H4: Exponentiële functies

Hoofdstuk 4:

Exponentiële functies.

V-1.

a. 156

120 1,3 156203 1,30 263203 1,30 342263 1,30 De groeifactor per uur is 1,30

b. De groeifactor per dag is _1,3024 _542,8

c. op tijdstip t  1:1201,3 92 en op tijdstip t  2 :1,392 71 d. _{120 1,3} t _660

Voer in: y₁120 1,3 x en y₂ 660 intersect: x 6,5 Na bijna 6,5 uur waren er 660 bacteriën.

V-2. a. g_{week 1,43}7 _12,23 b. g_{halve dag} 1,4312 1,20 c. _{N t} 1t t 24 ( ) 15310 1,43  15310 1,015 d. N(0) 15310 1,015  434 16433 V-3. a. _{N t( ) 23 1,013 } 24t _{23 1,36} t b. _{N t}( ) 254 13,7  3651t 254 1,007 t c. N t( ) 3750_1,95 1,9t 151 1,9 t V-4.

a. Na een half jaar heb je de beginhoeveelheid vermenigvuldigd met 1 2 2  2. b. g_maand 2121 c. 3 1 8 2 _

d. Dan moet je delen door ₂12 _4096

e. 1 1 3 33 3 3 8 2 2 2 2 dus t 1 3 3  V-5. a. 12 12 12 12 4 3 1 5 4 3 4 1 1 1 1 16 8 2 ( )2 2 (2 ) 2 2 2           b. 3 4 1 4 3 1 2 2  2 2 2  _{ }  _{ }  c. 1 1 4 2 _{4 2 5} 4 2 3 7 7 3 7 3 _{7 3 21} 1 1 5 32 ₂5 6 (2 ) (2 ) 5 16 4 2 2 2 2 2 2 2   _{ }  _{   } d. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 4 13 3 2 3 3 6 8 4 _8 _ 2 (2 )_  _(2 ) _2 _2 _2 _2 _2 V-6. a. g3 _{12 b.} g14 2 c. g 2 1 4  _ d. 15g31 3 g 1231 g 24 16 g 1 21 12 4 ( ) 4 2    g 13 1 5  _ g 1 3 5 ( ) 125  

V-7. a. x 1 3 8 2  2 b. ₃x _{ 3 3}1 _{c. 5}3x _{ 1 5}0 _d. 1x 2 1 1 2 2 _{ }2 x 3 x 1 x 3 x 2 V-8. a. b. g_maand 590 12 500 ( ) 1,09   g_maand 750 31 590 ( ) 1,08   maand g 950 13 750 ( ) 1,08  

De groeifactoren zijn vrijwel gelijk, dus de groei is exponentieel: _{N t( ) 500 1,08 } t_.

c. Gezien de grafiek zou dat ongeveer tot de 20ste maand zijn: g 1350 51 950 ( ) 1,07   g 1600 21 1350 ( ) 1,09   g 2000 31 1600 ( ) 1,08   g 2300 12 2000 ( ) 1,07   g 3000 51 2300 ( ) 1,05

  . Dus inderdaad tot de 20ste _maand. d. N_{(12) 500 1,08 } 12 _1260

Er worden er 800 gevangen. Daarna: _{N t( ) 460 1,08 } t t

460 1,08 1000 Voer in: _y x

1.

a. Als de groeifactor groter is dan 1 is de grafiek stijgend (f en g). Is 0 g 1, dan is er sprake van een procentuele daling en dus van een dalende grafiek (h, k en m). b. Er wordt dan elke keer met een getal vermenigvuldigd dat groter is dan 1. Dus is er

sprake van een toename.

c. De lijn y 0 is de horizontale asymptoot.

d. f(x): (0, 2) g(x): (0, 0.5) h(x): (0, 1) k(x): (0, 10) m(x): (0, 5)

2.

a. De grafieken van f, g en k zijn stijgend en de functie h is dalend.

b. f(x): (0, 20) g(x): (0, 1) h(x): (0, 2.1) k(x): (0, 1)

c. _{g x( ) 0,5} x _{(0,5 )}1 x _2x _en

x x x x

h x_{( ) 3 0,7 } 2 1_{ 3 0,7}2 _0,71_{2,1 (0,7 )} 2 _{2,1 0,49} d. Het domein van beide functies is ¡ en het bereik 0, . e. Alle grafieken hebben dezelfde horizontale asymptoot: y 0.

3. a. f_{(3) 6 2 } 3 _{48 f( 1) 6 2  } 1_{3 en} f 3 3 4 ( 3) 6 2_{  }  _ b. c. _{6 2} x _24 x x 2 2 4 2 2    d. _{6 2} x _15

Voer in: y₁ 6 2x en y₂ 15 intersect: x 1,32

4.

a.

b. De grafiek van f snijdt de verticale as in (0, 1) c. De lijn y 0 is de horizontale asymptoot. d. Ook de lijn y 0.

e. Door een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3.

f. Door de grafiek van f 4 omhoog te schuiven. g. De lijn y 4 is de horizontale asymptoot van h.

5. a. _{g x} 1 x 2 ( ) 4 (1 )  b. h x 1 x 2 ( ) 4 (1 )  2 c. _{f x 1} x 2omhoog _{y 1} x Vx as, 4 _{k x 1} x ₁ x 2 2 2 2 ( ) (1 )  (1 )  2   ( ) 4((1 ) 2) 4 (1 )  8 6. a. b. _{g x} 1 x 1 x x 1x 3 ( ) 3 ( )   3 (3 )  3 3 3 x y 1 2 3 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -5 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 5 10 15 20 25 30 -5 g f h x y 1 2 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 -5

7.

a.

b. De functiewaarden van f worden 2 naar rechts verschoven. De functiewaarden van

g zijn 9 keer zo klein.

c. Elyse heeft gelijk. d. _{y 3}x14 8. _y 1 x 2,7 1 1 x 3,7 2 2 5 ( )   5 ( )      9.

a. g(x): een verschuiving van 3 naar links.

h(x): een verschuiving van 6 naar rechts.

b. _{f x( ) 2} x 7naar links _{y 2}x7Vx as ,15 _{y 15 2} x7 De volgorde is niet van belang.

c. _{x naar links x} Vx as _x g x _{3 6} y ₉ ,11₂ y _{1 9} 2 ( ) 2 _ 2 _  1 2 _       10. a. (2, 4)Vy as , 4(8, 4) b. g_{(8) 2} 4 8 _232 _{en g} 1 48 2 (8) 2  2 4 dus _{g x} 1x 4 ( ) 2 11. _y 1 2x 3 ( )  12. _{y 2}3x 13. a.

b. Een vermenigvuldiging met factor -1. c. _y 1 x 1 1 x 2 x

2 2 3

(1 ) ((1 ) ) ( )

  

14. _{g x( ) 27} x _{(3 )}3 x _33x

Een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1 3 . 15. a. 1. x 3,18 2. x4 3. x 5,17 4. 1 2 1 x  5. x 1 3 6   6. x 0,82 b. Bij de tweede, vierde en vijfde vergelijking.

c. _{(2 )}3 x5 _23x15 _24 _{d. 4}x _256 1 2 1 2 36 6 x _{ }6 x x x 1 3 3 15 4 3 19 6        x x 4 4 4 4   1 2 1 2 2 2 3 1 x x x      x -2 -1 0 1 2 3 4 f(x) 1 9 13 1 3 9 27 81 g(x) 1 81 271 19 13 1 3 9 x y 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 p

16. a. 1 x 3 ( ) 9 b. x 1 27 3  c. _(0,25)x _{16 d.} 1 x 3 7 ( )  _1 x x x 1 2 (3 ) 3 2 2  _     x x 3 3 1 3 3 3 3      x x x 1 2 (4 ) 4 2 2  _     x x x 3 0 1 1 7 7 ( ) ( ) 3 0 3  _     e. ₂t _(0,125)3 _{f. (0,1)}2x _1000 t t 3 3 3 3 3 9 1 1 8 ₂ 2 ( ) ( ) (2 ) 2 9         x x x x x 2 1 2 2 3 1 2 (0,1) (10 ) 10 10 2 3 1          g. _{32 2} t _{4 h. 3 (0,5)} x _{24 i. 14 4} t _{ 7 2}3t _j. x 1 64 2  t t t 5 2 2 2 2 5 2 3       x x x x 1 3 (0,5) 8 (2 ) 2 3 3        t t t t t t t t t 3 1 2 3 1 2 3 2 4 2 2 (2 ) 2 2 2 1 2 3 1          x x x x 1 2 6 1 2 1 2 6 1 2 (2 ) 2 2 6 12        17. a. ₂2x1_{32 2} 5 _{b. 2}4x1_{24 c. 3 4}x _ x _6x x x x 2 1 5 2 6 3     x 1,40 0 12 6 2 1 2 0 x x x x     d. _(0,125)x _{ 2 e.} 1x 2 1 36 3  12 f. x 1 2x 1 3 6 _( )  x x x x 1 2 3 1 8 1 2 1 6 ( ) (2 ) 2 3        x x x 1 2 1 1 1 3 1 2 3 3 1 1 0  _{ }      x 0,28 18. a. _{27 3} 2x _{( 3)}x _{b. f x g x voor x} 1 3 ( ) ( ) 3 x x x x x x 1 2 3 2 1 2 1 2 1 3 3 3 (3 ) 5 1 5 3        19. a. 1 x 3 2 12 4 ( )_{ }  _{ }4 1 x 3 2 12 4 ( )_{ }  _11 1 x 3 1 2 2 12 4 ( )_{ }  _11 x x x x 3 1 2 2 1 3 4 4 ( ) 16 2 (2 ) 2 2 3 4 1            x x x x 3 1 2 2 1 3 0 4 ( ) 1 2 (2 ) 2 2 3 0 5            x x x x 3 1 1 2 2 2 1 3 1 4 ( ) 2 (2 ) 2 2 3 1 6              b. f x( ) 11 voor x



 

20. a. 1 12 2x 3,5 x 2 ( )  _4  _d. 1 12 2x 2 ( )  _2 x x x x x x 1 12 2 2 3,5 3 4 (2 ) (2 ) 12 2 7 2 4 19 4   _        x x x x x 1 12 2 12 2 1 1 2 (2 ) 2 2 12 2 1 2 13 6   _   _      b. g x f x voor x 3 4 ( ) ( ) 3 c. g_{(3) 4} 3,5 3 _40,5 _2 e. P(6, 1) en Q 1 2 (3 , 1) f 1 12 2 6 1 0 2 2 (6) ( )   ( ) 1 en g 1 0 2 (3 ) 4 1

f. Nee, je hebt het voor twee paar punten P en Q laten zien.

Om te bewijzen dat de grafieken elkaars spiegelbeeld zijn moet je laten zien dat geldt: f a g 1 a 2 ( ) (7  ) 21. a. ₂0,5x _2 x 3 x x x x 0,5 3 1,5 3 2      S(2, 2)

b. g_{(0) 2} 3 _{8 en f(4) 2} 2 _{4: dus niet symmetrisch in de lijn x 2 .}

22.

a. 130% van 15 gram is 19,5 gram.

b. Bij 78% van 15 gram: 0,78 15 11,7  gram. c. Een vleermuis kan dus 60 uur overleven. Hij

zal dus in de tweede nacht na z’n jacht weer op jacht moeten gaan.

d. e. a b P₁(0) 130 a b b b P 130 1(60) 60  60 78 a130b b b b b 130 78 4680 52 4680 90     a 11700 en b 90 . f. P b g0 b 2(0) 76   76 130 b P g g g g 601 60 2 60 60 54 (60) 76 54 78 54 2 0,037 0,037 0,95          

g. De tweede past er beter bij. De percentage’s verschillen minder met de meetgegevens.

23.

a. De donor weegt ongeveer P 10

2(10) 76 54 0,95   108% van haar normale lichaamsgewicht. Ze staat 15% af, dus weegt ze nog maar 93% van haar normale lichaamsgewicht. t t t t 76 54 0,95 93 54 0,95 17 0,95 0,32 22       

Ze verliest daardoor dus ongeveer 12 uur overlevingstijd. b. De ontvanger weegt nog maar P 48

2(48) 76 54 0,95   80,6% van haar lichaamsgewicht. Na donatie weegt ze 95,6% van haar lichaamsgewicht.

t t t t 76 54 0,95 95,6 54 0,95 19,6 0,95 0,36 19,75       

Ze wint hierdoor ruim 28 uur overlevingstijd.

24. a. g 2940 4200 0,70   g_uur 1000 31 2940 ( ) 0,698   g_uur 500 12 1000 ( ) 0,707  

De groeifactor per uur is ongeveer 0,70

b. Op tijdstip t 0 is de sterkte van de straling ongeveer 4200

0,70 6000 Bq per gram.

c. _{S 6000 0,70 } t _{met t de tijd in uren.}

d. ja! e. S_{( 1) 6000 0,70  } 1_{8571 Bq per gram.} 25. A: a 50 10 6 2 10   B: g 50 41 10 ( ) 1,50   C: 4p q 10 A t b b b A t 10 10 10 2 10 10 10          t t A b b b A 2 1,50 10 1,50 4,47 4,47 1,50        p q p p p p 36 50 36 10 4 50 32 10 50 32 40         p en q A t2 1,25 5 1,25 5     26. a. A 2000 1 30 (0) _ 64,5 b. A A g (20) 201 (0) ( ) 1,10  

c. Voor grote waarden van t wordt _0,9t _{heel erg klein (bijna 0).}

A t 2000 1 30 0 ( ) _{ } 2000 27. a. _{f x} x Vy as, 1 _y x ₁ x 2naar links _{y 1} x 2 Vx as, 2 _{y 1} x 2 2 2 2 ( ) 2    2 ( )  ( )     2 ( )  omlaag _y x x x 3 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( )  3 2 ( ) ( ) 3 ( ) 3            b. H, V en dan B.

28. a. 1 x 2 2 ( )  8 b. 1 x 1 25 125 ( )  5 c. x 3 1 1 3 9 27 x x x x 1 3 0,5 1 1,5 2 (2 ) (2 ) 2 2 1 1,5 0,5          x x x x 2 3 0,5 2 2,5 (5 ) 5 5 5 5 2 2,5 1,25            x x x x 1 3 1 3 1 2 3 3 1 3 1 9 3 (3 ) (3 ) 3 3 3            d. 1 x 2 8 ( ) 0,125 x x x x 3 1 3 3 2 (2 ) 2 2 3 3 6           29.

a. fout d. goed g. fout j. goed

b. goed e. fout h. fout

c. goed f. fout i. fout

30.

a.

b. De lijn x 2 is symmetrieas.

c. _{y 2}x _{0 voor alle waarden van x.}

d. ₂4x x 2 _212 x x x x x x x x 2 2 4 12 4 12 ( 6)( 2) 0 6 2              e. g x( ) 1 voor x 0,4 31. a. f x 1 2x 2 1 2x 2 2x 2 2x g x 2 ( ) 4 ( )_{  }2 (2 )_  _2 2_  _2  _ ( ) b. _{h x} x 3 x 3 1 1 x x _{k x} 8 ( ) 6 2_{ }   _{ }6 2 _2 _{  }6 (2 ) _0,75 (0,5)_{ } ( ) c. _{f x( ) 4} 0,5(x1) _40,5x0,5 _40,5x_40,5 _{(2 )}2 0,5x_{  2 2 2}x d. f x 1 1 2x 1 1 1 2x 1 1 2 x 1 x 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( )_{ }  _{ }3 ( ) ( )_  _1 (( ) )_  _1 4_ 1 2 1 b en g 4 32. a.

b. Voor grote waarden van t wordt _0,7t _{vrijwel gelijk}

aan 0. De hoogte wordt op den duur 18 meter. c. H 15 :t 4,86, H 16 :t 6 en H 17 :t 7,94.

Van 15 naar 16 meter in ongeveer 1,14 jaar en van

x -1 0 1 2 3 4 5 g(x) 1 32 1 8 16 8 1 321 H (in meters) 5 10 15 20

33.

a.

b. De grafiek is niet een rechte lijn (niet lineair) en is toenemend stijgend (niet wortelfunctie). c. Machtsfuncties gaan door (0, 0).

d. b 3 e. _{A(9) 3 9 } a _100 a a 9 97 2,08  

Deze wijkt nog wel wat af. f. Ook b 3 vanwege A(0) 3 . g. A_{(9) 3 }g9 _100 g g 19 9 100 3 100 3 ( ) 1,48   

T-1. a. De grafieken B: _{h x} 1 x 4 ( )  3 ( ) en C: _{g x} 1 1 x 3 2 ( ) (1 ) zijn stijgend. b. Bij grafiek A hoort _{j x( ) 3 (0,4) } x _{1 en bij grafiek D: f x} 1 x

2

( ) (2 ) 3. c. Voor grote negatieve waarden van x wordt 1 x

2

(2 ) bijna 0. De grafiek van f ligt dan net onder de lijn y 3.

d. _{x omlaag x x} Vx as f x y , 1 2 4 1 1 1 2 2 2 ( ) (2 ) 3 (2 ) 3 4 (2 ) 1               x x y 1 1 1 1 1 2( (2 )2 1) 2 (2 )2 2        T-2. a. f 1 1 4

(1) 4_  _{ . De grafiek A hoort bij f.} b. factor is -2. c. _{f x}( ) 4 x Vy as , 2 _{g x}( ) 4 12x (4 )21 x 2x d. _{f x}( ) 4 x 4naar links _y 4 (x 4)Vy as , 8 _y 4(18x4) 418x4 e. _{f x}( ) 4 x Vy as , 8 _y 418x 4naar links _y 418(x4) 481x21 T-3. a. ₃x _{81 3} 4 _b. 1 2x 2 32 423 c. _{2 2}1_t 4 2 x x 4 4     x x 2 7 2 128 2 2 7    t t 1 4 2 3 1 8 2 2 2 2     x 1 2 3  t  3 d. 1 t 3t 2 16 ( ) 4 e. x 1 27 3  f. _(0,2) x 3 _1252x3 t t t t t t t t 4 1 2 3 4 6 4 7 2 (2 ) (2 ) 2 2 4 6 7 4          x x x x 1 1 2 2 3 1 2 (3 ) 3 3 3 6        1 3 3 2 3 2 5 (5 ) (5 ) 3 6 9 5 12 2 x x x x x x    _         T-4. a. 1 0,3 x 3 2 ( )_  _{ }4 2 1 0,3 x 3 2 ( )_  _{ }4 14 x x x x 0,3 1 3 0,3 1 1 1 3 3 2 ( ) 6 ( ) 3 ( ) 0,3 1 1,3            x x x x 0,3 1 3 0,3 2 1 1 3 3 2 ( ) 18 ( ) 9 ( ) 0,3 2 2,3            b. 2f x( ) 14 voor x 1.3,2.3 c. Voer in: _y 1 0,3 x 1 2 ( )3 4     en y₂ 16 intersect: x 2,396 ( ) 16 2,396 f x  voor x

T-5.

a.

b. Het temperatuursverschil na t minuten is t verschil T 20 0,925 t T t( ) 25 20 0,925   c. _{25 20 0,925 } t _10 Voer in: _y x 125 20 0,925  en y2 10 intersect: x 3,69 Na 3,7 minuten (3 minuten en 41 seconde) is de temperatuur 10o_C.

T-6. a. f x( ) 2  x 1 2naar rechts y 2  (x 2) 12 x 1Vy as , 1 g x( ) 2 x1 b. f x x 1 x 1 1 1 x 2 2 ( ) 2_   _2 _2 _{ }( ) en _{g x( ) 2} x1_{2 2}x_ 1_{ 2 2}x x as y as V V x x x x x f x _{1 1} , 4 y _{1 1 1} , 1 y ₁ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )     4 ( )  2 ( )     2 ( )  2 2 c. x x x x x x x x g x f x 1 1 ( 1) 2 2 2( 1) 2 1 1 1 ( ) 2 2 2 2 (2 ) 4 ( ) 2                 

d. Als je de grafieken van p en q 1 naar links verschuift, krijg je de grafieken van g en

f. De symmetrieas kun je dan ook 1 naar links verschuiven.

T-7. a. 1,751,65 1,06 1,86 1,75 1,06 2,07 1,86 1,11 2,30 2,07 1,11 2,52 2,30 1,10 3,02 2,52 1,20 3,70 3,02 1,23 4,45 3,70 1,20 5,30 4,45 1,19 6,12 5,30 1,15

b. Vanaf 1950 is de groeifactor enigszins gelijk, dus de groei exponentieel.

t

A 2,52 1,20  met t de tijd per 10 jaar en t 0 in 1950. c. A_{2,52 1,20} 10 _15,60

d. Het gemiddelde van de 10 groeifactoren is 1,14

t

A 2,52 1,14  met t de tijd per 10 jaar en t 0 in 1950. In 2050: A_{2,52 1,14} 10 _9,34 e. y x5 16,12 en y2 7,7 intersect: x 1,047 en y₃ 10,7 intersect: x 1,118 t 0 1 5 10 Tverschil 20 18,5 13,5 9,2 T 5 6,5 11,5 15,8