Uitwerkingen MULO-B Meetkunde 1948 Rooms-Katholiek
Som 1Met de cosinusregel in driehoek ABC berekenen we eerst de hoeken ABC en BAC.
We vinden: 8210252 2 10 5 cos B waaruit volgt cos B 0,61 en dan B 52, 4 .0
Uit 52 82102 2 8 10 cos BAC volgt cos 139
160
BAC
waaruit volgt BAC29,7 .0
De gelijkbenigheid van het trapezium betekent dan dat CAD52, 4029, 70 22,7 .0
De oppervlakte kan berekend worden wanneer de hoogte en zijde CD bekend zijn. Ook kan: de oppervlakte van twee deeldriehoeken berekenen en de resultaten sommeren. Voor driehoek ABC vinden we 1 10 5 sin 52, 40 19,81
2
Opp en voor driehoek ACD vinden we
0
1
5 8 sin 22,7 7,73. 2
Opp Opgeteld krijgen we dan 27,54 (cm2 ).
8 5 10 C A B D Som 2
De constructie van een hoek van 540 mag gerekend worden tot een standaardconstructie.
Als S het snijpunt is van de diagonalen, dan zijn de stukken AS, CS, BS en DS bekend.
De verhouding waarin de diagonalen door S wordt verdeeld, is immers gelijk aan die van AB en DC, d.w.z. 3 : 2. Maar ook zonder de expliciete lengte van deze lijnstukken te bepalen, kan iedere diagonaal in de verhouding 3 : 2 verdeeld worden m.b.v. de bekende constructies.
Daarmee is driehoek ABS geheel bekend en dus construeerbaar. De werkwijze zou dan als volgt kunnen zijn verlopen.
1) Construeer een hoek van 540 en noem deze A.
2) Construeer (op een van de benen) driehoek ABS en verleng BS tot het snijpunt D met het andere been.
3) Construeer door D een lijn evenwijdig aan AB.
S
A B
C D
Som 3
a) In vierhoek MSQP zijn de hoeken MPS en MQS recht, zodat MSQP een koordenvierhoek is. b) Uit de evenwijdigheid van de lijnstukken PS en MB volgt dat PSM SMB.
Omdat AMSP koordenvierhoek is, is PSM PQM , maar PQM QAM (gelijkbenige driehoek), zodat SMB QAM .
De lijnstukken AQ en MS zijn dus evenwijdig, evenals PS en AM. AMSP is dus een parallellogram.
c) Uit het voorgaande volgt nu dat MS bissectrice is van QMB.
Daarmee zijn de driehoeken MQS en MBS congruent, waaruit het gevraagde volgt.
* * * * * * S Q C D B M A P
