Zwaartekrachtmodellen voor de spreiding van woongebieden, afgeleid uit ritdistributies van woon-werkverkeer

(1)

NN31545.07B7

Ç NOTA 7 67 d e c e m b e r 197 3 Instituut voor Cultuurtechniek en Waterhuishouding

'S Wageningen t * BIBLIOTHEEK DE HAAFF Droevendaalsesteeg 3a Postbus 241 6700 AE Wageningen ZWAARTEKRACHTSMODELLEN VOOR DE SPREIDING VAN

WOONGEBIEDEN, A F G E L E I D UIT RITDISTRIBUTIES VAN WOON-WERKVERKEER

i r . Th. Michels

BIBLIOTHEEK STARINGGEBOUW

N o t a ' s van h e t Instituut zijn in p r i n c i p e i n t e r n e c o m m u n i c a t i e m i d d e -len, dus geen officiële p u b l i k a t i e s .

Hun inhoud v a r i e e r t s t e r k en kan zowel betrekking hebben op een eenvoudige w e e r g a v e van c i j f e r r e e k s e n , a l s op een concluderende d i s c u s s i e van o n d e r z o e k s r e s u l t a t e n . In de m e e s t e gevallen zullen de c o n c l u s i e s e c h t e r van voorlopige a a r d zijn omdat het onderzoek nog niet is afgesloten.

/ B e p a a l d e n o t a ' s komen niet voor v e r s p r e i d i n g buiten h e t Instituut

in a a n m e r k i n g .

v > ^

CENTRALE LANDBOUWCATALOGUS

(2)

I N H O U D

B i z .

SAMENVATTING 1 1. INLEIDING 3 2. STRUCTUUR EN CALIBRA TIE VAN HET

ZWAARTE-KRACHTSMODEL 4 2. 1. Zonering van het studiegebied 4

2 . 2 . Formulering van het model 4 2 . 3 . Calibratie van het model 11 2 . 4 . Analyse van parameterwaarden 17

3. ENKELE TOEPASSINGEN VAN CALIBRATIE EN

PARAMETER ANALYSE 18 3. 1. Werkforensen op de gemeente Utrecht in I960 18

3 . 2 . Werkforensen op 14 centra in de Randstad in I960 21 3 . 3 . Beroepsbevolking van de drie Randstadprovincies

in I960 28 4 . CONCLUSIES 35 LITERATUUR 36

(3)

SAMENVATTING

In de r u i m t e l i j k e ordening b e s t a a t het v e r l a n g e n , facetsgewijze i n t e r a c t i e m o d e l l e n (bijv. w o n e n - w e r k e n , w o n e n - v e r z o r g i n g , w o n e n - r e c r e a t i e ) , zoals die zijn ontwikkeld in de v e r k e e r s t h e o r i e , toe te p a s s e n a l s m a c r o p l a n o l o g i s c h e s p r e i d i n g s m o d e l l e n voor d i v e r s e v o r m e n van g r o n d g e b r u i k in g r o t e gebieden voor lange t e r -m i j n p r o g n o s e s .

In deze nota w o r d t d a a r o m een a n a l y s e v e r r i c h t van de s t r u c t u u r van z w a a r t e k r a c h t s m o d e l l e n , g e c a l i b r e e r d op r i t d i s t r i b u t i e s van w o o n w e r k v e r k e e r , teneinde na te gaan of de d i v e r s e m o d e l p a r a -m e t e r s zich lenen voor v o o r s p e l l i n g van g r o n d g e b r u i k .

Na f o r m u l e r i n g van het z w a a r t e k r a c h t s m o d e l m e t zijn n e v e n v o o r -w a a r d e n -w o r d t een i n t e r p r e t a t i e van de e r i n v o o r k o m e n d e p a r a m e t e r s gegeven. D a a r b i j w o r d t g e c o n c l u d e e r d , dat m e t het m o d e l geen

lange t e r m i j n p r o g n o s e van g r o n d g e b r u i k kan worden gegeven zonder de beschikking te hebben over in m i n s t e n s twee v e r s c h i l l e n d e j a r e n w a a r g e n o m e n r i t d i s t r i b u t i e s . Door de p a r a m e t e r s te c o r r e l e r e n aan

specifieke g e b i e d s v a r i a b e l e n kan uit een t i j d r e e k s een e x t r a p o l a t i e e r v a n n a a r de t o e k o m s t w o r d e n afgeleid.

Uiteengezet w o r d t op welke wijze het z w a a r t e k r a c h t s m o d e l kan w o r d e n g e c a l i b r e e r d op een r i t d i s t r i b u t i e m a t r i x door schatting van de p a r a m e t e r s m e t behulp van de ' m a x i m u m l i k e l i h o o d ' - m e t h o d e in een i t e r a t i e v e Tekenprocedure m e t een c o m p u t e r .

Aan de hand van een v o o r b e e l d m e t één w e r k z o n e (Utrecht) w o r d t g e ï l l u s t r e e r d dat de woonplaatskeuze in de o m r i n g e n d e woonzones n i e t kan w o r d e n b e s c h r e v e n zonder d a a r b i j de i n t e r a c t i e m e t a n d e r e w e r k z o n e s te beschouwen, en dat m e t de aldus gevonden p a r a m e t e r s de bevolkingsontwikkeling in de woonzones niet kan w o r d e n v o o r s p e l d .

(4)

Op grond van een toepassing op de ritdistributie tussen 14 werk-zones en 245 woonwerk-zones in de Randstad wordt geconcludeerd, dat de uit deze steekproef berekende parameterwaarden nog onvoldoende betrouwbaar zijn om te worden g e c o r r e l e e r d m e t verklarende v a r i a -belen.

Met een calibra tie op een vierkante ritmatrix voor 84 zones in de drie Randstadprovincies wordt aangetoond, dat de spreiding in de attractieparameters per zone bovendien storend wordt beïnvloed indien in het model s l e c h t s één afstandsfunctie voor het hele studie-gebied wordt gehanteerd. De conclusie luidt dat het wellicht zinvol i s , voor de werkzones individuele afstandsfuncties aan te p a s s e n aan de betreffende ritdistributie s, en de p a r a m e t e r s hierin te relateren aan specifieke variabelen van de ter plaatse werkende b e r o e p s -bevolking.

(5)

! . . INLEIDING

Voor de b e s c h r i j v i n g van de r u i m t e l i j k e r e l a t i e s van d i v e r s e grondgebonden m a a t s c h a p p e l i j k e a c t i v i t e i t e n m e t behulp van wiskundige i n t e r a c t i e m o d e l l e n w o r d t l a n g z a m e r h a n d v r i j a l g e m e e n de v o o r k e u r gegeven aan het z w a a r t e k r a c h t m o d e l . O p e r a t i o n e l e t o e p a s s i n -gen e r v a n zijn tot nu toe vrijwel voorbehouden gebleven aan de

planning van v e r k e e r s v o o r z i e n i n g e n in z e e r specifieke s i t u a t i e s en op b e t r e k k e l i j k k o r t e t e r m i j n , bijvoorbeeld 5 à 10 j a a r ( o . a .

G O U D A P P E L , 1970). A l g e m e n e t o e p a s b a a r h e i d van gevonden m o d e l -p a r a m e t e r s in a n d e r e gebieden a l s m e d e lange t e r m i j n - v o o r s -p e l l i n g e n (10 à 20 j a a r ) w o r d e n m e t n a m e in de weg g e s t a a n door een b e p e r k t

inzicht in de specifieke p a r a m e t e r w a a r d e n (zoals voor r i t p r o d u k t i e , r i t a t t r a c t i e en a f s t a n d s g e d r a g ) , en d a a r d o o r in de ontwikkeling e r v a n in de tijd.

In de r u i m t e l i j k e ordening b e s t a a t g r o t e behoefte aan i n t e g r a t i e van facetsgewijze i n t e r a c t i e m o d e l l e n (wonenwerken, w o n e n v e r z o r -ging, w o n e n - r e c r e a t i e ) in m a c r o p l a n o l o g i s c h e s p r e i d i n g s m o d e l l e n voor het g r o n d g e b r u i k , t o e g e p a s t op g r o t e gebieden over lange

p e r i o d e n (BONE, 1971; BUCHANAN c. s. , 1973). H i e r b i j dient m e n bekend te zijn m e t de differentiatie van p a r a m e t e r w a a r d e n n a a r p l a a t s en tijd.

Het in deze nota b e s c h r e v e n o n d e r z o e k beoogt: 1. het inzicht te v e r g r o t e n in de m a t h e m a t i s c h e s t r u c t u u r van het z w a a r t e k r a c h t s -m o d e l door a n a l y s e van r e s u l t a t e n van een aantal c a l i b r a t i e s ; 2. het z w a a r t e k r a c h t s m o d e l te verfijnen door onderzoek n a a r v e r k l a r e n d e v a r i a b e l e n voor de d i v e r s e r e l e v a n t e p a r a m e t e r s . Eén en a n d e r g e

-schiedt aân de hand van t o e p a s s i n g e n op w o o n - w e r k r e l a t i e s , hetgeen niet w e g n e e m t , dat de ontwikkelde b e n a d e r i n g s w i j z e e v e n z e e r op a n d e r e facetten ( v e r z o r g i n g , o p e n l u c h t r e c r e a t i e ) t o e p a s b a a r i s .

(6)

2. STRUCTUUR EN CALIBRATIE VAN HET ZWAARTEKRACHTS-MODEL

2 . 1 . Z o n e r i n g v a n h e t s t u d i e g e b i e d

E e n i n t e r a c t i e m o d e l b e s c h r i j f t de d i s t r i b u t i e van r e l a t i e s t u s s e n v e r s c h i l l e n d e v o r m e n van g r o n d g e b r u i k . Deze r e l a t i e s r o e p e n v e r p l a a t s i n gen op van p e r s o n e n en g o e d e r e n . Die v e r p l a a t s i n g e n zijn te l o k a l i

-s e r e n m e t behulp van hun b e g i n - en eindpunten, oftewel de p l a a t -s e n van h e r k o m s t en b e s t e m m i n g . Bij t o e p a s s i n g van een d i s t r i b u t i e m o d e l w o r d e n d a a r o m in een s t u d i e g e b i e d o n d e r s c h e i d e n een v e r z a -m e l i n g van N , h e r k o -m s t z o n e s , I = \ i : h e r k o -m s t z o n e s j en een

v e r z a m e l i n g van N , b e s t e m m i n g s z o n e s , J = ^ j : be s t e m m i n g s z o n e s ] . De v e r z a m e l i n g e n I en J kunnen gelijk zijn: I = J, m a a r dit is n i e t noodzakelijk, hun d o o r s n e d e kan zelfs l e e g zijn: I D J = 0 . Omvang en a a n t a l van de o n d e r s c h e i d e n z o n e s hangt af van b e s c h i k b a a r h e i d en d e t a i l l e r i n g van in te v o e r e n g e g e v e n s , m a a r v o o r a l van h e t doel d a t m e t de m o d e l a n a l y s e w o r d t beoogd, m e t a n d e r e w o o r d e n , welke e i s e n m e n s t e l t a a n de v o r m w a a r i n de r e s u l t a t e n w o r d e n g e p r e s e n -t e e r d . O v e r i g e n s d i e n -t v a a k om p r a k -t i s c h e r e d e n e n h e -t a a n -t a l zones te w o r d e n b e p e r k t , b i j v o o r b e e l d w e g e n s de c a p a c i t e i t van de g e b r u i k t e c o m p u t e r of die van v e r w e r k i n g van g e g e v e n s m e t de hand.

2 . 2 . F o r m u l e r i n g v a n h e t m o d e l De i n t e r a c t i e t u s s e n een h e r k o m s t z o n e i ( i G I) en een b e s t e m -m i n g s z o n e j (j 6 J) w o r d t door h e t z w a a r t e k r a c h t s -m o d e l in zijn a l g e m e n e g e d a a n t e a l s volgt gedefinieerd: T . . = O. A . f ( C . ) voor a l l e i 6 I 'en a l l e j € J ( l ) ij i J v ij' '

H i e r i n i s h e t a a n t a l r i t t e n T . . t u s s e n i en j een functie v a n een m a a t

i j J

voor de r i t p r o d u k t i e O. in zone i, van een m a a t v o o r de r i t a t t r a c t i e A . in zone j en van h e t g e g e n e r a l i s e e r d e r e l a t i e v e a f s t a n d s b e z w a a r C t u s s e n i en j ( f ( C . ) n e e m t af n a a r m a t e C t o e n e e m t ) .

i j J i j ' i j '

Indien nu het h i e r b o v e n g e f o r m u l e e r d e g r a v i t a t i e m o d e l w o r d t t o e g e p a s t op de d i s t r i b u t i e van w e r k n e m e r s over woonzones bij een

(7)

w a a r g e n o m e n a a n t a l w e r k n e m e r s E . , w a a r v a n de r i t in z o n e i s t a r t , d a n m o e t (1) v o l d o e n a a n d e e i s , d a t Z T . . = E . v o o r a l l e i € I (2) j G J 1J 1 z o d a t v o l g e n s ( l ) E . O. Z A . f ( C . . ) = E . of O. = - = a. E . j e J J 1J H i e r d o o r w o r d t (1) E . A . f(C..) T . . = 1 J iJ _{a. E . A . f ( C . ) v o o r a l l e i € I en a l l e j € J} ï ï j i j ' J 1 J I A . f ( C ) ... j G J J 1 J <3> V o l g e n s (3) w o r d t d u s h e t t o t a a l a a n t a l w a a r g e n o m e n r i t t e n E . van w e r k n e m e r s w e r k z a a m in e e n z o n e i, o v e r de w o o n z o n e s j v e r -d e e l -d v o l g e n s -de r e l a t i e v e p r o -d u k t e n v a n a t t r a c t i e en a f s t a n -d s f u n c t i e A . . f ( C . ) , e n w e l r e l a t i e f , d o o r d a t de f a c t o r a. z i j n d e de i n v e r s e s o m v a n d e z e p r o d u k t e n a l s d i s t r i b u t i e d e l e r f u n g e e r t . O m g e k e e r d r e d e n e r e n d k a n m e n d e e i s s t e l l e n , d a t bij R . w a a r -g e n o m e n r i t t e n v a n b e r o e p s b e v o l k i n -g n a a r e e n w o o n z o n e , (1) v o l d o e t a a n I T . . = R . v o o r a l l e j € J (4) i G I 1J J S u b s t i t u t i e v a n (1) i n (4) g e e f t d a n R . A . £ O. f ( C . ) = R . of A . = -* j . , „ v = b . R . j .e T i iJ J J Z_ O. f(C..) i i J i € I J J J . *p T i v 11; i € I H i e r d o o r w o r d t (1) R . O . f ( C . ) _ J i v i j ' T . . = i j * ° if ( Ci j ) i G I l 1 J b . R . O j f f C ) v o o r a l l e i € I en j € J (5)

(8)

In (5) verloopt voor elke woonzone j de verdeling van de gegeven beroepsbevolking R. over de werkzones i volgens de relatieve Pro-dukten O. . f ( C ) , waarbij de factor b. als distributiedeler fungeert.

Indien tegelijkertijd aan beide randvoorwaarden (2) en (4) wordt voldaan, krijgt (1) de vorm

T . . = E. R. £(C.) i J v ij' _{= a. E. b. R. tlC.)} i i j J v ij' 1J I A f(C ) I O f(C ) j e j J 1J i € i a 1J

voor alle i G I en alle j G J (6)

De distributiedelers a. en b., in de literatuur ook wel competi-tie- of evenwichtsfactoren genoemd, zijn in (6) wederzijds afhanke-lijk en geven het zwaartekrachtsmodel een gecompliceerde structuur:

O. a. = 1 E. I b. R. £(C.) 1 j G J J J ll' v o o r e l k e iG I (7) e n A . R. I a. E. f(C..) J i G I i i U voor elke j G J (8)

De factor a. blijkt de inverse van de gesommeerde, met b. gewogen 'nabijheden' van beroepsbevolking (R. x afstandsfunctiewaarden). Omgekeerd is b. de inverse som van de met a. gewogen 'nabijheden' van arbeidsplaatsen (E. x afstandsfunctiewaarden). Dit betekent, dat a. en b. elkaar wederzijds beïnvloeden. WILSON (1970, pag.

19 e.v.) wijst erop, dat de complexiteit van deze beïnvloeding in bepaalde gevallen slechts betrekkelijk is; indien namelijk slechts één E. verandert, stel E. wordt E. , dan wordt volgens (6)

T'.. = a. E ' b. R. f(C14)

ij 1 1 J J v l3

voor elke jG J (9)

zodat de stromen T. . van zone 1 naar iedere j veranderen met eenzelfde factor als E. , indien we aannemen dat a. niet verandert.

(9)

D o o r de w i j z i g i n g v a n E . o n d e r g a a n nu v o l g e n s (8) a l l e b . ' s e e n w i j z i g i n g , w e l k e e v e n w e l g e r i n g i s , d o o r d a t in de n o e m e r de t e r m a . E f(C, •) s l e c h t s é é n e l e m e n t v o r m t v a n e e n a a n t a l NT . V e r v o l -g e n s v e r o o r z a k e n v o l -g e n s (7) de -g e r i n -g e v e r a n d e r i n -g e n v a n de b . ' s e e n nóg g e r i n g e r e w i j z i g i n g v a n a l l e a. ' s . H e t b l i j k t d u s n i e t g e h e e l c o r r e c t , a o n v e r a n d e r l i j k t e v e r o n d e r s t e l l e n , m a a r a a n g e z i e n de v e r a n d e r i n g z e e r g e r i n g i s , n e m e n w e t o c h a a n , d a t a l l e s t r o o m p j e s T , . bij b e n a d e r i n g m e t d e z e l f d e f a c t o r a l s E , v e r a n d e r e n . I j J & 1 De f u n c t i e v a n d e b . ' s i s k e n n e l i j k , a l l e s t r o m e n T . . i e t s te w i j z i g e n a l s c o m p e n s a t i e v o o r de v e r a n d e r i n g v a n E , = I T , . in 1 j € j I j z o n e 1. De b- ' s k u n n e n d u s w o r d e n g e z i e n a l s c o m p e t i t i e f a c t o r e n , d i e de s t r o m e n T . . b e ï n v l o e d e n , a f h a n k e l i j k v a n de ' a a n t r e k k i n g s k r a c h t e n ' v a n de z o n e s i . H e t i s nu ook b e g r i j p e l i j k d a t b . h e t o m -g e k e e r d e i s v a n de -g e s o m m e e r d e ' n a b i j h e i d ' ( e n -g . : a c c e s s i b i l i t y ) v a n a r b e i d s p l a a t s e n in a l l e z o n e s i, t e n o p z i c h t e v a n e e n w o o n z o n e j . O m g e k e e r d k a n a n a l o o g h i e r a a n w o r d e n g e c o n c l u d e e r d , d a t de f a c t o r e n a. c o m p e t i t i e t e r m e n z i j n , w a a r m e e T . . b e i ï i v l o e d w o r d t d o o r de ' a a n t r e k k i n g s k r a c h t e n ' v a n w o o n z o n e s j . De a. ' s z i j n de i n v e r s e n v a n d e g e s o m m e e r d e ' n a b i j h e d e n ' v a n b e r o e p s b e v o l k i n g i n a l l e z o n e s j t e n o p z i c h t e v a n e e n w e r k z o n e i . B l i j k b a a r i s d u s h e t e f f e c t v a n é é n v e r a n d e r e n d e E . of R . m e t i j m o d e l (6) nog te o v e r z i e n . I n d i e n e c h t e r v e e l of a l l e E . ' s v e r a n d e -r e n , v e -r a n d e -r e n v o l g e n s (8) ook a l l e b . ' s en d a a -r m e e v o l g e n s (7) a l l e a. ' s a a n z i e n l i j k . O m g e k e e r d , a l s a l l e R . ' s v e r a n d e r e n , o n d e r g a a n a l l e a. ' s en d a a r m e e a l l e b- ' s a a n z i e n l i j k e w i j z i g i n g e n . D e w a a r d e n a. en b . k u n n e n in d a t g e v a l a l l e e n d o o r c a l i b r a t i e ( z i e i J & v p a r . 2. 3) u i t d e n i e u w e s i t u a t i e w o r d e n b e p a a l d in s a m e n h a n g m e t n i e u w e f u n c t i e w a a r d e n v a n f ( C . . ) . J D i t b e t e k e n t , d a t m e t (6) h e t g e v o l g v a n e e n w i j z i g i n g v a n é é n e n k e l e E . v o o r de R . ' s in h e t g e b i e d op z e e r k o r t e t e r m i j n ( b i j v . 1 j a a r ) r e d e l i j k b e t r o u w b a a r k a n w o r d e n v o o r s p e l d , d o o r d a t dan a l l e b . - w a a r d e n o n v e r a n d e r d m o g e n w o r d e n g e s t e l d . A l s v o o r b e e l d v a l t te n o e m e n de v e s t i g i n g v a n e e n g r o o t b e d r i j f in e e n z o n e i, ( E . w o r d t ' y 1 • E . ) bij g e g e v e n t o t a l e b e r o e p s b e v o l k i n g .^= R . , w a a r d o o r de s t r o m e n T . . z i c h h e r v e r d e l e n , en h e t a a n t a l v a c a t u r e s in a l l e w e r k -z o n e s v a n h e t g e b i e d i e t s t o e n e e m t ( c . q . de w e r k e l o o s h e i d a f n e e m t ) .

(10)

E v e n z o kan m e t (6) het effect van één zich wijzigende R. op de d i v e r s e R. ' s w o r d e n b e n a d e r d door a l l e a. ' s en alle b . ' s

J i J o n v e r a n d e r l i j k te s t e l l e n . B i j v o o r b e e l d kan w o r d e n genoemd de open-stelling van een nieuw r e c r e a t i e g e b i e d in zone j ( r e c r e a t i e c a p a c i t e i t

i

R. w o r d t R. ) bij gegeven a a n t a l l e n r e c r e a n t e n E . p e r h e r k o m s t -zone i, zodat . ^ . E . gelijk blijft, de s t r o m e n T . . zich wijzigen, en de o v e r c a p a c i t e i t in a l l e z o n e s j van het gebied i e t s t o e n e e m t , ( c . q . de r e c r e a t i e d r u k e r i e t s a f n e e m t ) .

W a n n e e r e c h t e r een p r o g n o s e een l a n g e r e p e r i o d e (bijv. 10 j a a r ) b e s l a a t , zullen in het a l g e m e e n de o v e r i g e f a c t o r e n e v e n e e n s v e r -a n d e r i n g e n o n d e r g -a -a n ( w e r k g e l e g e n h e i d v e r -a n d e r t in vele w e r k z o n e s , b e r o e p s b e v o l k i n g v e r a n d e r t in a l l e woonzones, het a a n t a l r e c r e a n t e n v e r a n d e r t in elke h e r k o m s t z o n e , e n z . ) . De v e r a n d e r i n g e n in a l l e f a c t o r e n a. en b . kunnen d a a r t o e op geen a n d e r e wijze w o r d e n g e -s c h a t dan door e x t r a p o l a t i e -s op grond van de ontwikkeling e r v a n in de tijd. Indien geen t i j d r e e k s e n van a. en b . kunnen w o r d e n b e r e -kend, kan m e t (6) geen b e t r o u w b a r e p r o g n o s e op l a n g e r e t e r m i j n w o r d e n v e r r i c h t , m a a r is het m o d e l a l l e e n i n t e r e s s a n t t e r b e s c h r i j -ving van een b e s t a a n d e i n t e r a c t i e in een gebied en van het effect van een i n c i d e n t e l e v e r a n d e r i n g in één zone d a a r v a n .

N a a r v e r k i e z i n g kan (6) dus w o r d e n g e b r u i k t om R. te v o o r s p e l -len op grond van wijzigingen in een E . , w a a r t o e de betreffende

0 . ( = a . E . ) m e t eenzelfde factor wijzigt a l s de betreffende E . , t e v e n s kan m e n E. v o o r s p e l l e n door een A . ( = b . R . ) te wijzigen o v e r e e n -k o m s t i g de betreffende R . . In het e e r s t e geval w o r d t el-ke b . be-kend v e r o n d e r s t e l d , in het tweede geval elke a . .

Welke van beide p r o c e d u r e s nu voor w o o n - w e r k v e r k e e r w o r d t gevolgd hangt af van de w e r k e l i j k e i n t e r a c t i e t u s s e n a r b e i d s p l a a t s e n en w o o n p l a a t s e n ; g e d e e l t e l i j k k i e z e n w e r k n e m e r s hun w o o n p l a a t s e n bij gegeven s i t u e r i n g van hun a r b e i d s p l a a t s e n , een a n d e r deel zal een a r b e i d s p l a a t s k i e z e n afhankelijk van de gegeven s i t u e r i n g van de w o o n p l a a t s .

E m p i r i s c h i s evenwel gebleken dat de e e r s t g e n o e m d e s i t u a t i e zich v e e l f r e q u e n t e r v o o r d o e t dan de tweede ( o . a . A L B R E C H T , 197 2). De h i ë r a r c h i e van het g r o n d g e b r u i k in de b e n a d e r i n g van LOWRY (1964) a l s m e d e die in de h i e r v a n afgeleide m o d e l l e n

(11)

( G O L D N E R , 1971) b e r u s t z e l f s op de a a n n a m e d a t de s p r e i d i n g v a n w o o n g e b i e d e n a f h a n k e l i j k i s v a n de s p r e i d i n g v a n w e r k g e l e g e n h e i d , o n d e r u i t s l u i t i n g v a n h e t o m g e k e e r d e . Ook in d e z e n o t a w o r d t •". .1 m o d e l v a n de g e d a a n t e (3) o n d e r w o r p e n a a n (2) en (4) t e n b e h o e v e v a n a n a l y s e v a n d e f a c t o r e n A . = b . R . . J J J De f u n c t i e f(C. .) k a n w o r d e n b e s c h o u w d a l s e e n i n s t r u m e n t w a a r d o o r (3) b e r u s t op e e n n i e t c o n t i n u e k a n s v e r d e l i n g v a n r i t l e n g -t e n . B e h a l v e v o o r z e e r l a g e , in r e g i o n a l e s -t u d i e s m i n d e r r e l e v a n -t e w a a r d e n v a n C . ( C . < 1 à 2 k m ) b l i j k t e m p i r i s c h n a m e l i j k s t e e d s , d a t d e r e l a t i e v e r i t l e n g t e f r e q u e n t i e n e g a t i e f - e x p o n e n t i e e l a f n e e m t , n a a r m a t e de r i t l e n g t e g r o t e r i s (fig. 1). aantal ritten y., = B.g PCU y2= D . C j j y3: F . h C'J (g>D (h>D F i g . 1. T h e o r e t i s c h e f r e q u e n t i e v e r d e l i n g v a n r i t l e n g t e n en e n k e l e e e n v o u d i g e f u n c t i e s t e r b e s c h r i j v i n g d a a r v a n I n d i e n de r i t l e n g t e a l s s t o c h a s t i s c h e v a r i a b e l e C w o r d t g e d e f i -n i e e r d v o o r 0 'S. C < °° v o o r h e l e w a a r d e -n v a -n C ( = 0, 1, 2, . . . Qo , b i j v o o r b e e l d k l a s s e b r e e d t e n v a n 1 k m ) en in e e n g e b i e d k o m t

(12)

een v e r z a m e l i n g K van v e r s c h i l l e n d e r i t l e n g t e n v o o r , dan kan de k a n s , dat C in een r i t l e n g t e k l a s s e C valt, b i j v o o r b e e l d w o r d e n b e n a d e r d door

-pc.

P ( ç e c j = — (io)

I e

k € K

N e m e n we nu in (3) dezelfde k a n s v e r d e l i n g aan voor de d i s t r i b u -tie van T.. a l s func-tie van C . . , dan kunnen we i n v o e r e n

i j iJ

- p c .

ftCy)

1J

(11)

D a a r d o o r zou, indien a l l e A . gelijk w a r e n , v o o r elke i de v e r d e l i n g van E. in s t r o o m p j e s T.. v e r l o p e n volgens

- P c .

T . . ' ij 1 J - P ( Ç É C . ) = _ Q c v o o r a l l e j G J (12) E . I e ' ~ i j j G J 6

A a n g e z i e n de d i s t r i b u t i e e c h t e r m e d e afhankelijk i s g e s t e l d van een nsmoc

- P C , ,

f a c t o r A. p e r woonzone, w o r d t het k a n s m o d e l u i t g e b r e i d tot

T . . T . . A. e i j U = —^- = P (T. € T..) = —J rr-p^— voor alle jGJ (13) e J j G J 'i j Ei - I A . - i j J € J

De k a n s dat, van a l l e in het gebied g e m a a k t e r i t t e n , een r i t van i n a a r j v o e r t hangt bovendien p e r w e r k z o n e van O. af:

P( T G T..) = T . . i j i e i j e j 1J T.. IJ

**-* V**

i G l x O. A. e 1J 1 J

-pc

Z I O. A. e 1J i € I j € J * J voor a l l e i € I en a l l e j € J (14) 10

(13)

Door invoering van (11) krijgt (3) nu dus de vorm: - v ß C E. A. e . "1J. - (3C. T..=~±—l \ \r . = Q, 'A^e' ••'-'•• -1-? • vooralle i G l (15)

u -ßc \ y

. ^ T< A . e , J . ;,."• - en alle jG J j £ J J

Voor 'C. . kan worden genomen de afstand d.. tussen i en j , hemelsbreed of over de weg, de reistijd t.. , of een combinatie van beide,T bijvoorbeeld van dé vorm 'C..'-'p d. . + q t.. , waarin de

wegingsfactoren p én q' de waarderirigsverhouding aangeven van resp. afétand (= voertuig- öf transportkosten) en reistijd (= tijd-kosten), éh als' zodanï'g normatief moeten worden vastgesteld. Toe-passing van zo'n aïstand-tijdfunctie is alleen mogelijk als waarne-mingen voor t.. beschikbaar zijn. Daar t.-. afhankelijk is van con-gestie, dus van dé specifieke uuriritensitëiten op ieder wegvak, zijn metingen âàn't! . 'Vrij tijdrovend en wordt in de praktijk doorgaans volstaan met invoeren van de afstand als reisbezwaar.

2.31 C à 1 i b r a t i'é v a n h e t m o d e l

Calibratie van een model houdt 'in, dat de diverse parameters in het model zó worden gekozen dat daarmee een bepaald proces of systeem wordt afgebeeld op- een wijze* die aan vooraf gestelde eisen van nauwkeurigheid voldoet. Daartoe is een set van bij elkaar beho-rende gegevens nodig', waargenomen'äan alle in het model voorko-mende variabelen*. Uit deze waarnemingen worden de parameters dan berekend? Met behulp'van'Statistische grootheden kan vervolgens worden bepaald in welke mate de mpdelwaarden aansluiten bij de

gemeten waarden, en hieruit zijn conclusies te trekken over de sta-tistische betrouwbaarheid van de modeluitkomsten in het algemeen.

_ In het model. ( 1.5.) zijn de te bepalen parameters: ß , de A. 's en de O. ' s . Hiertoe ziin de waarnemingen benodigd betreffende R., E., C en T... BATTY ( 1970) heeft aangetoond, dat het ten behoeve

i i j i j ;, .

van een betrouwbare aanpassing van de parameters noodzakelijk is, te beschikken over een volledige matrix met waarnemingen n.. voor

i j

T. ., dus de ritten van alle iG I naar alle j G J, waaruit dan tevens

(14)

als randtotalen per zone de waarden van de werkgelegenheid E. = . £ , n.. (voor elke i) en de beroepsbevolking R. = . £T n..

i j € J i j v ' ^ 6 j 1 GI ij (voor elke j). voorzover in de waarnemingenmatrix, volgen.

Men kan niet volstaan met alleen de spreiding van arbeidsplaat-sen en beroepsbevolking (dus C... E. en R.) te meten, omdat de ge-bruikelijke statistische grootheden die een maat zijn voor de

aanpas-sing, niet voldoende gevoelig voor parametervariatie blijken om vast te stellen of de eindoplossing in het aanpassingsproces bereikt i s . Indien alleen de randtotalen E. en R. bekend zijn, dan kunnen uiteenlopende waarden van n . . daarin zó tegen elkaar zijn wegge-middeld, dat weliswaar een groot aantal oplossingen voor O., A. en ß bij deze gegevens past, maar deze sluiten nog niet alle aan bij de individuele waarden n...

Bij de calibratie van model (15) bedraagt het aantal op te lossen onbekenden NT + N + 1. De ritmatrix (T..) levert N. . N_ vergelij-kingen (15), waaraan deze onbekenden moeten worden aangepast. Bij de oplossing worden vergelijkingen gebruikt in de partiele afgeleiden van T.. naar de diverse parameters. Daar (15) een niet-lineair ver-band tussen de parameters geeft bevat iedere partiële afgeleide ook de overige, nog onbekende, parameters. Er ontstaat dus een simul-taan stelsel niet-lineaire vergelijkingen dat niet rechtstreeks oplos-baar i s . De parameters moeten dan ook worden benaderd met

begin-schattingen, welke door herberekening uit elkaar itererend worden verbeterd totdat de verlangde statistische aansluiting is bereikt.

Stel nu dat we de beschikking hebben over waarnemingen van n woon-werkritten in een studiegebied, waarvan n.. ritten

plaats-T Y vinden tussen i en j , dus . £ T . > T n.. = n.

J 11 I j € J ij

Volgens HYMAN (1969) moeten nu de N. + Ny + 1 schattingen voor resp. O., A. en ß zo gekozen worden, dat

1. de rijtotalen van de matrix (T..) gelijk zijn aan die van de waarne-mingenmatrix (n..) v O. A. e 1 J 6J l J 7 T.. = y n.. = 7 O. A. e J voor alle i € I j € j 1J j € J ^ hieruit volgt: 12

(15)

O. = y n.. 1

j i j

1J

-

pc.

£ A. e XJ

j i j

3 voor alle i € I (16)

2. de kolomtotalen van de matrix (T..) gelijk zijn aan die van de waarnemingenmatrix (n..): y T.. = y n.. = y O. A. i € I 1J i l l 1J i l l X J

- P C

i j voor alle j € J hieruit volgt: A. = y n.. J i l l « O. e

pc.

iGI voor alle j € J (17)

3. het gemiddelde reisbezwaar (in afstand, tijd of kosten) in het model gelijk is aan dat in de waarnemingen:

-pc.

y y C . T . . = y y C . n . . = y r C O . A . e 1J (18)

i l l j i j 1J * i l l j i j 1J 1J i l l j G J 1J * J

(16), (17) en (18) leveren aldus N,. + NT + 1 vergelijkingen

waar-uit evenveel onbekenden kunnen worden opgelost.

Langs een theoretisch fraaiere weg zijn deze vergelijkingen ook af te leiden met behulp van de schattingstheorie (EVANS, 1971): Als we de distributie van n waargenomen ritten met model (15) wil-len beschrijven, dan kunnen we volgens (14) de kans dat een rit van i naar j voert, formuleren als

P(T G T..) = - O . A . e 1J

v- i j ' n ï j

vooralle i £ I en alle jGJ (19)

Voor de gezamenlijke kans P \ / \ T.. = n.. \ dat de

model-6 l i . J - i J ij)

waarden T.. overeenkomen met de waarnemingen n.. vooralle i G I en alle jG J tegelijk, geldt dat deze afhangt van alle individuele kansen P(T G T..) en als zodanig een multinomiale verdeling bezit. Indien we uit m verschillende steekproeven over m verschillende waarnemingsmatrices (n..) beschikken, dan fungeert het produkt van deze m gezamenlijke kansen als aannemelijkheidsfunctie ('likelihood').

(16)

A a n g e z i e n w e u i t d e V o l k s t e l l i n g I 9 6 0 v o o r h e t w o o n - w e r k v e r k e e r s l e c h t s é é n m a t r i x ( n . . ) '. i j ' h e i d s f u n c t i e i n d i t g e v a l : s l e c h t s é é n m a t r i x ( n . . ) k u n n e n s a m e n s t e l l e n ( m = l ) i s d e a a n m e l i j k -L=

TTp[A.T..= n..j = rr(

n

\ n n

P ( T € T

..)

n

ij

I J. n \ 1 TT T-r - ß C . . n . .

(

1

)

n

-UT ?

T

(O.A.e V) V

i n

i i

n

i

2

- - -

n

N

i N j

y

n i G I

J

€ J l J TT TT " ßC' - "•• = c o n s t a n t e . . y _ . y _ ( O . A . e 1J ) 1 J 1 6 I jG J v 1 j ' v o o r a l l e i G I en a l l e j G J (20) De p a r a m e t e r s m o e t e n z ó w o r d e n g e s c h a t , d a t L. m a x i m a a l i s ( ' m a x i m u m l i k e l i h o o d e s t i m a t i o n ' ) . A a n g e z i e n l o g L. e e n c o n t i n u s t i j g e n d e f u n c t i e v a n L. i s , m o g e n w e d a a r t o e ook l o g L. m a x i m a l i -s e r e n : l o g L = c o n s t a n t e - I I n . , (log O. + l o g A . - ß C . . ) (21) i £ I j € J 1J r J 1 J H i e r b i j m o e t w o r d e n v o l d a a n a a n d e v o o r w a a r d e •ßC< I I T = I I O A e i 6 I j G J 1J iG I j G J J i j _ _{= n (22)} M e t b e h u l p v a n d e m u l t i p l i c a t o r e n m e t h o d e v a n L a g r a n g e v o e r e n w e d e v o o r w a a r d e (22) i n (21) i n e n m a x i m a l i s e r e n :

-pc.

F = I I n ( l o g O . + l o g A . - ß C ) - X ( £ T O A e 1 J - n) i € I j € J 1 J X J 1 J i G I j € J 1 J (23) i n NT + NT + 1 r i c h t i n g e n , t . w . O. v o o r a l l e i € I, A . v o o r a l l e j G J e n ß .

,-. - p c .

— = 0 g e e f t X I O . A . e 1 J = I n . . v o o r a l l e iG I (24) ÔO. j G J * J j G J 1 J 14

(17)

Sommering van (24) voor i £ I geeft, na substitutie van (22): X. n - J j_ n. . , zodat X - 1 i€ I j G J 1 J Hiermee wordt (24): - P c ) . y A . 1

j i j

J i j

v n.. voor alle i€ I (25) JGJ i j

5F Analoog hieraan volgt uit -c-r = 0

j - | 3 C . A. £ O. e 1 J = I n.. vooralle j £ J (26) J i £ I x i € I 1 J 6 F en uit - — = 0 volgt:

5ß

ë

-

pc.

Y T C O . A. e 1 J = I y C . n . . (27) i l l j i j 1 J l J i € I j € J 1 J 1 J

De vergelijkingen (25), (26) en (27) zijn dezelfde als resp. (16), (17) en (18).

Zoals hiervoor beschreven, worden met behulp van deze verlijkingen de parameterschattingen in een interatief rekenproces ge-corrigeerd, totdat ze gezamenlijk zó aansluiten bij de gegevens, dat aan gestelde eisen is voldaan. Een en ander is schematisch weerge-geven in fig. 2.

Het aantal correctielussen dat men de computer achter elkaar laat uitvoeren zonder tussentijds printen van de waarden O., A. en

i J

O , kan op grond van ervaring en inzicht worden gekozen met be-hulp van de tellers K en M, waarvan de drempelwaarden K en M , een beveiliging vormen om te voorkomen, dat de berekening einde-loos lang wordt voortgezet, indien aan de tests I, II of III niet wordt

voldaan, doordat de aanpassing divergeert of te langzaam conver-geert. De itererende berekening wordt stopgezet wanneer aan de tests I, II en III is voldaan of als K > K.

(18)

li

n e e K = K + 1 < ' M = 0 M = M + 1 b e r e k e n A . J u i t v g l . (26) b e r e k e n O. ï u i t v g l . (25) n e e -»>— b e r e k e n ß u i t v g l . (27) ' s c h r i j f O . , A . e n ß K , K, M , M , e r E 2 , e J ^ ß C 2 t e s t I : Z ( E n . . - £ O. A . e 1 J ) i € I j € j 1 J j € J l J t e s t II : I ( i n . . - £ O. A . j € J i € I 1J i £ i x J - ß C . . 2 e 1 J) n e e < E, < E. K C K - 1 < £ i t e s t III: PK - Pi F i g . 2 . B l o k s c h e m a v a n d e c a l i b r a t i e v a n m o d e l (15) m e t e e n c o m p u t e r 16

(19)

2 . 4 . A n a l y s e v a n p a r a m e t e r w a a r d e n

De aldus a a n g e p a s t e p a r a m e t e r w a a r d e n gelden s t e e d s voor de specifieke situatie w a a r i n de w a a r n e m i n g e n aan de v a r i a b e l e n zijn v e r r i c h t . Teneinde te komen tot een a l g e m e n e geldigheid, o n v e r

-schillig p l a a t s en tijd, zal het m o d e l moeten worden verfijnd door aan de in d i v e r s e s i t u a t i e s b e r e k e n d e p a r a m e t e r w a a r d e n een i n t e r -p r e t a t i e te geven, m e t a n d e r e woorden door te onderzoeken of de p a r a m e t e r s een functioneel v e r b a n d v e r t o n e n m e t v a r i a b e l e n , welke in i e d e r e specifieke situatie m e e t b a a r zijn, danwei m e t een z e k e r e b e t r o u w b a a r h e i d kunnen worden v o o r s p e l d .

Zoals in p a r . 2 . 3 g e f o r m u l e e r d , bevat het model (15) voor i e d e r e zone j £ J een factor A . . Deze kan wellicht worden gezien als een functie van v a r i a b e l e n (u, v, w, . . .) van i e d e r e specifieke zone:

A. = f (u. , v. , w. , . . . ) (28)

Met name het v e r l o o p van A. in de tijd kan mogelijk op deze wijze w o r d e n b e s c h r e v e n .

Een d e r g e l i j k e beschouwing geldt voor de p a r a m e t e r (3 in de afstandsfunctie, zij het dat deze in (15) een a l g e m e n e geldigheid b e -zit voor het gehele studiegebied, en dan ook s l e c h t s afhankelijk kan w o r d e n g e s t e l d van over het studiegebied g e a g g r e g e e r d e v a r i a b e l e n van de beide g r o e p e n z o n e s , I en J:

p = f ( Xj , Yj , Zj • X j , V j , Z j , . . . ) ( 2 9 )

E s s e n t i e e l bij deze modelverfijningen blijft u i t e r a a r d wel, d a t m e n weet, welke b e t e k e n i s aan de b e r e k e n d e p a r a m e t e r s m o e t w o r d e n toegekend, m e t a n d e r e woorden dat ze zó zijn u i t g e r e k e n d dat een gekozen i n t e r p r e t a t i e e r v a n is t o e g e s t a a n .

In hoofdstuk 3 zal worden gepoogd aan deze i n t e r p r e t a t i e g e s t a l t e te geven, aan de hand van een c h r o n o l o g i s c h e b e s c h r i j v i n g van de tot nu toe u i t g e v o e r d e b e r e k e n i n g e n .

(20)

3 . E N K E L E TOEPASSINGEN VAN CALIBRATIE EN P A R A M E T E R -ANALYSE

3 . 1 . W e r k f o r e n s e n o p d e g e m e e n t e U t r e c h t i n I 9 6 0

Dit e e r s t e v o o r b e e l d heeft b e t r e k k i n g op de r e l a t i e s van w e r k -f o r e n s e n t u s s e n één w e r k z o n e (NT = 1), t . w . de g e m e e n t e U t r e c h t ,

en de w o o n g e m e e n t e n binnen een c i r k e l m e t s t r a a l + 30 km h e m e l s -b r e e d (= + 35 km o v e r de weg) rond de s t a d U t r e c h t (NT = 98). D o o r

d a t h i e r s p r a k e is van s l e c h t s één h e r k o m s t z o n e n e e m t de z w a a r t e -k r a c h t s f o r m u l e (15) een t r i v i a l e v o r m aan; in dit geval is n a m e l i j -k

E .

a c - O. - c o n s t a n t v o o r elke r e l a t i e i - j (30)

Z A . e i j

j i j

J

A l s a t t r a c t i e f a c t o r v o o r i e d e r e w o o n g e m e e n t e kunnen we nu O.A. v e r v a n g e n door de omvang P . van de b e r o e p s b e v o l k i n g (= a l l e inwo-n e r s m e t eeinwo-n b e r o e p ) :

- ß C j

T. = P . e J v o o r elke j £ J (31)

Met (31) w o r d t aldus b e w e e r d , dat T . / P . , dat wil zeggen de f r a c t i e van de b e r o e p s b e v o l k i n g uit woonzone j , welke a l s f o r e n s in U t r e c h t w e r k t , n e g a t i e f e x p o n e n t i e e l afneemt a l s functie van het a f s t a n d s -b e z w a a r C Voor h e t t h e o r e t i s c h e geval dat C. = 0 -b e t e k e n t dit, d a t de t e r p l a a t s e wonende b e r o e p s b e v o l k i n g in h a a r geheel in U t r e c h t w e r k z a a m i s (namelijk T . / P . = 1). In fig. 3 i s de w a a r g e n o m e n

n. / P . g r a f i s c h u i t g e z e t tegen C , w a a r b i j n. en P . zijn o v e r g e n o -m e n uit v o l k s t e l l i n g s g e g e v e n s voor I960 (CBS, 1962), en C. de k o r t s t e w e g - a f s t a n d in km i s , ontleend aan w e g e n k a a r t e n (ANWB,

1963).

De c a l i b r a t i e van (31) is in dit geval v e r e e n v o u d i g d tot een e n k e l -voudige r e g r e s s i e b e r e k e n i n g van de p a r a m e t e r ß . Het r e s u l t a a t h i e r v a n toont fig. 3 : ß = 0 , 1672 (r = 0, 96) .

(21)

: aantal werkforensen wonend in gemj-: beroepsbevolking gemeente j = w e g - a f s t a n d t o t gemeente j -0,1672. C _(r₂_{= 0 , 9 6 )}

IÏtH+Wi-i-4«i.U

8 12 16 20 24 2 8 32 C 36 km

F i g . 3. Gravitatiemodel werkforensen gemeente Utrecht, I960.

Gemeten fracties in Utrecht werkzame beroepsbevolking n. / P .

/

J f J

P.

Voortbouwend op de benadering van MIDDELKOOP (1970) zou m e n vervolgens het quotient van n. en T. voor elke j I

kunnen beschouwen als een 'relatieve aantrekkelijkheidscoëfficient', welke aangeeft, in welke mate een gemeente relatief m e e r in

Utrecht werkzamen onder haar beroepsbevolking telt dan een andere. F i g . 4 i s evenwel voldoende illustratief om in te zien, dat de term 'aantrekkelijkheid' in dit geval uitermate m i s l e i d e n d i s , de verhou-ding tussen gemeten en berekende aantallen vertoont een duidelijke geografische concentratie van hoge r e s p . lage waarden, hetgeen te verwachten v i e l . Het laat zich namelijk verstaan, dat per woonge-m e e n t e het relatieve aantal in Utrecht werkzawoonge-me personen wordt

(22)

ei--in

d

o o 1 in h-. in CM 1 O o o Q. _CM 1 m CM o o. CM A o »-• 20

(23)

beïnvloed door de s p r e i d i n g van (= omvang van en afstand tot) a l t e r -natieve w e r k g e l e g e n h e i d ('job opportunity') in en rond de betreffen-de g e m e e n t e . Het k a a r t b e e l d s p r e e k t in dit opzicht voorzichzelf: lage w a a r d e n in en rond H i l v e r s u m , A m e r s f o o r t en Z e i s t , hoge w a a r d e n in de r i v i e r s t r e e k ten zuiden en het weidegebied ten w e s t e n van U t r e c h t . T e r z i j d e zij o p g e m e r k t , dat bovendien een rol kan spelen de b e t e r e b e r e i k b a a r h e i d van U t r e c h t vanuit zuidelijke en westelijke richting via ( s p o o r ) w e g e n van h o g e r e kwaliteit, hetgeen tot u i t d r u k -king zou komen indien voor C. r e i s t i j d e n in p l a a t s van w e g - k m kon-den w o r d e n i n g e v o e r d .

Het aldus a a n g e p a s t m o d e l is a l l e e n i n t e r e s s a n t t e r b e s c h r i j v i n g van de s p r e i d i n g van een a a n t a l in U t r e c h t w e r k z a m e p e r s o n e n over de omliggende g e m e e n t e n , m a a r het geeft geen enkele i n f o r m a t i e o m t r e n t de s p r e i d i n g van woongebieden, of een d a a r b i j b e s t a a n d e r e l a t i e v e v o o r k e u r voor bepaalde g e m e e n t e n . De s t e e k p r o e f g r o o t t e , t . w . . J T n . / . £ P . voor de beschouwde g e m e e n t e n b e d r a a g t

j £ J J / j € J j & s

0, 0525. Aan v o o r s p e l l i n g e n van de bevolkingsontwikkeling in bijvoor-beeld de L o p i k e r w a a r d g e m e e n t e n (MIDDELKOOP, 1970) op grond van dit s o o r t p a r a m e t e r s kan dan ook s l e c h t s een z e e r b e t r e k k e l i j k e w a a r d e w o r d e n toegekend.

Dit v o o r b e e l d m a a k t duidelijk, dat het voor onderzoek n a a r het w o o n p l a a t s k e u z e g e d r a g noodzakelijk i s , de a r b e i d s p l a a t s e n van m e e r d e r e zones tegelijk in de beschouwing te b e t r e k k e n , dat wil zeggen niet a l l e e n N , > 1, m a a r ook N , > 1. Dat betekent ook, dat het d i s t r i b u t i e m o d e l (15) w e r k e l i j k inhoud krijgt, d o o r d a t de t e r m

-1

voor elke i € I een a n d e r e w a a r d e O. = E. ï ï

-

pc.

• | T A . e 1J J £ J J a a n n e e m t . 3 . 2 . W e r k f o r e n s e n o p 14 c e n t r a i n d e R a n d s t a d i n 1 9 6 0

Uit de in p a r a g r a a f 3. 1 b e s c h r e v e n berekening w e r d duidelijk dat de w o o n w e r k r e l a t i e s van d i v e r s e g e m e e n t e n m e t U t r e c h t w o r den beïnvloed door de aanwezigheid van a l t e r n a t i e v e w e r k g e l e g e n -heid in de omgeving. De b e r e k e n i n g gaf aldus geen j u i s t beeld van de spreiding van woongebieden in r e l a t i e m e t de spreiding van a r b e i d s

(24)

p l a a t s e n , d o o r d a t h e t o n d e r z o c h t e deel van de totale b e r o e p s b e v o l -king z e e r gering w a s (ca. 5%) en bovendien een specifieke g r o e p v o r m d e (de in U t r e c h t w e r k z a m e p e r s o n e n ) .

Om dit b e z w a a r te o n d e r v a n g e n i s het nodig een g r o t e r g e d e e l t e van de b e r o e p s b e v o l k i n g , w a a r v a n bovendien de a r b e i d s p l a a t s e n o v e r m e e r d e r e c e n t r a g e s p r e i d zijn, te b e s c h o u w e n . D a a r t o e is een studiegebied gekozen, b e s t a a n d e u i t de p r o v i n c i e Noordholland b e -zuiden h e t N o o r d z e e k a n a a l , de p r o v i n c i e s Zuidholland en U t r e c h t a l s m e d e de G e l d e r s e g e m e e n t e n b e n o o r d e n de Waal en ten w e s t e n van K e s t e r e n . Het gebied o m v a t 245 g e m e e n t e n , welke a l s woonzones zijn beschouwd (N_ = 245), t e r w i j l in en op de r a n d van het gebied

14 duidelijke c e n t r a van w e r k g e l e g e n h e i d zijn gekozen a l s w e r k z o n e s (N. = 14), welke b e s t a a n uit één of m e e r g e m e e n t e n , te weten:

1. A m s t e r d a m 2. Z a a n d a m , Koog a . d . Zaan, W o r m e r v e e r , K r o m m e n i e 3 . B e v e r w i j k , V e l s e n 4 . H a a r l e m , H e e m s t e d e , B l o e m e n d a a l 5. H a a r l e m m e r m e e r 6. Leiden

7. Den Haag, Rijswijk, V o o r b u r g 8. Delft 9. R o t t e r d a m , S c h i e d a m , V l a a r d i n g e n 10. D o r d r e c h t , Z w i j n d r e c h t 1 1 . U t r e c h t 12. Z e i s t 13. A m e r s f o o r t 14. H i l v e r s u m

Aan de w o o n - w e r k r e l a t i e s in I960 van deze 14 zones m e t de 245 g e n o e m d e woonzones is m o d e l (15) a a n g e p a s t op de in p a r a g r a a f 2 . 3 b e s c h r e v e n wijze (zie ook MICHELS, 1972). B r o n voor de a a n t a l l e n r e l a t i e s , n . . , E. = . £ _ n . . en R. = . > T n. . , was w e e r de V o l k s

-ij i j e j -ij j ï e i -ij

telling I960 (CBS, 1962), t e r w i j l voor C . de h e m e l s b r e d e a f s t a n d e n t u s s e n i en j in km w e r d e n i n g e v o e r d , g e m e t e n op w e g e n k a a r t e n (ANWB, 1963). De s t e e k p r o e f g r o o t t e ten opzichte van de totale b e -r o e p s b e v o l k i n g , . *L _ R. / . £ P . b e d -r a a g t 0, 7418. De b e -r e k e n i n g

(25)

r e s u l t e e r d e in een p a r a m e t e r ß = O, 229966, en p a r a m e t e r s A. zoals ze in fig. 5 in k a a r t zijn g e b r a c h t . De absolute w a a r d e n van A. hebben op zichzelf weinig b e t e k e n i s ; deze worden m e d e bepaald door de d i m e n s i e s w a a r i n de d i v e r s e v a r i a b e l e n zijn i n g e v o e r d . A l l e e n de onderlinge verhouding van de A . - w a a r d e n geeft een indruk van de r e l a t i e v e a t t r a c t i e s , zoals die volgen uit de w a a r n e m i n g e n n . . . Alle w a a r d e n A . mogen dus m e t eenzelfde w i l l e k e u r i g e p o s i -tieve factor w o r d e n vermenigvuldigd, dit b r e n g t in formule (15) geen wijziging in de functiewaarden T . . .

F i g . 6 geeft de g e o g r a f i s c h e s p r e i d i n g van de w a a r d e n b . , v e r -k r e g e n door de aldus g e c a l i b r e e r d e A . - w a a r d e n te delen door R. = . £ T n . . . Het k a a r t b e e l d i l l u s t r e e r t de uit (8) afgeleide i n t e r

-J i € I ij v / 6

p r e t a t i e van b . a l s o m g e k e e r d e van de g e s o m m e e r d e nabijheid van w e r k g e l e g e n h e i d ('job o p p o r t u n i t y ' ) . De w a a r d e n van b . zijn laag in en rond de g r o t e c e n t r a van de Randstad, b . is r e l a t i e f hoog in de ten opzichte van de w e r k g e l e g e n h e i d m e e r e x c e n t r i s c h gelegen zones van het studiegebied.

In dit v e r b a n d dient nu e c h t e r wel te w o r d e n bedacht, dat de onderlinge verhouding van de b . ' s , bij c a l i b r a t i e op een n i e t v i e r -kante r i t m a t r i x (I f J, s t e e k p r o e f g r o o t t e = 0,7418), afhankelijk i s van de in het studiegebied gekozen w e r k c e n t r a i. Zo zijn bijv. de b . w a a r d e n in het m e e s t zuidoostelijke deel van het studiegebied b e -duidend h o g e r dan die rond D o r d r e c h t en Z w i j n d r e c h t . Dit w o r d t gedeeltelijk v e r o o r z a a k t door het feit, dat in het e e r s t e gebied geen w e r k c e n t r u m i is beschouwd, in het tweede w e l . Wat bij het

U t r e c h t s e v o o r b e e l d ( p a r a g r a a f 3 . 1) z e e r evident w a s , s p e e l t ook h i e r nog s t e e d s een r o l : de niet in de b e r e k e n i n g b e t r o k k e n w e r k g e -legenheid v e r o o r z a a k t te hoge w a a r d e n van b. in de nabijgelegen

J

z o n e s . De enige mogelijkheid om deze o n e e r l i j k e c o n c u r r e n t i e t u s s e n de woonzones uit te sluiten i s , het m o d e l te c a l i b r e r e n op een v i e r -kante m a t r i x (n..) m e t w a a r n e m i n g e n aan alle w e r k z o n e s in het studiegebied (I = J, en dus N , = N_).

Bovendien b e s t a a t geen z e k e r h e i d o m t r e n t de invloed van het g e -b r u i k van h e m e l s -b r e e d g e m e t e n afstanden op de w a a r d e n -b . . In het a l g e m e e n m a g w o r d e n aangenomen, dat wegafstanden gemiddeld globaal 1,1 à 1, 2 x de h e m e l s b r e d e afstanden b e d r a g e n . Bij t o e p a s

(26)

o o (M O o «w I fi O O * e 0) Ö -o nt U > cd

•2 Î

-û x X u * c nt cd co m in 0) T l O 43 u cd m cd •4-» V vu G O •rH C\J Tl Is 0 •I-I 

6

c N C v bO V m co cd (U <u U —! cp cd •t-> o u

_s

00 * '3 2 3 "S u o cd X u u 3 > •IH 0)

s

0) > in oo 24

(27)

< ICC H v If) i o (0 i m O tf) CM 1 t o (0 0) -t-> 0 f—t eu o c •!-> +•> ,* h <D * c o o G Cd > 0) • I - I 3 43 • i H • • - > (0 • H 0) •o G ca cd •!-> (0 cd PU 00 G «3 cd ^c lf> 1—1 "—'» 1—1 •O 0

S

G •I-I i to (0 cd

3

i—1 cd G G # . O N O o^ I - H G •r-t G • r-» <U , 0 G 14 O •(-» _CJ CtJ O) 3 <u CU

s

0 Ü vO öó • I - I h OD 0) r-H t>0 ,* _M V * G cd > cd h • M G

g

e V s M 60 25

(28)

sing van h e m e l s b r e d e afstanden gaat m e n dan ook i m p l i c i e t u i t van een voor a l l e r e l a t i e s gelijke v e r h o u d i n g s f a c t o r . Voor de door s p o o r en autowegen r e l a t i e f goed ontsloten g e m e e n t e n , bijvoorbeeld w e d e r om in de zuidoosthoek van h e t gebied ( B e e s d , C u l e m b o r g , G e l d e r -m a l s e n , W a a r d e n b u r g e . a . ) v o r -m t de h e -m e l s b r e d e afstand tot de w e r k c e n t r a w e l l i c h t een te hoge schatting van C . ten opzichte van die van a n d e r e g e m e e n t e n , w a a r d o o r de b . in zulke g e m e e n t e n r e l a -tief te hoog w o r d t .

Om dit g e v a a r zo v e e l mogelijk te v e r m i j d e n i s het b e l a n g r i j k , dat het w e r k e l i j k e r e i s b e z w a a r zo goed mogelijk w o r d t b e n a d e r d . In i e d e r geval v e r d i e n t h e t aanbeveling, wegafstanden in te v o e r e n . In p a r a g r a a f 3 . 1 is evenwel r e e d s a a n g e s t i p t , dat ook in dat geval nog v e r s c h i l l e n in o n t s l u i t i n g s k w a l i t e i t (in de v o r m van r e i s t i j d e n )

de p a r a m e t e r s A. en b . kunnen b e ï n v l o e d e n .

B e i d e overwegingen zijn m e d e aanleiding geworden tot de in p a r a g r a a f 3 . 3 b e s c h r e v e n c a l i b r a t i e van (15) op een v i e r k a n t e w a a r -neming s m a t r i x van a l l e w o o n - w e r k r e l a t i e s in het s t u d i e g e b i e d m e t i n v o e r i n g van wegafstanden v o o r C . . .

In v e r b a n d m e t het b o v e n s t a a n d e behoeft h e t geen v e r w o n d e r i n g te wekken, dat in dit s t a d i u m een poging, de A . w a a r d e n te r e l a -t e r e n aan a n d e r e specifieke v a r i a b e l e n p e r woonzone, nog weinig b e v r e d i g e n d e r e s u l t a t e n o p l e v e r d e . F i g . 7 i l l u s t r e e r t , dat van de a a n g e p a s t e A . w a a r d e n p e r w o o n g e m e e n t e een significante c o r r e l a -tie w e r d g e c o n s t a t e e r d m e t de l a n d o p p e r v l a k t e indien de g e m e e n t e n w e r d e n o n d e r s c h e i d e n n a a r u r b a n i s a t i e g r a a d . Met behulp van l i n e -a i r e r e g r e s s i e is het v e r b -a n d -afgeleid t u s s e n de l o g -a r i t m e n v-an A.

t s

en L<., hetgeen r e s u l t e e r t in: A . = 10 . L. m e t t, s en c o r r e l a t i e

-j - -j -j

coëfficiënt r a l s gegeven in de figuur. A a n g e z i e n de u r b a n i s a t i e -g r a a d de -g e m e e n t e n in k l a s s e n A, B en C -globaal o n d e r s c h e i d t n a a r hun landelijke r e s p . s t e d e l i j k e k a r a k t e r (CBS, 1964), m a g een d e r -gelijk v e r b a n d r e d e l i j k e r w i j z e w o r d e n v e r w a c h t ; v e r g e l i j k i n g van fig. 5 en 6 m a a k t duidelijk, dat in alle d r i e k l a s s e n de b . - w a a r d e n een g r o t e s p r e i d i n g v e r t o n e n , en dat de R . w a a r d e n een o v e r h e e r -sende r o l spelen in de v a r i a n t i e in A . . H i e r m e e zij v e r k l a a r d dat de A . ' s in de C - g e m e e n t e n ( r e l a t i e f hoge R, ' s m e t g r o t e s p r e i d i n g ) gemiddeld een i e t s hogerniveau hebben m e t g r o t e r e s p r e i d i n g , dan

(29)

1000r-urb. graad A • urb graad B : urb graadC : s 4.87 3,44 2.66 t 4.68 2,36 0.81 J r 0.56 0,47 0.56 1000 r-1 0 0 10 0,1 0,01 1000 1 0 0 1 0 -urb.graad B 10 1 0 0 0,1 0,01 1 urb. graad C 10 100 Lj (km2) F i g . 7. G r a v i t a t i e m o d e l w o o n - w e r k v e r k e e r 14 c e n t r a , I960. V e r b a n d t u s s e n A . en de l a n d o p p e r v l a k t e L . p e r g e m e e n t e J J n a a r u r b a n i s a t i e g r a a d , m e t 95% b e t r o u w b a a r h e i d s i n t e r v a l l e n de A - g e m e e n t e n ( r e l a t i e f lage R. ' s m e t g e r i n g e r e s p r e i d i n g ) . Het J

i s evenwel duidelijk, dat c o r r e l a t i e s a l s d e z e onvoldoende b e t r o u w -b a a r zijn om a l s -b a s i s te dienen voor -b r u i k -b a r e p r o g n o s e s van A . .

•f

V o o r d a t tot c o r r e l a t i e b e r e k e n i n g e n kan w o r d e n o v e r g e g a a n , dienen we ons e r v a n te v e r g e w i s s e n dat de c a l i b r a t i e van de A - - w a a r d e n zó

r e a l i s t i s c h i s u i t g e v o e r d , dat deze een i n t e r p r e t a t i e van b . volgens (8) r e c h t v a a r d i g t .

(30)

3 . 3 . B e r o e p s b e v o l k i n g v a n d e d r i e R a n d s t a d p r o v i n -c i e s i n I 9 6 0

Op grond van de in p a r a g r a a f 3 . 2 opgedane e r v a r i n g e n zijn v e r -volgens de w o o n - w e r k b e w e g i n g e n van de totale b e r o e p s b e v o l k i n g m e t een v a s t w e r k a d r e s t u s s e n alle o n d e r s c h e i d e n zones onderling in een c a l i b r a t i e i n g e v o e r d . D a a r t o e zijn a l s studiegebied gekozen de p r o v i n c i e s Noordholland, Zuidholland en U t r e c h t , w a a r v a n de g e m e e n t e n zijn s a m e n g e v o e g d tot 84 z o n e s . A l s h e r k o m s t of b e s t e m m i n g s z o n e s van de r e l a t i e s die de g r e n s van het studiegebied o v e r

-s c h r i j d e n , zijn de o v e r i g e acht p r o v i n c i e -s a l -s o n d e r -s c h e i d e n zone-s toegevoegd, zodat de c a l i b r a t i e is u i t g e v o e r d op grond van een v i e r -kante (92 x 92) m a t r i x van w a a r g e n o m e n r i t a a n t a l l e n n . . ( I = J,

Nj = N j = 92).

De w a a r g e n o m e n a a n t a l l e n r i t t e n n . . t u s s e n alle zones zijn b e -r e k e n d uit de V o l k s t e l l i n g s g e g e v e n s p e -r g e m e e n t e (CBS, 1962). De w e e r s t a n d e n C . t u s s e n de zones zijn a l s wegafstanden in km l a n g s de k o r t s t e route i n g e v o e r d , welke zijn ontleend a a n w e g e n k a a r t e n (NOB, 1966). Bij het kiezen van deze k o r t s t e r o u t e s zijn v e r t r a g i n gen door n i e t v a s t e o e v e r v e r b i n d i n g e n a l s fictieve wegafstanden b e -n a d e r d , e-n wel het v e e r H e l l e v o e t s l u i s - M i d d e l h a r -n i s a l s 50 km, het v e e r Den H e l d e r - T e x e l a l s 20 k m en a l l e o v e r i g e in N e d e r l a n d

v a r e n d e v e r e n a l s 10 k m . Dit b e t e k e n t dus dat, w a a r m o g e l i j k ,

w o r d t o m g e r e d e n indien de a l t e r n a t i e v e o m r i j d r o u t e k o r t e r i s dan de k o r t s t e route + de fictieve ' v e e r a f s t a n d ' .

Z o a l s gezegd, b e v a t de b e r e k e n i n g nu alle p e r s o n e n m e t een v a s t w e r k a d r e s , die in het studiegebied wonen of w e r k e n , w a a r d o o r de s t e e k p r o e f g r o o t t e ten opzichte van de totale b e r o e p s b e v o l k i n g w o r d t : . £ T R. / . ~ T P . = 0, 9828. De c a l i b r a t i e van (15), w e d e r o m

u i t g e v o e r d zoals in p a r a g r a a f 2 . 3 b e s c h r e v e n , l e v e r d e a l s r e s u l t a a t : p = 0,2577 en w a a r d e n A. z o a l s in k a a r t g e b r a c h t in fig. 8.

E v e n a l s in p a r a g r a a f 3. 2 i s w e e r de factor b . p e r woonzone b e r e k e n d door A. te delen door R. = . y- T n . . , welke in dit geval in

J j i € I xj' e

h e t a l g e m e e n nagenoeg o v e r e e n k o m t m e t de totale b e r o e p s b e v o l k i n g P . (fig. 9). Globaal v e r t o o n t de figuur eenzelfde g e o g r a f i s c h e s p r e i -ding van de b . - w a a r d e n a l s het k a a r t b e e l d in fig. 6; lage b . ' s in en rond de steden, hoge w a a r d e n in de e x c e n t r i s c h e z o n e s .

(31)

< 1 0 0 100 - 2 0 0 l i l l l l i 2 0 0 - 5 0 0 500-1000 F i g . 8. A t t r a c t i e f a c t o r e n A uit m o d e l (15), g e c a l i b r e e r d op de d i s t r i b u t i e van w o o n - w e r k r i t t e n t u s s e n 84 zones in I 9 6 0 . (*Voor de w e r k e l i j k e w a a r d e n v e r m e n i g v u l d i g e m e n a l l e k l a s s e g r e n z e n m e t 198, 6301) 29

(32)

F i g . 9. C o m p e t i t i e f a c t o r e n b . in m o d e l (15), g e c a l i b r e e r d op de d i s t r i b u t i e van w o o n - w e r k r i t t e n t u s s e n 84 zones in I960. (*Voor de w e r k e l i j k e w a a r d e n v e r m e n i g v u l d i g e m e n alle k l a s s e g r e n z e n m e t 0, 1986301)

(33)

Het feit dat alle in het studiegebied w e r k z a m e n in de b e r e k e n i n g van A. zijn b e t r o k k e n , s c h e p t nu de gelegenheid, om het model te t o e t s e n op de r a n d t o t a l e n . > T T . . voor elke woonzone j in het

r ï e i ij J

studiegebied, die e r m e e w o r d e n v o o r s p e l d voor 1971. Uit de V o l k s -telling 1971 (CBS, 1973) zijn n a m e l i j k w e l i s w a a r nog niet de woon-- w e r k b e w e g i n g e n n. . bekend, m a a r wel r e e d s de r a n d t o t a l e n van de r i t m a t r i x , R. = . \ T n.. p e r woonzone en E . = . \ T n . . p e r w e r k z o n e .

J i £ I y F r i j £ J ij ^

De v e r g e l i j k i n g van . £ T T . . m e t . ^ T n. . w o r d t g e ï l l u s t r e e r d door

° J ° 1 £ I ij i £ I i j °

fig. 10. De bovenste figuur toont de s t e r k e c o r r e l a t i e t u s s e n b e r e -kende en g e m e t e n r a n d t o t a l e n voor I960, dus voor de gegevens w a a r o p het m o d e l w e r d g e c a l i b r e e r d . Kennelijk is het model v o l doende flexibel om een goede aansluiting te geven bij de w a a r n e m i n gen. Met de voor I960 a a n g e p a s t e p a r a m e t e r s A. en ß is v e r v o l -gens uit (15) een r i t m a t r i x b e r e k e n d voor 1971, m e t a l s v a r i a b e l e n de w e r k g e l e g e n h e i d E. p e r zone en wegafstanden C . in 1971, w a a r -bij de w a a r d e n a. en b . van I960 o n v e r a n d e r d w e r d e n g e s t e l d . De a l d u s v e r k r e g e n u i t k o m s t e n . £ T T.. staan in de o n d e r s t e figuur u i t

-° 1 1 I i j °

g e z e t tegen de w a a r n e m i n g e n I n . . . Behalve de s p r e i d i n g rond i € I ij

de lijn y = x , welke voor de g e r i n g e p e r i o d e van 11 j a a r r e e d s v r i j aanzienlijk blijkt, valt v e r d e r op, dat de p u n t e n z w e r m s y s t e m a t i s c h van de lijn afwijkt; m e t n a m e voor de zones w a a r i n de g r o t e r e

steden liggen zijn de w a a r n e m i n g e n k l e i n e r dan de m o d e l u i t k o m s t e n , t e r w i j l de b e r o e p s b e v o l k i n g in de o v e r i g e zones in h e t a l g e m e e n s t e r k e r blijkt te zijn g e g r o e i d dan dat h e t m o d e l v o o r s p e l d e . Deze afwijking i l l u s t r e e r t , dat het, m e t het oog op v o o r s p e l l i n g e n op l a n -g e r e t e r m i j n , v o o r a l indien ze de -g r o n d s l a -g v o r m e n v o o r a n d e r e p r o g n o s e s (BUCHANAN c. s. , 1973), noodzakelijk i s , de m o d e l p a r a -m e t e r s b e t e r te kunnen b e s c h r i j v e n dan op grond van één steekproef in de tijd mogelijk i s . Model (15) zal p a s v o o r s p e l l e n d e w a a r d e kunnen k r i j g e n nadat m i n s t e n s één s o o r t g e l i j k e set van p a r a m e t e r s i s b e r e k e n d op grond van een m a t r i x (n..) voor een a n d e r t i j d s t i p . Wellicht i s het dan mogelijk, de v e r a n d e r i n g e n in de w a a r d e n A. (danwei b.) p e r zone te r e l a t e r e n aan specifieke v a r i a b e l e n van die z o n e s . Dé e e r s t v o l g e n d e , volledige m a t r i x (n..) na I960 voor het o n d e r h a v i g e gebied is w a a r g e n o m e n in 1971. De v o l k s t e l l i n g s g e g e -vens van dat j a a r betreffende het i n t e r g e m e e n t e l i j k w o o n - w e r k v e r k e e r

(34)

teI 6 10' 10* 10" / / 10 10 aansluiting 1960 10~ 10 6 i e i IJ

iti^

i o

6

r

10' 10 10' b o l l e n s t r e e k W e s t l a n d ^ * ^ A m s t e r d a m R o t t e r d a m Den Haag n e s u d n u \ i K r i m p e n e r w a a r d - W ' *i»f A m s t e l v e e n *" -j!^*» e i d « c h e n d a m - V o o r « c h o t e n • J v V o o m e - P u t t e n # j -K r i m p e n e r - —•—-» *?%t * ~ ~ w a a r d - O **Jf* , . • yT Z o e t e r m e e r 4 * / t 'T 10J 10T voorspelling 1971 10* i€I 10' T _U F i g . 10. G r a v i t a t i e m o d e l w o o n - w e r k v e r k e e r t u s s e n 84 z o n e s in I960. A a n s l u i t i n g van (15), g e c a l i b r e e r d op I960, en de t o e t s i n g van . 4 T T . . voor 1971, b e r e k e n d uit de E . - w a a r d e n van

i € I i j ï

1971, en de p a r a m e t e r s van I960

(35)

zullen evenwel n i e t e e r d e r dan eind 1974 volledig g e p u b l i c e e r d kunnen zijn. N i e t t e m i n dient h i e r o p te w o r d e n gewacht, a a n g e z i e n ze o n m i s b a a r zijn voor h e t s c h a t t e n van de p a r a m e t e r s ten behoeve van p r o g n o s e s .

T e n s l o t t e blijkt h e t g e r e c h t v a a r d i g d , z e e r k r i t i s c h te s t a a n tegen-o v e r het gebruik van een afstandsfunctie (11) m e t s l e c h t s één v tegen-o tegen-o r a l l e zones geldende, p a r a m e t e r ß . Uit p a r t i e l e r e g r e s s i e b e r e k e -ningen op r i t l e n g t e d i s t r i b u t i e s van individuele zones volgt n a m e l i j k een aanzienlijke s p r e i d i n g in de ß - w a a r d e n . T e r i l l u s t r a t i e toont tabel 1 enkele van deze w a a r d e n , b e r e k e n d voor r i j e n en k o l o m m e n u i t de ( n . . ) - m a t r i x van het in deze p a r a g r a a f behandelde v o o r b e e l d .

Tabel 1. E n k e l e w a a r d e n van de a f s t a n d s p a r a m e t e r ß , a a n g e p a s t aan r i t l e n g t e v e r d e l i n g e n van individuele zones

W e r k z o n e ßi Woonzone ß j L e i d e n U t r e c h t A m s t e r d a m Delft H a a r l e m R o t t e r d a m Z a a n s t r e e k Den Haag P u r m e r e n d H a a r l e m m e r m e e r 3 , 0 3 2 , 3 5 2 , 0 8 1,15 1,07 0 , 9 0 0 , 8 5 0 , 8 2 0 , 3 9 0 , 0 8 A m s t e r d a m 2 , 8 5 Z a a n s t r e e k 1, 05 B e v e r w i j k / H e e m s k e r k 0 , 8 5 De S t r e e k 0, 05

Dit houdt in, dat, indien s l e c h t s één ß voor a l l e zones w o r d t g e h a n t e e r d , de a a n g e p a s t e A . w a a r d e n op s t o r e n d e wijze w o r d e n b e l h

-J

vloed. D o o r d a t m o d e l (15) deze s p r e i d i n g n i e t in de p a r a m e t e r ß kan opvangen, n e m e n de d i v e r s e p a r a m e t e r s A . deze taak over en wijken d a a r d o o r af van hun w e r k e l i j k e w a a r d e , n a a r m a t e de w e r k e -lijke v o r m van de r i t l e n g t e v e r d e l i n g afwijkt van de a a n g e p a s t e functie (fig. 11).

(36)

: ^ci j

Ji1<J52<iä3

j*1 : ?>Z '-?3 ' BvB2: B3

Fig. 11. Voorbeelden van verschillende ritlengteverdelingen met eenzelfde rittentotaal

Deze extra spreiding in A. als gevolg van de mathematische struc-tuur van (15) is misleidend, indien men A. poogt te relateren aan bepaalde variabelen per woonzone. Het is daarom dan ook nodig, de flexibiliteit van het model te vergroten, door voor bijvoorbeeld iedere werkzone een specifieke afstandsfunctie aan te passen:

-

ß . C .

f(C..) = e X 1 J

i j voor elke i£ I (32) Aannemelijk lijkt, dat het afstandsgedrag per werkzone afhangt van diverse socio-economische eigenschappen van de in die zone werkzame personen. Hierbij valt te denken aan factoren als het ge-middeld inkomensniveau, sociale beroepsgroep, bedrijfscategorie, gezinsfase, opleidingsniveau, enz. Het is ten behoeve van prognoses dan ook wellicht mogelijk, de parameter ß . te schrijven als functie van dergelijke variabelen.

Dit laatste zou erop neerkomen dat, aan de vraagzijde, de druk van werknemers op woongebieden kan worden gekarakteriseerd door