MULO-A Meetkunde 1915 Algemeen

Uitwerkingen Mulo-A Examen 1915 Meetkunde Algemeen

Opgave 1

De oppervlakte van het trapezium ABCD (fig. 1) wordt gegeven door 1 ( ) 2

T

O   AB CD  .h

Wanneer we de zijde van de te construeren even grote gelijkzijdige driehoek PQR (fig. 4) aangeven met X, dan wordt de oppervlakte van deze driehoek gegeven door 1 1 3 1 2 3.

2 2 4

D

O   X X  X

Gelijkstellen van beide oppervlakten leidt tot 2 2 ( ) 3. 3

X   AB CD h

In figuur 2 is een halve gelijkzijdige driehoek geconstrueerd om een lijnstuk met lengte h 3 te krijgen. In figuur 3 is een halve cirkel met diameter 2( ) 3

3 AB CD h geconstrueerd en in het deelpunt is een loodrecht lijnstuk X geconstrueerd. Volgens de projectiestellingen geldt 2 2( ) 3

3

X  AB CD h waaruit

volgt dat dit lijnstuk de zijde van de te construeren gelijkzijdige driehoek voorstelt.

Opgave 2

Wanneer uit de hoekpunten C en D de hoogtelijnen op AB worden getekend, ontstaan de congruente rechthoekige driehoeken AED en BFC. Toepassing van de stelling van Pythagoras in de driehoeken AFC en

BDE levert nu op: AC2AF2FC2 en _BD2_BE2_DE2 _{ofwel (zie de figuur voor de betekenis der} gebruikte letters):

2 _{( )}2 2 2 ₂ 2 2

AC  a x h a  ax x h en BD2(a x )2h2a22ax x 2h2.

Opgave 3

Twee cirkels snijden elkaar in de punten A en B. Door A trekt men een koorde die de cirkels snijdt in de punten C en D. Bewijs dat boog(BC) = boog(BAD).

Het lijkt er op dat onderstaande gegevens óf onvolledig zijn óf onjuist. Daarom ontbreekt een oplossing.

Opgave 4

Door vanuit D de loodlijn DE naar AC te trekken, ontstaat rechthoek ABED. Daar BC = 84 en AD = 60, volgt hieruit dat CE = 24.

De stelling van Pythagoras in driehoek CDE geeft dan _{AB DE  CD}2_CE2 _{ 25}2_242 _{ 49 7 .} Wanneer het trapezium wentelt rond zijde AD, ontstaat een cilinder met aan de bovenkant een kegelvormige holte. Deze kegel ontstaat bij de wenteling van het lijnstuk CD.

De inhoud van de volledige cilinder is 2 72 84 31 72 84 12936 (cm ).3 7

r h

       

Het volume van de kegelvormige holte is 1 2 1 72 24 1 31 72 24 1232 (cm ).3 3r h3   3 7  

Het volume van het ontstane lichaam is dus 12936 – 1232 = 11704 (cm3_).

De oppervlakte van de complete cilinder is 2 2 2 2 31 72 2 31 7 84 4004 (cm )2

7 7

r rh

          

(grondvlak plus bovenvlak plus mantel).

De manteloppervlakte van de kegel is 31 7 25 550 (cm ).2 7

ra

    

(a is het zogeheten apothema van de kegel, soms de schuine hoogte genoemd). Het ontstane lichaam heeft dus een oppervlakte van

2 1 2 1 2 4004 4004 3 7 3 7 25 4004 154 550 4400 (cm ). 7 7 r ra              

(complete cilinder minus het bovenvlak plus de zichtbaar geworden kegelmantel).