Onderzoek naar de formule voor de pF-curve

tfSTITUUT VOOR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING N N 3 1 5 4 5 . 0 0 7 3 N o t an o . 7 & i . 21 m a a r t 1961

BIBLIOTHEEK

STARÎNGGEBOUW

Onderzoek naar de formule voor de pF-curve

ir. W . C . Visser

BIBLIOTHEEK DE HAAÏ7 Droevendaalsesteeg 5a

6708 PB Wageningen

Het tot d u s v e r r e uitgevoerde onderzoek w e e s uit, dat in e e n N - n o m o g r a m m e t log v (v = vochtgehalte) en log (1v) (1v = luchtgehalte) l a n g s de e v e n

-wijdige a s s e n een redelijke beschrijving v a n de p F - c u r v e gegeven kan w o r d e n . Op de schuine a s m o e t dan een l i n e a i r e s c h a a l voor de p F w o r d e n uitgezet

m e t een bij de p F - c u r v e b e h o r e n d e schaaleenheid en een j u i s t beginpunt. V e r d e r e b e r e k e n i n g e n wezen uit, dat een c o r r e c t i e aan de b e g i n - en

eindwaarden van de vocht s c h a a l een mogelijkheid bieden om hft N - n o m o g r a m om te v o r m e n tot een n o m o g r a m m e t d r i e evenwijdige a s s e n . Deze c o r r e c t i e s kunnen worden opgevat a l s een bepalingsfout van h e t o v e n d r o g e - en h e t g e h e e l v e r z a d i g d e gewicht. Ook kan m e n zich afvragen of e r een z e k e r p o r i ë n v o l u m e i s - w o r t e l - of w o r m g a n g e n - dat b e s t a a t a l s gevolg van een a n d e r e o o r z a a k dan de bodemkundige e i g e n s c h a p p e n van k o r r e l g r o o t t e v e r d e l i n g en v o c h t a a n -t r e k k i n g van h e -t g r o n d m a -t e r i a a l , da-t d e v o r m van de p F - c u r v e g r o -t e n d e e l s b e p a a l t .

Het type van de f o r m u l e

Het n o m o g r a m m e t d r i e evenwijdige lijnen, zie figé 1, geeft d e volgende o n d e r l i n g e s a m e n h a n g w e e r :

a + b _ s - t + a' _ t 4 b - s

+$**& p + q ~ q ~ p

•° Nu s t e l t m e n de afstand p+q t u s s e n de a s s e n

ge-lijk a a n 1. Nu volgt uit de v o o r g a a n d e f o r m u l e :

IV.

v>

l<

t 1 FEB. 1998

• LANDBOUWCATALOQUS

2 -q(a+b) - a = s - t ( q - l ) a + qb = s - t p(a'+b) - b' = t - s pa + (p- l)b' = t - s qb - ( l - q ) a = s - t (l-p)b + pa = t - s

'

9-V

Vervangt men nu a door log-jj en b door log •*-=- , stelt men de waarde van de p F ter plaatse van het punt* op de nulas van het n o m o -gram, gelijk a en ter plaatse van het punt s gelijk aan de bij vochtgehalte v behorende pF, en stelt men de schaaleenheid op de p F - s c h a a l gelijk b, dan ontstaat de formule

a-

Â^t'-

_r

P

Vereenvoudiging i s mogelijk a l s volgt:

I-P /-/»/" f p . „

Het bepalen van de constanten

De formule voor de p F - c u r v e werd nu

Voor P en v zijn waarden bekend. Maar e r kan een systematische fout aanwezig zijn in het droog gewicht dat op elke v inwerkt, en in het g e -wicht bij verzadiging, dat op de P inwerkt.

Vervangt men v door v+z^v en P door P + A P , dan zijn &v en AP onbekenden, die met de onbekende p als product voorkomen. Om tot een oplossing te komen, moet voor p een waarde als benadering worden g e -schat en als correctie op p+ ù p de onbekende A p worden bepaald. De voortplanting van de fout vindt men als volgt:

3

-De formule wordt nu:

^ Ï + V T W

ft

t../£f^k<..

_'p'-(t

₊

_rJt"-^

wl/A

?

_A

De wijze waarop de vergelijking voor de berekening van de constanten wordt geschreven, hangt af van de waarde van p. Is p klein, dan kan

de formule het beste door 1p gedeeld worden en p / l p a l s nieuwe c o n -stante m worden ingevoerd. Is p daarentegen groot en 1-p klein, dan kan de formule beter door p worden gedeeld en 1-p/p als nieuwe constante n worden ingevoerd. Voor p gelijk aan een tussengelegen waarde zijn dan beide schrijfwijzen bruikbaar.

Men voert nu de volgende samenvattingen in, verdeeld in de schrijf-wijze I en II.

I

 *

X

'é-y>£K> ..wv.ti.^.wrt.xfr

•t

_-4

•f {YY\

3JT Ï . X , I - Y , ^ •

1

' • • W * M L , " - 4 » H A ' P . V

r

, ^ * / h .

f

De formule wordt dan:

II

De onbekenden, die moeten worden berekend, zijn nu Vf, y , TL, U en v . De termen tussen haken kunnen uit de analysecijfers worden berekend, waarbij voor P en p een schatting moet worden gemaakt. De waarde van P zal vermoedelijk wel met vrij grote nauwkeurigheid bekend zijn. Zijn er onvoldoende gegevens voor een directe berekening van het poriënvolu-me uit droog gewicht, soortelijk gewicht en monstervoluporiënvolu-me, dan kan m e n een bedrag, dat het vochtgehalte bij de laagste pF wat te boven gaat,

4

-De waarde van m = l / n zal vermoedelijk veelal o m s t r e e k s 0.5 zijn VOOJ

lichte gronden. Bij zware klei lijken hoge waarden van m mogelijk en zal men beter met n kunnen werken. Lichte gronden met een m nagenoeg gelijk 0 zijn bij grafische analyse reeds aangetroffen.

Schatting van de waarde van m

Zodra een aantal curven doorgerekend zijn, zal men de waarde van m wel aan de hand van de zwaarte van de grond kunnen schatten. Voor niet te zware kleien zou men de berekening tweemaal kunnen uitvoeren met m = 1 en m = 0, waartussen de juiste waarde veelal zal liggen. Dit zou een indruk over de snelheid van convergeren kunnen geven van de functie van m.

De waarde van p of m kan ook worden afgeleid door de ligging van het buigpunt bij de uit de hand getekende p F - c u r v e te schatten. De waarde

van p blijkt uit de tweede afgeleide oLzr/dv ; 0

d2F

Hit de waarde voor volgt:

d v2

De waarde van p laat zich uit die van v berekenen of andersom:

Ikf-i) T' Z-j: " M ^ p

, , — *

4 1

(?J .

Dit levert de volgende betrekking op tussen v / P bij het buigpunt en de waarde van p en m:

v / P = 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 p = 0.003 0.012 0.030 0.059 0.100 0.155 0.224 0.308 0.402 0.50 m = 0.003 0.012 0.031 0.062 0.111 0.182 0.288 0.445 0.67 1.00 n « 362 81 32.2 16.0 9.0 5.44 3.47 2.25 1.50 1.00 v / P = 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 p = 0.500 0.600 0.691 0.775 0.850 0.900 0.940 0.970 0.988 0 . 9 9 m = 1.00 1.50 2.25 3.47 5.44 9.00 16.0 32.2 81 362 n - 1.00 0.67 0.445 0.288 0.182 0.111 0.062 0.031 0.012 0.00

Vaak echter zullen de waarnemingen niet zo nauwkeurig zijn, dat men het buigpunt goed kan vaststellen. Bovendien is een buigpunt op zichzelf geen erg nauwkeurig criterium als "meest rechte punt op een toch al vrijwel

rechte lijn".

Een andere schatting van m kan uit een oplossing van m volgen, waarbij de A v en A P even verwaarloosd worden. De oplossing loopt als volgt:

wi^g

lic

, 'm

^ 7 il

•'>•» on AVU

6

-Uit drie waarnemingen, bij voorkeur zo gekozen dat zij niet op een te rechtlijnig deel van de curve liggen, kan men de waarde van m berekenen. De waarde van p volgt dan als m/m+1.

0 e formules geven aan, dat m en B niet afhankelijk zijn van de schaal, waarin v en P-v zijn uitgedrukt. De waarde van  i s schaalafhankelijk. Met deze schatting van A, B en m kan men nu een verdere schatting van A v en

& (P-v) maken, zonder te omvangrijke berekeningen te behoeven te maken. Men kan de zo gevonden waarden voor A, B en m invullen in de formule:

o

V

o.'

A

V-^A(?.

V

)^-S^.^lyi^C^)

De schatting van de 5 onbekenden zou men nu als volgt kunnen uitvoeren: De waarden van A, B en m berekent men voor de pFwaarden 1,5 2,7

-4 , 2 . Httz^ waarden substitueert men in het rechter lid van de juist genoemde formule, waarna de betrekking tussen &v en A(P-v) met de waarden voor pF 1.0 en 6.0 uitvoert. De waarde voor pF 0.4 kan vooreerst beter worden uitgesloten, omdat hierin vermoedelijk wat grote afwijkingen optreden.

De correctie op ùv en A ( P - V ) zal moeten worden overdreven omdat een

deel van die fout in de waarden voor p F l . 5 e n 4 . 2 i s opgenomen. Men kan de tweede berekening daarom beter met wat te hoge correcties uitvoeren en achteraf nagaan naar welke waarde de uitkomsten convergeren.

7

-De pF, waarbij 50% vocht optreedt

Zijn de constanten bekend, dan kan men enkele eigenschappen van de pF-curve nagaan.

Waar P-v s v, dus het 50% vochtgehalte optreedt, geldt:

***i[*-H&.

Wil men een oordeel over de doorluchting uit de constanten van de pF-curve afleiden, dan zou men als maatstaf voor v kunnen nemen 0. 3 P, wat bij P = 45% zou neerkomen op een luchthoudend percentage van 13.5.

De formule wordt dan:

Wanneer de constanten bekend zijn, geeft deze formule aan hoe hoog de pF moet oplopen om een voldoende doorluchting mogelijk te maken.

De pF, waarbij het meeste vocht beschikbaar komt

De pF, waarbij de grootste hoeveelheid vocht onttrokken kan worden, welk punt weergegeven worde met een ster, treedt op bij het buigpunt. m e r is: « \/z~- \A

X- : I**!' - / f V'** Het minteken geldt.

De uit m volgende waarde voor v geeft, gesubstitueerd in de formule voor de pF, de waarde waarbij het meeste vocht beschikbaar i s .

Substi-#

tueert men de m en v waarden in

» f a * - / //wv,

Uit

<i

en X*. £2L

-vC

/Vn_| - VfYYl "P " A M „ | ~ /»*-/

volgt eU

it

7v

# - g r ( H

S

De hoeveelheid water, die maximaal per eenheid van toename van de p F vrij komt, i s dus op eenvoudige wijze van de waarde van m afhankelijk.

Voor de p F van het buigpunt krijgt men, door de waarden van ^ en / - Ü ;

uitgedrukt in m te substitueren:

De t e r m , die alleen m bevat, kan vooraf berekend worden. De relatie t u s set B, p F , A, P en m laat zich in een nomogram gemakkelijk samenvatten, n . l .

waarin H een hulp schaal. Vergelijkt men de formule met die welke voor de doorluchting werd afgeleid, dan blijkt dat alle termen aan elkaar gelijk zijn, behalve de mfunctie. Deze kan men blijkbaar variëren om over v e r s c h i l -lende aspecten geïnformeerd te worden.

9

-Voorbeeld van berekening van de constanten

Men zou de formule met de 5 onbekenden A, B, m, A V en &P kunnen oplossen door 5 combinaties p F - V in de formule in te zetten en de 5 formules met 5 onbekenden op te l o s s e n . Het i s echter een niet onbelangrijke hoeveelheid werk en bedacht moet worden, dat de oplossing r e t t t e r a -tief i s en men dus de berekening een aantal malen zal moeten herhalen.

De gang van de hier gekozen oplossing i s , dat men met een gekozen waarde voor AV. en 4 P , de onbekenden A, B en m berekent volgens de hiervoor gegeven formules uit drie waarnemingen.

Met deze uitkomsten worden nu voor twee verdere waarnemingen de A V. en û P , opgelost, de waarden die toegevoegd aan de e e r s t geschatte A V . en A P , een betere benadering van de definitieve oplossing voor deze waarden geeft. De toepassing van A V , en AP_ kan s o m s echter m o e i l i j k -heden geven, omdat men weleens over de juiste oplossing heen schiet e n het geval kan krijgen, dat het vochtgehalte voor p F 6 . 0 en 0 . 4 buiten de assymptoot vallen en e r immaginaire getallen ontstaan. Daarom k i e s t m e n de AV en AP z o , dat de beide genoemde waarnemingen nog juist r e ë l e l o -garithmen houden. In die gevallen, waarin de extreme waarden niet te z e e r van de formule afwijken, zal men een correctie A V , en ^ P , krijgen, d i e van de assymptoot a i gericht i s . In de derde kolom van het voorbeeld z i e t

men, dat door de keuze van AV. en û P , de ( P - v L 4 en de Vr * beide op

0 . 2 gesteld zijn geworden, z e e r lage waarden dus, die AV- en AP_ waarden van + 0 . 1 8 respectievelijk -f 0 . 1 6 doen ontstaan, getallen die aan V e n P - v moeten worden toegevoegd zoals het + teken aangeeft. De gevonden AV- en

A ( P v ) , zijn echter geen nauwkeurige aanwijzers voor de definitieve o p lossing en men moet met enkele pogingen deze definitieve oplossing i n s l u i -ten. Wanneer men de A V , en A ( P - v ) - voldoende dichtbij nul heeft gebracht, vindt men voor A, B en m de juiste waarden. In het doorgerekende v o o r -beeld blijken de oorspronkelijke vochtgehalten V in de e e r s t e kolom m e t

A V = 2 . 2 te moeten worden verminderd, terwijl het luchtgehalte ( P - v ) m e t A ( P - v ) , » 1.2 dient te worden verminderd. Het berekende voorbeeld laat zien, dat het geen zin heeft om de berekening met de onveranderde g e t a l -waarden te beginnen, zoals in de e e r s t e twee kolommen. Men kan beter de

- 10

fr V en A ( P - v ) , a l l e r e e r s t zo groot kiezen dat de logarithmen nog juist

retfel blijven. Ook bij het via vereffening bepalen van de 5 onbekenden zal dit de techniek zijn, die de geringste moeilijkheden doet optreden. De volgende berekening kan men met een AV en A(P-v) uitvoeren, die gelijk i s aan AV. + 2 à 3 maal AV_ en voor A (P-v) dezelfde ruime m a r g e , omdat de A V , en A ( P - v ) , aanmerkelijk te klein uitvallen. Op deze wijze heeft men redelijke zekerheid dat men de werkelijke oplossing insluit.

In een tweede tabel wordt met de vier niet gebruikte waarnemingen een controleberekening uitgevoerd.

" ^ ( ^ o*

.ï.

* V .

I

sf ^ O

!

««

ï

M t * H ; * *

I ï.

• » O <x> » » • "ä y V!

1 « 31

1. •

I

«* O •» • • • * 8 S S «* V» V» * • MO S o S5 •» o «• • » »

3 51 §

4» io 73

k £ à

3 a s

M - 4 I »

1

vn srt s» o o o o

IS

35 es

11

% C 4M. M «» O & î* i . b ^ V> 4H V» N <* _f S 5! o o o o _{• * ». »} U I M «4 V t

sH

_{l ) ü}

o o o • » r

^ ig

-^ «* 75 ** o *•

®

•3 gl 5? « _vï o •* • *

S

s

a

* ru b M l ft SM o o o o • t * •

83

©

§3

4 ft o o • • ï « SA N VO V I

« »a

S « H O O O » • * - - Si V» _to 2

1

M er» £ iS Xf » V ) 13

_£

£ . 4M tO . » M 5 « *.

* • K « & _{& &}

S ^ S

S I

05 * ê m o o o • • t. en ru co SM S» < 3

2 H

_{o o o o} NO CO

I

-» v» ß o o » t - , N $ O O & (5

I I

en v t

i

3 3

»4 to

I 2

O w S ïü ^ t» ^ h b i» & Î> s» ^ S • • » • «•» SO M M « VJI V I «* _ 5 v* ui M o m s* b b in S«Ü3 i l îi ii i i b * SM • * W «I M t • » •F» . » . * * *

ï

* SO

¥

r

I

ï

7 > o p «* _rt M 1 tv» O" e» a * * «A O O" 1VJ M V • {s%? o o* o o • :;* . 1 * : . * . VW v w 4» * » *?. « _{? ï JS} I««' J • *> VN • * » V« Bi U> I o - * - * - * 4 Q C f> t o • .*> £ V » • v

ï

O • * 1 V » VN h

Z

• * - • • ov * o - 1 o" tv» o (0 M t O l M l t # <-^ *» ON V« ON vn to v« O l O » • • * > O s ON VW O f O f U I CD " V » ON 3 v» V « + •f» I • d cv" o 4 a o *

SJ

«3 «t ON 0 \ « O o *

I

O N O O *•

ï

O f O f oi o • • va O -» ro o vn ro ~ J O l O O VN - » VI) •* s Vfl « • o o O l OP O f —1 vn U I 09 •4 » a » • • ^ VO Ol o • * vw O O 03 M vn

8

O l v« « • o v« O l ON V n vn VB tv* o O f O f • * o -» vn M vo *» M 09 O l O l o ^ ) VI? A3 0 9 8 o« • o «* -ft» - 4 -H • vn - 4 vo _o - * l • 0 9 V « [ B vn .* - J «* vn O IV> vn VM O • vo M M J » . O f 3 •a *> " S. to o VO O o « •*» ov -» O U I -» vo vo ~ i 2 & • • V« - 4 vo vn O l -fr • • O 0 \ •* «ft CS 8 • M • 03 vo 3 O l • •* • * INJ VM O l • _eo VW S 9 O 0% M g> vw _{&\ vo} O t 00 - 4 vn vw O l M O f o O l » ON 0\ O l vo M - 4 A3 O f O f • • 8 o p - 0 - 4 O -- 4 to VW O l * O a * O M ft «* • ro 00 vi 8 vn 4» • « CS 0 » ON • » -* *> v n - « j o * . - b *» 5 o\ vw •* S S fc rvj vn —» ~ j vn o\ vn vw ON *» vn vo * os ~4 * _{vn vo} . vo o c\ a» v» I» •» o» vo av vn in • t *» vn t o M O M - 4 VO O l C \ » * <Ji t o vo M * * vn O o\ vo to vo V« M O VM * vn -» » t VM O « J VM VQ OV o \ VW O to • • VM •*» VM vn VO to O

fi

SES if O to t O -. vë vn vo to IV» vn . < ^ «t 4k O l O -» vn av to VN VM 0 \ * « *

I

O VN « • • j * VM o S -* o O l VM Ö VO - » VO o -J vn -4 o> vo vn vo a» —i O l VN a> - 3 vn » 0\ vn O v» • • VM • * VO U l VW 5£ •» ^3 o « » • U l •»! «* IS Ä ON 0 \ VN - » O l vw VM

X

vn o i S O vw vn o i K? VO <D VO -A Ö O l • 5g - 4 VO «* • vn 0*1 vn _a> O l • vn •e» vo »> • vn S O <ïv vn O • •*>• >R « O « * • ^> O l •

s

s

** • V

s

- J O l • «A o « A é vn Ov ( B to O l •

§

o> o • M V » ON • - 4 O • vn VN - 4 O O * ON M 1 VM • < - 4 • IV9 VW «* -^ _• o\ i •4 ^«^ t»

b V0 * b l\J 09 M V» VM « <*> 3 4» <q «w»

ï

I t> 8 ft • * vn « _«0 + fc» VM ft V* * o

3

£

_w M> •

is

+ V* •fik

S

•ft «

a

_« « + VM

11

«* •

I

• M 3 M • *> 1 + M O •

S

« • -* M • t • «* o • vn + •» V4 Os 1 • «ft V« M fr *» + (•»

I

• O •

i

• o • o

H

1 o •

1

i o •

8

vn co t* •a _»3

11

-De pF bij krimpende m o n s t e r s

Bij krimpende m o n s t e r s i s het veelal niet geheel duidelijk wat men a l s vochtgehalte moet kiezen, omdat bij de pF-bepaling het vochtgehalte a l s een vochtgehalte in volumeprocenten wordt weergegeven. Oit vochtgehalte gaat dan afhankelijk worden van het percentage aan krimp.

Nu i s het bekend, dat de krimp een logarithmische functie van de druk i s en men kan dus het poriënvolume P schrijven a l s :

' ft » P- 4 H

Wanneer men dit in de formule voor de p F invoegt, krijgt men de volgende functie voor het krimpende monster:

/>>

Deze formule houdt in, dat het totale monstervolume dus te samen met het vochtgehalte op droog gewicht wordt bepaald. De vereffeningstermen zijn nu:

.s

-frtà

tJ

l

ft " 1 f>-+ft

ly l

y

?-Aft-v

É'+ÏX-IL,*;

JdL

i l . fi [LI l'-hk-)

W~?-*ftV T I ^ J

Noem nu de gelijke t e r m tussen accoladen in de laatste drie formules A . De vereffeningsformule wordt nu: _{»rai nu:}

12

-Deze berekening kan alleen worden uitgevoerd, indien het volume van het monster bij het bereiken van het evenwicht voor een bepaalde pF-trap werkelijk wordt gemeten. De gebruikelijke pF-waarden, berekend met een constant monstervolume, laten het bepalen van een samendrukbaarheid niet toe.

Wel worden soms de volumeveranderingen voor de hoogste pF, die in het ongeroerde monster wordt gemeten, opgegeven. Met deze krimp, o m -gezet in een volumekrimp, en een evenredige verdeling ervan over de pF-trappen zou men in staat zijn de werkelijke vochtgehalten in volumepro-cefoten te berekenen. Bovenstaande beschrijving sou een eerste poging kunnen vormen om het krimpende monster met een pF-curve te beschrij-ven. De huidige techniek, die de krimp negeert, i s wel wat te onzeker om zware klei-of veenmonsters te beschrijven.

-13

De oplossing van ^ v en A(P-v)

De oplossing van onbekenden, die in een logarithme opgenomen zijn, wordt ongunstig beïnvloed doordat tijdens de reftteratie tussenstadia kunnen optreden, die imaginair zijn. Verder kunnen fouten in de waarnemingen h e t

-zelfde effect hebben dan wel de waarden van A v en A ( P - V ) zeer afwijkend

doen uitvallen. Men zal met de eerste schatting dan een zo onvoldoende bena-dering krijgen, dat het ontwikkelen van de logarithme in een reeks niet m e e r mogelijk i s . Tenslotte zal bij negatieve correctie een alternerende reeks ontstaan, die, in geval de reeks niet convergeert, zelfs naar teken de richting van de correctie niet weergeeft, wanneer slechts de eerste t e r m van de reeks wordt medegenomen.

De oplossing van A v e n A (P-v) is langs de volgende wegen mogelijk. De formule luidt:

Andere schrijfwijzen zijn:

l^tv^Av)- O v i e ^ P - ^ A ^ T Ù ) } ^ Y 3 ^ ' (3)

m 'lik 1

Bekend zijn v., p F . , a = (l-p)A = poC , b = (l-p)B = p ^ , p = j+ï£- ~ j+£ Gevraagd zijn: A V en A(P-v).

Gaan we van formule 1 verder uit, dan kan die worden geschreven:

ogelijk: , . Ook is mogelijk:

fa

14

-E r zijn nu d r i e b e n a d e r i n g e n mogelijk en wel:

a) Men stelt in formule (5) A ( P - v ) gelijk n u l . De uitkomst n o e m e n we V. . b) Men v e r v a n g t ^{/»r^p-—-y d o o r <r> v e n ontleent A ( P - V ) aan een a a n

formule (5) g e l i j k s o o r t i g e f o r m u l e v o o r ( P - v , )r

c) Men schrijft voor k> ? <' de w a a r d e j <•+- -TS~~ Y

(6)

ad a De e e r s t e t e r m van f o r m u l e komt o v e r e e n m e t de b e n a d e r i n g a en s c h r i j v e n wij v e r d e r v. .

ad b De tweede v e r w a a r l o z i n g i s bij formule (5) niet van w a a r d e , m a a r kan wel in f o r m u l e (4) worden t o e g e p a s t . De oplossing van A v en

A ( P - v ) volgt dan uit:

De oplossing gelukt a l l e e n , indien van geen van de w a a r n e m i n g e n &vjv of AfPvl/P-/ g r o t e r i s dan 1, en l i e v e r nog dan een getal b e l a n g r i j k k l e i n e r dan 1. Is h i e r a a n niet voldaan, dan c o n v e r g e e r t de r e e k s niet

of l a n g z a a m .

ad c De oplossing van de twee v e r g e l i j k i n g e n geschiedt a l s volgt:

' ) "P-K f I7»)

i

i

/ '

/Vn _(7b)

Men k i e s t nu de schrijfwijze, w a a r b i j P - v . en v. de hoogste w a a r d e hebben, dus i s t a a t v o o r p F 6 en j v o o r p F 1. Men stelt nu e e r s t in formule (7b) A v = 0 en b e r e k e n t A(V-V)-_('ÇIVJ-/^-1?). Dit wordt in (7a) ingevuld. Eenzelfde p r o c e d u r e m e t A ( P - v ) = 0 l e v e r t een oplossing voor een b e t e r e b e n a d e r i n g van A ( P - v ) . De f o r m u l e s w o r d e n :

A - V

- 15

Men berekent dus e e r s t v en \ -v en als verschil met v. en P-v. de waarden voor A v en A (P-v). Dan worden de termen tussen haken berekend, tot de macht m en l / m verheven, waarna de correctie op V en P-v. kan worden berekend, die de verdere verfijning van de schatting voor de correcties oplevert. Eventueel moet nog verder gereittereerd worden.