Een membraanmodel van een aortaklep : afleiding van het model en toepassing op een zeer eenvoudige schematisering van een aortaklepvlies

model en toepassing op een zeer eenvoudige schematisering

van een aortaklepvlies

Citation for published version (APA):

Sauren, A. A. H. J. (1977). Een membraanmodel van een aortaklep : afleiding van het model en toepassing op een zeer eenvoudige schematisering van een aortaklepvlies. Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1977

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

EEN 11EMBRAANUODEL VAN

DE AORTAKLEP

Afleiding van het model en toepassing op een zeer eenvoudige schematisering van een aortaklepvlies.

model afgeleid ter beschrijving van de spanningsverdeling in een membraanop~ervlak met vrillekeuringe vorm. In het tweede deel wordt een toepassing van dit model gegeven op een zeer eenvoudige sche-matisering van een aortaklepvlies. Na diskussie van de resultaten van deze toepassing worden enkelen mogelijkheden aangestipt m.b.t. de voortzetting van het onderzoek met het membraanmodeL

I N T E R A F D E l I N G S P R 0 J E K T

H A R T K L E P P R 0 T H E S E N

Een membraanmodel van de aortaklep.

Deel I:

Afleiding van een algemeen model ter beschrijving van de spanningsverdeling in een membraanoppervlak van willekeurige vorm.

oktober 1977.

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN

A.A.H.J. Sauren F. E. Veldpaus

I. 1 • 1 I. 1. 2 1.1.3 I.1.4 I. 1. 5 I.2 I.3 I.4

Beschrijving van het membraanoppervlak.

Definitie van koÖrdinaatlijnen, raakvektoren.

aan koÖrdinaatlijnen en eenheidsnormaalvektor op het oppervlak.

Definitie van de eenheidsnormaalvektoren op de randen van een oppervlakelement begrensd door koÖrdinaatlijnen.

Kromtevaktoren en normale krommingen.

Afleiding van de uitdrukking voor het oppervlak van een infinitesimaal oppervlakelementje.

Formulering van de evenwichtsvergelijkingen voor een oppervlakelement.

Spanningsverdeling langs een willekeurige kromme op het oppervlak.

Spanningen in willekeurige richtingen in een punt; hoofdspanningsrichtingen; hoofdspanningen. ,

.

.

.

2 4 6 7 8 13 16

beschrijving van het evenwicht van en de bijbehOrende spanningsver-deling in een membraanoppervlak met een willekeurige vorm.

Gewerkt wordt met de parametervoorstelling in vektorvorm van het op-pervlak.

Na enkele definities met betrekking tot de beschrijving van de geo-metrie wordt een stelsel vergelijkingen afgeleid die het evenwicht van een infinitesimaal oppervlaktelementje beschrijven. Dit stelsel bestaat uit twee differentiaalvergelijkingen en één algebraïsche ver-gelijking.

Vervolgens worden twee uitdrukkingen afgeleid die de spanningen langs een willekeurige kromme op het oppervlak beschrijven waarna tot slot wordt aangegeven hoe hoofdspanningen en hoofdspanningsrichtingen be-paald kunnen worden.

fig. 1

Voor de beschrijving van het membraanoppervlak gaan wij uit van

een orthogonaal rechtsdraaiend assenstelsel (x,y,z) met eenheids- ·

vektor e , e en e langs resp. de

x-,

y- en z-as. Dan geldt:

-"X ""'Y -z (e ,e ) ::: (e ,e ) ₌ (e ,e ) ₌ -x -"X _{""'Y ""'Y} -z -z (e ,e )

...

(e ,e )

-

(e ,e ) = 0 (1) -"X ""'Y ""'Y -z -z -"X e

_*

e

=

e e

*

e

=

e ; e

*

e .. e

-x ""'Y -z ""'Y -z -"X -z -"X _""'Y

In een dergelijk assenstelsel wordt de posidè.van een puntPop

het membraanoppervlak V door de bij P behorende positievektor ~

eenduidig vastgelegd.

n ... x.e + y.e + z.e

L. -"X -.! -z (2)

·ne koÖrdinaten x,y en z in deze relatie kunnen niet onafhankelijk zijn.

In het volgende zullen wij aannemen dat zij gegeven zijn als expli-ciete funkties van twee nog nader te specificeren onafhankelijke parameters u en v, dus:

x

=

x (u,v) y

=

y(u,v) z

=

z(u,v)

_CD

Hiermee kan dan een zogenaamde parametervoorstelling van het opper-vlak V gegeven worden:

I. 1. 2 _{~~~~~~~~~-~~~-~~~E~~~~~~1~i~~~~-E~~~y~~~~!~~-~~~-~2~!~b~~~~!bi~~~}

~~-~~~~~b~~~2~~~!Y~~~2!_2E_h~~-2EE~!Y!~~·

De parametervoorstelling van de bij een punt P van het oppervlak V

behorende positievektor ~luidt met (2) en (3):

n

=

x(u,v).e + y(u,v)e + z(u,y)e •

.&.. -x -:1 -z

(5)

Voor de afgeleiden van E. naar u en v geldt dan resp.:

dE_ dX ()y dZ

..",-- = ..",--.

e + ..",--. e + ..",--. e

au au -x au -:1 au -z

(6)

Wij defiiniëren zogenaamde koÖrdinaatlijnen op het oppervlak V en wel:

u-lijnen als lijnen waarvoor geldt dat v kon&.tànt • is en v-lijnen als lijnen waarvoor geldt dat u konstant is

Ter verkorting van de notatie schrijven wij:

t : -.,

De vektoren t _-u en t _-., zijn dan te interpreteren als raakvektoren aan resp. de u- en de v-lijnen. Zij zijn onderling onafhankelijk maar in het algemeen geen eenheidsvektoren. Informatie over hun

lengte en over de hoek die door t _-u en t _-., wordt ingesloten wordt opgeborgen in de zogenaamde eerste fundamentaaltensor G, die ge-definieerd is door: G:

=

Er geldt dus: [ (t ,t ) -u -u (t , t ) -u -., (t -u -., ,t )] (t ,t ) _{_, -v}

=

(7)

guu

=

(t ,t ) ... _{.-u -u} 11 _-u t 11 2

gvv = (t ,

_, _,

t ) = 11

_,

t 11 2

guv

=

(t 't ) -u~

De matrix G is symmetrisch en regulier. De determinant van G wordt gegeven door:

det(G)

=

g _{uu· vv} g - g _uv 2 (8)

Zij (){ I

geldt:

(0

<

a

<

ff) de hoek die door t _-u en _{_,} t ingesloten wordt dan

det(G)

=

g .g .sin2a

uu vv

.,.jdet (G)

=..J

g _{uu vv} • g • sinet.

Met~= ~(u,v) volgt:

dn _L..

=

_-u t .du + _{_,} t .dv

en dus

11 dn _L.. 11 = 11 _-u t • du + _{_,} t • dv 11

Langs een u-lijn geldt dan:

11 d.e,ll = ~.du

en langs een v-lijn:

lld~ll=~.dv.

(9)

( 1 0)

( 11)

Tenslotte definiëren wij de eenheidsnormaalvektor op het oppervlak V als:

t

*

t

-u _,

n : = .,..I ~I t-*~t """TI.,..I

I. I. 3 met: zodat: 11 _-u t

*

t _V 11 t

*

t -u -., (13) (14) ~~~!~!~!~-Y~~-~~-~~~~~!~~~2!~~1Y~~~2E~~-22-~~-E~~~~~-Y~~-~~~ ~22~EY1~~~1~~~~~-~~g!~~~~-~~~!-~~§E~!~~~~1!i~~~·

Beschou~ een element van het oppervlak V dat begrensd wordt door de koÖrdinaatlijnen u, u+~u," v en v

+

~v. De daarmee korresponde-rende randen zullen worden aangeduid met R , R _{u u+~u'} R en R _{v v+/::,.v}

(zie fig.2).

fig.2

Voor een normaalvektor ~ op een elementrand welke in het raakvlak ligt, geldt~~ n en verder:

Aan deze eisen wordt voldaan door de volgende definities van de eenheidsnormaalvektoren:

Met:

m

=

_,

t

* (

t *t ) = g • t - g • t .

_, -u _, vv -u uv _,

volgt met gebruimaking van betrekking (8):

en analoog:

(16)

zodat de eenheidsnormaalvektoren ~ en ~ in het raakvlak en loodrecht op de koÖrdinaatlijnen te schrijven zijn als:

m

=

-u m

_,

-po • t + g • t

=

~uv -u uu-., \)det (G) • .Vguu (17) ( 18)

Wij merken op dat de eenheidsnormalen m en m beschreven worden _{·-u _,} met behulp van hun komponenten in t _-u - en _{_,} t -richting. Meer algemeen _. kan gesteld worden dat het vektorenstelsel (t ,t ,n) gehanteerd kan _{u _ ,} -worden als een systeem van basisvektoren omdat zij onderling onafhan-kelijk zijn. Een dergelijk stelsel zal in het algemeen niet orthener-maal zijn.

Zij x een willekeurige vektor. Wij schrijven:

x

=

a .t + a . t + a .n.

u-u v-v n - ( 19)

De kentallen a , a en a kunnen als volgt bepaald worden~

Uit (14) volgt: (.?E_1

!._,

*n)

= (\.

~det (G) en tevens (x,t *n)

=

•

{g (x.t ) - g (x,t )} - _ , - ~det(G) vv- -u uv-_, zodat: I

a = - - - .

{g . ( x , t ) - g (x.t )}. u det(G) vv - - u uv-_, (20) Analoog: (x.t *n) u -en · (x t *n)

=

-;::::=1

==

..,.'-u ~det(G) {- g .(x.t) + g .(x;t )} uv - - u uu - _, zodat: a = - - - • {- g • (x, t ) + g • (x, t ) } V de t ( G) uv - ~ u u - _, (21) Er geldt dus: det (G) -guv

l.[(!!_,!J]"

G-t.[(x,~)]

g (x,t ) · (x,t ) uu - .-v - _, [ ] = (22)

Wij introduceren de kromtevektoren:

.. :1t

k · ~a meta,h

=

u,v

Ontbonden in hun komponenten ten opzichte van de (t ,t ,n)-basis -u-v-met behulp van uitdrukking (22) zijn deze kromtevektoren te achrij-van als:

kab

=[!u

!.]"

G-1.

f<!ab•!")l

l<~b'-~)

J

(24)

De getallen kb:= (k b,n) heten normale krommingen en zijn de kom-a a

-ponenten van de zogenaamde tweede fundamentaaltensor van het opper-vlak. Vrij algemeen is de notatie met behulp van de zogenaamde

Christoffelsymbolen:

: =

(k b' t ) _{-a -u}

Wij zullen in het volgende géén gebruik maken van Christoffelsymbolen maar blijven werken met de notatie (k b't ) en (k b't ).

-a -u -a -v

I· 1 • 5 ~f1~!2!!!1LY!!!_2~-~!~2f~~~!!!.lLY22f_h~~-2EE~EY!!~_Y!!!_~~!!-!!!f!!!!~~:

~!~!!!_2EE~EY!!~:~!~~~!!~i~~

Zij Peen punt op het oppervlak V met positievektor ~(u,v).

fig.3

Zij !v•dv de verandering van~ tengevolge van een infinitesimale verandering dv van v en !u·du de verandering van~ tengevolge van de infinitesimale verandering du van u. Dan is het oppervlak dA van het parallelogram, opgespannen door .de vektorert _-u t .du en t .dv _-., te schrijven als:

dA

I I

_-u t • du

*

_-., t • dv

I I

dA =

ll.!u

*

.svll

.du.dv = .Vdet(G) .du dv (25)

1.2 Formulering van de evenwichtsvergelijkingen voor een opperv:ak-element

Keren wij terug naar het in fig. 2 weergegeven oppervlakelement.

fig.4

Verondersteld wordt dat wij te doen hebben met een membraanspannings-toestand, d.w.z.:

- er treden alleen spanningen op

I I

raakvlak - er zijn geen spanningsgradiënten 1. raakvlak.

De trekspanningen cru en crv en de schuifspanningen cruven crvu worden gedefinieerd als aangegeven in fig. 4.

De dikte van het membraan wordt aangeduid met

h

=

h(u,v)

De op de · membraan werkende uitwendige belasting wordt voorgesteld door de vektor

k

=

k(u,v) (kracht per eenheid van oppervlak).

De formulering van het krachtenevenwicht voor het in fig. 4 weerge-geven element luidt:

oftewel: u+~u

{ f

(a .m

.11

t

11

V~ ~ f;=u + a • t ) •

h. dE,:}

vu~ ltJ=v+~v

<a •

m •

I I

t

I I

+

a •

t ) • h. dt,; } v~ ~ vu-u . . ~V + + (a • _{u -u} m • 11 _-v t 11 + a • t ) • h. dltJ} + uv~ f;=u+~u

.

-{ 7v

~tJ=v (a _{u -u} .m .llt _-v 11 +a _uv .t ).h.dltJ} _-v f;=u

~+

· v+~v a • t )h.df;} vu~ ltJ=v a • t ) • h.

djlu+~u

uv~

1

t,;=

u + + + (26) (27)

De limietovergang ~u~ 0, ~v ~ 0 levert:

~[ca

.m

-rs-+

a .t

)h]

+

~[h(a

.m

._rg-

+a . t )]

aU U -u " 0VV UV~ oV V~ ""'UU VU -u

Invullen van m en m levert:

-u -v

~

[ho • gvv . • t + (h o - h. o • guv ) t

J

+

dU u '\}det(G) -u uv u '\}det(G) -v

+

a~lh.ov

guu .t + (h.o - h.o •

~

t l+

l

'\}det(G) -v vu v

~det(G) ~

+ k. ~det(G)

=

0 SteL: gvv R : = ---;;::=::==- • h • o u ....}det (G) u

N

=

h.o guv .h.o

uv uv

'\}det(G) u

N

=

h.o guv .h.o

vu vu '\}det (G) V guu R.: == .h.o V ..Jaet(G) .V dan volgt: (29) (30)

a

a

~----"l'\" (R .t + N .t ) + '7'\(R .t + N .t ) + k ... ldet(G) "' 0 aU u -u uv -v av V -v VU -u V en dus ook: é)R u ~.t + R .k dU -u u -uu é)N + uv.t + N .k +

""äU

-v uv -vu é)R é)N (31) v ·vu ~~~ + ~·t + R .k + ~.t + N .k + k~~et(G)

=

0 dV -v V -vv dV -u vu -vv - V' (32) In andere schrijfwijze:

óR óN

auu + avvu + R .k +(N +N ) .k +R .k + k. det(G)=O u -uu uv vu -:v v --vv

(33)

Uit deze vektor-vergelijking kunnen drie gewone vergelijkingen worden afgeleid door de komponenten langs de onafhankelijke vektoren t , t

-u -., en~ te beschouwen. Daartoe schrijven wij:

óR óN

[~

!v]"

au u ---+

a~

+ G-1 R_(k ,t )+(N +N ).(k ,t )+R (k ,t )+ u -uu -u uv vu -uv -u v -vv -u óN óR UV + V ~

av-+ ..Jdet(G). (k,t ) _{- - u} :+ . R (k , t ) + (N +N ) • (k , t

JR-

·-

(k , t )

+

u -uu -., uv vu -uv ~ v --vv ~ + ..Jdet(G). (k,t )

_

_,

Het momentenevenwicht voor het element uit fig.

4

levert:

v+!J.v

+ {

I

1:

*(cru·~~+

tjJ=v v+!J.v u+l::.u v+l::.v

a •

t ) •

h. dE;}

+ vu -u tjJ=v u+l::.u a • t )h. dtjJ} _uv~ t;""u + +

I I

..Jdet(G).I:*k

d~.dtjJ"'

0 ljJ=v ~=u (35)

Limietovergang en invullen van de definities voor R , R , N en N

U V UV VU

levert:

n

*[~(R

.t +N . t ) +

~(R

.t +N . t ) + _k.

~ldet(G)l+

.&.. oU U -u UV .-., oV V .-., VU -u 'J j

=

Q

op grond van krachtenevenwicht (31)

+ t * (R . t +N .t ) + t *(R .t +N .t ) = 0

-u U -u UV .-., .-., V .-., VU -u

Dit levert:

N _{uv -u .-.,} (t *t ) + N _{vu .-., -u} (t *t )

=

0

zodat zal gelden:

N = N • uv vu

(36)

(37)

Als het uiteindelijke stelsel vergelijkingen vinden wij tenslotte met gebruikmaking van (37): G.

=

0

aR

aN

u+ uv

au

av-aN

aR

~V au

rv

met: h. 0 =

~det(G)

u _gvv h. 0 =

~det(G)

V g-" ti u + R u R u .R V (k , t ) . + 2 N (k , t ) + RJ (k , t -uu -u uv -uv -u v- .-.,v -u (k _{-uu .-.,} ' t ) h.o uv h.o vu = N uv = N uv (k ' t ) ~V~ guv + -

.

gvv guv + -guu R u R V (k _{.-.,v .-.,} ' t (38) (39) (40) (41)

Merk op dat door dit stelsel behalve aan het krachtenevenwicht ook impliciet aan het momentenevenwicht wordt voldaan.

(k, t )

Zij op V een kromme K gegeven door de parametervoorstelling

.E.. = .E_(u(s) ,v(s)). De raaklijn in ee.n punt .E.. aan K noemen wij t. Er geldt:

du dv

t = t . - + t .

-- -u ds -., ds (42)

(43)

waarbij t en

E.v

de raakvektoren in .E_(u(s) , v(s)) aan V zijn. Met t *t-u

-u·:-.,

n

=

t kan de normaal ~ in .E.. op K, liggend in het raakvlak

11~*--vll

worden gedefinieerd door:

m

=

"1'"'1 ,_1 !!.-* t_,l..,..l (44)

Er geldt:

n*t

=

I .(t *t )*(ddu.t + dv.t)

=

-,Jdet(G) -u _, v -u ds _,

--;:==l~.{ddu.t

_{.Vdet (G)} 8 _{-u -u _,} *(t *t ) +

+ dv t *(t ,.. t ) }

= _

1 {du( ) dv( t ) } ds -· -u -· · v v

•===- .

-,Jdet(G) -d g s uv -u uu • t -g • t -v + ---d g s vv -u uv-., • -g • t -,Jdet (G) {(g .ddv + g .ddu).t _ (g .ddu + g .ddv) • t }. vv s uv s -u uu s uv s _, (45) 11 n*t 11

_--

=

11 t 11

_-

(46)

Wij vinden dan:

1 m

=

"T'"T'--r-T" 11!11 du + .dv guu

"d'S

guv

::.ds

}

• .SU - - - •

E.v

-,Jdet(G) (47)

Bij de verdere berekeningen blijkt het voordelen te bieden om t _{. . -u} en t uit te drukken in t en m. Wij zullen dit hier niet doen.

_,

.

-

-

-

·

Beschouw het deel van het oppervlak V, begrensd door het deel van K

tussen de punten.E_(u(s),~~en .E_(u(s+6s) , v(s+6s)), de koÖrdinaatlijn u= u(s) en de koÖrdinaatlijn v

=

v(s+6s), zie figuur 5.

fig.S

Het krachtenevenwicht voor het in fig. 5 weergegeven oppervlakelement wordt gegeven door:

7'

i;=s { u(s+.6.s)

f

h(a .m ·I I t 11 + V - J U !;~::~u(s) v=v(s+.6.s) { v(s+.6.s)

- J

h(o .m _u~ 11 _{_,} t 11 + ~v(s) .

+!!

~ ~det{G).dljJ

dç:

=

0 .6.F

Er zal dus ook gelden:

a

_{uv_,} .t ) .dljJ}

u=u(s)

+

(48)

dv}

I

{(a .m _u~-, 11 t 11 +

a •

_uv-, t ) .-d _s + u=u(s)

+{(a .m

llt

11 +a .t )ddu}

I

.

~

dç: +

f( ..

ldet(G).dljJ.dÇ,

=

.Q.

V _ , ~ vu~. s . ( +A )

11

~ V

V""V S uS .6.F

Na limietovergang (~s+O) resulteert derhalve:

dv d

a._mll_tll+ -r.t- (a .m llt 11+ a .t ).-d +(a .m ·llt 11 +a .t ).~ = 0

u -u --., uv -., s v -., -u vu -u ds

-en dus ook:

Aangezien (~,!)

=

0 vinden wij:

h.a.---;==:=:== R • (dv) 2 _ _{2 N} • du. dv + R • (du) 2

vdet (G) u ds uv ds ds V ds dv du dv = R .(t ,t).-d - N .(t ,t).-d + N .(t ,t).-d + u -u - s uv -u - s uv -., - s du - R • ( t , t) .-d V - v - S (50) (51) (52) (53)

Wij vinden tenslotte voor de normaalspanning

a

en de schuifspanning

T langs een willekeurige kromme op het oppervlak:

h.a. 11 t 112 Vdet(G) =

[~

ds _ du]· ds

[R N ]• [

u uv dv \]ds . · N R - du uv v ds

-

~~

J

o [

:~

::V

l

o G o [

~~

l

dv] ds (54) (SS) (56)

1.4 Spanningen in willekeurige richtingen in een punt; hoofdspannings-richtingen; hoofdspanningen.

fig.6

Om de spanningen

i~ wille

_

~teurïg

·

e riÄ~tingen

in' .. 'é;eh punt P van het opper-vlak te bepalen

definiër~ri

wij in

P

·

\ie eenheidsvektor

!

die

geinterpre-teerd kan worden als de

e~nheidsraak~ektor

aart

~enkrotmlle

.E,.(\l(s),v(s)) door P. Stel dat t met t in P een hoek cp insluit, dan geldt:

- -u .

t -u

t = coscp. - - + sing,.m

~ _ "

Dit is met (16) te schrijven als:

(57)

t = 1

f{

Vdet(G) .coscp • guv sincp}+ guu sing,

~l

(58)

~

vdet(G)

l

~

of, analoog aan (42):

t

=

du • t + dv • t

- ds .-u ds -v

met:

du Vdet(G) .coscp- guv·sing,

CiS

= - - _

,-;;-;:::::=---.-;:

,~::;:::;=----­ '\'guu. V det (G) dv guu ·sin <P

ds

=

~·

\)det(G) (59) (60)

a

=

( u v) + uv

a +a

g ( uv

a

+q -vu) -+ 2 .Vdet (G) 2 ~a

-a

L(

v 2 u)

(

a +a

uv

_{2 )}

.vu

~

.cos2~ + [ guv + .Vdet (G)

a -a

a +a

( u v) _ ( uv vu)] .

2

~

•

₂

₂

_

.

s1n 'I' (61) guv

a -a

a -a

_{[ guv}

a -a

a +a

T

=

( v u) + ( uv vu) +

~det(G)

( U V) _ _{( uv 2 vu)}

J •

_{cos2<P +} .Vdet (G) 2 2

2

~a

-a

guv

a +a

J

-+ (U2 V) + ( uv 2 vu) - • sin 2~ • (62) .Vdet(G)

De hoofdspanningsrichtingen, d.w.z. de richtingen waarin de schuifspan-ningen gelijk aan nul zijn, worden bepaald door de waarden -van~ waarvoor geldt T=O, namelijk:

I

c

ac

~

b.Va2+b2-c2

)

~1

2

=

-.arcos

'

2 . a2+b2 (63) met: g

er

-a

a +a

a

=

uv .( u₂ v) _ ( uv vu) .Vdet (G). · 2 (64)

a -a

_guv

a +a

b ( U V) ₊ ( uv vu) 2 .Vdet(G) 2 guv a -a a -a c

=

(

v u) + ( uv vu) .Vdet (G) 2 2

De bij de hoofdspanningsrichtingen behorende richtingacosinussen ten op-zichte van de (e ,e ,e )-basis worden gegeven door:

-'X -;- -z

(du) '

2z

+ (dv)

2z

waarbij:

(du ds) 1 , 2

dv

.l/..1

.lZ.s

~~~

.4*n &

~lá.

.

~ ~

IU>U"4.

~ 4n7~~ ~-7

4/rh?

~ ~~u<_

­

~~~

~~7~M-~

.

~"J ~

~ /~/*"-

_h?

MH~

.

.

.

~ ~ ~id~i~r·

~~~

4/rffl

~ ~~~k

?

~

7

Alf#??~

L;

h, {; .

.1/.6

1'~

.;(Áh?

~ ~~~n~

.

~

~~ .~ t:?é M-n~v~k.

111

~~r

·

7

~ ~

~a-:

.f.p

~~dhl-.

'

.1/.tf./

~/ ~d/

ff.J'..t

7~~

7•

4

kh?1~7

/U6n

~ ~11Û4n

• .lf.J',.f

..E~ ~

t?é

~a/~~n

.

.

JT.t9.~

~rur ~~~

.

.!L.y

g-M~

.

.lZ.

/IJ .

z

/t~Pla0t

/'

)J.k;~~/~.

~7

~a; ~kÁ~~·

.21

Aea4-t~~k. ~aW~! ~

~

~~~

..

~.t

dd

FF~.-n ~

.

~~ ~ ~r ~ ~ ~;7a~

44

.Ád

~~~

.

L::

hr

,4???t:/at~/ /??~

,t;4

~h"~

.

. ·

/

/

~~

#z

_

kt

+~

rtd"

~~7

.

~

~ r~

~, ~

a#la--/f

~ /~~

?

~ ~v-n~~.u"~r

:

f)

0:.<

_,/""?

~

Aé

'1~~' ~

44

~.1:4

~a/l#n ~

~

'

"'+

4th?

~ ~"

,h t

~

~~ ~7

~

ftn

~_/

_4/th7

~LtJ~ ~ ~

k/f'"

.4~.,

.!)

~

7

d~~~ f·r~h?

4

/t/.v.d.

A/

~7~

~

tt~Pn ~

.

,-m

Wa-//

~

.-?nd'

~

~~ ~~

J

~~

k-,.,#/~,.,~ ~ ~r/ ~

_Pn

~r#HT/d. ~

A4

~

~

~r

?14

~ ~-

/

/f ~~. ~

~/

~~k

·

r

r/d

~

k~~~&~ ~

Rd

~;;,~ ~

/M

dt41'11~d

Atb!

~ ~~

-

~

~

4

7/ (

/~:

t4

.

~~'m7 ~

~)

~) t;;j~ ~

~

.Pn .

~;4"~-

.

cZ

tf·l

~ ~;r

/~

~ ~

.&e~~'u47 ~~

~ ~

d-naû

~af' .k~ ~/

_q

~

.-Pn

/.t -

~-,~. 9~

.Z-a<!

~

,d~ ~

~ ~r

4'rh7

~

apu"a_

~ ~

An-

rd~ ~7

.-??d44

~

~a-d ~~

·

~~

~~a ~trd! ~r~~ ~

-Pn

~~A

.

~

.

~ ~-.u d~

M

~ ~

_d"_aa/

11.

~

.

~

-

~~

r~~~~

ad

~/

~

h n

7

~

.

~ak t!?~/ ~

~

d-&U

J

~7ad

/

~·

~

L7

~

~

r

1/

~ ~

r'

r~J

tJ)

-al?}.

~ +6;~ ~~

·

r~

~ ~

~lf/

1 _Mln

_{~ ~4dh-naU ~ _/~ ~~}

_{~ ~}

~/a-/i'4J'j/7.

f

~ x-124)

.~

~

.

~/

J" rd"= /1'/.3)

~

k./

~;L­

~:; ~e-n. .9~ ~

~4n~ /NH~ ~~

~

L;

.hl

~

.-h?

k

.

4·

/

M

~

.

~Mh?~ p~~ ~

~

z

:

.

.

... ··· ' IIORrA-,Z YDE / ....

···

....

-·

·

~~-~-~-~~~-~-~~~~-~----

...

-

...

-.

...

-~---~·-·'/-~-~--,

..

··

... .I 11 \.

f'~NTRiké!

: ... -··· 'ZYI>~ -···

_

...

-····---···

·

···

\

_~ 110/?iiiZ VDE

·-···

·

·--··-···--····-···

·

?;·5Ur-·

---r~

y

A VENT.qii(ELZ YDE

x

.

··

..

..

..

...

:, .

A

t~J = tt~J. tWlyi.~.K .~o ~ lf'J. ~t'pJ.

7

~ .t.,t?!·~:t

4ltd;

(~s)

(61)

.._, t ,, • -f. ( -" .,._

Y" /

""-"'1' "

t

,-d'J

.

"

_.;;.,.y ' '

J

(i

₁

J

. . . _.;;"Jif#) + ~ ....

1l

... ; . . ~ ,.·· · · · • "J

a

A'

.-é4m t'ó) -2~19'),.

-&t--

3~~-

{;_;

AlyJ= ~~~J~t/PJ~Jt:. -/- ~~"f'J~"f"')7; -/- :f:J'1'J-~~ rnd: -aR .-/liffl/ó) ~tfl~ -~lfP) ~ -étiffli'J)

t!d-.yJ

frtJ) f?)

~ ~~7 ~

-

"-/

~~ 4./n~

rhnh?

p n

7~~k

·

a!ud

~

rPdu

Á

~~~~.lfl-4/rh7 ~ ~~ ?'

.

k'

~7Y~~J.

9d

~

,a-n

k~7

/&#n

~ ~~~

/~~ ~

/~

-~

&

~-/,d

(/ÛH?

.

~).

·

:z

~

+~

4Zd

dj/û-n

afd

~ /~~nuuv~ot ~

-'7

.

hé

~~

~~~ 41~

&

~/~~ ~ ~

4

rdr~. ~ ~k/~n ~ ~

~ ~ .4~7-~

a-d:

-

:z

~.z ~ ~r~d ~d ~~~

-

~~

~~

~~ ~

.

b n

~./~ ~~

--

/ ké'~~ ~

~.w.::

~-~~/7fA/b, ~ ~ /á~

(.:h!l

~

..Pn

~~

~/-7'7

~

~ /~

/Jj~). ~apn~ -

~ ~~

/6-f)

~

~ ~·7 ~

/

M

~~aL

-

~~

-~ ~

ij·

4Wtm~-é~

tk/

~ ~

~~

.

L;

~

(;

~~/kt

7 .

9-d

~~

~ ~

?

4

~

c;

4ntd

r~

:

.

r .o ;

fT=o .

.

r

.

..i

r..w'""' _..:.

k

~""-..i

'""

a

~

On

7

AAnd

~

.

L~ ~.

t.f

~

.,r,d

~

-P~W

.

~ ~d'

é;.

/&

-~ ~ c~o

"'?

fj

71

;?Hd

(~5):

I .

~·(h;-

14,

~,).,. t/(~,-

tU,

R,):at)

.

~~) a~"

.

d?' . . df'

.ff.6

f!-~ ~ ~ ~~p.

b s

~d47 ~

~

~d-~vtUûk.

~

~~i'tt

.

~dl ~

~

~ ~~~Lr

₁₇

~ ~lm qt~J~

uRt

-1-

dtft,. -

l. ,6-,-lr).

~

- ()

lj6)

ot

a"

~

-"' 2.

f>ty) 1' i.J (tP.J)

,V~ ~?) ~

7

/??~

..

u

-

~~ ~á

..i4.

~d'a.

4'IH?

17~1

b1 ltt.J)

..m

t!t'I

~:

..!. .

et

I -

_,/~

.-é'Pm (/)

=

0 , du4

9 ..

;~.:-

#t,; -

i't,J

7

.

k

-.f-.u:t

dw

~7

-~ "/p"-~-~k ,"J'-~)

.-

~

(&'L)

-

~ ~ ~~

~

~

-

~~-~r

~

d~~Ud4!. ~

f?'J') .h7 (J'J)

-

~IJL)~ t.l~f?)~~:

~=4JN

~

tZfP ,;Int~) (6'6)

~~./~diL

·'t'Pn (tf*)

~

lfJ')

.-in

~&'~) ~

~

r~,/;"~

1

~

!lil): lfl/)

g~ ~da-tf

F7

4hhT

~ ~W?û~ûN7rr

.

.

~af/ ~

rr

~:

.R.

=

"[.!

~~(y}.{ 1~ ~/)-~-

.L

{c

1/_

tl

~-riL !.!-,l(.t".,~,.t'J]

.

~~J')

f J

~

~

r.t;J

. .

t ;

"".~

r

t ;

d~J

I

/f.. / . / _/

l

.ff.-9.1 .:;.._w==

.aai:...~=.:...=kh?~a:...:...-a

~e. ~/~/~

7

~

?~r

-

~ ~ ~

~-~~t1i c~ 4~~

.

:h

û

~

Al~ ~

~~-~ ~~-~~~-~~~-~ ~~-~*7 /fh1~~-~ ~~-~/~~-~~~-~

-

~~ ~~~nnT

·:

.

~~ ~~r

~

Ç

r

/Y~H

_,m

-

~~~~nh>r ~

$

k~

?'

~ ~

~~Pn~

~ ~ ~~o".

..

r

.ç

J

~~

~ ~ ~I! d~d. 0~ ~

-~ ~

.hP

~

-

7rh

k

Aa~

AP#

~

dk-4.

t:fn

~~~~~a-/~

~ ~ k~ ~

-

~

"m

P·?"

_

9'..!

-

~t.--~ ~a,--·7

(7

~

-,

~~

-

~~

~~

.

~

~ k4~r

-lll -

.

.

I?,{ Q" = - 0 ~ /Ûd.b.

c

= -

f;

h

,

~

~ ~-t'7 ?M~

'~

~

M

-

~-~~

r

·

~ ,4n~d

-

o/~~r

hT

f~~~

hf~~~r ~

-

~ ~ ~~.

&:n

~

~

~ ~~ ~WW, ~t:H ~r

~

;7·

~().

.··

..

··

t YE"NTRikéL - ...

-···_..;·~···

'ZYDE" ... .

~~~~----·--·T~---

---·-~~~~7~~r

i

ro

L '4/aj~{! ~~d

..

IJ..WJ

;.

.• ; '<:

~

.

• • , , , , , , , , , , , , , , ,

.

"

-;

\

·

··

::··

i

'

# , , , . , , , , , , , , , , ; , , ~ , ~; ·:·· ft , , , , , , , , , , , , , , ; , / , , , c;;·~' •" ' I I I , I , , , , , ; ; ; / ~ / / / / / / .. ·.· ... ·

,,,,,,,,,,,,,,"""""""/

, , , , , , , , , , , , , , " " , " 1 / 1 1 1 1 , , , , , , , , , , " , " " , " " " " / / 1 1 / 1 1 , , , _, , , , , ' , I / .t / I I ·1 / I I / I I I / I : . , , , , , , , , 1 1 , 1 / / / 1 1 1 1 1 1 / l l l / 1 1' . · "' , , '·" , , , .t ' ' ' .t / I I I I I I I I I I I 11.1 I I \) , , , , , , , , , 1 , 1 1 / 1 1 1 / / / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

J

, , , , , , , , l , / l l / l / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / l l / 1 / \ , , , , , , , l , l l l l l / 1 1 1 1 1 1 1 / / 1 1 / l / 1 / / . , , , , , , , , / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / / 1 1 / 1 1 1 1 1 " , , , , , , , , , , , 1 1 1 / 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , I , I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I 1'1 ·I I I I I I I ,,,,,111111111111/111/111111111111// " ' ' - ' l l , l l l l l / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , 1/11111, 11111111111111111/1111//1/ll / ' I l i l 1 1 1 1 1 1 1 / 1 / 1 1 1 / / / / / / / / / / 1 / / / 1 1 1 1 / f / l l l l l l , / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / 1 '''1111111111111111111111111111 I I I l i l I l i J I l i l I 11111111 I 111111111/1111111//111 I l i l / I I .I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ' I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I ·1 I I / I I / 1111111111111111111/111111111111111111/llll/ I I I I I I I I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / l / / l / 1 1 1 1 / / / 1 1 1 1 1 / / , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / l l l l l l l l l l l / l l l l l l l l / 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1·1 I I 1 1 1 I I I I I 11 / I I I 11 I I I I I I I I I I I I I I I I / I I I I I I 11111111111111111111111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111111111111111111/ll 111111111111111111111111111111111111111111111111 ,,,,,,,,1,111111111111111111111111111111111111111

&

~1"1~-t'~r-

;c,

.w

~~~~ ~

~ /~

- -.&..deT -

4

~-

rát

~

~v-"'

~ ~-~dt:n

i

~~ ,i;.~

.

_iahJ _ _ ~--~If~: I ~~= ~.---

---V'd

'7'~ 7d

·

~

éd

,r?n~~~

~r. ~

_/

_.

mie/ _

_m

...Raat!

~

t:Ud-

~~~

.kt~?-.

~7k-

Lû~

.

~d4-n~ A.ecdd~ud.

-?'~py ~

~~

_-?'

&~.

~~ ~/r;'n7

!i

-?

~

~

7'~ ,(~

~-tk. ~d

~/en~-~ ~/en~-~f

~J- ~~~

-

~

_d.uLr~r ~

~r

~~

~~

e4

~~-~ u~~-~7

.4/Pn

~

5n~~~á-r

~~P"-~~

4.1#1~ ~

~

/?Htdet~ ~

/

~~~/!..

zaa.~-. ~ ~-

~

dU4~

~/ ~r~

:~a2/-&-4

~m~

~

~7

''

-

rde~e

~~~·~·/-;t~n

t'c::

~rq!

/?WU .á

~

~ ~

.

~

~-r

./?n

·

9'.t

Á~t44 4~

L~~h?~-~ /???L~~h?~-~a-d 7L~~h?~-~L~~h?~-~nnL~~h?~-~L~~h?~-~

4ntN/H?

,/.-u+4-...

m.r

r

~

~J

/~~ad

r

.4 n

k~~km

.

~--~r-~

;%

~~~

~

~

?

k

·

~

tJd

.

r'dûL.

~ ~7

.ht

~/-tá, ~~

~

~~

7

~ ~~

.

~

k

~~

-

.

M

~

~

lf:l .-.

.-.!'

/7

-/

~ 7+.--;./~7'

?

.td

.

rp/"7"

~

--w

~

~

/Ji'h7

~ ~ ~

·

r~

-

~~-% ~~

~~ ~ ~ ~

-

~ ~

.

~'d'~ ~

t:&.

7

&

-

~P77d'

9Lb.

7

~~ ~ ·

,d~r~ ~

.

~ ~~

c:

h?

~

ek

~~ k~

.

~

(-i ..

l,/f")~.i-.l,tp)J ht(~.~~~f'),.L~;L_ç~p))

.

~

_/ _ ; /

~ ~ ~

A~~ ~

,U

r l

~

#j

A

~~

f

-=

~

r

ru~~J

·.

~ ~

~)

~

lf/

Nb?~

~~k{,tBJ).

%

~

~ ~,~ k"/~ ~7 ~~

~~~

~iÎ

nl

k

~

Ik

~~~/~7·

flat'

-

o/

.

."z

~~

'

tf

₇

4"~

.dak!

~r

~d:

d~

.Z ·

4tUWlL

.

~ ~ /7~

/

.

A'Mn

~

.4'1h1

~ ~"'»'"'/

.

/Hm

k

I

Ls .

tx

\

.

-iat~f~

·

atMa

\~7/,~

ll.t .lLt. Jl.ij

~~

-

~~d~~ ~

I -·-··- ·--- -- ---~ ""-- _... ... ... ... ... ... ""--""-- _... ... ...

-

---/ _{, /} ..,... / , / / , / , / / / /

---

, / / ---/ _{, /} / _{;_..,...} , / , / , / , /

---1~

""

~P4 ~ ~ ~

_.ç

~ ~

~~

~d

lf#=C) .h? "m

~ ~~

/l

(P=~)

.,e~D ·-·-····--·--.. ----·-·--·· R

x

.r=,__....__.,g_o:_ ___

~--

·

----i---

₁

-

---I

L...-....L---1

l

L---~--~-S-=±:::2~ ~ .... J -~ . 40.

I

C...--'---

-

----

---

~--

---

---

-

--

-

-

----

--•

••

• • •••••••• •• • • • • _• ~~~~~~~o~o~~~~~~a~se)'/lf

···-·

0 .t..t ·' . ····-···-·· ·---·· I?

~~

____ j_

·

--I

i

I I .1{0 D

I

C--:--

-

----

~

---~----s ·4 3 I •

_,

'-r

_{_,}

l t

.

.

'

4 •••

...

~

.

•

.

.

•

'• ....

:

'/

·

...

···-•••••• 2 l'.~o-p-o-;p"'.-o'"-;p.."..,o""4f>T'lo=OMn!'IDCIII:Q~"riise -z

.,

-·

.. -11

,.

I

'

!4 • • • •.

····~·

···-&+-o--p-o-~~D-~~o7~~D~f00~~~~~~~g~1.

lil·-·

'

-·

••

I

•...

. . • _:.~•·•-.

'

....

..

~ o a, oib ol:> o~

...

-c

-·

-··

-·.l_·

..

...

,

...

,,,,

\ ...

, ,

...

,

...

,.,...

...

..._,,,,

___

,,..._,,

...

,

_____

..._..._,,,,

---..-...-..

...

,,,

---...-...

... -...-... ... ", ... ~ .t,fJtl

'"

,,

...

,

' ' ' " ' '

''""'''""

... ,..._,,,,,~

' " ' ' ' ' ' ' ' " "

---7~~

i

I

I

' ' ' "

'''""'

·

''"""''"""

'"'""'

~~~:___---~

-.

,,,,,,,

... ,~. \.

' '

""

,

.

,

-...::

'

\. \.

,,,,,,,,..._..._

'·

-

,

'-

,,,,,,

... ".

· ' ' " ' ' ' ' ' ' ' '

· " " " ' ' ' ' ' ' " ' ' '

,,,,,,,,,..._..._..._,,

"'"'''''""'''''

\. ' \.

·

"-

'

'

' - ... ' '

"

'-

...

'

' ... ... ... '-...! ... ' ,Y,fll

, , , , , , , , ,

... ~ i "' " ... ' ' ...

~ ~f4.5

.\.

'"'

'-

'-

'"

... ... '\

'""'"''''

''"'"""-'''

,,,,,..._,

... ...

,,,,..._

... ...

,,,,

... ...

'-"

LJ~

!M41t:.

4</'a.M~

/f/Pt/2

~

/ln

,{l-~

~

~ft~ ~r

/

_!J'aa-1-s

wal

.~t?!_{~ ~~ ~} .

Oe..

.

t'~~

lj

~

cu-

:

r ·

''"''""''

'''"''

\

\.

''''""

'''''"'"""

\\.'-'-'"""'-...~

\ \ " - ' - ' " ' ' ' ' '

\\.'-'-""'''''

... \ \. ' ' ' '- ... ' ... ..._ "-.\ / l.()rg

, , , , , , , , ,

... ...

,,,,,,,,

... ...

,,,,,,,,..._,

''''"'""''

'''''"''

\ \ \ ' ' ' -

~.J

\ \. \.

'

I

YENTRIKELZ YDE

)( _..

..:..

x

·

.

7:1

tf-fs

~~~~7r.~=~~i~~ ;I~

_.,

..

_,

s

•

'3 • • • • • ·J ·2 ·3

-·

·5 • •

....

~

... ...

. .

···

I • • • • •

Jll

.

'

.

.

..

•• .

.

.

. ~

. .

. t.j • 1 i J,., otoöfb 9 Ît . t o .t o.lo ,;J., o'b a 0 _lflt·l ~lJ '-4

.,

· I •U

... ...

, , , , , ,

...

, , , , , , ,

...

, , , , , , ,

~ ...

,,,,,,

__

..._..._..._..._,,,,

__

..._..._ ...

,,,,,

__

...

,,,,

I

_____

_

... ______ ,...,_...,_,,,

... ...

______

... ... . I' ...

- --._-..._-..._

_, .!.

AJ&' - - - - 7" .

.

..

Z:l

...

,,,,,

...

'"""""""

_{'''""'''""'""~}

''''""'""'"""""

'"""'"""'""''''"'""

""""'""'""''''''''"

"'""""'""'""''''''

,,...,_,,,..._,,,

... _.. ... ( .... ~ ..5;Lil#

·r

·

·

... .

' ' "

...

,

...

'

...

,

...

'

,,..._,,,,,,

('

' ' ' ' " " ' ' ' '

_...

_,,,

...

,,,

...

,,

...

':---,,,,,

"""""'

"""'"'""

_"""""''''~

" " " ' ' ' ' ' ' ' '

' " ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' "

,,,,,,,,,,,,,

" ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

, , , , , , , , , , ,

....

,

"-.,." "-.,."-.,."-.,."-.,."-.,."-.,."-.,."-..I J;f~.:J

" ' ' ' ' ' ' ' '

L~~ Z . .t ..:Jo" -t,tl .t,5.YJ 4-,0tj -tJ,.:J..:Jo6 -tJ,S.JO.l ..:J,..S ljZ

-'-'I'

·

Z...3 ...d.5c

-"b'

_{--.:1:0.:/.3 ~.15~} -tJ_,~-'/$.2 -~.J0-/6' J,fBJ

*

.Z.t

it~" -1;6' /.~i ,Y.So -~6'

.ll.t

.!.l() _-~tf .zz.~ ..tJ!" -..?,5 .11..3 2..l" -5 Jl~; ..t ..t" -10 rk

ddf!~k ~?

t>d

~Qa~~r

.J,fÛ; /,t91~ -P,It~t ~IlO~- .Y,f11

lj,f~O

J'.f.!b

-tJ,t1'5fO t;.#t'J~ ~otg

..l,OS;7 t;tfl - (', .$0f6' -tJ_,S.LB~ ..I,?Jtf

J,-'/ltl J_6'.5.5 -O,...J~t 1 -tJ_,56.ttt J,...J9i

I

..3,b9;7 tf,t9!J9

-o_

99-U -11,.1~16 .s_~otf

t,~JI 0~..t -~,..t,Y.4 o_~lfiJ tf,ft13

~ ~

~u.u~d

7

~

{"

(/a~

.z)

/f

·

l..t . .h-1. 1.5).

d~~2·!!r--i--?_;_ A~

_dt4t!~z(~a_4f~,Ji:-~-!_~-'~L:

~

·

&Uu-4'z~r -~

-ld

~~ ~

~ ~r~a'#7 ~

/~

t:&·

~4'z~r

.

~ ~

dH/

7

1

~

",m

~ Ld

.

~

~

k

~~~r

-:tt~q_~~?--

_ç __

?-

A~-~~~~

_f~.ï_,-;f.;!:~~_t-tl_!

~ ~daf~bt

_.

/~

M

~

~

~

.~ /~tt--n

*

~

r - 6

~

~ 4n~a~ /M-~~·nn7 ~/~d ~~nu~

&.&

~~

/

-

~

. .daá ff

/dalt!

-

~~

~

~

~

~~

k~ ~

faa--M

~~

~~ /~~~d

~

·

-L,S<a<-~J'), ~ ~a~~

/;1-'.v.

~ /~~

/~

4/tn.R

k

~

-

~

k

~'a"'~

-

~

'*

~

~dJ

Ái-'o/-~r-

_{_

L~

!~-/fJ!~~it

*

~ 4h~ad ~r~~~~mr

7

~

_

dd

r~

~~-~r

*

.&

.-,...,.;"J

,~i1"'

...

·-r --- /""

~ .-...~

*

~ ~~ ~

~ r~

~~ ~

~ ~~a-d

~-~~

A.'tnaf/

r~ 1.~?

i

Ä

~

-

~~

~~~

-~AtZ-nd

~-L

~

/l . I

*

á.&u .

/~ ~

j

~

..maa-t

~ ;t~ku~

*

~ Af~"""7d/r

""-

/~

~

·

- . d

~

~

kt'aé'á.. .

ff

.

.5'..1,1

w-flj%-

~lffl/u.U~

=

*

~ ~~~~~ ~J .A~

-

f~

~

-

~

./

h~7

.47h7

k

~~.~IK'~ ~ ~

-

~~

~

~

.

~d/

*

~ a4+~

~ ~ ~~ (~fr~h?j"~

.

~-4 ~~~;

7

~ ~ ~

_

d~ ~ ~d~~r

~

/J;r-

~; ~~

..a

~M&z t:á~~r ?/~á-,

_.,.;.,

,id.

,.-?ntr-4/

7

~

~~~~-~

.

/~7.

*

~~~~dü..J Á~

A'Pt't

~

f

~ ~

-

~

~

.

~

4W&

~-~1»?1~

I

a.nr~

J

tfd-~

kM

~ 4?at"'~f-k

--

-"4-n/~ /~

~

.b-7

~­

da4j~ ~ 7~

7

-

~~

/

~

.

k7:4

~

~~~ya.r-~h?.

Zl.g

0kJ'~.

f)

1-

t4:

~~

/Prh4

~ Á~dy~~p~kr

Al""

Û~-1'/~a-~

_....,

~ k:.;~a...." 17"""~

-".,/-

_,~

?'

-Pn

~/ ~/.-cJ>

tl.

a'J~M?

4

d.Jtn~

/

'~7-'/~~ ~

J

~ ~

l

daa/4h!

~

,

"&

~~.ut ~

. /

f?

M.

-

~

,

~h"7/ ~~·é

/

.

/

7-

~ fUru~/~

.

~

~;~a/.:L

-

.

~~

.

.Z}

~ 7~~/~k~~

7>

v&

.

/Vad~

.

~Ûd4~~ ~~~)

.$1tdh1

~

~

/IVPZ

t:án.

J)

~ ?~r

-

~ ~

-

é'MN~

.

Ár~~p-~Á/

7

/?nN/h'l tff?~t:'e,& ~k

f

f!P- ~~a~;.,n;?.:>~

!}

.

. ~ ' ~

4)

~~ 4an~~At

(

..:p~dk

-

~

.AP-nt:Ûn

J

'7

~

h~t{;-/kuh 6)

?~

4W~

r/~á'

_{~~ ?~Qh,}

-

~r,c<~

/

__ /~ 4./'t:nk ~ _~

~r

a{d' ~ _c;&

tke?uu&

7

J-~~

~~.

t)

~ ~

c

~u:e. ~ ~

~

?'~.Hnaa/.

~t6n. ff.ttJ

z

~tUt

.

1

*

$,/,V.

tv7~ ~ ~~~/

.

~

.

~

-

~dû.­

~/4 ~ ~~ ~..~ ~

.::4

7;L

~~~~

*

.

<;if~u.:SJ~/4-7 ~L.,J ~ ~ ~~k

..

>f

~47 ~ ~ ~~7

?~·

i

.

... :?

...

~...,~

,

-U'a-#7

fo?

7~

...

7-'~"r ~

AL~k:d ~n;/ ~

~ ~ ~~~ ~ ~

/~

~Jn ~ ~

k!

~

7-

~~

~~

.

~

.

L/ad&

At:~n ~~

~

Aan~M:UU~

h-~~1/

,h .

~ ~ ~~~

·

~~r~ ~~

~~ /

₇

4~ ~4

t!d

~

7

.

~

z.

{1)

(77

~ A?n~). t~ "(~~· ~/).-t.

"".t/-

R~=

o;

~ ~~/.d~/1-·"7-

.--m

t.

~/ ~~

-! =

-.tD·7:t/-t/.~7-(~?~~~J.(:tD~-R1

~L ~-~ ~

?

~

.

,

/JVa~ ~~

~/ ~~

7

~~~-A./-4dlá

..Pf

~ .BC

I(,~., ~

R.

--"J·

1?/

~

/?

~J

(.5)

á

~~~

7

.

A#?~tl'C;/é

·

. ~ ~~

/ n k

~

~aa-t~/.;~

~ ~/~~

A!'n.4-t •

~~/ ~

.

/&~

. .-?:/

~- /7~ ~~/·a ~

7:r

~ (~-d~~~ ~o

_.

wn

4

p7~ [~...t,r)

~~i/

~

"'.r

~ r F · (Ja I

> ") .

.-z"'-,

/iZi

1417/

a

l!!.?f

.J~c

=-=

~,5'

/Vl'J/

/k~i! «~

$'

/•~-'--!> /a/~;..;:,~.

~

~

/

k~~ué

?T

-~

.

7/

-h7

4?·h';,~

/

~

-

~/ ~

~ t~)...

1.t

éf>).

7/

r d,"f.

~lfP)= lf.fa.~r""/~}'.,.t?-a-1} .

.

47n),)

\-

-71.,.~~

.

9.4l.e

.

~a!~L-'7"

//áh,

~~

;t<Ja/~..t_69

Pz?rtt

a/&.

9'

~~

I a/>

~63

/PP"Pl 'a

1/e

.

fP

/??U"h

-

~

Y

~ ~.t'5"

•

a - '1 -+---::k---+--~; .t-1?~á

z

%

7

A~~n

L';

; n

Ç

.7

n-

~ ~j~

-

~

~

/

-7

-:

k

d

-n

k

/

/»~

/ ~

Á:w/

,6:;-r,-

;

·

:1.

f"

~

.

/'"'

-L.

j

J.

g?

k4j

7

~

~

J4-?7d'

4

~~

.

.-aa7

~

~

-t

r

·

-7L

~~ -1_,

-t f t . t st

~:t ~

~

~

7

_,

-j

-k/

t-tJ . ...h7

~

--t

tt:

;~

~

·

lj:iinl

!""

.t

.

7J)

_4-n

~·h;,

~/

Rri~

.u.

/~

~

-

~

f'

=

.z.

:J

er.

fd~

:

"jje

/

:

d~

1.

~7/

~

a

-f?

4il.ul :

1.

~

f'

=

2.

7

J.

~

Ü~

a-

é~ ~

:t

;7

-t, .. d .,.f.

icf

~ t-9')

=

.t,t'f>) •

2'e

.

--lt1H?~4m

t:;

_h,

~

.

~~

/~

.

k..tu:e~

--

~~

4zn

/

~/ 4/,_~/'

(6')

~dé ~ ~

~;tf'il' ~~ ~

dk/e--

·

7·

~

·

&-A~/~/r-nó

*

~ ~ ~

7·

~i'?? ~J+

.

.

~

~ ~~4!

·

~ ~~

/

k

~/

//Û/

"

x

-

..t•

=

t!l.l?

o'

11

r

/7./~

o'

~/

??-.r

~

~ ~/7

d~r

.4 # n

k/

/I/~

.,.,..;. ,hT

/1

~

~ f;~~

?

~

+~

Af%~y~J-

---I

--L--

---I . /

__

_

,....,_

--.

--. .

,,

f( . . \

-·~-

.,/

. /

""

""

.

-- --

---r---

H~RT

---~

.

-~

..

k~~-t<.. /1 ~~/ 7:. :

/?.

~d ~(1~

·

; .

-~t;:

R.

~J.

/

/#

, J .?;" ~

~~z ~J. ~/

!l!rld -~ (ó') (9)

*)

~

~

=

~-I?- ~~ .?m~r a~

,U

~rr ~

~~

~- ka!:maa?!

_..m

a~~

,/hn/.

~

~ ~4~~

,ÁJ

~

~

~-.~ ~ ~~

Ad

A'UJ~if" ~

k ,

~~

?

~ --?4"'""~~~.

tu.- -- ...

~.

---~~-. At?)= f:té?h:~~tf'J~~ .,~- ~é9-J ~t'fPJ~ +.J.r~f') ~.t

;r,d :

•A•J-

,f.

{-a~ 'I'~ ~<;Nf'-"'1

Am'rf')}

.~ ~tfP) ....

M,.,....-9')

~(f'l•

I?.

{a _,;;"<(fP}

~ ard'~ttf) ~~lhi'VJ

.;.{,-aJ}

,;m ..

~fP)j

",;m.-c"J

.,~ ~~~CJ?

J,l?):a 1,1f')t»-1o/)~A;.;. ~,/")

4int')7

~ :t,t'f'/~4

lhd:

t,lfP)= a

A'

-éan(d}

~(~)- ~aná). ~éj)

~ifJ""

!Jif'I

~t,J ~..t .,. ~é?J ~/.?')7' .,~- ~Jt?J~.t.

~: ~tf') =

-aR

_/.-,(.r)

at

tl

=

t fot

v:y

rd:

. I

ft .:: äJ:t(fP)

~~

.J.

~t'p>)

7

.J. M-la.nf!J

~

J

. _

(6):

.

'*ju=~

y;;/Yr=

t.&;/,_f'=éJ.

tl"-= -

t 4'mrpJ ~ .;. t ~tp)?

~

₁

=

Jft

=

g co> (

1,.-t.~)=o) (~1,/fl')=~

01.

(~J): ~fP

·

-=

Jit

=

-~l'~~x

+Cd

lp)~~ ~

(

1;5',/t

)= 0;

f/,y,/

1, ) .. t PfP tr

-4"=

:~

= -

t

CfJ:JtyJ~x.

-l

~(f")~

=:>

(~f'' ft)=-~;

f4j'.J

t,/., ()

(!~

fa *fse = -

~t?J. ~c;).~

-...-&mlfP).

~9')

.

~ ~ ~f/J~.t

v't41rG"J

7

-/?!

~ (ft~)=

--1;

f/!.,)::o;

(/,~r)=o

j_,.f/..,?!)·~

tr

= (

~f'

, '?!)

=

o

.Jf'f' .:: ( /Yf'' ?/)

=

t t:tn9")