Hoofdstuk 1 Vectoren in de ruimte

Hoofdstuk 1:

Vectoren in de ruimte

1. a. steunvector: 1 2      . b. dat is de richtingsvector c.  3 : ( 5, 1)   1: (3, 3)  4 : (9, 6) d. 1 2  15 1 2  15 2 16 8 2 8 1 6 y             2 14 7 2 7 1 8 y         Punt A ligt wel op l, maar punt B niet.

2. a. b. 2 3 5 2 4 2 rv   b a   _{  }   _{ } _        r r c. : 3 5 4 2 x m y               _        3. : 10 17 15 4 x AB y     _ _       _        10 2 : 15 3 x AC y     _ _       _        24 9 : 7 8 x BC y    _ _               4. a. _{| |a}r _{ 3}2_12 _{ 10 en | |b}r _{ 1}2_32 _{ 10} b. a br r     3 1 1 3 6 c. 6 6 10 10 10

cos( ( , ))a br r  _  . Hieruit volgt _( , ) 53a br r _ 

5.

a. cos(AOB) 8 3 0 5  _{8 34}  0,51 _AOB_121 b. cos(AOB) 5 3 3 5  _{34 34} 0 _AOB_90

6. a. 43 17 43 17 17 43 0 17 43   _ _{     }   _     

b. de hoek tussen die twee vectoren is 90°

c. 2 1 a a   _   

7. a. 4 3 ON _{  }    uuur en 4 3 0 3 4 ON rv   _{  } _      uuur b. _(ON PXuuur uuur, ) 90_  c. 2 7 x PX y      _    uuur d. 2 4 4( 2) 3( 7) 4 8 3 21 4 3 29 0 7 3 x x y x y x y y                    _        8. l: 3x y c m: 2x3y c 3 1 2 5 3x y 5         2 4 3 1 5 2x 3y 5       9. a. de richtingsvector 4 2 2 1 AB_  _{ }  _     uuur . x2y 5 b. de richtingsvector 2 1 AB_{  }    uuur . x2y  9 c. de richtingsvector 2 1 AB_{  }     uuur . x2y 1 d. de richtingsvector 10 1 10 1 AB_   _{  }      uuur . x y 16 10. a. 1 1 3 2 x y                       c. 1 2 6 1 3 2 x y        _{ }   _         b. ₁ 2 0 1 4 2 x y        _{ }   _        d. 18 1 2 1 x y            _          11. a. (5, 0) b. 5 5 0 3 x y                       c. : 2 4 0 7 x m y                      en 2 4 : 0 3 x n y                      

12. De kentallen zijn een veelvoud van elkaar.

13. a. A(5, 0, 0) E(5, 0, 3) C(0, 6, 0) b. M(5, 6, 1 2 1 ) c. 2 2 3 3 6 4 DP  DG   , dus P(0, 4, 3)

d. 5 6 3 AG             uuur e. _|AGuuur_{| ( 5)} 2_62_32 _{ 70} 14. a. M(0, 9, 2) b. 6 9 2 AM             uuur en _|AMuuur_{| ( 6)} 2_92_22 _{ 121 11} c. de y-coördinaat is 0 en de z-coördinaat is 4 d. Q(2 2, 0 5, 4    3) Q(4, 5, 1)

e. alle punten op ribbe AB hebben x-coördinaat 6 en z-coördinaat 0 f. _|PRuuur_{| 4}2_r2_{ ( 4)}2 _{ 32r}2 _9 2 2 32 81 49 7 7 r r r r        15. a. 0 : (6, 0, 4) en 1: (6, 9, 0)

b. het eerste punt is E en het tweede B

c. 6 0 0 OA            uuur of 0 9 2 OM            uuur d. 6 9 2 AM             uuur e. 6 6 : 0 9 0 2 x AM y z            _{ }                     f. 2 4 : 0 9 4 4 x PB y z           _{ }             _        g. 0 6 : 9 9 0 4 x CE y z           _{ } _                    2 4 6 9 9 9 4 4 4            

Uit de derde vergelijking volgt:   1 

Dit substitueren in de eerste vergelijking: 2 4  6(1)

_{2 3} 5 5 10 4 en       Geeft snijpunt 3 3 2 5 5 5 (3 , 3 , 2 ) S . 16. a. 6 6 : 0 6 0 5 x AQ y z            _{ }                     b. 6 3 : 6 3 0 4 x BP y z            _{ } _                   

c. 6 3 : 0 3 6 4 x l y z            _{ } _                    d. 0 6 : 0 6 8 5 x PM y z           _{ }             _        e. 8 5  0 3 5 3 3 5 5 1 (9 , 9 , 0) S   17. a. x2 8 4 

b. Uit x2 10 volgt  5. Dit invullen in l: (10, 2, 7) (10, 1, 16) ligt er niet op Uit x2  6 volgt  3. Dit invullen in l: (-6, 7, -8) (-6, 7, -8) ligt er niet op c. De kentallen van de richtingsvector zijn met -2 vermenigvuldigd. Dus ook een

vectorvoorstelling van l. d. Ligt (-4, 6, -5) op l?

Neem  2 :x     2 2 4, y      4 2 1 6 en z     1 2 3 5 klopt. Dit is ook een vectorvoorstelling van l.

18. a. 8 4 : 0 0 0 3 x AD y z            _{ }                     b. 0 0 : 0 1 6 0 x DG y z           _{ }                     c. 0 4 0 8 0 2 0 6 1 6 : 6 3 0 0 x y B z              _{  } _{ }   _               _                d. y   6 4 4 1 x      e. 0 4 0 8 0 0 2 0 1 0 1 6 3 0 0 0 x y z                  _{  } _    _{ }                   _                   

: dit zijn alle punten op de lijn door A en B.

f. 0 4 0 0 4 0 0 6 1 6 0 6 3 0 6 3 x y z                  _{ }  _{ }   _{ }                   _      _             

: dit zijn alle punten op de lijn door G en L.

19. a.   0 b. P(8, y, 6): 2 en  0 C(0, 6, 0):  0 en  2 Q(x, 6, 6):  2 en 1 3 1   c. F(8, 6, 6).

Uit 8 4  8 volgt  0. Uit 3 6 volgt dan dat 6. Maar uit 36 volgt dat  2 moet zijn. Dat kan niet.

d. AP ligt in vlak ABFE en CQ in vlak BCGF. De snijlijn van deze twee vlakken is BF. Omdat AP en CQ in het vlak ACQP liggen snijden ze elkaar op BF.

e. S(8, 6, z) 8 4 8 3 6       

Uit de eerste vergelijking volgt  0 en dan volgt uit de tweede 6

f. z     0 3 6 0 0 18 S(8, 6, 18) 20. a. 2 4 0           b. 4 1 0 PQ      _{ }     uuur en 2 3 4 PR        _    uuur c. 2 4 2 4 1 3 0 0 4 x y z              _{ }  _{ }                 _          21. 4 4 1 0 1 2 4 0 2 x y z               _{ }  _ _                          22. 0 1 2 2 3 1 6 4 6 x y z               _{ }  _               _  _          23. 4 1 0 : 4 0 1 0 0 1 x BCDE y z              _{ }  _  _                         4 1 0 : 0 1 0 0 0 1 x ACGE y z               _{ }  _                           4 1 4 : 0 1 1 0 0 4 x ACP y z                _{ }  _                           24. a. 4 1 : 4 1 0 0 x BD y z           _{ }                     b. 4 2 : 4 2 0 3 x BT y z           _{ }             _        c. 4 1 2 : 4 1 2 0 0 3 x BDT y z              _{ }  _                 _          d. 4 1 2 : 4 0 2 0 0 3 x BCT y z              _{ }  _                 _          e. 4 1 2 4 1 2 0 0 3 x y z               _{ }  _{ }                           f. 3 3 3 4 1 3   3 6 2 2 4 4 3 3 6 0             2 1 3 3 3 2 en       

Uit de eerste volgt: 3 1 3 invullen: x 4, y  4 en z0

en uit de derde: 3 3 6 Dus A ligt erin.

3 3 3 4 2 2 4 4 3 3 6 0                  

Nu volgt uit 1 en 3:  7 3  3 6. Dit geeft 1 3 3   en 2 3 5   

Invullen: x 4, y  4 en z0: dus D ligt in het vlak En voor   1 en  0 wordt punt T bereikt.

De gegeven vectorvoorstelling is van vlak ADT.

25. a. _{AP  ( 4)} 2_82_12 _{9, AQ ( 4)} 2_62_42 _{ 68,} 2 2 2 0 ( 2) 3 13 PQ      en _PQ2 _AQ2 _AP2 b. 68 9 cos( , ) AQ AP a br r   68 9 | | | | cos( , ) 9ar  br  a br r   68 68 c. 4 4 8 6 16 48 4 68 1 4 AP AQ            _{  } _            uuur uuur 26. a. 4 4 8 0 16 4 20 1 4 AP AD            _{  } _           uuur uuur b. 1 2 4 0 4 4 0 4 cos( ) 32 32 OMF            120 OMF    27. _{a a}r r_{ | | | | cos(0 ) (| | )a}r _{ a}r _  _{ a}r 2 28. a. 17 35 3 3 0 6 4 2 cos( ) 5 7 DAM            DAM 61 b. cos( ) 0 3 4 2 4 2 0 32 17 APM              APM 90 29. a. a br r 0 b. 3 5       2 s 7 1 0 2 8 4 s s   30. a. 0 1 0           b. 0 4 2           c. 7 20 0          

31. 30 3 q0 en 6 2 p q 0 10 q   2p 16 p 8 32. a. 4 0 4 4 0 4 4 OF BE          _{  }  _         uuur uuur : loodrecht b. 4 4 4 0 0 4 4 OF BG           _{  } _         uuur uuur : loodrecht c. 4 4 4 4 16 4 4 OF AG           _{  } _         uuur uuur : nee d. 4 2 4 2 0 4 4 OF BP           _{  }  _         uuur uuur : loodrecht 33. a. 1 3 4 4 4 4 8 8 cos( ) 96 96 ATC            ATC 71 b. 4 1 : 4 1 0 2 x BT y z            _{ }  _                   c. 4 1 4 1 4 4 4 0 2 2              _   _{        }             1 3 2 2 2 3 3 3 6 8 1 (2 , 2 , 2 ) X     34. 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ( ) ( ) ( ) n p q n p q n p q n p q n p q n p q        _{ } _{         }        _      1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 0 n p n q n p n q n p n q n p n p n p n q n q n q n p n q                  ur ur ur ur Dus nur(p qur ur ) 35. a. 6 6 0 DF            uuur 0 0 6 AE            uuur 6 6 0 EG             uuur

b. _{DF AE}uuur uuur_{       6 0 6 0 0 6 0} en _{DF EG}uuur uuur_{        6 6 6 6 0 0 0}

c. 6 6 6 AG             uuur

. DF AGuuur uuur        6 6 6 6 0 6 0, dus DFuuur uuurAG

36.

a. de normaal staat loodrecht op de richtingsvectoren van het vlak. Het inproduct van de richtingsvectoren met de normaalvector is gelijk aan 0.

b. Uit 12a9b0 volgt dat 4a3b0

d. 4a24 0 en dus is a 6 en c      5 6 4 8 2

De waarden van opdracht c zijn met -2 vermenigvuldigd.

e. 2 3 1 4 5 1 x y z           _{  } _            _        37. 3 0 9 AB            uuur en 1 1 9 AC             uuur

De normaalvector staat loodrecht op de twee richtingsvectoren van V:

3 0 a c  en   a b 9c0 Kies c 1. Dan is a 3 en b    3 9 12 0 3 1 12 2 1 x y z            _{ } _                    38. 5 2 2 1 0 2 3 x y z      _{ }  _ _     _   _      5( 2) 2( 1) 2( 3) 0 5 10 2 2 2 6 0 5 2 2 6 x y z x y z x y z                  39.

a. alle evenwijdige vlakken hebben dezelfde normaal b. Punt (1, 2, 3) invullen: 5x2y2z 5 40. a. x2y3z32 b. P(4, 4, 4) invullen in 2x y 3z d : 2x y 3z16 c. 0 2 1 OA            uuur en 0 0 5 OB            uuur

zijn richtingsvectoren van het vlak.

Voor de normaalvector geldt: 2b c 0 en 5c 0. Hieruit volgt b c 0

De vergelijking van dit vlak: x0

d. 3 2 0 AB             uuur en 2 12 8 AC            uuur 3a 2b 0    en 2a12b8c0 Kies b3. Dan is a2 en 8c   2 2 12 3  40: c  5 2x3y5z0 41. a. 2a4b5c0 en 4a b 3c0

2 keer de eerste vergelijking min de tweede vergelijking:

4a8b10c(4a b 3 ) 9c  b7c0

Kies b 7. Dan is c 9 en 4a     7 3 9 34; ofwel a 8,5

:17 14 18 0

b. a c 0 en b0

OAB: x z 0

c. 2a4b5c0 en 4a5b6c 0

De tweede vergelijking min 2 maal de eerste vergelijking:

4a5b6c2(2a4b5 )c  13b4c0

Kies b4. Dan is c  13 en 2a     4 4 5 13 49 ofwel a24,5

: 49 8 26 0 OAB x y z . 42. a. n a1 1n a2 2 n a3 3 0 b. n a b1 1 3 n a b2 2 3n a b3 3 3 0 1 1 2 2 3 3 0 n b n b n b  n b a_{1 1 3} n b a_{2 2 3}n b a_{3 3 3} 0 1( 1 3 3 1) 2( 2 3 3 2) 0 n a b a b n a b a b  c. 2 1 3 3 1 1 1 3 3 1 2 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b n a b a b a b a b n a b a b a b a b a b a b a b a b                 d. (a b2 3 a b3 2) a1 (a b3 1a b1 3)a2n a3 3 0 3 3 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2 2 1 3 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n a a b a b a a b a b a a a b a a b a a b a a b a a b a a b a a b a b n a b a b                      43. a. 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a b a b a a b a b a a a b a b a a b a b a a b a b a b a b a       _   _{          }      _        a a b1 2 3 a a b1 3 2a a b2 3 1a a b1 2 3 a a b1 3 2 a a b2 3 10 2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) a b a b b a b a b b b a b a b b a b a b b a b a b a b a b b       _   _{          }      _        a b b2 1 3a b b3 1 2 a b b3 1 2 a b b1 2 3 a b b1 2 3 a b b2 1 3 0 b. 1 1 2 3 3 2 2 2 3 1 1 3 3 3 1 2 2 1 0 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a              _{  }   _              _            c. a br r   (b ar r) d. (3 ) (4 ) 3 4pur  qur     p qur ur 12rr 44. a. 1 0 0 0 1 0 0 0 1            _{ }                   b. 1 4 3 2 5 6 3 6 3         _{ }   _{ }          _  _        c. 4 2 6 1 1 18 3 3 2          _  _          _          45. a. 2 3 28 7 0 7 5 4 21        _{ }   _                    4x y 3z 5     

b. 2 3 19 1 3 7 5 4 9            _{  }                    19x 7y 9z 89     46. 1 2 3 2 3 1 3 1 3 2 2 1 2 2 0 2 a a a a a a a a a            _{  } _            _        r

Uit het eerste kental volgt 2a2 a3 en uit het derde kental volgt a1a3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | (2 ) (2 ) 9 12 2 9 144 16 4 a a a a a a a a a a    _{     }          uuuuur 8 4 8 a            r 47. a. 2 3 6 0 0 3 2 a b          _{  } _   _      r r en 2 3 12 6 0 13 3 2 18 a b               _{  } _{ } _   _  _        r r b. _{|a b}r r_{ | ( 12)} 2_(13)2_{ ( 18)}2 _{ 637 en | | | |a}r _{ b}r _{ 49 13  637} c. Voor a en c geldt de regel wel.

48. a. 1 2 1 PQ      _{ }     uuur en 2 1 0 PR      _{ }     uuur 1 2 1 2 1 2 1 0 3 PQ PR                  _{     }             uuur uuur : 2 3 7 V x y z

b. zie de vectorvoorstelling van de lijn. c.  2 2 3 3 7 d. 14 7 1 2 1 1 2 2 ( , 1, 1 ) S   49. 8 8 0 AB             uuur en 8 0 6 AC             uuur 8 8 48 8 0 48 0 6 64 AB AC                _{  } _{ } _             uuur uuur : 3 3 4 24 3 : 3 4 ABC x y z x l y z          _               12 17 2 2 14 17 17 17 3 3 3 3 4 4 34 24 (2 , 2 , 2 ) S           

50. a. OA OC 4, _{AB BC  1}2_52 _{ 26, OT} _{8, AT CT  4}2_82 _{4 5} en _{BT  5}2_52_82 _{ 114} b. Q(2, 0, 4) 4 4 0 CA      _{ }     uur en 2 4 4 CQ      _{ }     uuur 1 2 24 cos( ) 2 4 2 6 | | | | 45 CA CQ ACQ CA CQ ACQ           uur uuur uur uuur c. P(0, 2, 4) 4 2 4 AP             uuur en 4 2 2 4 8 8 16 0 4 4 AP CQ           _{  }  _             uuur uuur

, dus APuuurCQuuur.

51. a. 4 8 8 AB        _    uuur , 0 12 6 AC        _    uuur en 48 24 48 AB AC      _{  }     uuur uuur

Een vergelijking van vlak ABC is: 2x y 2z8

Punt D invullen: 2 7 2 2 10 8      : klopt, dus D ligt in vlak ABC.

b. 4 4 2 BC             uuur , 4 8 8 CD       _{ }     uuur en 4 4 2 AD             uuur

ABCD is een parallellogram want AB // CD en BC // AD

c. AB BCuuur uuur  16 32 16 0   , dus ABBC en daarmee is ABCD een rechthoek.

52. a. _|ABuuur_{| 6}2_92 _{ ( 2)}2 _{11 en |AD}uuur_{| 6}2_{ ( 2)}2_92 _11 b. 6 9 2 AB        _    uuur en 6 2 9 AD      _{ }     uuur

. AB ADuuur uuur 36 18 18 0   , dus _ABuuur uuur_AD

c. 11 6 17 1 9 10 6 2 4 c d AB               _{  } _{ } _   _          r ur uuur of 11 6 17 12 2 10 5 9 4 c b AD               _{  }  _{ } _ _            r r uuur 53. a. P(2, 4, 0), Q(0, 4, 2), R(0, 2, 4), S(2, 0, 4), T(4, 0, 2) en U(4, 2, 0) b. 2 2 4 0 2 4 2 4 4 PQ PR                _{  }  _{  }             uuur uuur : 6 PQR x y z   c. (6, 0, 0) (0, 6, 0) en (0, 0, 6) d. 4 4 16 4 0 16 0 4 16 AC AD                _{  } _{ } _             uuur uuur : 4 ACD x y z  

e. Ze hebben dezelfde coëfficiënten, dus dezelfde normaalvector.

54.

a. een punt op de ribbe ED is (x, 0, 5) een punt op de ribbe FG is (x, 5, 5) 2 5 5 2 10 5 x x x     1 2 2 5 5 5 2 5 2 x x x      E(5, 0, 5) en M 1 2

(2 , 5, 5) (het midden van FG)

b. Punt C(0, 5, 0) ligt ook in V. Teken lijn MC.

Teken een lijn door C // EM: naar het midden van OA Teken een lijn van het midden van OA naar E

55. a. t 5 b. _{PA 4}2_32 _{5 en PD  7}2_42_42 _9 c. _{PA 4}2_t2 _{ 16t}2 _{en PD (10t)}2_42_42 _{ 132 20 t t} 2 2 2 16 132 20 20 116 5,8 PA PD t t t t t        d. 0 4 3 PA      _{ } _    uur en 4 4 7 PD       _{ }     uuur 1 9 16 21 cos( ) 5 9 APD      APD96 e. PA PDuur uuur          0 4 4 4 t (10 t) 0 2 16 10 0 ( 2)( 8) 0 2 8 t t t t t t          56. a. 2x3y4z d en punt A invullen: 2x3y4z3

b. een willekeurig punt van l is (2 , 2 3 , 5 4 )      2(2 ) 3(2 3 ) 4( 5 4 ) 3 4 6 9 20 16 3 29 29 1                      S(2, -1, -1) c. _{AS 1}2_22_12 _{ 6} 57. a. P(3, 3, 6), Q(3, 0, 3), R(6, 3, 3), S(3, 3, 0) en T(3, 6, 3) b. PQ QR RS ST TU UP     3 2 3 2 OQ OS OU  ER EP ET 

c. OQ OSuuur uuur     9 0 0 9 0 dus geen 90°. Lichaam L is geen kubus.

d. De zijvlakken van L zijn ruiten. De oppervlakte van een ruit is het product van de diagonalen gedeeld door 2.

2 2 2 1 1 2 2 6 ( ) 6 6 3 3 3 2 54 3 L Opp   OR QS       

58. dit is ontzettend niet leuk!

a. _{(| | | | sin( ))a}r _{ b}r _{ } 2 _{| | | | sin ( ) | | | | (1 cos ( ))a}r 2 _{ b}r 2_ 2 _{  a}r 2_{ b}r 2_{ } 2 _{ } 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | | | | | | | cos ( ) | | | | ( | | | | cos( )) | | | | ( ) a b a b a b a b a b a b                  r r r r r r r r r r r r b. 2 2 2 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 |a br r | (a b a b ) (a b a b ) (a b a b )  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 3 2 1 2 1 2 2 3 2 3 1 3 1 3 2 2 2 2 2 2 a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a a b b                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 2 2 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 1 2 1 3 2 | | | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 ) a b a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b b a a b b a b a a b b a b a b a b a                                r r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 1 3 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 2 1 3 1 3 b a b a b a b  a a b b  a a b b  a a b b

c. Uit a en b volgt: _{|a b}r r_{ |}2 _{(| | | | sin( ))a}r _{ b}r _{ } 2

Omdat  de hoek is tussen twee vectoren is 0   , dus is

|a br r | | | | | sin( ) ar  br  

Test jezelf

T-1.

a. _ABuuur_{ 4}2_72 _{ 65, BC}uuur_{ ( 8)} 2_{ ( 6)}2 _{10 en AC}uuur_{ ( 4)} 2_12 _{ 17}

b. : 1 4 1 7 x AB y     _{ }               c. 8 6 BC _{  }     uuur een vergelijking: 3x4y  17 d. cos( ) 16 7 0,27 65 17 BAC        BAC 106 32 6 cos( ) 0,63 17 10 ACB       ACB51 180 106 51 23 ABC         

T-2. a. A(6, 0, 0), B(6, 6, 0), C(0, 6, 0), D(0, 0, 0), E(6, 0, 6), F(6, 6, 6), G(0, 6, 6), H(0, 0, 6) b. K(0, 0, 4), L(6, 6, 3) en M(6, 0, 2) c. _{MG ( 6)} 2_62_42 _{ 88} d. 0 6 : 0 6 4 1 x KL y z           _{ }              _      

e. Een willekeurig punt van KL is (6 , 6 , 4  ). De x- en y-coördinaten van punten op KL zijn gelijk. Punt (18, 17, 0) ligt dus niet op KL.

T-3. a. 0 0 6 KH            uuur , 0 6 0 KJ            uur 3 0 0 : 0 0 1 0 1 0 x HJK y z              _{ }  _                           b. 6 6 0 CA      _{ }     uur , 0 3 6 CI      _{ }     uur 6 1 0 : 0 1 1 0 0 2 x ACI y z              _{ }  _{ }  _                         c. 3 1 0 6 1 1 0 0 2 x y z              _{ }  _{ }  _                         T-4.

a. T(4, 4, 6). M(8, 4, 0) is het midden van AB. 2 2 ( 4) 6 52 MT     1 4 52 2 2 tan ( ) 58 ATB ATM          b. 4 8

tan(ABQ) _ABQ_27

c. P(6, 6, 3) 6 6 3 PO       _{ } _    uuur , 2 6 3 PA      _{ } _    uur . cos( ) 12 36 9 0,52 9 7 OPA        OPA58 d. 4 8 0 QB            uuur , 2 6 3 QP            uuur . cos( ) 8 48 0 0,89 80 7 BQP       BQP 27 T-5. a. 3 1 4 1 1 8 1 3 4            _{   }                    : 2 6 V x y z  b. 0 3 4 W n        _    uur 2 3 0 1 0 : 1 0 4 0 0 3 x W y z              _{ }  _                          

T-6. a. 4 4 6 AP             uuur , 2 8 6 AQ             uuur en 24 12 24 AP AQ       _{  } _    uuur uuur b. V: 2x y 2z8 c. 4 2 : 0 4 6 3 x EC y z            _{ }             _        6 7 3 3 2 7 7 7 2(4 2 ) 4 2(6 3 ) 8 8 4 4 12 6 8 14 12 (2 , 3 , 3 ) S                       T-7. a. 1 0 0 0 8 5 0 5 8 ED EM               _{  } _{ }  _   _  _        uuur uuur : 5 8 40 V y z b. 6 6 : 0 6 0 5 x AK y z            _{ }                     47 5(6 ) 8(5 ) 40 70 40         3 6 4 7 7 7 (2 , 3 , 2 ) S c. 6 6 1 KL         _   uur en 3 7 4 7 6 7 3 4 2 SM        _    uuur

Niet gelijke verhouding, dus niet evenwijdig

d. 5y8z d gaat door K(0, 6, 5); dus 5y 8z70

T-8. 5 1 6 2 1 15 0 3 3        _{    }                _        U: 2x5y z 12

verg. V – verg. U: 6y2z 12. Dit geeft z3y6

2 * verg. W + verg. U: 11y 9z54 11 9(3 6) 54 11 27 54 54 38 0 0 y y y y y y         En dan is z6 en x     3 0 4 6 21 3 . S(3, 0, 6)