Golfgeleiders gevuld met een anisotroop medium

Golfgeleiders gevuld met een anisotroop medium

Citation for published version (APA):

Jeuken, M. E. J. (1962). Golfgeleiders gevuld met een anisotroop medium. (Technische Hogeschool Eindhoven : Afdeling der Elektrotechniek : rapport; Vol. ET 3). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1962

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

; Inhoudsopgave.

I. Inleiding.

II. Golfgeleiders gevuld met een an1sotroop mediW'l..

III. Golfgeleiders gevuld met eerl an1sotroop en inhol'l1ogeen medium

IV. O'nderzoek naar de eigensehappen van de' eoeffieienten

A. nt ~11 nt

em

n en Dm n in het anisotrope. geval

,v.

Een drletal toepassingen van de theorie:

§ 1. GQlfgeleidersgevuld met een plasma inaanwezig ...

. .

blz. :

-beid van een oneindiggroot axiaalmagnetiseh veld -13 .... II 2. Golfgeleidersgevuld 'met een. plasma in aanwezig-·

;..heid .. van een ~lein axiaal magnetiseh veld -15 ...

. ' .

II 3. Golfgeleiders gevuld met een plaslla zQndt&r axi,aal .magnetisch veld •.

vi.

Li teratuur Appendix A Appendix B '. -16--16~ -17'!'" ,

-17-- 1 ...

I. Inleidillg.

Door Mareuvitz, de Hoop en Tirtoprodjo (lit. 1, 2, 3) iseen methode

aangegeven waarmee men. golf'geleiders, gevuld met een inhomogeen medium, «an behandelen.

De methode komt hier op neer, dat de" transversale eomponenten van de veldgrootheden gescheiden worden van de longitu4inale. Ve'rvolgens 'worden transversale v:eetortuneties§ en:!!" ingevoerd, die ontwikkeld

.worden in een reeks eigenf'tincties van de lege golfpijp •

'"""

...,;

DQs

t.

=

L

a n ,!t.n

,:If

=

L

b m h 11\

n:1 18=1

Het probleem is d.an teruggebracJ:tt tot de bepaling van de eo3ffieienten an en bm•

De an enb. worden berekend met behulp vanenige lineaire algeb~a.

we zullen au laten zien dat de boven aangegeven 'methode ook gebru1kt kan worden'voor de beschrij't'ing van anisotrope media, zoals plasma's en ferrieten.Menmoet dan voor de t: en ~ echter wel een. $peciale keuze 'malten.

II. Golfgeleider,s' gevu'ld met ean aidsotroop medium.

Besehouw e~a medium met anisotrope eigenschappen. De dielektrische constante is

nu

een tensor ~ •

In pralttisehe g~'9'allen heef't _E- de volgende vorm

= C. ₁ j E. ₂ 0

E

= - j t _t-1 0

,-

2 0 0

_{t ,}

t

_{i ,} E

2 en

£,

zijnreeel en frequentieafhankelijk (li't 4). Voorde magnetische permeabiliteit kiezen we de vOlge.de tensor

· U

. ' 1 j f i₂ 0

,~ ₌ "'j~ _{2 #1} 0

,0 _{0 ' J,{...}

2

-De frequentieaf'haakelijkheid van ~1 ,.P{.2' en.p..:5 is te vinden in

(lit

5).

Verder .zul.).en de volgende vergeUjkingen worden gebruikt:

v

x

l!

=

jl.V~ Aan de vergelijkingen

V.D

=

0 V.B

=

0 automatiscJ:i~ovoldaall. D = E: E

....

:::

..

B = tL H . / -

-is dus

We splitsen nu de vsldgrootheden in ·een transversale en een longitu-dinale co.mp,onent. Ii

_=!t

₊ a H

-

-z z B _{= ~t +} a

B

-~ z D _{=~ +} a

D

_z

-

-z a is de 'eenheidsvector in de z-r1.chting. -z

Ret blijkt nuttig te zijn ook de E en de~. te splitsen.

= ~t +~z

t en § z hobben de volgendevorm

c",1 jc.. ₂ 0

t I : - j E. 2

c1

0

•

.. 3· ... 0 0 0

e.

.= '0 0 0 =Z 0

_{o •}

E

,

Analoge uitdrukkingen kan lieD opschrijven voor~t en ~~

Nu gelden de volgende relatiee:

12t ::

( S"

_-E). _t = ~t.!t B - t

=

~t - -t It D =' (~ E) :: e. E z z 3 z B

-z ~H 3 z

In

appendix Awordt de volgende belangrijke eigenschapbewezell.

We gaan ui t van V

,x.!! ::

j W

.!!

d 'tit

=

V - -z "(). a - z (V t ~ +.!z ~)

.

. a (.!!t +a _-z ,Ii _{+ a} en definieren nog H ) z .:: ~Ii x t

V

t

)(; l!t

+ 'Vt )( -z z . fit

a

_z Sca5:aire vermeDigvuldiging met

.!z

geeft

j to D

. z

Vectoriech vermerdgvuldigea met a _{, -z} geeft

+ a D )

-z z

f

cl!t) __

a X . 1f

t )( a .Ii I + a )( - j t..IJ (~ + -zaD ) X a .

-z -z z - z Q Z - " z - z

4

-Evenzo

a _{• Vt}

_X!t

<= - V . [ a X

!t]

=

- j "<J.fo₃ H

z

' t z. z

Met behulp van (5) wordt (3)

""d

_!t

j (()

fa

X _{- Vt [} 1

• [~z

_>'

!t}

.. - : z :Qt1 _{jw? 3} Vt

oZ

-z " Evenzo d

!t

- "

J

- -_{' ( ) z .} :::: - j _. t()

L

_-z a X _B_t { . 1 +, Vt j 1U~3 Toepaseen va. (1) in (6) en (7) geeft dan

-~ H

- t

---'=

'() z

Na differentiatie naar z wordt (8) en(9)

In appepdix B is aangetoond dat

1

=: V t >< V t "

'!!t

£. .3

.

~ mag een funetie zijn van de plaate. 3

.

.

(4)

}

(6) (9) (10)

;; • _.> :' 5 -Dan is

~!t

'

. [

1 } a '} "d :: a )(. jw #t [ a, )t'

1!..J -

a I( V t . j, &.. Vt _[a )( Htl - z z z .,. - z' -" ' - z ,W - ) - z - 9 1 ::,!z!i[ '!z]l j~

!t] -

v

t'" .jleJ

e

.3 v t x

.!t

.

-

jlV M..

a -

V t }lj"" c.o E. ' f=i:t-t , .3 1 V t){

!t

Subst1tutie van (12) in (10) geeft daB

()2.a

=!

'd z.l. . 1 j

(j

H - V)( , " V t " :: . tc§t -1O~t - t t , jl,.Of,.3 '

-tJ

a

t

~

[ . 1

f'

,

1 - V t· : jc.o.P-.3

v

t •

-jld,~t!t

- Vt'}C . j 1c1£.3 V t "

!t}]

1 ' 1 1

:: L.O ~t~ t !t-

f

_t V_{t )(} e.3 ' tX

!t

+

v

_{t fo3Vt ·1tt}

!t

V t j

~ ~

3

v

t • V t)( j

~

e

.3

,v

t )l. !t':: 0 oadat V t • V t )( :: 0

Evenzo vindt men

'"

<iJ E (12) (13) _ _ -t.... t. E ' , 1 ' 1

oz'" ::

W~tft.=t

-

~t

V_t >"?3 _{Vt" !t,+Vt}

c"

Vt

·~tEt,

(14)

'Ala het medium 1sotroop is wordt (14) ell (13)

r_B ~ H - t ,. " - -l)--.z.... :: to ... £. '!!t - V t )t. V t X

!t+

V t V't • H_t z <.

() !t

...,. J. :: to l'/v!t - V t X. V t)f. ! t + V t V t

-!t

Q Z '

•

6

-Menz1et gemakkel1jk 1n,dat dit de bekende Helmbotz vergelijkingen zijn.

Uit de vergelijkingen (13) en (14) zien we dat de methode van de scheiding der variabelen kunnen toepassen (z1e lit 3).

We stellen dUB

Scbeiding der veranderlijken laat zien dat

l.

d V

d 21"&

_ r,z

V :: 0 ;

a.

- r,

1= 0

Omdat de modes van de idealegolfpijp een volledig stelael vormen gaan we

g.

en:ff ontwikkelen naar deze modes

c.<>

Bq

Dus

e.

(x,

_'1'>

=L

a e en

n -D

n

;;It

(x, 1)

₌

₂

"'" b _{n -n} h ~q (zie lit 3).

n

We substitueren vervolgensbovenstaande uitdrukkingen i.n (8)

:/{;'dI CI j «)

f

t [.!z x

£

v]

1 1 -[

azx~

v]

-

-

-

dz

-

jt.O Vt - V t ""' 3 (.;I

={

jlo

~

t [

.!zx

L

.

~

1 1 . [ azx

L

.~~--~

,... 'jt:) V t ...P'.3 Vt

_.,.,

a n -n

e

1

n

.4

... = JIo::. t { • £ V? t . h

--Lla

V

--L

v

_t • h.

n}

V ::~-11 jl.o 1'1 t~3 11 (16)

}v

· 7

-Dus L/:>

-z

b h n -n d I ' [ t . . o , 1 '-0 1

:r

-

=

j w

>:a

E. h - -

L

8... V_{t - : -} V_t •

!in'

V dz L n '" t -n jl.o - , . .r-3 ' H ~ n

~e passen nu op beide leden van de verge1ijking (18) de operator

j

h ll• • •••• agtoe (zie'1it 3) D

• (·'0

1

n D b h n -n dI ~= ;...0 .(18) ,

...,

l!m·l

_n an

h

.!In + j

~

J/

ila· {

an (-1) V t.,;!} V t D DUB c.oO

.~

t

~

+

j~

lh. ·

It

0, p grond van het feit dat ,de h _-n '8 genormeerd en orthogonaal zijll vinden wenu ~. b.'

!!

={

jw

~an

A_JIln

~ j~ L~

an

~

n} V n

ze,..C

y...

an V n

De bete,kenis van de ingevoerde 'gro'otheden is de volgellde

8

-Am

~n

=./1

1;. •

ff

t

11n

dO

D

h _{I l l ·} V _{t -} 1 V _{t ·} h.' dO _'.

~3' n

Op dezeltde wijze vindt aen. uitgaande van (9)

.De volgende definit:ti$8 z1jn gebruikt

, , Z m n := jw C. II n <

d.

»

=

:.r.jJ

D

--jj

D 1 +~D J to II .n e -n dO 1 _ . V h dO r t • -n

<-:;

Men kan bewijzen .dat B

m. n

=1/

1 ~ {V t e·

.11n>

(Vt • h.) ·dO /~3 . .... D (zie lit 3)

I I I . Golfgel~iders gevuld met .een anisotr.oop.en inhomogeen medium.

.

-(24)

(26)

We zullen onze besehouwingen nuu1tbreidentot anisotrope en inhomogene media. We -nemen aan dat ~, t .en -{f- t funeties zijn van de coordinaten

x en '1 van het dWarsvlak D. n:etzelfde wordt verondersteld van i!. 3 en

...-£V:;. ,

Dus

1:.

'.

,

J • l 9

-Het medium is uniform in de z-richting.

Het betoog in hoofdstuk II is zodanig opgezet dat het in zijn geheel toe-pasbaar is op een anisotroop eninhomogeen mediWl1, zoals ~ierboven

gedefinieerd •.

De verifica.tie van deze stelling wordt aa.n delezer overge~aten.

,

Met dezetheorie kan men nu golfgeleidel"sbehandelen, die

slechtsge-deelteli.jk met een anisotrope sto! gevuld z1jn. Men moet dan de integraten die de coeff!l:cienten _. A _{m Xl} etc. bepalen sp·.litsen.

In het verdere betoog zulleIi. we ons beperken tot anisotrope media.

IV. Onde~zoek naar. deeigenschappen van de coefficienten Am n,Bm

It...!.!..

c ...

D in het anisotrope seval.

a Xl

Voor n kunnen we schrijven

-9_n III 1 B ; ; -n m. ~.}

JI

D We onderscheiden nu .} gevallen· 0

a) h en 11. behoren beide bij een

T.lI

mode

-m -n

b) h of h behoort bij een '1' M mode

-Ill -n

(f) h

-m. en ·-n ·h behoren beide bijeen T.E. mode. In de gevalleil a en b· is B ;; 0 . omdat V

t ·· .; 11 q

nm

Het geval c verdient nadere aandacht.

B nm

jJ

D p • h dO· -D l.

P

V h t-D ;; 0 ;;

..

" - 10

-~JJ

p ::2 P V )f. 11 fo ::: h • V 11, dO w.egens :::0 -m t -l'l t -a D Jo 2

f:

ktf

p V_t

1!n

= - V_t ::: a .z fo 1.

r:

_{_ k l.}

/J

V t -n 11 :; + k c Vt ::: c -n h 1

IJ

It> J- l. 1 .t

I

Dus B : : : - _h • hm k

--

k nm _./"3 -n c _./"3 c nm D

(

11

is het Kronecker eymbool. n m

~

::: 0 nl:- m •

(

::: 1 n

₌

m

n m .> n III

Voor D kUnnen we schrijven

m n D m n 1 : -£3

/I

D

..

Ale een van de twee of 8.1.1.e twee de ~te hoort bij een T.E. mode is

D ::: O. m n

In het geval dat e _-n en -me beide bij een T.M. mode horen \vordt

D _{m n}

In sommige gevalle~

_.

is E:t ::: /"1.

=

0

Dan worat An III ='

CIIJ!!n •

l!m

dO :::

e,

D

C e dO

~

r

_{n m}

n m =A-£

. J/-n.

/Ie •

-Ill n m

, - 11

-De uitdrukkingen (27) t/m(3Q) zullen in hoofdstuk.. V hun toepassing vinden. '

B ,

=

-1...'1/"

("t • 11) ('It' • h )dO

11 Ill, J.v3

j, ' '

-n .' ' -".

.1J

' .

Me, n.zietol'llll,id,deliJ')i dat B

=

B

n.llt "m n

•

Op dezel.fde wijze ',bl.ijkt dat D _{m n} - D _{n m}

Vervolgenszoeken wehet verband tussen A en A

n m m n A II n

,=//

,

1!m •

~

t

An

dO D ;

=

Jjf!!z

X

~1·[~

t

-z ..

a.x

'!nJ

dO D "," =

_/J[!lz

X

.!J.

[azx

ft.!.n]dO

D

• £ _{_} t _-n' e dO'

o~ dezeltde wijzeblijkt da.t

h 'dO

-n

Laat. d. _{. "-n,} coo:rdina.ten _. e _nx en e, hebben.

~' .

. Dan. is

f.

t ' e :: (~{ e + j

Dus Am 1'1

~

£,

II

(.!a t D. D A

=

A .. m 1'1 1'1 III 'C _mn,

=

C _1'111 • D = D m 1'1 1'1 m 12

-• betekent complex toegevoegd.

e

J .

.!...) dO . -n ..

D

D

, ,

Bovenstaande relaties gelden aIleen als de fUBcties ~ en ~ reeel gekozen worden (zie 11..

3

bIz

9)

1 Uit (24) voigt Z

=

j .,.'1 C + -1'1 III " V 1'1 III j w 1 + -jc.o Dl!. nm

z •

11111.

=

(j

we·

nm + - - -jw 1

D

1'1m •

)

= -

Z _{m D} Dus

_z

_{m 1'1}

= -

_{Z • 1'1_} Eve"zo

YIA

n

= -

Y

n ,;

.'

13

-De matrix die men meestal nodig heeft" heeft de ·volgende vcra'

of

(zie lit )

Men kan gemakkelijk bewijzen dat

Dus A1 is Hermitisch.

V. Een drletal toepass1ngen van de theor1e •

. Beschouw een ronde golf'p1jp gevuld met een plasma. Laat het.aangelegde magnetische'veld Bo oneindig groat zijl1.

Dan wordt ,

.

.

. Eo 0

fo

~Jl

E

_t = _{en ~t} = ' = () _{t - 0} -s..; ., 0 .l. "-'" ,

.<5

3

eo

(1 Wp ) _(zie lit '4). = u.. ₌ -~ 3 ' 0

De coeffic1enten krijgen dan de volgende .orm.

Uit

(27)

en (.28) volgtdat er alleen zelf'koppelingoptree4t.'

Stel dat we aan de ingang van: de golfpijp,een TeM. ,mode exciteren; dUs

a I ,

F

0 an

=

0 n ~ .2.

Dan is B :: 0 en

nm

'Vergelijking (60) in'!:lit 3 . wordt nu

- 14 .;.. ZI/ j t.j ~ 1 1 K.2. !~

=

+

-

-- _ 0 ,-

Jq)

_c3

c

\~i

:: _j tJ ~CO

r1.

:: j Eo f. - (j "'fo 1 1 Kl.. ) + jw

-o 0

_£3

c

u/-

£0 Xl.

=

_{- £o.,/"o} +

--e

₃ c (38) Als K L

=-

lol.c o ./"1) wordt (38)

..:..a

( r"

_{.. K )} .z

₌

K.2.

c

0 c

.

2.. • 2- L - l.. Wp Dus K

=

(f _+.K ) (1 - - ) c 4.lL

D_e formule (39) is reeds eerder gevonden (lit 4).

.

,

Alsmen aan de ingang een T.E. mode exciteert wordtD = 0 en BM -m ::

am ....

1 : :

-In

dit geval vinden

we

r

2 _{-1 1 J.}

:: (j4)

eo

+-j'" - k ) -jl..>.-to

-v ...,tvo c

Ot

r

!.-+K 1..' _-=1£ '1-_c (40)

(40) laat zien dat een T. E. motie niet ion wisselwerking treedt met het plasma.

Een T.M. mode doet dit blijkens (39) wel. De fysisc::he verklari,ng van dtt verschijnsel vindt men in lit. 4.

15

-S

2.

_!!.o!t.!e!e~A!.r!. .!e.!u!d_m.!t..:~.!.n_p!a!!m~

!n_a.!ll.!e.!i.sl:l.!i!

.!a.! .!,e.! ~l..!i.! _ .!X!a,!l._m.!g.!e!i~cl!:

ze!d.!.

-In deze paragraat veronderste~len we dat het axiale 'magnet1:sche veld klein

is. Dus lO is ltl.ein. ' c

"C

= t heett nu de,volgende gedaante

Eo

c

t

-€~I

met ;:

-

t 0' , 1.. Co, wI'

= 1 + - - - -

=

£ (1 ..; w}> , ) o 4.;)1.

(zie

lit

4).

Bij excitatie van een 1'.M. mode aan de ingang Tan de pijp blijkt de

voortp,lanti~gs constante

r

de volgende vorm te hebben

Dus 1 1.. + - Ie

c3

c 1 j c.> )

I . het geval. vail een T.E. mode wordt ,gevonden

De.door Trivelpierce'(U.t 4) iagevo.rde benadering is

/ r1t»

l..J2

e, /'

~

(41) .,o,rdt dan

E1

-

e

₃

Eenlo

-I'

diagram v~ndt men in (lit 4). De relatie (42) wordt door

Tn velpie rc e ni et gevonden.

(41)

(42)

. ~

''., ,,/

-

16-In dit geval is w)¢

=

o •

Met behulp van l.it~,4 v,indenwenu

e

1 ::

e..

3 :: £ ₁₃

De 'V'QQrtplantings c'onstante van 6en T .. M,/'Iilode is nu

, '

.

t . , ' L

= ..

t.J ~./"o + ,K c 1 + - , jlO

'In het T.E. gevalwordt' d1t

VI Li teratuui-.'

....LKl.)

E c _{I '}

1.MarQuvit~t N' "Waveguide 'Handbook" .'El-J 5101

\ . t ~

2. De Hoop, niet' gepubliceerde aiulteke~ti~eJl.

.

'

(44)

3.

Tirtopx:odjo, ~s. uG:»lfgeleiders gevuldrmet een inhQmogeellmediumn

(inter,~'rapport). dec. 1961.0 .

4. TrivelPlerce(,A.W. Slow wave propag~t~on: in plasma,waveguides •

. Teehnical -report 7.Califor~alns'titute of Technolog,

Jeuken.'H.E~J • Propagatievan goiv~n in golfgele:iders'~ gevuld met

.

~'. ~.

e:1t plasma!>', Intel'nr.pport .. ,jan. 19620 , ~: .;

.' I

5. Van T~:ier. A'.A.Th.M. "Magri., ~albl~iter in der Mikro.eiien~echniklf

. Phy8ikerta~?lg.WiesbadeD 1960.

"

.. 17

-.

.

Appendix A.

Neem in het dwarsvlak een reohthoekig coordinate.stelael aan

a x E. == - a 'E + a E -z - I I I -x Y -y x _ j

e

2 ~~derzijds is 'IE: i 1 c. E =t - t == ==

e

1

,.

j _[.2 - E Y E x == E x == E x £' E + 1.x j

e

2 Ey - j e.₂ £1 E _j C ₂ E +

e

₁ E j _£2

[.!z

x

~t !~

== ,l.,' Ex

We zien dus dat

Aangetoond wordt dat

y E _{- E1} E x y + j _£2 E Y Appendix B. == V

x...'L

V xH t

e.

t -t

c..

iseen funetie van d. pla,.,ts

... 18 ... ",. , , 1

...

t::" • " c;;. ' . 1

-

_e

• . J