MULO-B Meetkunde 1922 Algemeen

(1)

Mulo B-examen (1922) Som 1

Als de twee gegeven driehoeken basis b en hoogte p respectievelijk basis c en hoogte q hebben, en de zijde van de te construeren driehoek noemen we x , dan moet x voldoen aan de betrekking

2

1 1 1

2x 2pb2qc ofwel 2

x  pb qc _.

Het eerste deel van de constructie zal dan ook bestaan uit de constructie van lijnstukken met lengte

pb_enqc_{. Dat kan geschieden op de manier zoals hieronder is aangeduid.}

b p 1 E A B C D

Nu de lijnstukken met lengte pb en qc geconstrueerd zijn, kan het lijnstuk met lengte x als volgt geconstrueerd worden.

Neem een lijnstuk met lengte pb+qc als diameter van een cirkel en richt in het deelpunt een loodlijn op. Op grond van een bekende stelling geldt dan x2 pb qc _{. Hiermee is x bekend waarna de gevraagde} driehoek geconstrueerd kan worden.

qc pb x D B A C Uit de verhouding AB : BD = AC : CE ofwel 1 : p = b : CE volgt dat CE de lengte pb heeft.

Op gelijke wijze construeert men een lijnstuk met lengte qc.

(2)

Som 2

In driehoek DAE geldt cos(72 )0 1₄ 5 1₄ 4 5 4 AE AE AD      , waaruit volgt 1 1 ( 5 ) (4 5 4) 4 4 4 AE     _.

Vanwege de symmetrie van het trapezium volgt hieruit dat AB = 4 + 14 + 4 = 22.

Nu alle zijden bekend zijn én omdat ABCD koordenvierhoek is, kan de oppervlakte A berekend worden met de formule A2  (s a s b s c s d)(  )(  )(  ). Hierin stelt s de halve omtrek voor.

Met 2s22 14 2 (4 5 4) 44 8 5      en dus 2 22 4 5  wordt de berekening:

2 _{(22 4 5 (4 5 4)) (22 4 5 14) (22 4 5 (4 5 4) (22 4 5 22)}

A               

18 (8 4 5) 18 4 5 10368 5 25920      waaruit volgt dat A 10368 5 25920 72   2 5 5

72 = = 4 14 4 5 +4 A _B D C E Som 3

In driehoek ABE geldt tan 1 2 BAE

  en in driehoek BAD geldt tanABD2_. De hoeken BAE en BAD zijn dan samen ₉₀0

, waaruit het gestelde volgt.

z 2z 4z C D A B E