De werkwijze in de elementenmethode, met het oog op de opbouw van rekenprogramma's

De werkwijze in de elementenmethode, met het oog op de

opbouw van rekenprogramma's

Citation for published version (APA):

Janssen, J. D. (1971). De werkwijze in de elementenmethode, met het oog op de opbouw van rekenprogramma's. (DCT rapporten; Vol. 1971.040). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1971 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

._

.

DE WERKWIJZE IN DE ELEMENTEWFTHODE, >?IET HET OOG

OP

DE OPBOUW VAN

REKF;NPR@GP&PN's

1

I

J. O e Janss en

1 .

Symbolen i 2 . Eigenschappen van een element

3 . Eigenschappen van de konstruktie

3 . 1 Topologische karakterisering

. 3.2 Gedefinieerd moeten worden:

3.3 Systemeticering van de definities

3 . 4

3 . 5 Materiaalgegevens van de konstruktie

3.6 Belasting van de konstruktie

Geometrische gegevens van de konstruktie

4 . Perkwij zen via knooppuntsevenwichten

4.1 Theorie

4 . 2

De

ascm-blage matrix

4 . 3 De matrix L en de assem.bl-agematrix a

5 . Werkwijze via het principe van mintriale potentiële energie

1

8 8

1 1

13 13

1 .

Symbolen

: verplaatsingsvektor van element i '

i

: stijfheidsmatrix van element

i

ki

P.

: belastingsvektor van element i

Ui : vormveranderingsenergie ir, element i

De index i wordt achterwege gelaten wanneer er geen misverstand kan

1 onts taan.

1.2

Kgnstruktie

N

: aantal elementen

M

: aantal knooppunten

-

r,r: verplaatsingsvektor van de konstruktie R,R: belastingsvektor van de konstruktie

K,K: stijfheidsmatrix van de konstruktie

U

: vormveranderingsenergie v m de konstrdktie

V

: potentiële energie van de konstruktie

-

-

2.

Eigenschappen van een element

2.1

Karakteristiek zijn:

-

de

-

vorm, b.v.

-

rechte lijn bij balkelementen

-

driehoek, rechthoek of vierhoek bij 2-9 eleEenten

-

tetrahedron, prisma, hexahecron bij 3-D elementen

-

aantal en positie van de knooppunten

b.v. TRIM-3

TRIN- 6

n en middens der zijden)

FLA-3 r ,

(posities: uiteinde en nidden der lijn)

-

aantal vrijheidsgraden (= verplaatsingen) voor ieder knooppunt

2.2

Gedefinieerd moeten worden

_...

-

de verplaatsingsgrootheden of

knooppuntsverplaatsingen b.v. b i j TRIM-3:

-

de plaats van ieder van deze verplaatsingsgrootheden in de verplaat-

6 U singsvektor p , b.v.: 2 U 3

- de knooppuntskrachten,

; = [U, U b.v. bij TRIX 3

S

-

de plaats van ieder van deze knoop

n

in de belastingsvektor

van hec element, b.v.:

5

?? 6 p3

P

5 y . 3

-

interpolatieformules, waarmee de verplaatsingen in een element worden uitgedrukt in de komponenten van p .

-

(analytische) uitdrukking voor de vormveranderingsenergie per volume- eenheid.

Opn. : Definitie stijfheidsmatrix

k:

-

V 7

U = h p k p m e t k = k

De genaakte keuzen zijn karakteristiek v o o r een elementtype

2 . 4 Voor de berekeninn b an

k

zijn nodig

-

geometrische gegevens die de vorm van het element precies vastleggen,

_I_

'C.V.:

bij TRTCf--3 de koördinaten van de hoekpunten in een gekozen

koördinatensysteem (eigenlijk

is

alleen de relatieve positie van de hoekpunten n.oodzakelijk1

-

andere geometrische gegevens die voorkomen in de uitdrukking voor de

vorrriveranderingsenergie, b.v.: i

bij TRIPI-3:

de

dikte van het element

bij balkelementen: oppervlakte en oppervlaktetraagkeidsgrootheden va= de dwarsdoorsnede

-

nateriaaleigenschappen (elasticiteitskonstanten)

biv.: Elasticiteitsmodulus en konstante van Poisson voor isotroop pa-? teriaalgedrag.

I

- 3 -

2;5 Systenatisering

-

de knooppuntsverplaatsFngen en de knooppuntskrachten wcrden volgens eenzelfde procédé gedefinieerd, van een naarri voorzien en opgeborgen

in respektievelijk

p en

P.,

b.v. bij TRIM-?:

Ql t 2 F

1

P F P 6 4 5

P =

In

dat geval geldt:

arbeid verricht door de knooppuntskrachten:

1

p

érgie knooppuntskrachten: - P P

1

Voor de potentiële energie geldt dan dus:

I I

1

P ~ P - P P

zodat

-

uit het stationair zijn van de potentiële energie

-

volgt:

k p = P

-

het procédé dat gebruikt wordt bij de definitie van knooppuntsver- plaatsingen en -krachten dient zo systematisch mogelijk te zijn. Dan immers is karakterisering van dit procédé sForpel.J$.v. bij TRIM-3:

Kies per knooppunt hetzelfde patroon

Karakteristiek patroon

-

gebruik een simpel procédé voor de namgeving en voor het opbergen

in

p , resp.

L. Nummer hiertoe de knooppunten, b.v. bij

TRIM-3:

2

patroon per knooppunt: c(

per knooppunt voorzien van een gekozen nunmering der knooppunten:

1

v2

"-I

U U V 2 3 V 2 U I of:

;

=

Fl

v

b i j 2D- b a l k e l e n e n t : W p a t r o o n : u

1

W 2 U 2 W 1 W 2 U

1

o f : p = w2

iii

-

door g e b r u i k t e maken v a n een g r o t e systematiek i n d e d e f i n i t i e van

p en P wordt i n h e t algemeen d e o p z e t van d e berekening v a n

k

vereen- voud i g d

.

3 . Eigenschappen van d e k o n s t r u k t i e ( s l e c h t s één elementtype komt v o o r )

3.1 T'L'Eoagische k a r a k t e r i s e r i n g

-

K i e s een elementnummering

0

-

K i e s een nummering v o o r d e knooppunten

Q

S y s t e n a t i e k : voor b e i d e nuxIIIRe-

r i n g e n i s er doorlopende nun- mering gekozen, d i e h i j

1

b e g i n t

-

Fet v a s t l e g g e n van d e t o p o l o g i e kan gebeuren m e t behulp van een f i g u u r a i s h i e r v o o r getekend. Voor-rekenmachines moet momenteel nog d e weg l a n g s t a b e l l e n b e t ~ a n d e l d worden om d e nodige gegevens vast t e leggen. v o o r b e e l d :

lementnumeb-

1

2 3

4

5

6

7 8

9

10

1 1

begrenzende knooppui,ten

6,

5 , i0 5 ,

4 ,

10 9,

4 ,

I0 3 ,

4 ,

5

9,

8,

4

6, 7, 5 5, 3 , 7 3 , 2,

1

1 ,

7 , 3 3 ,

4 ,

8 3 , 2 , 8

-

G i t d e gegeven l i j s t kan een f i g u u r worden s a n e n g e s t e l d d i e door

- _{d e z e l f d e t o p o l o g i e b e h e e r s t wordt a l s d e getekende.}

- 5 -

D i t element wordt begrensd door d e vo1gend.e l i j n e n :

(6,5)

( l i j n met knooppunten

6

en

5)

(6,IO) en ( 5 , I O )

U i t d e t a b e l kan worden opgezocht d a t :

-

element 6 eveneens d e l i j n ( 6 , 5 ) b e v a t element2 eveneens d e l i j n ( 5 , i O ) b e v a t

-

geen e n k e l element d e l i j n

(6,IO)

b e v a t

Y

qa%

&yR€?mzeulde

D e r h a l v e i s t e "tekenen":

U i t e r a a r d kon zo worden doorgegaan.

-

E r kan e c h t e r ook eeri andere l i j s t g e b r u i k t worden, b.v.: knooppuntnummer

1

2 3

4

5

6

7 8 9 i o

eleEenten,

d i e d i t knooppunt b e v a t t e n 8, 9 8,

1 1

4 ,

10,

1 1 ,

8, 9, 7 3,

2,

4 ,

I r ) , 5 1, 6

6, 7, 9

5,

IO, 1 1 3,

5

1'

2,

3

1 ,

2,

4 ,

7 , 6

-

D e weg d i e gekozen wordt, wordt bepaald d o o r : a.

b.

de c o n s e q u e n t i e s v o o r de o r g a n i s a t i e v a n h e t r e k e n p r o g r m a d e m o e i t e d i e h e t k o s t d e benodigde l i j s t samen t e s t e l l e r ,

-

b 7 i j k i e z e n v o o r d e t o p o l o g i s c h e k a r a k t e r i s e r i n g d e l i j s t op pag.

%

-. Voor h e t gekozen v o o r b e e l d i s a l l e r e l e v a n t e i n f o r m a t i e aanwezig i n

_I_ d e matrix To ( t o p o l o g i e m a t r i x ) :

To

=

-

6 5 9 3 9

6

5

3

1 3 3

5

4

4

4

8 7 3

2

7

2

2

I ( I C I C c d 4 5 7

1

3 8 8 I j-

Het a a n t a l r i j e n van d e z e matrix bedraag

N

( a a n t a l elementen); h e t a a n t a l kolommen i s g e l i j k aan h e t a a n t a l knooppunten p e r element.

3.2 G e d e f i n i e e r d moeten worden

_{-____---__----__-_---}

-

d e knoo-puntsverplaatsingen v a n d e k o n s t r u k t i e

-

de p l a a t s v a n i e d e r v a n d e knooppuntsverplaatsingen i n d e v e r p l a a t s i n g s -

-

v e k t o r van d e k o n s t r u k t i e : r

-

d e knoop-untskrachten v a n d e k o n s t r u k t i e

-

de p l a a t s van i e d e r v a n d e knooppuntskrachten i n d e b e l a s t i n g s v e k t o r

-

v a n d e k o n s t r u k t i e : R 3 . 3 s y s t e m a t i s e r i n g - v a n d e d e f i n i t i e s (analoog met 2 . 5 )

-

Voor d e v e r p l a a t s i n g e n en d e k r a c h t e n wordt h e t z e l f d e p r o c é d é g e v o l g d

-

b i j d e d e f i n i t i e , naamgeving en p l a a t s i n g i n r e s p . r en

R.

Dan g e l d t : L - a r b e i d v e r r i c h t door d e knooppuntskrachtec:

i - r

R 1

- -

p o t e n t i ë l e e n e r g i e v a n d e knooppuntskrachten: -r

R

-

Een v o o r d e hand l i g g e n d p r o c é d é l u i d t : K i e s v o o r i e d e r knooppunt h e t z e l f d e k a c a k t e r l s t i e k p a t r o o n V o o r z i e d e b i j d i t p a t r o o n horende s p ’ r o l e n v a n een i n d e x , d i e g e l i j k i s aan h e t Voorbeeld: kilooppüntriiimrie;r A <

5

i

Naamgeving: :

- 7 , . bet

bij

wordt g e p l a a . t s t . Y (patroon)

Wanneer w i j deze weg k i e z e n i s

-

n a a s t d e knooppuntsnumering

-

nog I c l e c h t s i n f o r m a t i e o v e r h e t k a r a k t e r i s t i e k e p a t r o o n n o d i g .

B i j d e opbouw v a n

d n e r z i j d s op h e t p a t r o o n , a n d e r z i j d s op d e k n o o p p u n t s n m e r i n g g e l e t

wordt eveneens s y s t e m a t i s c h t e werk gegaan, w a a r b i j w o r d t . Mogelijkheden z i j n b:v.: L 5 v

...

u 2 2 r =

fl

v 1 U

-

-

V 5 1 o f : u e.... u =

-

F1

- 7 -

3 . 4 Geometrische gegevens voor de konstruktie

-

De globale geometrie van de konstruktie is bepaa1.d wanneer b.v.

-

in een gekozen koördinatensysteem

-

de koördinaten van a l l e knooppunten gegeven zijn.

---__---_--

...

n

x

1

gekozen koördinatensysteem

-

De volgende lijst is dus nodig ( 2 D voorbeeld):

oördinaten knooppunten (in m)

X

1

O0 200 600 50@ $00

Y

3 O0 600 6 O0 400 350

-

Ter bepaling van de stijfheidsmatrix voor ieder elernent zijn per element soms nog andere geometrische gegevens nodig. Dit zijn dan lijsten die gerangskhikt worden volgens de elementnunmering.

Materiaalgggevens van de konstruktie

-

Per element zijn gegevens over het nateriaalgedrag nodig OE de stijf-

3 . 5 L-Z

---_--

----____-____---

Lheidsmatrix te kunnen berekenen.

3.6

Eelastin& van de konstruktie

-

De belasting van de konstruktie wordt gespecificeerd door gegeven waarden

-

voor bepaalde komponenten van de verplaatsingsvektor, r, en voor bepaal- de komponenten van de belastingsvektor,

R.

Het is duidelijk dat indien een bepaalde komponent van

7

gegeven -is, de overeenkomstige komponent van onbekend is, terwij

1

-

wanneer een bepaalde -komponent van r onbekend is - de overeenkomstige komponent van

?

i

gegeven is.

-

-

-

De karakterisering van de belasting kan gebeuren door:

a. b.v. aan te geven welke verplaatsingsgrootheden bij voorbcrat bekend zijn. Een karakterisering van dit ty?e noemen

wij

de "topologische karakter

is

er ing van de belasting"

.

ven v e r p l a a t s i n g e n en d e v o o r g e s c h r e v e n k r a c h t e n .

-

Vanneer h e t i n 3.3 g e s u g g e r e e r d e systeem wordt t o e g e p a s t kan de b e l a s - t i n g t o p o l o g i s c h g e k a r a k t e r i s e e r d worden door een l i j s t v a n onderstaan- d e s t r e k k i n g : m. van knooppunten met v o o r g e s c h r even v e r p l a a t s ingen

t

2 3

i

48 i n h e t gekozen p a t r o o n z i j n v o o r g e s c h r e v e n d e v e r p l a a t - s i n g e n

i n

r i c h t i n g :

1

1 en

2

i en

2

2

( v o o r b e e l d v o o r h e t g e v a l d a t e r p e r knooppunt

2

v e r p l a a t s i n g e n z i j n )

-

D e numerieke gegevens v o o r d e v o o r g e s c h r e v e n grootheden z i j n vaak z e e r t a l r i j k . Een beduidende r e d u k t i e wordt v a a k v e r k r e g e n door d e t o p o l o - g i s c h e k a r a k t e r i s e r i n g u i t t e b r e i d e n . Voorbeelden h i e r v o o r z i j n :

-

e x t r a aangeven welke v o o r g e s c h r e v e n v e r p l a a t s i n g e n de waarde n u l b e z i t - t e n ; aangeven v a n d e g r o o t t e v a n d e z e v e r p l a a t s i n p e n i s dan overbodig

-

extra aangeven welke voorgeschreven k r a c h t e n d e waarde n u l b e z i t t e n ; ook dan z i j n geen v e r d e r e n u m e r i e k e gegevens n o d i g

D e w i j z e v a n k a r a k t e r i s e r i n g wordt o . a . weer b e p a a l d d o o r d a t ernaar ge- s t r e e f d wordt om zo weinig m o g e l i j k gegevens t e v e r s t r e k k e n .

-

D e bewering d a t op een b e F a a l d e komponent v a n

r,

of de overeenkomstige

-

komponent van

R

gegeven i s , i s i n wezen een b e p e r k i n g . Een k o n d i t i e v a n h e t t y p e z[21] = k o n s t . ?K :[21] ( e l a s t i s c h e ondersteuning) i s evenzeer r e ë e l .

4 .

Werkwij z e v i a knooppuntsevenwichten . _ 441 T h e o r i e

_{--__---}

-

Assemblage:

- -

(i

= I ,

...,

NI p i = a * 1 ? 1 I I

- -

of:

= a r a

=pa1

zi2

....

aN7

-

- 9 -

-

Knooppuntsevenwichten

-

_{R = b P .}

- - -

I

-

L , (een energiebeschouwing l e e r t

b

= a ) : R = a

B

-

Eigenschappen element: g = i ; F ;

-

L - 1 , - 1 , - -

-

Kombinerend: R = a P = a k p = a k a r

- -

A - -o f : K r = R r n e t Ï ? = a k a

s t ij f h e i d smatrix kons truk t i e

-

E e t z e l f d e resultaat wordt verkregen v i a p o t e n t i ë l e e n e r g i e :

N

N

1 1 I',

- -

l.--

4

P . k i P i =

4

P k

6

=

4

r

1

I-

-

-

O p l o s s i n g v a n K r = R i s n i e t zonder meer u i t t e voeren omdat n i e t

a l l e komponenten van bekethd z i j n , t e r w i j

L

d a a r e n t e g e n w e l konponenten van I r gegeven z i j n .

-

H i e r t o e kunnen de komponenten van r en R anders g e g r o e p e e r d worden, z o d a t d e onbekende en bekende grootheden g e s c h e i d e n worden. Vooc d e v e r p l a a t s i n g e n zouden w i j kunnen d e f i n i ë r e n :

r

: de onbekende v e r p l a a t s i n g e n

r

: de bekende v e r p l a a t s i n g e n r : 6e v e r p l a a t s i n g e n die n u l z i j n

R

F

. .

S

-

We d e f i n i ë r e n : en overeenkomstig: R = -bekende knooppuntskrachten onbekende knooppuntskrachten / T e - s c h r i j v e n i s :

-

~ = L T

X = L R

-1

'

U i t een energiebeschouwing v o l g t : L = L immers : 1

- -

1 r R = r R

-

1 1 r L ~ z = r x + L L = i + ; = L 1-

-1

r

-

?

-

Dus: r = L r R = L R

K ~ = R

Rr =

R

n e t

K

= L

K

L

- -

- u i t :

1 v o l g t : I

-

Een werkigijze

is

dus om R t e b e p a l e n en d a a r u i t

-

v i a K = L Ï? L

-

de matrix K t e formeren.

-

Een andere werkwijze

is

OF. d i r e k t g e b r u i k t e maken v a n d e t r a n s f o r m a t i e

1

-

r = L r

2

B e p a a l u i t d e a s s e p b l a g e n a t r i x

a

d e matrix: Dan g e l d t : . P = a r

-

Knooppuiltsevenwichten: R = b P I

(een energiebescalouwing leert

b

= a)

Eigenschappen element:

p = g ;

-

Kombinerend: 3 ? I R =

a P =

a i ; ; =

a k

1 . "

__

net: aka

-

Voor K kan geschreven worden:

I

r-

RR K Rp K R s

a r = K r

D e d e e l m a t r i c e s hebben afmetingen d i e z i j n aangepast aan d e afmetingen v a n r r en r

E'

P

S

-

Er g e l d t d e r h a l v e o. a. : r - + K r

= R R

KRR. R

Rp p . o f : onbekend bekend

-

1 1

-

-

Dan i s e c h t e r ook r en dus bekend

-

E v e n t u e e l kan dan

K

en R berekend worden, b . v . :

P

S Rp = KdP rb + I< r PP P

- -

-

U i t

7

v o l g t , m e t

6

= a r , d i r e k t

b

en dus Pi v o o r a l l e i. V i t r v o l g t 4 eveneens d i r e k t ? v i a

p

= a r

-

Uitpi

z i j n a l l e grootheden i n e l e n e n t i t e berekenen.

-

B i j v o o r b e e l d ook d e knooppuntskrachten P . v o l g e n s

1

P.

=

kipi

1

-

U i t

Pi

(voor a l l e i) kunnen

-

e v e n t u e e l t e r k o n t r o l e

-

d e knooppunts- k r a c h t e n weer berekend worden m.b.v. :

- L R = a P o f : R = a P 7

-

U i t h e t voorgaande v o l g t d a t e s s e n t i e e l z i j n : $ d e assemblage natrix

a

$f d e matrix

L

- v

o f w e l d e matrix a = a L 4.2 D e assemblagematrix

-

De t o p o l o g i s c h e en geometrische gegevens van d e k o n s t r u k t i e , tesamen

-

-

m e t de d e f i n i t i e s va= p i en L b e p a l e n a . v o l l e d i g .

1

-

K a r a k t e r i s e r i n g van P i en i s simpel, wameer de i n 2 . 5 en 3 , 3 gegeven s y s t e r a t i e k wordt gevolgd: p e r knooppune wordt h e t z e l f d e p a t r o o n v o o r d e v e r p l a a t s i n g e n gehanteerd; s p e c i f i c e r i n g g e b e u r t d o o r t o e v o e g i n g v a n e en

-

Wann ind .eer ex d i e g e l i j k , i s aan h e t v o o r een element: v o o r een k o n s t r u k t i e : h e t p a t r o o n p e r element s p a t r o o n v a n de kon- s t r u k t i e , dan b e s t a a t i e d e r e r i j van

:.

u i t n u l l e n , met u i t z o n d e r i n g v a n één element, d a t d e waarde

1

b e z i t . D e p l a a t s waar deze i staat

1

Stel: 3 U 2 V 2 U

1

V

-

_{; = p *}

V

1

U

-

Stel de topologie-matrix: (el.ement) i

T

=

O a3 dan geldt voor b.v.

a = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 1 immers :

lokaal knooppuntnx-.

1

van eleoient 3 (To

-

f3,1]) korrespondeert met pio- baal knooppuntnummer 3 (T 0 - [3,11=3).

De u-verplaatsing van knooppunt 3 staat op plaats: (3-1)%2+1 =

5

in r

-

jheidsgraden per knooppunt)

-

Dus : F 3 p ] =

+]

Om dit "zoekwerk" te verrichten is het voordelig eerst de volgende

l i j s t

op te stellen. Dit opstellen

is

zeer simpel.

knooppuntnr.

1

2 vr

ij

heidsgraac

1

u

1

3 5 7 9

1 1

L_ 2 V

-

2 I 6 8 10 12

-

plaatsnummer

van

vrijbeidSFraad

2 van knooppunt 3 in r.

matrix B Uit T en B volgt b.v. direkt:

-

13

-

e

i n de 4 -rij v a n a

v a n element 5) staat d e i op de 5 p l a a t s . Imers T0p,2]=3 Lnp [!,2]=6.

( d . i . : v r i j h e i d s g r a a d

2

van l o k a a l knooppunt n r .

2

e

5

I n h e t algemeen i s de gang van zaken:

-

E e k i j k een bepaald e l e x e n t i

-

Zoek i n r i j i . v a n T d e knooppuntsnwmers d i e d i t element begrenzen

O

( k * , k 2 , . . . )

e

..

-

Neem d i t eerste knooppuntnumer k en zoek i n d e

₁

Ir.

₁

r7.3 van B w e l k plaatsnummer de e e r s t e v r i j h e i d s g r a a d b e z i t ; doe d i t v o o r a l l e vr ij he i d s g r aden

-

Neen knooppuntnumer k en doe h e t z e l f d e , enz. 2

-

H e t s p r e e k t v a n z e l f d a t i n w e r k e l i j k h e i d n i e t via matrimermenigvuldi- gingen-gewerkt wordt, maar d a t een organisatieschema z o a l s hierhoven aangeduid, gehanteerd wordt.

4

3

o e _ r n c l t r ~ x _ 4 _ e n _ b e _ a ~ ~ ~ ~ ~ ~ a ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ~ -

-

T e r b e p a l i n g van L

-

en dus van a

-

client bekend t e z i j n welke v r i j h e i d s - graden voorgeschreven waarden b e z i t t e n en welke n u l z i j n .

-

Voor d e g e b r u i k e r i s h e t h e t e e n v o u d i g s t e om d e z e k a r a k t e r i s e r i n g i n

: twee f a s e n t e doen. Door namëzijk eerst h e t knooppunt en dan de vrij-

h e i d s g r a a d i n d a t knooppunt aan t e duiden.

5. Werkwijze v i a h e t p r i n c i p e van m i n h a l e p o t e n t i ë l e e n e r g i e

-

B e p a a l d moet worden de vormveranderingsenergie i n de k o n s t r u k t i e en de poten-

t i ë l e e n e r g i e v a n de uitwendige b e l a s t i n g on h i e r p i t de p o t e n t i ë l e e n e r g i e v o o r d e k o n s t r u k t i e t e Gepelen.

-

Voor d e vormveranderingsenergie i n element i, Ui, g e l d t :

1

U =

1

p i k i p i

i

-

Voor d e g e h e l e k o n s t r u k t i e i s d e vormveranderingsenergie, U, g e l i j k aan:

i = l

-

B i j h e t v a r i ë r e n van de p o t e n t i ë l e e n e r g i e moet de k o n t i n u i t e i t v a n de kon-.. s t r u k t i e gehandhaafd b l i j v e n . D e komponenten van f mogen dus n i e t onafhanke-

l i j k g e v a r i e e r d worden. Assemblage i s n o o d z a k e l i j k . E r moet dus-gelden:

-

Voor U v o l g t dan:

I ' . " 1

u

=

1

r a

E

a

r

=

1

r Fs_

r

I ,

niet

K

= a k a

-

Z i j n d e aan r gekoppelde knooppuntkrachten R, dan i s d e u i t w e n d i g e p o t e n t i a a l :

1 -r R

-

Voor d e p o t e n t i ë l e e n e r g i e U g e l d t dus: ? 1 1 V = U - r R =

1

r

K r

- r R 1

-

U i t V=O v o o r a l l e variaties van r v o l g t (met g e b r u i k v a n I< = K):

K = R

r

-

Overigens kunnen d e z e l f d e beschouwingen a l s i n h e t voorgaande hoofdstuk worden t o e g e p a s t .