Over de theorie van cubatuurformules voor meerdimensionale sferen

Over de theorie van cubatuurformules voor meerdimensionale

sferen

Citation for published version (APA):

Nazrullajewitsj, S. G. (1978). Over de theorie van cubatuurformules voor meerdimensionale sferen. (Eindhoven University of Technology : Dept of Mathematics : memorandum; Vol. 7809). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1978 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Onderafdeling der Wiskunde

Memorandum 1978-09 augustus 1978

SALICHOV GAIBULLA NAZRULLAJEWITSJ:

Over de theorie van cubatuurformules voor meerdimensionale sferen uit het Russisch vertaald door A. Korlaar

op verzoek van Prof.dr. J.J. Seidel

Technische Hogeschool Onderafdeling der Wiskunde PO Box 513, Eindhoven Nederland

Rekencentrum

SALICHOV GAIBULLA NAZRULLAJEWITSJ

OVER DE THEORIE VAN CUBATUURFORMULES VOOR MEERDlMENSIONALE SFEREN

(OI.OI.07-numerieke wiskunde)

AUTOREFERAAT

van de dissertatie ter verkrijging van de wetenschappelijke graad van doktor in de wis- en natuurkunde wetenschappen

Uz bekse SSR.

Officiele opponenten:

dr.in de wis- en natuurkunde,professor W. 1. Lebedev dr.in de wis- en natuurkunde,professor G.A.Michailov dr.in de wis- en natuurkunde,professor W.D.Mazurov.

Verantwoordelijke instelling:Zdanov Staatsuniversiteit van Leningrad

Ret probleem van het construeren van formules voor de berekening van integralen is een van de klassieke problemen uit de numerieke wiskunde.Met de oplossing van dit probleem hebben zich vele be-kende wiskundigen bezig gehouden,waarvan het bestaan van formules, die de namen dragen van Newton,Euler,Gauss,Tsebysjev en Markov getuigt. Tot voor kort echter waren aIle onderzoekingen gericht op het verkrijgen van formules voor de numerieke berekening van integralen van funkties van een veranderlijke: quauratuur formules. Bet probleem van de constructie van formules voor de numerieke berekening van meervoudige integralen -cubatuur formules- wordt sterk bemoeilijkt door een reeks omstandigheden,met name door het optreden van een nieuwe parameter -de vorm van het integratie-gebied- en de snelle stijging van het aantal noodzakelijke reken-kundige operaties bij verhoging van de nauwkeurigheidseisen van de formules.Deze moeilijkheden nemen nog toe bij het verhogen van de dimensie van het integratiegebied en deze zijn zelfs nog zeer aanzienlijk bij gebruik van elektronische rekenmachines. In verband met de toegenomen belangstelling voor het probleem van de numerieke integratie van de kant van vertegenwoordigers van verschillende disciplines van wetenschap en praktijk ener-zijds,en de aangeboden brede toepassingsmogelijkheden in de numerieke praktijk anderzijds,hebben de afgelopen twee-drie decennia een formulering en een stormachtige ontwikkeling te zien gegeven van de theorie van de numerieke integratie (TNI). In dit deel van de numerieke wiskunde hebben de methoden van de functionaal anaIyse,en de theorie van de waarschijnlijkheids-rekening,de algebra en de getaltheorie,de meetkunde en de theorie Van de differentiaaivergelijkingen hun vruchtbare toepassing gevonden.

In de TNI zelf kunnen we op het ogenblik een aantal zelfstandige richtingen onderscheiden,waarvan het einddoel echter hetzelfde is:het ontwikkelen van algoritmen voor de berekening van inte-gralen met voidoende nauwkeurige precisie - maar de methoden die door hen gebruikt worden zijn tameIijk verschillend.Deze rich-tingen kunnen we als voIgt indelen:

I.De klassieke benadering in de TNI;

2.De waarschijnlijkheids-statistische benadering; 3.De getaltheoretische benadering;

4.De functionaal-theoretische benadering.

We zullen deze richtingen in het kort karakteriseren. Beschouw cubatuur (kwadratuur) formules van de gedaante

{ t

IxJ

sr{

~

clx

~

L-j;

I waarin en '11..

-een of ander gebied in de retHe ruimte

7R. ,

-de coefficienten (of gewichten),

l jJ ( ljl (/1 "/ t

J')

?C

==

"KJ ) ')(1 J • • I ) "(.~

-de knopen van de cubatuurformule.

In de klassieke formulering van het probleem wordt gevraagd om de knopen 'A::fj'en de coiHficienten

~{

zodanig te kiezen, dat formule (I) exact is voor aIle functies uit een of andere verzame ling

CP

bij een minimale of bij een gefixeerde

N

Gewoonlijk neemt men voor de verzameling

4?

algebraische of trigonometrische polynomen,waarvan de graad een gegeven getal

k

niet te hoven gaat.Deze richting wordt ontwikkeld in

(I)

het w:!rk van W.I.Krylov

[1OJ

,LP.Mysovskych [14],w.I.LebedevDV. A.Sard

~9J

,A.G.Stroud

[30J

en hun leerlingenX) .

Tamelijk vruchtbaar bleek hetgebruik van waarschijnlijkheids-statistische methoden (Monte-Carlo metheden) in de numerieke berekening van integralen.De eenvoudigste variant van deze me-thode leidt tot een cubatuur formule van de gedaante

"'...JJ

:;::-lY-

f

('X

(j

V

~

N

L----

J

j

~ I

waarin )tIO -onafhankelijke random punten,die uniform verdeeld (2)

zijn over de eenheidskubus.De handigheid van deze methode bestaat daaruit,dat in formule (2) tamelijk grote getallen ~ gekozen

-)

kunnen worden,daar aIle punten Xl) volgens een en hetzelfde algoritme berekend worden,terwijl de convergentieorde van (2) (in waarschijnlijkheidszin) niet van de multipliciteit van de

•

~)zie

bijvoorbeeld het werk van M.I.Lewin,A.K.Ponomarenko,

W.J.Tsjernitsina,S.D.Kosjuk,G.P.Ismatulaev,S.I.Konjajev.

Maar een zwakke kant van deze methode is de langzame convergentie, waarbij de gladheid van de funkties geen verbetering van de

convergentie geeft.

Aan formules van het type (2) is werk gewijd van N.s.Bachwalov[lJ, S .M.Ermakov

(.4)

,I .M. Sobol [2~ ,N.N. Tsjentsov [24] .Een voldoende volledige bibliografie van werk in deze richting staat in

[4] .

Het gebruik van getal-theoretische methoden in TNI is begonnen met het werk van N.M.Korobov [9].Hij voerde de funktieklassen

E:((!.)

I-I:{e)

(zie{J.2J) in en door gebruik te maken van getal-theoretische methoden construeerde hij een nieuw type integratie-roosters,die op deze klassen funkties een bijna optimale conver-gentieorde geven.Haar verdere ontwikkeling heeft deze methode gekregen in het werk van N.S.Bachwalov [1],N.N.Tsjentsov

[24j,

J.M.Zjileikin (6],W.M.Solodov (21) ,I.F.8charygin

[26)

en anderen. Met de huidige stand van zaken in deze richting kan men kennis nemen in het werk

[2SJ.

Een uitgebreidetoepassing van methoden uit de funktionaalanalyse en de theorie van differentiaalvergelijkingen bij het onderzoek van TNI (de zogeheten functionaal-theoretische benadering in

TNI)is begonnen met het werk van 8.M.Nikolski

[IS]

en 8.L.Sobolev[19]. Bij het beschouwen van het vraagstuk over het construeren van

cubatuurformules voor funkties uit een of andere Banachruimte]E3 , bevat in de ruimte van continue funkties

C

{J3'--"".

c:J,wordt tegenover formule (1) haar fout gesteld

waarin

t

(7L) IV

•

r

{0/

CSt -de

\:

() (x) -de

karakteristieke funk tie van het gebied

~

deltafunktie van Dirac.

Het is duidelijk dat voor funkties

({VEE

deze fout een of geconjugeerde ruimte

']3*

zal zijn. andere funktionaal uit de

f

(~)heet

foutfunktionaal van de cubatuurformule (1) .Op grond

N

van het feit dat deze funktionaal additief,homogeen is,en op grond van de

voorwaardeJB~~tevens

begrensd,wordt zijn norm bepaald door de gelijkheid

.~

lIffIBl/;j.

Zodoende wordt het afschatten van de fout van cubatuurformule (5 )

(1) op funkties uit de ruimte

1B

,teruggebracht tot het vinden van de norm van funktionaal (4) in de geconjugeerde ruimte

JB* .

De norm van de funktionaal

t

(1l) hangt van de coefficienten

~'

ljJ

':'

'

en van de knopen ~ af.Indlen

II (\

15*

II

=

~/rJ:fJ

(/I

.?/v \

15*

10)

J

)l,lJ 0

zullen we zeggen dat de funktionaal

t

(2:}optimaal overeenkomt

13

tv

met de cubatuurformule in

Zodoende is bet voldoende,als een cubatuurformule geconsttueerd is en gevraagd wordt om de maximaal mogelijke fout van deze formule voor aIle funkties van de gegeven ruimte

JB

te vinden, om het volgende probleem I op te lossen.

Probleem I. Vind de norm van de foutfunktionaal

t:v

b:.} van de beschouwde formule.

(6 )

Maar indien er gevraagg wordt om door variatie van de coefficienten

11) tjJ

JB

C

j

en de knopen 'X de optimale cubatuurformule in te vinden,moeten we probleem II oplossen.

r.J tjJ

Probleem II.Vind zodanige waarden van

Cj

en X .opdat vol-daan wordt aan gelijkheid (6).

De problemen I en II voor kwadratuurformules zlJn onderzocht door S.M.Nikolski

[ISJ

,N.P.Korneitsjuk [S],W.I.Krylov [10], A.Sard [29J,Z.Zj.Zjamalov

[sJ

en anderen

~)

~)zie

tevens bet werk van T.A.Schaidajewa,N.E.Luschpaja,W.P.Motorny,

Bet probleem II is in zorn algemene formulering tamelijk inge-wikkeld, .elfs in het eendimensionale geval.Daarom is het verstan-dig om het voorlopigeniizins te vereenvouverstan-digen.

Zij

A

-een reele vierkante metrix van de orde

n,MA:>o

en

1'""7

(A)

-een of ander rooster in

R"YI.-

dat door de matrix

A

bepaald wordt.

We zullen cubatuurformules beschouwen waarvoor als knopen de punten van het rooster r{A)gekozen worden en we zullen dit formules noemen die gegeven zijn op het rooster.Door nu verschil-lende matrices te nemen,kunnen we verschilverschil-lende roosters beschou-wen.Optimaal onder deze formules is die formule,waarvoor voldaan wordt aan de gelijkheid

1/

,f

0

1113 '"

II

~ l~

(II

t",;i

B"

II).

tv

Cj-

JrfAJ

Probleem III.Voor cubatuurformules die gegeven zijn op een rooster ,zulke waarden

(!j

en een rooster

r

(A)

te vinden, opdat voldaan wordt aan gelijkheid (7).

(7)

Met probleem III werd voor het eerst geformuleerd door S.L.Sobolev

l19.2J

voor klas sen van funkties

L=J,

l. ... ;m, waarvan de gegenerali-seerde afgeleiden van de m-de orde kwadratisch sommeerbaar

zijn,en het is teruggebracht tot het onderzoek van de ~-funktie van Epstein.Als resultaat van het onderzoek van de ~-funktie is door S. S.Ryschkov

[18J

onder andere vastgesteld,dat bij vol-doende grote ~ optimale integratieroosters voor funkties uit

{'tn}

de klasse

L

_,.

(R"") bij '1\.~8die roosters zijn,die overeenkomen met de roosters met de dichtste pakking.

Voor de numerieke integratie over begrensde gebieden heeft

S.L.Sobolev

[19.6J

de theorie van cubatuurformules met reguliere grenslaag ontwikkeld,die asymptotisch optimaal zijn.Formules

van dat type voor praktisch gebruik zijn opgezet door L.W.lvoitisjek [3J en N.W.Blinov [2].

M.D.Ramazanov heeft,door de klasse funkties die door S.L.Sobolev ingevoerd waren enigszins uit te breiden,cubatuurformules bekeken met een verzwakte reguliere grenslaag

tJ7.J

en heeft voldoende voorwaarden geformuleerd voor asymptotische optimaliteit van dergelijke formules in verschillende Banach-ruimten.

•

De resultaten van S.L.Sobolev zijn overgebracht naar enige Hilbert en Banach-ruimten,uitgebreid naar cubatuurformules met gewichten en naar formules die de waarden van de afgeleiden van de te integreren funktie bevatten door:W.I.Polobinkin [16J, Ts. B.Shchoinzhurov

[z7J

,T.I.Khantov

[23J

,T.Kh.Sharipov

[2'i]

en anderen.

In 1962 stelde S.L.Sobolev

[19.i]

een methode voor, voor de con-struktie van cubatuurformules voor de numerieke integratie over het oppervlak van een sfeer in de driedimensionale ruimteR3 • Op grond van het feit dat continue funkties op een sfeer bena-derd kunnen worden door middel van sferische harmonischen met een willekeurig grote nauwkeurigheid,in de zin van uniforme convergentie,terwijl tweemaal continu differentieerbare funkties ontwikkeld kunnen worden in een uniform convergente reeks van sferische harmonischen,is bet voldoende om cubatuurformules te construeren die een zo groot mogelijk aantal sferische harmo-nischen exact integreren,met behulp waarvan het mogelijk wardt om integral en van funkties van een aantal klassen numeriek te

berekenen.

Bet blijkt dat,als we bij het construeren van cubatuurformules gebruik maken van de eigenschappen van de draaiingsgroepen van de sfeer,het voldoende is om de formule exact te maken voor zekere sferische harmonischen tot de gegeven orde

I(

en zo'n' formule zal dan automatisch aIle sferische harmonischen tot de orde

k.

integreren.

Zij in formule (1) het integratiegebied de eenheidssfeer

52

_{" ?t} a'l.

_'Y'q

_{+--z.. :::./,} ' l - . . _en f d d "

Z1J gegeven een 0 an ere raallngsgroep . ~ van de sfeer. Veronderstel dat de knopen van formule (1) lnvariant zijn ten opzichte van de groep G, i. e. als £1.. t;;

f? /' ,

('J -.~ 0

i f

dan}alt de

v~~>zameling

punten

[12: ) )

J:::

I "/'1J samen met de

ver-zame ling {"

J

1.

(j,,)

Kies een gefixeerd punt 9( en beschouw de punten

.. , M

)

,)

waarin

M

-de orde van de groep

r

is , i • e.

7

L'

elementen van de groep ~

zijn aIle

•

De punten (8) zullen we equivalent ten opzichte van de gegeven groep

n(~men.Zij

formule (1) zodanig,dat de coefficienten

L}'

voor aIle onderling equivalente knopen samenvallen.Zo'n cubatuur formule is kennelijk invariant ten opzichte van de groep

~

• Voor zulke cubatuurformules geldt de volgende stelling (zie

[t9.3]).

Stelling.Opdat een zekere cubatuurformule,die invariant is ten

opzichte van transformaties van de groep

~

,exact is voor aIle funkties van een zekere eindig-dimensionale lineaire verzameling

f

("Ie)

=

0,

Cf,

(rx)

+-

Q'l.- tri(x) + ' • •

+

art:

r~

(x) J

welke invariant is ten opzichte van de groep

~

,is het noodza-kelijk en voldoende dat de fout (

till"

0')

nul is voor die funkties uit deze verzameling,die invariant zijn ten opzichte van de

groep

~

Er bestaan vier nietequivalente draaiingsgroepen van de sfeer

. I? 3 D .. d d' l ' d k

~n ~ . at z1Jn e groepen ~e een rege mat1g tetrae er,o ta-eder of ikosata-eder invariant laten en een serie cyclische groepen, die in dit geval weinig interessant zijn.

Elke eindige groep

fr

bestaat behalve uit de identieke trans-formatie uit draaiingen rond een as die door de top van een invariant veelvlak gaat,draaiingen rond een as die door het midden van een van de ribben gaat en tenslotte uit draaiingen

rond een as die door het midden van een zijvlak gaat. Zij de draaiingshoeken rond zo'n as resp. gelijk aan

) ₍₉₎

Bet is bekend,dat het aantal lineair onafhankelijke sferische harmonischen van de orde

~

gelijk is aan "l.

-R-

-+ I • Ret aantal sferische harmonischen van de orde

~

dat invariant is ten opzichte van de groep ~ geven we aan door

S (/:)

Door S.L.Sobolev LI9.~: is bewezen,dat

5 (;() ,

t

iJl

+

[tJ

r

r

IJ

+

1 -

~.

Door hem is ook de vraa5. onderzocht over de keuze van

integra-I

tieroosters voor verscrj.llende draaiingsgroepen van de sfeer,

(10)

en zijn een aantal die invariant zijn ikosaeder.

var:i)~nten van cubatuurformules geconstrueerd,

ten\3PZichte van de draaiingsgroep van de

)

t

Merk op dat een van deze formules al in 1953 door L.A.Lyusternik en W.A. itkin

[12J

opgesteld was.A.D.Mak-Laren

[I~

heeft een methode voorgesteld om het aantal knopen van zulke

cubatuur-formule S op de sfeer te verminderen.

Voor het construeren van cubatuurformules op de sfeer volgens de methode van S.L.Sobolev is het overigens voidoende om het aantal invariante,lineair onafhankelijke sferische harmonischen van de gegeven orde te kennen en is het niet nodig om de expIi-ciete gedaante van deze harmonischen te kennen.Er geldt met name de volgende stelling (zie

D9.6J ).

Stelling 2.EIk willekeurig homogeen polynoom

Q(z)

van de orde

f:.

kan voorgesteid worden,en weI op een eenduidige manier,in de gedaante

( I ) )

waarin

z

_~-'l (x)

;j

van de graad -fl:: - 2.. ~

-een homogeen harmonisch polynoom ,ook vaak bolpolynoom geheten.

BoIpolynomen ~_2~X) in de gedaante (11) worden gegeven door de formuies

Z

[X) == j ~_2.-j+~-1

!

r'(~ ~ _~

L

' )

1-')

j

~-2::1 r~o

Op grond van het feit dat bolpolynomen op

~~oppervla~van

de sfeer met straal I samenvallen met de sferische harmonischen, voIgt uit stelling 2 dat een willekeurig homogeen polynoom van de graad

~op

de sfeer met straal 1 voorgesteld kan worden in de gedaante van een lineaire combinatie van sferische harmonischen van de orde niet hoger dan

-k .

Gebruikmakend van deze stelling kunnen we het probleem van het vinden van invariante harmonischen omzeilen door in plaats daarvan geschikt gekozen veeltennen (of eentermen) van de beschouwde

graad te nt.'men.Zo wordt in de meeste gevallen gehandeld bij bet maken van konkrete formules.

In ) 973 'Werd het werk van W. I. Lebedev [11.

LJ

gepubliceerd,waaruit bleek dat een willekeurig polynoom,dat invariant is ten opzichte

"*

van de draaiingsgroep van de oktaeder met inversie

g

J' ,op de sfeer voorgesteld kan worden in de vorm van een polynoom in

1..l. ' 1 7 . '1. 2.. -z.2 'Z.

Op grond hiervan kunnen we ten eerste,zonder de hulp van formule (10) in ce roepen voor het bepalen van het getal

5

(*-)

,bereke-nen hoeveel invariante sferische harmonischen van de gegeven orde er bestaan over de groep

~

8

*

,ten tweede bij het construeren van cubatuurformules zonder gebruik te maken van

stelling 2 rechtstreeks gebruik maken van de polynomen

a;:.

en ~ .. De tweede,belangrijker vraag,die door W.I.Lebedev onderzocht is, is de vraag over het opstellen van cubatuurformules van het Gauss-type op de sfeer.De ingewikkeldheid van deze vraag bestaat daaruit,dat bij het bepalen van de knopen voor een formule van het Gauss-type,het noodzakelijk is om een stelsel niet-lineaire vergelijkingen op te lossen.De grootste verdienste van Lebedev bestaat daaruit,dat hij een zodanige substitutie van nieuwe variabelen heeft voorgesteld,waarbij dit moei~ijke probleem herleid wordt tot het oplossen van een zeker stelsel lineaire algebraische vergelijkingen en het vinden van de wortels van een algebraische vergelijking.

Gebruikmakend van deze resultaten en van enige resultaten van F.Klein,die betrekking hebben op automorfe funkties, heeft S.I.Konjajev

[].2J

een analoog onderzoek verricht voor draai-ingsgroepen van de ikosaeder en een reeks cubatuurformules opgesteld met een voldoende grote orde van nauwkeurigheid. Door S.L.Sobolev is het probleem gesteld over het onderzoeken van de mogelijkheid om soortgelijke cubatuurformules op te stellen voor de numerieke integra tie over het oppervlak van een sfeer in meerdimensionale ruimten.De mogelijkheid om de

theorie van invariante cubatuurformules uit te breiden naar het meerdimensionale geval werd tamelijk snel gevonden (zie[I])x), maar lange tijd is het niet gelukt om dit probleem tot het einde

toe op te lossen,hoofdzakelijk vanwege onvoldoende informatie over de bouw van draaiingsgroepen van regelmatige veelvlakken in meerdimensionale ruimten.

X)Hi _{er en ver er geven romelnse C1J fers tussen haa Jes verwlJZl.ngen} d • . • k ' " .

aan naar werk van de auteur,waarvan een lijst is afgedrukt achter de lijst van geciteerde litteratuur.

•

Merk op dat al in 1962 door I.P.Mysovskich [14.1] een methode voorgesceld werd voor het integreren over een hypersfeer,die feitelijk leidde tot herhaald gebruik van kwadratuurformules. Zoals bekend vereisen deze methoden de toepassing van een groot aantal integratieknopen.

In het gerefereerde werk worden de resultaten uiteengezet van het onderzoek in de theorie van invariante cubatuurformules op de eenheidssfeer in de ~-dimensionale ruimte,waarbij inbe-grepen het onderzoek naar draaiingsgroepen van regelmatige veelvlakken.

Ret bestaat uit een inleiding,vier hoofdstukken en een bijge-voegd programma voor het vinden van de knopen en de coefficien-ten van een cubatuurformule die een verhoogde nauwkeurigheids-graad heeft en invariant is ten opzichte van de draaiingsgroep van de ikosaeder.

In de inleiding wordt een korte uiteenzetting gegeven van de geschiedenis van de ontwikkeling van de theorie van de numerieke integra tie en van de belangrijkste resultaten die in de dis-sertatie verkregen zijn.

Bet eerste hoofdstuk van de dissertatie is gewijd aan onderzoek, in een voor ons geschikte vorm,van draaiingsgroepen van regel-matige veelvlakken in meerdimensionale ruimten en aan lineaire voorstellingen van deze groepen.Voor de draaiingsgroepen van

n..

het regelmatige (1\.+1) -vlak en van het regelmatige ?. 11.. ~.

2-vlak in de ~ -dimensionale ruimte wordt een methode gegeven voor het onderzoeken van deze groepen en voor een aantal kon-krete waarden van 'h wordt de realisering van deze methode ge-demonstreerd.Een gedetailleerd onderzoek is gewijd aan de draai-ingsgroep van het regelmatige 600-vlak in de 4-dimensionale ruimte.

In hoofdstuk II worden de hypersferische harmonischen en vragen over reeksontwikkeling daarin bestudeerd.Gebruikmakend van een speciale voorstelling van hypersferische harmonischen is een verband gevonden tussen de argumenten van de harmonischen en de draaiingshoeken die overeenkomen met de elementen van de draai-ingsgroepen van de hypersfeer.

•

•

lbofdstuk ill is gewijd aan cubatuurformules op hypersferen,die

invariaL~ zijn ten opzichte van draaiingsgroepen.Rier worden formules afgeleid voor de berekening van het getal

5

(If:) van invariante (ten opzichte van de draaiingsgroepen) lineair onaf-hankelijke)hypersferische harmonischen van de gegeven orde

4t ,

en worden tabel1en gegeven van de waarden van

5

I£J

voor

ver-schillende draaiingsgroepen.Er worden een aantal konkrete cu-batuurformules afgeleid voor sferen in de vier- en vijfdimen-sionale ruimte.

In hoofdstuk TIl worden criteria ingevoerd voor de schatting van de nauwkeurigheid van cubatuurformules op een hypersfeer,wordt de fout afgeschat van formules die exact zijn voor hypersferische harmonischen van een zekere orde.Er worden manieren voorgesteld om de nauwkeurigheid van invariante cubatuurformules te verhogen en om de coordinaten van de knopen te vinden van die formules, die invariant zijn ten opzichte van de draaiingsgroep van het

('n +1) -vlak.

Laat ons nu een uitgebreider uiteenzetting geven van de belang-rijkste resultaten van het werk.

In

§

J van het eerste hoofdstuk wordt een onmisbare samenvatting gegeven over regelmatige veelvlakken in meerdimensionale ruimtert. Ret is bekend (zie bijvoorbeeld [2~) dat er in drie- en vierdi-mensionale ruimten resp. 5 en 6 regelmatige veelvlakken bestaan,

terwijl er in ruimten waarvan de dimensie ?t~ S- slechts drie bestaan.

De draaiingsgroep van Iiet ?1. -dimensionale

tV

-vlak zullen we

aangeven met

~~

.Daar duale veelvlakken een en dezelfde groep voortbrengen,bestaan er de volgende draaiingsgroepen van regel-matige veelvlakken: G

(F

)~J=

~

JI = It -) ) )

•

•

Aan onderzoek van de groepen

fn

en

~1L

is

§

2 van het eerste hoofds t .. gewij d.

f., • / I t t . ; . d . (4

In ) 3 wordt de construktl.e van de groep ;)4 afgelel. en l.n ~

wordt tamelijk uitgebreid de draaiingsgroep van het

vierdimen-{f/60<')

sionale 600-vlak beschreven.De groep J~ heeft de orde 7200. De elementen van deze groep worden ingedeeld in klassen gecon-jugeerde elementen en er wordt van een representant uit elke klasse een expliciete gedaante gegeven.Van zulke klassen ge-conjugeerde elementen bleken er 24 te zijn.

Het is voor draaiingsgroepen echter handiger om de elementen

)

(f

60₀

te verenigen in maximale cyclische ondergroepen~ .In ~~ zitten maximale cycli sche ondergroepen

H

v' van de orden:

V::=-

'2)

6)

10, I 2) 2. t) I 3 0 •

Het aantal geconjugeerde ondergroepen is voor ieder daarvan berekend:

Voor de representant uit elke klasse geconjugeerde maximale ondergroep is de expliciete gedaante uitgeschreven van het voortbrengende element in de vorm van een matrix.

15

van het eerste hoofdstuk is gewijd aan de lineaire voor-stelling van de draaiingsgroep van de hypersfeer en aan het vinden van de draaiingshoeken

)I{ ,

t.:::: '} 'lJ

~

• .

J.

U

,die

overeen-komen met de elementen van de groepen van de regelmatige

veel-{??t+ { (V 2,. '11.

vlakken. Voor de groepen

(fA...

en

a'k

worden manieren voorge-steld om de hoeken ~, te berekenen.De voorgestelde methoden worden gedemonstreerd aan de hand van voorbeelden met de groepen

~/,

tj"

s- en

C;/,

1:

en

C;:

.Hier worden oak

d:D~aarden

'ft-

uitgeschreven voor de elementen van de groep

lit .

Het tweede hoofdstuk van het werk is gewijd aan hypersferische harmonischen. In

j

I wordt een voor het vervolg noodzake lijk overzicht gegeven van hyperbol polynomen en hypersferische

har-•

•

monischen en in~2 wordt een bewijs gegeven van de mogelijkheid om een w:'l.lekeurige continue funktie,die gegeven is op een hy-persfeer,uniform te benaderen door middel van een lineaire com-binatie van hypersferische harmonischen.

We voeren nu enige notaties in.

Zij ?L &-

''R

'rt, i

~

I

X

I ::::

V""K/ l-t-

~~-.-"';

o;r".;1 en (} ==

Met

5

geven we de eenheidssfeer in

7?

'tL aan,zodat

&E

S .

De verzameling funkties

~/&) ,die~even

zijn op :) en die kwadratisch sommeerbare gegeneraliseerde afgeleiden van de orde

eM)

"1tL he bben;geven we aan met

L'l.

(S).

Verder zetten we de funktiel'l$) ,die gegeven is op

=>

,voort naar beide kanten van het oppervlak ~ op een sferische schil

5

_b

=-11-b,s''t(!4jwaarbij{f;aar constant be schouwen op stralen uit

het middelpunt van de sfeer.De voortgezette funktie geven we aan met

;r(~)

en verder voeren we nog in de notatie

I

~

-a'~I#=IX)

II

(ftJ)

CJ:l,

oi, . '

~J ~""'~

/

(13)

waarin 0(::::- ((j I J

lotl=c.'i,+

. 'JtV_)-een geheeltallige vektor,

. . . + Dl

~

o(!::::

rX/ /

~-z..

/ - -, 01

~!

.

.>

L

t- 1

Voor funkties uit de verzameling ~ (~definieren we een norm volgens de formule

(14 )

In§3 van het tweede hoofdstuk wordt de vraag over het ontwikke-len van funkties volgens sferische harmonischen behandeld.

Zij

L

~

{

'5)

zoals gebruikelijk de ruimte van funkties die gegeven zijn op de sfeer:; en die daarop kwadratisch sommeer-baar zijn.

Indien de funktie

~(t9)6~~{~,kunnen

we haar ontwikkelen in een reeks van sferische harmonischen

'II

II)

~

to

~~)

alt,e':fl,

/tJ)

=

1:0

lJ{t

((J)

~

_{(I5 )}

waarin

a

=-

S

f (

!))

\j (

tJ)

d

5 }

~tl I

k-,e

•

monischen en inj?2 wordt een bewijs gegeven van de mogelijkheid om een w~ilekeurige continue funktie,die gegeven is op een hy-persfeer,uniform te benaderen door middel van een lineaire

com-binatie van hypersferische harmonischen. We voeren nu enige notaties in.

, '>I .---'~n

"....

B

..,,-Zij 'lLtf-1{, ~=

Ixl

=-V-x/+-··-r

':t:<Jt en =: L.

Met

5

geven we de eenheidssfeer in

7?

'I"l aan,zodat

Be S .

De verzameling funkties

vf/~) ,die~even

zijn op

~

en die kwadratisch sommeerbare gegeneraliseerde afgeleiden van de orde

l-)

-111.. hebben)geven we aan metL'Z.

is).

Verder zetten we de funktie1'1&) ,die gegeven is op

=>

,voort naar beide kanten van het oppervlak

S;

op een sferische schil

5

D

=-f

1-

f,,s-

"t"

I-J'

Jwaarbijrr:aar constant beschouwen op stralen uit het middelpunt van de sfeer.De voortgezette funktie

met

~(~)

en verder voeren we nog in de notatie

geven we aan

I ~'~I~(

)

IJ

~/(

c9

J

0/ I

tf-=:Y--~

"'--

J

t

<

d

Z, • • -

d

X-'YL

waarin ot..

=

(ci

I J

l..xl=c:x't+

. ') <V'V\.)

-een geheeltallige vektor,

. - . 7-

ex

~

IX!

=-

0(,

!

0:'... / - ' .

rx

~!

.

.>

L

(-1

Voor funkties uit de verzameling ~ (~definieren we een norm

( 13)

(14 )

In

~3

van het tweede hoofdstuk wordt de vraag over het ontwikke-len van funkties volgens sferische harmonischen behandeld.

Zij

L

~

(':))

zoals gebruikelijk de ruimte van funkties die

gegeven zijn op de sfeer:; en die daarop kwadratisch sommeer-baar zijn.

Indien de funktie

~(t9)6 ~~(~,kunnen

we haar ontwikkelen in een reeks van sferische harmonischen

~ r:r('VI It.)

t!

fJ)

~.f.o

::;;

a

I,

e

Y

IT,

,/1))

(15 )

waarin

a

_=-

S'

f (

_t!l)

lJ (

_tJ)

ClL

_J

'/1 /J £--1

e

•

•

(I6 )

lj{t./

6)

-de sferische harmonischen van de orde

I:..

,

{£-

-I--w.-7>J( ( {( II

rr('Ylr~) -.:: I.TTll-1..)! 11+:2. -";-het aantal lineair onafhankelijke sferische harmonischen van de orde

II: .

?ot

Voer nu de ruimte~~(5)in als de verzameling van aIle funkties

I

I

&)6

L

(B)

met een eindige polynorm

I 2- 2. 0:' 0" (??.J. £.)

?"n-111M \

C/

5

_)/1

_='

k

k

a.e.:

£"'(j(+~<-2)

_•

₍₁₇₎

Het is vastgesteld,dat de

ruimte~(5)door

de samenstelling van

'l. {?<o.1

zijn elementen samenvalt met de ruimteL: {S)van S.L.Sobolev,

2-waarvan de norm gedefinieerd wordt met behulp van gelijkheid (14).

Bovendien wordt in deze zelfde'>; 3 bewezen,dat indien Z 1rI.

>?(

de

~(, J /

ruimte

L'1.

S)continu (Le. met afschatting van de norm) ingehed wordt in de ruimte van continue

funktiesl?(:>~en

de volgende stelling geldt. ~

Stelling 4.lndientr!-)G.L,/5)iS het voor absolute en uniforme convergentie van e rij (15) voldoende dat voldaan wordt aanl

de voorwaarde 2 'h1

>

'Yl ..

Bij het uitrekenen van het aantal lineair onafhankelijke,ten opziChte van draaiingsgroepen invariante sferische harmonischen speelt de voorstelling van de sferische harmonischen een niet onbelangrijke rol .

In ~4 wordt een voorstelling van sferische harmonischen voorge-steId,waarmee eenvoudig het verband gelegd kan worden tussen de argumenten van de harmonischen en de draaiingshoeken van de hypersfeer.

Hoofdstuk TIl ,dat een centrale plaats in het werk inneemt,is gewijd aan cubatuurformules,die invariant zijn ten opzichte van de draaiingsgroepen van de hypersfeer.De definitie van dergelijke formules en een stelling over hun nauwkeurigheid worden gegeven in

§l.

§

2 is gewijd aan een uiteenzetting over een algemene aanpak voor het afleiden van formules voor het berekenen van het getal

s

(~) van lineair van de orde

f/:

,die draaiingsgroepen van

on~fhankelijke hypersferische harmonischen

,

in~ariant zijn ten opzichte van eindige dJ hypersfeer en in

§

3 wordt deze aanpak

•

gerealiseerd voor het afleiden van een formule voor

5(£)

in het geva' van de groep van het regelmatige 600-vlak in de vier-dimensionale ruimte.

Als

~

een even getal is,heeft deze formule de gedaante: _

C{d) _ __

1-

r

120 1:, IdJ -I-

2~l1/t1)

..,.-2'1 Z;ltt) -t

'to.{ /i::J

-I-

~[tiJ

.) 'CiC - 240L , ( 1 8 )

Onder de sferische harmonischen van oneven orde over de groep

c:

:ut:::>

zijn geen invarianten,Le. voor

#:.:::

1.~/-+

I geldt

S

(iJ=o.

denzo als de groep

~

van eigen draaiingen van een regel-matig veelvlak,kunnen we oo~ rijkere groepen beschouwen,de groep ~ van alle mogelijke automorfismen van het veelvlak en de groep

(l

'*

van aIle eigendraaiingen en centrale spiegelingen van het veglvlak.

In

J4

van hoofdstuk In wordt het verband duidelijk gemaakt tussen de opgesomde drie typen groepen van regelmatige veelvlakken in afhankelijkheid van de dimensie van de ruimte en de bouw van het

beschouwde veelvlak.Er wordt de vraag in behandeld over de moge-lijkheid om formules af te leiden voor de berekening van

S

(~)

over de groepen

r

en

~"*"

volgens de methode die in

§2

van dit hoofdstuk uiteengezet is.

Bij het afleiden van formules voor de berekening van

S(~)

voor konkrete groepen van transformaties,heeft het vinden van de maximale cyclische ondergroepen van de beschouwde groep een niet onbelangrijke betekenis.

•

•

Van de andere kant bestaan er in 1rdimensionale ruimten ( ~? g )

twee gro~pen van regelmatige veelvlakken:de groepen van het simplex en van de kubus. In

§

4 van hoofdstuk

m

wordt eveneens de . vraag bekeken over het vinden van maximale cyclische ondergroepen

van groepen van aIle mogelijke automorfismen van het simplex

c:

:'1-1

en de kubus

g

:~

~rk

op dat in 1977 het werk van I.P.Mysovskich gepubliceerd werd

LI4.5],waarin~·

vragen bekeken worden over de construktie van cubatuur formules die invariant zijn ten opzichte van de groepen

~:~I

en

~~l~ten

waarin parameters afgeleid worden voor formules met nauwkeurigheidsgraad 5,7 en 9.Eveneens worden

for-mules voorgesteld voor het bepalen van een ondergrens voor het aantal knopen bij cubatuur formules op de sfeer.

In de laatste

§

6 van het derde hoofdstuk zijn een aantal kon-krete cubatuur formules gemaakt voor numerieke integratie over een sfeer in de vier- en vijfdimensionale ruimte.

S

t t ~ l

Zij de sfeer

:r,.of)',

+ '?3 +:l~ .:: I ,dan zal de cubatuur

formule

lJ btJo

invariant zijn ten opzichte van de groep

5-¥

en aile sferische harmonischen tot en met de elfde orde,i.e. 650 harmonischen; exakt integreren.

(19)

In formule (19) bestaan de knopen

e

'P

uit 24 punten die verkre-gen worden als gevolg van aIle mogelijke

koordinatentransforma-.

(-+

1 +, ... 1 ..J

I)

.

tles van de punten _ 2.) - L , / - ~ ) - 1. en 96 punten dl.e verkre-gen worden als resultaat van even permutaties van de koordina-ten van de punkoordina-ten

(!

~

I

:t { }

! {')

0),

waarin Teen wi llekeu-rige wortel van de vergelijking

r

~ Z-oz - '3 ::::. 0 is.

In ~I van hoofdstuk W worden kriteria afgeleid voor de nauwkeu-righeid van cubatuur formules in de vorm van de betrekking

(20 )

die de effektiviteitskoefficient van de cubatuur formule heet en waarin o-("h'ti_l £:) het aantal van alle sferische harmonischen

•

tot en met de orde

~

is,waarvoor de beschouwde formule exakt is.

n

tv/

is bet aantal parameters van de formule ( (7l. -

d

koordi-naten voor elke knoop en zijn koefficient).Overigens is

~--

I

en hoe dichter de waarde van

E

bij een ligt, hoe groter de effektiviteit van de formule.

Aan een methode om de effektiviteit van een cubatuur formule op een sfeer te verhogen,is~2 van hoofdstuk W gewijd.Deze methode wordt gedemonstreerd aan de hand van een voorbeeld om de effek-tiviteit van een cubatuur formule van S.L.Sobolev,die invariant is ten opzichte van de draaiingsgroep van de ikosaeder.te verho-gen,waarvoor oorspronkelijk gold

f{:3/2'l/~;)=

ill

en waarvan de effektiviteitskoefficient als resultaat van de toepassing van de voorgestelde methode de waarde

E

(3)

n"-) '1):

j~~

bereikte • In ~3 wordt het probleem van de foutafschatting van cubatuur formules op een hypersfeer bekeken.De foutfunktionaal (3) wordt

1>\

onderzocht voor funkties ui t de ruimte

L

~

(5)

,waarin de norm door gelijkheid (17) gedefinieerd wordt.Hier wordt het bewijs

gegeven van

*

Stelling 8. De foutfunktionaal heeft in de ruimte

L'n1.

(5)

de norm

.x

5

ex>

v(~~)

(1- e.

lJ.'1-.

(l/iJ)

2;

t

II

e:

I

L~

(5)

1/

:=

2

f?;

if~7.€:~-~5~

J

(21)

Bij het konstrueren van cubatuur formules,die invariant zijn ten opzichte van de groepen van regelmatige veelvlakken,wordt voor de knopen van de formule gewoonlijk de projekties van de middelpunten van de -R-dimensionale

(t:

~'n,-t)

zijvlakken van een veelvlak op de sfeer genomen.Het vinden van de middelpunten van de zijvlakken van de kubus kost niet veel moeite.Maar door het irrationaal zijn van de koordinaten wardt het rechtstreeks bepalen van de ligging van de middelpunten van de zijvlakken van het simplex enigszins bemoeilijkt.

In verband hiermee wardt in §4 van hoofdstuk IV een manier voor-gesteld voor de berekening van de knopen van een cubatuur formule, die invariant is ten opzichte van de groep van het simplex.

Aan het werk is een programma toegevoegd in Algol van de reali-satie van de methode tot verhoging van de effektiviteit van een

•

cubatuur formule die invariant is ten opzichte van de draaiings-groep val de ikosaeder en waarvan de algoritme in§2 van het vierde hoofdstuk is afgeleid.

De belangrijkste resultaten van de dissertatie zijn vermeld op

all-union colloquia over de theorie van cubatuur formules (Tasjkent, 1971,1971,1977),(Ulan-Ude,1973),op wiskunde conferenties van de republiek Uzbekistan (Nukus,1967),(Urgentsj,1975),(Samarkant,1977) en tevens op seminaria van de volgende instituten van de Siberische Afdeling van de Akademie van Wetenschappen van de USSR:11athematisch

Instituut,Instituut voor Theoretische en Toegepaste Mechanica, Rekencentrum en is gepubliceerd in de artikelen I XI . Gebruikmakend van deze gelegenheid,spreek ik mijn diepe

dank-baarheid uit aan mijn leermeester,het lid van de Akademie van Wetenschappen Sergei Lvowitsj Sobolev voor zijn voortdurende aandacht voor het voorliggende werk.

•

GECITEERDE LITTERATUUR

I. Bachwalov N.S.

I.I.Over de numerieke berekening van meervoudige integralen, Westnik MGU,serie math., 1959,

§

4,3-18.

I.2.De toepassing van getaltheoretische roosters in problemen uit de numerieke wiskunde (samen met Korobov N.M. en Tsjentsov N.N.),Voordracht op het IVe all-union wiskunde congres,

Leningrad,J961.

I.3.0ver optimale convergentieafschattingen voor quadratuur-processen en integratiemethoden van het Monte-Carlo type op klassen van funkties,In de bundel "Numerieke methoden voor het oplossen van differentiaaal- en integraalvergelij-kingen en quadratuur formules",bijlage bij Comp.Math.&Math.Ph.,

1964,nr.4,5-63.

I.4.Een ondergrens voor de asymptotische karakteristieken van klassen funkties met een dominerende gemengde afgeleide, Math.Zametki,1972,T.I2,nr.6,655-664.

2.Blinov N.W.Numerieke berekening van tweevoudige integralen, Staats Fonds van algoritmen en programma's,Nowosibirsk,1973. 3.Woitisjek L.W.Over een particulier geval voor het maken van

cubatuur formules met een grenslaag,Comp.Math.&Math.Ph., 1969,T.9,nr.2,417-419.

4.Ermakov S.M. De Monte-Carlo methode en verschillende vraagstukken, Moskou, "Nauka", 1 975.

5.Zjamalev Z.Zj.Optimale quadratuur formules op roosters,kandi-daats dissertatie,Tasjkent,1975.

6.Zjileikin J.M. Over quadratuur formules op klassen van funkties Comp.Math.&Math.Ph.,1968,T.8,nr.3,507-516.

7.Konjajev S.l.

7.1.Quadratuur formules op een sfeer,die invariant zijn t.o.v. de groep van de ikosaeder,deel I,preprint van het instituut voor atoornfysica genaarnd I.W.Kurtsjatov-instituut,2516, Moskou,1975,3-16.

7.2.Invariante formules voor het integreren op een sfeer,preprint IAE Kurtjatov-instituut,2553,Moskou,1975,3-23.

7.3.Quadratuur formules op een sfeer die invariant zijn t.o.v. de groep van de ikosaeder,In sbornik "Vraagstukken van nume-rieke en toegepaste wi skunde", ui tg. 32, lust .Cybern.rnet Rekencentr. AN Uzb.SSR,1975,69-76.

8.Korneitsjuk N.P. Over nieuwe resultaten voor optimale proble-men n de theorie van de quadratuur,Aanhangsel bij het boek van Nikolski S.M. "Quadratuur formules",Moskou "Nauka",I974. 9.Korobov N .M.

9.I.Numerieke berekening van meervoudige integralen met behulp van methoden uit de getaltheorie,DAN USSR,1957,T.IIS,nr.6,

1062-1065.

9.2.Getaltheoretische methoden in de numerieke analyse,Moskou, Fysmatgiz,1963.

10.Krylov W. LNumerieke berekening van integralen,Moskou, "Nauka", 196 7.

11.Lebedev W.I.

II.I.Over quadraturen op de sfeer van de hoogste algebraische nauwkeurigheidsgraad,In de sbornik "De theorie van quadratuur formules en de toepassing van funktionaalanalyse in enige vraagstukken uit de mathematische fysica",Nowosibirsk, "Nauka",1973,31-35.

11.2.De berekening van quadraturen van het type Gauss-Markov voor gebieden en gewichten die invariant zijn t.o.v. de groep van de oktaeder met inversie,In de sbornik "Vraag-stukken uit de numerieke en toegepaste wiskunde",uitg.32, Tasjkent,Inst.Cybern.met Rekencentr. AN Uzb.SSR,1975,77-84. 11.3.De knopen en gewichten van quadratuur formules van het type

Gauss~rkov voor de sfeer met nauwkeurigheidsorde 9 tot 17,

die invariant zijn t.o.v. de groep van de oktaeder met inversie,Comp.Math.& Math.Ph.,1975,T.I5,nr.l,48-54.

11.4.0ver een type quadratuur formule van verhoogde algebraische nauwkeurigheid voor de sfeer,DAN USSR,J976,T.23t,nr.l,32-34.

Il.S.Over quadraturen op de sfeer,Comp.Math.& Math.Ph.,1976, T.16,nr.2,293-306.

11.6.Quadratuur formules voor de sfeer met 25-29ste orde van nauwkeurigheid,Sibir. Math.J.,1977,T.18,nr.l,132-141.

12.Lusternik L.A. en Ditkin W.A. Over een aanpak in de praktische harmonische analyse op de sfeer,In de sbornik "Numerieke wiskunde en numerieke techniek",nr.J,J953,3-13.

13.Mak-Laren A.D.Quadratuur formules op een bol.DAN USSR,I963,

14.Mysovskich I.P.

14.I.Cub tuur formules voor de berekening van integral en over een hyperbol,DAN USSR,1962,T.147,nr.3,552-555.

14.2.0ver cubatuur formules voor de berekening van integral en overhetoppervlak van een sfeer, Sibir. Math.J., 1964, T.S, nr. 3,72 I -72 3.

14.3.Interpolerende cubatuur formules,Inde sbornik "De theorie van cubatuur formules en de toepassing van

funktionaal-analyse bij een aantal problemen uit de math.fysica",Nowosibirsk, "Nauka", 1973,73-90.

14.4.0ver het construeren van cubatuur formules,In de sbornik "Vraagstukken uit de numerieke en de toegepaste wiskunde", uitg.32,Tasjkent,Inst,Cybern. met RC van de AN Uzb.SSR, 1975,85-98.

14.5.0ver de berekening van integralen over Het oppervlak van een sfeer,DAN USSR,1977,T.235,nr.2,269-272.

IS.Nikolski S.M. Quadratuur formules,Moskou,"Nauka",1974. 16.Polobinkin W.I.

16.I.Gewichts cubatuur formules in het periodieke geval,Mat.Zametki, 1968,T.3,nr.3,319-326.

16.2.Gewichts cubatuur formules,DAN USSR,1968,T.J79,nr.3,542-544.

I{"') )

16.3.Cubatuur formules in L-

{Jl

,DAN USSR,1970,T.190.nr.l,42-44.

2.

17.Ramazanov M.D.

17.I.Collegediktaat numerieke integratietheorie,Ufa,1973. 17.2.Asymptotische optimaliteit van rooster cubatuur formules

op ruimten van continu differentieerbare funkties,DAN USSR, 1974,T.216,nr.2,270-273.

18.Rysjkov S;S. Over het probleem van finale

J

-optimaliteit van roosters die de dichtste roosterpakking geven van 1t-dim~n­

sionale bo11en, Sibir. Math. J., 1973, T.14, nr.5, 1065-1075. 19.5obolev S.L.

19.I.Enige toepassingen van de funktionaal analyse in de mathe-matische fysica,Leningrad,1950.

19.2.0ver formules voor mechanische cubatuur in de ~-dimensio­

nale ruimte,DAN USSR,1961,T.137,nr.3,527-530.

19.3.0ver cubatuur formules op de sfeer,die invariant zijn onder transformaties met eindige draaiingsgroepen,DAN USSR, I 962, T.146,nr.2,310-313.

19.4.0ver het aantal knopen van cubatuur formules op een sfeer, DAN USSR,I962,T.146,nr.4,770-773.

19.5.0ver formules van mechanische cubatuur op het oppervlak van een sfeer, Sibir. Math. J., 1962, T.3, nr.5, 769-796.

J9.6.1nleiding in de theorie van cubatuur formules,Moskou,ffNauka", 1974.

20. Sobl I.M.

20.1.Meerdimensionale quadratuur formules en Haar funkties,Moskou, "Nauka",1969.

20.2.Numerieke methoden van Monte-Carlo,Moskou, "Nauka", 1973. 21.Solodov W.M.Gebruik van de methode van optimale koefficienten

voor numerieke integratie,Comp'.Math.& Math.Ph., 1969,T.9, nr.l,14-29.

22.Stringhem W.I.Regelmatige figuren in de ~-dimensionale ruimte, Russian Math.Suveys,uitg.X,1944,22-33.

23.Khantov T.I.Optimale en dicht daarbij komende periodieke cubatuur formules met meervoudige knopen,In de Sbornik "vraag-stukken uit de numerieke en toegepaste wiskunde",uitg.32, Tasjkent,Inst.voor Cybern.met RC AN Uzb.SSR,1975,l68,l73. 24.Tsjentsov N.N.

24.1.0ver quadratuur formules voor funkties met een oneindig groot aantal veranderlijken,Comp.Math.& Math.Ph.,1961,T.l, nr.3,418-424.

24.2.0ver een gemodificeerde recurrente algoritme van Korobov voor het construeren van een uniform rooster in een meer-dimensionale kubus,In de Sbornik "Vraagst.van numerieke en toegepaste wiskunde",uitg.38,Tasjkent,1970,127-133. 25.Sharipov T.Kh.

25.1.Een universele asymptotisch optimale cubatuur formule in

de klasse van Hilbert ruimten, Sibir. Math. J., 1971,T.13,no.l, 230-234.

25.2.Cubatuur formules met knopen op periodieke systemen,preprint Inst.voor Wiskunde van de Siberische afdeling van de AN USSR,

1960,T.132,nr.I,7l-74.

27.Shojnzhurov Ts.B.Over de numerieke integra tie van funkties

W

I-m)

in

fW'

In de Sbornik "toepassing van funktionaal methoden bij randwaardeproblemen in de Math.Ph. ,"Nauka",Nowosibirsk, 1972,256-265.

28. Applicati 'ns of .number theory to numerical analysis, Proceedings of the Sympos, at the. Centre for research in mathematics, Univ. of Montreal, Sept. 9-14, 1971.

Ed. by S.K. Zaremba, New York-London, 1972. 29. Sard A.

29.1. Integral representations of remainders, Duke Math. J. v. 15, (1948), 333-345.

29.2. Best approximate integration formulas; best approximation formulas, Amer. J. Math., v. 7, (1949), 80-91.

30. Stroud A.H. Approximate calculation of multiple integrals, Prentice-Hall, Englewood cliffs, N.Y., 1971.

De belangrijkste resultaten van deze dissertatie zijn

gepublic~erd in de volgende artikelen van de auteur:

I.Over een aantal cubatuur formules op hypersferen,IAN Uzb.SSR, serie wis- en natuurkunde,1966,nr.2,37-40.

H.Over een methode om de effektiviteit van cubatuur formules van S.L.Sobolev op een sfeer te verhogen,ln de Sbornik

"Vraag-stukken van numerieke en toegepaste wiskunde",uitg.8,Tasjkent, Inst.Cybern.met RC van de AN Uzb.SSR,1971,3-9.

TIl. Over de groepentheorie van regelmatige veelvlakken,DAN USSR, 1972,T.205,nr.l,33-35.

N.Groepen van regelmatige veelvlakken en cubatuurformules op een hypersfeer,In de sbornik "Vr.num.en toegep.wisk.",uitg.14, Tasjkent,Inst.Cybern.met RC van de AN Uzb.SSR,1972,139-147. V.Over de theorie van cubatuur formules op een sfeer,In het boek

"Theorie van cubatuur formules en toepassing van de funktionaal analyse bij enige problemen uit de mathematische fysica",

Nowosibirsk,"Nauka",1973,22-27.

~.Cubatuur formules voor het berekenen van integralen over het oppervlak van een hypersfeer (samen met Sharipkhodzhaewa F.), DAN Uzb.SSR,I 974,nr.4,8-9.

~.De groep van het regelmatige 600-vlak en cubatuur formules

van de hoogste algebraische graad van nauwkeurighei~ op een hypersfeer,ln de sbornik "Vr.Num.en toegep.wisk.",uitg.32, Inst.Cybern.met RC van de AN Uzb.SSR,Tasjkent, I 975,139-]54. ~n.Een algoritme voor de berekening van de koordinaten van de

zwaartepunten van de zijvlakken van een ~-dimensionaal regel-matig simplex (samen met Shushbajev S.),idem 155-]6].

tt.Cubatuur formules voor een hypersfeer die invariant zijn t.o.v. de groep van het regelmatige 600-vlak,DAN USSR,1975,T.223, nr.5,1075-1078.

X.Afschatting van de fout van cubatuur formules in de ruimte DAN USSR,1975,T.223,nr.6,13]8-J321.

XI. Over de afschatting van de fout van cubatuur formules op hypersferen,IAN Uzb.SSR,serie wis- en natuurkunde,1976,nr.4, -23-28.

(-m)

L

(5)

.~

,