Constitutieve vergelijkingen voor kunststoffen en biologische materialen

Constitutieve vergelijkingen voor kunststoffen en biologische

materialen

Citation for published version (APA):

Oomens, C. W. J., & Schreurs, P. J. G. (1987). Constitutieve vergelijkingen voor kunststoffen en biologische materialen. (DCT rapporten; Vol. 1987.073). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Constitutieve vergelijkingen voor kunststoffen en biologische

materialen.

Cees Oomens, Piet Schreurs

WFW 87.073

Dit WFW-rapport is de voorlopige, nog niet als zodanig

uitgegeven versie van een collegedictaat bij het vak

"Constitutieve vergelijkingen voor kunststoffen en

biologische materialen" (4K060, trim. 4.1)

najaar 1987

Vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde Faculteit der Werktuigbouwkunde

2.22

8.3. 8.4. 8.5.

3."

* q.9. u 10.

1 .

10.2.

lo, 3. lo.

v.

1

o.

S. io. b.

10.3

d:

DOEL VAN HET COLLEGE.

De laatste twintig jaar is tiet. gebruik van nieuwe materialen voor allerlei doeleinden enorm toegenomen. Daarbij doet, zich een fundamentele verandering voor in de wijze waarop mat.erhlen door de mens wcirden benaderd. Was het vroeger zo dat men uitging van een zeker eisenpakket en dat: men daar het geschikte materiaal bij zocht, tegenwoordig kan men starten met een behoefte en naar aanleiding daarvan een materiaal, als het ware atoom voor atoom, ontwikkelen. De verwachting is, dat deze wijze van werken in de toekomst alleen nog zal toenemen en dat de nieuwe materialen steeds meer de

traditionele zullen terugdringen. Dit kan (zal) enorme economische en sociale consequenties hebben (Scientific American, 255, October: 1986,

special issue).

Ook in het onderwijs moet dit tot grote veranderingen leiden. Kijken wij met name naar de werktuigbouwer dan zien we dat, deze traditioneel is opgevoed met het gebruik van metalen. De meeste werktuigkundige constructies worden van metaal vervaardigd en de constructeur houdt rekening met mechanische eigenschappen en beNerkingsprocessen die typisch vcior metalen zijn. De moderne ingenieur z a l in zijn dagelijkse beroepspraktijk echter veelvuldig geconfronteerd worden met nieuwe materialen als vezelversterkte

kunststoffen, polymeren, keramische materialen en andere produktieprocessen a l s spuitgieten, het vervaardigen van laminaten of tiet. wikkelen van een vezelversterkte composieten. Bij de laatst genoemde processen is al sprake van een integratie van het maken van het materiaal en tiet bouwen van de constructie. Wij liggen met het onderwijs op dit gebied achter bij de internationale ontwikkelingen. Eij een aantal universiteiten in de U . S . A . worden grote stukken van het curriculum al een aantal jaren j.ngeruj.md voor nieuwe materialen. Rekenen met niet-isotrope materialen, laminaatthearie en fabricageprocessen voor composieten worden daar reeds in het under-graduate onderwijs behandeld (Composite materials education in the United States, Jones R.M.). Njeuwe materialen zitten bij ons nog in de keuzevakkensfeer maar geleidelijk zullen hiervan ook delen in het basisonderwijs terecht komen.

Dit vak "constitutieve modellen" is bedoeld om voor de student de literatuur over materialen toegankeliak te maken. Iemand die nieuw is in dit veld zal vrij spoedig verdrinken in de gigantische brei van versplinterde informatie die op hem afkcimt, waarbij ieder zijn eigen notatiewijze gebruikt, zijn eigen terminologie, waar verschillende scholen bestaan die elkaar volledig doodzwijgen cif onderuit trachten te halen en waar de meeste boeken die streven naar volledigheid niet te lezen zijn. Wij hebben getracht om met deze cursus de samenhang tussen de verschillende benaderingswijzen duidelijk te maken en de s t o f te presenteren op een wijze die aansluit bij de

gebruikelijke binnen de vakgroep WFW

.

Ket vak is zeer theoretisch, ofschoon liet bepalen van constit.utj.eve wetten voor materialen in wezen een empirisch probleem is. Materiaalmodellen zijn echter vrijwel nmj.t simpel en men moet inzicht hebben in de mogelijkheden van dit soort modellen en de kaders waarbinnen deze passen alvorens men Uberhaupt een behoorlijk experiment kan opzetten. Bovendien is ook de meer experimenteel gerichte literatuur ontoegankelijk als men de theorie niet voldoende beheerst. Zeer waarschijnlijk zal te zijner tijd een keuzevak worden opgezet d a t een meer experimenteel accent heeft..

Het vak kan worden verdeeld in drie grote stukken. Ket eerste deel is zeer algemeen van karakter en gaat in u p algemene principes waaraan constitutieve wetten moeten voldoen zoals thermodynamische toelaatbaarheid, objectiviteit en meer materiaalafhankeliake principes als iscitrcipie. Er wordt in zeer algemene termen gekeken naar een aantal consequenties van deze principes.

In het tweede deel worden de zogenaamde fenomenologische modellen behandeld, waarbij het materiaal als een "black-box" worät gezien en hst âllezii gaat om een correcte beschrijving van de relatie tussen afhankelijke variabelen

(meestal een spanningstensor) en onafhankelijke variabelen (bijvoorbeeld deformatietensor, tijd enz.

1 .

in het het derde deel worden modellen behandeld die uitgaan van de

microstructuur van een materiaal en op basis daarvan macroscopische

eigenschappen afleiden. Voordeel van deze modellen is dat ze leiden tot een beter inzicht in de processen die een rol spelen als een materiaal wordt belast en dat ze een brug kunnen vormen in de richting van bezwijkcriteria.

In dit college komen zaken als plasticiteit, visco-plasticiteit,

bezwijkgedrag, laminaattheorie, oplosprocessen en experimentele technieken niet aan de orde, ofschoon op zijn minst enkele van deze onderwerpen van

belang zijn voor mensen die iets op het gebied van materialen willen gaan

CONSTITUTIEVE WETTEN, EEN EHPIRISCH PROBLEEM.

Men kan constitutief gedrag omschrijven als dat deel van hek gedrag van een materiaal dat niet meer met algemeen geldende physische wetten te beschrij- ven is, maar dat materiaalafhankelijk is. In de huidige physica zijn vrijwel alle te beschrijven gebeurtenissen te herleiden tot een aantal algemene be- houdswetten. In de continuümsmechanica zijn dit : de wet van behoud van mas- sa, behoud van impuls, behoud van impulsmoment en behoud van energie. De meest algemene vorm van de laatste i s de eerste hoofdwet van de thermoüyna- mica. Naast deze behoudswetten speelt het ervaringsfeit, dat alle niet- omkeerbare processen in de natuur slechts in EEn richting kunnen verlopen, een belangrijke rol. Dit wordt verwoord in de tweede hoofdwet van de thermo- dynamica. Ofschoon in de literatuur nog erg veel ccintroverse bestaat over de juiste mathematische formulering van deze wet, met name begrippen als entro- pie en temperatuur staan ter diskussie, blijkt deze wet van groot belang bij constitutief onderzoek.

Bovengenoemde wetten gelden voor alle physische gebeurtenissen. In principe betekent dit dat het materiaalgedrag te formuleren is in mathematische termen, in ùe vorm van differentiaalvergelijkingen met randvoorwaarden en beginvoorwaarden.

Het gedrag wordt niet alleen do01 de behoudswetten bepaald. Puur up

mathematische gronden kan men door het aantal vergelijkingen waarover men beschikt en het aantal onbekenden te tellen afleiden dat er constitutieve wetten nodig zijn, omdat mer, anders te weinig vergelijkingen heeft, om het probleem op te lossen. Op physische gronden is het duidelijk dat

verschillende materialen verschillend reageren op belastingen en dus tot andere uitkomsten leiden. De individuele mechanische eigenschappen van een materiaal kan men ook vastleggen in physische wetten. Deze wetten worden constitutieve wetten genoemd. Een bekend voorbeeld WCirdt gegeven door de wet

van Hooke die de spanning in een isotrope, vaste stof koppelt- aan de rek in

die stof. In mathematische termen :

( 1 . 2 . 1 )

a is de Cauchy spanningstensor

A en ci zijn de kcmtanten van Lame.

De Lam& konstanten A en IJ zijn voor ieder materiaal anders en karakteriseren

dus het materiaal.

Een ander bekend voorbeeld is de constitutieve wet voor een Newtonse vloei- stof die de spanning in de vloeistof koppelt aan de daarin aanwezige iiydro- dynamische druk en de deformatiesnelheidstensor.

~ = - p I + 2 v D ( 1 . 2 . 2 ) p is de hydrodynamische druk I i s de eenheidstensor q is de viscositeit D = 'i

(?f

t (Vv1 + +

c

) is de deformatiesnelheidstensor. 2

Bovengenoemde constitutieve wetten zijn voorbeelden uit de continuümsmecha- nica die spanningen aan rekken of reksnelheden koppelen. Constitutieve wet- ten kunnen echter ook op geheel andere grootheden betrekking hebben. Bij- voorbeeld een koppeling tussen de hoeveelheid massa die wordt uitgewisseld bij een chemische reactie tussen twee stoffen aan een temperatuur of een concentratie. Historisch gezien werden constitutieve wetten altijd direct gepostuleerd uit experimentele observaties. Voorbeelden hiervan zijn de wet van Darcy voor stxomingen door poreuze media en bovengenoemde wet van Houke en de karakterisering van Newt.c)nse vloeistoffen. Men deed meestal uniaxiale trekproefjes op stukjes materiaal en probeerde d.m.v. curve-fitting met een pc)lync)om een constitutieve relatie te vinden.

Ofschoon in essentie tiet bepalen van materiaaiwetten een empirisch probleem is en blijft is de moderne benadering toch anders. Na een eerste orientering d.m.v. fenomenologische experimenten en/of structureel onderzoek onderwerpt men de eerste modellen aan een theoretisch onderzoek. Men postuleert voor men begint een zeer algemene vergelijking voor de materiaalwet. Eigenlijk is dit niets anders dan een keuze van de afhankelijke en de onafhankelijke variabelen. Bijvoorbeeld voor een puur elastisch materiaal :

Hier wordt gesteld dat het materiaal een elastisch materiaal is (spanning hangt alleen van de momentane waarde van de rek af), dat. de spanning de afhankelijk variabele is en de rek de onafhankelijk variabele. Zoals gezegd hangt deze eerste keuze vaak af van het resultaat van inleidende

experimenten o f inleidend structureel onderzoek, maar bovendien hangt de keuze vaak af van het doel dat men beoogt met de materiaalwet. Een model waarmee men wil berekenen hoe een belaste constructie deformeert zal er over het algemeen anders uitzien dan een model waarmee men wil bepalen wanneer een constructie bezwijkt:.

Heeft men bovengenoemde keuze gemaakt, dan gaat men de verkregen relatie on- derwerpen aan een aantal beperkende regels uit de physica. Dit zijn de reeds uit het vak continuumsmechanica bekende regels a l s lokale werking,

bepaaldheid, objectiviteit en equipresentie. Daaraan wordt in dit college nog het, principe van thermodynamische toelaatbaarheid toegevoegd.

Naast bovengenoemde physische beperkingen die voor alle materialen gelden bestaan er nog die af te leiden zijn van het materiaal zelf, hetzij uit phenomenologisch experimenteel onderzoek (bijv. trekproeven) o f uit kennis van de kristalstructuur. Vc)cirbeelden hiervan zijn incompressibiliteit en isotropie.

Bovengenoemde phycische principes leggen eisen op aan de constitutieve wetten. In formule ( 1 . 2 . 3 ) zou dit beperkingen kunnen opleveren voor de funktie G en voor de rekmaat E . De klasse van funkties die men mag gebruiken

wordt dus vp grond van algemene physische principes reeds aanzienlijk

beperkt. Voor de uiteindelijke bepaling van de overgebleven funkties zijn we echter weer afhankelijk van experimenten. Dus ondanks het toepassen van een behoorlijk stuk wiskunde zijn we toch weer aangeiana b i j experimenten. Wat

is dan het voordeel van deze aanpak?

Op de eerste plaats levert het een beperking van de klasse van funkties waarbinnen men moet zoeken om theorie en experiment op elkaar te fitten. Verder is de benadering veilig. Men weet bijvoorbeeld al dat, de funkties die men probeert, voldoen aan de noodzakelijke physische beperkingen. Bovendien vindt men vaak verbanden tussen verschillende grootheden die uit standaard proeven niet zouden blijken. Dit kan weer leiden tot ideeën voor nieuwe ex- perimenten, waarmee de gepostuleerde functies getoetst kunnen worden.

Het moment waarop men gaat experimenteren kan men ook opschuiven. De klasse van functies die voldoen kan men namelijk mathematisch proberen te vinden door uit te gaan van de structuur van het materiaal en het globale,gedrag te voorspellen door statistische analyse. Het experimenteel werk kan dan gecon- centreeerd worden op structurele componenten die vaak een eenvoudiger gedrag vertonen dan het geheel. Een voordeel van deze werkwijze is het verkrijgen van een beter inzicht in tiet hoe en waarom van materiaalgedrag.

Dit alles leidt tot de vraag of een complete, constitutieve wet voor een willekeurig materiaal te vinden is. Het antwoord hierop is onkennend. We kunnen gerust stellen dat geen enkel bekend materiaal volledig doorgrond is wat betreft zijn gedrag. We zijn dus aangewezen op modellen met een beperkt bereik en afhankelijk van onze doelstellingen moeten we kiezen voor een bepaald model. Gelukkig is het gedrag van veel technische materialen over een groot bereik goed bekend. Gebruikmakend van redelijke veiligheidsmarges wordt het dan toch mogelijk constructies door te rekenen en te bouwen (Al wil er bi2vocirbeeld door gebrek aan inzicht in langere termijn effecten nog weleens een brug instorten).

Het gebied van de nieuwe materialen bevindt zich momenteel in een

stroomversnelling en veel van hetgeen in dit college aan de orde komt i s momenteel nog punt van onderzoek. De vakgroep WFW part.ielpeert ook in dit onderzoek. Wij zullen dan ook proberen met dit vak de ontwikkelingen te volgen en er via ons eigen onderzoek aan bij te dragen. Dit zal betekenen dat dit vak moet mee ontwikkeien en dus zal veranderen in de loop der jaxen.

Het is itaarcim voor de student. die dit vak volgt van belang om te weten dat het niet gevuld is met absolute waarheden maar met naar wij hopen moderne gezichtspunten, die soms weer terzijde worden geschoven, soms de status van degelijke, klassieke theorie verwerven.

Dit laatste heeft consequenties voor de wijze waarop het vak wordt afgerond. in plaats van een tentamen krijgt de studentfe) &Cn of meerdere recente artikelen mee die toegankelijk moeten zijn als de leerstof goed verwerkt is. Het i s de bedoeling dat de student(e) deze artikelen bestudeert en aan de docenten een samenvatting en een kritische analyse (in een soort mini- voordracht) komt geven van de inhoud. Je leert dan een technisch verhaal

presenteren en uitleggen aan een ander en je wordt meteen geconfronteerd met

een modern stuk-je onderzoek. Naar aanleiding van deze presentatie zal een cijfer worden toegekend.

-c

L =

f =

N

- u

/ -

t o

67

I

- - - -

1

2. F ( T )

3.

4.

IF

+

-b d x = h

+:

det (IF

)

-c I r c .

Yo

F.

d z

O vccu x . > o

fl

,a--

-

---

IF

Y -

B

=

i.

R.

3.

P

L,

c

+

t

L

o

-c

3

IF 3 Q.6 4

q . 4

. . . ... i ... . -. -. -. -. -. -. -. -. -. -. __ -. .

.DE TWEEDE HOOFDWET VAN DE THERMODYNAMICA.

De eerste hoofdwet van de thermodynamica is een redelijk algemeen geaccep- teerde wet geworden. De tweede hoofdwet is dit echter niet. Het gaat hier niet om het feit dat er zoiets als een tweede hoofdwet moet zijn, maar om de mathematische formulering. Er moeten nieuwe begrippen voor worden

geïntroduceerd en het is niet duidelijk of deze een puur mathematische grondslag hebben of ook een physische betekenis. Deze diskussie is te fundamenteel voor dit college en daarom vermijden we die. Wij voeren nu basisbegrippen als de absolute temperatuur 8 (8>0) en de entropie S, zonder

daar een nadere definitie aan te geven.

De 2e hoofdwet stelt dat gedurende elk thermodynamisch proces de interne entropieproduktie groter of gelijk aan nul moet zijn. De entropieproduktie is de verandering van de entropie per tijdseenheid verminderd met de

toegevoerde warmte Tit gedeeld door de temperatuur 8 .

Dus :

> o

s - -

'

Tit

8 - ( l. 3.43)

Men kan de ent-ropieprodukt.ie opvatten als een maat voor de interne dissipa- tie in het lixhaam. A l s in (1.3.43) het gelijkteken geldt heet het proces reversibel, in het andere geval is het irreversibel.

We zullen nu net. als bij de eerste-hoofdwet een lokale vorm van (1.3.43) ef- leiden. We introduceren daarvoor een entropie-dichtheid (per massaeenheid) q, zodanig dat voor de entropie geiat :

S = J q q d v

V

(1.3.44)

A l s we gebruik maken van het transporttheorema en (1.3.37) vinden we voor

(1.3.44) :

Betrekking (1.3.45) wordt de Clausius-Duhem-onseliikheid genoemd. M.b.v. de

stelling van Gausz kunnen we op de gebruikelijke wijze de lokale wet afiei- den :

(1.3.46)

A l s we g r elimineren met (1.3.40) dan vinden we :

Vaak heeft het voordelen om niet met de specifieke inwendige energie cp te werken, maar met: de specifieke vrije energie JI die is gedefinieerd als:

* = a - r l f l

(1.3.481

Daarmee gaat (1.3.47) over in

.

TOEPASSING VAN DE TWEEDE HOOFDWET EN EOUIPRESENTIE

De eerste stap die men doet bij de ontwikkeling van een materiaalmodel is een keuze maken van de onafhankelijke variabelen. Dit gebeurt op basis van experimentele ervaring of structurele kennis. Laten we eens naar thermo- elastische media met warmt.egeleiding kijken. Wat dit is, komt in hoofdstuk 3 uitgebreid aan de orde. Voorlopig volstaan we met te zeggen dat we deze ma- terialen beschrijven d.m.v. de volgende verzameling onafhankelijke variabe- len.

+ - t

lF I 8 I g = Pofl

De afhankelijke variabelen zijn :

*

f ri I IJ I s e n e

(1.3.69)

Volgens het principe van equipresentie moet elk van deze afhankelijke varia- belen een funktie zijn van & onafhankelijke variabelen, dus :

(1.3.70)

Bij bovengenoemde funktiekeuze is reeds rekening gehouden met de objectiviteitsregels. De Green-Lagrange rektensor E =

hier als invariante grootheid voor de deformatie gebruikt, de rotaties zijn expliciet geschreven m.b.v. F. Laten we eerst IJI berekenen :

(P' o p

-

O ) wordt

e

( 1 . 3 . 7 1 1

C

O

E = F o !€I o tF (zie "Niet-lineaire mechanica") (1.3.72)

Substit.utie van (1.3.72) en (1.3.71) in (1.3.60) en herrangschikken leidt tot:

(1.3.73)

Vergelijking 1.3.73 geldt in een punt van de vervormde configuratie en in een infinitesimaal kleine omgeving omgeving van dat punt. Dit betekent: dat

we niet alleen de variabelenlE,B en

5

willekeurig kunnen kiezen, maar ook

IE, 8 en

2,

omdat de weg waarlangs de onafhankelijke variabelen tot die toestand leiden eveneens willekeurig is. Let wel, dit geldt alleen omdat we in CCn punt van de ruimte kijken. Omdat deze tijdsafgeleiden slechts lineair in (1.3.73) voorkomen volgt hieruit:

* o O

( 1.3.74)

Uit de 3e relatie volgt dat 41 niet meer van leiden tot de constitutieve vergelijkingen:

mag afhangen. De eerste twee

Q = Q ff o o

Fc

(1.3.74)

Het blijkt dat de funktie die voor r u i t de tweede hoofdwei volgt netjes aan de ob jectiviteitsregels voldoet. Van (

1

.3.73 blijft nog over:

(1.3.75)

Indien

a

geheel zou zijn weggelaten volgt uit ( 1 . 3 . 5 7 ) =

d

en dan is geen

warmtegeleiding mogelijk. Dus of schoon als onafhankelijke variabele bij o

.. ~ . . . . . . . . . * ~ -. - . . . . . . . . . . -~ . . I . . . .-- . . . . . .. . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . __ ... . . .... . I - .- - .- _ -. .-__. . .. . -...-_I . . . ... . ... . ...

. . . .... - . _. . . ... .... ... I ... ~ -___.. . . . . . _ _ _ .- ... - . ... .I_.____... - ... I . .... ~ a ... ... _ _ . _ _ . . . .-. . . . . . . __ .. ... :...-....~eLeK""d""$" _sk

...i...

. . . . . . . . . .

. ~ .

. ...

k

-I C *

1 .

2.

. . . .- ...

i.

! . . . . . . . - _. ._. - . . _. . . . .. . . . . . . .. .- ... . _ - -

-... - ... .... -- . ... ... _-__.---_I_...____-- I-._ .. ...I ...

. . . . ....I__..._._.._I.__ ... ~- .. -- ... _- . . . ... .

. . . .Y . . . .

o++

... 1-_- _ - _ _ _ _ _ _ - _ I _ .. ... ... ...._.__l___._l__._^_

&(t)

=

i\-

-+

- a

c

t

s - t

t t - t f = t S = *

i

-I -C

l i

.

Q It=

1.

4 . y

e,

=

\ -

om

d e

.... ....-..I. ... _-. . . . . - .. __ ... .. . . . . - . . . ~- . . -. . . ...

. . . .. -. . -. . . .. -... . _-_I .... .._.._I_._. . . . . . . . . . ... .... . . . ... __-_ . . . . . . . . - . . . ... . - . . . . . . . -. . . . . . . .. . . . . .

. . . . .- . ... . . .. . . . . . . . . ... . . . ~. . . . . - Y 7r

F=L:u

=

( f p -

4 4

F ,

ü J i ,- I j

4 F , Ü

--+ F,U

cr&f

=

Y

o

i

O o O O O 0 G; i Q Q D O O o O O O O

G;I

o o 6-' t Q O

L w 4 Y Y) u 9 w 1c LL c Y) ?.

I

I

I I I

I

_ -

. .

,

I ,

. INLEIDING.

in het vorige hoofdstuk is een manier besproken om tijdsafhankelijk

materiaalgedrag te beschrijven. De viscoelastische theorie levert een

wiskundig gereedschap, om op fenomenologische wijze met ti jdsafiiankelijk gedrag om te gaan. Dit betekent dat alleen een beschrijving van dit gedrag van belang is, niet de f y s k h e mechanismen waardoor het veroorzaakt wordt.

De mengseltheorie levert ook beschrijvingen van tijdsafhankelijk gedrag. De theorie wordt gebruikt, als het materiaal dat wordt beschouwd, bestaat uit een mengsel van verschillende materialen, die, omdat ze t.o.v. elkaar kunnen

bewegen en een zekere interactie met elkaar hebben, tijdsafhankelijk gedrag

van het geheel veroorzaken. Een voorbeeld hiervan is gewrichtskraakbeen, dat

bestaat uit een poreus vaste stof skelet, opgebouwd uit collageen, dat

gevuld is met een visceuze vloeistof. neze vloeistof neemt ongeveer 802. van

de totale massa van kraakbeen in. Hierdoor gaat het kraakbeen zich als een

soort spons gedragen. De interactie tussen vloeistof en vaste stof

veroorzaakt tijdsafhankelijk gedrag.

In feite zijn alle bj.ologische materialen mengsels, dus je kunt je afvragen

waarom ze niet; allemaal op deze wijze beschreven worden. Hiervoor zijn een

aantal oorzaken aan te wijzen:

i . Vaak kan men met viscoelastische modellen goed uit de voeten en heeft men geen behoefte aan de 'extra' informatie van mengselmodellen.

2. De mengselthe#orie is nog in ontwikkeling en dus niet in zijn geheel,

algemeen geaccepteerd.

3. Voor een mengselmodel moet men net als bij structurele modellen beschik-

ken over kennis van de individuele componenten tn hun interactie en deze

informatie is erg moeilijk te vinden.

Tot: nu toe worden in de biomechanica rengselmodellen alleen bij de beschrij-

ving van kraakbeen algemeen gebruikt. Octaiens (1985) heeft het toegepast op huid en vetweefsel. Huyghe (1984) gebruikte een mengselmodel voor de hart- spier. Er bestaat een toenemende interesse om ook voor andere biologische materialen dit: soort modellen te gebruiken.

Xn paragraaf 5.2. worden de basisaannamen die de grondslag vormen van de mengseltheorie behandeld. In paragraaf 5 . 3 . t / m 5.5. worden de diverse be- houdswetten VOOK mengels afgeleid. In 5.6. wordt de theorie toegepast op een mengsel van een vloeistof en een vaste stof. Dit levert een beschrijving die veel voor kraakbeen wordt gebruj.kt

.

In paragraaf 5.7. worden de vergelij- kingen die het. mengsel uit 5.6. beschrijven in een hanteerbare vorm gegoten, waarna in paragraaf 5.8. een typisch mengselexperiment wordt beschreven.

De basisaanname die de grondslag vormt van de mengseltheorie stamt reeds uit de lgde eeuw. Peze gaat ervan uit dat een mengsel beschouwd mag worden als een superpositie van een aantal eenfasige continua die elk hun eigen bewe- ging volgen. Hier staat dus dat elke component van het mengsel een continuum is dat in feite is uitgesmeerd over het gehele mengselvolume, dus ook over posities die in realiteit door andere componenten worden ingenomen. In meer

mathematische termen betekent dit dat op ieder tijdstip t iedere positie

f

van het aenysel bezet wordt door a deeltjes X", waarbij ieder deeltje Xu correspondeert met h6n mengselcomponent. Vanwege deze aanname kunnen we voor elke component afzonderlijk de normale behoudswetten formuleren. In zo'n behoudswet voor tkn component komt de aanwezigheid van de andere componenten tot uiting in een extra term die de interactieterm wordt genoemd.

Laten we nu een mengsel beschcmwen van v continua die relatief t.o.v. elkaar

bewegen. We definiexen een vaste oorsprong O. Op tijdstip t wordt: de positie

2

ingenomen door v deeltjes Xa (a=l

,

.. . .

, V I .

We geven elk deeltje Xa zijn &.gen positievektor X"(t).

Er geldt dus:

+l +2 = Xff(t) =

...

XV(t) ( 5 . 2 . 1 )

x (t) = x (t) =

...

Elke positievektor is een funktie van de tijd en van de positievektor van het beschouwde deeltje in de oorspronkelijke, onvervormde configuratie.

Deze oorspronkelijke configuraties komen o.h.a. niet overeen voor de ver-

schillende fasen. Dit houdt in dat per definitie de

2"

samenvallen maar de daarbij behorende

2;

hoeven dat Diet te doen. We kunnen met de deeltjes Xu ook een snelheidsveld associëren, gedefinieerd door:

In het algemeen zal

Ga

verschillend zijn voor iedere a. Als we van de een of andere physische grootheid Ji de materiële tijdsafgeleide willen nemen dan zullen we daarbij een component als referentie moeten nemen. A l s de waarne- mer de component a als referentie gebruikt, dan schrijven we:

( 5 . 2 . 4 )

0

representeert de gradientoperator met betrekking tot de coördinaten van de

vervormde configuratie. Vanwege het bovenstaande is

?

hetzelfde voor elke

fase. A l s de grootheid

4

een vektor is dan geldt:

( 5 . 2 . 5 )

Voor iedere component van het mengsel kunnen we een def orma tietensor

def M . e r e n

( 5 . 2 . 6 )

De gradientoperator

?Aui

heeft betrekking op de coördinaten van de onvervor-

mde cunfiguratie en is dus voor elke fase anders

(

2:

#

.'o

als u # $ ) . Omdat een èknduidige relatie bestaat tussen

xu

en

2;

voor iedere fase is F" inverteerbaar:

( 5 . 2 . 7 )

In het bovenstaande hebben we ons beziggehouden met kinematische grootheden van componenten. Het is ook mogelijk om grootheden te definiëren voor het mengsel als geheel. ECR van de eisen die men daaraan stelt is dat behouds- wetten voor het mengsel als geheel dezelfde vorm hebben als die van eenfa- sige materialen, het mengsel 'weet' immers niet dat het een mengsel is. Dit

leidt tot bijvoorwaarden waaraan de interactieterisen roeten voldoen. Vaak

zijn deze bijvoorwaarden eenvoudig plausibel te maken. Daarom zullen wij de-

ze niet afleiden, maar gewoon geven. In de volgende paragraaf zullen we de

DE WET VAN BEHOUD VAN MASSA.

We definiëren de echte dichtheid 0: van een component a als:

a

vu

a

-

passa van component a

Q*

-

volume van component a

-

-

Verder definiëren we de volumefractie van component a als:

nu

= Y olume van component a

2

volume van het mengsel V

( 5 . 3 . 1 )

( 5 . 3 . 2 )

ûmdat we elke component van het mengsel beschouwen als een cont.inuum dat. is 'uitgesmeerd" over het: gehele mengselvolume bestaat er ook zoiets als een schijnbare dichtheid ga van component a, gedefinieerd als:

u

assa van compcment a

-

m

e* =

volume van het mengsel

-

v

Het zal duidelijk zijn dat geldt:

( 5 . 3 . 3 )

(5.3.4)

Laten we nu een willekeurig, maar vast volume R in de ruimte definiëren. De verandering van de massa van component a in dit volume wordt gegeven door:

(5.3.5)

De hoeveelheid massa van component a die door net oypervìak S vain ket gege-

ven volume R stroomt per tijdseenheid is gelijk aan:

pa vy"

is

ds S

(5.3.6)

Daarbij is

ns

de naar buiten gerichte eenheidsnormaal op S . Behoud van massa betekent :

u *a

J

$

dV

+

J Q v 0 asds = J c' dV

R S R

( 5 . 3 . 7 )

De grootheid cU representeert de massavoorziening aan component a afkomstig van de andere Componenten. Dit kan bijvoorbeeld hei; geval zijn bij chemische

reacties, waar de ene component overgaat in een andere. De term met ca is

een voorbeeld van de eerder genoemde interactie-termen.

Rijken we naar het mengsel als geheel, dan is eenvoudig in te zien dat:

V

r

c ' = o (5.3.8)

u= 1

De massauitwisseling tussen de componenten onderling mag de totale massa niet beïnvloeden, vandaar ( 5 . 3 . 8 1 .

We kunnen op (5.3.7) de stelling van Gauss toepassen, waardoor de oppervlak-

te integraal in een volumeintegraal verandert. Omdat R wj.llekeurig is leidt

dit uiteindelijk tot de locale wet van behoud van massa: ~ + ? . , ' ; a = c u

,

Er"

~ BEHOUD VAN XMPUTS EN IMPULSMOMENT.

De impuls per eenheid mengselvolume van component u wordt gegeven d m r

OIX

f".

Kijken we weer naar een willekeurig, vast volume R dan geldt voor de

verandering per tijdseenheid van de impuls van component a:

De impuls die wegstroomt door oppervlak S is:

a +a+a +

J Q v v O n s d s S

( 5 . 4 . 1 )

( 5 . 4 . 2 )

Bovengenoemde impulsverandering moet gelijk zijn aan de externe krachten,

uitgeoefend op dit volume en de impuls die wordt geleverd door de andere

componenten. Voor de externe krachten hebben we te maken met volumekrachten

per massaeenheid

3.

Verder introduceren we een vektorveld

g'

als de kracht

per oppervlakte eenheid die component u buiten R uit.oefent op u in R. Deze partigle spanningsvektor heeft i.n de mengseltheorie dezelfde rol als in de mechanica van een enkel continuum. Bovendien introduceren we een volume kracht

f"

die ont.staat door interactie effecten met de andere componenten,

bijvoorbeeld omdat ze t.o.v. elkaar bewegen. Tot slot is er nog de impuls

toename van fase a t . g . v . de massauitwisseling co[. Als we aannemen dat de

nieuwe toegevoegde massa ca dezelfde snelheid krijgt als fase u dan levert

dit een impulstoename

cUfu.

De wet van behoud van behoud van impuls luidt.

nu : a+u+u + j

at

(pu?) dV

+

j Q v v 0 ns dV = R S = j

+

+

c a p ) dV

+

j

ga

dS R S (5.4.3)

Volgens de stelling van Cauchy kunnen we een partiële spanningstensor au

definiëren, zodanig dat deze de normaal

gs

lineair afbeeldt op

??

volgens:

( 5 . 4 . 4 )

-e "s

Maken we vervolgens gebruik van de stelling van Gauss, de wet van behoud van massa, ( 5 . 3 . 9 ) en het f e i t d a t R willekeurig is, dan vinden we de locale wet

van behoud van impuls:

D i t kunnen we nog vereenvoudigen m.b.v. de identiteit:

3 .

(as;)

=

( L a ' )

i t t a 0 G

( 5 . 4 . 5 )

( 5 . 4 . 6 )

Maken we gebruik van ( 5 . 4 . 6 ) dan gaat: ( 5 . 4 . 5 ) over i n :

( 5 . 4 . 7 )

+ a u+a +u

= V O O t p q t n

Haken we t o t slot gebruik van de wei; van behoud van massa, vgl. ( 5 . 3 . 9 1 , dan

worüt de locale wet van behoud van impuls:

a+a ;a

(u)-

u-= $ O ga

+

Q Q

D T ( 5 . 4 . 8 )

De wet van behoud van impulsmoment geven we hier alleen i n integraalvorm: J

at

(XU

*

Q a+a v dV =

-

j o

(x

*

p a+a+u v v

1

dV

n b

n A

t J

?

o

(x"

*

au) dV t J

ia

dV

R R

( 5 . 4 . 9 )

Alle termen behalve

tu

volgen direkt u i t de voorgaande diskussie. De

grootheid

io'"

is weer een interactieterm met dezelfde' oorsprcrng a l s de andere temen

za

en ca. U mag ( 5 . 4 . 3 ) meteen weer vergeten. Wat van belang is, i s

de consequentie van

mu.

Normaal volgt uit de wet van behoud van impulsmoment

dat de Cauchy spanningstiensor symmetrisch is. A l s

bewerkelijke afleiding dat oa niet symmetrisch is. Het blijkt dus .dat er

mengsels kunnen bestaan waarvoor de partiële spannings tensor nj et-

symmetrisch is. Voor de mengsels in dit college geldt:

Ga

=

6,

dus oa = o‘

.

Beschouwingen over het mengsel als geheel leiden tot:

$

6

dan volgt: na een

C V

r.

[Va

+

=

o

a= 1 V

r

; “ = o

( 5 . 4 . 1 0 ) ( 5 . 4 . 1 1 ) u= 1

. % o DE EERSTE EN TWEEDE HOOFDWET VAN DE THERMOIIYNAMTCA.

Wij postuleren voor de eerste huofdwet van de thermodynamica:

1 a+a a a+a

[Qawa t

2

e v

fa]

dV t J Q e

v

0

ifs

dS

R S

(5.5.1)

Als we (5.5.1) vergelijken met hetgeen behandeld is in paragraaf 1.3.2 dan blijkt dat eigenlijk alleen de onderstreepte termen n h u w zijn. Een verschil

is wC1 dat in (1.3.2) uitgegaan werd van een variabel volume en hier van een

vast volume in de ruimte (let. wel: dit is

u

het onvervurmde volume). Dit

verschil is niet wezenlijk. Het: eindresultaat is hetzelfde. Term 1 i.n (5.5.1 ) heeft weer dezelfde oorsprong als ;f' en ca en is een gevolg van interactieeffecten. Term 2 ontstaat omdat eerder genoemde interacties

vermogen toevoegen aan component a. nat gebeurt door het verrichten van

arbeid door interactiekracht

Y'

en toename van de inwendige en kinet.ische energie van de toegevoegde massa.

Omwerken naar een lokale wet gaat weer hetzelfde als in eerdere paragrafen.

Toepassing van de stelling van Gauss en gebruikataken van het feit dat R

willekeurig is leidt tot:

+a

-

*a

+

O

0 ( a o v ~r v o

it"

t Qara

1 f"

t E"

+

$" O ;u t ca [va t

3

Uitvoeren van de tijdsdifferentiatie

t

QQP

O

SU]

en herrangschikken

(5.5.2)

( 5 . 5 . 3 )

De eerste term in het linkerlid i5 nul vanwege de wet van behoud van massa.

H.b.v. 1.3.32 t/m 1.3.34 gaat (5.5.3) over in:

(S.5.4)

Met de w e t v. behoud van impuls kunnen we nog een aantal termen elimineren, zodat. we een relatief eenvoudige eerste hoofdwet. overhouden:

(5.5.5)

Het enige waarin deze wet. afwijkt van ( 1.3.40) is de term .'E beschauwingen

over het: mengsel leiden tot de restrictie:

1 *a *ct

V

L { E a + ; a t C a ( q l a + p r o V ) f

= o

a= 1

(5.5.6)

Wat tot nu toe gepresenteerd is van de mengseltheorie, 15 rond 1960

geformuleerd en daarna niet veel meer gewijzigd. Er bestaan wel andere

methoden om de problematiek aan te pakken maar die zijn vaak in elkaar over

te voeren. Het grootste deel van de diskussie na 1960 heeft betrekking op de tweede hoofdwet en deze diskussie is helaas nog niet afgelopen. Essentieel daarbij is o f men grootheden als entropie, vrije enkrgie enzovoorts moet definiëren voor het mengsel als geheel en dan eisen dat de ent.ropieproductie

groter of gelijk aan nul is, Men kan namelijk ook thermodynamische grootheden toekennen aan de komponenten en dan eisen dat de totale

entropieproduktie groter dan of gelijk aan nul is. Dit: zou betekenen dat er

komponenten kunnen bestaan waarvoor de entropi eproduktie kleiner dan nul is.

€en ander punt wat voortdurende diskussies uitlokt is de keuze van de set van onafhankelijke variabelen die men moet doen alvorens men de tweede

hoofdwet gaat toepassen. Voor degenen die meer willen weten van deze

diskussie verwijs ik naar de artikelen van Bowen (1976) en Atkin en Craine (1976). Bij de eenvoudige mengsels maakt tiet niet zoveel uit; wat men kiest.

Wij definiëren voor iedere component een partiële specifieke entropie

ua

en

temperatuur û‘ en postuleren in navolging van (1.3.46) dat moet gelden:

(5.5.7) We stellen dus dat de entropieproduktie van het iaengsel groter o f gelijk aan nul moet zijn, maar dat dit niet perst! hoeft te gelden voor een fase afzon- derlijk. introductie van de vrije energie J, ( =

-

qe), elimineren van para

m.b.v. de eerste hoofdwet en gebruik maken van restrictie (5.5.6) leidt tot:

( 5 . 5 . 8 )

Dit lijkt een vreselijke formule, om te hanteren, maar ùe meeste mengsels laten een sterke vereenvoudiging toe. In paragraaf’s. 6 blijkt (5.5.8) dan redelijk bruikbaar te worden.

i. EEN MENGSEL VAN EEN VLOEISTOF EN EEN VASTE STOF.

In deze paragraaf zullen we o p dezelfde wijze als in paragraaf 1 . 3 . 5 de be- perkingen hanteren van de tweede hoofdwet en het principe van equipresentie. Het rekenwerk, dat hiervoor nodig is, is nogal omvangrijk. EK wordt nj.et van

U verwacht of verlangd dat U dit allemaal exact narekent. WB1 is het be-

langrijk dat: U probeert de gedachtengang te volgen. De fysische

interpretati.e van een aantal grootheden kan op het tentamen gevraagd worden.

De recapitulatie in paragraaf 5.7 en het voorbeeld in paragraaf 5.8 zijn

belangrijk.

Het toepassinysgebied waarvoor we kiezen is kraakbeen. Men kan kraakbeen op-

vatten als een mengsel van vaste stof (: 202. van de totale massa) en een in-

terst;j.tiële vloeistoffase. Deze samenstelling maakt; kraakbeen een uitermate geschikt materiaal, om met een mengselmodel te beschrijven. We beginnen eerst met een aantal vereenvoudigende aannames:

-

We gaan uit van een mengsel van een vaste stof en een vloeistof, dus

-

We nemen aan dat er geen chemische interactie tussen vloeistclf een

v = 2 .

vaste stof plaatsvindt, dus ca = O.

-

Verder houden we de temperatuur kcmstant en onafhankelijk van de

(af a

plaats, dus

u

nt = O en

ha

= O. Ook hebben beide fasen dezelfde temperatuur.

zijn, d.w.z. de materialen waaruit beide fasen zijn opgebouwd zijn incompressjbel.

-

Tot slot nemen we aan dat beide fasen intrinsiek inccmpressibel

We gevrrr de grootheden ye.n de vaste stof air! eet bovenindex s !=solid! en

die van de vloeistof met f (=fluid). We kunnen dan voor (5.3.9) schrijven:

/

f

Intrinsiek incompressibel betekent, Q* en Q: zijn onafhankelijk van de tijd.

Bij een homogene verdeling van materiaal geldt. ook V Q *

-

V Q *

-

O. We kunnen

dan Q* en Q* uit vergelijking (5.6.1) wegdelen. Tellen we vervolgens de ver- gelijkingen bij elkaar op dan vinden we.

* f - * S - f

( 5 . 6 . 2 )

Uit de definitie van de volumefrakties volgt dat nf

+

n, = 1 dus:

Vergelijking (5.6.3) is de wet van behoud van massa en laat zien dat in dit geval volumeverandering van de vaste stof (=$ o

fS)

alleen mogelj-jk is, als er vloeistof uit het mengsel verdwijnt.

Volgens basisprincipe 4 (pagina 1.26) is een proces thermodynamisch toelaat- baar als voldaan wordt aan de balansvergelijkingen en de tweede hoofdwet. Nu is het altijd mogelijk om aan de impuls balans en de eerste hoofdwet te vol- doen, omdat beide wetten brontermen bevatten " (; en

?")

die in principe vrij te kiezen zijn. De wet van behoud van massa heeft dit niet en is dus een

echte bijvoorwaarde. We kunnen die meenemen in de beschouwing door voorvex-

menigvuldiging met een Lagrangemultiplicator A en daarna opstellen bij de

tweede hoofdwet.

Gebruikmakend van al het bovenstaande moeten de constitutieve wetten van kraakbeen dus aan de volgende voorwaarde voldoen:

De afhankelijke variabelen zijn:

Het blijkt dus dat het: zoeken van een constitutieve wet meer is dan zoeken naar een relatie tussen spanningen en vervormingen. Ook voor inkeractieter-

men als

gs

moeten constitutieve wetten worden gezocht.

A l s onafhankelijke variabelen kiezen we:

Het snelheidsverschil tussen vaste stof en u-aeistof word- meegenomen omdat verwacht: wordt dat hierdoor een impuls overdracht plaatsvindt. De dichtheid

Q

van +Q

We substitueren nu

ff

-

fs

=

in (5.6.4). Na heel veel rekenwerk leidt dit uiteindelijk tot:

f _{geeft iets weer van de verhouding vloeistc)f/vaste stof. De aanwezigheid}

f _{vindt zijn oorsprong in de thermochemie.}

en ifpf =

$

en gaan hei; een en ander invullen

( 5 . 6 . 5 )

(f

1

( f )

ûmdat: DS Df ?E5 +* Vy I

,

Dt I (i;: willekeurig te kiezen acreten

(5.6.61 (5.6.71 (5.6.01 í5.6.9) (5.6.101 (5.6.11 1

L a t e n we formule (5.6.61 eens nader b e k i j k e n . H e t uitsmeren van physische grootheden van componenten o v e r h e t gehele volume van h e t mengsel kan aannemelijk worden gemaakt aan de hand van een middelingsprocedure, waarmee aan een punt i n de ruimte de gemiddelde waarde van de beschouwde physische

grootheid i n de d i r e k t e omgeving van d a t &

J punt wordt toegekend. Beschouwen we nu

even h e t mengsel als een verzameting k o r r e l s d i e omgeven r i j n door water. We v e r o n d e r s t e l l e n d a t de v l o e i s t o f

n,Lgt, beweegt t.o.v. de vaste s t o f . A l s

h e t geheel b e l a s t wordt dan z a l o v e r a l in de k o r r e l s een hydrostatische druk t . g . v . h e t water heersen.

/

7

_{M y O S 0 snTi3cci}

Daarnaast z u l l e n e r spanningen onstaan door e l a s t i s c h kontakt tussen de kor-

volume VE definiëren waarover we gemiddelde spanningen uitrekenen dan geldt; voor die gemiddelde spanning:

<a>

-

-

I-

_~s

(Okontakt

-

p I) dV

"E V,

( 5 . 6 . 1 2 )

*

De grootheid VE is het volume, dat wordt ingenomen door de vaste stof. de spanning die puur ontstaat tengevolge van elastisch Verder is akontakC

kcmtakt tussen de vaste stof deeltjes onderling en p de overal

tegenwoordige hydrostatische druk t.g.v. de aanwezigheid van de vloeistof.

Indien we aannemen dat de druk p binnen het kleine volume VE weinig

verandert, mogen we voor ( 5 . 6 . 1 2 ) schrijven:

. Y VS d V - l p 1

- i

S Is 'kontakt VE vE VE <a>

-

(5.6.13)

Hierbij is verondersteld dat binnen het volume V i de druk p nauwelijks vari- eert.

Die kontaktspanning is in de grondmechanica een bekend begrip. Men noemt dit de effectieve spanning. U i . t (5.6.6) blijkt: dat; de eerst term aan de rechter- zijde de effectieve spanning is en dat de Lagranye-multiplicator te inter- preteren is als de hydrostische druk (in dit geval afkomstig van de incom- pressibili teits voorwaarde). De term met

ö4s/aa

representeert de spanningen in de vaste stof t.g.v. de beweging van de vloeistof t.o.v. de vaste stof.

vloeistof en de-vaste i t o f aan t.g.v. een veranderlng van de verhouding vloeistof/vaste stof ( Q ~ = Q* n 1. We nemen aan dat deze termen klein zijn t.o.v. An i.

f f

f

Als we aannemen dat

gs

lineair afhangt van

a

en

2

kunnen we ( S . 6 . 1 1 ) nog iets verder uitwerken. Stel:

Dan moet: gelden:

(5.6.13) We verwaarlozen de term met a 4 ~ ~ / 3 p ~ . Vaak wordt verondersteld dat voor B geldt dat deze tensor gelijk is aan

-

A/p* zodat uiteindelijk voor de impuìsinteraktieterm geldt::

f

(5.6.14)

De eerste term aan de rechter zijde van (5.6.14) wordt in het Engels

'diffusive drag' of 'Stokes drag" genoemd en is in feite de impulsoverdracht: van vloeistof naar vaste stof t.g.v. beweging van de vloeistof t.o.v. de vaste stof. De vloeistof sleepi: als het ware de vaste stof mee. De tweede term wordt de 'Buoyancy force' genoemd en ontstaat door

dichtheidsverscìiillen in de v1oeist:of.

RECAPITULATIE.

We zullen in deze paragraaf een keer recapituleren welke vergelijkingen een

rol spelen bij de beschrijving van een mengsel van een vaste stof en een

vloeistof (onder isotherme omstandigheden). We hebben te maken met de behoudswetten:

-

i Behoud van massa:

3

O

nf

(3'

- fS)

t

3

0

fS

=

o

2

Behoud van impuls:

3

O qs

+

15

=

is

(5.7.1)

(5.7.2)

N.R. Hierbij is aangenomen dat traagheidseffecten te verwaarlozen zijn en dat yravj.tetie geen rol speelt.

De eerste hoofdwet van de thermodynamica speelt in dit geval geen rol en aan

de tweede hoofdwet wordt voldaan door de volgende constitutieve wetten:

Voor de vaste fase:

Voor de vloeistof fase :

f s + & uf = -An I

-

p a

aa'

Voor de interactieterm: ( 5 . 7 . 4 ) ( 5 . 7 . 6 ) ( 5 . 7 . 8 )

We noemen de eerste term aan de rechterzijde van formule (5.7.4) de effec- tieve Cauchyspanning:

( 5 . 7 . 8 1

Tellen we vergelijking (5.7.2) en ( 5 . 7 . 3 ) op en substitueren we daarin de cotìatitUtieve getter! !5,?.4! ear ( 5 . 7 . 5 ) dan vinden we de impulsbalans voor

het mengsel:

DUB : ( 5 . 7 . 3 )

Verder kunnen we m.b.v. (5.7.6) de wet v. behoud van-impuls voor de vloei-

- a

e An f I

-

A

a ' +

A

iinf

= O

Uit ( 5 . 7 . 1 0 ) volgt:

Of

We definiëren nu de Permeabiliteitstensor X als:

K = (nf)* A-'

Substitutie in ( 5 . 7 . 1 1 ) leidt tot:

.*

nf

(ff

-

= -K e VA ( 5 . 7 . 1 0 ) ( 5 . 7 . 1 1 ) ( 5 . 7 . 1 2 ) ( 5 . 7 . 1 3 )

Deze impulsbalans voor de vloeistof staat bekend als de wet van Darcy. Dit

is een oorspronkelijk empirische wet voor stromingen door poreuze media die vooral in de yrondmechanica een belangrijke rol speelt. Substitueren we

( 5 . 7 . 1 3 ) in de wet van behoud van massa dan leidt dat; t o t :

( 5 . 7 . 1 4 )

De vergelijkingen ( 5 . 7 . 9 ) en ( 5 . 7 . 1 4 ) met. rand- en beyinvoorwaarden be- schrijven het gedrag van een mengsel van een vloeistof en een vaste s t o f . in paragraaf 5 . 8 wordt dit toegepast op kraakbeen.

e,

...

DE EEN-DIMENSIONALE COMPRESSIE TEST.

De meest eenvoudige proef om materiaaleigenschappen t e bepalen aan materia- l e n d i e bestaan u i t een mengsel van een vaste- e n een v l o e i s t o f i s de zoge- naamde "confined compression t e s t " . Confined betekent beperken, begrenzen en s l a a t op h e t onderdrukken van bepaalde vervormingen. De t e s t werkt a l s

v o l g t . E e n preparaat wordt i n een z e e r goed passende r i n g g e p l a a t s t e n daar- na op een poreus f i l t e r gelegd, d a t v e e l s t i j v e r is dan h e t preparaat. Bo- vendien i s de p e r m e a b i l i t e i t van h e t f i l t e r v e l e malen hoger dan d i e van h e t preparaat. . . -

.

_ _

-. F

Iy

I

1.-

-

y=L

I

&Y

-

-y'O F i g . 5 . 8 . 1 #

Scheiiatic drawing of the confined compression t e s t .

Vanwege de nauw passende r i n g kan h e t preparaat a l l e e n vervormen i n de y-

r i c h t i n g ( z i e F i g . S . 8 . 1 ) .

De vervormingen i n andere r i c h t i n g e n worden onderdrukt. Stroming van v l o e i - s t o f kan 46k a l l e e n i n y - r i c h t i n g plaatsvinden. H e t weefsel wordt namelijk

b e l a s t met een stempel d i e eveneens goed past i n de r i n g . Op t i j s t i p t=O wordt e e n 20 goed mogelijke stapvormige b e l a s t i n g F,aangebracht op h e t pre-

paraat. Vanwege de i n c o m p r e s s i b i l i t e i t van zowel vaste a l s v l o e i s t o f f a s e kan h e t preparaat a l l e e n vervormen t . g . v . uitstromen van v l o e i s t o f . Door deze opzet wordt de gehele proef één-dimençionaal en reduceren de v e r g e l i j k i n g e n

(5.7.91 en 5.7.14) t o t :

( 5 . 8 . 2 )

u is de normale Cauchy spanning van de vaste stof op een vlak met een nor-

maal in de y-richting.

A is de hydrodynamische druk.

v

i s de verplaatslng in y-richting.

K is de permeabiliteit in y-richting.

Gaan we uit van kleine vervormingen en een lineaire, isotrope vaste stof, dan kunnen we met behulp van (3.3.26) schrijven:

u = ( A

+

2 ~ ) E = HE (5.8.3)

is de infinitesimale rek.

E = ay

H wordt de ccmf ined ccjmpression modulus genoemd.

Let wel: We hebben hier niet te maken met een lijnspanningstoestand. Om de

vervormingen loodrecht op de y-richting te onderdrukken zijn er vanwege de

dwarscontractie wel degelijk spanningen in die richting.

Als we aannemen dat R konstant is kunnen we m.b.v. (5.8.3) a en v elimineren

zodat we alleen een partiële differentiaal vergelijking voor de hydrodynami-

sche druk overhouden

(5.8.4)

Het is handig om in dit stadium dimensieloze grootheden te introduceren:

T = E t L2

( 5 . 8 . 5 )

L i s de hoogte van het preparaat.

Daarmee reduceert vergelijking ( 5 . 8 . 4 ) t o t :

( 5 . 8 . 5 )

De beginconditie wordt gegeven door :

P =

1

voor O

1

Y

1

I op T = O

D i t vraagt c m _{een verklaring. Beide fasen zijn intrinsiek incompressibel.} Op

T = O, op het moment dat de belasting wordt aangebracht kan nog geen

vloeistof wegstrornen dus kan ook geen vervorming optreden. Spanningen t . g . v . elastisch kontakt zullen er dus nog niet zijn. Krachten evenwicht met de uitwendige belasting kan dus alleen bereikt worden door een hydrodynamische

druk die gelijk i s aan de uitwendige spanning.

Op T

>

O kan vloeistof gaan wegstromen. De randvoorwaarden worden dan:

P = O OP Y = O (Vrije uitstroming)

a = ,

OP Y = l (Geen stroming door Y =

1 )

( 5 . 8 . 6 )

dY

De oplossing van d i t probleem kan worden gevonden i n elk standaardboek over