uitwerkingen 5 havo D H4

(1)

Hoofdstuk 4:

De normale verdeling

1. dit gaan we niet op deze manier doen!

a./c. Voer in L1: 45 55 65 75 85 95 105 L2: 0 25 116 49 4 1 0 1-var stats L1, L2: x 66,8 en  6,9 2.

a.

b. De groep is te klein. Je kunt geen heel fijne verdeling maken. c. 1 2 63,0 L 63,5 : 328 164 d. 63,0 L 68,0 : 0,5 328 392 452 468     413 0,5 270 2024     Dat is ongeveer 2024 3000100 67,5%

3. A, D en E zullen niet normaal verdeeld zijn. 4.

a. het gemiddeld gewicht is 16 gram

b. De mediaan (middelste waarneming) en de modus (hoogste frequentie) zal ook 16 gram zijn.

c. Ongeveer 68% wijkt hoogstens 1 standaardafwijking van het gemiddelde af. d. 13 gram: m2s Ongeveer 2,5% weegt minder dan 13 gram.

5.

a. 50% is langer dan 181 cm.

b. Vanwege de symmetrie zal 20% langer zijn dan 187 cm. c. De standaardafwijking is ongeveer 193 181 12  cm. d. Jan was minstens 181 2 12 205   cm.

6.

a. Tussen m s en m s zit ongeveer 68% van de waarnemingen (1e vuistregel). Vanwege de symmetrie geldt dat 34% van de waarnemingen tussen m s en m ligt.

Dan is 50 34 16%  kleiner dan m s .

Tussen m2s en m2s zit ongeveer 95% van de waarnemingen (2e vuistregel). Dat wil zeggen dat 1

2

2 % kleiner is dan m2s en 1 2

2 % groter dan m2s

(symmetrie). En dan wordt het percentage waarnemingen tussen m2s en m s gelijk aan 1 1 2 2 16 2 13 %. b. 1 1 2 2 , 2 : 34 34 13 81 % m s m  s    c. Tussen m en 1 2

m s liggen meer waarnemingen dan tussen 1 2

m s en m s (de grafiek ligt hoger). Dus daar ligt dan ook meer dan de helft van 34% van de

waarnemingen. lengt e 56-57 58-59 60-61 62-63 64-65 66-67 68-69 70-71 72-73 freq 0,1 0,9 4,3 16,8 28,1 29,4 14,7 4,8 0,8 lengt e 74-75 76-77 freq 0,1 0,0

(2)

7.

a. 1

2 4,01

m s kg. Dus 50 19 31%  weegt minder dan 4,01 kg. b. (9 15 19) 2 86%   

c. Ongeveer 29%. 8.

a./b. De grenzen 190 en 220 liggen 3 SD’s van het gemiddelde af.

c. P(190G220)normalcdf(190, 220, 205, 5) 0,9973 9.

a. P L( 160)normalcdf( 1 99, 160,181.3, 7) 0,0012 E  : 0,12% was kleiner dan 160 cm.

b. P L( 200)normalcdf(200,1 99, 181.3, 7) 0,0038E  : Ongeveer 0,38% was langer dan 200 cm.

c. 100 0,12 0,38 99,5%   werd niet afgekeurd. 10. a. P(49,9 I 50,8)normalcdf(49.9, 50.8, 50.6, 0.4) 0,6514 Ongeveer 65%. b. P I( 51)normalcdf(51, 1 99, 50.6, 0.4) 0,1587E  Ongeveer 16%. c. P I( 50,1)normalcdf( 1 99, 50.1, 50.6, 0.4) 0,1056 E  Ongeveer 11%. 11. a. P L( 797)normalcdf( 1 99, 797, 800, 2) 0,0668 E  Ongeveer 6,68% is onbruikbaar. b. 93,32% is bruikbaar. 1000 0,9332 0,9332 1000 1072 n n    

De zaagmachine moet ongeveer planken produceren.

c. P L( 803)normalcdf(803,1 99, 800, 2) 0,0668E  . Dus ook 72 planken moeten nog op maat gezaagd worden.

72 2 928 3,25 72 2,75 € 3070,

W         

12.

a. 273 136 100 51 26

1000 100 58,6%

    _ _ _{heeft een voldoende gehaald.}

b. P voldoende( ) 0,586 c. 100 51 26 1000 ( 7) 0,177 P hoger dan _   _ d. 4 14 38 1000 ( 4) 0,056 P lager dan _   _ 13. a. 86 71 46 28 13 383 ( 19) 100 63,7% P O _ _     _ _ b. 86 71 46 383 (18,5 21,5) 0,53 P _O_ _   _ c. 12 14 45 383 ( 17,5) 0,1854 P O _ _   _ 14. a. P L( 171,5)normalcdf(171.5,1 99,168.3,12.4) 0,3982E  b. P(160,0 L 175,0)normalcdf(160.0,175.0,168.3,12.4) 0,4539

(3)

c. P(165,5 L 170,5)normalcdf(165.5, 170.5,168.3,12.4) 0,1597 d. P L( 158,0)normalcdf( 1 99,158.0,168.3,12.4) 0,2031 E  15. a. P T( 37,5)normalcdf(37.5,1 99, 36.9, 0.6) 0,1587E  b. P(36,0 T 37,0)normalcdf(36.0, 37.0, 36.9, 0.6) 0,4994 16.

a. cijfers voor een toets zijn in één decimaal nauwkeurig: discreet b. De duur van een broedperiode wordt gegeven in dagen: discreet c. Als je heel nauwkeurig het gewicht kunt meten: continu

d. Als je de lengte heel nauwkeurig kunt meten: continu e. digitaal: continu en een kwikthermometer: discreet 17.

a. 7:



6.5 , 7.5

b. De linkergrens is dan 5,5 en de rechtergrens 8,5 c. P C( 4)normalcdf( 1 99, 3.5, 5.9,1.7) 0,0791 E  d. P(5 C 7)normalcdf(5.5, 6.5, 5.9,1.7) 0,2309 18. a. P(163,5 L 164,5)normalcdf(163.5,164.5,164.8, 7.2) 0,0550 5,5% b. P L( 168)normalcdf( 1 99,167.5,164.8, 7.2) 0,6462 E  c. P L( 170,5)normalcdf(170.5,1 99,164.8, 7.2) 0,2143E  2 ( 170 ) 0,2143 0,0459

P beide langer dan cm  

d. P L( 150,5)normalcdf( 1 99,150.5,164.8, 7.2) 0,0235 E  Van de 342 jongens zijn dat er ongeveer 8.

19.

a. Na 6000 uur zal 50% van de lampen kapot zijn. b. c. P X( g)normalcdf( 1 99, , 6000, 500) 0,10 E g  solver: normalcdf( 1 99, , 6000, 500) 0,10 0 E x   5359 x uur. 20. a./c. b. P Y( r)normalcdf( 1 99, ,100.3,15.1) 0,23 E r 

solver: normalcdf( 1 99, ,100.3,15.1) 0,23 0 E x   x89,1 gram 21. a. P X( g)normalcdf( 1 99, , 6000, 500) 0,07 E g  : ( 1 99, , 6000, 500) 0,07 0 5262 solver normalcdf E x x uur     b. P X( g)normalcdf( 1 99, , 2500, 200) 0,15 E g  : ( 1 99, , 2500, 200) 0,15 0 2293 solver normalcdf E x x uur    

(4)

c. P X( g)normalcdf( 1 99, , 2500, 200) 0,26 E g  : ( 1 99, , 2500, 200) 0,26 0 2371 solver normalcdf E x x uur     22. a. P V( v_r)normalcdf v( ,1 99, 3.50, 0.02) 0,13_r E  : ( ,1 99, 3.50, 0.02) 0,13 0 3,523% solver normalcdf x E x    b. P V( v_l)normalcdf( 1 99, , 3.50, 0.02) 0,29 E v_l  : ( 1 99, , 3.50, 0.02) 0,29 0 3,489% l solver normalcdf E v x     c. P V( 3,51)normalcdf(3.51,1 99, 3.50, 0.02) 0,3085E  3 (3 3,51) 0,3085 0,0294 P pakken met V    23.

a. 18, 19 of 20 cm. Deze waarden liggen allemaal rond het gemiddelde. b. P(19,0O19,5)normalcdf(19.0, 19.5,19.15, 1.06) 0,1856 . Ongeveer

0,1856 182 34  leerlingen vinden een omtrek tussen 19,0 cm en 19,5 cm. c. 5% onder het gemiddelde: 5% boven het gemiddelde:

( 1 99, , 19.15, 1.06) 0,45 0 ( ) 0,45 ( 1 99, , 19.15, 1.06) 0,45 19,02 normalcdf E x P O l normalcdf E l solver x cm         ( , 1 99, 19.15, 1.06) 0,45 0 ( ) 0,45 ( , 1 99, 19.15, 1.06) 0,45 19,28 normalcdf x E P O r normalcdf r E solver x cm       d. P(17,15O21,15)normalcdf(17.15, 21.15, 19.15,1.06) 0,9408 . Ongeveer 94,08% van de metingen wijkt minder dan 2 cm af van het gemiddelde. Dus ongeveer 5,92% wijkt meer af.

e./f. Dat is een normale verdeling (een klokvormige kromme) met gemiddelde 0 en een standaarddeviatie van 1,06.

24.

a. P I( 800)normalcdf( 1 99, 800, 850, 38) 0,0941 E 

Ongeveer 9,4% van de flessen moet opnieuw gevuld worden. b. c. P I( 800) 0,01 ( 1 99, 800, , 38) 0,01 normalcdf  E m  solver: normalcdf( 1 99, 800, , 38) 0,01 0 E x   x 888 ml 25.

a. Bij een gemiddelde van 1010 gram en een standaardafwijking van 8 gram heeft ongeveer normalcdf( 1 99,1000,1010, 8) 100 10,56% E   van de pakken een inhoud van minder dan 1000 gram. Als het standaardafwijking kleiner wordt (de klokvormige kromme gaat steiler lopen; de waarnemingen liggen dichter bij het gemiddelde) dan wordt dit percentage kleiner.

gemiddeld

e 860 865 870 875 880 885 890

( 800)

(5)

b. P I( 1000) 0,05

( 1 99,1000,1010, ) 0,05

normalcdf  E s 

solver: normalcdf( 1 99, 1000, 1010, ) 0,05 0 E x   x6,08 gram 26. P G( 850) 0,01

(850, 1 99, , 30) 0,01

normalcdf E m 

solver: normalcdf(850,1 99, , 30) 0,01 0E x   x 780,2 Het gemiddelde gewicht van de broden moet 780 gram zijn. 27.

a. P I( 500) 0,002

(500,1 99, ,15) 0,002

normalcdf E m 

solver: normalcdf(850,1 99, , 30) 0,01 0E x   x 456,8

Het gemiddelde kan maximaal ingesteld worden op 457 ml. (net iets meer dan 0,2%) b. P I( 450) 0,04 ( 1 99, 450, 457, ) 0,04 normalcdf  E s  solver: normalcdf( 1 99, 450, 457, ) 0,04 0 E x   x 4 28.

a. P v( 50)normalcdf( 1 99, 50, 43.1, 6.6) 0,8521 E  Net iets meer dan 85%. b. P v( 55)normalcdf(55,1 99, 43.1, 6.6) 0,0357E 

Bij 0,0357 1200 43  metingen zal de snelheid groter zijn dan 55 km/u. c. P v( 20) 0,85

( 1 99, 20, , 2.1) 0,85

normalcdf  E m 

solver: normalcdf( 1 99, 20, , 2.1) 0,85 0 E x   x 17,8 km/u 29.

a. P L( 190)normalcdf(190,1 99, 178,11) 0,1377E  ongeveer 13,8% is langer b. P(160 L 185normalcdf(160,185, 178,11) 0,6868 ongeveer 68,7%

c. P L( 170)normalcdf( 1 99, 170, 178, 11) 0,2335 E  ongeveer 23,4% is kleiner d. De kans dat een jongen uit 5 havo kleiner is dan 170 cm is 0,2335

8 n en p0,2335 e. P X( 2)binompdf(8, 0.2335, 2) 0,3096 30. a. _{P X}₍ __{0) 0,80}_ 10 __0,1074 b. P X( 2) 1 P X(   1) 1 binomcdf(10, 0.20, 1) 0,6242 c. P X( 4)binomcdf(10, 0.20, 4) 0,9672

d. De kans dat op een willekeurige dag niemand op doping wordt betrapt is 0,1074 21

n en p0,1074

e. P Y( 3)P Y( 2)binomcdf(21, 0.1074, 2) 0,6042 31.

a. _{P G}₍ _₉₀₎__normalcdf_{(90, 10 , 91, 3) 0,6306}99 _

b. De kans dat het gewicht meer dan 90 gram is blijft voor elke kiwi ongeveer 0,63 c. P X( 6)binompdf(8, 0.63, 6) 0,2397

(6)

d. P X( 3) 1 P X( 2) 1 binomcdf(8, 0.63, 2) 0,9664 32. a. _P₍₁₂_goed_{) 0,9}_ 12__0,2824 b. (6 ) 12 0,10 0,906 6 0,00049 6 P rot _ _    

c. P terug brengen( )P R(   1) 1 P R(   1) 1 binomcdf(12, 0.1,1) 0,3410

2 3 5 ( 2) 0,3410 0,6590 0,3328 2 P T   _{ }     33. a. P S s(  ) 0,10 99 (s, 10 , 182.3, 24.2) 0,10 normalcdf  solver: _{normalcdf x}_{( , 10 ,182.3, 24.2) 0,10 0}99 _ _ _s_₂₁₃ b. _{P S}₍ _₁₅₀₎__normalcdf_{( 10 ,150, 182.3, 24.2) 0,0910}_ 99 _

Ongeveer 23 kandidaten scoren minder dan 150 punten.

c. 3 van de 30 worden toegelaten: ( 3) 30 0,10 0,903 27 0,2361 3 P X  _ _     d. P S( 210) 0,20 99 (210,10 , , 24.2) 0,20 normalcdf   solver: _normalcdf_{(210,10 , , 24.2) 0,20 0}99 _x _ _  __189,6

Het gemiddelde is ongeveer 7,3 punten omhoog gegaan. 34.

a.

b. Voer de klassenmiddens in L1 in: d 1,73 en 0,12 d   1e vuistregel: 1,5 1 5 15 28 34 38 27 217 200 1,61; 1,85 :        100 69,5% 2e vuistregel: 3,55 6 10 ...4,55 8 200 1,49 ; 1,97 :     100 95% Aan beide vuistregels wordt voldaan.

c. P d( 1,6)normalcdf( 1 99,1.6, 1.75, 0.1) E  0,0668

 . Ongeveer 6,7% wordt afgekeurd. e. X is het aantal banden dat wordt afgekeurd. X is

Bin(4, 0.0668) verdeeld. 4 ( 1) 1 ( 0) 1 0,9332 0,2416 P X   P X     35. a. P H( _b 12)normalcdf(12,10 ,10, 4) 0,308599  Bijna 31% b. ₍ ₉₎ _{( 10 , 9,10, 4) 0,4013}99 b P H  normalcdf   2 ( ) 3 0,4013 0,5987 0,2892 P LLH     profieldiept e aanta l relatie f



1,33 ; 1,43 2 1



1,43 ; 1,53 8 4



1,53 ; 1,63 25 12,5



1,63 ; 1,73 62 31



1,73 ; 1,83 65 32,5



1,83 ; 1,93 27 13,5



1,93 ; 2,03 9 4,5



2,03 ; 2,13 1 0,5



2,13 ; 2,23 1 0,5

(7)

c. P H( _b h) 0,10 99 ( , 10 ,10, 4) 0,10 normalcdf h  solver: _{normalcdf x}_{( ,10 ,10, 4) 0,10 0}99 _ _ _h__15,1_m d. P(6Hg 8)normalcdf(6, 8, 4.5, 1.5) 0,1488 Bijna 15% 36.

a. P(8,7 T 9,7)normalcdf(8.7, 9.7, 9.2, 0.6) 0,5953 . In ongeveer 60 jaar zal de jaartemperatuur een halve graad afwijken van 9,2o_C.

b. P T( 8,5)normalcdf( 1 99, 8.5, 9.2, 0.6) 0,1217 E  . Het gaat om ongeveer 0,1217 90 11  jaar. Het is dus iets hoger dan wat je mag verwachten.

c. P T( 10,3)normalcdf(10.3,1 99, 9.2, 0.6) 0,0334E  . Ongeveer 3 uitzonderlijk warme jaren. d. P T( r) 0,10 ( , 1 99, 10.2, 0.6) 0,10 normalcdf r E  solver: normalcdf x E( , 1 99,10.2, 0.6) 0,10 0  _x _10,97o_C T-1. a. Klokvormige kromme.

b. De gemiddelde lengte ligt tussen 1,66 m en 1,78 m: m1,72 m c. s 6 cm

d. Ongeveer 16% is langer dan 1,78 m. (50 34 16  )

e. Ongeveer 2,5% is kleiner dan 1,60 meter. Dus zal ongeveer 97,5% langer zijn. T-2. a. P pH( 7,45)normalcdf(7.45,1 99, 7.4, 0.2) 0,4013E  : Ongeveer 40%. b. P pH( 7,25)normalcdf( 1 99, 7.25, 7.4, 0.2) 0,2266 E  : ongeveer 22,66% c. P(7,30pH 7,55)normalcdf(7.30, 7.55, 7.4, 0.2) 0,4648 : ongeveer 46,48% T-3. a. _{P L}₍ __189,5)__normalcdf_{( 10 ,189.5,183.1, 8.72) 0,7685}_ 99 _ b. P(180 L 190)normalcdf(180.5,189.5,183.1, 8.72) 0,3857 ongeveer 46

(8)

c. P L l(  ) 0,16

99

( 10 , ,183.1, 8.72) 0,16

normalcdf  l 

solver: _normalcdf_{( 10 , , 183.1, 8.72) 0,16 0}_ 99 _x _ _ _l __174,4_{cm en kleiner.}

d. _{P L}₍ _₁₉₀₎__normalcdf_{(189.5,10 , 183.1, 8.72) 0,2315}99 _ 2

( 190) 0,2315 0,0536

P beide langer dan   T-4. a. P G r(  ) 0,35 99 ( , 10 , 65, 9) 0,35 normalcdf r  solver: _{normalcdf x}_{( , 10 , 65, 9) 0,35 0}99 _ _ _x __68,5

De 35% zwaarste vrouwen zijn 68,5 kg of zwaarder.

b. 30% aan de linker kant: 30% aan de rechterkant:

99 ( ) 0,30 ( 10 , , 65, 9) 0,30 l l P G g normalcdf g     99 ( ) 0,30 ( ,10 , 65, 9) 0,30 r r P G g normalcdf g    solver: solver: 99 ( 10 , , 65, 9) 0,30 0 60,3 normalcdf x x kg     99 ( , 10 , 65, 9) 0,30 0 69,7 normalcdf x x kg    T-5. a. P I( 985)normalcdf( 1 99, 985, 1003, 12) 0,0668 E  In 6,7% van de pakken zit minder dan 985 gram. b. Nee dat mag slecht 2% zijn.

c. P I( 985) 0,02

99

( 10 , 985, , 12) 0,02

normalcdf  m 

solver: _normalcdf_{( 10 , 985, , 12) 0,02 0}_ 99 _x _ _ _x __1009,64

Het gemiddelde moet dan 1009,7 gram zijn. d. P I( 985) 0,02

99

( 10 , 985,1003, ) 0,02

normalcdf  s 

solver: _normalcdf_{( 10 , 985, 1003, ) 0,02 0}_ 99 _x _ _ _x __8,76

De standaardafwijking moet 8,7 g zijn. T-6.

a. _{P I}₍ _₅₀₎__normalcdf_{( 10 , 50, 50.6, 0.5) 0,1151}_ 99 _ _{ongeveer 11,5%}

b. X is het aantal flessen bier met minder dan 50 cl bier. X is Bin(24, 0.1151) verdeeld

( 4) (24, 0.1151, 4) 0,1616 P X  binomcdf  c. _{P I}₍ __49,5)__normalcdf_{( 10 , 49.5, 50.6, 0.5) 0,0139}_ 99 _ T-7. a. _{P X}₍ __21,3)__normalcdf_{(21.3, 10 , 20.1, 1.0) 0,1151}99 _ b. P X( x) 0,16 99 ( 10 , , 20.1, 1.0) 0,16 normalcdf  x  solver: _normalcdf_{( 10 , , 20.1, 1.0) 0,16 0}_ 99 _x _ _ _x __19,11

c. Van de metingen wordt het gemiddelde afgetrokken.

De gemiddelde meetfout is dan 0. De standaardafwijking verandert niet. d. Van 50% van de karretjes is de meetfout negatief.