H1: Vectoren

Hoofdstuk 1:

Vectoren.

a. Ze moet dan met 4N trekken.

b. Voor de horizontale component van de trekkracht geldt: cos 45o  thor₄ , ofwel 4 cos 45 2 2

hor

t   o  _{. De verticale componenten van beide hondjes zijn even} groot maar tegengesteld. Mirjam heeft een trekkracht nodig van 4 2N.

2. a. b. 3ar2ar 5ar c. 1 1 2 2 2 ar 1 a ar  r 3. a. De twee tn zijn

even groot, maar tegengesteld. Die heffen elkaar op. Beide sleepboten

oefenen ook een horizontale trekkracht uit op het schip. b. cos30o ₁₀₀₀₀th

10000 cos30 8660

h

t   o

N. De sleepboten samen leveren een trekkracht van ongeveer 17.321 N. 4. a./b. c. ₃2_12 _{ 10 3,2 m} d. 1 3 tan AB AT T    1 1 3 tan ( ) 18 T     o 5. 6.

a. De zwemmer zwemt met een snelheid van 40 m/min schuin naar links tegen de stroom in. z r vert z vert r v v v v v v    

uur uur uuur uur uuur uur

b. De horizontale component van de vector van de zwemmer moet dus tegengesteld en even groot zijn als die van de rivier.

25 40 cos 51     o

De zwemmer moet dus onder een hoek van 180 51 129  o _{met de stroomrichting}

zwemmen om precies loodrecht aan de overkant aan te willen komen.

ar

3a

r

a



r

2

a

r

 

1

a a

r r



v

r

v u

r



r

v u

r



r

u v

r



r

7.

a. De som van Fur₁ en Fuur₂ is even groot als Fuur_z maar tegengesteld (recht omhoog), want het gewicht hangt stil.

b. Fuur_z  (Fur uur₁F₂)  Fur uur₁ F₂

1 2 0

z

Fuur ur uurF F  Bovendien hangt het gewicht in evenwicht, dus de som van de krachten die op dat gewicht werken moet 0 zijn.

8. 9.

a. De vector pur gaat 2 naar rechts en 16 naar beneden. Het eindpunt is dan (-5, 18)

b. 8 naar links en 64 omhoog: beginpunt is (19, 52) c. eindpunt (-1, 8) d. (15, -77) 10. a. 1 2 1 1 3 4 a b      _{     }         r r _{1 2 3} 1 3 2 a b     _{    }    _        r r _{3 4 7} 3 2 3 6 3 a b_    _{   }   _        r r b. ar  ( 1) 2 12  2 _br _{ 2}2_32 _{ 13 a b}r r_{  1}2_42 _{ 17} 2 2 ( 3) ( 2) 13 a br r      _3ar_2br _{ ( 7)} 2_{ ( 3)}2 _{ 58} c. 3ar  ( 3) 2(3)2  18 3 2 3 ( 1)   212  3 ar d. 0 0 c _{  }    r 11. a. 4 1 KL_{  }    uur

d. omdat _{OA AB OB}uuur uuur uuur_{ }

b. 6 2 4 5 4 1 OL OK      _{     }        uur uuur e. 12 14 26 20 18 2 BA OA OB  _  _{ }   _{ } _         

uur uuur uuur

c. 14 12 26 18 20 2 OB OA _  _{ }  _{ }  _         uuur uuur 12. a. 3 1 4 31 30 1 AB  _{  }    _{  }       uuur _{4 3 1} 35 31 4 BC _     _{    }        uuur _{0 4 4} 34 35 1 CD_  _{ }  _{ }  _        uuur 0 1 1 34 30 4 AD_  _{ }    _{  }       uuur

b. ABuuur  4212  17  BCuuur  CDuuur  ADuuur

13. a.

b. _vr en _wur zijn beide veelvouden van 2 1    _   c. 2 1    _  , 8 4   _    en 10 5   _    d. 2 1       , 8 4        en 10 5        e. 1 2       en veelvouden daarvan : 2 4       en 3 6       f. 20 0      , 2 4    _    en 3 11       14. a./b. c. cos27 6 OP OP OA   uuur uuur o uuur sin27 AP OQ₆ OA   uuur uuur o uuur 6cos27 5,35

OPuuur  o  _OQuuur _{6 sin27}o_2,72

d. A(5.35, 2.72) 15. -16. a. 2.00 uur: (4, 16) 2.30 uur: 1 1 2 2 (4 , 17 ) 3.00 uur: (5, 19) b. Om 16.00 uur bij de Afsluitdijk.

c. De richting van het jacht is 1 naar rechts en 3 omhoog. Vanaf Medemblik moet het jacht nog 75 naar rechts, en dus 225 naar boven. Het jacht gaat door het punt (77, 235). 17. a. 2 uur: 2 2 1 2 2 4 10 3 10 6 16 x y                                           en 3 uur: 2 3 1 2 3 5 10 3 10 9 19 x y                                           b. 2,75 : 2 2,75 1 2 2,75 4,75 10 3 10 8,28 18,25 x t y              _{  } _ _{  } _{ } _{ } _             18. a. 5 : 1 5 3 1 15 16 2 4 2 20 22 x y      _{   }      _{    }   _{ } _             1 3 1 6 5 2 : 2 2 4 2 8 6 x y    _{   }          _{    }    _{ }  _               1 1 2 2 1 1 2 2 1 3 1 4 5 1 : 1 2 4 2 6 8 x y   _{   }     _{   }    _{  }  _            

b. Voor  0. c. 1 3 10 2  4 14  _{ }  _              1 3 10 3 9 3        d. 1 3 100 2  4 136  _{ }  _              e. 1 3 31 2  4 b  _{ }   _             1 3 100 3 99 33 2 33 4 134 y            1 3 31 3 30 10 2 10 4 42 y b             Nee, het punt (100, 136) ligt niet op de lijn.

19. a. 2 3   _    b. AB uuur

is de richtingsvector van de lijn.

20. a. 8 2   _    b. 18 8 10 3 2 5 PQ_  _{ }  _{ } _        uuur

c. Een veelvoud van 2 1       is 10 5      . d. 8 2 2 1 x y            _          21. a. 4 5 1 2 9 7 AB_    _{ } _       uuur _{5 1} 9 7 x y     _ _       _        b. 4 4 8 17 5 12 CD_    _{ } _      uuur _{4 2} 5 3 x y     _ _               c. 0 1 4 1 x y     _{ }               22. a. : 3 7 1 2 x KL y                       b. 3 7 74 1  2 23                      c. 3 5 : 5 4 x AB y                       3 7 74 7 77 11 1 11 2 23 y             3 5 42 5 45 9 5 9 4 41 y            

23. a. 1 8 0 a _{  }    ur en 2 0 6 a _{  }    uur b. | | | | 8 20 160ar  br    c. | |1 | | cos a a   uurr 1 1 | | | | cos | | | | | | cos | | | | | | cos a a a b a b a b             ur r ur r r r r r 24. a. a br r   6 4 cos60o 12 _{b. a b}r r_{   8 6 cos135}o _{ 24 2} c. a br r  5 4 2 cos90 o 0 25.

a. _{AB AC}uuur uuur_{   6 6 cos60}o _18

b. 2 2 1 2 6 6 3 cos30 6 3 3 3 27 CA CDuur uuur     o    c. 1 2 3 3 cos120 4 AD DE    o   uuur uuur

d. AC DEuuur uuur   6 3 cos0o18 e. AD DCuuur uuur  3 3 3 cos90 o 0

f. BF AEuuur uuur 3 3 3 3 cos120  o 13,5 26. 10 5 3 cos   2 3 cos 48     o 27.

a. _|ODuuur_|2 _h2 _{| |b}r 2 _{b. h}2 _|ABuuur_|2 _|ADuuur_|2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | cos | | | | | | cos | | | | cos b h b h b b b b             r r r r r r 2 2 _{| |}2 _{| | | | cos} h  a br r  ar  br  c. _{| |b}r 2 _{| | cosb}r 2_ 2_{  |a b}r r_|2 _{| | | | cosa}r _{ b}r _ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

| | | | cos | | (| | 2 | | | | cos | | cos ) | | | | | | 2 | | | | cos 2 | | | | cos | | | | | | b b a b a a b b b a b a a b a b a b a b                               r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r d. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2  a br r (a a ) ( b b ) (( a b ) (a b ) ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ) 2 1 1 2 2 2 a a b b a a b b a a b b a b a b             1 1 2 2 a b a br r  a b

28. a. a br r     3 5 4 12 33 b. ₃2_42 _{ 5}2_{ ( 12) cos}2 _{   33} 5 13 cos 33 cos 0,508 121           o 29.

a./b. ₃2_{ ( 2)}2_{ 5}2_{ 1 cos}2 _{ 13 ( 4)} 2_22 _{ 4}2_{ ( 5) cos}2 _{   26}

1 2 13 26 cos 13 cos 2 45         o 20 41 cos 26 cos 0,908 155           o 30. a. 10 17 cos  11 c. 10 17 cos   11 cos 0,844 32     o cos 0,844 148      o

b. Dit zijn de scherpe hoeken tussen de lijnen l en m en tussen de lijnen n en m. d. Dat is dan de stompe hoeken tussen de genoemde lijnen.

e. 17 17 cos  17 cos 1 0     o 31. ₂2_{ ( 9)}2 _{ 4}2 _{ 1 cos}2 _{     2 4 9 1} 85 17 cos 1 cos 0,03 92           o

De hoek tussen de lijnen l en m is ongeveer 88o

32. ₃2_{ ( 1)}2 _{ 1}2_{3 cos}2_{       3 1 1 3 0}

De hoek tussen n en k is 90o

33.

a. _{a b}r r_{  3 10  2 15 0}

b. _ar en _br staan loodrecht op elkaar; de hoek is 90o_.

c.        3 2 4 t 6 4t 0 1 2 4 6 1 t t     d. omdat cos90o0_. 34. a. : 11 7 10 6 x k y     _ _{ }              b. 15 7 : 3 6 x l y     _ _{ }             

35. a. 6 4 10 17 2 15 PR _    _{ } _      uuur en 1 5 6 13 9 4 QS _   _{ }  _      uuur 10 6 15 4 0 PR QSuuur uuur       b. 5 4 9 9 2 7 PQ _     _{  }      uuur en 6 5 1 17 9 8 QR _    _{  }      uuur 9 1 7 8 65 0

PQ QRuuur uuur       , dus PQuuur en QRuuur staan niet loodrecht op elkaar.

36. 18

36

PQ _{  } 

  uuur

en het midden van PQ is M(6, 10)

6 2 10 1 x y    _ _        _       37. _{  2 8 p}2 _0 2 ₁₆ 4 4 p p p      38. a. b. 2 2 p AP _{ }  _   uuur en 4 4 p BP _{ }  _   uuur c. (p2)(p4) 6 0  2 _{2 8 8} 2 _{2 ( 2) 0} 0 2 p p p p p p p p            d. 2 1 AQ q      _    uuur en 8 1 BQ q      _    uuur 2

16 ( q1)(q 1) q 15 0 ; deze vergelijking heeft geen oplossingen. 39. a. b. 4 7 x y     _ 

  zijn de kentallen van AP uuur

; een richtingsvector van de lijn l. c. Die twee staan loodrecht op elkaar.

d. _{n AP}ur uuur_{ 0} 3( 4) 5( 7) 3 12 5 35 3 5 47 0 3 5 47 x y x y x y x y              e. 3 4 5 7 12 35 47      : klopt. 40. a. 3 4 n_{  }    ur b. A(5, -4) 5 3( 5) 4( 4) 3 15 4 16 3 4 1 4 x n x y x y x y y    _{ }              ur c. Het inproduct is 0: 3x4y  1 0

41. a. 5x14y d b. 9x4y d 1 2 5 4 14 3 69 : 5 14 69 d l x y        9 11 4 12 147 : 9 4 147 d m x y           42. a. : 1 5 1 4 x l y                       c. 0 1 : 7 0 x n y                      b. : 1 1 7 5 x m y              _        d. 14 0 : 0 1 x k y                      43. a. 5 37 16  16 32 2      b. Het snijpunt is (-2, 3) 44. a. x  2 4 en y  3 7 b.   ( 2 4 ) 2(3 7 ) 62     2 4 6 14 62 18 54 3 ( 14, 24) S              45. 4x2y  10 6 6 7 x x en y      46. a. 5    2( 5 2 ) 7  b. 4 7   4 7 c. 6y 9x6 5 10 4 7 3 12 4 (3, 1) S           3 3 2 21 7 21 14 25 17 21 21 42                   6 8 8 0 14 14 (14, 20) y x x x S        2 (18, 1) S    47. a. cos12 50 n n z F F F  uur  uur o uur 50 sin12 p p z F F F  uur  uur o _uur 50 cos12 48,9 n Fuur  o  _{N 50 sin12 10,4} p Fuur  o _N b. Dan moet je minstens 15 10,4 25,4  N trekken.

48.

a. _{  3 a b}r r: tegengesteld c. geen van de drie b. p aur r   6 25 15 10 0   : loodrecht d. 1

3

2 e f

49. a. : 1 1 2 2 x AB y              _        b. 1   2 3 2 3 2 8 y         

Punt C ligt op de lijn AB.

c. 1 5 6 2 2 4 DA_     _{  }       uuur 6 1 4 2 2 0

DA ABuuur uuur         , dus ze staan niet loodrecht op elkaar. d. DQ DAuuur uuur 0 8 6 ( 2) 4 48 4 8 56 4 0 4 56 14 q q q q q               50. a. b. S(11, 6) S(1, 6) S(5, -2) c. |PRuuur| 5 en _|PQuuur_{| 3}2_42 _5

Dus als S(11, 6), dan is PQRS een ruit. d. S(11, 8): : 3 2 2 1 x PS y     _{ }               en 8 1 : 2 2 x RQ y      _{ }               S(1, 6): : 3 3 2 4 x PQ y     _{ }               en 8 7 : 2 4 x RS y      _{ }               S(5, -2): : 3 1 2 0 x PR y     _{ }               en 5 1 : 2 8 x SQ y    _ _     _          e. S(11, 8): PS x: 2y  1 en RQ: 2x y 18 S(1, 6): PQ: 4x3y 6 en RS: 4x7y 46 S(5, -2): PR y: 2 en SQ: 8x y 42 f. T(7, 4) 1 2 (4 , 4) T 1 2 (5 , 2) T 51. 5 2 AB_{  }    uuur ₃ 2 AC_{  }     uuur _{15 4} cos 0,567 29 13 A        A 55o 5 2 BA_{  }     uur ₂ 4 BC_{  }     uuur _{10 8} cos 0,747 29 20 B       B 42o 2 4 CB_{  }    uuur ₃ 2 CA_{  }    uur _{6 8} cos 0,124 20 13 C        C 83o 52. a./b. c. 3 2 AB_{  }    uuur ₁ 4 AD_{  }    uuur _{3 8} cos 0,740 13 17 BAD      BAD42o

5 7 AC_{  }    uuur _{15 14} cos 0,878 13 84 BAC      BAC 29o

AC is dus geen deellijn van BAD

53. a. : 2 7 4 6 x BD y             _          en 2 1 : 6 9 x CE y                _        b. 2 7    2  (keer 9): 18 63 18 9  4 6 6 9

    (bij elkaar optellen): 22 69  24

2 3 69 46    S( 2 , 0) 23 c. : 8 8 2 3 x AF y     _ _     _          2 3 1 3 2 3 2 3 8 8 2 8 5 2 3 0 y              

Klopt, S ligt ook op de zwaartelijn door A.

54. a. : 3 1 2 3 x l y                      b. 3 1 : 2 3 x m y            _  _        c. B’(-5, 4) : 2 3 3 1 x k y                       

d. bijv. C(2, -1). Dan is C’(1, 2) en die ligt ook op k. e. 3    2 3 keer -3:  9 3 6 9 2 3   3  optellen:   7 9 10 3 5 10 16 1       S(2 , 1 )45 25 f. A”(2, -3) en B”(5, -4) : 2 3 3 1 x p y    _ _     _   _       k en p zijn evenwijdig.

T-1. T-2. a. 3 2 21 23 3 15 12 v w _  _{ }  _{ } _        r ur _{4 7 3} 2 6 5 11 v w _    _{   }   _         r ur b. _{| |v}r _{ 2}2_{ ( 3)}2 _{ 13 |w}ur_{| 7}2_52 _{ 74} | 3 | 3 | | 3 13vr   vr  _|wur_{3 |v}r _{ 1}2_142 _{ 197} c. 1 2 3 v _{  }    ur 2 2 3 v _{  }    uur en 2 3 2 v _{  }    uur T-3. a. : 3 1 5 2 x KL y     _ _     _         

b. De richtingsvector is dezelfde. Vraag is dus of punt (6, 13) op KL ligt.

3 6 9 5 2 9 13 y            (6, 13) ligt er op! c. 1 2 3  3    d.   3  27 1 2 1 2 6 5 2 6 8 y        30 5 30 2 55 y p         Ja, punt 1 2 (3 , 8) ligt op KL. T-4. a. _{a b}r r_{   4 2 cos 45}o _{4 2 b.} 1 2 5 3 cos150 7 3 a br r    o  c. _{a b}r r_{ 5 2 4 cos90 } o _0 T-5. a. 21 2 7 5 x y    _ _     _  _        b. 3 2 12 5 x y     _ _       _        T-6. a. 5x4y  8 b. 2 3 8x5y 20 T-7. a. : 8 3 0 1 x l y     _ _               c. 0 1 : 5 0 x n y    _ _     _          b. : 0 1 4 5 x m y    _ _     _  _        d. 64 0 : 0 1 x k y    _ _               T-8. a.  1 23(3) 11 1 2 9 3 8 11 3 (6, 7) S             

b. 1 2   3 6 1    4  keer 2: 2 2   8 2 Optellen: 3  5 8 8 8 1 (9, 3) S     T-9. a. 6 0 0 3 3 3 1 OM AB    _{   }        uuur uuur en 6 6 36 18 54 3 6 OM OB    _{   }        uuur uuur b. cos 6 6 0 3 0,894 6 45 AOM        AOM 27o c. cos 6 6 3 6 0,949 45 72 MOB        MOB18o d. 3 6 NB _{  }    uuur

waarbij N het midden is van OA. 3 6 6 3 cos ( , ) 0,8 45 45 OM NB        uuur uuur (OM NB, ) 37  uuur uuur  o

T-10. Een vergelijking van l is: 3x2y 7

2 1 3 5 33 b     Door punt (3, 3): 1 3 5 3 3   3 15 10 25 c  