI en

lengte meting (Ll. We gaan er bij de analyse van uit dat iedere soort meting

een eigen relatieve maximale fout kent. De gemaakte relatieve fouten liggen dus binnen grenzen, die karakteristiek zijn voor het soort meting dat

uitgevoerd wosdt.

Er geldt dus het volgende:

-

( 1 i- a,) ; IaT/

<

max. relatieve fout bij

Tgerneten - Techt

'gemeten

- Mecht

trillingstijd-meting ( = OLTmaX)

-

( 1 i- a#) ;

pMI

<

amax

-

( 1

i- aL) /aLI

<

0LLmax

Lgemeten Lecht

Bij de hierna volgende analyses worden hogere orde-termen verwaarloosd.

Er geldt bij benadering:

A U

+

a

A f 1 + B(? + aB)

~ ( 1 i ct,) = A ,(I i- aA i- a,) wantjaAl, /aB\

<<

1

A

Ook worden een aantal dimensieloze getallen ingevoerd. Deze zullen in $4.4

als variabelen bij de simulaties optreden. Er geldt:

A(l t a _A ) t B(l t cxB) = ( A t B) (1

+

( a A + A aB)/(l t A ) ) met B/A = A

Met A = Dimensieloos getal

Door al deze vereenvoudigingen en schattingen zullen de resultaten waarschijnlijk geen absolute (maar wel relatieve) betekenis hebben.

$4.2 De nauwkeurisheids-analyse b i j massamiddelpunt metincr d.m.v. reactiekracht metinq.

Volgens vergelijking (3.4) geldt:

Stel : Ml => M1(1

+

%1) M2 => M2(1 -k

0

~

~

~

1

Mb => Mbll t aHb) Nf =) Mf(1 t a M f f L => L(l f cIL) U = M2/Ml ; E = Kgb/L

Dan kan afgeleid worden dat geldt: Rgb => Rgb(1 t ctRgb)

met u

Voor de massamiddelpunt meting van het frame geldt:

= aL t

(E

-

1)/E

(-aMb t (uMl

-

&i a ~ ~ ) / ( l - U))

Rgb

Rgf - 3 Rgf(1

+

cxRgf)

met URgf = a- t

(.E

-

l l / € * ~ a î ~ l

-

aî4f) (4.21

L

14.1)

$4.3 De nauwkeurisheids-analyse bij massatraacrheids bepalins d.m.v. trillinqstiid metinq.

In vergelijking (3.1) komt de relatie tussen het massatraagheids-moment

van het bot en de trillingstijd tot uitdrukking. Hiervan maken we gebruik bij de volgende analyse.

Stel :

g => foutloos

Deel A / H f s t 4 Rf => Rf(1

+

aRf) Rb => Rb(1

+

aRb) To => To(1

+

aTo) T1 => Tlfl

+

aT1) To i "TI

'

aTmax a Qb

< <

Rb Rf x Rb zodat p = M2/M1 x (Mf f Mbt/Mf 2 T = (TofTl 2 2 q = Mb*(Qb

+

Rb )/Iob

met Iob is het traagheidsmoment van het bot om het scharnierpunt.

Dan kan afgeleid worden dat:

Ib => Ib(1

+

aIb)

met:

$4.4 Foutensimulatie van secombineerde reactiekracht metins en triflinsstijd metinq.

Om een indruk te krijgen van de grootte van OL en de invloed van de

Ib

dimensieloze getallen hierop, worden de diverse relatieve fouten

gesimuleerd. Uit vergelijking (4.3) blijkt:

Waarbij aRb = a

indien het massamiddelpunt bepaald wordt d.m.v. een reactiekracht meting. (En dit gebeurt bij deze simulatie.) We zijn eigenlijk alleen maar

gelnteresseerd in aIb als functie van E r p , T en q . Deze dimensieloze

getallen hangen n.1. af van de te ontwerpen meetopstelling en kunnen in principe vrij gekozen worden.

In het simulatie programma krijgen de a's een willekeurige waarde. (Binnen bepaalde grenzen) Bij al die willekeurige a ' s wordt dan bij gegeven E, p , T

en q a uitgerekend. Na 30 simulaties, (30x andere O L ' s bij een en dezelfde

1

-

aIb - OLIb(pr _{q f OLMb1 "Mff OLRffOLRbfaTor OLT1}

( E r u , aM,, aM2, aL 1,

R b

en _{URf = "Rf(Ef "Ml1 sL} 1 1

E,

p , T en q), wordt de hoogste aIb genoteerd. De grenzen die voor iedere a

gelden zijn afhankelijk van het soort meting. Zo geldt:

I

%li/ iaN21 IaNbl

’

/“Wf

<

“Mmax

/“LI

<

“Lmax

l a T d

‘

CLTI

<

“Tmax

De resultaten van de simulaties zijn te vinden in tabel 4.1. Nogmaals, voor deze resultaten geldt dat ze alleen maar relatieve betekenis hebben.

Deel A/Hfst 4 T 1 1 1 1 1 1 1 .5 1.1

1 .

1 . 1 1 1 1 1 1 1 1.5 1.1 tl 0.75 0.75 0.85 0.60 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.85 0.60 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.85 0.60 0.75 0.75 0.75 0.75

E

0.5 O. 5 0.5 O. 5 0.8 O. 3 0.5 O. 5 O. 5 0 . 5 O. 5 O. 5 0.8 0.3 0.5 0.5 O. 5 0.5 0'5 O. 5 0.8 0. 3 0.5 O. 5 l a I b

I

0.26 O. 16 0.38

o.

15 0.23 0.30 0.47 0.25 0.2 O. 13 0.35 O. 13 0.23 0 . 2 3 0 . 4 7 0.22 0 . O75 0.076 0.23 0.033 0.061 O. 13 O. 14 0. O85

“CONCLUSIES

Aan de hand van de resultaten van de fouten simulatie in tabel 4.1 kan het volgende geconcludeerd worden:

- a loopt sterk op als:

Ib

A: verhoogd wordt van 0.75 naar 0.85. Uit vgl. (4.3) blijkt dat.

B: T verhoogd wordt van 1 naar 1.5

a zelfs naar oneindig gaat als q naar I nadert,

Ib

daalt sterk als:

verlaagd en “Lmax

verlaagd wordt. (zelfs zonder dat aMmax

Tmax

c:

o(

worden. )

ad A)

Het feit dat. q verhoogd wordt houdt in dat de afstand tussen de trillings-as

en het massamiddelpunt van het bot vergroot wordt. Het zo klein mogelijk houden van deze afstand zal dus een belangrijke constructieve eis zijn. Deze afstand mag echter ook niet te klein worden omdat dan het moment dat de beweging in stand houdt te klein wordt waardoor de wrijving in het scharnierpunt een relatief grote rol gaat spelen.

ad B)

Voor T geldt:

P = (To/TI2 = p*Iof/(Iof

+

lob) = p - y y = Iof/fIof -I- Iob)

met Iof = traagheid v/h frame om het scharnierpunt

Iob = traagheid v/h bot om het scharnierpunt

Het lijkt dat we de waarde van T niet gemakkelijk in de hand hebben. Deze

zou daarom wel eens voor problemen kunnen zorgen. In vgl. (3.4) zien we dat

daar een term l/(p - T ) voorkomt. Deze term wordt groter als T vergroot

wordt van 1 naar 1.5. ( A l s p gelijk blijft aan 2 ) . In het algemeen wordt

deze term groot als p en T ongeveer aan elkaar gelijk zijn. Dit beteken6 dat

y ongeveer gelijk is aan 1, dus dat de Iof >>rob. Dit houdt in dat de constructie niet te massief gebouwd moet worden.

Deel A/Hfst 4

Uit de simulaties blijkt dat de nauwkeurigheid van de trillingstijd meting een erg grote rol speelt. Dit wekt het vermoeden dat een massamiddelpunt meting op basis van een traagheids-moment meting erg onnauwkeuring is, omdat hier 4 gemeten trillingstijden een rol spelen. (i.p.v. 2 n.1. T o l , T o 2 , T1

en T 2 . zie vgl. ( 3 . 2 ) )

We zien dat in het gunstigste geval geldt datlaTb/

*

massamiddelpunt meting ( 2 traagheidsmetingen) zou dit al leiden tot

...

. Voor een reactiekracht meting geldt globaal:

h g b l

-

’6xaTmax

[“Rgb]

*

2f3x%hax

Gezien deze resultaten vervalt de mogelijkheid om het massamiddelpunt te meten d.m.v. een trillingstijd meting, ondanks het feit dat we hierdoor maar

1 meetopstelling nodig hebben.

In het volgende hoofdstuk zal mede m.b.v. de resultaten van deze analyse een eisenpakket opgesteld worden om te komen tot een meetopstelling cq.

constructie.

HOOFDSTUK 5 DE MEETOPSTELLING

In dit hoofdstuk wordt heel globaal de meetopstelling behandeld. In $5.1 wordt een formulering gegeven van het eisenpakket op grond waarvan deze opstelling tot stand is gekomen. De opstelling kan opgedeeld worden in de

“hardware”, dit is de constructie, en de “software“, dit is de elektronische

apparatuur er om heen. De hardware wordt in $ 5 . 2 behandeld terwijl d e

software in $5.3 heel even aan bod komt.

$ 5 . 1 Het eisenpakket.

Voor de massamiddelpunt meting moet iets ontworpen worden om bij een 2-

of 3-punts oplegging op B&n plaats de reactiekracht te meten. Uit o.a. de

nauwkeurigheids-analyse van $4.4 volgen de volgende eisen:

- De massa van het frame waar het bot aan opgehangen wordt mag niet te groot

zijn. Stel Mf 2 Mb 2 1 Kg.

- De afstand tussen de oplegpunten moet eenduidig bepaald zijn en de

- Net bijvoorkeur &&n constructie moet in 3 onderling loodrechte richtingen oplegpunten moeten in B&n horizontaal vlak liggen.

de positie van het zwaartepunt bepaald kunnen worden.

Voor de massatraagheids-moment meting moet een constructie ontworpen worden

om de slingertijden van het bot, in 6 Verschillende standen, te meten. Met

de vergelijkingen ( 1 . 2 ) wordt dan de matrix I bepaald. Uit o.a. de

nuuwkeuLichoids-^”alyse i i i k S O . $ v o l g t het volgende eisenpakket:

-

De massa van het frame mag niet te groot zijn.

-M

(Nf z M b 2 1 Kg d.w.z. p 2 )

-

Het massatraagheids-moment van het frame mag niet te groot zijn. Dit past

in de lijn van de vorige eis vandaar dat hier niet expliciet rekening mee gehouden wordt.

- De afstand tussen de scharnier-as en het massamiddelpunt van het bot mag

niet te groot zijn. (anders q => 1 )

- De trillingstijd meting moet erg nauwkeurig kunnen gebeuren. (relatieve

Deel AIHfst5

- Het bot moet in 6 zCCr bepaalde standen gezet kunnen worden. (zie $1.4)

- De opstelling moet gebruikers-vriendelijk en eenvoudig zijn, en de meting

moet snel uit te voeren zijn. Dit geldt overigens ook voor de opstelling

voor massamiddelpunt bepaling.

$ 5 . 2 De hardware.

Er is gekozen voor è5en constructie die, met wat kleine veranderingen,

zowel massamiddelpunt als massatraagheids-moment meting kan uitvoeren. Zie een globale schets in fig. 5.1.

Fig. 5 . 1 Schets van de basisconstructie.

@e onderscheiden globaal 3 onderdelen:

-1) Het koppelstuk

- 2 ) De bovenligger

- 3 ) De 2 scharnierpunten waarvan 1 vast en 1 in hoogte verstelbaar Het koppelstuk maakt het mogelijk het bot in 6 standen te zetten.

*

DE! massamiddelpunt meting

Hiervoor wordt op de basiscontructie, (zie fig. 5.11, een extra steunpunt

ingevoerd d.m.v. een aan het vaste scharnierpunt te monteren T-stuk. D.m.v. een weegbalans kan aan het andere scharnierpunt de oplegkracht gemeten worden. Hiervoor is een extra tafel gemaakt. (Zie fig. 5.2)

Fig.5.2 Schets van de opstelling voor massamiddelpunt meting.

*

Re massatraagheids-moment meting

Het bot moet in 6 standen geslingerd kunnen worden. (zie $ 1 . 4 ) . Van het

orthogonaal assenstelsel, gekoppeld aan de botbus, moeten de assen ieder &4n meting evenwijdig met de scharnier-as lopen. Verder moeten er 3 metingen uitgevoerd worden waarbij het bot onder een hoek a r @ en y r (bijvoorkeur

gelijk aan 4)5' I met de hoofd-assen staat. Zie figuur 5.3.

o

3

Fig.5.3 De standen van het assenstelsel, gekoppeld aan het bot, tijdens de

Deel AfHfst5

Fig.5.2 Schets van de opstelling voor massamiddelpunt meting.

*

De massatraagheids-moment meting

Het bot moet in 6 standen geslingerd kunnen worden. (zie $1.4). Van het

orthogonaal assenstelsel, gekoppeld aan de botbus, moeten de assen ieder Cèn meting evenwijdig met de scharnier-as lopen. Verder moeten er 3 metingen

uitgevoerd worden waarbij het bot onder een hoek a , B en y , (bijvoorkeur

gelijk aan 45O), met de hoofd-assen staat. Zie figuur 5.3.

i

Fig.5.3 De standen van het assenstelsel, gekoppeld aan het bot, tijdens de

Deel A/Kfst 6

Tabel 6.1 Konstanten en variabelen bij de massamiddelpunt metingen.

*Trillingstijd meting.

Fig 6.2 De trillingstijd meting. N.b. Alle lengtematen hebben tekens! Bij figuur 6.2 geldt:

Ib = T2/(4~2).s.(Ì!!f*Rf~l - (To/T)2) -k BbbRb - Mb*(Qb 2 i- Rb 2 )

1

met:

Rf = Rgf t Cr ; Rb = Rgb

+

Cr ; Qb = Qgb i- Cq vgl. ( 6 . 2 )

Er moeten in totaal 6 trillingstijd metingen uitgevoerd worden.

7 NE- TING Tl T2 T3 T4 T5 T6 I I I I I Ehmalig bepaald

1

nen

i

E4nmaal Te berekenen Meten bereke- per bot uit zw. punt

Tabel 6.2 Konstanten en variabelen bij een trillingstijd meting.

Opgemerkt dient te worden dat b.v. Zgb2 = Zgb COSOL omdat de vertikale

afstand tussen het zwaartepunt en de botbus verandert zodra het bot onder een hoek gaat "staan".

$6.3 Ronstanten van de constructie.

De konstanten, zoals die in $6.2 genoemd zijn, kunnen opgedeeld worden in 3 categorieën, n.1. geometrische konstanten, massa's en trillings-tijden.

In fig. 6.3 t/m 6.7 is weergegeven waar al deze konstanten in de constructie

thuishoren.

*Geometrische konstanten.

De relevante afmetingen van de constructie zijn door Dhr. A.G. de Gilde

m.b.v. de Zeiss 3-D meetmachine opgemeten.

De positie van het zwaartepunt van de constructie in horizontale richting,

(Xgf, Ygf, Zgf), is berekend via een reactiekracht meting op de

gebruikelijke manier. Voor de positie van het zwaartepunt in vertikale

richting, (Ygfl,Ygf2 enz.), zijn 3 extra oplegpunten gecreëerd.(Nr.l, 2 en 3

in figuur 6.3.) De horizontale lengte L' is ook opgemeten m.b.v. de 3-D

meetmachine. In tabel 6.3 zijn de gemeten en berekende waarden weergegeven. De afmetingen in tabel 6.3 gelden bij een totale hoogte van naald en

klemblokje van 30.0 mm. (Zie fig. 6.9) Om dit te kunnen bewerkstelligen moet

I

1

--.- 4

- 4 n*.1 I . u 8 . J - ? .220 - I .o20 --? - 2 . 2 2 4 - 1 . 2 2 9 0.33 0.v5

o.

S ?

o.

e ?

0 . 8 7

o.

36

LITERATUURLIJST

Wittenburg, Dynamics of systems of rigid bodies, B.G. Teubner Stuttgart, 1977

Z I

-

ç

=q&r

d -~ _I

-Deel B Juli '86

DEEL B

~ A N D ~ VOOR ~ ~ GEBRUIK VAR DE MEETOPSTELLING D ~ ~ G

HOOFDSTUK

1

INLEIDING

In dit gedeelte van het verslag, deel B, wordt in het kort beschreven hoe de metingen uitgevoerd en de meetgegevens verwerkt moeten worden. Het doel

van de metingen is het bepalen van de Hiassatraagheids-eigenschappen van een

botdeel. Deze worden volledig bepaald door de massa, de positie van het zwaartepunt, de hoofdtraagheids-momenten en hoofdtraagheids-assen t.o.v. een vaste vectorbasis aan het bot. Dit assenstelsel ia gedefinigerd volgens

I_

Fig 1 . 1 X2't vaste assenstelsel. Deze Handleiding ziet er als volgt uit:

In hoofdstuk 2 vindt een beschrijving van de meetopstelling voor

massamiddelpunt meting en massatraagheids-moment meting plaats. In hoofdstuk

3 volgen de aanwijzingen voor het gebruik en komt het programma INERTIA aan

bod dat gebruikt wordt om de meetresultaten te verwerken tot bruikbare gegevens.

Deel B / H f s t 2

HOOFDSTUK 2

DE OMSCBRIJVING VAN DE OPSTELLING

$ 2 . 1 De massamiddelpunt metinq.

-

De basis constructie. (Zie fig. 2 . 1 . )

- Het messing T-stuk.

- De tafel. (Wet stel-tafeltje.)

- De weegschaal. (Met hangend schaaltje.) Dit is de METTLER P2010N.

Zie figuur 2 . 2 voor de complete opstelling.

De opstelling voor de massamiddelpunt meting bestaat uit:

Fig 2 . 1 De basis constructie.

$2.2 De massatraaaheids-moment metinq.

De meetopstelling voor de mascatraagheids-moment meting ziet er als volgt uit:

-

De basis constructie. (Zie fig. 2.1.)

-

De ondersteunende balken aan de murir.

- Het vaantje dat aan het vaste scharnierpunt gemonteerd moet worden.

- De randapparatuur bestaande uit: -de lichtgevoelige diode

-de omvormer/voeding (het witte kastje) -de TirnerlCounter (PRESET COUNTER TYPE

Deel B/Hfst3

HOOFDSTUK 3

DE GEBRUIKSAANWIJZING

$3.1 Alsemeen.

Voor dat een van beide metingen uitgevoerd kan worden moeten eerst enkele algemene handelingen worden verricht.

*Als de naaldjes bot of beschadigd zijn moeten ze vervangen worden. De

naald die in het vaste klemblokje komt moet eerst 1: 5 mm worden afgeknipt.

Daarna moet de naald er zo ingezet worden dat de totale hoogte van naald en blokje precies 30 mm is. (Zie fig. 3 . 1 . ) Daarna moet het verstelbare

klemblokje 26 verdraaid worden dat de bovenkant van de bovenligger horizontaal ligt. De constructie moet dan op de ondersteunende balken geplaatst zijn. Dit laatste geldt ook indien de balken los zijn geweest.

Fig. 3.1 De naald en klemblokje.

*Indien het niet nodig is de stand van het bot te borgen mag dit weggelaten

worden. Met is dan wel van belang dat de boutjes toch even gemonteerd

worden, vanwege de ijkmetingen die hiermee uitgevoerd zijn. Overigens kunnen de zeskant-bouten en de imbus-bouten willekeurig door elkaar gebruikt worden.

Deel B/Hfst3

te vinden in bijlage CB3.61 t/m [B3.14]. In ket begin van het programma

krijgen een aantal konstanten een waarde. Voor meer over deze konstanten wordt verwezen naar deel A van dit. verslag $6.2 en $ 6 . 3 .

"Gebruik van het programma INERTIA.

Het Fortran -programma INERTIA moet gecompileerd worden met de opties

-64V en -1NTL. Het programma kan daarna opgestart worden met het commando SEG INERTIA.

Fig.

3.2

o

I

f i g . 3 . f

B

5

BIJLAGE CB3.11

DE ~ A S S ~ M ~ ~ ~ E L ~ U N T METING

L

'i

Bij de f i g u u r geldt de volgende vergelijking:

De t a b e l in bijlage [33.41 g e e f t aan welke konstanten horen bij de afzonderlijke mekingen.

LET ING Eknmalig bepaald

3erekend

BIJLAGE [B3.3]

DE MASSATRAAG~EIDS- OM ENT METING

Bij deze figuur horen de volgende vergelijkingen:

met :

Rf = Rgf t Cr ; Rb = Rgb i CK ; Qb = Qgb t Cq

In de tabel in bijlage [B3.4] is te vinden welke kolastanten bij iedere afzonderlijke meting hoort.

E& nmal ig bepaald 7 YE

-

Yf Yf Yf If vIf Yf To To 1 To2 To 3 To4 TO5 To6 Zgf 1 Zgf2 Zgf3 Zgf3 Ygf 1 Ygf2 Te berekenen uit

zw.

punt Meten T ~~~ TI T2 T3 T4 T5 1

Tt

Konstanten en variabelen bij een trillingstijd meting.

bereke nen Pb Ixx1 Ixx2 IYY 1 I Y Y 2 Izz 1 1222

C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C

INERTIA/Wim Winkelmolen 4 juli 1986

. . .

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

. . .

PROGRAPMA VOOR UITVOEREN VAN TRAAG~EIDSMOME~T-

BEREKENING~N

DECLARATIES K O N S T A N T ~ ~

REAL EO(3)ycF(3),Fo(6),RGF(3,2),NFI,L,CX,CYl~CY2~CY3~C2l~CZ2

a(,ALPHA,EETA,GAMMA,MF2,CZ3

Deze konstanten zijn afhankelijk van de constructie en worden voor de constructie een keer in~evoerd

Voor deze konstanten geldt het volgende:

MFI bevat de massa van het frame bij de zwaartepunt~-meting. (Dus met het T-stuk en zonder het vaantje.)

MF2 bevat de massa van het frame tijdens de ~lingermeting.

(Dus zonder T-stuk en met vaantje.)

FO bevat de BRE~ENDE

ADRA RATEN

van de diverse eigen-trillingen.

RGF(l,I)=Ygfl RGF(2,1)=Ygf2 RGF(lr2)=Zgfl RGF(2,2)=Zgf2 RGF(3,2)=Zgf3 GF(1) ,GF(2) ,GF(3) = Xgf,Ygf,Zgf V A R I A B ~ L E ~

Voor de variabelen, (array's), geldt het volgende:

BOfl),B0(2),B0(3) = XOrYOrZO MR bevat de GE bevat de F bevat de IB bevat de MATRJ bevat ME bevat de 2).

reactiekrachten in 3 richtingen. (X,Y en 2).

coordinaten van het massamiddelpunt van het bOt-(X,Yr en trillingstijden van de 6 metingen. ( 1 t/m 6 ) .

traa~~~eidsmoment~n van de 6 metingen. ( 1 t/m 6).

de traagheidsmomentmatrix. (kolomsgewijs).

massa van het bot.

RGB bevat de vertikale afstand tussen de scharnierlijn en het massa-

middelpunt van het bot.(lCn de richting van de bijbehorende coor-

dinaatas.)

middelpunt van het bot.(Dus loodrecht op RGE.)

QGB bevat de afstand tussen de vertikale coordinaatas en het massa-

JQ bevat de 3 hoofdtraagheidsmomenten.

NQ is de matrix van eigenvectoren behorende bij de volgorde van de

hoofdtraagheidsmomenten zoals die in JQ opgeslagen is

REAL N R ( 3 ) rGB(31 r F ( 6 ) rIB(O1 ,MATRJ(3,3) ,MBrRGB,QGB &iNQ(3r3) rJof3)

C

DUMMYS

CALL WRITE(GB(2) 'Ygb ' 1

CALL READ (MR ( 3 ) ' Mz ' ) CALL WRXTE(GB(3)

,

'Zgb ' 1

CAIJL GPUNT(MB,MF1,L,B0(3),GF(3)IMR(3),GB(3))

C Nu worden de trillingstijden ingevoerd. (Als dit gewenst is.)

200 YES='N' WRITE(1,1020) READ(~,lO~O)ANTW IF (ANTW.EQ.YES)GOTO 210 GOTO 110 2 1 O CONTINIJE WRTTE(l,lO30)(GE(I),I=l,3) 300 CONTINUE YES='J' WXITE(1,1040) READ(1,lOlO)ANTW IF (~NTW.EQ.YE~)GOTO 310 GOTO 500 3 1 O CONTIN~JE WRTTE(1,lllO) CALL READ(F(I),'Tl ' 1 RGB=GB ( 3 ) QGR=GB ( 2 ) CALL T R A A G H ( M B ~ M F 2 ~ F O ( 1 ) ~ ~ G F ~ l ~ 2 ) , C Z 1 , C Y 3 , R G B ~ Q G B p F ( l ) ~ I B ( l ) ) CALL WRITE(n3(1)$'IXXl') CALL READ(F(2),'T2 I ) RGB=GB(3)*COS(WLPHA)-GB(l)*~IN(ALPHA) QGB=GB ( 2 )

CALL TRAAGH(M3~ NF2 8 FO (2) 8 RGF( 2 8 2 ) p CZ2 CY3 8 XGB, QGB, F ( 2 )

CALL ~RITE(~B(2) ; '1~x2') CALI, READ(F(3)' 'T3 ' ) IE (2) ) RGB=GB ( 3 ) QGB=GB (

1

) CALL T R ~ A G H ( M B , M F 2 , F O ( 3 ) , ~ G F ~ 3 I 2 ~ ~ C ~ 3 r C X , R G B , Q G B ~ F ~ 3 ~ r I B ~ 3 ~ ) CALL WRITE~I~~3);'Iyyl') RGB=GB ( 3 ) QGB=GE(l}*COS(EETA) CALL READ(F(4),'T4 ' ) CALZ TRAAGW(MB,MF2,FO(4),RGF(3,2),CZ3,CX,RCB,QGE;F(4)rI~(4)) CArJL W R ~ T E ( 1 B ~ ~ ) ; 'Iyy2') CALL READ(F(5) r 'T5

'1

RGR=-GB(2) QGB=GB f 1 ) CALL WRXTE(ïB(5),'Izzl') CALT, READ(F(61, 'T6 ' 1 R G B = - G B ( 2 ) * C O ~ ( G A M M A ) - G ~ ( 3 ) * ~ I N ( G ~ ~ A ) QGB=GB (

1

1 CALL WRITE(ïB(6)

,

'1222'

1

CAL72 T R A A G M ( M B , W F 2 , F O ( 5 ) , R G F ( l ~ l ) ~ C ~ l ~ C X , R G B , Q G B ~ F ( 5 ) ~ ~ ~ ( 5 ) ) CALL TRAAGH(ME,MF2,F0(6),RGF(2,1),CY2,CX,RGB,QG~~F(6);IB(6)) C C 400 YES='N' WRITE(l11050f

EijlageCB3.91 INERTIA/Wim Winkelmolen 410 500 510 600 610 700 710 $00 C 1000 1010 1 020 1030 1040 1050 1060 READ(1,1010)ANTW IF (ANTW.EQ.YES)GOTO 410 GOTO 310 CONTINUE WRITE(1,106Q)(~B(I),~=lr6) CONTINUE YES='J' WRfTE(1,1070) ~EAD(1,lOlO)ANTW IF (ANTW.EQ.YES)GOTO 510 GOTO 600 CONTINUE CALL M A T R I X ( A L P H A , B E T A ~ 6 ~ M M A f I E ~ ~ T R J ) WRIT~(l;lO80~ ( (MATR3(I1J),J=1,3),I=1,3) CONTINUE YES='J' WRITE(1,1090) READ~l~l0lO)ANTW IF (ANTW.EQ.YES)GOTO 610 GOTO 700 CONTINUE

C Hier worden de hoofdtraagheden uitgerekend.

CALL HOOFDJ~MATRJ~J0,NO~

WRITE ( 1 1 120) (J0 ( I) I 1=1

,

3 1 ( (NO( J

,

KI K=l ,3

1

,

J= 1 I 3

1

c

Vervolgens kan een file aangeroepen worden.

CONTINUE , YES='J' WRfTE(1,1130) READ(l,lO1O~~NTW IF (ANTW.EQ.YES) GOTO 710 GOTO 800 CONTINUE CON~INUE YES= ' N ' WRITE(1,ll~O) ~ E A ~ ( ~ ' l 0 1 0 ) A ~ T ~ IF (ANTW.EQ.YES) GOTO 900 GOTO 50 FORMAT ST~TEMENTS FORMAT (Al )

FORNAT('W1LT U EEN REACTIEKRACHTWAA~DE V E ~ N D E R E N ? ' )

FORMAT('XgB = ',E12.5/'Ygb = ',E12.5/'Zgb = ',E12.5)

FORMAT('W1LT U EEN TRAAGHEIDSMETIN~ UITVOEREN ? ' )

FORMAT('W1LT U EEN TRILLINGSTIJDWAAR~E VE~ANDEREN ? ' I

CALL ~ R F I L E ( M ~ , M R ~ G E , F , I B ~ M A T R J ~ J O ~ N O )

FORNAT('W1LT U EEN ~ASSAMIDDELPUNTSMETI~G UITVOEREN ? ' )

FORMAT('Ixx1 = ',Eî2.5/'ïxx2 = ',E12.5/'Iyyl = ',E12.5/'Iyy2 = I r

&E12.5/'Izzl = ',E12.5/'Izz2 = ',E12.5) 1070 FORMAT('WILT U MATRIX J BEREKENEM ? ' )

1080 FORMAT('MATRTX J = ',E12.5,5X,E12.5,5X,E12.5/11X~E12.5~5X,E12.5

4090 FûRMAT('WILT U H~OFDTRAAGHEDEN BEREKENEN ? ' )

1100 FORMAT('De reactiekrachten moeten nu een voor een ingevoerd worden

&f5X,E12.5/11XfE12.5r5X,E12.5r5XrE12.5)

&'/Ikend en weergegeven. Indien er een fout is gemaakt tijdens &'/'liet invoeren kan deze pas hersteld worden als alle reactie- &'/'krachten zijn ingevoerd. (Floating point notatie)')

1110 FORMAT('De trillingstijden moeten nu worden ingevoerd.

&'/'Ze kunnen pas hesteld worden als alle trillingstijden zijn

&'/'ingevoerd.(Floating point notatie)')

& ' J3 = ',E12.5//'(nlrn2,n3) = '

1129 F O R M A T ~ ' ~ O O F D T R A A G ~ E D E N ' / ' J1 = ',E12.5/' J2 = ' , E I 2 . 5 /

& ~ E 1 2 - 5 , 5 X ~ E 1 2 . 5 ~ 5 X ~ E 1 2 ~ 5 / 1 3 X ~ E 1 2 ~ 5 ~

& 5 X ~ E 1 2 ~ 5 ~ 5 X ~ E 1 2 . 5 / 1 3 X ~ E 1 2 . 5 , 5 X , E 1 2 . 5 ~ 5 X ~ E 1 2 ~ 5 )

1 1 3 0 FORMAT('W1LT U EEN UIVOERFILE CREEREN?')

1 1 4 0 FORMAT( 'WILT U OPNIEUW BEGINNEN MET DIT PROGRAMMA?')

900 STOP END ...

. . .

C C SUBROUTINEPROGRAMMA'S C

. . .

. . .

*

*

c

c

C

SUBROUTINE VOOR ~EREKENING VAN M A ~ ~ A M ~ D D E L P U ~ T E N SUBROUTINE G P U N T ( ~ B r ~ F ' L ~ B O D ~ G F D ~ M R D , G B D ~ REAL MB,MF,L,BOD,GFD,MRn,G8D GBD=It*(MBtMF-MRD)/MB-(EOD~GFD)*MF/MB-BOD RETURN END

e

... C

C SUBROUTINE VOOR BEREKE~ING VAN TRAA~HE~~SMOMENT

C

SUBROUTINE TRAAGH(MB,NF,FOB,RGFD,CR,CQ,RCB,QGB,FD,IBD~ REAL MB,MF,F0D,RGFD,CRrCQrRGB,QGB~FD,IBD

TBD=0.24849*FD*FDX(M~*(RGFDtC~)*(l.-FOD/FD**2)tM~*(RGBtCR)~ & -MBX((qGBtCQ)"*22+(RGB~CR)**2~

C Voor de zwaartekrachtsversneìling is hier 9 . 8 1 m/s2 aangehouden

RETURN END

. . .

c

C C C C C

* *

SUBROUTINE VOOR HET INLEZEN VAN DE WAARDEN MET DEFAULTWAARDE (Als nul. ingevoerd wordt, blijft de defaultwaarde gehandhaafd.

Dit kan in de praktijk echter niet voorkomen.)

SUBROUTINE READ(MEETWrME~TN)

REAL MEETW,X

INERTIA/Wim Winkelmolen WRITE(1,IO) (MEETN,MEETW) READ(1,20)X IF (X) 30,40,30 10 FORMAT(A8,'(default = ',E12.5i'): ' 1 20 FORMAT(E12.5) 30 CONTINUE MEETW=X 40 CONTINUE RETURN END

. . .

C

* * * *

C C

c

SUBROUTINE VOOR HET WEERGEVEN VAN BEREKENDE WAARDEN

SUBROUTINE W~ITE(MEETW,MEETN~ REAL M ~ ~ T W INTEGER* 4 MEETN WRrTE(l,lO)(MEETN,MEETW) RETURN END 10 FORMAT(A8,' = ',E12.5/) C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

* * * *

C c C C SUBROUTINE VOOR

HET BEREKENEN VAN DE ~OO~DTRAAGHEIDS-ASSEN EN

-RICHTINGEN.

NOD,JOD en MATRJD zij dummy variabelen en worden in deze subroutine gebruikt, omdat alleen deze subroutine mek DOUBLE PRECISION reals rekent. Aan het einde van deze routine worden

deze variabelen dan ook weer omgezet naar enkel precisie vari-

abelen.

SUBROUTINE ~ O O F ~ J ( ~ T R J ~ J 0 , N O )

REA&*8 ~ ~ R J ~ ~ 3 , 3 ~ , JOD(3) ,NOD(3,3) ,Q,R,~HETA,Al ,A2,A3

DO 5 I=1,3 DO 5 J=1,3 REAL ~IATRJ(3,3),NO(3,3),JO(3) JOD(T)=JO(I) WATRJD(I,J)=MATRJ(I,J) NOB(I,J)=NQ(I,J) 5 CONTINUE

De karakteristieke vergelijking is: x*x*x

+

Al*x*x

+

A2*x -F A3 = O

A1=0. C DO 100 I=1,3 Al=A?-MATRJD(I,I) 100 CONTINUE A2=0. DO 200 I=1,3 DO 200 J=1,3 IF (1.EQ.J) GOT0 200 A2=A2-0.5*(MATRJB(IfJ)**2-MATWJBfI,I)"NBTRJD(J,J)~

c

200 CONTINUE

A3=-~TRJD(I,l)*MATRJD(2,S)"MATRJD(3,3)-2.*~TRJD(lr2)*MATRJD(2r3) &*MATRJD(3,1)t(MATRJD(lf1)*MATRJD(2,3)

&**2tMATRJD(2,2)*MATRJD(3,1)**2tMATRJDf3TRJD(lr2)**2)

Hier volgt het oplossen van de karakteristieke vgl.

Q=(3.*A2-A1**2)/9. 10 20 30 4 0 1 R=(9.*A2*A1-27.*A3-2.*A1**3)/54. CONTINUE THETA=DATAN(DSQRT(-Q**3-R**2)/R) IF (R) 30,20,40 CONTINUE THETA=2*DATAN(l.) GOTO 40 CONTINüE TH~TA=THETAt4*DATAN(l.) CONTINUE JF (RI 10,2O,lO DO 50 I=1,3

Jon( I)=2. *DSQRT(-Q) "COS (THETAI3

.+a. *DATAN(

1 . ) /3.

*

(1-1 ) 1

& -Al /3. 50 CON~INUE CALL EIGENTI(MATRJD,JOD,NOD] DO 1500 I=1,3 BO 1500 J=1,3 JQ ( I ] =SNGIJ (JOD (

1:

1

) MATRJ(r,J)=SNeL(MATRJD(I,J)) NO (J I )=SNGJ, (NOD (J, I) ) 1500 C~NTINUE R ~ T U R N END

. . .

c

c

DIT I S DE SUBROUT~NE VOOR BET UITREKEN~N VAN DE EIGEN VECTOREN

C SUBROUTINE EIGENV(M~TRJD~JODrNO~) TNTEGER*4 K DO 1000 K=1,3 DO 10 I=1,3 DO 10 J=1,3

REAL*8 A( 3 3) rblATRJB (3 r 3) r NOD( 3 13) JOD ( 3 ) 8 LR12 LR1 3 LR23 8 NORM

IF (1.EQ.J) GOTO 5 GOTO 10 10 CONTINUE 20 CONTINUE 30 CONTTNUE W ( I J)=-MATRJD ( I I J) 5 A(I, J)=JOD(K)-MATRJD(I,J) IF (A(2,l)) 20,900,20 IF ( A ( 2 , 3 ) - A ( 2 , 2 ) * A ( 1 , 3 ) / A ( 1 , 2 3 ) 30r900,30 NOD(l,K)=I. NOD ( 3 1 K ) = (A ( 2 2 ) *A ( 1 r 1 /A ( 2 r 1 1 -A ( 2 1 ) ) / (A ( 2 r 3 -A ( 2 2 ) *A ( 1 3 ) & /A( 1 r 2 1 1

NOD (2 K)=-A( 1 8 1 ) /A (2 8 1 ) -A ( 1 3 ) *NOD ( 3 r K) /A ( 1 1 2 )

BiJlage[B3.13] INERTIA/Wim Winkelmolen 900 1 O00 1100 1200 1300 1110 CONTINUE WRITE(l,1110)R CONTINIJE DO 1200 J=1,3 NORN=DSQRT(N0il(l,J)**2+NOD(2,J)**2+N0D(3,J)**2) IF (NORM) 1100,1200,1100 CONTINUE DO 1200 I=l,3 NOn(I,J)=N0n(I,J)/NORM CON" IMUE LR12=0. LRl3=0. LR23=0. DO 1300 I=1,3 LR12=LR12+N0D(Ir1)*NOD(I,2) L ~ l 3 = L ~ 1 3 ~ N O D ( I ; ~ ~ * N O ~ ( ~ , 3 ) LR23=LR23+NOD(3,2)*NOD(I,3) CONTINUE WR~TE(~,ll2O)LRl2,LRl3,LR23

FORMAT('DE 'fI1,'-DE EIGENVECTOR IS NIET UIT GE REKEN^ O N ~ A T ER

&ANDERS DOOR NUL GEJ'lEELD ZOU MOETEN WORDEN.')

1120 FORMAT('DE INP~ODU~TEN VAN DE VECTOREN 1-2,l-3 EN 2-3

&ZIJN RECP.:'rE12.5,' ',E12.5,' EN 'rE12.5)

RETURN

END

. . .

c

c

C IN DEZE SUEROUT~NE WORDT EEN UITVOERFILE GECREEERD.

C

$IN~ERT S ~ S C O M > A ~ ~ E ~ S

SUBROUTINE C R F I L E ( M ~ f ~ I G ~ , F , I ~ r N A T R J r J O f N O )

IMTEGER'2 NAAM(36)

REAL ~B,MHl(s),GE(3),F(6),IB(6) ,MATRJ(3,3),JQ(3) rNO(313) CALL 0 ~ V ~ ~ A ~ ' N A A ~ UITVOERFILE',INTS(lS),B$WRfT,MAAM,

&INTS ( 32

1

,

INTS ( 1 ,A$VNEW

,

IMTS ( O )

,

INTS ( O ) )

WRITE~5,5)M~

WRITE(5,20)((F(I),1[E(I)~,~=l,S) WRITE(5130)~(NATRJ(IIJ)IJ=1,3!:I-1:3!

WRITE(5,1Q)((~(I),GB(I)),I=1,3)

WRITE( 5840) (JO( I f I=l r3), ( (MO( J, K) IK=lI3) r J=l i 3)

CALL CLOS$A ( INTS f 1 ) )

5 FQRMAT('M~ = ',E12.5,//)

10 FORMAT('Mx = ',E12.5,10X,'Xgb = ',E12.5/'My = '

&,E12.5,10X,'Ygb = ',E12.5/'Mz = ',E12.5,10Xl'Zgb = ',Eí2.5)

20 FORMAT(//'Tl = ',E12.5,10X,'I~~l = ',E12.5/'T2 = ',E12.5,10X,

& ' T x x ~ = ',E12.5/'T3 = ',E12.5,lOX,'Iyyl = ',E12*5/'T4 = '1E12.5, &10Xr'Iyy2 = ',El2.5/'T5 = ',E12.5,10X1'Izz1 = ',E12.5/

&IT6 = ',E12.5,10X,'Izz2 = ',E12.5)

30 FûRMAT(//'MATRIX J = ',E12.5,5X,E12.5,5X,E12.5/llX,El2.5,

&5X,E12.5,5X,E12.5/11X1E12.5,5X1E12.5,5X~E12.5)

40 F O R ~ ~ ( / / ' ~ O O F D T R A A G H E D E N ' / ' J1 = ',E12.5/' J2 = ',E12.5/

& ' J3 = ',E12.5//'(nl1n2,n3) = '

& 5 X , E l 2 . 5 , 5 X , E 1 2 . 5 / 1 3 X ~ E l 2 . 5 , 5 X , E 1 2 . 5 , 5 , 5 X , E l 2 . 5 ~ RETURN END C C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * C C C C

* * * *

DIT IS DE SUBROUTINE VOOR HET BEPALEN VAN DE MATRIX J UITGAANDE VAN DE TRAAGHEDEN IB1 T/M IB6 EM DE HOEKEN ALPHA, BETA EN GAMMA.

SUBROUTINE ~ T R I ~ ( A L P ~ A f B E T A ~ G ~ M M A ~ I B f ~ T R J ) REAL A L P ~ A ~ B E T A r ~ A ~ M A , I B ( 6 ) , ~ A T R J ( 3 , 3 ) M A T R J ( 1 , ~ ~ ~ - ~ - I B ~ 4 ~ + ( C O S ~ B E T A ) ) * * 2 * 1 ~ ( 3 ) ~ ( S I N ( B E T A ) ) * * 2 * I B ( l ) ) MATRJ(2,3)=-(-IB(6)+(COS(GA~~~)**2*IB(5)+(SIN(~A~A))**2*IB(3)) ~ATRJ(3,1)~-(-IB(2)+(CQS~ALPHA))**2*IB(1)t-(SIN(ALPHA))**2*IB(5)) MATRJ(2,1)=MATRJ(lr2) M A T R J ( 3 , 2 ) = ~ ~ T R J ( 2 ~ 3 ) MATRJ(lf3)=MATRJ(3,1) ~ A T R ~ ( ~ , l ) ~ I B ( l ) MATRJ(2,2)=IB(3) MATRJ(3,3)=TB(S) R ~ T U R N END

& /(2*COS(BETA) *SIN(BETA) )

& / ( 2 * C ~ S ( ~ ~ ~ A ) *SIM(GAMMA) )

EIJLAGE CB3.151

UITVOERFILE BEHORENDE BIJ EEid PROEFMETING

N b = 0.10130E O1 Ex = 0 . 1 4 5 8 0 E O1 My = 0 . ?28?0E O 1 Ijl2 = O.97630E o0 m J . ? = 0.:1680E 01 T 2 = 0.1053OE O1 T3 = O . I ' i 7 2 0 E O 1 T4 = 3 . 1 1 7 5 C E O 1 T5 = 0.1668OE O1 '66 = O.lO60OE O 1 N A T R I X 3 = 0.53292E-02 -0.42635E-03 -0.10597E-02 (a?l,n2,n3) = 0.71536E O 0 -0.67932E GO - 0 . 1 6 3 6 7 E 00 Xgki = 0.13732E-O2 Ygb = 0.44379E-02 Z g b = 0 . 9 7 8 7 7 E - 0 1

1 ~ x 1

= 0.53292E-02 1 ~ x 2 = 0.43217E-02

1 ~ ~ 1

= 0.55178E-O2 Iyy2 = 0.58420E-02 rzzi = c . I I ~ ~ ~ E - G ~ 1222 = 0.32567E-02 -0.41635E-03 0.55178E-02 0.446956-04 0.23350s 00 0.32631E-O1 0.97229E 00 -0.?0597E-02 0.44595E-04 0.11497E-02 0 . 6 5 8 5 9 E 00 0.73375E 00 -0.16694E 00

i i 1

-

--

I L-

I;

o

-

'/ I

I-

' U a 1 - c c 3 - - ,.Y -i

0

N I # I I -1

A

-3 ,- u J ,