Euclides, jaargang 84 // 2008-2009, nummer 8

Hele tekst

(1); K 9 B ? : ; I l W a X b W Z . l e e h . Z [ . m _ i a k d Z [ b [ h W W h. ` k b _ & / d h. .. ` W W h ] W d ] . *. H[a[dlWWhZ_]^[_Z _d^[jlcXe M_iakdZ[Xe[a leeh'#]oc ;lWbkWj_[ [nWc[dfhe]hWccW¼i EfX[pe[aX_`± H[a[dLEehj HI7#Yhofjeioij[[c" Z[[b( @WWhl[h]WZ[h_d]% IjkZ_[ZW](&&/. ?dj[hl_[mc[j CWh`W8ei. Eh]WWdlWdZ[D[Z[hbWdZi[L[h[d_]_d]lWdM_iakdZ[b[hWh[d.

(2) 9EBE<ED. ` k b _ & / d h. .. `WWh]Wd] .* Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar. ISSN 0165-0394. H[ZWYj_[ Bram van Asch Klaske Blom, hoofdredacteur Rob Bosch Hans Daale Dick Klingens, eindredacteur Wim Laaper, secretaris Marjanne de Nijs Joke Verbeek. ?dp[dZ_d][dX_`ZhW][d Artikelen en mededelingen naar de. D[Z[hbWdZi[L[h[d_]_d] lWdM_iakdZ[b[hWh[d. B_ZcWWjiY^Wf. Westerdoksdijk 39, 1013 AD Amsterdam E-mail: redactie-euclides@nvvw.nl. Website: www.nvvw.nl. De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor. H_Y^jb_`d[dleehWhj_a[b[d. Leehp_jj[h. - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00. Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in. Marian Kollenveld,. - studentleden: € 28,00. drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op. Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk. - gepensioneerden: € 35,00. papier aanleveren: genummerd, scherp contrast.. Tel. (070) 390 70 04. - leden van de VVWL: € 35,00. Zie voor nadere aanwijzingen:. E-mail: voorzitter@nvvw.nl. Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50. hoofdredacteur: Klaske Blom,. - leden: € 57,50. Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te. . www.nvvw.nl/euclricht.html. ; K 9 B ? : ; I . Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.. I[Yh[jWh_i. H[Wb_iWj_[. geven bij de ledenadministratie.. Kees Lagerwaard,. Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.. Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk. Eindhovensingel 15, 6844 CA Arnhem. en mailingservices. Tel. (026) 381 36 46. 7Xedd[c[dj[dd_[j#b[Z[d. De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v.. E-mail: secretaris@nvvw.nl. Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende. Veenendaal, www.dekleuver.nl. nummer.. B[Z[dWZc_d_ijhWj_[. Niet-leden: € 55,00. Elly van Bemmel-Hendriks,. Instituten en scholen: € 140,00. De Schalm 19, 8251 LB Dronten. Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50. Tel. (0321) 31 25 43. Betaling per acceptgiro.. E-mail: ledenadministratie@nvvw.nl. 7Zl[hj[dj_[i[dX_ìbk_j[hi >[bfZ[iah[Y^jifei_j_[. De Kleuver bedrijfscommunicatie bv:. NVvW - Rechtspositie-Adviesbureau,. t.a.v. Annemieke Boere. Postbus 405, 4100 AK Culemborg. Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal. Tel. (0345) 531 324. Tel. (0318) 555 075 E-mail: a.boere@dekleuver.nl.

(3) ; K 9 B ? : ; I ? D>EK:. QAbWia[8becS. Examens en diploma-uitreiking achter de rug, schooldeur achter u dicht getrokken en leerlingen uit uw hoofd gezet, ik hoop dat u zich inmiddels in zeeën van tijd en ruimte bevindt. Als uw tassen al gepakt staan, is er dan nog een klein gaatje voor Euclides? Het is een mooi nummer geworden vind ik, dit laatste nummer van jaargang 84. Of het geschikt is om door te bladeren als u zwetend en tobbend met opwaaiend zand aan het strand ligt, dat betwijfel ik. Maar, met een glaasje rosé erbij in het zonnetje op een lekker terrasje, wachtend tot de rest van de familie terugkeert uit het veel te volle zwembad, dat kan ik me wél goed voorstellen! Papier en een potloodje heeft u vast altijd wel bij de hand en bovendien kan een bierviltje goede dienst bewijzen als u nog eens wat wilt doorrekenen.. . 277 278. 281 :[_dêkZ. Het tweede deel over zwakke sleutels in het RSA-cryptosysteem vraagt om enige inspanning en misschien een wat groter papier dan een viltje om het echt te volgen; wie weet, brengt het u op ideeën voor een interessant onderwerp voor een profielwerkstuk. Verder vindt u in dit nummer berichten over actuele zaken zoals over de gehouden tussenevaluatie van de 2007- examenprogramma’s. Namens de projectgroep cTWO doet Hielke Peereboom hierover verslag. Dit stuk is geschreven voordat de examenresultaten bekend waren. U kunt nu uiteraard de verwachtingen over de examens vergelijken met uw eigen opgedane ervaringen. Gert de Kleuver, projectleider van Reken VOort, komt met een eerste bericht over de stand van zaken, en in de bijdrage van Kees Buijs kunt u lezen over een project van de SLO waarin onderzocht wordt op welke manier de rekenvaardigheden van vmbo-leerlingen versterkt kunnen worden. Rekenonderwijs, het heeft weer volop onze aandacht. In dat kader wil ik u nu vast wijzen op een studiemiddag op 25 september a.s. over goed reken-wiskundeonderwijs, georganiseerd door de NVORWO (zie verder www.nvorwo.nl; halverwege de home-pagina). Terug naar de inhoud van dit nummer: twee interessante boeken over 6000 jaar geschiedenis van de wiskunde worden onder de aandacht gebracht door Jan Broeders; opvallend in beide boeken is de prachtige collectie postzegels als illustratie. Over een ander mooi boek gaat de bijdrage van Nora Blom en Bart Zevenhek: uit onvrede met recente onderwijsontwikkelingen is de sectie van het Barlaeusgymnasium een zoektocht begonnen naar goed onderwijsmateriaal; een tocht die resulteerde in een, beter bij hun leerlingen aansluitend, boek voor de 1e klas. Op internet is het vrij toegankelijk en in hun artikel beschrijven de auteurs het ontwikkelproces en de achtergronden bij deze methode. Inspirerend stuk! Ook uit onvrede is de oproep van Hessel Pot ontstaan. Hij roept u op om te reageren op de vraag op een verhouding wel of niet hetzelfde is als een breuk. Misschien dat ook uit die onvrede nieuwe gezichtspunten geboren worden die kunnen leiden tot verbetering. Een kort en krachtig stukje van Yvonne Killian dit keer, naast de bijdragen van onze columnisten Ton Lecluse en Harm Jan Smid. En achterin, op de Verenigingspagina’s, laat Douwe van der Kooi vanaf zijn plaats aan de bestuurstafel ons lezen over zijn specifieke aandachtsgebied binnen het bestuur: alles rondom opleiden en scholing van wiskundeleraren. ?dj[hl_[mi. Blader snel naar het interview gehouden door Marjanne de Nijs om er achter te komen waarom zij met een boeket huiswaarts keerde nadat ze collega’s van AOC-Oost, VMBO Groen onderwijs in Twello had geïnterviewd. En, last but not least, een interview met Marja Bos, een jaar nadat we het nummer MS : MMSS = 1 : MS uitbrachten. Wim Laaper blikt met haar terug op de jaren waarin ze hoofdredacteur van Euclides was. EfdWWhZ[leb][dZ[`WWh]Wd]. Mijn eerste Euclides-jaar zit er op; spannend, enerverend en inspirerend vond ik het. De zenuwen zijn in de loop van het jaar verdwenen en ik heb het als een bijzonder leerzaam jaar ervaren en genoten van de plezierige samenwerking met velen. Graag wil ik hierbij Ton Lecluse en Harm Jan Smid als nieuwe columnisten en Frits Göbel als getrouwe bekende bedanken voor hun mooie bijdragen aan de afgelopen jaargang. Volgend jaar lezen we weer meer van hen. Daarnaast ben ik uiteraard zeer blij met alle auteurs die de moeite hebben genomen om een artikel in te sturen. En, uw inzendingen blijven welkom! En mocht u als vakgroep willen vertellen wat u op school bezig houdt, dan komen we langs voor een interview. Ik hoor het graag. Alle lezers een goede vakantie gewenst.. 286. 289 292. 296 297. 300 301 303 303 304 306. 308. 309 309. 310 311. 313 314 316. . Kort vooraf [Klaske Blom] Marja Bos: ‘Check, check en dubbelcheck’ [Wim Laaper] Werken aan rekenvaardigheid in het vmbo [Kees Buijs] Een nieuwe wiskundemethode voor het gymnasium? [Bart Zevenhek, Nora Blom] Het Geheugen [Harm Jan Smid] Hoe staat het met de algebraïsche vaardigheden in de Tweede fase? [Hielke Peereboom] Grenslengte [Yvonne Killian] Wiskundeonderwijs in de dagelijkse praktijk [Marjanne de Nijs] Mededeling Vanuit de oude doos [Ton Lecluse] Naschrift bij ‘de oude doos’ [Dick Klingens] Mededeling Reken VOort [Gert de Kleuver] Zwakke sleutels bij het RSA-cryptosysteem, deel 2 [Benne de Weger] Oproep / Is een verhouding wel of niet hetzelfde als een breuk? [Hessel Pot] Erratum Euclides 84-7 Boekbespreking / 6000 Jahre Mathematik [Jan Broeders] Mededeling De kennisbasis in de lerarenopleidingen [Douwe van der Kooi] Jaarvergadering/Studiedag 2009 [Marianne Lambriex] Recreatie [Frits Göbel] Servicepagina. (--. LWaWdj_[dkcc[h. ; K 9 B ? : ; I . * r . . A EHJ LEEH7< .

(4) C Wh`W 8ei 0 » 9 ^ [Y a " Y ^[ Ya [d Z kX X [bY ^ [Y a ¼ ?DJ;HL?;M C;J : ; ;N# > EE< : H ; :79 J ;K H L7 D ; K 9B?:;I QM_cBWWf[hS. ; K 9 B ? : ; I . * r . . (-.. ?aX[dedZ[hm[]dWWh^[jdeehZeeij[dlWd^[jbWdZ"dWWhMWY^jkc"Z_Y^jX_` ;cc[d$H_`Z[dZZeeh:h[dj^[lWbb[dZeehZ[]he[_[dZ[l[h][p_Y^j[dWbb[ X[ibecc[h_d][dlWd`[W\[dah_`]`[hk_cj[leehX[if_[][b_d][del[h^[j l[hb[Z[d";kYb_Z[i"Z[edjm_aa[b_d][d_d^[jm_iakdZ[edZ[hm_ì"Z[dkWdY[[d[[d ]e[Z[_d\ehcWj_[leehp_[d_d]$:WWh_dZWjab[_d[Zehf`["_d^WWh^k_ic[jdWWhWbb[ aWdj[dm[_Zi[k_jp_Y^j[d"jh[\_aCWh`W8ei"Z[lhekmZ_[p[l[d`WWhêe\Zh[ZWYj[kh mWilWdedilWaXbWZ;kYb_Z[i$. Het is al weer een tijd geleden dat je als hoofdredacteur bent begonnen, mei 2001. Wat stond je voor ogen toen je begon? Even graven, hoor. Ik was er zelf niet op af gekomen. Ik kreeg een telefoontje van Wim Kuipers, bestuurslid van de NVvW. Hij had gehoord dat ik in Groningen gestopt was aan de universiteit. Dus hij dacht: ‘Die heeft mooi tijd over.’ (Gniffelend gelach breekt los.) Ik heb toen natuurlijk eerst maar eens contact opgenomen met Kees Hoogland, de toenmalige hoofdredacteur. Hem gevraagd wat zo iemand nou allemaal doet. Het leuke ervan, leek mij, was om op die manier toch weer wat dichter bij actuele ontwikkelingen in het land te zitten. En het leek me ook aantrekkelijk om zo wat dichter bij vakdidactisch onderzoek en vooral ook de vakdidactische praktijk te kunnen blijven. En ik vind het ook altijd wel nuttig om mensen te informeren. Om op die manier door het maken van een tijdschrift wat diepgaander met wiskundeonderwijs bezig te zijn dan alleen door je lespraktijk, hoeveel plezier ik daar ook aan ontleen. Daarvoor gaf je les in Groningen, aan de universiteit. Ja, ik was daar negen jaar wiskundedidacticus/lerarenopleider, bij Anne van Streun, naast m’n leraarsbaan op het Carmelcollege, m’n school in Emmen. Een fantastische combi-baan. Daarnaast was ik op dat moment 13 jaar lang schoolboekenschrijver en eindredacteur geweest, eerst van de methode Wiskunde lijn en later, na het samengaan, van Moderne wiskunde. Daar. was ik op dat moment ook net mee gestopt. Dat is ook heftig, een methode schrijven. Veel druk van deadlines, en regelmatig rechtstreeks vanuit school een weekend een hotel induiken met een medeschrijver om eindredactiewerk te doen. Wel ontzettend leuk. Je probeert toch je vakdidactische ideeën om te zetten in tastbare praktijk. Soms lukt dat wel en soms ook niet. Schrijven vind ik dus ook leuk, al heb ik dat als hoofdredacteur betrekkelijk weinig gedaan. Ik vond het persoonlijk niet zo nodig, niet zo wenselijk, dat de hoofdredacteur zelf allerlei stukken schrijft voor het ‘eigen’ tijdschrift. Met het hoofdredacteurschap kon ik mijn leraarsbaan in voor mij mooie, verdiepende zin aanvullen. Idealen? Idealen – een missie? Dat klinkt wel erg pretentieus, maar ik vind het bijvoorbeeld van groot belang dat mensen goed geïnformeerd worden. Wat dat betreft vind ik het jammer dat collega’s in het land niet altijd de tijd kunnen vinden of de tijd nemen om goed betrokken te zijn bij wat er speelt. Van alles over je vak lezen, naar bijeenkomsten gaan. Ook buiten de school om, buiten de directe kring van sectiegenoten met elkaar praten en nadenken over wiskundeonderwijs. En dat kun je natuurlijk met zo’n blad proberen een beetje te bereiken. Met elkaar nadenken over mogelijke verbeteringen van ons wiskundeonderwijs, op basis van argumenten. Het is belangrijk dat die discussie zuiver en open gevoerd wordt – in Euclides en daarbuiten.. CWh`W8ei. En dat er waarschijnlijk geen eenduidige oplossingen bestaan, dat zij dan zo. De huidige discussie over het rekenen wordt nu van beide kanten bijna op de persoon gespeeld, en allerlei emoties spelen ondertussen een rol. Het moet gaan om de argumenten als zodanig! In die discussie blijkt trouwens regelmatig dat niet iedereen precies weet wat met ‘realistisch wiskundeonderwijs’ bedoeld wordt, hoe die theorie in elkaar steekt – steeds weer worden vooral de realistische contexten als karakteristiek naar voren gehaald, en dat aspect raakt niet de kern van de zaak. Dat is ook een probleem. En ook, dat mensen denken dat realistisch wiskundeonderwijs strijdig zou zijn met oefenen. Dat is niet waar, al is dat oefenen destijds niet echt gestimuleerd en is het er daardoor in de praktijk op scholen misschien wel vaak bij in geschoten. Ik vind het ook heel jammer dat in de hitte van de strijd sommige mensen op dit moment beweren, denken, dat wiskundedidactiek niet van belang is. Didactiek is volgens mij wel degelijk belangrijk. Er.

(5) Graag met. Nu even over de belangrijkste veranderingen in jouw periode bij Euclides. Welke zijn dat? Is de inhoud veranderd? Ik denk dat je dit soort vragen beter aan anderen kunt stellen. Die kunnen daar beter over oordelen dan ik. Ik heb wel van alles geprobeerd maar of dat allemaal zo zichtbaar is geworden? Ik heb bijvoorbeeld geprobeerd om het bereik van Euclides wat te verbreden richting vmbo-docenten. Dat is wel een béétje gelukt, maar ik ben er toch niet echt. Heb je spijt gehad van je beslissing om te stoppen met Euclides? Ik heb die beslissing weloverwogen genomen, me al wel realiserend dat ik het werk ook heel erg zou missen – daar hoort geen spijt bij. Ik stopte als hoofdredacteur ten eerste omdat ik toe was aan wat meer tijd voor mezelf. Ten tweede: zeven jaar is lang zat. Het is goed dat er weer eens een fris en vrolijk gezicht komt, met nieuwe ideeën. Op dit soort plekken moeten mensen niet te lang blijven zitten. Te kort ook niet want je hebt tijd nodig om je netwerk uit te bouwen, maar ook om bijvoorbeeld samen met je redactie een goedgeoliede werkrelatie op te bouwen, een plezierig-functionerende. eenheid te vormen. Als redactie wil je graag artikelen genereren van allerlei soorten mensen. Dat is het leuke maar meteen ook het lastige. Je kunt relatief eenvoudig aan bijdragen komen van mensen die vanuit hun werk volop gewend zijn artikelen te schrijven: hoogleraren en andere medewerkers van universiteiten, het Freudenthal Instituut, van onderwijsondersteunende instituten zoals het APS, enzovoorts. Anderzijds wil je natuurlijk óók bijdragen die rechtstreeks ‘uit het veld’ komen, maar daar heb je vaak te maken met leraren die wél de ideeën maar niet de schrijfervaring hebben en die zich soms zó bescheiden opstellen dat je heel veel moeite moet doen om ze aan het schrijven te zetten. Je bent er al weer een tijdje uit, sinds de zomer van 2008. Wat mis je? Vooral de inhoudelijke correspondentie over artikelen, het nadenken over het betoog van een ander, m’n pogingen tot kritisch meedenken en het schrijven van commentaren. Als hoofdredacteur beoordeel je van een inzending eerst of je ‘m in principe geschikt acht voor publicatie, al dan niet na bijstelling. Zo ja, dan noteer je voor jezelf je commentaar en stuur je het conceptartikel geanonimiseerd door naar een paar redacteuren en soms ook naar andere referenten. Vervolgens komen zij met allerlei open aanmerkingen; die zaken zette ik dan weer af tegen mijn eigen commentaar en verwerkte ik tot een hopelijk zinnig geheel voor de auteur zodat die een volgende versie kon gaan schrijven. Dat vond ik lastig maar boeiend en ook heel leerzaam om te doen, en dat mis ik wel. En ik mis de mensen natuurlijk. De prettige samenwerking met de redactieleden en de andere Euclides-medewerkers, de contacten met auteurs. Toen je stopte bij Euclides en weer alleen les gaf dacht je zeker ‘Wat zal ik nu eens gaan doen?’ Nee, ha ha, zo was het echt niet. Ik had me streng voorgenomen: ik heb zeven jaar Euclides gedaan, dat was ontzettend leuk, maar ook heel erg tijdrovend, ik was eigenlijk voortdurend met Euclides bezig – het is daarom verstandig om nu even een jaar lang niks extra’s naast m’n schoolwerk te doen en een beetje bij te komen; dan zien we daarna wel weer. En toen vroeg Gerard Koolstra me voor de WiskundE-brief. Tsja, en dan kruipt het bloed toch waar het niet gaan kan, en bovendien was ik altijd al erg gecharmeerd van de WiskundE-brief als. ))( (-/. Van welke eigenschappen van jezelf heb je vooral gebruik kunnen maken als hoofdredacteur en welke hebben je in de weg gezeten? Mijn interesse in de wiskundedidactiek, zowel op de praktijk als wat meer theoretisch/wetenschappelijk gericht, daar heb ik voordeel van gehad. Ik was al wel redelijk goed op de hoogte. Dat kon ik goed gebruiken bij het genereren en becommentariëren van artikelen voor Euclides. Ook was en ben ik geïnteresseerd in actuele ontwikkelingen. En ik hou wel van taal, ik vind het prettig om talig bezig te zijn. Maar ik heb last van het pietepeuterige van mezelf, m’n te grote aandacht voor details. Dat sloeg soms door naar het blijven corrigeren van allerlei kleine tekstdingetjes, werk dat eigenlijk bij de eindredacteur thuis hoort, niet bij de hoofdredacteur, en het blijven natrekken van heel veel zaken, en dat kostte me dan uiteindelijk onevenredig veel tijd. Het is een kwestie van balans. Natuurlijk is het heel nuttig om accuraat te zijn als hoofdredacteur, maar… e-mailtjes opnieuw doorlezen, details in de informatie nog eens op juistheid natrekken – het is noodzakelijk maar het moet wel een keer ophouden. En daar had ik wel moeite mee; ik vind het heel vervelend als ik per ongeluk ergens overheen kijk. Misschien dat ook mijn eindeloze gezeur over nuances me in de weg heeft gezeten. Ik dreig soms te blijven steken in ‘enerzijds/ anderzijds’. Daarmee haal je misschien wel de scherpte uit de discussie. Ik ga eens even iets te drinken inschenken. Met of zonder bubbeltjes?. tevreden over. Deel van het probleem is dat veel leraren in het vmbo zich niet specifiek wiskundedocent voelen; ze geven vaak meerdere vakken en moeten hun aandacht dus spreiden over diverse gebieden, waardoor hun specifieke betrokkenheid bij wiskunde en wiskundeonderwijs natuurlijk automatisch wat kleiner wordt. En binnen deze groep leraren is het extra lastig om mensen bereid te vinden een artikel te schrijven, terwijl ze natuurlijk wél veel te vertellen hebben wat de moeite waard is. Bovendien versterkt het effect zichzelf: als er minder bijdragen vanuit het vmbo in Euclides staan, is het blad minder interessant voor vmbo-docenten, met als gevolg dat…, enzovoorts. Ik heb wel geprobeerd dat te doorbreken, maar dat is me niet goed gelukt. Ik heb er ook naar gestreefd wat meer beschouwende en theoretisch-didactische artikelen in Euclides op te nemen, terwijl vast niet iedere lezer daar even dol op is. Dat zal me dus waarschijnlijk niet altijd in dank afgenomen zijn. En sommige redactieleden vonden dat ik te weinig puur wiskundige artikelen plaatste. Dat zal dus ook wel voor een deel van de lezers gelden. Verder zag ik voor Euclides een ondersteunende, misschien zelfs ‘vormende’ rol (oei!) weggelegd in verband met de vele onbevoegde en onderbevoegde wiskundedocenten die we op dit moment hebben en die zich zo, zonder adequate opleidingsachtergrond, maar moeten zien te redden in de klas. Overigens vind ik dat het niet zo moet zijn dat een hoofdredacteur helemaal inkleurt hoe het blad er uitziet. Dat moet niet; het is geen persoonsgebonden magazine zoals bijvoorbeeld de Linda. Je moet wél een eigen visie hebben op welke kant het uit moet.. ; K 9 B ? : ; I . * r . . wordt wereldwijd behoorlijk veel wetenschappelijk onderzoek gedaan naar juist de didactiek van het schoolvak wiskunde. Er is veel wat nog onderzocht moet worden, maar er is ook al wel aardig veel bekend. Eén ideale didactiek is er misschien niet, maar er is echt wel onderzocht wat bijvoorbeeld het effect is van interactie..

(6) . * r . ; K 9 B ? : ; I . (** (.&. nieuwsmedium. Ik ben uiteindelijk overstag gegaan omdat het beslist minder tijd zou gaan kosten dan Euclides. Ik dacht, het is toch eigenlijk wel heel leuk om op een min of meer journalistieke manier bezig te blijven, mensen te kunnen blijven informeren, en op die manier ook zelf stevig betrokken te blijven bij allerlei ontwikkelingen en discussies. Bij de WiskundE-brief gaat het natuurlijk vooral om het kort weergeven van nieuws en reacties, en niet zozeer om het genereren en inhoudelijk becommentariëren en (laten) bijstellen van artikelen, wat ik juist bij Euclides zo mooi vond aan het werk. Maar aan de andere kant, we doen vanuit de E-brief ook regelmatig een oproep die interessante reacties en discussies uitlokt, waardoor die inhoud als vanzelf toch weer komt bovendrijven. De ontwikkelingen in het wiskundeonderwijs – hoe kijk je daar tegen aan? De laatste decennia domineert het schoolboek ons onderwijs wel heel sterk, vind ik. Veel docenten laten zich grotendeels leiden door ‘het boek’ – eventueel te lezen als ‘het digitale lesmateriaal’. Terwijl jij, als docent, natuurlijk bij uitstek degene bent die het onderwijs hoort vorm te geven. Hou het heft in handen! ‘Het boek’ kun je daar natuurlijk handig bij gebruiken, maar je moet je eigen inbreng, je eigen ambachtelijkheid en professionaliteit niet verwaarlozen. Heel vervelend van het begin van de Tweede Fase vond ik bijvoorbeeld, dat de nadruk zo werd gelegd op zelfwerkzaamheid van de leerlingen – de ‘studiehuisgedachte’ werd wat mij betreft op die manier helemaal verkeerd uitgelegd. Zelfwerkzaamheid werd gezien als een invulling van het begrip ‘zelfstandig leren’, maar dat is echt iets heel anders. De boeken moesten zó geschreven worden dat de leerlingen er zonder docent doorheen konden. Dat klonk wel heel mooi maar dat was het niet. Alles in de opgaven moest voorgekauwd worden, hobbels moesten vooral vermeden worden. Hapklare brokken; brrr. De leerlingen werken de sommetjes vervolgens stuk voor stuk snel af, aan de hand van de studiewijzer – zonder de diepte in geduwd te worden, zonder gedwongen te worden tot bezinning op de leerstof, en dus zonder diepgaande verwerking. Je leert er maar weinig van. Ik maak me ook zorgen over wiskunde C en D. Het zijn prachtige vakken, hoor, maar ik plaats er toch wat vraagtekens bij. En blijven ze overeind? Vier verschillende. wiskundevakken, alleen al voor ’t vwo – dat is nogal wat. Met wiskunde D ben ik trouwens nooit echt gelukkig geweest. Dat vak is indertijd ingevoerd onder het motto dat het een belangrijke aanvulling voor bèta-gerichte leerlingen zou zijn, goed voor de exacte vervolgstudies, en dat geïnteresseerden daar leuk mee aan de slag konden. Nou, dat zie ik dus niet zo. Ten eerste biedt niet elke school het aan. Ten tweede, niet elke potentieel geschikte leerling kiest wiskunde D. De leerling heeft immers veel méér keus. Dan kunnen wij wiskundeleraren wel heel erg op de wiskunde gericht zijn, er bestaat ook nog zoiets als NLT of Informatica, of Biologie voor vwo-leerlingen die de deur naar allerlei medische wetenschappen willen openhouden. Het vak wiskunde D is door het ministerie ingevoerd als een doekje voor het bloeden, toen het ‘heelvak’ wiskunde B12 door OCW ingekrompen werd tot min of meer het toenmalige deelvak wiskunde B1, het huidige wiskunde B. Als je vindt dat onderdelen van wiskunde D belangrijk zijn voor bèta-studies en in het bijzonder voor de wiskundestudie, dan moeten die onderdelen niet in een facultatief, vrijblijvend vak als wiskunde D terecht komen. Die onderdelen zouden dan toch echt deel moeten uitmaken van het voor exacte richtingen verplichte wiskunde B. Dat gaat niet, op dit moment, en daar ligt dus een probleem. Ik vind het in dit kader ook een beetje akelig dat je enerzijds een docent zicht biedt op alle prachtige mogelijkheden van wiskunde D, maar hem of haar anderzijds in de praktijk nogal eens opzadelt met allerlei organisatorische problemen: het gaat vaak om kleine groepen en dus leidt dat al snel tot combinatiegroepen, minder lesuren... Red je maar! Dan dreigt er van dat mooie vak weinig over te blijven. Maar misschien ben ik te somber. Zo’n vak als wiskunde D heeft trouwens wél heel positieve effecten op de samenwerking tussen voortgezet en hoger onderwijs, althans met de universiteiten – want met het hbo wil het vooralsnog niet erg vlotten. Ook wiskunde C heeft het in theorie in zich, denk ik, om een prachtig vak te worden, maar ook daar moet je goed kijken hoe haalbaar het is met die kleine aantallen leerlingen. Misschien stappen straks in vwo-6 nog heel wat A-leerlingen over naar C, even afwachten dus, maar voor wiskunde C blijft de doelgroep klein, vrees ik. Vóór de invoering van de Tweede Fase was er in het algemeen maar zo’n 5% van de vwo-leerlingen die géén wiskunde koos; naar mijn idee is die groep zo ongeveer de. doelgroep voor wiskunde C. Voor vmbo-leerlingen zijn de wiskundeprogramma’s veel beter geworden dan pakweg 30 jaar geleden. Je moet wel kijken naar de aansluiting op de technische richtingen in het mbo; die laat te wensen over. Ook van vmbo-TL naar havo wiskunde B zit het niet lekker. Maar voor de rest… Wat ze leren is veel beter bruikbaar, ook in de maatschappij. Dan heb je natuurlijk ook nog het mbo. Daar hoor je weinig over. In het mbo speelt de aansluitingskwestie voor de leerlingen die uit het vmbo komen, maar ook voor degenen die vanuit het mbo naar het hbo willen. Vooral in de technische richtingen zijn er problemen. Daarnaast: in veel mboen hbo-opleidingen wordt wiskunde niet meer als geïsoleerd vak aangeboden, maar geïntegreerd binnen andere vakken. Prima natuurlijk – maar vaak houdt dat in dat nieuwe stukjes wiskunde alleen aangeboden en geleerd worden op het moment dat je zo’n onderdeel nodig hebt binnen de gegeven praktijksituatie – de niet-wiskundige probleemstelling die de student op dát moment bestudeert – en niet meer in andere contexten, of verderop in de opleiding. Die wiskunde wordt dan alleen binnen de context ontwikkeld waarmee de studenten op dat moment bezig waren; ‘just in time learning’ heet dat. Als het daarbij blijft, leer je als student niet hoe je die kennis kunt toepassen in andere situaties. De hele transfer naar andere probleem stellingen verdwijnt dan achter de horizon. Dat vind ik griezelig. Wat zijn je plannen voor de nabije toekomst? Ik ben tijdens die hectische Euclides-jaren aan allerlei dingen niet goed toegekomen. Om maar eens wat te noemen, ik moet een stevige inhaalslag maken voor wat betreft ICT-gebruik in m’n lessen. Ik ben in ieder geval van plan te blijven lesgeven. Ik vind wiskunde een hartstikke leuk vak om te geven; daar heb ik veel plezier in. En de combinatie met m’n werk als schooldecaan bevalt me goed. Daarnaast vind ik het plezierig om ook dingen rond het wiskundeonderwijs buiten de school te blijven doen: de WiskundEbrief, en misschien ook nog wel andere klussen op dit gebied. Maar nogmaals, in het wiskundeonderwijs valt ook ‘gewoon als leraar’ nog zóveel te beleven!. El[hZ[_dj[hl_[m[h. Wim Laaper is redacteur van Euclides. E-mailadres: wlaaper@iae.nl.

(7) M[ha[d WWd h[a[d# lWWhZ_]^[_Z _d ^[j lcXe QA[[i8k_ìS. \_]kkh'LeehX[[bZlWd[[d\ekj_[l[ efbeii_d]k_jlcXe#'$Ef]Wl[0@[aeefj [[dfWaae\\_[lWdÁ(")+[dX[jWWbj c[j[[dj_[dj`[$MWjah_`]`[j[hk]5. Naar aanleiding van al deze signalen rees dan ook de vraag in hoeverre het. aanbeveling verdient om voor rekenen een structurele plaats in het leerplan van klas 1 en 2 van het vmbo in te ruimen. Om hierover meer aan de weet te komen is de SLO een project ‘Verder met Rekenen’ gestart waarin wordt onderzocht op welke wijze de rekenvaardigheid van vmboleerlingen, in het bijzonder binnen de basisberoepsgerichte leerweg, versterkt en uitgebouwd kan worden. In dit artikel gaan we nader op dit project in. Eerst wordt een korte toelichting gegeven op de opzet van het project, waarbij wordt stilgestaan bij enkele dilemma’s die zich voordeden en keuzes die zijn gemaakt. Vervolgens wordt verslag gedaan van een les uit het experimentele onderwijsleertraject dat in het kader van het project ontwikkeld werd. Deze les vond enige maanden geleden plaats op een Amsterdamse vmbo-school. Ter afsluiting wordt een indicatie gegeven van de voorlopige resultaten van het project.. formele structuren en procedures. Bij het uitproberen van het aangepaste leertraject bleek dat als leerlingen ruimere gelegenheid krijgen om op een informeel niveau bezig te zijn, gebruikmakend van passende schema’s en modellen zoals getallenlijn, strook en maatlijn, dit een zeer positief effect op hun rekenvaardigheid kan hebben (zie figuur 2 voor een ‘modelondersteunde’ oplossing). Naar aanleiding van deze ervaringen werd in het vmbo-project dan ook voor een soortgelijke didactische benadering[4] gekozen.. (/* (*+ (.'. Op veel fronten staat de rekenvaardigheid van leerlingen ter discussie. Rapporten van de Onderwijsinspectie[1] en van de commissie Meijerink[2] geven aan dat er bij leerlingen in het basisonderwijs sprake is van een neerwaartse tendens in de leerresultaten bij rekenen/wiskunde. Ook bij leerlingen in het voortgezet onderwijs worden zorgelijke ontwikkelingen gesignaleerd. Het gaat daarbij niet alleen om problemen die te maken hebben met de overgang van het ene naar het andere schooltype, maar ook om problemen binnen een bepaald schooltype. Zo komen leerlingen in de basisberoepsgerichte leerweg van het vmbo de school veelal binnen met een gebrekkige rekenvaardigheid. In het leerplan van dit schooltype is echter structureel weinig ruimte om hier verbetering in aan te brengen, met als gevolg dat de rekenvaardigheid nog verder achteruit dreigt te gaan. Dat dit gevaar reëel is, bleek wel bij een door de SLO uitgevoerde enquête onder Rotterdamse vmbo-docenten. Over de hele linie bleken er klachten te zijn over vaardigheid in elementair hoofdrekenen, inzicht in ons getalsysteem, kennis van ons maatstelsel, en doordacht gebruik van de rekenmachine; zie figuur 1 voor een voorbeeld van een vaak voorkomende foutieve oplossing.. Efp[jlWd^[jfhe`[Yj»L[hZ[hc[j H[a[d[d¼. Om na te kunnen gaan op welke wijze de rekenvaardigheid van instromende vmboleerlingen versterkt kan worden, werd door de SLO een experimenteel onderwijsleertraject ontwikkeld voor klas 1, met name bedoeld voor de basisberoepsgerichte leerweg. Drie leerstofdomeinen werden geselecteerd om intensief aandacht aan te besteden: (a) geldrekenen en ons geldsysteem, (b) procenten en verhoudingen, (c) meten en ons maatstelsel. In de didactische uitwerking van deze domeinen werd onder meer voortgebouwd op de ervaringen die in een eerder stadium werden opgedaan bij de ontwikkeling van een aangepast leertraject bestemd voor zwakkere leerlingen in groep 7 en 8 van het basisonderwijs[3]. Bij dit eerdere ontwikkelwerk werd onder meer geconstateerd dat een van de problemen die zich in de basisschool voordoen, gelegen is in het feit dat er binnen de verschillende leergangen in de bovenbouw (zoals bij breuken, procenten en kommagetallen) veelal sprake is van een tamelijk snel voortschrijdend abstraheringsproces in de richting van. \_]kkh(LeehX[[bZlWd[[dceZ[bedZ[h# ij[kdZ[efbeii_d]k_j]he[f-%.$Ef]Wl[0 H[a[dk_jê[l[[b,lWdÁ'(&"&&_i$. Bij de leerstofkeuze deed zich in het basisschoolproject verder een dilemma voor dat thans in het vmbo-project eveneens actueel is. De niveauverschillen tussen veel leerlingen bleken namelijk in groep 7 al behoorlijk groot te zijn. Zo waren er grote verschillen in basiskennis zoals met betrekking tot het rekenen tot 100, de tafels van vermenigvuldiging en getalbegrip tot 1000. Diende het oefenen van deze basiskennis ook een centrale plaats in het traject te krijgen? In principe zijn er duidelijke argumenten om dit inderdaad te doen. Immers, als een leerling bijvoorbeeld nog te kampen heeft met een gebrek aan parate kennis van tafelopgaven zoals 6 × 7 en 7 × 8, dan wordt het oplossen van opgaven. * r . ; K 9 B ? : ; I .. ?db[_Z_d].

(8) (.( ; K 9 B ? : ; I . * r . . die daarop voortbouwen (zoals bij verhoudingen en procenten), al gauw bemoeilijkt. Er is echter ook een belangrijk bezwaar: veel van de leerlingen uit de doelgroep (in Cito-termen: de D- en E-leerlingen volgens de normen van het leerlingvolgsysteem) zijn in hun schoolloopbaan al zo frequent geconfronteerd met lacunes in deze basiskennis, dat het tamelijk ontmoedigend kan zijn om daar in groep 7 en 8 wederom intensief mee aan de slag te moeten gaan. Bovendien is het van het belang in deze periode in ieder geval te investeren in een gedegen begripsmatige basis voor concepten als breuk, kommagetal en percentage, en de samenhang daartussen. Als je van zulke concepten bij binnenkomst in het v(mb)o weinig begrijpt (zo was al uit de Rotterdamse vmbo-enquête gebleken), dan heb je als leerling direct een probleem. Op grond van deze overwegingen werd dan ook besloten om basiskennis en -vaardigheden wel aan de orde te stellen, maar zonder deze al te sterk te laten domineren; en dan vooral ook en passant, namelijk voor zover ze een rol spelen bij de verkenning van de genoemde leerstof rond procenten, kommagetallen en breuken. Gezien het feit dat de aanpak voor het aangepaste leertraject voor groep 7/8 in de praktijk behoorlijk succesvol bleek, werd in het kader van ‘Verder met Rekenen’ voor een soortgelijke aanpak gekozen. Bij de eerste voorbereidingen van het project bleek al gauw dat er nogal wat vmbo-scholen zijn waar de problematiek van de gebrekkige rekenvaardigheid van leerlingen hoog op de agenda staat. Het kostte dan ook weinig moeite om een viertal scholen te vinden die aan het project wilden deelnemen. De opzet werd daarbij zo gekozen dat op elk van de deelnemende scholen ongeveer de helft van het aantal bb-klassen aan het experimentele leertraject deelnam, terwijl de andere helft van de klassen als controlegroep fungeerde.[5] Voor de duur van het traject (een half jaar) kregen de leerlingen twee keer per week een les van drie kwartier ‘voortgezet rekenen’. Aan het begin, halverwege en aan het eind van het traject werd een criteriumtoets afgenomen om de beginsituatie te bepalen en om na te gaan in hoeverre zich progressie voordeed. Vier maanden na afloop van het traject werd bovendien nog een nameting gehouden om na te gaan in hoeverre de. \_]kkh)>[jaWWifheXb[[cZWj Y[djhWWb_dZ[b[iijWWj. nieuw verworven kennis beklijfde. Bij het analyseren van de resultaten van het traject wordt samengewerkt met de Universiteit Leiden waar analyses worden uitgevoerd om de ontwikkeling van de leerlingen in de experimentele groep te vergelijken met die in de controlegroep. Op basis van deze analyses (waarover meer in de afsluitende paragraaf van dit artikel) wordt het experimentele traject in een verbeterde versie het komende schooljaar op een groter aantal scholen uitgevoerd. Om een indruk te krijgen van de gang van zaken tijdens de lessen van het traject volgt hieronder nu eerst een beschrijving van een les rond een verhoudingsprobleem. De les vond plaats in een bb-klas op een vmbo-school in Amsterdam.[6] De les werd gegeven door docent mevrouw Lisa Pereira en vond plaats op een moment dat het grootste deel van de lessen rond geld afgerond waren, terwijl de lessen rond procenten en meten nog moesten plaatsvinden.. LeehX[[bZlWd[[db[i0^[j aWWifheXb[[c. Inleiding: verkenning van het probleem Lisa legt het kaasprobleem (zie figuur 3; wat kost een stuk van 350 g kaas bij een kiloprijs van 16 euro?) aan de leerlingen voor, en vraagt om een manier te bedenken om dit aan te pakken. Ze voegt eraan toe: probeer eerst eens te schatten wat het ongeveer kost. Op het bord staat overigens al een maatlijn met gewichtmaten van 0 tot 1000 gram eronder. Na enkele minuten krijgt een leerling het woord die meteen verwijst naar deze getallenlijn, en aangeeft dat je die kunt gebruiken. Hij meldt: ‘Dan zet je boven de lijn bij 1 kilo het bedrag van 16 euro; en dan maak je 10 streepjes en dan heb je 100 gram, dat is € 1,60.’ Lisa noteert de bedragen bij de lijn (zie figuur 4), maar vraagt ook hoe de leerling aan € 1,60 komt. ‘Nou’, is het antwoord, ‘Als je 10 keer 1,60 doet, heb je weer die 16 euro’.. \_]kkh*:[ZkXX[b[][jWbb[db_`def^[jXehZ.

(9) Wegen op de weegschaal Voordat het probleem nu verder wordt aangepakt, last Lisa een intermezzo in waarin een korte weegoefening wordt gedaan. Voor de klas staat een keukenweegschaal met een aantal vruchten en een pak zout erbij. Eerst wordt gezamenlijk bekeken wat er op de schaalverdeling van de weegschaal is te zien, waarbij de streepjes van 100 gram en de kilogramaanduiding ter sprake komen. Vervolgens mogen enkele leerlingen op de hand schatten hoe zwaar de mango is. De schattingen variëren van 400 tot 600 gram. Dan mag een leerling het precieze gewicht bepalen, en dit leidt tot de vaststelling dat de mango 480 gram weegt. Waarbij blijkt dat het goed aflezen van zo’n schaalverdeling nog niet zo eenvoudig is. De wijzer staat iets voorbij de 400, maar hoe ver is dat nu? Pas nadat bepaald is dat het nog voorbij het streepje midden tussen 400 en 500 is, komt vast te staan dat het ongeveer 480 gram moet zijn. Aansluitend wordt hetzelfde gedaan voor een avocado (210 gram; schattingen tussen 150 en 350 gram), en voor het pak zout (velen houden het op 600 tot 700 gram; blijkt dus 1 kg te zijn). Bij dit laatste wordt nog vastgesteld dat de verpakking ook wat weegt en dat 1 kg en 40 gram dus wel klopt; zie figuur 5 voor het schatten en wegen van de avocado.. \_]kkh,:[efbeii_d]l_W'&&]hWcijWfi][m_ìef^[jXehZ ][dej[[hZ"c[jZ[][jWbb[db_`dWbiedZ[hij[kd[dZceZ[b. Er blijken echter nog alternatieven. Yasmine meldt dat ze op haar kladblaadje eerst de helft en daar weer de helft van had bepaald, dus 250 gram is 4 euro. En dan nog eens 100 gram via delen door 10, dat is € 1,60. ‘En dan moet je 250 gram en 100 gram nog optellen’, aldus Yasmine (zie figuur 7). Een prachtige oplossing die echter voor sommige leerlingen toch minder toegankelijk lijkt dan de werkwijze waarbij uitgegaan wordt van 100 gram als een soort van ankerpunt.[7]. )'( (.). Lisa noteert dit apart op het bord, en geeft aan dat dit best wel eens een goede oplossing zou kunnen zijn, maar dat ze nog even andere leerlingen wil horen. Een andere leerling krijgt het woord. Zij meldt dat ze is uitgegaan van die 16 euro voor een hele kilo, en vervolgens door 10 heeft gedeeld. ‘Want dan krijg je 100 gram, en dat is € 1,60. En dan ga je naar 200 gram en naar 300 gram, en dan nog die 50 gram’. ‘Dit zou ook wel eens een goede oplossing kunnen zijn’, aldus Lisa. Maar ze ziet dat er in de klas nogal wat leerlingen lijken te zijn voor wie dit nog moeilijk te vatten is. Daarom vraagt ze eerst nog naar andere manieren, ‘meer schattend’. Eerst is er nu een leerling die meldt dat hij niet goed wist hoeveel gram er in 1 kilogram zit. Nadat dit is besproken, komt een vierde leerling aan het woord, die geschat heeft. Zij redeneert: ‘1 kg is 16 euro, dus 500 gram is dan de helft, dus 8 euro; en 250 gram nog een keer de helft, dus 4 euro. Dan moet het ongeveer 5 euro zijn.’ Lisa (verduidelijkend): ‘Dus jij zegt: 250 gram kost 4 euro, en 350 gram is wat meer, dus zeg maar 5 euro?’ (Lisa noteert deze redenering op het bord.) Andere leerlingen: ‘Ja, zo had ik ook gedacht.’. \_]kkh-:[Wbj[hdWj_[l[efbeii_d]lWd OWic_d[ef^[jXehZ][dej[[hZ. Verwerking Na deze instructie gaat iedereen aan de slag met enkele soortgelijke verhoudingsopgaven rond het kopen van kaas. Verreweg de meeste leerlingen lijken redelijk goed uit de voeten te kunnen, veelal gebruikmakend van de basisstrategie waarbij via 100 gram wordt geredeneerd. Sommige leerlingen tekenen een getallenlijn ter ondersteuning van hun redenering, anderen beperken zich tot het noteren van tussenstappen; zie figuur 8 (pagina 284) voor twee voorbeelden van dit laatste.. . * r . ; K 9 B ? : ; I . \_]kkh+>[jiY^Wjj[d[dm[][dlWdZ[ WleYWZej_`Z[diZ[m[[]e[\[d_d]. Terug naar het kaasprobleem; precieze oplossingen Na dit intermezzo keert Lisa terug naar precieze oplossingen voor het kaasprobleem. Ze haakt daarbij in op de stappen die al op het bord staan. Gezamenlijk wordt eerst vastgesteld waar op de getallenlijn 350 gram zit, en dat je dit kunt zien als 100+100+100+50 gram. Vervolgens wordt geconstateerd dat de prijs van 100 gram al is bepaald: € 1,60. En daarna gaat het stapsgewijs naar 350 gram toe: eerst 200 gram, dan 300, en dan nog 50 gram erbij. Deze laatste stap is voor sommige leerlingen nog niet zo eenvoudig, je moet daar immers eerst nog de prijs van 100 gram voor halveren. Zo wordt uiteindelijk de precieze prijs bepaald: € 5,60 (zie figuur 6)..

(10) \_]kkh.:[efbeii_d][dlWdjm[[b[[h# b_d][dX_`l[h][b_àXWh[l[hêkZ_d]i#. ; K 9 B ? : ; I . * r . . (.*. fheXb[c[dj_`Z[diZ[l[hm[ha_d]. Nabespreking Tijdens het laatste deel van de verwerking heeft Lisa één leerling (Halil) gevraagd om zijn berekening bij de eerste opgave (de prijs van 150 g kaas bij een kiloprijs van € 12,00) alvast op het bord te zetten; zie de bovenste foto in figuur 9. In de nabespreking verduidelijkt Halil wat hij heeft gedaan. Iedereen volgt dit aandachtig. Men is het erover eens dat dit een goede strategie is, maar wel omslachtig! Anderen hebben het eenvoudiger gedaan. Rajae licht toe hoe ze eerst 100 gram heeft uitgerekend (delen door 10, dus komma één plaats naar links), dat is € 1,20. En dan 50 gram, is de helft dus 60 cent; en tenslotte nog die € 1,20 en € 0,60 bij elkaar optellen: € 1,80. Veel leerlingen zijn het erover eens dat dit een makkelijke manier is. Als uitsmijter van de les wordt de meloen nog even gewogen. Eerst maken een aantal leerlingen een schatting ‘op de hand’ (met veel schattingen van rond de 600 of 700 gram), daarna gaat de meloen echt op de weegschaal. Het werkelijke gewicht blijkt 1 kg en 100 gram te zijn! Leehbef_][h[ikbjWj[dlWd^[j [nf[h_c[dj[b[jhW`[Yj. Zoals in de andere lessen uit het experimentele traject ook wel gebeurt, doen zich in de hierboven beschreven les enkele onverwachte gebeurtenissen voor. Zo komen, anders dan verwacht, enkele leerlingen bij de verkenning van het kaasprobleem direct met een precieze oplossing. Mede door haar inschatting dat deze oplossingen in eerste instantie wellicht nog ‘een brug te ver’ zijn voor sommige. leerlingen, koos de docent ervoor om deze oplossingen voorlopig slechts in eerste aanzet aan de orde te stellen en om de aandacht daarna te richten op (eenvoudiger geachte) schatstrategieën. Na het intermezzo van het wegen, bedoeld om de kennis van dit deel van ons maatsysteem op te frissen, greep zij vervolgens terug op de eerder aangedragen precieze strategieën. Het redeneren via 100 gram (als tiende deel van een kilogram) kwam daarbij als een basisstrategie naar voren die in de verwerking voor veel leerlingen goed bruikbaar bleek te zijn. Men kan zich afvragen of de weeg activiteit in het intermezzo van de les wel zo op z’n plaats is. Gaat het hier niet om leerstof die eigenlijk meer in groep 5 of 6 van de basisschool thuishoort? In principe is dat natuurlijk zo. Maar de ervaring in voorafgaande lessen van het experimentele traject heeft geleerd dat de maatkennis van veel leerlingen sterk te wensen overlaat. Wellicht hebben zij ooit wel eens iets aan grammen en kilogrammen gedaan, maar deze kennis is veelal weggezakt. En eigen praktische meetervaringen zoals met een keukenweegschaal ontbreken vaak totaal. De relaties tussen de betreffende maateenheden zijn dan ook vaak nauwelijks tot leven gekomen, en een reeks korte en passant-activiteiten gericht op het opfrissen en consolideren van deze kennis kan bijzonder nuttig zijn. Tot slot iets over de resultaten van het experimentele traject. Bij het analyseren daarvan aan de hand van de drie afgenomen toetsen wordt in principe naar drie aspecten van de reken/wiskundige kennis van leerlingen gekeken: goedscores, strategie-. gebruik en notatiegedrag. Met betrekking tot de laatste twee punten zijn op dit moment nog geen nauwkeurige gegevens bekend. Wel bestaat de indruk dat de leerlingen met name op het punt van notatiegedrag een positieve ontwikkeling hebben doorgemaakt. Veel leerlingen (zo bleek ook al uit de Rotterdamse vmboenquête) zijn in groep 7 en 8 nooit goed vertrouwd geraakt met het overzichtelijk en helder noteren van hun berekeningen bij het maken van rekenopgaven.[8] Tijdens het experimentele traject is bij herhaling gebleken dat er op dit punt een omschakeling dient plaats te vinden waaraan in de klas nadrukkelijk aandacht geschonken moet worden. Als leerlingen zich eenmaal bewust zijn geworden van het belang hiervan, dan lijkt het of hun reken/wiskundige ontwikkeling ook vlotter verloopt. Voor de drie centrale leerstofgebieden geld, procenten en meten zijn verder wel gegevens over de resultaten in de vmbo-school in Amsterdam bekend. In figuur 10 zijn deze als totaalscore grafisch weergegeven.[9] Duidelijk is te zien dat het beginniveau van de leerlingen in de experimentele groep iets onder dat van de controlegroep ligt. In het eerste deel van het traject (tussen meting 1 en 2) doet zich dan bij de experimentele groep een duidelijke stijging in de resultaten voor, terwijl bij de controlegroep een lichte daling optreedt. In het tweede deel van het traject (tussen meting 2 en 3) is er vervolgens sprake van een substantiële verdere stijging in de experimentele groep terwijl zich in de controlegroep een vergelijkbare stijging voordoet. Wat de oorzaak van de laatstgenoemde stijging is, wordt momenteel nog onderzocht. Samengevat kan gesteld worden dat het experimentele traject een redelijk positieve invloed op de rekenvaardigheid van de leerlingen lijkt te hebben. En voor het project als geheel lijkt de (voorlopige) conclusie gerechtvaardigd dat een onderwijsleertraject ‘voortgezet rekenen’ wel degelijk een belangrijke verbetering in de rekenvaardigheid van vmbo-leerlingen teweeg kan brengen – een vaardigheid die deze leerlingen in het vervolg van hun schoolloopbaan maar ook buiten school maar al te goed kunnen gebruiken..

(11) [dedZ[hZ_[lWdHW`W[X_`Z[ef]Wl[ hedZZ[fh_ìlWd'+&]hWcaWWi. :Wda. Efhe[f. Met dank aan docenten en leerlingen van het ‘Calvijn met Junior College’ voor hun bereidwillige medewerking, in het bijzonder docent Lisa Pereira.. Voor de tweede pilot van het hierboven beschreven project ‘Verder met Rekenen’ is er nog behoefte aan enkele vmbo-scholen die met de eerste klassen (vooral bb-richting) willen deelnemen. Aanmelden bij Kees Buijs: c.buys@slo.nl. \_]kkh'&JejWb[je[jiiYeh[lWd 7cij[hZWcefZh_[j_`Zij_ff[d '3leehc[j_d]"(3jkii[dc[j_d]" )3dWc[j_d]lWd.*b[[hb_d][d _dZ[XWi_iX[he[fi][h_Y^j[ abWii[ddWWhYedZ_j_[0 Z[[nf[h_c[dj[b[YedZ_j_[ Zeeh][jheaa[db_`d1d3*). El[hZ[Wkj[kh. [dZ[Yedjheb[YedZ_j_[. Kees Buijs is als leerplanontwikkelaar werkzaam voor de SLO te Enschede. E-mailadres: c.buys@slo.nl. ij_ff[bb_`d1d3*'. . * r . ; K 9 B ? : ; I . \_]kkh/8el[dZ[efbeii_d]lWd>Wb_b. [1] Inspectie (2008): Basisvaardigheden rekenen-wiskunde in het basisonderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs (www.onderwijsinspectie.nl). [2] Expertgroep Doorlopende Leerlijnen (2008): Over de drempels met taal en rekenen. Enschede: SLO (drie rapporten). [3] Het materiaal van dit project is te downloaden van de SLO-website. Zie www.slo.nl/primair/leergebieden/ rekenen/ (kies in het menu: Hulpprogramma rekenen). [4] Deze benadering is uitvoerig beschreven in de SLO-publicatie Aandachtsgebieden voor een doorgaande lijn voor rekenen-wiskunde van po naar vmbo. Deze publicatie is ook te vinden op de bij [3] genoemde website. [5] Deze opzet werd ontwikkeld in samenwerking met dr. Kees van Putten (Faculteit Sociale Wetenschappen van de Universiteit Leiden). [6] Dit betreft het ‘Calvijn met Junior College’ in Amsterdam-Slotervaart. Behalve de genoemde docent mw. L. Pereira levert ook docent mw. I. Klinkenberg als coördinator van het project een belangrijke bijdrage. [7] De foto’s bij dit artikel zijn tijdens de les genomen. Soms is het bij de bordfoto’s niet helemaal gelukt om alles goed vast te leggen. Zo ontbreekt rechts op de foto van figuur 7 de ‘60’ van € 5,60. [8] Zie in dit verband ook de publicatie Hoe rekent Nederland? van M. van de Heuvel-Panhuizen (2009; Utrecht: Freudenthal Instituut). [9] Met dank aan Karin Visser, studente psychologie aan de Universiteit Leiden, en haar docent Kees van Putten die de gegevens van de Amsterdamse leerlingen analyseerden.. )'* (.+. Dej[d.

(12) ;[ d d_[km[ m_ iakdZ[ c [j ^ e Z [ le e h ^[j ]ocdWi _kc 5 Q8WhjP[l[d^[a[dDehW8becS. :[W\][bef[dp[i`WWh^[[\jZ[m_iakdZ[i[Yj_[lWd^[j7cij[hZWci[ 8WhbW[ki]ocdWi_kcWWd[[d[_][dc[jêZ[leehZ[edZ[hXekm][m[haj$:Wj ^[[\j"jejdkje["][h[ikbj[[hZ_d[[dXe[aleehZ[[[hij[abWip_[\_]kkh'[dbei cWj[h_WWbleehZ[jm[[Z[[dZ[hZ[abWii[d$7bid[l[d[\\[Yj^[[\j^[jZ[m_iakd# Z[i[Yj_["[[dl[hpWc[b_d][_][d][h[_Z[_dZ_l_Zk[dc[jk_j[[dbef[dZ[eflWjj_d][d" dWZ[hjej[baWWh][XhWY^j$>[j[[hij[abWiXe[a_ilh_`X[iY^_aXWWhef^[j_dj[hd[jQ'S$ ?dZ_jWhj_a[bm_bb[dm_`_[jiel[hZ[WY^j[h]hedZ[dlWdedp[c[jêZ[[del[h^[j edjm_aa[b_d]ifheY[il[hj[bb[d$. ; K 9 B ? : ; I . * r . . (.,. K_j]Wd]ifkdj[d. De keuze voor het ontwikkelen van eigen materiaal kwam in eerste instantie voort uit onvrede met de basisvorming, het studiehuis, het realistisch wiskundeonderwijs, te veel gebruik van de rekenmachine (en computer) en met het winstbejag van uitgevers. We waren op zoek naar materiaal dat aansloot bij belangstelling en niveau van de gemiddelde gymnasiumleerling, met nadruk op de ontwikkeling van algebraïsche vaardigheden en het abstracte denken. De boeken die toentertijd in gebruik waren, richtten zich op gemengde brugklassen. Hoe nobel het streven naar gemengde brugklassen ook is, op een gymnasium zitten uitsluitend leerlingen met vwo-niveau en voor hen waren de boeken veel te eenvoudig. Ruim voor het einde van het schooljaar waren we al door beide brugklasdelen heen. Onze school heeft zich van meet af aan verzet tegen basisvorming en studiehuis. Een gymnasiumleerling moet voldoende intellectuele bagage mee krijgen en het denken moet optimaal gestimuleerd worden. Dit doel wordt het beste bereikt door een geïnspireerde docent met een centrale rol in de klas. Het lesmateriaal moet bij deze visie aansluiten. Afgezien van de praktische problemen die altijd een rol spelen bij de inzet van computers, vinden wij dat het individueel studeren ‘aan de hand van’ de computer geen goede methode is. De computer kan een enkele keer ingezet worden, ter illustratie, voor een aardig lesje met wiskunde-‘applets’, als ondersteuning voor een leerling met grote achterstand,. of om bijvoorbeeld het gebruik van een spreadsheet aan te leren. Computergebruik hoeft echter geen vaste plaats te hebben in het lesmateriaal. In de bestaande boeken worden te pas en te onpas contexten uit het dagelijks leven gebruikt. Alhoewel een goede context een mooie illustratie op kan leveren, zien wij (in de onderbouw) bij het aanleren van een nieuwe wiskundige vaardigheid nauwelijks een rol weggelegd voor dergelijke contexten. Wij vinden dat er ruimte moet zijn voor de docent om de uitleg te illustreren met concrete materialen, voorbeelden en/ of verhalen, rekening houdende met de leerlingen. Natuurlijk is dit ook afhankelijk van de kennis en het enthousiasme voor een bepaald toepassingsgebied van de docent zelf. Wat wel een plaats heeft gekregen in ons boek, zijn historische en wiskundige contexten of (denk)modellen, zoals bijvoorbeeld de drie klassieke constructieproblemen, de getallenlijn, het oppervlaktemodel bij haakjes wegwerken. Toen wij begonnen met de ontwikkeling van onze methode, kon onze houding makkelijk als conservatief aangeduid worden: terug naar die goede oude tijd toen wiskunde nog op degelijke wijze aangeleerd werd. Inmiddels is het tij echter aan het keren. De commerciële uitgevers geven weer vwo-boeken voor de onderbouw uit en schermen met hun nadruk op algebraïsche vaardigheden. Ongetwijfeld zal hier sprake zijn van een golfbeweging in de visie op wiskundedidactiek. Wij proberen onze eigen visie gestalte te geven.. \_]kkh'. ?dêkZ. Het boek voor de eerste klas begint met een hoofdstuk over getallen. Bij rekentoetsen die wij in het begin van het schooljaar bij eersteklassers afnemen, blijkt steeds weer hoe ongelooflijk slecht leerlingen vooral met breuken kunnen rekenen. De rekenregels moeten beheerst worden om met kans op succes algebra aan te leren en iemand met een gymnasiumdiploma moet kunnen rekenen, vinden wij. De rekenmachine speelt in de tweede en derde klas een bescheiden rol; daarvóór moeten leerlingen alle berekeningen zonder rekenmachine kunnen uitvoeren. Om te laten zien dat ons decimale positiestelsel geenszins vanzelfsprekend is, worden onder andere Romeinse cijfers en binaire getallen behandeld en wordt er mee gerekend. De getallenlijn wordt als denkmodel gebruikt en is de basis voor de introductie van negatieve getallen en de bewerkingen hiermee. Ook de regels voor het rekenen met breuken worden toegelicht.

(13) wel voorbereid. Overigens zal de docent vast niet de verleiding kunnen weerstaan om klassikaal te laten zien waarom de som van de hoeken van een driehoek altijd 180° is en uit te weiden over niet-euclidische meetkunde… Het begrip symmetrie komt in dit hoofdstuk eveneens aan bod. Dit hoofdstuk over meten en berekenen wordt weer afgesloten met een grote verzameling kangoeroeopgaven. In twee algebrahoofdstukken worden formules geïntroduceerd en bewerkt, machten en quotiënten herleid en haakjes weggewerkt. Leerlingen vinden het meestal fijn om rijen algebraopgaven te maken; er ontstaat dan een heerlijke rust in de klas! De algebra vindt een toepassing in rekentrucs, getallenraadsels en bijvoorbeeld de negenproef. Met hulp van algebra kan je deze bedenken en verklaren. Merkwaardige producten worden opeens handige gereedschappen. Tenslotte is er een hoofdstuk over het assenstelsel, waarin een begin gemaakt wordt met het tekenen van grafieken. Al deze hoofdstukken worden eveneens afgesloten met kangoeroeopgaven.. De prijzen van de reguliere lesboeken stijgen voortdurend. Dit wordt gerechtvaardigd door een mooie – in onze ogen schreeuwerige – vormgeving en vele extra’s. zoals computerparagrafen, handleidingen, werkboeken. Om de paar jaar verschijnen nieuwe edities. Een mooie manier om de verkoopcijfers en de winstresultaten op peil te houden. Wij zijn blij dat we deze ontwikkeling kunnen doorkruisen en onze leerlingen voor ongeveer 15 euro een boek kunnen aanbieden. In de wereld van de universitaire wiskunde worden documenten gemaakt en opgemaakt in TeX. De meest ingewikkelde algebraïsche constructies zijn met dit tekstopmaaksysteem fraai weer te geven en de teksten die in TeX worden opgemaakt zien er bijzonder goed uit. Zeker als je ‘Word for Windows’ gewend bent, werkt het in het begin omslachtig. Er was dan ook aanvankelijk wat aarzeling om ons boek in TeX te schrijven, maar nu het boek af is zijn we erg blij met het professioneel ogende resultaat. Met het hulpprogramma LyX, een op TeX gebaseerde tekstverwerker, valt goed te werken en nu we met het tweedeklas boek bezig zijn leveren de auteurs zonder problemen direct TeX documenten af. Het stimuleert erg wanneer een hoofdstuk, waar je aan werkt, er onmiddellijk perfect uitziet. Het aardige van TeX en LyX is dat deze programma’s, net als ons boek, vrij verkrijgbaar zijn op het web. De toekomst is aan de ‘open source’ programmatuur en schoolboeken!. \_]kkh). \_]kkh*. Lehc][l_d]. )'* (.-. met hulp van de getallenlijn (zie figuur 2; blz. 29[2]). Er volgen vele opgaven over het rekenen met breuken, negatieve getallen, haakjes en machten. Staartdelingen vinden een natuurlijke plaats bij decimale breuken en het bepalen van de periode daarvan. Het hoofdstuk eindigt met getaltheorie en een serie opgaven uit de kangoeroewedstrijden. Priemgetallen, ontbinding in priemfactoren, ggd en kgv (zie figuur 3 en figuur 4; blz. 57 en blz. 58[2]), maar ook bijvoorbeeld volmaakte getallen komen hier aan bod. Omdat wij denken dat het wiskundig denkvermogen met kangoeroeopgaven wordt ontwikkeld, hebben wij veel van deze opgaven opgenomen in onze methode. Deelname aan de wiskundewedstrijden wordt hiermede tevens gestimuleerd. Er volgt een hoofdstuk over passer- en liniaalconstructies. In een apart schrift, dat we ook op netheid beoordelen, wordt in het spoor van de oude Grieken elementaire meetkunde beoefend. Geen axiomatiek en bewijzen, dat komt in een hogere klas, wel heel veel tekenen. Naast de basisconstructies van loodlijnen, bissectrices e.d. wordt de constructie van de guldensnede behandeld, met als toepassingen de regelmatige vijf- en tienhoek en de guldensnede-spiraal (zie figuur 5; blz. 90[2]). Een afsluitende paragraaf over pseudoconstructies behandelt de drie klassieke problemen en alternatieve constructiemethoden, zowel in de uitbreiding, glijliniaalconstructies, als in de beperking, constructies met passer zonder liniaal. De laatste opdracht gaat over een pseudoconstructie van de zevenhoek. In een later meetkundehoofdstuk wordt ingegaan op het gebruik van de geodriehoek en berekeningen van hoeken en oppervlakten. Er wordt ook hier nog geen poging ondernomen om tot bewijzen te komen, maar de weg daarheen wordt. \_]kkh+. . * r . ; K 9 B ? : ; I . \_]kkh(.

(14) FheY[i. De schoolleiding behoort ervoor te zorgen dat aan de randvoorwaarden voor goed onderwijs voldaan wordt en stimuleert docenten tot degelijk en creatief onderwijs, maar bemoeit zich niet inhoudelijk met de didactiek en pedagogiek: daarin zijn de docenten de professionals. Onze vorige rector Koen Kool, een manager pur sang, was deze mening toegedaan. Toen onze sectie hem benaderde met het idee van een eigen onderbouwmethode, stond hij hier dan ook meteen achter. Wij dachten dat ons project alleen kans van slagen had, als alle sectieleden meewerkten en kregen er uiteindelijk ieder één taakuur of te wel 40 klokuren per jaar voor. Voor het omzetten van de vaak met de hand geschreven teksten naar een TeX-document werd een wiskundestudent ingehuurd. De huidige rector ondersteunt de verdere ontwikkeling van onze onderbouwmethode, zij het met enige reserve. Een van de docenten heeft het coördinatiewerk en de eindredactie op zich genomen en een andere docent heeft zich –naast het schrijven – met de vormgeving beziggehouden. De overige docenten schreven alleen of in tweetallen aan de hoofdstukken.. Regelmatig waren er samenkomsten om de inhoud te bespreken. We becommentarieerden elkaars werk. De voortgang verliep niet altijd even soepel. De vergaderingen waren zeer inspirerend, maar er zijn meerdere jaren nodig geweest om tot het huidige resultaat te komen. De eerste twee jaren werd in de klas naast de reguliere boeken gewerkt met losse hoofdstukken. Daarna ging de reguliere methode de deur uit en na nog eens twee jaar werden de losse katernen vervangen door een boek. Aan het eind van het schooljaar worden de gevonden fouten verbeterd voor de uitgave van het volgend jaar. Een zeer positief neveneffect van het ontwikkelen van het materiaal is dat onze sectieleden ‘ideologisch’ dichter bij elkaar gekomen zijn. Zoals gezegd bestaat onze sectie uit een aantal eigengereide individuen met verschillende opvattingen. De bovengenoemde uitgangspunten voor onze methode worden dan ook zeker niet door alle leden van onze sectie in gelijke mate gedeeld! Door het werk aan onze methode hebben we geleerd onze opvattingen bewust te worden, te uiten en te verdedigen, maar ook naar die van de anderen te luisteren en elkaar daarin te. respecteren. Tevens heeft een zekere euforie over het gezamenlijke werk aan iets moois een band tussen ons gesmeed. Een goede rector zou voor dit resultaat alleen al de nodige taakuren over moeten hebben. Wij zijn hard aan het werk met ons tweedeklas boek en hopelijk zullen we de komende jaren verder werken tot we een complete onderbouwmethode op de rails hebben. Andere scholen kunnen ons materiaal gratis gebruiken. Wel vinden we het prettig om hiervan op de hoogte te zijn en wellicht kan zo een school zaken als antwoordenboekjes en proefwerkbundels helpen ontwikkelen. Ook is ons materiaal aangemeld bij www.openmethodes.nl (zie aldaar voor gebruik en voorwaarden). Via deze organisatie kunnen scholen het materiaal naar hun eigen hand zetten en na verloop van tijd een alternatieve versie ter beschikking stellen.. Dej[d. [1] Het materiaal is te vinden op website site van de school, www.barlaeus.nl, bij ‘Publicaties’. [2] Verwijzing naar de betreffende bladzijde(n) in het boek ‘Wiskunde voor de eerste klas van het gymnasium’.. ; K 9 B ? : ; I . * r . . (... . El[hZ[Wkj[khi. Bart Zevenhek geeft wiskunde op het Barlaeusgymnasium. Daarnaast heeft hij de afgelopen jaren als ‘Leraar in Onderzoek’ aan de universiteit van Leiden onderzoek gedaan en hij was lid van de cTWOwerkgroep voor wiskunde C. E-mailadres: b.zevenhek@barlaeus.nl Nora Blom heeft op verschillende scholen voor voortgezet onderwijs gewerkt, ook enkele jaren op de Montessori-Pabo van de Hogeschool van Amsterdam, en geeft nu alleen nog wiskunde op het Barlaeusgymnasium. E-mailadres: n.blom@barlaeus.nl.

(15) >[j =[^[ k] [d. Op het programma van het Congres van het Koninklijk Wiskundig Genootschap staat traditiegetrouw een didactisch symposium. Dit jaar had het symposium de veronderstelde ‘kloof ’ tussen het vwo en het wo als onderwerp. U raadt het al; het ging over het gebrek aan vaardigheden, hoe ernstig dat nu eigenlijk is, wat daaraan te doen is en al gedaan wordt, en of de nieuwe programma’s vanaf 2013 dit probleem zullen oplossen. Deze rubriek is natuurlijk niet de plaats om dat symposium na te bespreken. Het is wel een goede aanleiding om eens in de geschiedenis van de aansluitingsproblematiek te duiken.. initiatief, waarin werd opgemerkt dat men er bij het onderwijs in Delft beter aan deed rekening te houden met wat de studenten vóór hun komst naar Delft aan kennis opgedaan hadden. Onnodig te zeggen dat die suggestie daar niet in goede aarde viel. Al schreven de studenten toen nog niet rechtstreeks aan de minister (en zouden ze die ook zeker niet lief genoemd hebben), toch bemoeide die zich met de zaak. Een wiskundeleraar die wel brood zag in zo’n cursus, schreef daarover aan de minister die prompt bij de curatoren van de Hogeschool navraag deed. Die konden moeilijk ontkennen dat wiskunde inderdaad een struikelvak was, maar een facultatieve cursus wezen ze af. Als de aankomende studenten eerst maar eens de gewone schoolstof beter beheersten, zou het al een stuk beter gaan!. ;[dijkZ[dj[dWYj_[. ;[dêe]b[hWh[dWYj_[. De vorige keer dat er een vergelijkbare opwinding over de aansluiting tussen (toen nog) middelbaar onderwijs en universitair onderwijs ontstond, was in de jaren twintig en dertig van de vorige eeuw. Een eerste signaal dat er iets speelde, is een actie van de zijde van studenten van de (toen nog) Technische Hogeschool Delft. In 1925 stuurden zij een brief aan de directeuren en rectoren van de HBS’en en Lycea waarin ze erop wezen dat de wiskundetentamens voor TH-studenten een groot struikelblok vormden. En net als bij de ‘Lieve Maria’actie, vonden ze de vooropleiding op de HBS tekort schieten. De remedie die ze voorstelden was om in de hoogste klas een facultatieve cursus ‘in de grondbeginselen der hoogere wiskunde’ te geven, een inleiding in de differentiaal- en integraalrekening. Er kwam maar één reactie op hun. De studenten hadden niets bereikt, maar daarmee waren de problemen natuurlijk niet opgelost. Vervolgens namen de hoogleraren zelf het initiatief. De afdeling Scheikundige Technologie schreef eind 1931 een brief aan de Senaat van de TH, waarin zij ‘als haar gevoelen te kennen. 7Wdibk_j_d]0 Yedj_dke\Z_iYh[[j5. geeft, dat heden ten dage de kennis en de algemeene ontwikkeling der nieuw ingeschrevenen veel te wenschen overlaten’(zie figuur 1). Dat vond de overgrote meerderheid van de Senaat ook en besloten werd om te proberen deze kwestie samen met de exacte faculteiten van de algemene universiteiten en de Landbouwhogeschool bij de minister aan te kaarten. Dat leidde in 1933 tot een rapport van de ‘inter-academiale commissie terzake onvoldoende vooropleiding’ waarin de bekende noodklok werd geluid over ‘de weinig bevredigende resultaten van de van de opleiding aan de Hoogere Burgerschool’ en het ‘te groot aantal studenten, dat […] in elementaire kennis te kort schiet’. Het rapport van de commissie riep heel wat reacties op, sommige met een hoog ‘kijk naar je zelf ’-gehalte, in andere werd op de zwakke onderbouwing van het geheel gewezen. De rector van de TH Delft, de wiskundige J.G. Rutgers, hield in 1934 de jaarlijkse Diesrede en hij greep die gelegenheid aan om alle grieven die hij tegen de HBS had nog eens breed uit te meten (zie figuur 2, pagina 290). Rutgers somde een bijna eindeloze lijst van bezwaren op, culminerend in de verzuchting: ‘Het is naar mijne innige overtuiging de kwaal van het tegenwoordige onderwijssysteem aan de HBS, dat de technische vaardigheid in de mathematische vakken op een te lagen trap van ontwikkeling staat’.. \_]kkh'. * r . ; K 9 B ? : ; I .. FheXb[c[d[dZ_iYkii_[iZ_[dk^[jm_iakdZ[edZ[hm_ìX[^[[hi[d"^[XX[dieci fWhWbb[bb[d_d[[dl[he\d_[jpel[hl[hb[Z[d$Iecib_àj^[je\[hd_[jil[hWdZ[hZ_i" cWWhlWWa_i^[jjeY^d[j[l[dWdZ[hi$?dZ[hkXh_[a»>[j=[^[k][d¼f_aj>Whc@Wd Ic_Zpe¼dWYjk[[bedZ[hm[hfef[dif[khjdWWh^_ijeh_iY^l[h][b_à_d]icWj[h_WWb$ Iecib[[hpWWc"X_`dWWbj_`Zh[bWj_l[h[dZ$. )'* (./. Q>Whc@WdIc_ZS.

(16) Ook die rede riep weer reacties op, onder andere van Dijksterhuis in De Gids. Het was, net als nu, een heftige polemiek met ook toen een duidelijke verdeeldheid in de wiskundewereld. Nu is dat voor de overheid aanleiding om dan maar haar eigen keuzes te maken, toen ging het anders: de overheid deed gewoon niets. CWWa^[jdek[[diYedYh[[j. ; K 9 B ? : ; I . * r . . (/&. \_]kkh(. \_]kkh). Al de hiervoor geuite klachten zijn nogal vaag. Rutgers kwam niet veel verder dan te klagen dat ‘langzamerhand een geheel andere geest over de geheele HBS [is] gevaren’, in tegenstelling tot het onderwijs ‘in haar besten dagen van vóór den oorlog’ – de eerste wereldoorlog natuurlijk. Een meer concrete klacht werd geformuleerd door David van Dantzig. Die was in die tijd hoogleraar aan de TH, maar was daar nogal een buitenbeentje. Hij had, zowel in wiskundig als in didactisch opzicht, heel andere opvattingen dan de gevestigde orde aldaar. Maar natuurlijk kreeg ook hij in zijn onderwijs te maken met studenten die allerlei zaken die ze geacht werden te weten, niet konden of fout deden. Van Dantzig schreef daarover in 1940 een stukje in Euclides en daaruit wordt een beetje duidelijker wat nu de ergernis in Delft opwekte (zie figuur 3 en figuur 4). Foutief oplossen van de simpelste goniometrische vergelijkingen en kwadratische ongelijkheden, het door elkaar halen van een functie en haar grafiek, slordig formuleren, onnozele spelfouten, enzovoort. En eerlijk is eerlijk, ik heb zesentwintig jaar in Delft gewerkt en ik had het zelf kunnen schrijven….

(17) MWj_i[hedZ[hZ[ped5. )'* (/'. Niets nieuws, zult u misschien zeggen. Dit soort geklaag is kennelijk van alle tijden, en moet je niet zo serieus nemen. Zoals altijd is het toch wat ingewikkelder. Naast treffende overeenkomsten met de discussie van tachtig jaar geleden, zijn er ook frappante verschillen. Toen, in de jaren twintig en dertig, gingen de veranderingen op de HBS, als ze er al waren, zeer geleidelijk. Er werd inderdaad wel wat in het programma gesnoeid, het aantal uren verminderde wat, maar welbeschouwd was het een tijdperk van grote stabiliteit. Het programma bleef in essentie tientallen jaren lang hetzelfde. Dat maakt dat de klachten van Rutgers c.s. wel een erg sterk ‘toen wij nog jong waren’gehalte hadden. In de afgelopen decennia echter hebben er wel degelijk grote veranderingen in het Nederlandse wiskundeonderwijs plaatsgevonden. En u weet, elk voordeel heeft zijn nadeel. Dat de klachten van nu soms wat lijken op de klachten van toen, betekent daarom niet automatisch dat de klagers ongelijk hebben. Overigens maakt het onloochenbare feit dat de omstandigheden nu anders zijn, al evenmin dat ze nu wel gelijk hebben. Toen en nu zijn nu eenmaal, om de titel van een bekend TV-programma aan te halen, Andere Tijden.. El[hZ[Wkj[kh. Harm Jan Smid was lerarenopleider en medewerker wiskunde aan de TU Delft, en promoveerde daar op de geschiedenis van het wiskundeonderwijs in de eerste helft van de negentiende eeuw. Hij is momenteel voorzitter van de Historische Kring Rekenen Wiskundeonderwijs (HKRWO). E-mailadres: h.j.smid@ipact.nl. . * r . ; K 9 B ? : ; I . \_]kkh*.

(18) >e[ijWWj^[jc[jZ[ Wb][XhWiY^[lWWhZ_]^[Z[d _dZ[Jm[[Z[\Wi[5 JKII ;D ;L7BK7J? ; L7 D : ; > K ? :? = ; ; N7C;D F HE =H7CC7 ¼I M ? I AK D : ; > 7LE %L ME. (/(. Q>_[ba[F[[h[XeecS. ;hmehZj"c[jdWc[lWdk_jZ[ê[alWdkd_l[hi_j[_j[d[d^Xe#_dij[bb_d][d"Z[ W\][bef[d`Wh[dl[[b][abWW]Zel[h^[j][Xh[aa_][_dijheecd_l[WklWdijkZ[dj[d" leehWbWbi^[j]WWjecZ[Wb][XhWiY^[lWWhZ_]^[Z[d$8_`Z[_dle[h_d]lWdZ[ ^k_Z_][[nWc[dfhe]hWccW¼i^Wle%lme_d(&&-_i_dê][cWj[h[a[d_d] ][êkZ[dc[jZ[X[ê[\j[ecZ[Wb][XhWef[[dê][hfbWdj[j_bb[d$?dZ[ Z_iYkii_[hedZecZ[d_[km[m_iakdZ[fhe]hWccW¼i(&'*leehZ[Jm[[Z[\Wi[ lWd^[j^Wle%lmeif[b[defd_[kmZ[Wb][XhWiY^[lWWhZ_]^[Z[d[[d fhec_d[dj[heb$ DWZ[fh[i[djWj_["ZeehYJME"lWdZ[p[YedY[fj#[nWc[dfhe]hWccW¼iamWc"leehWb lWdk_jZ[h[iedWdi]he[f"efd_[kmZ[efhe[fecamWdj_jWj_[\[damWb_jWj_[\ ê][h[[_i[dj[ij[bb[dWWdZ[Wb][XhWiY^[lWWhZ_]^[Z[d$ ?d[[dh[WYj_[^_[hef^[[\j^[jc_d_ij[h_[lWdE9MWWdYJME][lhWW]Zec_d^WWh fbWdd[dZ[[hlWh_d][dc[jZ[(&&-#fhe]hWccW¼ij[X[jh[aa[d$>[jX[bWd]h_àij[ WWdZWY^jifkdj^_[hX_`_iWb][XhWiY^[lWWhZ_]^[Z[d$. ; K 9 B ? : ; I . * r . . Efp[jlWdZ[[lWbkWj_[lWdZ[ [hlWh_d][dc[jZ[(&&-fhe]hWccW¼i. Het projectteam van cTWO heeft deze tussenevaluatie in de periode oktober 2008 tot januari 2009 uitgevoerd. Het belangrijkste doel hierbij: op grond van de ervaringen tot dusver met de examenprogramma’s uit 2007, een voorspelling te kunnen doen over het instroomniveau bij de vervolgopleidingen, van de leerlingen die met deze examenprogramma’s havo/ vwo-examen hebben gedaan, in het bijzonder betreffende de algebraïsche vaardigheden. Er is op vier fronten geëvalueerd: 1. bij de twee grootste schoolmethodes (Getal & Ruimte en Moderne wiskunde) zijn de 2007-edities vergeleken met de vorige edities; 2. er is een enquête gehouden onder docenten; 3. er zijn interviews afgenomen bij wiskundesecties van 13 scholen; 4. er zijn toetsen op het gebied van algebraïsche vaardigheden ontwikkeld en afgenomen.. '$L[h][b_à_d]iYêebc[jêZ[i. Bij beide edities van de hierboven genoemde methoden is geturfd hoeveel opgaven betrekking hebben op algebraïsche vaardigheden en is er een uitsplitsing gemaakt naar de onderdelen zoals die in de syllabi voor de huidige examenprogramma’s genoemd. worden: breukvormen, wortelvormen, bijzondere producten, exponenten en logaritmen, goniometrie, substitutie en herleiden, vergelijkingen, ongelijkheden, algemene vormen. Daarna is een vergelijking gemaakt tussen de beide edities. Het blijkt dat bij Moderne wiskunde (MW) de toename van het aantal algebraopgaven aanzienlijk meer is dan bij Getal & Ruimte (G&R). De oorzaak kan liggen in het feit dat MW met aparte algebrablokken is gekomen en het kan zijn dat G&R ten opzichte van MW in de vorige editie meer algebra bood. De belangrijkste conclusies staan hieronder. Havo wiskunde B Het aantal algebraopgaven is gestegen met 30% (MW) resp. 15% (G&R). De grootste procentuele toenames zijn te zien bij ‘werken met wortelvormen’, ‘substitutie en herleiden van expressies’ en ‘werken met breukvormen’.. \_]kkh'F[hY[djW][ef]Wl[dWb][XhWiY^[lWWhZ_]^[Z[d=[jWbHk_cj[" *[[d+[abWi^Wlem_iakdZ[8^Wle8Z[[b)edjXh[a[dZ.

No results found