Hoofdstuk 8 Vectoren

Hoofdstuk 8:

Vectoren

V-1 a. _{PR  14}2_112 _{ 317} b. _{AC 17}2_82 _15 V-2 a. _{AC 12}2_92 _{15 c. QR  13}2_32 _{4 10} b. EF 7 2 d. _{SV  25}2_172 _{4 21} V-3 a. b. _{AB 5}2 _32 _{ 6}2 _32 _{ 4 3 3} V-4 a.

b. De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor.

2 2 10 8 164 2 41 z    V-5 AB8 en BC 4 3 V-6 a. _{AC 14}2_132 _{3 3} 1 13 14 cos ( ) 21,8 B     o en 90 21,8 68,2 C   o o o b.  D 90o36o54o 13 cos(36 )o _ EF 13 sin(36 )o _ DF 13cos(36 ) 10,5 EF  o  _{DF 13 sin(36 ) 7,6}o _ c. _{HK  (7 3)}2_72 _{7 2} 1 7 7 3 cos ( ) 54,7 G     o 90 54,7 35,3 K   o o  o d. _{PR  6}2_{( 18)}2 _{ 18    R Q 45}o V-7 1 2 320 6 3 en 2320 13 13 V-8 a. b. D(1, 3) _{BD 3}2_42 _5 E(3, 0) _{CE  3}2_62 _{3 5} c. 2 3 3 5 2 5 CZ   en 2 1 3 5 33 BZ   

2

a

a a a 2a

3

a

1 a./b. 2 ar en rj cr en _ir _dr en _hr 3 a. b. 3ar2ar 5ar c. 1 1 2 2 1 b b b  r r  r d. 4 a./b./c. d. (u vr r ) ( v ur r ) 2 ur2vr 5

a. begin- en eindpunt vallen samen. b. -6 a./b. c. ₃2_12 _{ 10 3,2 m} 7 a. De twee tn zijn

even groot, maar tegengesteld. Die heffen elkaar op. Beide sleepboten

oefenen ook een horizontale trekkracht uit op het schip. b. cos30o ₁₀₀₀₀th

10000 cos30 8660

h

t   o

N. De sleepboten samen leveren een trekkracht van ongeveer 17.321 N.

8 a.

b. De vector pur gaat 8 naar rechts en 4 naar beneden. Het eindpunt is dan (8, -4) c. vanuit (2, 1) 2 naar rechts en 1 omhoog: eindpunt (4, 2)

d. _{| |a}r _{ 4}2_22 _{2 5}

a

r

b

r

a b c d

9 a. 1 2 1 1 3 4 a b      _{     }         r r _{1 4 5} 2 1 6 5 a b    _{    }    _        r r 1 2 1 1 2 2 1 2 3 3 1 4 3 a b_ _  _{  }  _       r r b. _{| |a}r _{ ( 1)} 2_12 _{ 2 | |b}r _{ 2}2_32 _{ 13 |a b}r_ r_{| 1}2_42 _{ 17} 2 2 |a br r| ( 3)  ( 2)  13 _{| 3a}r_{2 |b}r _{ ( 7)} 2_{ ( 3)}2 _{ 58} c. _{| 3 |a}r _{ ( 3)} 2_(3)2 _{ 18 3 2 3 ( 1) } 2_12 _{ 3 | |a}r 10 a. 4 1 AB_{  }    uuur b. 6 2 4 5 4 1 OB OA      _{     }        uuur uuur c. 1 1 2 2 1 2 4 2 6 ( ) ( ) 4 4 5 OM  OA OB     _{   } _{  }        uuur uuur uuur

11 a. 2 3 5 5 7 2 AB_    _{   }   _        uuur _{1 2 3} 4 5 9 BC_  _{ }   _{ } _         uuur _{2 6} 3 3 11 33 CA       _{  } _     uur b. 1 2 ( , 6) AB M 1 1 2 2 ( , ) BC M  1 2 (2,1 ) AC M 12 a.

b. _vr en _wur zijn beide veelvouden van 2 1    _   c. 2 1    _  , 8 4   _    en 10 5   _    d. 2 1       , 8 4        en 10 5        e. bijvoorbeeld: 2 4       13 0 2 y a _{  }    uur 14 a. 3 0 x u _{  }    uur en 0 5 y u _{  }     uur b. _{| |a}r _{ 6}2_y2 _{3 5} 2 2 2 36 (3 5) 45 9 3 3 y y y y         0 3 y a _{  }     uur of 0 3 y a _{  }    uur

15

a. Uit de natuurkunde: kracht arm constant 

4 2 : 2 : 4 1: 2 AZ BZ AZ BZ      b. 4AZ10 (7 AZ) 70 14 4 70 10 14 70 5 AZ AZ AZ AZ         16

a. Z is het midden van AB. Dus 1 1 1

2 ( ) 2 2 zr   a br r    ar br b. c. OAB: DZB 2 2 1 3 3 3 3 2 OB AB DB OB b OD b DB  ZB        r r 1 1 2 3 3 3 2 1 3 3 1 3 OBA CZA CA ZA CA OA a OC a OA AB z OC OD a b                 : r r r r r d. -17 a. Z ligt op 8

12 deel vanaf A. Met andere woorden AZ   128 6 4.

b. Z ligt op 8 13 deel vanaf A. 8 1 13 13 2 (7 2) 5 Z x     en 8 8 13 13 9 (9 3) 1 Z y      18 1 2 1 1 1 1 1 3 3 (2 2 ) 3 3 3 zr       br ar cr      br ar cr 19 a. 6 16 70 3 20 20 20 5 6 4 10 20 20 20 12 20 30 1 20 20 20 10 4 1 4 7 3 2 5 3 z  _{ } _{ }   _{ }_    _{ } _             r b. 30 30 70 15 25 65 65 65 65 65 10 30 6 14 5 65 65 65 65 65 50 210 24 28 15 2 65 65 65 65 65 65 0 3 1 0 5 3 3 5 7 4 2 3 z                          _{ } _{ } _{ } _{ } _{ }_{  } _                     r 20 10 30 20 1 60    0 60 2 60 10 4 3 AZ 413 21 4 6 8 18 18 18 zr      ar br cr 22

a. Stel de puntmassa’s zijn a.

1 1 1 1

3aa 3aa 3aa 3 3 3 3 ( )

b. In driehoek ABC is D het midden van BC. 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 ( ) d b c AD b c a AZ AD b c a b c a z a AZ a b c a a b c                                       ur r r uuur r r r uuur uuur r r r r r r r r uuur r r r r r r r c. 1 1 1 3 3 3 0 8 3 0 0 4 x y         _{ } _{ } _{   }         2 1 3 3 1 1 3 3 2 3 1 x x x     1 3 4 12 y y   C(1, 12) 23 a. 8 0 x a _{  }    uur en 0 6 y a _{  }    uur b. |auur_x | | | 8 20 160 br    c. cos( ) | | | | x a a   uur r | | | | cos( ) | | | | | | cos( ) | | | | | | cos( ) x x a a a b a b a b             uur r uur r r r r r 24 a. a br r   6 4 cos(60 ) 12o  _{b. a b}r r_{   8 6 cos(135 )}o _{ 24 2} c. a br r  5 4 2 cos(90 ) 0 o  25 a. a br r | | | | cos(90 ) | | | | 0 0ar  br  o  ar  br  

b. Ja, als a br r 0 dan is ar 0r  br 0r  cos( ) 0  De eerste twee zullen niet waar zijn, dus  90o

26

a. _|ODuuur_|2 _h2 _{| |b}r 2 _{b. h}2 _|ABuuur_|2 _|ADuuur_|2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | cos( ) | | | | | | cos( ) | | | | cos ( ) b h b h b b b b             r r r r r r 2 2 _{| |}2 _{| | | | cos( )} h  a br r  ar  br  c. _{| |b}r 2 _{| | cos ( ) |b}r 2_ 2 _{  a b}r r_{ |}2 _{| | | | cos( )a}r _{ b}r _ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

| | | | cos ( ) | | (| | 2 | | | | cos( ) | | cos ( )) | | | | | | 2 | | | | cos( ) 2 | | | | cos( ) | | | | | | b b a b a a b b b a b a a b a b a b a b                               r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r

d. 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2  a br r (a a ) ( b b ) (( a b ) (a b ) ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 ) 2 1 1 2 2 2 a a b b a a b b a a b b a b a b             1 1 2 2 a b a br r  a b 27 a. a br r     3 5 4 12 33 b. 2 2 2 2 3 4 5 ( 12) cos( ) 33 5 13 cos( ) 33 cos( ) 0,508 121                   o 28

a./b. ₃2_{ ( 2)}2_{ 5}2_{2 cos( ) 11}2 _{   4}2_52 _{ 1}2_{ ( 3) cos( )}2 _{   11}

13 29 cos( ) 11 cos( ) 0,567 55         o 41 10 cos( ) 11 cos( ) 0,543 123           o 29 a. p q pq qp 0 q p           _      b. 3 2   _    c. 7 4       5 1    _   0 4       9 0        30 a. 2.00 uur: (4, 16) 2.30 uur: 1 1 2 2 (4 , 17 ) 3.00 uur: (5, 19) b. Om 16.00 uur bij de Afsluitdijk.

c. De richting van het jacht is 1 naar rechts en 3 omhoog. Vanaf Medemblik moet het jacht nog 75 naar rechts, en dus 225 naar boven. Het jacht gaat door het punt (77, 235). d. 2 uur: 2 2 1 2 2 4 10 3 10 6 16 x y   _ _{ }  _    _{ }                          en 3 uur: 2 3 1 2 3 5 10 3 10 9 19 x y                                           e. 2,75 : 2 2,75 1 2 2,75 4,75 10 3 10 8,28 18,25 x t y              _{  } _ _{  } _{ } _{ } _            

31 Teken een lijn door (2, 3) met richtingscoëfficiënt 1 4  . 32 a. 5 : 3 5 2 3 10 7 1 5 1 25 24 x y      _{   }  _    _{   }    _{ }  _               1 1 2 2 1 1 2 2 5 8 3 2 3 2 : 2 12 13 1 5 1 x y       _{   }   _   _{  } _  _{ } _                

b. 3 2 1 1  5 4   _    _  _           c. 3 2 9 1  5 16   _   _   _   _        3 2 1 2 2 1        3 2 9 2 6 3          d. 3 2 33 1  5 90    _   _   _           e. 3 2 31 1  5 b   _    _  _           3 2 33 2 36 18 1 18 5 89 y              nee 3 2 31 2 28 14 1 14 5 71 b                 33 a. 8 2   _    b. 18 8 10 3 2 5 PQ_  _{ }  _{ } _        uuur

c. Een veelvoud van 2 1       is 10 5      . d. 8 2 2 1 x y            _          34 a. 4 5 1 2 9 7 AB_    _{ } _       uuur _{5 1} 9 7 x y     _ _       _        b. 4 4 8 17 5 12 CD_    _{ } _      uuur _{4 2} 5 3 x y     _ _               c. 0 1 4 1 x y     _{ }               35 a 1 3 21 3 7 : 1 6 1 2 x KL y                                       b. 3 7 74 1  2 23                      c. 3 5 : 5 4 x AB y                       3 7 74 7 77 11 1 11 2 23 y             3 5 42 5 45 9 5 9 4 41 y            

M ligt op KL. C ligt op de lijn door A en B.

36 met de x-as: met de y-as:

1 2 1 2 7 2 0 2 7 3 (12 , 0) t t t       2 3 1 3 2 3 0 3 2 (0, 8 ) t t t    

37 a./b. 5x  5 10 2 6 10 5 2 11 y x y      

c. het inproduct van die twee is 0: ze staan loodrecht op elkaar. 38 a. 3 5 x PX y      _    uuur b. 3 2 0 5 1 x y         _        2(x3) ( y5) 2 x   6 y 5 2x y 11 0 39 a. 2x3y c b. 1 3 1 3 5 3 3 5 x t t y t    _   _{ }      _              2 2 3 9 31 2 3 31 c x y        5 3 5 1 3 3 4 5 3 4 x y c c x y            40 a. b. : 3 1 2 2 x m y     _ _       _        2 2 3 2 4 2 4 x y c c x y            b. 8 2 PQ _{  }     uuur

en het midden van PQ is M(1, 1): 4x y 3

41 2 8 0 p p                2 2 16 0 16 p p     4 4 p   p 42 a. b. 10 15 PR _{  }    uuur en 6 4 QS_{  }    uuur _{10 6} 60 60 0 15 4 PR QS _  _{ }  _        uuur uuur c. 9 7 PQ _{  }    uuur 9 7 9 1 7 13 82 9 7 82 x y c c x y           43 6 5 BC _{  }     uuur 6x5y 24

44

a. beide vectoren staan loodrecht op 7 2       b. Als je (0, 2) invult, klopt de vergelijking

c. : 0 2 2 7 x k y              _        45 a. 0 2 4 3 x y    _ _     _          b. 0 1 10 7 x y    _ _       _        c. 1 4 x y   _           d. 0 1 5 0 x y     _{ }               e. 8 0 0 1 x y     _ _               f. 0 2 0,4 1 x y    _ _     _          46 a. 2 1 1 2 3 5 3 5 x t t y t                 _    _         

teken een lijn door (-1, 3) met richtingscoëfficiënt 1 2 2  b. 5x2y 1 47 a. cos(12 ) 50 n n z F F F  uur  uur o _uur 50 sin(12 ) p p z F F F  uur  uur o uur 50 cos(12 ) 48,9 n Fuur  o  _{N 50 sin(12 ) 10,4} p Fuur  o  _N b. Dan moet je minstens 15 10,4 25,4  N trekken.

48

a.   3 a br r: tegengesteld c. geen van de drie b. p aur r   6 25 15 10 0   : loodrecht d. 1 3 2 e f   r r: tegengesteld 49 a. : 1 1 2 2 x AB y     _{ }       _        b. 1   2 3 2 3 2 8 y         

Punt C ligt op de lijn AB.

c. 1 5 6 2 2 4 DA_     _{  }       uuur 6 1 4 2 2 0

DA ABuuur uuur         , dus ze staan niet loodrecht op elkaar. d. DQ DAuuur uuur 0 8 6 ( 2) 4 48 4 8 56 4 0 4 56 14 q q q q q              

50 a.

b. S(11, 6) S(1, 6) S(5, -2)

c. |PRuuur| 5 en _|PQuuur_{| 3}2_42 _5

Dus als S(11, 6), dan is PQRS een ruit. d. S(11, 8): : 3 2 2 1 x PS y                      en 8 1 : 2 2 x RQ y                       S(1, 6): : 3 3 2 4 x PQ y                      en 8 7 : 2 4 x RS y                       S(5, -2): : 3 1 2 0 x PR y                      en 5 1 : 2 8 x SQ y            _          51

a. De som van Fur₁ en Fuur₂ is even groot als Fuur_z maar tegengesteld (recht omhoog), want het gewicht hangt stil.

b. Fuur_z  (Fur uur₁F₂)  Fur uur₁ F₂

1 2 0

z

Fuur ur uurF F  Bovendien hangt het gewicht in evenwicht, dus de som van de krachten die op dat gewicht werken moet 0 zijn.

52 a. 1 4 BC _{  }     uuur : 4 2 A h x y  4 2 7 ( 4 2) 2 x y y y         7 1 AC_{  }     uuur : 7 2 B h x y  28 14 2 27 12 y y y        4 2 9 9 y  en x  b. h_A:x4y  p 4 : ( 1) 2 B h p x y 

Invullen van (-2, 1) levert p    2 4 4 6 en (p    1) 2 1 2

1 2 2 2 1 2 3 1 p p        klopt niet

H(-2, 1) kan geen hoogtepunt zijn.

c. PR 2 q        uuur

de hoogtelijn uit Q is dan 2x qy 4 d. De hoogtelijn uit R is x0. Dus 4

H q y  e. 1 1 1 3 3 3 1 3 0 2 2 0 0 0 z q q           _{ } _{ } _{   }         r f. 10 10 5 25 25 25 5 25 0 2 2 0 0 0 z q q           _{ } _{ } _{   }         r 1 3 2 1 3 2 4 4 12 2 3 2 3 q q q q q q        1 5 2 4 20 2 5 2 5 q q q q q      

53 a. AB 2 p q      _    uuur 2 q AD p     _    uuur 2 2 p q p q OD OA AD q p p q          _{  } _{ } _         

uuur uuur uuur

b. 2 2 2 2 p q p q q ED p q p q p         _{  } _{ } _           uuur c. MA p 1 q         uuur 1 2 ( 1) 2 (2 2 ) 2 2 2 2 0 2 2 p q MA ED p q q p pq q q pq q p       _{  } _                uuur uuur

Dus _MAuuur_EDuuur

T-1 T-2 a. 3 2 21 23 3 15 12 v w _  _{ }  _{ } _        r ur 4 7 3 2 6 5 11 v w _    _{   }   _         r ur b. _{| |v}r _{ 2}2_{ ( 3)}2 _{ 13} 2 2 |wur| 7 5  74 | 3 | 3 | | 3 13vr   vr  _|wur_{3 |v}r _{ 1}2_142 _{ 197} c. 2 2 3 7 17 0 0                  en 0 0 2 3 3 5 21       _{   }  _      d. 1 2 (4 , 1) A e. 1 2 3 v _{  }    ur 2 2 3 v _{  }    uur en 2 3 2 v _{  }    uur T-3 a. b. 9 3 12 0 12 8 2 zr      Z ligt op AB zo dat AZ 2 c. 5 10 20 15 30 40 120 120 120 120 120 120 6 2 0 0 2 4 3 0 8 4 10 10 z  _{ } _{ }  _{ }  _ _ _ _ _  _               r 30 20 60 160 5 120 120 120 120 12 15 160 60 300 400 1 1             _{  } _        

2b



r

1 2

a

r



b

r

2a b

r r



T-4 a. a br r   4 2 cos(45 ) 4 2o  _b. 1 2 5 3 cos(150 ) 7 3 a br r    o   c. _{2 1 5 3     2}2_52_{ ( 1)}2_{3 cos( )}2_{ } 13 290 13 29 10 cos( ) cos( ) 0,763 40,2          o T-5 a. : 3 1 5 2 x KL y             _         

b. De richtingsvector is dezelfde. Vraag is dus of punt (6, 13) op KL ligt.

3 6 9 5 2 9 13 y            (6, 13) ligt er op! c. 1 2 3  3    d.   3  27 1 2 1 2 6 5 2 6 8 y        30 5 30 2 55 y p         Ja, punt 1 2 (3 , 8) ligt op KL. T-6 a. 5x4y  8 b. 1 5 1 5 2 8 2 8 x t t y t                 _              8x5y 18 T-7 a. : 8 3 0 1 x l y     _ _               c. 0 1 : 5 0 x n y    _ _     _          b. : 0 1 4 5 x m y    _ _     _  _        d. 64 0 : 0 1 x k y    _ _               T-8 a. 3 5 3 5 8 2 8 2 x t t y t                  _             

Teken een lijn door (-3, 8) met richtingscoëfficiënt 2 5 .

b. met de x-as: met de y-as: 8 2 0 4 ( 23, 0) t t     3 5 1 5 3 5 0 (0, 9 ) t t      c. 3 5 12 2 x y     _ _               d. 3 2 12 5 x y     _ _       _       

T-9 a. 6 0 0 3 3 3 1 OM AB    _{   }        uuur uuur en 6 6 36 18 54 3 6 OM OB    _{   }        uuur uuur b. cos( ) 6 6 0 3 0,894 6 45 AOM        AOM 27o c. cos( ) 6 6 3 6 0,949 45 72 MOB        MOB18o d. 1 3 0 6 6 4 ( ) 0 0 6 2 Z       _{     }   _{ }        

T-10 Een vergelijking van l is: 3x2y 7, ofwel 3 1

2 32 y   x 5 5 3 2 5 2 1 3 3 5 3 c b b b by x c y x b            Door punt (3, 3): 1 3 5 3 3   3 15 10 25 c  

Extra oefening – Basis

B-1 a./b. B-2 a. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 8 1 12 13 1 1 6 0 3 0 3 p q               _{ } _{  } _{ } _{ } _             ur ur b. M(-3, 3) B-3 a. 1 2 1 1 1 1 4 4 4 4 1 2 1 1 3 4 0 32 30 31 35 34 z _ _  _{ } _ _ _ _{ } _           r b. 11 13 3 10 13 13 11 13 2 1 4 33 30 35 z _ _ _ _{ } _       r B-4

a. De hoek die OA maakt met de x-as is 1 1 4

tan ( ) 14,0 _ o

De hoek die OB maakt met de x-as is _{tan (2) 63,4}1 _ o

63,4 14,0 49,4 AOB   o o o De richtingshoek van AB is 1 3 2 tan ( _{  }) 56,3o 14,0 56,3 70,3 OAB   o o  o _{en dus is OBA60,3}o b. 181 2 362 363 1 0 121 3               

    dus niet loodrecht. B-5 a. : 4 2 1 3 x AB y      _{ }               b. 4 3 : 1 1 x l y      _{ }               c. 4 3  22 3 18 6     y    1 6 1 7: K ligt niet op l. B-6 a. : 2 7 0 2 x l y                      b. 3 5 3 5 6 6 1 x t t y t                _     _         x5y 33 c. 2 1 1 5 x y                      5x y 9

Extra oefening – Gemengd

G-1 2 2 p AP _{ }  _   uuur en 4 4 p BP _{ }  _   uuur _{2 4} 0 2 4 p p               2 ( 2)( 4) 8 0 2 ( 2) 0 0 2 p p p p p p p p            G-2 a. 4 6 12 6 12 3 1 Z m m y  _   _   b. 2 4 6 30 16 42 4 42 5 42 0 42 2 21 Z x            24 18 12 1 12 42 30 m m m       G-3 a. c 0 0 a a     b c c b. n a b        ur en 0 c c a x a x p x y y         _{ }_{ }_{ }        ur ur ( ) ca (c ) 0 a a x n p x a x b y c ax by b y        _{ }_{ }              ur ur ur ofwel ax by c G-4 a. 4    1 3 (24 6    6 18 ) 11 16 2 6 5 2 26 1 16 16 27 1                11 1 16 16 5 11 16 8 1 1 3 4 5 1 2 1 x y            b. 4  10  2 6 8 6    1   1  6 G-5 a. : 3 1 2 3 x l y                      b. 3 1 : 2 3 s x l y            _  _        c. A’(-2, 3) en B’(-5, 4) 4 3 1 5 2 3 1 3 1 1 3 3 1 1 3 3 3 2 2 2 a y x b b y x                  d. (-y, x)

Uitdagende opdrachten

U-1 a. b. 0,4 9,81 2 9,81 sin( ) T 0,2 Z F F     uuruur   12   o U-2 a. sin(70 )o  ₄₃xE 43 cos(70 )o  yE 43 sin(70 ) E x   o _{43cos(70 )} E y  o b. 40,41 14,71 DE _{ } _   uuur _{55sin(37 ) 33,10} 43,92 55cos(37 ) EF _  _{ } _     o o uuur _{23sin(81 ) 22,72} 3,60 23cos(81 ) FG_  _{ } _     o o uuur c. G(15.41, 62.23) 2 2 |DGuuur| 15,41 62,23 64 km

De hoek die DG maakt met de pijl naar het noorden is tan (1 15,4162,23) 14

 _ o De koers is dan 194°. U-3 a. _{| |v}r _{ p}2_q2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | ( 3) ( 3) ( 2 3 3 ) ( 2 3 3 ) 4 4 4 2 | | w p q q p p pq q q pq p p q p q v                   ur r b. _{p p q(  3)q q p(  3) p}2_q2 _{2 p}2_q2 _{cos( )} 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 2( ) cos( ) 2( ) cos( ) cos( ) 60 p pq q pq p q p q p q                 o

c. De steunvector over een hoek van 60° draaien en halveren:

1 1 2 2 1 3 3 4 2 0 0 3 1 3  _{  }  _{   } _ _ _{   }         

De richtingsvector over een hoek van 60° draaien:

2 3 1 3 3 7 1 2 3 3             _{ }  _{ }  

Dus de beeldlijn wordt: 2 3

0 7 x y         _{ }           