Rekbepaling in de linker hartkamer op basis van M.R.I.-tagged beelden

Rekbepaling in de linker hartkamer op basis van M.R.I.-tagged

beelden

Citation for published version (APA):

Maenhout, M. (1994). Rekbepaling in de linker hartkamer op basis van M.R.I.-tagged beelden. (DCT rapporten; Vol. 1994.141). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1994 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Rekbepaling in de linker

hartkamer op basis van

MORIo-tagged

beelden.

Mascha Mamhout WFW-Rapport no. 94.141 Stage verslag, Oktober 1994. Begeleider : Dr Ir P.H.M. Bovendeerd.

Vakgroep fundamentele Werktuigkunde. Faculteit Werktuigbouwkunde.

INHOUDSOPGAVE 1 2 2.1 2.2 3 3.1 3.2 4 4.1 4.2 5 5.1 5.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Inleiding Rekbepaling m.b.v. markers

Rekbepaling uit markerverplaatsingen

Implementatie en verificatie van methode

Keuze van het testprobleem

Uitwerking van het testprobleem

Vergelijking van de experimenteel en analytisch bepaalde rekken

Conclusies

Rekbepaling in het hart

Bewerking M.R.1.-tagged beelden

Toepassing van methode op het hart

Discussie

Discussiepunten methode rekbepaling

Discussiepunten rekbepaling in het hart

Conclusies en aanbevelingen Conclusies Aanbevelingen Referenties pag. 13 pag. 20 pag. 21 pag. 21 pag. 25 pag. 32 pag. 32 pag. 35 pag. 38 pag. 38 pag. 39 pag. 40 Bijlagen pag. 41

1 INLEIDING.

Het hart zal tijdens het vemllem vam zijn functie, namelijk het rondpompen van het bloed door het lichaam, deformeren. Door middel van de mechanische modelvorming van de linkerventrikel van het hart, waarmee Bovendeerd (1990) zich tijdens zijn promotieonderzoek heeft bezig gehouden, is getracht inzicht te krijgen in de factoren die van invloed zijn op het mechanische gedrag van de linkerventrikel tot op het niveau van de individuele spiercel tijdens de ejectie- of uitdrijvingsfase. De vraag is of elke spiercel een gelijke bijdrage levert aan de pomparbeid van het gehele hart. In de ejectiefase stuwen de ventrikels een gedeelte van het bloed in de arteriële ostia, de uitstroomopeningen. In het geval van de linkerventrikel betreft dit de aorta. De totale duur van de ejectiefase is ongeveer 300 ms. De verworven kennis betreffende het mechanische gedrag van de linkerventrikel kan vervolgens worden gebruikt voor herkenning van veranderingen m.b.t de arbeidsvverdeiing die optreden bij bijvoorbeeld ischemie. Een uitgebreide bespreking van het model van Bovendeerd zal hier achterwege gelaten worden, hiervoor wordt verwezen naar referentie [6] en [8]. Een korte bespreking van de resultaten van het onderzoek is echter wel van belang.

Uit het model is gebleken dat de vezeloriëntatie van de spiervezels die zich in de wand van de linkerventrikel bevinden, invloed heeft op het mechanische gedrag van de ventrikel. Door middel van al, de hoek tussen vezelrichting en de omtreksrichting van de ventrikel, worden de verschillende vezeloriëntaties beschreven. Door een groot aantal onderzoekers zijn experimenten uitgevoerd om te achterhalen hoe de vezelhoek precies verloopt van het endocard, de binnenkant van de ventrikelspier, naar het epicard, de buitenkant van de spier. Bovendeerd heeft twee verschillende vezeloriëntaties doorgerekend die beide binnen de spreiding van de experimenten liggen. In figuur 1.1 wordt voor beide configuraties aangegeven welke verschillen in actieve spanning in de spiercellen gevonden worden. In model 2 blijken de spanningen over de dikwandige afgeknotte ellipsoïde, waarmee de linkerventrikel in goede benadering kan worden gemodelleerd, overal hetzelfde te zijn. Dit laatste lijkt ook het meest waarschijnlijk, omdat dan alle spiervezel op dezelfde wijze belast worden gedurende een hartcyclus. Om nu te verifiëren of de spanningen over de dwarsdoorsnede van de linkerventrikel inderdaad overal ongeveer hetzelfde zijn, zou men deze spanningen willen meten.

bu

+90 al

[ " I

-90 ... ...

bi

bu

bi

bu

bi

bu

bi

bu

Fig. 1.1 Het effect van vezeloriëntatie op de spanningen in de spiercellen. -(Bovendeerd, 1990)

Rechtstreekse meting van deze spanningen m.b.v. bijvoorbeeld rekstrookjes is echter onmogelijk wegens de onherroepelijke schade die het hartspierweefsel zou oplopen. Een alternatief is om uit markerverplaatsingen lokale rekken te berekenen volgens de schattingsprocedure zoals beschreven door Peters (1987). Indien experimenteel bepaalde en m.b.v. het model berekende rekken met elkaar overeen komen, wordt aangenomen dat de m.b.v. het model berekende spanningen een betrouwbaar beeld geven van de spanningen die in werkelijkheid in de hartwand heersen. Voor de rekberekening m.b.v. de schattingsprocedure volgens Peters zijn twee verschillende toestanden van een deformerend lichaam op opeenvolgende tijdstippen t,, en t, nodig. Hierbij moeten markers op dat lichaam worden aangebracht waaruit verplaatsingen van tijdstip $, naar tijdstip t, kunnen worden bepaald.

-

Het aanbrengen van de markers in een doorsnede van een kloppend hart van een gezond persoon is gedaan door middel van de beeldvormende techniek M.R.I. (Magnetic Resonance Imaging). Met deze techniek is het mogelijk om m.b.v. het zgn. tagging een regelmatig rooster van markerpunten in een plak weefsel aan te brengen. Deze markerpunten blijven enige tijd aanwezig, waardoor m.b.v. M.R.I. opeenvolgende beelden van de doorsnede van de linkerventrikel tijdens ejectiefase kunnen worden gemaakt, waarin het markerrooster berkenbaar aznwezig is. Op de techrdek clie wordt toegepast bij deze M.W.1.-tagged beelden wordt verder niet ingegaan, hiervoor wordt verwezen naar referentie [l].

In hoofdstuk 2 paragraaf 2.1 zal de schattingsprocdure volgens Peters besproken worden. Vervolgens zal in hoofdstuk 2 paragraaf 2.2 een testprobleem worden besproken wat we hebben gebruikt om het programma REKKEN, waarin de algoritmen voor de rekberekening zijn geïmplementeerd, te verifiëren. In hoofdstuk 3 paragraaf 3.1 zal beschreven worden hoe

de M.R.1.-tagged beelden, zoals ze verkregen zijn door het A.Z.M. (Academisch Ziekenhuis Maastricht), bewerkt worden om tot een dz?a-file te kcmen met de voor onze

schattingsprocedure volgens Peters bruikbare markercoördinaten. Hierna wordt het programma RHART, de aangepaste versie van het programma REKKEN, toegepast op de data-file van de linkerventrikel tijdens ejectie. Deze toepassing en de daaruit voortvloeiende resultaten zullen besproken worden in Hoofdstuk 3 paragraaf 3.2. Vervolgens worden in Hoofdstuk 4 verschillende aspecten van de toepassing van de programma’s op het testprobleem en de linkervenrtikel kritisch besproken. Tenslotte volgen in Hoofdstuk 5 de conclusies en aanbevelingen.

2 REKBEPALING MJ3.V. MARKERS.

Bij de theoretische modelvorming van vervorming van een lichaam wordt uitgegaan van twee naburige punten, waarvan de verschiivectoren

a0,

in de referentietoestand (to) en&. in de momentane toestand (ti) infinitesimaal zijn, i.e. naderen tot O. De deformatietensorlr wordt dan als volgt gedefinieerd:

Deze deformatietensor vormt weer de basis voor de definitie van de verschillende rektensoren. Wanneer we nu, zoals hier, op basis van meetgegevens deformatiegrootheden willen schatten wordt dezelfde weg gevolgd. Echter het verschil is dat er nu sprake is van eindige verschilvectoren. Mede hierdoor en door het feit dat meetwaarden altijd behept zijn met meetfouten, zijn de deformatiegrootheden niet exact te bepalen. Hoogstens is een zo goed mogelijke schatting van de gewenste grootheden mogelijk. We zullen hier dan ook de schattingsprocedure hanteren, zoals beschreven door Peters (1987). Hiertoe worden twee naburige markers P en Q op eindige afstand van elkaar beschouwd. De vectoren die P en Q in de referentie- en momentane toestand verbinden worden geschreven als respectievelijk AX(, en AZl, i.e. eindige verschilvectoren ( zie figuur 2.1).

Fig. 2.1

Lichaam

M met twee markerpunten P en Q. De modelfout

f’

kan dan geschreven worden als:

~

1

i

Deze vergelijking vormt de basis voor de schatting van deformatiegrootheden uit de gemeten markercoördinaten. We beschouwen nu een groep van n markers, die dicht bij elkaar liggen, een z.g.n. rekgroep. Wanneer nu de coördinaten in twee toestanden (referentie en momentaan) bekend zijn, kunnen de vectoren AZ& en AZli berekend worden

( zie figuur 2.2).

Fig. 2.2 De deformatietensor wordt geschat uit de verschilvectoren van de

referentie- en momentane toestand.

Dit zijn de vectoren die de centrale marker P met de rest van de markers verbinden en welke als stochastische grootheden worden beschouwd. Dit vanwege de meetfouten waarmee ze behept zijn. De volgende notatie wordt dan gebruikt:

6

= Axli- F- AZoi ; i=l,

...,

n

A l s de posities van de markers in een rekgroep willekeurig gekozen worden, wordt de daarvan afhankelijke vector

x

ook als stochastische grootheid beschouwd. Deze wordt gedefinieerd als:

. n

Met

f’,

de gemiddelde vector van de vectoren

8

en

si

de willekeurige meetfout volgt dan:

-

De som van de willekeurige meetfout

si

en het willekeurige deel van de modelfoutö& wordt gedefinieerd als

zi

:

Er kunnen nu schatters voor de modelfout

7

en voor de deformatietensor

F S

worden bepaald m.b.v. de kleinste kwadraten methode, i.e. door de volgende functie J te minimaliseren :

Deze sch2tters volgen ui: de eiseii :

Op de uitwerking zal verder niet worden ingegaan, hiervoor wordt verwezen naar referentie [4]. Hier wordt alleen het resultaat gegeven :

waarbij

Ago

en AZl de gemiddelde verschilvectoren zijn en

&

en

hl

de tensoren die de distributie van de verschilvectoren vastleggen:

2&= AXoi AXoi- A$ A%

n i=l

Vervolgens is het mogelijk om schatters voor de verschillende rektensoren te bepalen. Voor de Green-Lagrange rektensor geldt bijvoorbeeld:

De hierboven genoemde algoritmen voor het schatten van deformatiegrootheden, zijn nu geïmplementeerd in het programma REKKEN, dat is verkregen door het aanvullen en aanpassen van het door van Ratingen verkregen programma voor rekberekening. Hiermee is het mogelijk lokale Green-Lagrange rektensoren te bepalen van een willekeurig deformerend lichaam. A l s invoer voor het programma moet gebruik worden gemaakt van data-files, waarin de coördinaten van een eindig aantal punten van dat lichaam zijn opgeslagen, en wel in twee of eventueel meerdere toestanden. Het programma REKMEN is zo geprogrammeerd dat de rekgroepen van het deformerende lichaam uit een op te geven aantal punten n bestaan. De verschilvectoren AZ& en AZli worden vervolgens berekend t.o.v. 'net rriiddeipunt, i.e. zwaartepunt, van de veïschillenûe punten vzfi de ïekgïsey 'u?

respectievelijk referentie- en momentane toestand. Dit is een belangrijk verschil met het oorspronkelijke programma, dat de verschilvectoren berekende t.o.v. één bepaalde marker maar alvorens een rekgroep omheen was bepaald. Hier wordt dus aangenomen dat het middelpunt in referentie- en in momentane toestand hetzelfde materiële middelpunt van de rekgroep is.Deze aanname is gerechtvaardigd wanneer we te maken hebben met homogene deformaties. De listing van het programma REKKEN is opgenomen in bijlage Al.

2.2 Implementatie en verificatie van methode.

Om te verifiëren in hoeverre de met de programmatuur bepaalde rekken overeen komen met de werkelijk heersende rekiren in een deformerenci ‘lichaam, Kan uitgegaan worden van een bekende situatie. Als deformerend lichaam is hier gekozen voor een incompressibele schijf met binnenstraal

RI

= 2 cm en buitenstraal

R,

= 5

cm

( zie figuur 2.3).

.-

Fig. 2.3 Geometrie van de incompressibele schijf.

Deze keus is gemaakt wegens analogie met de geometrie van de linker hartkamer, weliswaar sterk vereenvoudigd. Door nu aan deze schijf een bekende deformatie op te leggen, zijn de experimenteel bepaalde rekken ( met het programma REKKEN) te vergelijken met de analytisch berekende werkelijke rekken.

-

Alvorens in te gaan op de uitwerking van de opgelegde deformaties, dient te worden opgemerkt dat wegens de gekozen geometrie van het deformerend lichaam, het eenvoudiger is met cylindercoördinaten te werken, dan met cartesische coördinaten. Er zal dan ook gesproken worden over radiele rek (

En),

tangentiele rek (

E**)

en afschuifrek ( E*). Dit vergt enige toevoegingen in de programmatuur.

In eerste instantie wordt de lokale Green-Lagrange rektensor bepaald t.o.v. een cartesische basis { ëx Zy } :

EM = Em êxêxx+ En êyêy+ Ev ëxZy+ EP ZyZx

Waarbij

0

gedefinieerd is als arccos(êr-ëx) (zie figuur 2.3). In matrixrepresentatie wordt

Em*%- geschreven als:

Door nu de z.g.n. rotatietensor

R

toe te passen op EM., volgt de Green-Lagrange rektensor t.o.v. een cylindrische basis {ë' ë+}, EqL. De rotatietensor

R

wordt hier gedefinieerd als:

In matrix representatie:

cos4 -sin4

sin0

cos0

E=

z

1

De Green-hgrange rektensor Evt. volgt uit de matrix representatie:

Bovenstaande algoritmen zijn reeds toegevoegd aan het programma REKKEN, waarvan de listing zoals eerder vermeld is opgenomen in bijlage Al. Het programma REKKEN bepaalt dus naast E,, En en E,(=EF), ook E,, E,, en E,(=E,,), respectievelijk de radiële-, tangentiële- en afschuifkek.

2.2.2 Uitwerking van het testprobleem.

Uitgaande van de incompressibele schijf, zal het testprobleem worden uitgewerkt, waarbij we uit- gaan van de referentietoestand zsds getoond in figuur 2.4.

Fig. 2.4 Referentietoestand van de schijf met een willekeurig punt P.

De binnenstraal van de schijf wordt veranderd met een verlengingsfactor

Al.

Daarnaast is ook een moment aanwezig dat de buitenrand roteert over een hoek a(R2-RJ. Voor de straal

van een punt op de schijf in momentane toestand geldt nu :

Verder geldt voor de hoek:

9

= 9 0 + a ( ' 0 - q =

90

+

A

4

Wanneer we

om

beperken tot een twee-dimensionale situatie, geldt voor de positievector van een punt op de schijf in referentie toestand :

In

momentane toestand wordt deze positievedor :

Voor

ël

in momentane toestand geldt wegens de hoekverdraaiing :

ër = cos(A4) êlo + &(A+) ê40 ; A+= a(ro- R,)

Door substitutie van

ël

in de positievector volgt dan :

-3 = r . cos(A4)

ëlo+

P. sin(A4) ë'o

Uit de definitie van de deformatie tensor :

P=

(

vo

3 ) "

is nu op eenvoudige wijze af te leiden dat in deze situatie voor F geldt :

acos(A4) ) i?, ët +

(1

cos(A4)) ê+oë+o r0

O 0

ar0

Op grond van de incompressibiliteitseis :

det ( F ) = 1

moet gelden :

ro dro = r dr

Door het oplossen van deze differentiaal vergelijking en substitutie hierin van :

r = A@& ro

Voor r geldt dus :

r =

/-Uit de definitie van de Green-Lagrange rektensor :

E = -

’

(Fe

- F - I )

2

volgt door substitutie van de deformatie tensor F en de hoekverdraaiing

A +

dat voor

E moet gelden :

1 ar2 1 r 2

+- (-) Z4Zr0 +

-

((-) - 1 ) Z40z+0

ro 2 ‘0

Door substitutie van r in deze vergelijking voor de Green-Lagrange rektensor vinden we de vergelijkingen waaraan Em, en E,,+ moeten voldoen :

E4+ =

i

(A2- 1)

1

2

met:

2.2.3 Vergelijking van de analytisch- en experimenteel bepaalde rekken.

De werkelijk heersende rekken afhankelijk van de straal (ro) in referentie toestand zijn nu bekend, afgezien van een te kiezen constante A, en a!. Deze rekken moeten nu vergeleken

worden met de experimenteel bepaalde rekken m.b.v. het programma REKKEN. Hiervoor

zijn data-files nodig met x- en y-coördinaten in referentie en momentane toestand van de defûlmerende schijf. Deze datii-files zijn gsgenereerb m.b.v. een speciaal daarvoor

geschreven programma, n.1. het programma SCHWF. De listing van dit programma is opgenomen in bijlage B.

Aan de hand van de te kiezen waarden voor Ai en a! zijn twee verschillende situaties

geanalyseerd. In beide situaties is uitgegaan van een verlengingsfactor A, met de waarde

0,8. In de eerste situatie is voor a! de waarde O genomen, in deze situatie is dus geen

hoekverdraaiing aanwezig. In de tweede situatie, waar wel sprake is van hoekverdraaiing, is voor a! de waarde 0,02 genomen. Deze waarden zijn willekeurig gekozen. Tevens zijn voor

beide situaties data-files gegenereerd met twee verschillende markerdichtheden. De markerdichtheid waarbij de kleinste afstand tussen twee markerpunten 1 cm is, wordt hier

die dichtheid waarbij de kleinste afstand tussen twee markers 0,5 cm is (zie figuur 2.5).

Schijf met kleiie markerdichtheid Schijf met grote markerdichtheid

0 0 0 0 0 0 0

n

o o o o o û û û û û û u .

0 0 0 0 0 0

Fig. 2.5 Schijf in referentietoestand met de verschillende markerdichtheden.

Door de verschillende data-files in het programma REKKEN in te laden worden nu voor bijbehorende situaties de rekken experimenteel bepaald. Hierbij wordt uitgegaan van vijf markers plus het zwaartepunt per rekgroep (n=5). Bij deze waarde van n bleken de experimentele rekken de analytische het best te benaderen. Dit is in te zien doordat bij de keuze van n=5 bij een bepaalde marker vier dichtstbijzijnde andere markers gezocht worden, die wegens het regelmatige markerpatroon netjes om deze marker heen liggen. De lokale rekken in het zwaartepunt, dat samenvalt met de middelste marker, worden nu berekend uit de verplaatsingen t.o.v. dit zwaartepunt in alle richtingen. In het programma REKKEN zijn plot-routines geïmplementeerd. Hiermee kan o.a. geïllustreerd worden welke verplaatsingen de verschillend markers van referentie naar momentane toestand ondergaan. Om een indruk te geven zijn in figuur 2.6 en 2.7 deze verplaatsingen weergegeven. De eerste situatie is zonder hoekverdraaiing en de tweede met, beide met een grote markerdichtheid. -

Fig. 2.6 Verplaatsingen van markers op de schijf zorider hoekverdraaiing.

(

*

geeft markers a m iïì ïefeieiitietoesta7d,

-e

In

iz~mcntaae toest22d)

Fig. 2.7 Verplaatsingen van markers op de schijf met hoekverdraaiing.

(* geeft markers

in

referentie toestand aan, o in momentane toestand)

Het is ook mogelijk de vergelijking tussen experimenteel en analytisch bepaalde rekken te illustreren als functie van de straal r van het zwaartepunt. Voor de schijf zonder en met hoekverdraaiing (a! = O en a! = 0.02) zijn de experimenteel en analytisch bepaalde rekken

(radiële-, tangentiële- en afschuifrek) te zien in respectievelijk de figuren 2.8 en 2.9. In beide gevallen is gebruik gemaakt van een grote markerdichtheid.

dgerneen blijkt uit deze i!!ustratie5 dat de expeïhenteel bepaalde rekken de werkelijk heersende analytische rekken met een absolute fout kleiner dan 0,004 % benaderen. Voor de radiële- en tangentiële rek komt dit neer op een relatieve fout van respectievelijk kleiner dan 7 % en kleiner dan 4 %. Een uitzondering hierop vormen de rekken berekend in punten kleiner dan één markerafstand verwijderd van de randen. De algemene absolute fout die in deze gebieden gemaakt wordt is kleiner dan 0,07 %, wat dus ruim tien keer zo groot is als de fout buiten deze randgebieden.

De experimenteel en analytisch bepaalde rekken van de schijf zonder hoekverdraaiing

(a! = O) en kleine markerdichtheid zijn te vinden in figuur 2.10.

Uit deze illustraties blijkt dat de fout waarmee de werkelijke rekken bij deze kleine markerdichtheid benaderd worden kleiner is dan 60 %. Deze fout is dus aanzienlijk groter dan bij het gebruik van de grote markerdichtheid.

Radieie. rek

3 -

-0.02 O L

straal ícml

Fig. 2.8 Radiële- tangentiële-

en afschuifrek

als functie van de straal, met grote markerdichtheid, zonder afschuiving.

I

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5

s m a l [ml

t: w -0.06 -0.0s

3

w -0.1- Radiele rek - - 0.3

1

-0.12 -0.14- -0.16- -0.1s 0.2 - 0.15

-

0.1 - 0.05

-

- I &* A. I . r'

: o

,J':

-

; o' * 2 2 5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 straal [cml 0.09 0.0s 0.07 0.06-

Fig. 2.9 Radiële- tangentiële- en afschuifrek

als functie van de straal, met grote markerdichtheid, met afschuiving.

-

-

-

0.05 0.04 0.03 -0.02

t

-

-

-

I "' *, 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5 5 straal [cml afschuifrek 0.1

*

I . 2 2 5 3 3.5 4 45 5 straal [cml 5

Radielerek -0.12 -0.14- -0.16- -0.18 tangentiele rek

-

:* ,' := - : straat icml

I

* * 1 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 stmal [cml xi05 afschuifrek

Fig 2.10 Radiële- tangentiële- en afschuifrek

als functie van de straal, met kleine markerdichtheid, zonder afschuiving.

s

2.2.4 Conclusies.

In het algemeen is op de binnenstraal van de schijf een grotere spreiding om de werkelijke rekwaarden te zien. Bij de afschuifrek is dit ook het geval op de buiten straal, hoewel hier rekening moet worden gehouden met de kleinere schaalverdeling van de y-as. Deze spreiding is toe te schrijven

aan

de randeffecten. Aan de randen van de schijf kan n.1. geen

rekgroep gevoïmd woïden waarin de markers symmetrisch om het zwaartepunt gerangschikt zijn, wat het gevolg is van het gebruik van eindige verschilvectoren. Specifiek valt nog op dat bij de schijf met hoekverdraaiing er ook een duidelijk grotere spreiding van de werkelijke radiële- en tangentiële rekwaarden te constateren is op de buitenstraal. Dit is weer toe te schrijven aan de randeffecten die in dit geval groter zijn wegens grotere verplaatsingen aan de buitenstraal veroorzaakt door de hoekverdraaiing. Wegens al eerder genoemde meetfouten, gebruik van eindige verschilvectoren en de aanname dat het middelpunt in referentie toestand hetzelfde materiële punt is als het middelpunt in momentane toestand, zullen we altijd rekenjng moeten bEjvm hoiider, =et afijkkgen ra;; de werkelijke waarden. Deze fouten zullen kleiner worden naarmate er gewerkt wordt met grotere markerdichtheden en dus kleinere verschilvectoren.

3 REKBEPALING

IN

HET HART.

Vanaf ongeveer het begin van de ejectie fase van de hartcyclus zijn om de f 20 ms M.R.1.-beelden gemaakt van de doorsnede van de linker ventrikel. Voor deze beelden is gebruik gemaakt van gezonde proefpersonen. In totaal zijn de eerste tien beelden relevant bevonden voor verdere bewerking. Deze tien beelden beslaan dus een tijdsbestek van ongeveer 200 ms. We kunnen er dan ook vrijwel zeker van zijn dat deze beelden ook werkelijk de linker ventrikel tijdens de ejectiefase weergeven. Dit wegens het feit dat de ejectiefase ongeveer 300 ms duurt. In figuur 3.1 zijn enkele van de M.R.1.-tagged beelden geïllustreerd zoals ze verkregen zijn van het Academisch Ziekenhuis Maastricht.

~

Fig. 3.1 M.R.1.-tagged beelden van een transversale doorsnede van een thorax met het hart van een gezond proefpersoon. (frame 1,5 en 10)

Om te komen tot voor ons bruikbare markercoördinaten, moeten de beelden eerst bewerkt worden. De informatie over deze beeldverwerking is verkregen via

F.

Aelen, BíoQsica, R.E.

De conventionele M.R.1-tagged beelden, waarin de markers aanwezig zijn, bevatten veel randinformatie die niet nodig is. Daarom wordt ingezoomd op dat gedeelte van het beeld waar de linker hartkamer zich bevindt. Dit ingezoomde beeld wordt gefilterd, zodat de markers beter te detecteren zijn. Dit filteren gebeurt door het beeld te transformeren naar het spatiële frequentie domein. Hierdoor ontstaat een 2-dimensionaal frequentie spectrum (zie figuur 3.2).

Fig. 3.2 2-D frequentie domein van M.R.1.-tagged beeld.

- _{Wanneer we nu alleen die frequenties doorlaten die essentieel zijn voor het rooster, welke} te zien zijn in figuur 3.3, ontstaat een beeld waarin de markers duidelijker zichtbaar Zijn.

Fig. 3.3 Gefilterd frequentie domein van M.R.1.-tagged beeld.

Na het filteren moeten de middelpunten van de markers worden bepaald, om zo de posities van de markers te achterhalen. Dit gebeurt m.b.v een drempelwaarde. Dit is een bepaalde

in te stellen grijstint. Pixels met een grijstint boven deze drempelwaarde krijgen de waarde 1 (wit) en pixels met een grijsiint beneden deze drempelwaarde krijgen de waarde

O

(zwart). Hierdoor ontstaat een binair beeld van de markerverdeling, i.e. wel of geen marker. In figuur 3.4 is een serie van beelden te zien waarin het uiterst linkse beeld een origineel

'gedrempeld', binair beeld.

- _{M.R.1.-beeld is, het middelste beeld een gefilterd beeld, en het rechtse beeld een}

Fig. 2.4 Serie met orgineel (links), gefilterd (midden) en gedrempeld (rechts) beeld.

De dddeipunteri vam de markers hmefi 1iu bepadcl wordeii door de gemiddelde Ä= e=. y-

waarde per marker te bepalen. Het aantal pixels waaruit een marker mag bestaan wordt hiertoe eerst gelimiteerd (bijv. minimaal 5 pixels en maximaal 30 pixels). Van elk frame worden op deze manier de markerposities bepaald. Tenslotte moet nog bepaald worden welke markers van de verschillende frames bij elkaar horen. Dit gebeurt met een speciaal daarvoor ontwikkeld programma van AMuytjens en J. Roos, Medische Informatica en Statistiek, R.L. Het uiteindelijke resultaat is een data-file met markercoördinaten in tien verschillende frames, i.e. toestanden, vanaf ongeveer het begin van de ejectie fase.

3.2 Toepassing van methode op het hart

Aangenomen dat het programma REKKEN aan de hand van markerverplaatsingen een goede benadering geeft van de werkelijk heersende rekken, zal het programma nu worden toegepast op het hart. Hiertoe is het programma REKKEN aangepast, waaruit het programma

- - RHART is ontstaan. De listing van dit programma is te vinden in bijlage

A2.

De essentie van het programma, n.1. de rekberekening uit verplaatsingen is uiteraard hetzelfde gebleven. De veranderingen betreffen vooral de verschillende plotroutines voor het presenteren van gegevens en resultaten.

Van de data-file van het hart, zoals die van F. Aelen verkregen is, Zijn in figuur 3.5 de markerbanen van frame 1 t/m frame 10 te zien.

*

Fig.

3.5

Markerbanen van oorspronkelijke data-file. (* geeft markers in referentietoestand weer)

Wegens verwachtingen betreffende de geometrie van de doorsnede van de linkerventrikel en het feit dat de gradiënten

in

het verplaatsingsveld niet te groot mogen worden, is uit figuur 3.5 geconcludeerd dat enkele van de ge'ïllustreerde markers geen deel uitmaken van de linkerventrikelwand. Vermoedelijk djn deze markers verbonden met omringend weefsel zoals bijvoorbeeld het borstbeen. De oorspronkelijke data-file is dan ook aangepast door deze punten uit te sluiten.

De overgebleven markers met weer hun banen tijdens de tien doorlopen toestanden, zijn te zien in figuur 3.6. In deze figuur is ook de middelpuntsverplaatsing, berekend uit de gemiddelde x- en y-coördinaten van alle markers per frame, ge-ïllustreerd.

f f

I?//-

*

y

-

$ 4 'y t k E b \-*4, \ \ fi Y h k \

s s \ ~ L

L L 0 1

%L.\

Fig. 3.6 Markerbanen en middelpuntsverplaatsing van de aangepaste data-file. (* geeft markers in referentietoestand weer,

+

geeft middelpunt

in ïefireiitietoeJtmd weer)

Van de baan van dit middelpunt hebben we aangenomen dat deze de starre verplaatsing van de linker ventrikel weergeeft. Door deze middelpuntsverplaatsing van alle individuele verplaatsingen af te trekken, houden we de markerbanen over zoals te zien in figuur 3.7. Het in deze figuw weergegeven plus-teken geeft het vastgezette middelpunt weer ten opzichte waarvan de markers verplaatsen.

Fig. 3.7 Markerbanen min de starre translatie van de linker ventrikel.

(* geeft markers in referentietoestand weer, + geeft vastgezette middelpunt weer)

Vervolgens hebben we de berekende gemiddelde straal van de linker ventrikel uitgezet tegen de framenummers, i.e. de achtereenvolgens doorlopen toestanden, (zie

figuur

3.8).

gemiddelde straal van het hart per frame

i n v) 4 o> a (d v! .ï

e

U 4 Y

3

8l Fig. 3.8 38 O 2 4 6 8 10 frame nummer

Gemiddelde straal van de linkerventrikel t.o.v. de framenummers.

Uit deze figuur blijkt dat de straal nagenoeg lineair daalt als functie van de tijd, i.e. framenummer. Vanwege deze continue daling van de gemiddelde straal kan worden aangenomen dat de tijdsperiode vanaf frame 1 t/m 10 inderdaad binnen de tijdsperiode van de ejectiefase ligt. We kunnen nu m.b.v. het programma RHART de rekken experimenteel bepalen, waarbij we gebruik maken van de aangepaste data-file. Als referentietoestand kiezen we frame 1 en als momentane toestand nemen we frame 10. Verder gaan we weer uit van vijf markers per rekgroep, omdat dit bij de toepassing van het programma op het testprobleem de beste keus bleek.

In figuur 3.9 zijn de hoofdrekken geïllustreerd zoals ze berekend zijn door het programma RHART. Hierbij geeft de getrokken lijn de hoofdrek weer in de richting waar de grootste verlenging optreedt en de gestreepte lijn de hoofdrek in de richting van de grootste verkorting.

Fig. 3.9 Rekveld met de hoofdrekken in de linkerventrikelwand tijdens ejectie. .

Uit deze figuur blijkt dat de heersend hoofdrekken enigszins in radiële en tangentiële richting zijn, wat ook logisch is wegens het afnemen van de gemiddelde straal van de linkerventrikel tijdens de ejectiefase. Bij het testprobleem hadden we te maken met een volledig cylindersymmetrische situatie. We gaan er nu van uit dat de geometrie van de doorsnede van de linker ventrikelwand ook cylindersymmetrisch is en zullen de rekken dan ook weer presenteren als radiële- tangentiële- en afschuifrek als functie van de straal van het zwaartepunt van de verschillende rekgroepen, gemeten vanaf het berekende middelpunt van de linker ventrikel.

Wanneer figuur 3.5 en figuur 1.1 met elkaar vergeleken worden, kan vastgesteld worden dat het gedeelte van de ventrikelwand links in figuur

3.5

overeenkomt met het septum, de scheiding tussen linker- en rechterventrikel. Het gedeelte rechts in deze figuur representeert de vrij wand van de linkewentrkel. Om een globale indruk te krijgen van de te verwachten onderlinge verschillen in de rekken in deze verschillende gedeelten van de linkerventrikel is een kwadrantindeling toegepast zoals geïllustreerd in figuur 3.10.

Y

\

I

/* * * * * * *\

/

Fig. 3.10 Kwadrantindeling van de linkerventrikel met de markers in referentietoestand.

De radiële- tangentiële- en afschuifrek zijn te zien in figuur 3.11. De verschillende tekens in deze figuur geven aan in welk kwadrant een bepaalde marker, waarvan de rek wordt geillustreerd ligt (* geeft het eerste kwadrant aan,

+

het tweede kwadrant, o kwadrant drie

en x

kwadrant vier).

tangentiede rek per k w ~ ( ~ l , + = 2 , 0 = 3 , x 4 ) -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25

8

-

-

-

-

-

-

O * O o. 0.4 t: PI 0.2 0 - -0.2 O o x x x + + = x + + c % x ” +t + + x d ( +

-

-

-

O O

*

O 60 30 40 50 straal ipixekl

Fig. 3.11 Radiële- tangentiële- en afschuifrek als functie van de straal van de linkerventrikel

(De tekens geven aan

in welk kwadrant de rekken berekend werden)

* o + + O O 0 0 + + + + o x + * o ++ + x + x x x Lc + o * X x x X X -0.3 30 40 50 60 straal [pix&] straal [pixels1

Uit deze figuur is over het verband van de verschillende rekken met de straal weinig te zeggen. Hooguit is uit de puntenwolk een gemiddelde waarde te schatten die een zeer algemene indruk geeft van de heersende radiële-, tangentiële- en afschuifrek in de ventrikelwand. Wanneer we de rekken per kwadrant bekijken valt vooral bij de radiële rek op dat de berekende rekken vooral in het tweede en vierde kwadrant een relatief geringe spreiding vertonen. Als we nog eens naar figuur 3.10 kijken blijkt dit ook te verklaren uit

het feit dat er in deze kwsrdrmten weral twee markers =i; de doorsiiede va= de wand liggen,

waardoor de markers per rekgroep meer symmetrisch om het zwaartepunt heen liggen en de berekende rekken dus meer met elkaar overeen komen. Verder lijkt het niet reëel om uit de illustraties van de rekken iets zinnigs te zeggen over het verband van de rek met de straal die loopt van binnen- naar buitenstraal, wegens het geringe aantal markers op de doorsnede van de ventrikelwand bij een bepaalde hoek @ (gemiddeld namelijk twee). De zwaartepunten ten opzichte waarvan de rekken berekend worden liggen dus ongeveer op dezelfde straal. Concluderend is er dus alleen iets zinnigs te zeggen over de grote van de rekken in het algemeen en eventueel per kwadrant. Vrijwel met zekerheid -hmm we stellen dat we te maken hebben met een positieve radiële rek en een negatieve tangentiële- en afschuifrek.

i

4 DISCUSSIE.

4.1 Discussiepunten methode rekbepaling.

Bij het testprobleem zoals beschreven in hoofdstuk 2 zijn een aantal keuzes gemaakt betreffende de ~ j z e van de reitberekening. In hoeverre deze Keuzes correct zijn vait te bezien. Het gaat hier om de aanname betreffende het zwaartepunt van een rekgroep en de keuze van vijf markers per rekgroep.

De keuze om de lokale rekken te berekenen t.o.v. het zwaartepunt van een rekgroep is gemaakt omdat de experimentele rekken op de randen van de schijf bij deze keuze minder afwijkingen van de analytische rekken vertoonden. Dit is in te zien door te kijken wat er gebeurt bij de rekgroepsbepaling van een marker die precies op de buitenrand ligt. Wanneer de ïsk bepaald zou xorden t.o.+'. deze marker z m d m de mmksrs imamit de

verplaatsingsvectoren bepaald worden allen op een Meinere afstand van het middelpunt van de schijf liggen dan deze marker, waardoor de experimentele rek iets hoger is dan de werkelijk heersende rek. Door nu alvorens de rek uit de verplaatsingsvectoren te berekenen, het zwaartepunt c.q. middelpunt van een rekgroep te bepalen en t.o.v. dit punt de rekken te berekenen zullen de experimentele rekken op de randen de analytische rekken beter benaderen, doordat de berekende gemiddelde rek van een rekgroep nu gekoppeld is aan de gemiddelde positie in een rekgroep, n.l. die van het zwaartepunt. Daarnaast is het zo dat het gebruik van rekgroepen met een berekend zwaartepunt alleen dan te verantwoorden is wanneer er sprake is van homogene deformaties, dus als elk infinitesimaal klein blokje materie dezelfde deformatie ondergaat. Het materiële blokje dat in referentie toestand zwaartepunt is moet dat in momentane toestand dus ook nog zijn. Bij het testprobleem dat wij hebben gebruikt is dit echter niet helemaal het geval. Het blijkt dat als we twee punten nemen, één op de binnen- en één op de buitenrand van de schijf bij enkel radiële deformatie ( A, = 0,s en a! = O ) de berekende positie van het zwaartepunt in

momentane toestand van deze twee punten 0,06 cm afwijkt van de positie van het werkelijke

materiële punt dat in referentie toestand verbonden was met het zwaartepunt. We hebben hier dus te maken met een fout van ongeveer 2 %. Wanneer er ook nog afschuiving aanwezig is zal deze fout nog iets hoger liggen.

We moeten echter niet vergeten dat deze fout van f 2 % voortkomt uit een situatie waarbij

een zeer kleine markerdichtheid gehanteerd wordfn.1. de kleinste afstand tussen twee markerpunten is 3

cm.

Bij de markerdichtheden die wij hebben gebruikt zal deze fout dus iets kleiner zijn dan 2 %. Bij de keuze van wel of geen toepassing vapp een maartepunt in

een rekgroep is dus de afweging gemaakt tussen of het verlagen van de relatief grote randeffecten en een kleine algemene fout bij de rekberekening of het elimineren van deze algemene fout met als consequentie de grotere randeffecten. Zoals al eerder vermeld is voor het eerste gekozen, n.1. het toepassen van een zwaartepunt in een rekgroep, omdat in de gebruikte geometrie van de schijf en het

hart,

er relatief veel randen aan deze lichamen zitten, en de markerdichtheid klein is.

Zoals in Hoofdstuk 2 al vermeld werd is gekozen voor vijf markers per rekgroep. Wanneer namelijk werd uitgegaan van een grote markerdichtheid zoals gedefinieerd in Hoofdstuk 2 (kleinste afstand tussen twee markers 0,s cm), bleken bij deze keuze de experimenteel bepaalde rekken de analytische werkelijke rekicen het best te benaderen. Dit is te veriiiaren doordat bij deze keuze in de meeste rekgroepen de verdeling van markers om het zwaartepunt symmetrisch is. Tevens valt het zwaartepunt samen met de middelste marker, zie figuur 4.1.

I

*

I

Fig. 4.1 Rekgroep zods die gemiddeld gekozen za7 worden.

(* geeft markers weer, o geeft het berekende zwaartepunt weer)

Door de symmetrische verdeling van de markers om het zwaartepunt worden de rekken in dit punt het best benaderd, omdat deze nu berekend worden uit verschilvectoren die symmetrisch om het zwaartepunt heen liggen. Bij een keuze van negen markers in een rekgroep (n=9) liggen de markers sok 5ymnetrisch om het zwaartepunt heen. Uit de

rekberekening met het programma

REKKEN

bleek echter dat bij de keuze van n=9 de experimentele rekken aan de randen aanzienlijk minder goed de werkelijk heersende rekken benaderden. Dit is te begrijpen wanneer men bedenkt dat bij de keuze van n =9 het inhomogene rekveld over een groter gebied gemiddeld wordt.Tevens komt het zwaartepunt van een grotere rekgroep aan bijvoorbeeld de buitenrand van de schijf, dichter bij het middelpunt van de schijf komt te liggen. Hierdoor wordt het verschil tussen de buitenstraal en de grootste straal van de schijf waar nog lokale rekken worden berekend groter.

Men zou zich kunnen afvragen of de genoemde effecten niet onderdrukt kunnen worden door de keuze van een veel grotere markerdichtheid. Door het werken met grotere markerdichtheden nemen de eindige verscbihxtûïen îìaïììelijl~ in gïmtte af, waardoor de deformatietensor beter geschat zal worden en er dus ook een betere benadering van de lokale Green-Lagrange rektensor bepaald kan worden. De reden waarom in het testprobleem toch voor een relatief lage markerdichtheid is gekozen ligt in het feit dat m.b.v. M.R.1.-tagged beelden er maar een beperkte markerdichtheid gerealiseerd kan worden.

4 2 Discussiepunten rekbepaling in het hart.

Bij de toepassing van het programma RHART op het hart kunnen een aantal punten betreffende de betrouwbaarheid van de resultaten ter discussie worden gebracht.

Over de M.R.1.-tagged beelden dient te worden opgemerkt dat deze verkregen zijn uit een plakje weefsel van 5 8 mm dik. Dat betekent dus dat de bewegingen van ae markers

gemiddeld worden over deze plak, wat fouten met zich meebrengt. Daarnaast is het zo dat de positie van de plak vastligt. Bij beweging van het hart in longitudinale richting in de mens wil dat zeggen dat elk beeld in een serie een ander plakje weefsel weergeeft. Er is daarentegen aangenomen dat in de hier gebruikte serie van tien frames, elk frame hetzelfde plakje weefsel weergeeft. Ook dit leidt dus tot fouten. Over de grootte orde van deze fouten is echter niets bekend.

r T.

uit Îiguur 3.í in hoofdstuk 3 hebben g e zzíîgeíì~mefi dat edele narterp~~teri piei

verbonden zijn met het weefsel van de linkerventrikel. Vervolgens hebben we deze markers uitgesloten bij de rekberekening. In hoeverre wij de juiste markers hebben meegenomen in de rekberekening (de markers die dus wel met het linkerventrikel weefsel waren verbonden) is niet met zekerheid te zeggen. Om dit wel met zekerheid te kunnen zeggen, zou men al tijdens de beeldbewerking van de conventionele M.R.1.-beelden die markers moeten uitsluiten die niet verbonden zijn met het linkerventrikel weefsel. In de conventionele M.R.1.-beelden kunnen de verschillende weefsels met de daarop aangebrachte markers namelijk nog goed herkend worden.

Wanneer we figuur 3.4 nog eens goed bekijken valt op dat rechtsonderaan in deze figuur twee markers in de linkerventrikelholte lijken te liggen. Het is aannemelijk om te veronderstellen dat deze markers verbonden zijn met een papillairspier. Deze twee afwijkende markers zorgen voor fouten in de rekberekening, temeer wegens de zeer kleine markerdichtheid die is toegepast, waar we later nog terug komen. Ook deze markers zouden tijdens de M.R.1.-beeldbewerking al herkend moeten zijn en moeten zijn uitgesloten van de data-file.

In hoofdstuk 3 hebben we aangenomen dat de geometrie van de dwarsdoorsnede van de linkerventrikel cylindersymmetrisch is. Het is nu natuurlijk de vraag in hoeverre dit correct is. Bekijken we hiertoe figuur 4.2, welke de dwarsdoorsnede van het hart ter hoogte van de equator weergeeft tijdens systole en diastole, bG&t toch dat de Enkerventrikel, rechts gelegen in de figuur, geometrisch bij goede benadering gezien kan worden als een cylindrische schijf. Of de linkerventrikel qua materiaal, bijvoorbeeld de vezeloriëntatie, cykdersymmetrisch is vait te betwijfeien.

Fig. 4.2 Anatomische doorsnede van hat hart ten hoogte van de equator. (A. tijdens systole. B. tijdens diastole)

Tenslotte is het de vraag in hoeverre de bepaalde rekken de werkelijke rekken benaderen. Uit Hoofdstuk 2 bleek dat wanneer we een markerdichtheid gebruikten waarbij zeven markers op de doorsnede van binnenstraal neer buitenstraal waren aangebracht, de experimentele rekken met een acceptabele spreiding OIII de werkelijke waarden bepaald

werden. Als er op deze doorsnede maar vier markers waren gebruikt, bleek de spreiding al aanzienlijk groter te worden. Misschien kunnen we hier zelfs al beter over afwijkingen spreken dan over spreiding. -Wanneer we nu de situatie in net geval van de linkerventrikel bekijken, zien we dat hier gemiddeld slechts twee markers op de doorsnede van binnen- naar buitenstraal aantreffen. Het is dus terecht om de verkregen resultaten met enig voorbehoud te bezien.

5 CONCLUSIES EN AANBEVELINGEN.

5.1 Conclusies.

Naar aanleiding van de resultaten bij de toepassing van het programma REKKEN op het

tesrpr~bleem PE het p r o g r a ~ m a REMRT op de Eïìkervenîrillei ‘kunnen we de volgende

conclusies trekken:

1. Voor een betrouwbare rek bepaling is het vereist om een zo groot mogelijke marker- dichtheid te gebruiken, waardoor fouten met als oorzaak het gebruik van eindige verschilvectoren kleiner worden.

2. Tevens is gebleken dat wanneer we de markers in een rekgroep symmetrisch om het punt waar men de ïokaïe rek wil weten legt, deze lokale rek het best de werkelijk heersende rek benadert.

3. In de doorsnede van de linkerventrikelwand wordt de vormverandering gedurende ejectie gekarakteriseerd door een positieve radiële rek en een negatieve tangentiële- en afschuifrek.

Opgemerkt dient nog te worden dat de keuze van een zo groot mogelijke markerdichtheid ook van belang is wanneer we iets willen zeggen over het verloop van de rekken over de doorsnede van de linkerventrikelwand. De reden hiervoor is logischerwijs dat we zoveel mogelijk punten willen hebben over deze doorsnede bij een bepaalde hoek @, waarna van elk van die punten de lokale rek bepaald kan worden.

5.2 Aanbevelingen.

Als aanbeveling voor vervolgstudie kan derhalve in overweging genomen worden dat m.b.v. de M.R.1.-tagged beelden de heersende rekken goed benaderd kainnen worden mb.v het programma RHART. Als voorwaarde hiervoor geldt dan wel dat er een markerdichtheid gebruikt moet worden die ongeveer vier keer zo groot is als de markerdichtheid die toegepast is in de door ons gebruikte M.R.I.-tagged beeiden. Een aantai markers van minimaal acht over de doorsnede van de linkerventrikel is dus een vereiste voor betrouwbare lokale rekberekening. Bij deze minimale markerdichtheid wordt dan een aantal markers per rekgroep van vijf aanbevolen (n=5). In hoeverre men een minimale markerdichtheid van acht markers over de linkerventrikelwand m.b.v. de M.R.1.-tagging techniek kan verwezenlijken is onbekend, hiervoor zou het Academisch Ziekenhuis Maastricht geïnformeerd moeten worden.

6 REFERENTIES

B.R. Friedman et al., Principles of M.R.T., Me Craw-Hill Inc.1989.

J.A. Bernards en L.N. Bouman, Fysiologie van de mens, vijfde druk,

Houten/Antwerpen, 1988.

Barry J. Anson, Morris’ Human Anatomy, twaalfde druk, 1966.

G.W.M. Peters, Tools for the measurement of stress and strain fields in soft tissue, Proefschrift, Rijksuniversiteit Limburg, Maastricht, 1987.

Jery L. Prince en Elliot R. Me Veigh, Motion estimation from tagged MR image sequences, IEE transaction on medical imaging, vol.11, 110.2, juni 1992.

P.H.M. Bovendeerd, Dependence of local left ventricular wall mechanics on myocardial fiber orientation : a model study,

J.

Biomechanics, vo1.25, no. 10, pag. 1129 -1140, 1992.

T. Arts, Description of the deformation of the left ventricle by a kinematic model, J. Biomechanics, vo1.25, no.lO, pag. 1119 -1127, 1992.

P.H.M. Bovendeerd, Influence of endocardial-epicardial crossover fibers on left ventricular wall mechanics, J biomechanics, vo1.27, no.7, pag. 941-95 1, 1994.

M.R. van Ratingen, Mechanical identification of inhomogeneous solids, Proefschrift Technische Universiteit Eindhoven, mei 1994.

40 ~ 1 I I l

i

I

I

I

I

i

i

I I I I

7 BIJLAGEN

In deze bijlage zijn de listings van de in matlab geschreven programma’s bijgevoegd. De programa’s in bijlage A zijn verkregen door het aanvullen en aanpassen van het door M.van Ratingen verkregen programma voor rekberekening. Het programma in bijlage B is geschreven voor het genereren van data-files behorende bij de op verschillende manieren deformerende schijf.

Bijlage A l programma REKKEN.

Bijlage

A2

programma RHART.

hold off echo off clear clg axis ( 'square') %

% Deze M-file is bedoeld om data files te laden. %

%

% en eventueel bekende afschuiffactor(a1fa). %

Hierna worden rekken bepaald aan de hand van verplaatsingen en rekken berekend aan de hand van bekende verlengingsfactor(1abda)

fiienaml = input(;Geef naam van file : : f ' s ' j ;

filenam2 = input('Geef extensie van file :

_'

,

'S') ;

filename=[filenaml,'.',fiïenam2]; disp(/Laden data-file') eval(['load ',filename]); disp(/Data-file geladen') mrks nmrk = max(mrks) ; coorxx = eval([filenaml,'(l:nmrk,2)']); cooryy = eval([filenaml,'(l:nmrk,3)']); npix = eval([filenam2]); coorx = (lü.*coorxx)./npix; coory = (10. *cooryy)

.

/npix; coordi = [ coorx coory]; O = mean (coordi) ; = eval( [filenaml, ( :

,

1)

'3

) ; xg = 0(1,1); Yg = 0(1,2); coorxn = coorx-xg; cooryn = coory-yg;

fi = atan2 (cooryn, coorxn) ;

%

. . .

dist = zeros(nmrk,nmrk);

r =

[I;

mpix = 12;

Vpix = [ O mpix 0 mpix];

disp('Bepa1en markerafstanden') for i = 1:nmrk xl = coorx(i); y1 = coory(i) ; xro = coorxn(i) ; yro = cooryn(i) ;

% x en y waarde van middelpunt. % x en y waarden ten opzichte van % middelpunt.

ro = sqrt (xroA2+yroA2) ; r = [r rol;

j = 1;

while j <= i

distance = sqrt( (xl-coorx( j) ) ^2+(yl-coory( j) ) ^2) ; dist(i,j) = distance; dist (j

,

i) = distance; j = j+l; end; end ; m i n = min(coorx) ; xmax = max(coorx) ; ymax = max(coory) ; ymin = min(cosrYj

hulp1 = sort (dist ( : ) ) ; dissel = hulpl(nmrk+l); axis ('square') cont=l; while cont==l Epsl ₌

_[I;

Eps2 ₌

_{E l ;}

Eps3 ₌

_{E l ;}

Exx ₌

_{E l ;}

EYY =

[I;

EXY =

[I;

Veigl ₌

_[I;

Veig2 ₌

_[I;

frame ₌

_[I;

rekgr ₌

_[I;

Hoofdrekken =

[I;

Eg1 =

[I;

Err ₌

_[I;

Ef if i ₌

_[I;

Erf i ₌

_{E l ;}

Cylrekken =

[I;

rE ₌

_[I;

cxm ₌

_[I;

cym =

[I;

% Alle afstanden op volgorde van groote

% matrixen nodig voor rek berekening.

nstr = input('Aanta1 markers in rekgroep is : '1;

case = input('We1k frame moet vergeleken worden met ref. frame : '1; dicp('referentie frame wordt vergeleken met momentane frame')

deformxx = eval([f~lenaml,~((case-l)*nmrk+l:case*nmrk,2)~]);

deformyy = eval([filenaml,~((case-l)*nmrk+l:case*nmrk,3)~])~

deformx = (ïû.*deformxx)./npix; deformy = (lO.*deformyy)./npix;

polymark(coorx,coory,'g*')

polymark(deformx,deformy,'ro')

for i = 1:nmrk end

X = [O mpix mpix 0 O];

Y = [O O mpix mpix O]; polyline(X,Y)

title(['Markers voor ',filename,' in ref. en moment. frame ( * and o)']) pause;

eval(['meta ',filenaml,'nl']);

eval(['!gpp ',filenaml,'nl ldps']); clc

ClCJ

polyline ( [ coorx ( i) def ormx (i)

3

,

[ coory (i) def ormy ( i)

3

)

disp('rekken worden berekend')

deform = [ deformx deformy]; % coordinaten van momentane frame. strgrp = zeros(nmrk,nstr) ;

for i = 1:nmrk % loopt over alle markers. % re = r(i);

% rEE = [rEE re]; rekgr = [rekgr i] ; frune = [ f r a z e case] ;

% matrixen die nodig zijn voor

[distl, distl

-

i] = sort(dist(:,i)); % afstand tussen marker n en % andere markers op volrorde van % groote.

% matrix met markers die in de % rekgroep van elke observatie % marker horen.

strgrp(i, : ) = distl - i(1:nstr)

';

coorxrkg = coorx (strgrp (i

,

: )

,

: ) ;

cooryrkg = coory(strgrp(i,:),:); deformxrkg = deformx(strgrp(i,:),:); def ormyrkg = def ormy (strgrp (i

,

: )

,

: ) ; coorxm = mean (coorxrkg) ;

coorym = mean (cooryrkg) ; cxm = [cxm coorxm] ;

CYm = [cym coorym]; deformxm = mean(deformxrkg); deformym = mean(deformyrkg);

rrg = sqrt( (coorxm-xg) ^2+(coorym-yg) ^ 2 ) ; rE = [rE rrg];

point = [ coorxm coorym]; %

x

en y coordinaten van mark dpoint = [ deformxm deformym]; % ref. frame en moment. frame % 80 bij 2 matrixen met 80 keer

x

% waarde van marker n van de beid pointar = ones(nmrk,l)*point;

dpointar= ones(nmrk,l)*dpoint; fik = atan2((coorym-yg),(coorxm-xg));

sin(fik) cos(fik) 3 ;

R = [ cos(fik) -sin(fik); % rotatie matrix.

% % berekend dx0mean dvr = (coordi(strgrp(i,:),:)

-

pointar(strgrp(i,:),:)); dx0mean = mean (dvr) ; berekend dxlmean

dvd = (deform(strgrp(i,:),:)

-

dpointar(strgrp(i,:),:));

dxlmean = mean (dvd) ;

xOO= dvrr*dvr./nstr-dxOmeanr*dxOmean; xO1= dvrr*dvd./nstr-dxOmeanf*dxlmean;

% berekend XOO and XO1

F = xO1r*inv(xOO) ; % berekend deformatie tensor. E = 0.5*(Fr*F-eye(2)); % berekend Green Lagrange Ecyl = R/*E*R;

% rek ‘censor (E).

Exx = [Exx E(l,l)]; % van alle observatie markers

EYY = [EYY E(2,2)1: % worden de Green Lagrange rekken Exy = rExY E(lf211; % in rijen gezet.

Err = [Err ECyl(i,ij];

Efifi = [Efifi Ecy1(2,2)]; Erfi = [Erfi Ecyl(l,2)];

[Veig, epsilon] = eig(E) ; % de eigenvectoren (Veig) en eigen- % waarden (epsilon) van E worden % in een 2 bij 2 matrix gezet. if epsilon (1) >= epsilon (2)

Epsl = [Epsl epsilon(l,l)]; Eps2 = [ Eps2 epsilon (2

,

2)

3

;

Eps3 = CEps3 0.5*(epsilon(l,l)-eps~lon(2,2))];

Veigl = [veigi Veig( :

,

i)

3

;

Veig2 = [Veiga ~eig(:,2)]; % de hoofdrekken worden

else % van alle markers in een ri

Epsl = [Epsl epsilon(2,2)]; Eps2 = [ Eps2 epsilon (1

,

1)

3

;

Eps3 = [ Eps3 O. 5

*

(epsilon ( 2

,

2 ) -epsilon ( 1

,

1) )

3

; Veigi = [veigi veig(:,2)];

Veig2 = [Veigz veig(:,î)]; end ;

% next i

...

end;

clc

xx

= input(’0m de rekgroepen per marker te zien, type [l] : if xx == 1

for i = 1:nmrk clg

polymark(coorx(strgrp(i,:)),coory(strgrp(i,:)),~gx~)

hold on

polymark(cxm(i) ,cym(i) ,‘wor) ,pause hold off end end % epslmax = ceil(max(Eps1) *250) /250; epslmin = -ceil(max(-Eps2)*250) /250; V = [ O epslmax epslmin O];

clg

plot(Epsl,Eps2,'go') grid

title(['Rek-domein voor ',filename]) xlabel('Eps

-

1') ;ylabel('Eps

-

2') pause strl = Veigl'.*[Epsl' Epsl']; str2 = Veig2'.*[Eps2' Eps2'1; fac = 1.4*dissel/max(max(abs([strl str21))); coordim = [cxm' cynf]; M11 = coordim(l:nmrk,:)-0.5*fac*strl; M12 = coordim(l:nmrk,:)+0.5*fac*strl; M21 = coordim(l:nmrk,:)-0.5*fac*str2; M22 = coordim(l:nmrk,:)+0.5*fac*str2; xll = Mll(:,l); x12 = M12 (:, 1) ; x21 = M21(:,1); x22 = M22(:, 1) ; y11 = Mll(:,2); y12 = M12(:,2); y22 = M22(:,2); y21 = 6121(:,2); c w

axis([xmin xmax ymin ymax]); for i = 1:nmrk

if Epsl(i) > O

polyline([xîl(i) x12(i)], [yïi(i) yï2(i)],fwr); else

end

polyline( [xll(i) xi2 (i) 1 , [yïî(i) y12 (i)

I ,

: r ) ;

if Eps2(i) > O

polyline ( [x21 (i) x22 (i) ]

,

[y21 (i) y22 (i)

3

,

'w') ; else

end polyline ( Ex21 (i) x22 (i) 3, [y21 (i) y22 (i) 3, f :

'

) ;

end

% % %

title(['Rek-veld voor ',filename]);

xlabel([rHoofdrekken met ',num2str(nstr),' markers in rekgroep']) pause

%eval(['meta f,filenaml,rn2']); %eval(['!gpp ',filenaml,'nL ldps']); clc

disp(' De analytische rekken worden nu vergeleken met de experimentele')

echo off clg

Erran =

[I;

Efifian =

[I;

Erfian =

[I;

rmnr = min(r);

def ormxm = deformx-xg; def ormym = deformy-yg;

rm = sqrt((deformxm.*czformxm)+(d rmnm = min(rm) ; f im = atan2(deformym,deformxm); [rv,r-l] = sort (r) ; mmxr = max(rv-1) ; fimn = fijrrirrixrj; f imx = fim(mmxr);

f rmym. *def ormym) ) ;

rmnm./rmnr; rmnr ;

max (r) ; Ri-(Ri./lO); Ro+(Ro./lO);

(f imx-f imn)

.

/ (Ro-Ri) ; (Ro-Ri) ./loo;

[Ri:int:Ro]; length (strl) ;

% labda, binnen- en buiten-straal % worden bepaald.

z z = input(’A1s er sprake is van afschuiving type[2], zo niet type[l]: if z z == 1; for i=i:q; str = strl(i) ; Lstr = sqrt(l+(Ri^2./str.^2)*(LA2-1)) ; Erra = .5*((l./(Lstr).^2)-1); Ef if ia = .5* ( (Lstr)

.

^2-1) ; Erfia = O;

Erran = [Erran Erra]; Efifian = [Efifian Efifia]; Erfian = [Erfian Erfia]; end;

end;

% rekken worden analytisch % berekend if z z == 2; for i=i : q; str = strl(i) ; Lstr = sqrt(l+(Ri^2./str.^2)*(LA2-l)) ; Erra = .5*( (l./(Lstr) .^2)+( (alf*Lstr*str) . ^ 2 ) - ï ) ; Efifia = .5*( (Lstr) .^2-1);

Erfia = .5*(alf*LstrA2*str.^2) ./(str); % rekken worden analytisch Erran = [Erran Erra] ; % berekend.

Efifian = [Efifian Efifia]; Erfian = [Erfian Erfia]; end ;

end p’

Emar = max (Erran) ; Emer2 = max(Err) ; Emerl = min(Err) ; if Emar>=Emer2,

else end Emx2r = Emer2; Emxlr = Emerl; Emr2 = Emx2r+Emx2r./lO; if Emxlr>=O, Emrl = O; else Emrl = Emxlr+(Emxlr./lO); end

Emaf i = min (Ef if ian) ; Emefil = min(Efifi); Emef i2 = max (Ef if i) ; if Emafi>=Emefil; Emxlfi = Emefil; else Emxlfi = Emafi; end; Emfil = Emxlfi+(Emxlfi./lO); Emx2fi = Emefi2; if Emx2fi>=O, Emfi2 = ErnefiL+(Emefi2./10); else Emfi2 = O; end

B = [Rir Ror Emfil Emfi23;

Emarfil = max(Erfian); Emarfi2 = min(Erfian); Emerf i1 = max (Erf i) ; Emerf i2 = min (Erf i) ; if Emarfil>=Emerfil, Emxrfi = Emarfil; else Emxrfi = Emerfil; end if Emarfi2>=Emerfi2, Emnxrfi = Emerfi2; else Emnxrfi = Emarfi2 end Emrfi = Emxrfi+(Emxrfi./lO); % analytische en experimentele % rekken als functie van de straal % worden in een grafiek gezet.

if Emnxrfi>=O else

Emnrfi = Emnxrfi+(Emnxrfi./lO); end

C = [Rir Ror Emnrfi Emrfi];

axis(A) ; plot(rE,Err,'r*',strl,Erranfrg--t 1 title(['Radiele rekr]); xlabel([/straal [~m]~]); ylabel(['Err']); pause eval(['meta ',filenaml,'rk']);

evai(['igpp ',fiienaml,'rk

i,,--','

2 3 - 1 ) ;

clc clg axis (B) ; plot(rE,Efifi,/r*',strl,Efififian,'g--r 1 title(['tangentiele rek']); xlabel(['straal [cmIr]); ylabel( [rEfi€i']) ; pause eval(['meta ',filenaml,rrk']); eval([[!gpp fl,filenaml,rrk ldps']); clc clg axis ( C ) ; plot(rE,Erfi,/r*r,strl,Erfianf'g--' 1 title( [ 'afschuifrek']) ; xlabel(['straal [cm]']); ylabel(['Erfi']); pause eval(['meta ',filenaml,rrkr]); eval(['!gpp /,fi1enamltrrk ldps']); CIC

cont=input('voor bepalen rekken andere situatie, type[l]: I ) ;

end; end;

hold off echo off clear Cu3 axis ( square' ) %

% Deze M-file is bedoeld om data files te laden van het hart. %

%

Hierna worden rekken bepaald aan de hand van verplaatsingen.

filenaml = input('Geef naam van file F f ' S f ) ;

filenam2 = input('Geef extensie van file :

',

' S f ) ;

filename=[filenaml,f.f,filenam2];

disp('Laden data-file') eval(['load ',filename]);

disp ( Data-f ile geladen' )

xc = eval( [filenaml, ( : ,2)

3)

; Yc = eval([filenamî,' (:,3)']); LX = length (Xc) ; mrks = eval([filenaml,f(:,l)f]); nmrk = max(mrks) ; nfr = LX. /nmrk; npnt = (nfr.*nmrk)-nmrk; coordi O xg Yg coorxn cooryn fi %

****

dist = coorx = eval([filenaml,f(l:nmrk,2)f]); coory = eval([filenamlff(l:nmrk,3)f]); = [ coorx coory]; = mean (coordi) ; 0(1,1); 0(1,2); coorx-xg; coory-yg;

atan2 (cooryn, coorxn) ;

*

. . .

zeros (nmrk nmrk) ; r =

[I;

npix = eval([filenam2]); mpix = npix+2;

Vpix = [ O mpix û mpix];

% x en y waarde van middelpunt. % x en y waarden ten opzichte van % middelpunt. XX = zeros(nfr,l); YY = zeros(nfr,l) ; Xg = zeros(nfr,l); Yg = zeros(nfr,l); k = 1;

while k < nfr for i = l:nmrk:npnt+l Xg(k) = mean(Xc(i:i+nmrk-1)); Yg(k) = mean(Yc(i:i+nmrk-1)); k = k+l; end end minx = min(Xg)-1; maxx = max(Xg)+l; miny = min(Yg)-l; maxy = max(Yg)+l;

axis([minx maxx miny maxy]); polymark(Xg(1) ,Yg(l) I /g+/)

polyline(Xg,Yg)

A = [minx maxx maxx minx minx]; B = [miny miny maxy maxy miny]; polyline(A,B)

% baan van de starre translatie wordt geplot

title(['baan.van de starre translatie voor /,filename]) pause

%eval([lmeta J,filenami,fl/]); %eval([/!gpp r,filenaml,'l ldps']); clc

clg

% markerbanen worden geplot. axis (Vpix) ; polymark(coorx,coory,rr*') polymark(Xg(1) ,Yg(l) ,rg+') polyline(Xg,Yg) for i = 1:nmrk k = 1; while k < nfr; for j = 0:nmrk:npnt XX(k) = Xc(i+j); YY(k) = Yc(i+j); k = k+l; end end polyline(XX,YY) end

X = [ O mpix mpix 0 O]; Y = [ O 0 mpix mpix O]; polyline(X,Y)

title(['markerbanen voor /,filename]) pause

%eval(['meta /,filenami,f2/]); %eval([/!gpp /,filenarnl,/2 /dps/]); clc

clg

% markerbanen min starre translatie % worden geplot. dltXg = zeros (nfr, 1) ; dltYg = zeros (nfr, i) ; dltXg(1) = o; dltYg(1) = O; for i = 2:nfr dltXg (i) = Xg (i-1) -Xg (1) ; dltYg (i) = Yg (i-1) -Yg (1) ;

end

XXc = zeros(nfr*nmrk, 1) ; YYc = zeros(nfr*nmrk, 1) ; for ifr = 1:nfr

for jmrk = 1:nmrk

XXc(jmrk+(ifr-1) *nmrk)=Xc(jmrk+(ifr-1) *nmrk) -dltXg(ifr) ; YYc(jmrk+(ifr-1) *nmrk)=Yc(jmrk+(ifr-1) *nmrk) -dltYg(ifr) ; end end axis (Vpix) ; =^lym^rk!CoQ~x;coory~/r*/) polymark(Xg(1) ,Yg(ij ,;g+;j for i = 1:nmrk k = 1; while k < nfr; for j = 0:nmrk:npnt XX(k) = XXc(i+j); YY(k) = YYc(i+j); k = k+l; end end polyline(XX,YY) end

Y = [ O 0 mpix mpix O]; polyline(X,Y)

title([/markerbanen min de starre translatie voor ',filename])

x =

[ O mpix =pix

o

o ] ; pause %eval(['meta f,filenam1,f3/]); %eval([/!gpp /,filenaml,'3 /dps/]); rf =

[I;

rf s =

[ I ;

nframe =

[I;

Rcx = xc-xg; RCY = Yc-xg; for j=O:nmrk:npnt for i=1: nmrk Rcx2 = (Rcx (i+j ) )

*

(Rcx( i+j) ) ; Rcy2 = (Rcy (i+j) )

*

(Rcy( i+j) ) ; rfr = sqrt(Rcx2+ Rcy2); rf = [rf rfr]; end srfl srf = sum(srf i) ; rfgem = srf./nmrk; rfs = [rfs rfgem]; = rf ((j+l) : (j+nmrk)); end

% gemiddelde straal van het hart wordt % bepaalt en geplot als functie

% van het frame no.

f X = nfr+nfr./lO;

mrfsl = min(rfs); mrfs2 = max(rfs) ;

ry2 = mrfs2+mrfs2./10;

axis([O fx ryl ry2]); plot (rf s )

title('gemidde1de straal van het hart per frame') xlabel('frame nummer') ylabel('gemid.straa1 [pixels]') pause eval(['meta ',filenaml,'4']); eval(['!gpp ',filenaml,'4 /dpsf]); clc clg cont=l ; while cont==l

caseref = input('we1k frame kies je als ref. frame : '1;

coorx = eval([f~lenaml,'((caseref-l)*nmrk+l:caseref*nmrk,2)~]);

coory = eval([f~lenaml,'((caseref-l)*nmrk+l:caseref*nmrk,3)~]);

disp('Bepa1en markerafstanden')

% afstand matrix (dist) vullen. for i = 1:nmrk xl = coorx(i) ; y1 = coory(i) ; xro = coorxn(i) ; yro = cooryn(i) ; ro = sqrt(xroA2+yroA2); r = [r rol; j = 1; while j c= i distance = sqrt((xl-coorx(j))A2+(yl-coory(j))A2);

dist (i, j) = distance; dist (j

,

i) = distance; j = j+l; end; end; xmin = min(coorx) ; xmax = max(coorx) ; ymin = min(coory) ; ymax = max(coory) ; hulp1 = sort (dist ( : ) ) ; dissel = hulpl(nmrk+l); axis ( 'square') Epsl Eps2 Eps3 Exx EYY =

[I;

=

6 1 ;

=

[I;

=

[I;

=

[I;

% Alle afstanden op volgorde van groote