Hoofdstuk 6:
Rekenen met kansen.
V_1.a. De kans dat de wijzer 5 aanwijst is 81.
b. De kans dat de wijzer een even getal aanwijst is 58 0,625 c. De kans op een rood vlak is 50%.
d. De kans dat de wijzer een rood vlak met een oneven getal aanwijst is 38 0,375. In procenten is dat 37,5%.
e. Je mag verwachten dat de wijzer 125 keer de 14 aanwijst. Wellicht komt het aantal ook wel in de buurt van de 125. Het is niet gezegd dat dat ook werkelijk gebeurt.
V_2.
a. De kans op een schoppen is 14. b. De kans op een zwarte aas is 522 261 .
c. De kans op een rode kaart boven de acht is 364 .91 d. De kans op een tweede schoppen is 1251.
V_3. a.
b. P(HH) 161 .
c. P(min stens 1 R) 167 .
d. P(twee van dezelfde soort) P(KK, RR, HH of SS) 164 41
V_4.
a. Er zijn twee mogelijke uitkomsten en de kans op kop (jongen) is even groot als de kans op munt (meisje).
b. De kolom met 100 keer werpen. c. Die kans is ongeveer 10024 .
V_5.
a. Nee, drie meisjes komen vaker voor.
b. Om de 3e "bladzijde" toevalsgetallen op je GRM te krijgen doe je het volgende: 3 STO MATH PRB optie 1 (rand) ENTER ENTER
En vervolgens MATH PRB optie 1 (rand) ENTER ENTER ENTER …
De eerste 5 cijfers van elk getal stelt een gezin voor met 5 kinderen, waarbij een even cijfer een jongen voorstelt en een oneven cijfer een meisje.
MATH PRB optie 5 (randInt) 0 , 100000 , 50 genereert 50 toevalsgetallen tussen 0 en 100000 eerste spel K R H S tw ee de s pe l K KK RK HK SK R KR RR HR SR H KH RH HH SH S KS RS HS SS
a. Eén van de 6 mogelijke uitkomsten is vier ogen.
b. Van de 36 mogelijke uitkomsten hebben er 5 een som van 8 ((2,6), (3,5), (4,4), (5,3) en (6,2)).
2. P(rugligging)1000361 36% en 279 1000
P(rugligging) 28%
De kans op een rugligging zal daar ergens tussen liggen: 32% (?)
3. Na 5 rode M&M’s zitten er nog maar 75 M&M’s in het zakje waarvan 19 rode.
19 75
P(zesde is rood)
4.
a. Het aantal keer kop kan 0, 1, 2, 3 of 4 zijn.
b. Op grond van dat experiment kan Max gelijk hebben.
c. 397
1000
P(A)
d. Er is bijvoorbeeld maar één mogelijkheid om 4 keer kop te gooien (kkkk), maar 6 mogelijkheden om 2 keer kop te gooien (kkmm, kmkm, kmmk, mkkm, kmmk, mmkk). Dus de kans op A is groter. 5.
a. Het aantal keer munt kan variëren van 0 t/m 3.
b. randInt(0, 999, 50) noemt 50 willekeurige getallen tussen 0 en 999. Math PRB 5 Een even cijfer stelt bijvoorbeeld munt voor en een oneven cijfer kop.
c. P(B) 5017 , op basis van dit experiment.
6.
a. 5
60
P(5) 100 8,3%
b. Je verwacht voor ieder aantal ogen een frequentie van 10. De dobbelsteen kan best eerlijk zijn. Ze kan meer zekerheid krijgen door veel vaker te gooien.
c. De experimentele kansen zullen steeds dichter bij de theoretische kansen 1 6
( ) uitkomen.
7.
a. 6 rode, elk gecombineerd met 6 gele uitkomsten.
b. (1, 2); (2, 3); (3, 4); (4, 5); (5, 6); (6, 5); (5, 4); (4, 3); (3, 2); (2, 1) c. 10 36 P(V) d. 29 2784 100 10000 P(V) 0,29 P(V) 0,2784
a. ja, want het lijkt of Peter beter af is met 2, 3, 4 en 5.
b.
-c. de hele 'rand' van de tabel is voor L; dus 20 van de 36 uitkomsten; P(A) 2036 59 .
d. ja; van de vele combinaties met een 2, 3, 4 of 5 moet Peter alles met een 1 of een 6 afstaan. Daar zat dus de adder onder het gras.
9.
a. wat je ook gooit, het aantal is altijd positief.
b. P(A) 36 21 P(B) 12; er zijn geen andere mogelijkheden dan even of oneven gooien; de kans
op de gebeurtenis "even of oneven" is dus 1.
c. Als je gooit treedt of gebeurtenis D {6} op of E {1, 2, 3, 4, 5} en niet anders. 10. a. 5 12 P(A) . b. 3 12 P(B) . c. 5 12 P(A wel en niet B) .
d. 8
12 P(niet C) P(verschil is 1 of 0) .
e. 1
12 P(niet G) P(som is meer dan 6)
1 11 12 12 P(G) 1
11.
a. Een 7 zal eerder getrokken worden, want er zijn vier zevens en slechts twee vijven en één zes. b. Er zijn nu 10 verschillende kaarten. Je hebt keuze uit 10 kaarten voor het eerste cijfer en
keuze uit 9 kaarten voor het tweede cijfer. Dus 90 verschillende mogelijkheden. c. P(77) 4 390 9012 .
d. geen van de kaarten bevat een 7.
e. P(tenmin ste 1 zeven) 1 P(geen zeven) 1 6 590 23.
12.
a. Zie de tabel hiernaast b. De kans op “de som is 7” is 6
36. De kans op “de som is 6” is 365 c. De kans op “de som is 2” is 1
36 en ook de kans op “de som is 12” is 1
36.
d. De kans “de som is kleiner dan 3”
e. P(G) is de kans op “de som is minstens 3” is 35 36.
Je kan P(G) ook uit rekenen door 1 – P(“de som is kleiner dan 3”) 1 35
36 36 1
.
f. Ze zijn niet complementair omdat bij bijvoorbeeld “dubbel
1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1, 5 1, 6 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 4, 1 4, 2 4, 3 4, 4 4, 5 4, 6 5, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5, 6 6, 1 6, 2 6, 3 6, 4 6, 5 6, 6 1 2 3 4 1 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 2 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 3 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 + 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11
a. Bij het gooien met drie dobbelstenen komt de combinatie 1, 2, 6 zes keer voor: ((1,2,6), (1,6,2), (2,1,6), (2,6,1), (6,1,2) en (6,2,1)) en de combinatie 1, 4, 4 drie keer: ((1,4,4), (4,1,4) en (4,4,1)) en de combinatie 3, 3, 3 slechts één keer.
b. P(som 9)6 6 3 3 6 1 6 6 6 21625 P(som 10) 6 6 3 6 3 3 6 6 6 21627
14.
a. Vanuit A gaan 350 auto’s naar B en 650 auto’s naar C.
Vanuit B gaan 0,44 350 154 auto’s naar D en 0,56 350 196 auto’s naar E. Vanuit C gaan 0,20 650 130 auto’s naar E en 0,80 650 520 auto’s naar F. Dus er gaan 154 auto’s naar D, 196 130 326 auto’s naar E en 520 auto’s naar F. b. c. P(E) 0,326 d. P(ACE) 0,65 0,20 0,13 15. a. 10 10 100 takken. b.
c. RR komt 6 3 18 keer voor; RW komt 6 7 42 keer voor; WR komt 4 3 12 keer voor en WW komt 4 7 28 keer voor.
d. 42 100 P(RW) e. 12 100 P(WR) , nee dus. f. 18 100 P(RR) en 28 100 P(WW) g. 18 42 12 28 100 100 100 100 P(RR) P(RW) P(WR) P(WW) 1. 16.
a. In vaas A zijn zes van de 10 knikkers rood, dus 6 600 10 1000 P(R) . En 4 400 10 1000 P(W) . b. 180 rood want 3 180 10 600 c. RW: 420 WR: 120 WW: 280 d. 180 18 1000 100 P(RR) 420 42 1000 100 P(RW) 120 12 1000 100 P(WR) en 280 28 1000 100 P(WW) 17. a. zie 16a. b.
c. Dan zou P(RW) 1,3 en dat kan natuurlijk niet. d. P(RW) 0,6 0,7 0, 42 .
e. P(WR) 0, 4 0,3 0,12 en P(WW) 0,4 0,7 0,28
D E F
aantal 154 326 520 1000
a. P(Sven wint een set) 1 0,8 0,2 b. c. P(GG) 0,8 0,8 0,64 P(GSG) 0,8 0,2 0,8 0,128 P(GSS) 0,8 0,2 0,2 0,032 d. P(SGG) 0,2 0,8 0,8 0,128 P(SGS) 0,2 0,8 0,2 0,032 P(SS) 0,2 0,2 0,04 19. a. P(LL) 0,28 0,28 0,0784 b. P(LR) 0,28 (1 0,28) 0,28 0,72 0,2016 c. P(RL) 0,72 0,28 0,2016 d. P(RR) 0,72 0,72 0,5184
e. Omdat er geen andere mogelijkheden zijn voor de twee klanten. 20. a. b. 1 5 4 P(5 keer A) ( ) 0,00098 c. 1 20 2 P(20 keer B) ( ) 0,00000095 d. 1 16 4 P(16 keer geen A) (1 ) 0,01 21. a.
b./c. P(dezelfde letter) P(AA of BB of CC of DD)
2 2 2 2 P(AA) P(BB) P(CC) P(DD) 0,25 0,5 0,125 0,125 0,34375 22. a. -b. P(2 keer roos) P(RRM) P(RMR) P(MRR) 7 7 3 7 3 7 3 7 7 10 10 10 10 10 10 10 10 10 0,441 c. 7 3 7 10 10 10 P(RMR) 0,147
d. P(hoogstens 2 keer roos) P(0, 1 of 2 keer roos) 3 7 10 1 P(3 keer roos) 1 ( ) 0,657 23. a. P(2F) P(GFF) P(FGF) P(FFG) 3 0,25 0,75 27
c. P(hoogstens 2 fout) P(0, 1 of 2 fout) 1 P(3 fout) 1 ( )4 64
d. Van 8 vragen zijn er 2 vragen fout. Dat is een combinatie van 2 uit 8: 8 28 2 routes. e. P(FFGGGGGG) 0,75 0,25 2 6 1,37 10 4
f. P(minstens 2 fout) P(2, 3 of 4 fout) 1 P(0 of 1 fout) 1 (0,25 4 4 0,25 0,75) 0,94923 g. P(tenmin ste 1 goed) 1 P(0 goed) 1 0,75 15 0,9866
24. a. 15 15 85 85 100 100 100 100 P(DDGG) 0,0163 en 15 85 15 85 100 100 100 100 P(DGDG) 0,0163 b. GGDD, GDGD, GDDG, DGGD, DGDG, DDGG: 6 volgorden. c. 15 15 85 85 100 100 100 100
P(2 goede en twee defecte) 6 0,0975
d. 85 4
100
P(tenmin ste 1 defecte) 1 P(geen defecte) 1 ( ) 0, 4780
25.
a. P(minstens 4) 1 P(3) 1 (0,20) 3 0,992
b. P(hoogstens 7) 1 P(meer dan 7) 1 P(8) P(9) 1 3 (0,30) 0,50 (0,30) 2 3 0,838 26. a. 20 8 10 28 28 Willem 49 P (RW) 0,2041 en 20 8 40 Sieb 28 27 189 P (RW) 0,2116 8 20 10 28 28 Willem 49 P (WR) 0,2041 en 8 20 40 Sieb 28 27 189 P (WR) 0,2116 b. 8 8 4 28 28 Willem 49 P (WW) 0,0816 en 8 7 2 Sieb 28 27 27 P (WW) 0,0741 c. Omdat je niet kunt zien welke knikker je eerst pakt en welke daarna.
d. Het tegelijk trekken van 2 knikkers komt op hetzelfde neer als een trekking zonder teruglegging. 27. a. 5 4 4 5 40 9 9 9 9 81 P(witte en rode) P(WR) P(RW) 0, 4938 b. 4 4 16 9 9 81 P(RR) 0,1975 28. a. 8 7 6 6 5 4 19 13 12 13 12 91 14 14 P(BBB of GGG) 0,2088 b. 6 5 8 6 8 5 8 6 5 30 13 12 13 12 13 12 91 14 14 14 P(2 gele en 1 blauwe) P(GGB) P(GBG) P(BGG) 0,3297 29.
a. Een vaas met drie groene knikkers (schot treft de roos) en twee rode knikkers. Trek drie keer een knikker uit deze vaas met terugleggen.
b. 2 3 3 18 5 5 5 125 P(MRR) 0,144 c. Op drie manieren: MRR, RMR en RRM. d. 18 125 P(MRR) P(RMR) P(RRM)
a. Een vaas met drie groene knikkers (prijs) en drie rode knikkers (geen prijs). Trek, zonder terugleggen, drie knikkers uit deze vaas. b. PPG, PGP en GPP. c. 3 2 3 3 6 5 4 20 P(PPG) P(PGP) P(GPP) d. 3 2 3 9 6 5 4 20 P(2 keer prijs) 3
31. De laatste batterij die Karin trekt moet de vierde volle zijn. Er zijn 10 verschillende volgorden: VVVLLV, VVLVLV, VLVVLV, LVVVLV, VVLLVV, VLVLVV, LVVLVV, VLLVVV, LVLVVV en LLVVVV.
Dus 4 3 8 7 6 5 10
12 11 10 9 8 7 33
P(6 testen) 10 0,3030
32.
a. Omdat de steekproef van 5 blikken klein is ten opzichte van het totaal aantal blikken van 20000. De kans op kwaliteit A blijft vrijwel 90%.
b. P(1 niet van kwaliteit A) 5 (0,90) 0,10 0,3281 4 c. P(2 niet van kwaliteit A) 10 (0,90) (0,10) 3 2 0,0729
33.
a. 1
2
P(even) b. 1
3
P(6) (Eén van de even getallen {2, 4, 6} is een 6)
34.
a. 26
79
P(wel sin aasappel, toch verkouden) 0,3291
b. 32
79
P(geen sin aasappel, toch verkouden) 0,4507
c. 26 26
26 32 58
P(verkouden, toch sin aasappeleter) 0, 4483
35. a. 1 3 P(drievoud even) b. A: 3 4 5 6 B: 1 2 3 1 3 P(A B) en 1 4 P(B A) 36. a. 2 5
P(beide even som is 6) b. 2
9 P(som is 6 beide even)
37. a. 4 1 52 13 P(A) 0,0769 1 13 P(A B) 0,0769
Bij gebeurtenis A gaat het om 4 azen van de 52 kaarten en bij gebeurtenis AB om 1 kaart (A) van de 13 schoppen. b. 13 1 52 4 P(B) 0,25 1 4 P(B A) 0,25
a. Het werpen van de eerste dobbelsteen heeft geen invloed op het werpen van de tweede dobbelsteen. A: {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} B: {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} C: {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 1 6 P(A B) en 6 1 36 6 P(A) 1 6 P(B A) en 6 1 36 6 P(B) b. 1 6 P(A C) P(A) en 1 6 P(C A) P(C) 39. a. 11 77
P(onvoldoende op CSE voldoende op SE) 0,1429
b. 5
71
P(onvoldoende op SE voldoende op CSE) 0,0704 c. Die bekende van mij is goed in een bepaald schoolvak.
d. P(onvoldoende op SE) 0,23 en P(onvoldoende op CSE) 0,29 terwijl 18
29
P(onvoldoende op SE onvoldoende op CSE) 0,6207 en 18
23
P(onvoldoende op CSE onvoldoende op SE) 0,7826. Dus de gebeurtenissen onvoldoende op SO-cijfer en onvoldoende examencijfer zijn afhankelijk.
40. a. 372 710 P(met vlooien) 0,52 b. 286 361
P(vlooien geen middel) 0,79
c. 263
308 P(wel middel zonder vlooien) 0,85
d. 263
349 P(geen vlooien wel middel) 0,75
e. 86
349 P(met vlooien wel middel) 0,25
41.
a. Je moet dan 0,50 of 0,00 raken. Deze kans is 1 3 b.
c. 6 1
36 6 P(€2,50)
d. P(meer dan €1,50 winst)
3 1 36 12 P(meer dan €4,00 gegooid)
42.
a. P(gezond ziek) 15%
b. 90% krijgt als uitslag 'ziek'. Dat zijn 55800 mensen c. 62000 mensen: 8 62 496 zijn ziek en 61504 zijn gezond.
0,05 61504 0,15 496 62000
P(verkeerde uitslag) 100% 5,08% d. P(verkeerde uitslag) 10% . De test is onbetrouwbaarder.
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 0,00 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 0,50 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 1,00 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 1,50 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 2,00 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 2,50 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00
a. 20 groepen (testen) en 3 15 45 recruten (testen): 65 testen. b. 1000 groepen en 400 10 4000 afzonderlijk: 5000 bloedmonsters.
c. P(geen syfilis) 0,95 8 0,6634 en P(wel syfilis) 1 P(geen syfilis) 1 0,95 8 0,3366 d. Er zijn 10000
8 1250 groepen. Daarvan moeten er 0,3366 1250 421 elke recruut apart getest worden. In totaal zo'n 1250 421 8 4618 testen.
e. Voer in: x x
1
10000 10000 10000
y (1 0,95 ) x 10000 (1 0,95 )
x x x
Deze functie is minimaal bij x 5 .
T_1.
a. 4 1,5 1
60 10
P(Jimmy moet wachten) .
b. 12
45
P(Esmee moet wachten) . c. Theoretische kans. d. experimentele kans. T_2. a. 1 1 1 6 6 36 P(33) . b. 1 1 1 4 5 6 6 36 P(W R ) . c. 1 1 1 5 6 6 5 6 6 18 P(som is 11) P(W R of W R ) 2 .
a.
b. P(SZ) 0,40 0,80 0,32 .
c. P(SSS) 0,40 0,20 0,05 0,004
T_4.
a. P(OO) 0,45 0, 45 0,2025 .
b. De kans dat iemand bloedgroep O heeft is groter dan dat die bloedgroep A heeft. De kans dat twee mensen bloedgroep O hebben is dus ook groter dan dat ze beiden bloedgroep A hebben. c. P(verschillende bloedgroep) 1 P(dezelfde bloedgroep) 1 (0,43 20,0920,0320,45 )2
1 0,3964 0,6036
T_5.
a. P(WWW) 10 9 86 5 4 720120 .16
b. P(drie van dezelfde kleur) P(WWW of ZZZ) 10 9 86 5 4 10 9 84 3 2 720144 .51 c. P(twee W) P(WWZ, WZW of ZWW) 3 10 9 86 5 4 360720 .12
d. P(minstens een Z) 1 P(geen Z) 1 16 56
e. P(hoogstens twee W) 1 P(geen W) 1 10 9 84 3 2 1 301 2930
T_6.
a. P(A) 1652. b. P(B|A) 164 14.
c. P(B) 14 P(B|A) en 4 13
P(A|B) P(A) dus de gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk van elkaar. T_7. a. b. 1600016001 0,90 9 c. d. P(NZ T ) 15991608 0,9944 T_8.
a. Wanneer de steekproef (4 knikkers) groot is ten opzichte van de populatie (het aantal knikkers in de vaas). Dus wanneer er bijvoorbeeld 10 knikkers in de vaas zitten.
b. Dan neem je bijvoorbeeld een vaas met 10.000 knikkers. c. Als de eerste knikker weer terug wordt gelegd in de vaas.
T+ T
-WZ 9 1 10
NW 1599 14392 15990 1608 14393 16000
