Het optimaal aantal polishouders voor een verzekeraar met een kapitaaleis

(1)

Het optimaal aantal polishouders

voor een verzekeraar met een

kapitaaleis

Tim Klaver

Afstudeerscriptie voor de

Bachelor Actuari ¨ele Wetenschappen Universiteit van Amsterdam

Faculteit Economie en Bedrijfskunde Amsterdam School of Economics

Auteur: Tim Klaver

Studentnr: 10786686

Email: tim.klaver@me.com

Datum: 26 juni 2018

(2)

(3)

Abstract

In deze scriptie wordt onderzoek gedaan naar het optimaal aantal polishouders bij een verzekeringscontract, waarbij de verzekeraar rekening dient te houden met een kapitaal-eis zoals bedoeld in Solvency II. Dit wordt gedaan door de winst te maximaliseren en tevens het minimaal aantal polishouders om aan de kapitaaleis te voldoen te berekenen. Uit het onderzoek blijkt dat de verzekeraar zoveel mogelijk polishouders wenst aan te trekken. Daarnaast heeft een extra polishouder een gunstig effect op de kans op een fail-lissement, wat te wijden valt aan de diversificatie mogelijkheden van de risico’s. Tevens kan de verzekeraar een lagere premie aanbieden wanneer het aantal polishouders groter is.

Keywords Optimaal aantal polishouders, verzekeringscontract, kapitaaleis, Solvency II, maximale winst, kans op faillissement, minimaal aantal polishouders

(4)

Inleiding 1

Theoretisch kader 3

Optimale verzekering met risico van faillissement . . . 3

Optimaal premie- en beleggingsbeleid . . . 4

Optimale verdeling van vermogen bij faillissement . . . 5

Risico diversificatie. . . 5

Opzet van het onderzoek 6 Het optimale verzekeringscontract met ´e ´en polishouder . . . 6

Solvency II kapitaaleis . . . 8

Meerdere polishouders . . . 9

Resultaten 11 Het optimale verzekeringscontract met ´e ´en polishouder . . . 11

Solvency II kapitaaleis . . . 13 Meerdere polishouders . . . 15 Conclusie 19 Appendix A 20 Appendix B 22 Appendix C 25 Appendix D 28 Bibliografie 31 iv

(5)

Inleiding

Per 1 januari 2016 is voor de Europese verzekeraars de nieuwe regelgeving Solvency II in gegaan. Dit is een opvolging van de Solvency I-regelgeving, waarbij het nieuwe raam-werk zich meer richt op het correct identificeren en het weren tegen de daadraam-werkelijke risico’s die een verzekeraar loopt. Het heeft vergelijkbare opzet als het Basel II-raamwerk, wat van toepassing is op de bankensector, in die zin dat het gebruik maakt van drie pijlers (”Solvency II: Algemeen”, 2016). De eerste pijler richt op de balans en het vermogen. De balans dient op marktwaarde te worden vastgesteld en het vereist eigen vermogen wordt vastgesteld aan de hand van de risio’s die verzekeraar loopt, welke in vaste categorie ¨en worden ingedeeld. De kapitaaleis uit deze pijler stelt dat de verzekeraar genoeg vermo-gen dient aan te houden zodat deze met een zekerheid van minstens 99,5% aan zijn verplichtingen kan voldoen (”Solvency II: Pijler 1”, 2016). De twee pilaar heeft betrekking op bedrijfsvoering in het algemeen. Hieronder valt ook een zelf uit te voeren beoorde-ling welke de risico’s beoordeelt en de kapitaaleis in kaart brengt (”Solvency II: Pijler 2”, 2016). De derde en laatste pijler richt zich tot de transparantie van de verzekeraar. Het stelt eisen aan de publicatie van informatie en de rapportage aan de toezichthouder (”Solvency II: Pijler 3”, 2016). Het doel van het raamwerk is de bescherming van de po-lishouders.

In deze scriptie wordt onderzoek gedaan naar het effect van de kapitaaleis zoals be-doeld in Solvency II. De focus van het onderzoek ligt op het optimaal aantal polishouders bij een verzekeringscontract. Dit wordt gedaan door een optimale premie te berekenen in een versimpelde verzekeringswereld met enkel een verzekeraar en ´e ´en polishouder. Vervolgens wordt de kapitaaleis, zoals bedoeld in Solvency II, toegevoegd om het effect hiervan op de premie te onderzoeken. Hierna wordt het aantal polishouders vergroot om zo te onderzoeken of er een optimaal aantal polishouders is waarbij de maximale winst behaald wordt. Tevens wordt er gekeken of er een minimaal aantal polishouders te vin-den is waarbij voldaan wordt aan de voorwaarvin-den. Dit minimum wordt berekend aan de hand van een optimale premies resulterend uit het versimpelde model. De gebruikte data is op basis van stochastische schades, welke gesimuleerd worden met het programma RStudio. Het gebruikte model is een versimpeling van het model van Boonen (2017) met een toevoeging van de voorwaarde om de kapitaaleis vorm te geven.

Er is al reeds onderzoek gedaan naar verschillende aspecten van tracten. Zo onderzochten Biffis en Millossovich (2012) een optimaal verzekeringscon-tract rekening houdend met het risico op een faillissement van de verzekeraar. Filipovi´c,

(6)

Kremslehner en Muermann (2014) hebben vergelijkbaar onderzoek gedaan echter na-men zij het belegginsbeleid en de solvabiliteit regelgeving mee. Boonen (2017) en Ibra-gimov, Jaffee en Walden (2010) deden onderzoek naar de verdelingsregel van het ver-mogen van de verzekeraar in geval van faillissement. Albrecht en Huggenberger (2017) onderzochten de rol van risico diversificatie bij een verzekeringscontract met meerdere polishouders.

In het volgende hoofdstuk wordt de theoretische achtergrond omtrent het onderwerp nader toegelicht. Daarop volgt de beschrijving van het onderzoek en de bijbehorende mo-dellen. In hoofdstuk 4 worden de resultaten beschreven en geanalyseerd. In het laatste hoofdstuk 5 volgt een conclusie op basis van de gevonden resultaten.

(7)

Theoretisch kader

In dit hoofdstuk wordt er dieper ingegaan op de theoretische achtergrond. In para-graaf é én wordt het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) naar een optimaal verzekeringscontract met beperkte aansprakelijkheid van de verzekeraar behandeld. In het tweede paragraaf wordt het onderzoek van Filipović, Kremslehner en Muermann (2014) beschreven. Zij onderzoeken het optimale premie- en beleggingsbeleid voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid en tevens de effecten van de solvabiliteit re-gelgeving. In paragraaf drie wordt het onderzoek van Boonen (2017) besproken, waarin de optimale verdelingsregel onderzocht wordt wanneer er sprake is van een faillissement van een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. In het laatste paragraaf wordt het onderzoek van Albrecht en Huggenberger (2017) beschreven. In dit onderzoek wordt gekeken naar de diversificatie van risico’s door middel van een grotere groep risico’s en het profijtelijke karater hiervan.

Optimale verzekering met risico van faillissement

In het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) worden de effecten van het risico van faillissement van de verzekeraar op een optimaal verzekeringscontract onderzocht. Er wordt verondersteld dat een faillissement endogeen tot stand komt als gevolg van inter-actie tussen de premie, de uit te betalen schades en het vermogen van de verzekeraar. Dit wijkt af van eerder gedaan onderzoek waarbij faillissement als exogeen werd veron-dersteld. Deze aanpassing stelt ze in staat om het risico van faillissement beter in kaart te brengen.

Het model gaat uit van enkele periode met een risico-neutrale verzekeraar en een risico-averse polishouder. De verzekeraar heeft beginvermogen W , ontvangt een premie π en keert een bedrag van I(X) uit in geval van stochastische schade X. Het eind ver-mogen van de verzekeraar is dan W + π − I(X) waarbij 0 ≤ I(X) ≤ X. De verzekeraar is in staat om alle schades uit te keren wanneer W + π − I(X) ≥ 0. Als W + π − I(X) < 0 dan is er sprake van een faillissement en zal de verzekeraar, onder veronderstelling van beperkte aansprakelijkheid, een fractie γ van zijn vermogen uit keren om een deel van de schades te dekken. De polishouder heeft een begin vermogen w, een onzekere schade X en betaalt een premie π om deze schade te verzekeren. Het belang van de polishouder wordt weergeven door een risico-averse nutsfunctie u(x). Als de polishouder besluit de verzekering aan te gaan is zijn eind vermogen w − π − X + I(X). Dit is echter

(8)

alleen het geval wanneer de verzekeraar instaat is alle schades te dekken. In geval van faillissement en beperkte aansprakelijkheid van de verzekeraar verandert deze vergelij-king naar w − π − X + (W + π)γ. De premie wordt zodanig vastgesteld dat de verzekerde de verzekering aangaat en de winst voor de verzekeraar gemaximaliseerd wordt.

Het onderzoek van Biffis en Millossovich (2012) toont aan dat de kosten van een faillissement een verklaring kan zijn van de aanwezigheid van een eigen risico en een bovengrens van de uitkeringen. Ook laten zij zien dat bij een absentie van deze kosten de verzekerde enkel de middelgrote schades verzekerd. De risico’s op lage schades en hoge schades worden in dat geval zelf gedragen. Verder laat dit onderzoek zien dat er interactie bestaat tussen de verschillende vormen van afhankelijkheid tussen de risico’s.

Optimaal premie- en beleggingsbeleid

Het onderzoek van Filipovi´c, Kremslehner en Muermann (2014) richt zich op het opti-male premie- en beleggingsbeleid voor een verzekeraar met beperkte aansprakelijkheid. De beperkte aansprakelijkheid cre ¨eert een conflict in belangen tussen de verzekeraar en de polishouder. Doordat het risico op eventuele verliezen in dit geval gedragen wordt door de polishouder, zal de verzekeraar zo risicovol mogelijk willen beleggen om zo de winst te maximaliseren. De kans op faillissement wordt hierdoor groter, daar waar de polishouder er gebaat bij is dat deze kans zo klein mogelijk is. Dit probleem van risico verschuiving wordt nader behandeld in dit onderzoek. Tevens is er onderzocht wat het effect is van de regelgeving omtrent solvabiliteit op het beleid van de verzekeraar.

Het model van Filipović, Kremslehner en Muermann (2014) is vergelijkbaar met dat van Biffis en Millossovich (2012). Wederom is er sprake van een enkele periode met ver-zekeraar en é én polishouder. Het model is uitgebreid met de mogelijkheid om een fractie van het vermogen α van de verzekeraar te investeren in risicovolle beleggingen met een stochastisch rendement R. De fractie α wordt ook meegenomen in de nutsfunctie van de polishouder, zodat de verzekeraar deze zo kiest dat de polishouder de verzekering aan wil gaan. De verzekeraar kiest π en α zodanig dat de winst gemaximaliseerd wordt. Vervolgens wordt er een voorwaarde gesteld aan de fractie α in risicovolle beleggingen, om zo het effect van de solvabiliteit regelgeving in te schatten.

Filipovi´c, Kremslehner en Muermann (2014) vinden, door het stellen van een aantal voorwaarden, een uniek Pareto-effici ¨ent premie- en beleggingsbeleid. Ze laten zien dat wanneer de verzekeraar het beleggingsbeleid mag opstellen nadat premie ontvangen is, deze zijn vermogen volledig in risicovolle beleggingen investeert. Solvabiliteit

(9)

regelge-ving omtrent het premie- en beleggingsbeleid cre ¨eert meer welvaart doordat de kans op faillissement verkleint wordt wat de polishouders ten goede komt.

Optimale verdeling van vermogen bij faillissement

Boonen (2017) onderzoekt de optimale verdelingsregel in geval van faillissement, als de verzekeraar beperkt aansprakelijk is. Het vermogen van verzekeraar is in geval van faillissement niet hoog genoeg om alle schades te dekken. Het beschikbare vermogen uitkeren aan schade-eisers kan op verschillende manieren, waarvan er enkelen worden behandeld in dit onderzoek.

Het model van Boonen (2017) is vergelijkbaar met het model van Filipovi´c, Kremsle-hner en Muermann (2014) daar het de mogelijkheid tot beleggen heeft, echter veronder-steld Boonen (2017) meerdere polishouders. Er wordt tevens onderzocht hoe de risico’s perfect gediversifieerd kunnen worden. Het onderzoek behandeld vier verschillende ver-delingsregelingen in geval van faillissement en diens effecten op de premie.

Het onderzoek van Boonen (2017) laat zien dat de verdelingsregel waarbij iedere polishouder eenzelfde bedrag van diens schade dient af te halen, en het overgebleven bedrag uitgekeerd krijgt, optimaal is. Als het mogelijk is om achteraf de polishouders met lagere schades een extra betaling te laten doen aan de polishouders met een hogere schade, is het optimaal om de risico’s te diversificeren. Tevens komt Boonen (2017) tot een zelfde conclusie als Filipovi´c, Kremslehner en Muermann (2014) aangezien bij een absentie van een regelgever de verzekeraar zijn volledige vermogen in risicovolle beleg-gingen zal investeren.

Risico diversificatie

Albrecht en Huggenberger (2017) onderzoeken het effect van het vergroten van het aan-tal risico’s in een portfolio. In tegenstelling tot eerder gedaan onderzoek benaderen zij dit uit het oogpunt van de polishouders.

Ze veronderstellen verwisselbare risico’s en een nutsfunctie u met dezelfde eigen-schappen als in het model van Biffis en Millossovich (2012). Ze laten zien dat elk risico dat wordt toegevoegd aan een portfolio het verwachte nut voor de polishouders verhoogd. De polishouders zijn er bij gebaat dat de verzekeraar een groot aantal polishouders aan-trekt zodat de risico’s beter gediversifieerd kunnen worden.

(10)

Opzet van het onderzoek

In dit hoofdstuk wordt beschreven hoe het onderzoek uitgevoerd wordt. Eerst wordt het basismodel toegelicht waarmee een optimale premie wordt bepaald in een versimpelde verzekeringswereld. Hierop volgt een uitbreiding van dit model door middel van een extra voorwaarde met betrekking tot het vereiste vermogen van de verzekeraar. Dit wordt gedaan om de kapitaaleis, zoals bedoeld in Solvency II, te verwerken in het model. Vervolgens wordt het model uitgebreid met de mogelijkheid van het verzekeren van meerdere polishouders. Onderzocht wordt of bij een bepaalde premie een minimaal aantal polishouders te vinden is, waarbij wordt voldaan aan de gestelde voorwaarden. Tevens wordt het effect van het uitbreiden van het aantal polishouders op de hoogte van de premie onderzocht.

Het optimale verzekeringscontract met ´e ´en polishouder

Het initi ële model is een versimpeling van het model van Boonen (2017). Het beschouwt een enkele periode met een verzekeraar en é én polishouder. De verzekeraar wordt risico-neutraal verondersteld, heeft een beginvermogen W ≥ 0 en ontvangt een premie π van de polishouder. De verzekeraar zal de premie π zo kiezen dat zijn winst maximaal is. De premie die de verzekeraar ontvangt is om de polishouder te verzekeren tegen een stochastische schade X. Er wordt verondersteld dat de schade Poisson verdeeld is: X ∼ P oi(λ). Voor een Poisson-verdeelde stochast X geldt dat diens bereik alle natuurlijke getallen omvat, plus het getal 0. Verder geldt dat de verwachtingswaarde en variantie van Xgelijk is aan λ. Het eindvermogen van de verzekeraar is dan:

˜

A(π) =: W + π − X.

Wanneer het eindvermogen van de verzekeraar negatief is spreken we van een faillisse-ment. In de praktijk is de verzekeraar vaak beperkt aansprakelijk, wat inhoudt dat in een geval van faillissement niet alle schades uitgekeerd hoeven te worden. Onderzoek naar verschillende manieren van het uitkeren van het overgebleven kapitaal is reeds gedaan door Filipovi´c, Kremslehner en Muermann (2014) en Boonen (2017). Aangezien dit on-derzoek zich richt op een optimaal aantal polishouders is de beperkte aansprakelijkheid achterwege gelaten. Wel speelt de kans op een faillissement een rol bij de kapitaaleis.

De polishouder is risico-mijdend en diens preferenties worden weergeven door de exponenti ¨ele nutsfunctie u(x) = −e−βx. De parameter β in u(x) staat voor de mate van

(11)

risico-aversie. Voor β > 0 geldt u0(x) >0 en u00(x) <0. De nutsfunctie is strikt concaaf aangezien de tweede afgeleide negatief is. Doordat de functie strikt concaaf is geldt dat een bevonden lokaal maximum ook direct het globaal maximum is. Het beginvermogen van de polishouder wordt weergeven door w ≥ 0 en diens nut ziet er dan als volgt uit:

u(w − π).

Bovenstaand nut geldt alleen wanneer de polishouder de verzekering aan gaat. De po-lishouder kan er echter ook voor kiezen de verzekering niet af te sluiten en het risico zelf te dragen. De polishouder zal de verzekering alleen aan gaan wanneer het nut van ver-zekeren groter is dan het verwacht nut van niet verver-zekeren. Daarom wordt de volgende voorwaarde aan het model gesteld:

u(w − π) ≥ E(u(w − X)). (1)

Het is belangrijk op te merken dat deze nevenvoorwaarde onafhankelijk is van het begin-vermogen w. Er geldt namelijk:

u(w − π) ≥ E(u(w − X)) ⇔ −e−β(w−π)≥ E(−e−β(w−X)), ⇔ −e−βweβπ ≥ −e−βwE(eβX), ⇔ −eβπ ≥ −E(eβX).

De verwachtingswaarde van het nut bij de keuze om niet te verzekeren hangt af van de verwachtingswaarde van de schade λ, de mate van risico-averisie β en beginvermogen wen vormt daardoor een vaste grens:

E(u(w − X)) = E(−e−β(w−X)) = −e−βwE(eβX) = −e−βw

∞ X i=0 e−λλ i i!(e β₎i_, = −e−βwe−λ ∞ X i=0 (λeβ)i i! = −e −βw e−λeλeβ, = −eλ(eβ−1)−βw.

Hierbij is gebruik gemaakt van de bekende machtreeks van een exponenti ¨ele functie ex = P∞

i=0x

i

i! (”Taylor series,”z.d., para. 2). Bij het bepalen van de optimale premie zal

de verzekeraar rekening moeten houden met nevenvoorwaarde (1). Net zo goed wil de verzekeraar enkel verzekeren wanneer zijn verwacht eindvermogen positief is, wat zich vertaalt in de volgende nevenvoorwaarde:

(12)

De optimale premie voor de verzekeraar wordt dan verkregen door het volgende maxi-malisatieprobleem op te lossen: max π E( ˜A(π)), s.t. u(w − π) ≥ E(u(w − X)), E( ˜A(π)) ≥ 0, π ≥ 0. (3)

Tevens is de kans op een faillissement bij de gevonden π te berekenen doordat de schade Xeen kansverdeling volgt. Dit speelt met name een belangrijke rol bij de latere uitbreidin-gen van het model. Het bovenstaande model zal voor een aantal verschillende waarden van de mate van risico-aversie β worden uitgerekend.

Solvency II kapitaaleis

De eerste uitbreiding is de toevoeging van een kapitaaleis. De regelgeving van Solvency II stelt verschillende eisen waar een verzekeraar aan dient te voldoen. É én van deze eisen is de kapitaaleis uit de eerste pilaar van Solvency II. Het stelt dat een verzekeraar genoeg vermogen dient aan te houden zodat er met een zekerheid van minstens 99,5% aan de verplichten voldaan kan worden, bekeken over een horizon van é én jaar. Wanneer de verzekeraar precies aan de kapitaaleis voldoet zal deze naar verwachting eens in de tweehonderd jaar in de problemen komen (”Solvency II: Pilaar 1”, 2016). Deze kapitaaleis wordt als nevenvoorwaarde aan het model toegevoegd, welke er uit ziet als volgt:

P ( ˜A(π) ≥ 0) ≥ 99, 5%. (4)

Door het toevoegen van nevenvoorwaarde (4) aan het maximalisatieprobleem (3) verkrij-gen we het volverkrij-gende model:

max π E( Ã(π)), s.t. u(w − π) ≥ E(u(w − X)), E( Ã(π)) ≥ 0, P ( Ã(π) ≥ 0) ≥ 99, 5%, π ≥ 0. (5)

Ook dit model wordt voor verschillende waarden van de mate van risico-aversie β gea-nalyseerd.

(13)

Meerdere polishouders

Het aantal polishouders wordt uitgebreid naar n polishouders. Voor n > 1 wordt er gea-nalyseerd of er een minimaal aantal polishouders te vinden is om aan de voorwaarden van het maximalisatieprobleem (5) te voldoen. Tevens wordt er berekend bij welk aan-tal polishouders de maximale winst bereikt wordt. Hierbij moet opgemerkt worden dat er een bovengrens wordt gesteld aan de variabele n. Dit wordt gedaan om te voorkomen dat het model niet convergeert. In tegenstelling tot de voorgaande modellen is de premie π variabel en wordt er geoptimaliseerd voor het aantal polishouders n. De verzekeraar ontvangt dan ook n maal de premie π. Tevens worden er n onafhankelijke en identiek verdeelde schades Xi verondersteld, elk hetzelfde verdeelt als de schade in het model

met ´e ´en polishouder. Wanneer Xi iid

∼ P oi(λ) geldt voor diens somPn

i=1Xi ∼ P oi(nλ).

Het eindvermogen van de verzekeraar met n polishouders komt er dan als volgt uit te zien: ¯ U (π, n) =: W + nπ − n X i=1 Xi.

De premie zal worden gezet aan de hand van de gevonden premies in het maximalisa-tieprobleem (3). Hoewel er nu n polishouders zijn om rekening mee te houden wordt voor iedere polishouder dezelfde nutsfunctie u(x) en hetzelfde beginvermogen wi = w

veron-dersteld. Hierdoor blijft nevenvoorwaarde (1) hetzelfde voor iedere polishouder namelijk: u(w − π) ≥ E(u(w − Xi)).

Hierbij is de individuele schade Xi hetzelfde verdeeld als de schade in het model met

é én polishouder, waardoor de nevenvoorwaarde exact hetzelfde is als in het model met é én polishouder. Om het minimaal aantal polishouders te berekenen, waarbij aan de voorwaarden van model (5) wordt voldaan, wordt het volgende minimalisatieprobleem opgelost: min n n, s.t. E( ˜U (¯π, n)) > 0, P ( ˜U (¯π, n) ≥ 0) ≥ 99, 5%, n ∈ N. (6)

Hierin is de premie ¯πniet variabel maar wordt deze vast gesteld zodat er geminimaliseerd kan worden voor n.

Nu wordt het minimalisatieprobleem wederom in een maximalisatieprobleem veran-derd. De premie π wordt wederom variabel verondersteld en het aantal polishouders

(14)

wordt op een vast aantal ¯n gezet. Op deze manier is het mogelijk om te berekenen bij welk aantal polishouders de maximale winst gerealiseerd wordt en eventuele schaalvoor-delen te analyseren. Het is aannemelijk dat wanneer de verzekeraar meer polishouders kan aan trekken, en dus een groter vermogen verkrijgt, de risico’s beter gediversifieerd kunnen worden. Hierdoor kan de verzekeraar mogelijk een lagere premie aanbieden zon-der de voorwaarden van model (5) te schenden. Het op te lossen model veranzon-dert dan naar het volgende:

max π E( ˜U (π, ¯n), s.t. u(w − π) ≥ E(u(w − Xi)), E( ˜U (π, ¯n)) ≥ 0, P ( ˜U (π, ¯n) ≥ 0) ≥ 99, 5%, π ≥ 0. (7)

(15)

Resultaten

In dit hoofdstuk worden de resultaten weergeven en geanalyseerd. Eerst worden de resultaten weergeven van het basismodel met een enkele polishouder. Hierna wordt het effect van de toegevoegde kapitaaleis geanalyseerd in paragraaf twee. Hierop volgen de resultaten wanneer het aantal polishouders wordt uitgebreid.

Het optimale verzekeringscontract met ´e ´en polishouder

Met behulp van het programma RStudio wordt 100.000 keer de schade X ∼ P oi(λ) gesimuleerd. De λ wordt in het onderzoek gelijk gesteld aan 1. De schade X kan enkel positieve gehele waarden aannemen. Met λ = 1 is het gemakkelijker de premie π te inter-preteren, namelijk als procentuele opslag ten aanzien van de verwachte waarde λ. Het beginvermogen van de verzekeraar W wordt gelijk gesteld aan 0; het totale vermogen van de verzekeraar wordt uitsluitend door de premie en de uit te keren schade bepaald. De premie π wordt variabel op het interval (λ,8) gesteld. Bij W = 0 dient de premie dient hoger te zijn dan de verwachte waarde van de schade, anders wordt er niet voldaan aan nevenvoorwaarde (2). Voor elk van de 100.000 gesimuleerde schades wordt het eind-vermogen van de verzekeraar berekend, per π op het gestelde interval. Hierdoor is de maximale premie te berekenen die de verzekeraar kan stellen, namelijk de hoogte premie waar nog voldaan wordt aan nevenvoorwaarde (1). Daarnaast is de kans op faillissement te berekenen door te tellen in hoeveel van de 100.000 schade gevallen het eindvermo-gen van de verzekeraar negatief eindigt. Het beginvermoeindvermo-gen van de polishouder w wordt ook op 0 verondersteld. Eerder is al laten zien dat het beginvermogen van de polishou-der verpolishou-der geen invloed heeft op de nevenvoorwaarde van de polishoupolishou-ders. De optimale premie en de bijbehorende statistieken worden voor verschillende waarden van de mate van risico-aversie β bepaald. Voor het exacte script gebruikt in RStudio wordt verwezen naar Appendix A. De tabel en grafieken op de volgende pagina geven de resultaten weer maximalisatieprobleem (3).

Het valt direct op dat het eindvermogen, ofwel de verwachte winst, van de verzeke-raar een lineaire relatie heeft met de premie π. De verzekeverzeke-raar zal de premie zo hoog mogelijk willen kiezen, want een stijging van π resulteert dus in extra winst. Voor elke waarde van β geldt dat er pas winst gemaakt wordt indien π ≥ 1; pas dan wordt voldaan aan nevenvoorwaarde (2). De optimale premie, welke wordt weergeven door een blauw punt in ieder van de de grafieken, is de hoogste premie die de polishouder nog aan wil

(16)

β = 1 β = 1, 5 β = 2 β = 2, 5

Optimale premie 1,71 2,32 3,19 4,47

Maximale winst 0,71 1,32 2,19 3,47

Premie opslag 71% 132% 219% 347%

Kans op faillissement 26,36% 8,05% 1,99% 0,37%

Tabel 1: Uitkomsten van het model, met ´e ´en polishouder, voor verschillende mate van risico-aversie β.

Figuur 1: Relatie tussen de verwachte winst E( Ã(π))en de premie π van het model, met é én polishouder, voor verschil-lende mate van risico-aversie β.

gaan. Dat is precies waar nevenvoorwaarde (1) bindend is. Als de premie nog hoger zou zijn dan draagt de polishouder het risico liever zelf en wordt het contract niet aan gegaan. De verwachte winst van de verzekeraar is voor iedere waarde van β gelijk aan π−1, wat overeenstemt met de verwachtingswaarde van de schade. Dat de verwachting zo nauwkeurig terug te vinden is in de resultaten komt omdat de schade 100.000 keer gesimuleerd is. Wanneer het aantal simulaties minder zou zijn zal de verwachte winst meer vari ¨eren en meer afhangen van een enkele simulatie van het model. De opslag in de premie, die de polishouder bereidt is te betalen voor de dekking van het risico, stijgt

(17)

aanzienlijk bij een grotere risico-aversie. Bij een risico-aversie β van 1 is de polishouder 71% meer te betalen dan de verwachte schade. Bij een β van 2,5 is de polishouder be-reidt een opslag van 357% te betalen, bijna 500% van de opslag bij een β van 1. Verder is te zien dat de kans op faillissement af neemt bij een grotere risico-aversie. Dit is logisch aangezien de hogere β een hogere maximale premie toelaat waar de polishouder nog aan wil voldoen. De hogere premie zorgt er op zijn beurt weer voor dat de kans op een schade hoger dan de premie afneemt, waardoor de kans op een negatief kapitaal ook afneemt.

Solvency II kapitaaleis

Nevenvoorwaarde (4), de voorwaarde met betrekking tot het vereiste vermogen zoals bedoeld in Solvency II, wordt toegevoegd aan het model. Zo wordt het effect van de kapitaaleis op het interval van de premie die de verzekeraar mogelijk kan stellen geana-lyseerd. In Appendix B is het script uit RStudio te vinden. Onderstaande tabel sommeert de resultaten. De bijbehorende grafieken zijn aan het eind van de paragraaf te vinden.

β = 1 β = 1, 5 β = 2 β = 2, 5 Optimale premie 0 0 0 4,47 Maximale winst 0 0 0 3,47 Premie opslag 0% 0% 0% 347% Kans op faillissement 0,00% 0,00% 0,00% 0,37% Minimale premie 0 0 0 4

Winst bij minimum 0 0 0 3

Tabel 2: Uitkomsten van het model, met ´e ´en polishouder inclusief kapitaaleis, voor verschillende mate van risico-aversie β.

Enkel voor β = 2,5 is er sprake van een mogelijkheid van een verzekeringscontract. Voor een lagere β is de hoogste mogelijke premie, zoals gevonden met model (3), niet genoeg om aan de kapitaaleis te voldoen. Hierdoor zal de verzekeraar het contract niet af sluiten en blijft zijn eindvermogen gelijk aan W = 0, zoals aan de horizontale lijn te zien is in de grafieken voor β < 2,5. Voor β = 2,5 is door nevenvoorwaarde (4) het interval van de mogelijke premie verkleind. De maximale premie, en tevens de optimale premie voor de verzekeraar, blijft gelijk aan de eerder gevonden waarden. De minimale premie is 4. Om dit te verklaren is de dichtheidsfunctie van de schade X nodig. Voor een

(18)

Poisson-verdeelde stochast X geldt het volgende: P (X = k) = e−λλ

k

k!, k ∈ N ∪ {0}.

Met λ = 1 geldt dan dat de kans dat een premie van 4 niet voldoende is als volgt is:

P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − 4 X i=0 e−λλ i i! = 1 − 0, 9963 = 0, 0037 = 0, 37%. Bij een premie π van 4 is de premie hoog genoeg om met minimaal 99,5% zekerheid niet failliet te gaan. De reden dat dit precies 4 is komt omdat de schade X Poisson verdeeld is. Hierdoor kan de schade enkel niet-negatieve gehele getallen aannemen. Een premie kleiner dan 4 zou dan met de volgende kans onvoldoende zijn om aan de kapitaaleis te voldoen: P (X ≥ 4) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 − 3 X i=0 e−λλ i i! = 1 − 0, 9810 = 0, 0190 = 1, 90%. De maximale premie en de maximale winst blijven hetzelfde als de gevonden waarden met model (3), enkel het interval van de premie waar de verzekeraar uit kan kiezen wordt verkleint door de kapitaaleis. Zoals de voorwaarde stelt vinden we bij het verkregen inter-val van de premie een kans op faillissement kleiner dan 0,5%.

(19)

Figuur 2: Relatie tussen de verwachte winst E( Ã(π)) en de premie π van het model, met é én polishouder inclusief kapitaaleis, voor verschillende mate van risico-aversie β.

Meerdere polishouders

In dit paragraaf wordt het aantal polishouders n uitgebreid. Dit wordt gedaan door n te la-ten vari ¨eren over het interval (1,100). Wanneer het aantal polishouders toeneemt, nemen ook het aantal mogelijke schades toe. De totale schade X wordt gevormd door de som van de individuele schades Xi. In dit model worden er 100.000 schades Xi ∼ P oi(nλ)

voor verschillende n = 1, 2, 3, ..., 100 gesimuleerd. Voor elke combinatie van aantal po-lishouders en stochastische schade Xi wordt het eindvermogen van de verzekeraar

be-rekend. De premie wordt daarbij vast gezet op de gevonden premies met model (3) bij de bijbehorende mate van risico-aversie β. De berekening bij β = 2,5 wordt achterwege gelaten aangezien de premie hoog genoeg is om zelfs met een enkele polishouder te vol-doen aan de voorwaarden van het model. Het optimale aantal polishouders, waarbij de maximale winst wordt bereikt, wordt vervolgens berekend. De reden dat n aan een inter-val gebonden is, is vanwege het feit dat het eindvermogen lineair is in de premie. Hierdoor zou het optimale aantal polishouders naar oneindig gaan. Tevens wordt minimale aantal polishouders om aan de kapitaaleis te voldoen berekend. Voor het gebruikte script wordt naar Appendix C verwezen. De resultaten zijn op de volgende pagina te vinden. De linker grafieken laten de relatie tussen het eindvermogen en het aantal polishouders zien voor verschillende mate van risico-averse β (exclusief β = 2,5). De rechter grafieken laten de kans op faillissement per aantal polishouders zien.

Zoals verwacht is het optimaal aantal polishouders voor iedere β gelijk aan 100. Wan-neer π > E(X) = λ geldt dat iedere extra polishouder de winst van de verzekeraar toe-neemt. Hierdoor zal de verzekeraar streven naar zoveel mogelijk polishouders. Door het grote vermogen van het verzekeren van 100 polishouders treedt er risico-diversificatie op,

(20)

β = 1 ¯ π = 1, 71 β = 1, 5 ¯ π = 2, 32 β = 2 ¯ π = 3, 19

Optimaal aantal polishouders 100 100 100

Maximale winst 71,04 132,00 219,00

Kans op faillissement 0,00% 0,00% 0,00%

Minimaal aantal polishouders 16 6 2

Winst bij minimum 11,35 7,91 4,38

Kans op faillissement 0,43% 0,38% 0,46%

Tabel 3: Uitkomsten van het model, met meerdere polishouders inclusief kapitaaleis, voor verschillende mate van risico-aversie β en premie ¯πuit model (3).

waardoor de kans op faillissement naar 0,0% gaat. Wanneer er gekeken wordt naar het minimaal aantal polishouders, is te zien dat deze daalt met een stijging van de mate van risico-aversie β. Als de β stijgt, stijgt de premie mee waardoor het risico beter te dragen is. Dit zorgt ervoor dat bij een hoge premie minder polishouders nodig zijn om de totale schadelast te kunnen financi ¨eren met zekerheid van minstens 99,5%. De daling van de kans op faillissement bij het stijgen van het aantal polishouders is goed terug te zien in de rechter grafieken. Bij een lage β en ¯πis de lijn grilliger dan wanneer deze parameters ho-ger zijn. Dit komt omdat bij hoho-gere waarden van deze parameters een extra polishouder voor een grotere procentuele stijging van het vermogen zorgt. Hierdoor neemt de kans op faillissement per extra polishouders heftiger af dan wanneer deze parameters laag zijn.

(21)

Figuur 3: Links: relatie tussen de verwachte winst E( ˜U (¯π, n))en het aantal polishouders n voor verschillende mate van risico-aversie β en premie ¯πuit model (3). Rechts: relatie tussen de kans op faillissement en het aantal polishouders.

Wanneer het aantal polishouders n op een vast aantal wordt verondersteld, in tegenstel-ling tot variabel over een interval, kan er worden berekend wat het effect op de premie hiervan is. Voor ¯n =100 worden de resultaten zoals in de tabel hiernder. De grafieken staan op de volgende pagina. Het bijbehorende script is te vinden in Appendix D.

β = 1 n = 100 β = 1, 5 n = 100 β = 2 n = 100 β = 2, 5 n = 100 Optimale premie 1,71 2,32 3,19 4,47 Maximale winst 0,71 1,32 2,19 3,47 Kans op faillissement 0.00% 0,00% 0,00% 0,00% Minimale premie 1,27 1,27 1,27 1,27

Winst bij minimum 0,27 0,27 0,27 0,27

Kans op faillissement 0,41% 0,43% 0,38 0,43%

Tabel 4: Uitkomsten van het model, met 100 polishouders inclusief kapitaaleis, voor verschillende mate van risico-aversie βen premie ¯πuit model (3).

(22)

De optimale premie, en de bijbehorende maximale winst, zijn gelijk aan de bevindingen van model (3). Ook is de kans op een faillissement bij 100 polishouders nihil. De mi-nimale premie is die premie waarbij aan nevenvoorwaarde (4) is voldaan, ongeacht de hoogte van β. Dit zou een premie opslag betekenen van 27% boven op de verwachting van de schade. In tegenstelling tot de resultaten met model (5) wordt het risico bij 100 polishouders goed genoeg gediversifieerd om een verzekeringscontract mogelijk te ma-ken. Dit komt ook goed naar voren in de grafiema-ken. Het interval waarover de verzekeraar de premie kan stellen is bij de rechtergrens gebonden door nevenvoorwaarde (1). De voorwaarde van de polishouder hangt af van de mate van risico-aversie β en verschuift daarom steeds verder naar rechts wanneer de parameter β stijgt. De linkergrens wordt gesteld door voorwaarde (4). De kapitaaleis hangt namelijk niet af van β en de onder-grens van de premie, waartegen het verzekeringscontract tot stand kan komen, veran-derd daarom niet. Bij een π = 1,27 geldt voor het eerst P (100π −Pn

i=1Xi ≥ 0) ≥ 99,5%,

waarbij X ∼ P oi(100λ). Het verschil in de kans op faillissement voor de verschillende β is het resultaat van het steeds opnieuw simuleren van de 100.000 schades.

Figuur 4: Relatie tussen de verwachte winst E( ˜U (π, 100))en de premie π van het model, met 100 polishouders inclusief kapitaaleis, voor verschillende mate van risico-aversie β.

(23)

Conclusie

In deze scriptie is onderzocht of er een optimaal aantal polishouders te vinden is bij een verzekeringscontract. De verzekeraar dient hierbij rekening te houden met een kapitaaleis welke gerelateerd is aan de kans op een faillissement. Er is gezocht naar een minimaal aantal polishouders waarbij aan de kapitaaleis voldaan wordt. Daarnaast is onderzocht wat het optimaal aantal polishouders is waarbij de winst gemaximaliseerd wordt. Naast de kapitaaleis dient de verzekeraar rekening te houden met de preferenties van de polishou-der en met diens eigen preferenties, zodat het voor beiden naar verwachting profijtelijk is om het verzekeringscontract aan te gaan.

De resultaten laten zien dat de premie en de kans op een faillissement sterk afhangen van mate van risico-aversie van de polishouder. Wanneer diens risico-aversie toeneemt zal deze bereidt zijn om een hogere premie te betalen. Dit resulteert in een afname van de kans op faillissement doordat de verzekeraar in staat is een hogere schade te dek-ken. Uit de resultaten blijkt verder dat de verzekeraar altijd een extra polishouder zal aan trekken wanneer dit mogelijk is. Wanneer de premie hoger is dan de verwachting van de schade, zal een extra polishouder namelijk altijd in een toename van de winst resulte-ren. De optimale premie, waarbij de winst gemaximaliseerd wordt, is de hoogste premie die polishouder nog wenst te betalen zonder dat deze er naar verwachting op achter uit gaat. Deze grens hangt af van de hoogte van de premie en de mate van risico-aversie van de polishouder. In dit onderzoek zijn de preferenties van de polishouders voor ieder-een hetzelfde verondersteld. De minimale premie, die de verzekeraar kan aan bieden, wordt bepaald door de kapitaaleis. De premie dient namelijk hoog genoeg te zijn zodat de verzekeraar met minstens 99,5% zekerheid aan de schade kan voldoen. Het uitbrei-den van het aantal polishouders zorgt ervoor dat de risico’s beter gediversificeerd woruitbrei-den waardoor de verzekeraar tegen een lagere premie al aan de kapitaaleis kan voldoen dan wanneer er sprake is van een enkele polishouder. Het effect van risico-diversificatie komt ook goed naar voren bij de kans op een faillissement; deze neemt sterk af wanneer er sprake is van meerdere polishouders.

Voor vervolg onderzoek kan beperkte aansprakelijkheid van de verzekeraar veronder-steld worden. Aangezien de verzekeraar bij een geval van faillissement dan niet aan alle schades hoeft te voldoen, dient hierbij rekening gehouden te worden met de manier van verdelen van het beschikbare kapitaal. Het zou interessant zijn om te onderzoeken wat effect hiervan is op het minimaal aantal benodigde polishouders om aan de voorwaarden te voldoen zoals gesteld in dit onderzoek.

(24)

Appendix A

R script voor ´e ´en polishouders

library(actuar) # Benodigde bibliotheek

# Gegevens verzekeraar

W <- 0 # Beginvermogen verzekeraar

pi <- seq(1,8,0.01) # Premie vector

# Gegevens polishouder

w <- 0 # Beginvermogen polishouder

B <- 1.5 # Mate van risico-aversie

u <- function(X){-exp(-B*X)} # Nutsfunctie polishouder

# Gegevens simulatie

N <- 100000 # Aantal schade simulaties

lambda <- 1 # Poisson-verdeling parameter

X <- rpois(N, lambda) # Poisson verdeelde schades

# Vermogen verzekeraar verz.verm <- matrix(0,length(X),length(pi)) indc.verm <- matrix(0,length(X),length(pi)) for (j in 1:length(X)){ for (i in 1:length(pi)){ verz.verm[j,i] <- W+pi[i]-X[j] if (verz.verm[j,i]<0){indc.verm[j,i] <- 1} } }

# Nut polishouder bij niet verzekeren polis.verm0 <- -exp(exp(B)-lambda)

# Nut polishouder bij verzekeren polis.verm1 <- matrix(0,length(pi))

(25)

for (i in 1:length(pi)){ polis.verm1[i] <- u(w-pi[i]) } # Nevenvoorwaarde polishouder neven.polis <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ neven.polis[i] <- polis.verm1[i]-polis.verm0 } # Eindvermogen verzekeraar eind.verm <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ if(neven.polis[i]>0){ eind.verm[i] <- mean(verz.verm[,i]) } else {eind.verm[i] <- W} } # Optimalisatie opt <- which.max(eind.verm) max.winst <- max(eind.verm) if(opt>1){ max.premie <- pi[opt] P.fail <- mean(indc.verm[,opt]) } else{ max.premie <- 0 P.fail <- 0 } # Plot plot(pi,eind.verm,type="l",col="red",lwd=2, xlab=expression(paste("Premie ",pi,)),ylab="Eindvermogen", main=expression(paste(,beta, "=1")),xlim=c(1,2.5),ylim=c(0,1)) points(max.premie,pch=16,max.winst,col="blue")

(26)

Appendix B

R script voor ´e ´en polishouders inclusief kapitaaleis

w <- 0 # Beginvermogen polishouders

B <- 2 # Mate van risico-aversie

u <- function(X){-exp(-B*X)} # Nutsfunctie polishouders

X <- rpois(N, lambda) # Poisson verdeelde schades

# Vermogen verzekeraar verz.verm <- matrix(0,length(X),length(pi)) indc.verm <- matrix(0,length(X),length(pi)) for (j in 1:length(X)){ for (i in 1:length(pi)){ verz.verm[j,i] <- W+pi[i]-X[j] if (verz.verm[j,i]<0){indc.verm[j,i] <- 1} } }

# Nut polishouder bij verzekeren polis.verm1 <- matrix(0,length(pi))

(27)

for (i in 1:length(pi)){ polis.verm1[i] <- u(w-pi[i]) } # Nevenvoorwaarde polishouder neven.polis <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ neven.polis[i] <- polis.verm1[i]-polis.verm0 } # Nevervoorwaarde kapitaaleis neven.kap <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ neven.kap[i] <- mean(indc.verm[,i]) } # Eindvermogen verzekeraar eind.verm <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ if((neven.polis[i]>0)&(neven.kap[i]<0.005)){ eind.verm[i] <- mean(verz.verm[,i]) } else {eind.verm[i] <- W} } # Optimalisatie opt <- which.max(eind.verm) max.winst <- max(eind.verm) if(opt>1){ max.premie <- pi[opt] P.fail <- mean(indc.verm[,opt]) } else{ max.premie <- 0 P.fail <- 0 } subopt <- which.max(eind.verm>0)

(28)

min.winst <- eind.verm[subopt] if(subopt>1){ min.premie <- pi[subopt] } else{ min.premie <- 0 } # Plot plot(pi,eind.verm,type="l",col="red",lwd=2, xlab=expression(paste("Premie ",pi,)),ylab="Eindvermogen", main=expression(paste(,beta, "=2")),xlim=c(1,6),ylim=c(0,4.5)) points(max.premie,pch=16,max.winst,col="blue")

(29)

Appendix C

R script voor een variabel aantal polishouders

pi <- 3.19 # Premie

B <- 2 # Mate van risico-aversie

n <- seq(1,100,1) # Aantal polishouders vector

lambda <- 1 # Poisson verdeling parameter

# Vermogen verzekeraar verz.verm <- matrix(0,N,length(n)) indc.verm <- matrix(0,N,length(n)) for (j in 1:N){ for (i in 1:length(n)){ verz.verm[j,i] <- W+i*pi-rpois(1,i*lambda) if (verz.verm[j,i]<0){indc.verm[j,i] <- 1} } }

# Nut polishouder bij verzekeren polis.verm1 <- u(w-pi)

(30)

# Nevenvoorwaarde polishouder neven.polis <- polis.verm1-polis.verm0 # Nevervoorwaarde kapitaaleis neven.kap <- matrix(0,length(n)) indc.kap <- matrix(0,length(n)) for (i in 1:length(n)){ neven.kap[i] <- mean(indc.verm[,i]) if(neven.kap[i]<0.005){indc.kap[i] <- 1} } # Eindvermogen verzekeraar eind.verm <- matrix(0,length(n)) for (i in 1:length(n)){ if(neven.kap[i]<0.005){ eind.verm[i] <- mean(verz.verm[,i]) } else {eind.verm[i] <- W} } # Optimalisatie opt <- which.max(eind.verm) max.winst <- max(eind.verm) if(opt>1){ max.aantal <- n[opt] P.fail.max <- neven.kap[opt] } else{ max.aantal <- 0 P.fail.max <- 0 } subopt <- which.max(indc.kap) min.winst <- eind.verm[subopt] if(subopt>1){ min.aantal <- n[subopt] P.fail.min <- neven.kap[subopt]

(31)

} else{ min.aantal <- 0 P.fail.min <- 0 } # Plot rechtergrafieken plot(n,neven.kap,type="l",col="red",lwd=2,

xlab=expression(paste("Aantal polishouders ")),ylab="Kans op faillissement", main=expression(paste(,beta, "=2, " ,pi, "=3.19")),xlim=c(1,3*subopt),

ylim=c(0,0.05))

points(min.aantal,pch=16,P.fail.min,col="blue")

# Plot linkergrafieken

plot(n,eind.verm,type="l",col="red",lwd=2,

xlab=expression(paste("Aantal polishouders ")),ylab="Eindvermogen", main=expression(paste(,beta, "=2, " ,pi, "=3.19")),xlim=c(1,100), ylim=c(0,max.winst*1.05))

(32)

Appendix D

R script voor 100 polishouders

library(actuar) # Benodigde bibliotheken

B <- 2.5 # Mate van risico-aversie

n <- 100 # Aantal polishouders

X <- rpois(N, n*lambda) # Poisson verdeelde schades

# Vermogen verzekeraar verz.verm <- matrix(0,length(X),length(pi)) indc.verm <- matrix(0,length(X),length(pi)) for (j in 1:length(X)){ for (i in 1:length(pi)){ verz.verm[j,i] <- W+n*pi[i]-X[j] if (verz.verm[j,i]<0){indc.verm[j,i] <- 1} } }

(33)

polis.verm1 <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ polis.verm1[i] <- u(w-pi[i]) } # Nevenvoorwaarde polishouder neven.polis <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ neven.polis[i] <- polis.verm1[i]-polis.verm0 } # Nevervoorwaarde kapitaaleis neven.kap <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ neven.kap[i] <- mean(indc.verm[,i]) } # Eindvermogen verzekeraar eind.verm <- matrix(0,length(pi)) for (i in 1:length(pi)){ if((neven.polis[i]>0)&(neven.kap[i]<0.005)){ eind.verm[i] <- mean(verz.verm[,i])/n } else {eind.verm[i] <- W} } # Optimalisatie opt <- which.max(eind.verm) max.winst <- max(eind.verm) if(opt>1){ max.premie <- pi[opt] P.fail.max <- mean(indc.verm[,opt]) } else{ max.premie <- 0 P.fail.max <- 0 }

(34)

subopt <- which.max(eind.verm>W) min.winst <- eind.verm[subopt] if(subopt>1){ min.premie <- pi[subopt] P.fail.min <- mean(indc.verm[,subopt]) } else{ min.premie <- 0 P.fail.min <- 0 } # Plot plot(pi,eind.verm,type="l",col="red",lwd=2, xlab=expression(paste("Premie ",pi,)),ylab="Eindvermogen", main=expression(paste(,beta, "=2.5")),xlim=c(1,6),ylim=c(0,4)) points(max.premie,pch=16,max.winst,col="blue")

(35)

Bibliografie

Albrecht, P. & Huggenberger, M. (2017). The fundamental theorem of mutual insurance. Insurance: Mathematics and Economics 75, 180-188.

Biffis, E. & Millossovich, P. (2012). Optimal insurance with counterparty default risk. Beschikbaar op SSRN: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract id=1634883

Boonen, T.J. (2017). Equilibrium recoveries in insurance markets with limited liability. Be-schikbaar op SSRN: https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract id=2833036.

DNB. (2016, 28 januari). Solvency II: Algemeen. Geraadpleegd op 24 juni 2018, van http://www.toezicht.dnb.nl/2/50-202376.jsp

DNB. (2014, 25 juli). Solvency II: Pilaar 1. Geraadpleegd op 24 juni 2018, van http://www.toezicht.dnb.nl/2/50-231338.jsp

DNB. (2016, 2 februari). Solvency II: Pilaar 2. Geraadpleegd op 24 juni 2018, van http://www.toezicht.dnb.nl/2/50-224695.jsp

DNB. (2016, 25 januari). Solvency II: Pilaar 3. Geraadpleegd op 24 juni 2018, van http://www.toezicht.dnb.nl/2/50-224687.jsp

Filipovi´c, D., Kremslehner, R., & Muermann, A. (2014). Optimal investment and premium policies under risk shifting and solvency regulation, Journal of Risk and Insurance, 82(2), 261-288.

Ibragimov, R., Jaffee, D. & Walden, J. (2010). Pricing and capital allocation for multiline insurance firms, Journal of Risk and Insurance, 77 (3), 551-578.

Taylor series. (z.d.). In Wikipedia. Geraadpleegd op 26 juni 2018, van https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor series