Hoofdstuk 2:
Overige verbanden.
1.
a. 0, 4p2 p 1,3 0 2
D ( 1) 4 0,4 1,3 1,08 0 dus geen oplossingen. b. 0, 4p2 p 1,3 1,3 2 0,4p p p(0,4p 1) 0 p 0 0,4p 1 p 0 p 2,5
c. De top ligt precies in het midden van deze punten: p 1,25
d. De grafiek van A is een dalparabool (omdat 0,4 0 ). Er is dus sprake van een minimum. e. A(3) 0,4 3 2 3 1,3 1,9 f. 0,4p2 p 1,3 0,9 2 2 0,4p p 0,4 0,4(p 2,5p 1) 0,4(p 2)(p 0,5) 0 p 2 p 0,5 2. a. 1 1 3 5 8 b. f(3) f(2) 1 en f(4) f(3) 1 (f(2) 1) 1 f(2) c. x 3 , daarvoor daalt de grafiek en daarna stijgt de grafiek.
d. Een dalparabool: het toenamediagram gaat van negatief (dalend) naar positief (stijgend). e. A is een bergparabool (vanwege de x2).
Parabool B heeft een top bij x 3 en parabool C heeft de top bij x 3 .
3.
a. t 0 : h(0) 180 . De toren is 180 meter hoog. b. gemiddelde snelheid h(3) h(1) 255 215 3 1 2 20 m/s 72km/u c. De snelheid is dan 0.
d. Vanaf tijdstip t 4 gaat de pijl naar beneden. e. h 0 2 180 40t 5t 0 Voer in: 2 1 y 180 40x 5x zero: x 11,21 s f. dy (11,21) 72
dx . De snelheid op tijdstip t 11,21 is ongeveer 72 m/s.
4. a. 4000 min 9 24 v 18,5 km/u b. 4000 40 P 5000 €500.000, c./d. TK B P 1150 v2 5000 4000 1150 v2 2 107 v v TK(45) €2.773.194, TK(30) €1.701.667, TK(18,5) €1.474.669,
e. xMin 18 en xMax 45 zoom zoomFit
f./g. Tk is minimaal € 1.458.883 bij een snelheid van 20,56 km/u.
v (in km/u) TK (in euro's) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -5 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000
5.
a. A 400 2,67 29150 2,67 46800 25.221 auto’s.
b. De totale opbrengst is dan 25.221 2,67 € 67.340,07
c. TO T A T (400T 29150T 46800)
400T39150T246800T
d.
e. Bij een toltarief van € 3,25 is de totale opbrengst maximaal € 69184, 38
f. 1,06 0,972 1,03032
De totale opbrengst is met 3,032% toegenomen.
6.
a.
b. 0,2x4 10 4
x 50 heeft twee oplossingen.
c. x3 10 heeft één oplossing en 5x0,17 10 heeft ook maar
één oplossing. 7. a. A: 3x5 10 B: 4 3x 3,7 12 C: 5x0,7 20 1 5 5 1 3 1 3 x 3 x ( 3 ) 1,27 3,7 3,7 2 3 3x 8 x 2 1 0,7 0,7 x 4 x 4 0,14 2 3,71 3 x (2 ) 1,30 b. Omdat x6 0 voor alle waarden van x.
8. a. 5 1 2 22 uur. b. 3 1 2 E 0,15 2 2 3 joules. c. 3 1 2 0,15 v 2 d. E 0,15 v 1 0,15 v 3 3 1 3 3 2 3 2 3 v 26 v (26 ) 2,99 km / u 1 1 1 1 3 3 3 3 3 1 2 0,15 3 2 2 3 3 E v E 6 E 0,15 v (6 E) (6 ) E 1,88 E 9. a. TK 25 500 0,64 €1334,38
b. TK 25 501 0,64 €1336,09. De extra kosten zijn € 1,71
c. De extra opbrengst is: 78 501 0,578 500 0,5 € 1,74
d. De opbrengst neemt meer toe dan de kosten. e. W TO TK 78 q 0,525 q 0,64 T (in euro's) TO (in euro's) 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 12500 25000 37500 50000 62500 75000 -12500 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 A P K q (in liters) winst (in euro's)
100 200 300 400
10.
a. Als T toeneemt, nadert 20000 T 2 naar 0. Het percentage verfrissing gebruikers komt dan
steeds dichter bij 100%. b. 100 20000 T 2 50
Voer in: 2
1 2
y 100 20000 x en y 50 intersect: x 20
Bij een temperatuur van 20oC gebruikt 50% van de bezoekers een consumptie.
c. P 100 20000 25 2 68% d. W 0,68 160 1,50 €163,20 e. W P 160 1,50 2,4 (100 20000 T ) 240 48000 T2 2 100 f. W 240 48000 T 2(10 4T) 230 48000 T 24T
g. Bij een temperatuur van 28,8oC is de winst maximaal € 56,93 11. a. 1 2 R( 2 , 4) b. 2x 5 0 1 2 2x 5 x 2 en y 0 4 4
c. Omdat de vergelijking 9 x 2 0 twee oplossingen heeft, namelijk x 3 en x 3 .
d. (-3, 0) en (3, 0). 12. a. 50 4 1 P 1,30 € 11,30 per raam. b. 50 400 1 P 1,30 € 1, 42 per raam.
c. Bij 4 ramen betaal je totaal 4 11,30 € 45,20 en bij 400 ramen: 400 1, 42 € 568,
d. 50 A 1 1,30 2,55 50 A 1 50 1,25 1,25 A 1 40 A 39
e. Als het aantal ramen heel erg groot wordt, wordt 50
A 1 heel erg klein (bijna 0). De prijs per raam
komt steeds dichter bij € 1,30 te liggen.
13.
a. Voor A 200 worden de kosten negatief. A mag ook niet 200 zijn, want dan is de noemer 0. Het aantal blokken dat vervoerd moet worden is natuurlijk groter dan 0.
b. Als A groter wordt, wordt de teller ook groter en de noemer wordt kleiner. De kosten nemen dan dus toe.
c. 172 (70 16)
200 70
K € 113,78
per uur. Dat is dan € 1,63 per blok. Bij 35 blokken per uur zijn de kosten 172 (35 16)
200 35
K € 53,16
, ofwel € 1,52 per blok. d. B K 1 172(A 16) 172(A 16)2
A A 200 A 200A A
14.
a. Bij een temperatuur van -27,4oC is de snelheid van het geluid 313,95 m/s en bij T 38,6 is
V 353,63 m/s. Het verschil is ongeveer 39,68 m/s.
b. 15 6,5 273 273 T 15 6,5h V 331 1 331 1 331 1 h 331 1,0549 0,0238h 273 273 c. 331 1,0549 0,0238h 340
Voer in: y1 331 1,0549 0,0238x en y 2 340 intersect: nooit. d. 90% van de geluidssnelheid is 270,8 m/s. De geluidssnelheid moet dan 270,8
90 100 300,89 m/s.
Voer in: y1 331 1,0549 0,0238x en y 2 300,89 intersect: x 9,603 Het vliegtuig mag dan tot 9,6 km hoogte vliegen.
15.
a. s(1,5) s(1) 2, 43 km. b. s(4,5) s(4) 0,71 km.
c. In het tweede uur heeft het autootje s(2) s(1) 4,15 km afgelegd. De gemiddelde snelheid is 4,15 km/u.
d. Voer in: y1 6 13,8 logx dy (5) 1,20
dx km/u.
16.
a. 3log103log7 3log70
b. 5log a 3 log2 5 5log a5log23 5log8a
c. 3 1 3 3 3 12 3 15 3
2 5
log15 log25 log15 log25 log log3 1 d. 3 loga2 2log5a2loga32log5a 2log(5a a ) 3 2log5a4
17.
a. g 1 dus de grafiek van N is stijgend.
b. 1. 26 1,69 t 750 2. 26 1,69 t 0,075 t 750 26 1,69 1,69 28,8 t log28,8 6,41 0,075 t 26 1,69 1,69 0,003 t log0,003 11,15 18. a. N 0,2 4 t b. N 5 3 2t t 1 0,2 4 N 4 N 5N 0,2 t log5N 2t 1 5 3 N 3 N 0,2N 5 2t log0,2N 3 1 2 t log0,2N 19. a. 100 0,75 d 50 b. 100 0,75 d 25
c. P 100 0,75 d 1 100 0,75 1 100 P 0,75 P 100 d log P
d. Natuurlijk moet d 0 vanwege het domein van de logaritmen.
0,9
20 2 logd 0 Voer in: 0,9
1
y 20 2 logx zero: x 23,59 De formule heeft betekenis voor 0 d 23,59 .
e. A 60 2 0,9logd 0,9log0,960 0,9logd2 0,9log0,0018 0,9logd2 0,9log0,0018d2
20. a. D 43 20 63 b. 28logv 16 36logv 4 1,68 28logv 16 63 28logv 47 logv 1,68 v 10 47,7 km / u 1 2 1,5
36logv 28logv 8logv 12 logv 1 v 10 31,6 km / u c. 28logv 16 36logv 4 3 1,875
36logv 28logv 8logv 15 logv 1,875 v 10 75 km / u d. D(80) D(40) (28log80 16) (28log40 16) 8, 43 dB
e. D2v 36log2v 4 36(log2 logv) 4 36logv 4 36log2 D 10,8 v
21.
a. De verticale as is logaritmisch. Dus één hokje omhoog komt overeen met een vermenigvuldiging met 10. Als de x met 1 toeneemt gaat de lijn 2 hokjes omhoog, dus een vermenigvuldiging met
10 10 100 b. De groeifactor is constant. c. g 100 d. 101 10 e. y 10 100 x 22. a. y 316 0,056 0 316 (0, 316) b. 10p 316 p log316 2,5 c. 1 10 0 d. 316 0,056 x 1 x 0,056 0,00316 x 2 e. f. y 0,1 46 0 0,1 (0, 10-1) 2 2,3 y 0,1 46 211,6 10 (2, 102,3) x
y 0,1 46
xy 316 0,056
23.
a. De grafiek is een rechte lijn op logaritmisch papier. b./c. g2 96006144 0,64 0,5 x 1 x g 0,64 0,8 y b 0,8 9600 b 0,8 0,8b b 12000 y 12000 0,8
d. De grafieken zijn evenwijdig, dus de groeifactoren zijn gelijk.
x x y b 0,8 50000 0,8b b 62500 y 62500 0,8 24. a. 10p 60109 p log60109 4,78 b. (3, log9984 4 ) en (6, log1689 3,2) c. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn
op logaritmisch papier. d. g3 99841689 0,17 1 3 t g 0,17 0,553 A 60109 0,553 e. B b 1,30 t 2 3400 1,69 t 3400 b 1,30 b 2012 B 2012 1,30 f.
g. Na iets meer dan 4 jaar zijn er van elk soort evenveel dieren.
25.
a. De punten liggen op logaritmisch papier vrijwel op een rechte lijn. De groei is dan exponentieel. Het aantal ransuilen neemt dan per jaar met een vast percentage toe.
b. De groeifactor per 22 jaar is 100020 50. De groeifactor per jaar is 1 22
8,9 1,19. Het aantal ransuilen nam in die periode met 19% per jaar toe. De beginwaarde is 20.
c. R(14) 20 1,19 14 228 en dat is meer. d. R(0) a b 0,6 0 a b 178 e. R(2) a b 0,6 2 a 0,36b 205 f. b 178 0,36b 205 0,64b 27 b 42,19 en a 220,19
26.
a. Het minimale hersengewicht is 102,5 316 g en het maximale gewicht 103,5 3162 g.
b. De horizontale as is ook logaritmisch.
c. Het te verwachten hersengewicht is VH 12,3 70 0,67 211,9 gram.
Dat wijkt 1260 211,9211,9 100% 495% af van 1260 gram.
d. 12,3 L 0,67 1260 Voer in: 0,67 1 y 12,3 x en y2 1260 intersect: x 1001,6 kg. 27. a. 14000 80 Groningen 14000 80 240 N 207 28 1800 46 Haren 1800 46 240 N 140 28 b. 15800126 gemeente 15800 126 240 N 196 28
. Dit heeft voor de gemeente Groningen nadelige gevolgen. c. Als d heel erg groot wordt, komt N steeds dichter in de buurt van 240.
De horizontale asymptoot is: N 240 .
28.
a. De levensduur van koper is ongeveer 313 108,7 10 66 36 jaar. Dat is ongeveer 42036 11,7 zo groot als de
levensduur van chroom.
b. Vkoper 8,7 10 1,058 6 t en Vchroom1,9 10 1,033 6 t koper chroom V 6 V Voer in: 6 t 6 t 1 2 y 8,7 10 1,058 en y 11,4 10 1,033 intersect: x 11,3
Vanaf 1982 is het jaarverbruik van koper minstens 6 keer zo groot als dat van chroom.
c. * 230 log(420 3,3 100) 460
3,3
L 81,7
De voorraad chroom is dan in 2052 uitgeput. d. 30 230 log(L 6,1 100) 460
6,1
(mag ook met GRM opgelost worden)
2,80 230 log(6,1 L 100) 460 183 230 log(6,1 L 100) 643 log(6,1 L 100) 2,80 6,1 L 100 10 625 6,1 L 525 L 86 jaar
T_1. a. V 0,01 0 2400 400 liter. b. 0,01 t 2400 4000 2 2 0,01 t 3600 t 360.000 t 600 t 600
De formule heeft betekenis voor 0 t 600 seconden. (dan is het reservoir vol) c. 3600 liter in 600 seconden. De gemiddelde vulsnelheid is 6 liter/sec.
d. eerste 100 s: V(100) V(0) 500 400 100 100 1 liter/sec. laatste 100 s: V(600) V(500) 4000 2900 100 100 11 liter/sec. T_2. a. P 0, 4 6 8 3 0,75 411 Watt.
b. P 0, 4 6 16 3 0,75 691 Watt. Het vermogen is met 691 411
411 100% 68% toegenomen. c. 0, 4 v 10 3 0,75 700 1 3 3 3 2,25 v 700 v 311 v 311 6,78 m / s T_3.
a. Als het aantal geproduceerde schaatsen zeer groot wordt, worden de gemiddelde kosten ongeveer gelijk aan: GK 200q 12000 200q 200
q 10 q
. Bij een grote productie worden de gemiddelde kosten per paar schaatsen ongeveer €
200,-b. 200 20 12000
20 10
GK € 533,33
c. De totale kosten worden dan 20 533,33 € 10666,67 . d. TK GK q 200q 12000 q 200q 12000q2 q 10 q 10 e. 200q2 12000q 25000 q 10 2 2 2 ABC formule 200q 12000q 25000(q 10) 25000q 250000 200q 13000q 250000 200(q 65 1250) 0 q 15,5 q 80,5
De producent kan 80 paar schaatsen produceren.
T_4. a. P 10 15 log(0 1) 10% . b. 10 15 log(x 1) 20 2 3 15 log(x 1) 10 log(x 1)
92.000,-c. d.
e. Het rendement wordt steeds kleiner omdat de grafiek van P steeds minder snel stijgt.
T_5.
a. G 10 1,5 31,6; ongeveer 32 gram.
b. Na 10 weken weegt de courgette ongeveer
2,95
10 891 gram.
c. Omdat de verticale schaal logaritmisch is.
d. De toename in perioden van 5 weken is resp. 102,5101,5285, 102,95102,5 575,
3,05 2,95
10 10 231, 103,07103,05 53 en 103,1103,07 84. In de tweede periode van 5 weken is
de gewichtstoename het grootst. e. 1900 0 1900 321 k 1 k 0,68 1900 32 1 k 59,375 k 58,375
f. Als t heel erg groot wordt, nadert k 0,68 t naar 0. Het gewicht zal steeds dichter bij 1900
gram uitkomen. T_6. a. L 6 : O 2 6 2 72 dm2. b. V 0,1 6 3 21,6 en G 0,2 21,6 4,32 kg. c. L 14 : V 0,1 14 3 274, 4 en G 0,2 274,4 54,88 kg. d. G 0,2 V 0,2 0,1 L 3 0,02 L 3 e. 0,02 L 3 80 1 3 3 2 2 L 4000 L 4000 15,87 en O 2 15,87 504 dm aantal spotjes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 15 20 25 30