H2: Toepassingen van integreren

(1)

Hoofdstuk 2:

Toepassingen van integreren

V-1. a. _{f x}_{'( ) 3}_ _x2_₃ _d. _{k x}_{'( ) 2sin( ) 4}_ _x2 _ _x2_{cos( )}_x2 b. g x'( ) cos( ) 2sin(2 ) x  x e. 2 2 2 2 cos ( ) sin ( ) 1 '( ) 1 1 cos ( ) cos ( ) x x l x x x      c. '( ) 2₂ 1 x h x x   f. '( ) x x m x _e _e V-2. a. 1 4 1 2 4 2 ( ) 1 F x  x  x c b. 1 2 ( ) cos( ) sin(2 ) G x   x  x c c. 1 1 2 1 ( ) 2 h x x x    1 2 ( ) ln | | c H x  x  d. _{K x}( )__ex __ex __c e. 1 6 1 1 6 6 3 18 ( ) (3 4) (3 4) L x  x   c x c f. 1 2 2 2 ( ) x M x _ e  _c g. _{n x}_{( )} x2 4x 2 _x ₄ 2 _x _{4 2}_x 1 x x           1 2 2 ( ) 4 2ln | | N x  x  x x c V-3. a. 1 3 2 112 3 3 ( ) (2 ) F x  x  x c b. 1 1 4 1 ( ) 4sin(4 ) 4 sin(4 ) 4 g x x x x x      1 4 ( ) ln | | cos(4 ) G x  x  x c c. 1 1 ln(3) ln(3) ( ) 3x 3 x H x _ _  _c d. k x( ) 1₂ 2₃ x 2 2x 3 x x       1 2 2 1 1 ( ) K x x x c c x x           e. 1 2 ( ) ln | 2 4 | c L x  x  f. 2 2 1 ( ) (2 4) (2 4) m x x x      1 1 2 1 ( ) (2 4) 2(2 4) M x x c c x           V-4. a.





₁ 1 2 2ln | | 2 e e dx x x  



b. 2 2 2 1 3 0 3 3 3 0 2sin(3 )x dx cos(3 )x 1    _ _    



c. 2 2 2 3 1 1 1 4 2 1 2 2 ln(2) 4 ₁ ln(2) ln(2) 4 ln(2) 4 1 (2x _ _{x dx}) __ 2x _ _x _ _( _{ }1) ( _ )_ _  



V-5. a. 3 5 5 5 3 2 3 2 3 2 1 4 1 3 7 4 3 ₀ 12 0 3 0 (x x dx)  (x x dx)  (x x dx) _ x  x _ 114



(2)

b. 5 3 1 6 1 4 2 2 6 4 ₂ 2 (x x 2 )x dx x x x 0       _   _ 



c. 1 1 1 2 ₀ 2 2 0

(sin(2 ) cos(x))x dx cos(2 ) sin( )x x 0

    _  _     



d. 2 2 3 2 3 2 1 1 1 1 (3 ln( )) (2 ln( )) (3 2 ) e e e e x  x dx x x dx  x  x dx _x x _ e e



e. 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 ( ) (2 ) 2ln | | 1 (2 _e) 1 _e e e e dx x x dx x x x x   _            _  _      



f. 12 12 7 7 ₇ 2 1 1 3 3 3 0 0 0 1 (3 4) (3 4) 3 1 2 3x 4 dx x dx x  _ _   _  _    



V-6. a. 1 2 1 2 3 1 1 2 2 1 1 ln( ) ( (1 ln( ), , 1 , 3 , 1) 2,575 k

Opp k sum seq x x

 



    b. 19 20 1 20 3 19 1 1 1 1 10 10 20 20 10 1 ln( ) ( ( ln( ), ,1 , 3 , ) 2,545 k

Opp k sum seq x x

 



    V-7. a. 1 2 0 4 1x dx 3,14



b. 2 0 sin( )x dx 0,89  



V-8. a. _{f x}_{'( ) 3}_ _x2_₆_x_₂ '(3) 11 6 11 3 33 27 11 27 f b b b y x           b. 11x27 0 _x3_₃_x2_₂_x __{x x}₍ 2_₃_x_₂₎__{x x}₍ _₂₎₍_x_{ }_{1) 0} 5 11 11 27 2 x x   3 3 2 1 5 2 11 2 0 1 2 ( 3 2 ) (3 2 ) 6 W x x x Opp x x x dx      



       3 4 3 2 1 7 1 7 27 4x x x ₂ 111 24 111 44   _   _     c. 1 0 ( ) 0,25 f x dx 



, 2 1 ( ) 0,25 f x dx  



en 2 0 ( ) 0 f x dx 



d. De oppervlakte ingesloten door de grafiek van f en de x-as op het interval



0 ,1



is even groot als die op het interval



1, 2



.

(3)

1. a. _x3_₈_x2 _₁₂_x __{x x}₍ 2_₈_x_₁₂₎__{x x}₍ _₂₎₍_x__{6) 0}_ 0 2 6 x  x   x  b. 2 2 3 2 1 4 2 3 2 2 4 3 ₀ 3 0 (x 8x 12 )x dx _ x 2 x 6x _ 6



c. 6 6 3 2 1 4 2 3 2 2 4 3 ₂ 3 2 ( 8 12 ) 2 6 42 Opp 



x  x  x dx _ x  x  x _  d. 6 3 2 2 2 3 3 0 (x 8x 12 )x dx6 42  36



e. 2 6 6 0 2 0 ( ) ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx



2. a. 2sin(2 ) 1x  2sin(2 )x  1 1 2 5 1 6 6 5 1 12 12 sin(2 ) 2 2 2 2 x x k x k x k x k                        1 2 5 1 6 6 7 11 12 12 sin(2 ) 2 1 2 2 1 2 x x k x k x k x k                         b./c.





5 12 ₅ 12 1 12 1 12 (2sin(2 ) 1) cos(2 ) x blauw Opp x dx x     



     5 1 1 1 1 2 12 2 12 3 ( 3 ) ( 3 ) 3         d. 7 12 1 11 2 12 11 7 12 12 2sin(2 ) ( ) 1 2sin(2 ) rood Opp x dx x dx        



   



e.





127





1 11 2 12 1 1 1 1 1 3 2 3 2 3 cos(2 ) cos(2 ) 3 1 1 3 2 3 rood Opp  x _    x _            3. _x2_{  }₁ _x ₁ _x2_{ }_{1 1} 2 _{2 (} ₂₎₍ _{1) 0} 2 1 x x x x x x           2 ₂ 2 2 x x x      0 2 0 2 2 2 2 2 1 0 1 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1 3 2 ₁ 3 ₀ 6 3 ( 1 ( 1)) (1 ( 1)) ( 2) ( 2) 2 2 1 1 2 Opp x x dx x dx x x dx x dx x x x x x                        _   _  _  _  



4. 1 1 5 5 1 1 x x    2 1 1 5 5 2 1 1 6 5 ( 1)( 5) 0 1 5 x x x x x x x x             5 5 2 1 1 1 1 2 5 5 10 5 ₁ 5 1 1 ( 1 ) 1 ln | | 2 ln(5) Opp x dx x x x x    

_

   _   _   x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 2

(4)

5. a. 1 1₂ x  x 2 4 4 4 1 2 1 3 4 1 1 1 ( 1) 0 0 1 ( ( ) ( )) ( ) ln( ) ln(4) x x x x x x Opp f x g x dx x x dx x x          



 



 _  _   b. g x( ) 4 f x( ) 4 2 1 4 1 1 2 2 x x x      1 4 x 





1 2 1 2 1 1 4 2 1 1 4 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 (4 ) (x ) 4 ln | | ln | | (2 ln( )) (1 ln( )) ( 1 2 ln( )) 2 ln( ) Opp x dx  x dx  x x  _ x  x _           



c. 1 2 1 ( x ) 8 a x _  dx _



1 1 1 ln | | xx  a ln( )a _a 1 8          Voer in: y₁ ln( )x 1 x   en y2 9 intersect: x 8102,1

Dus voor a8103 is de oppervlakte minimaal 8.

6. a/b/c. d. PR PQ 3 en 1 1 2 3 3 42 PQR Opp     e. PR PQ x en 1 1 2 2 2 PQR Opp    x x x 7. a. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ... 2 9 1422 I        

Als je het eerste prisma laat beginnen op hoogte 1

2 dan komt de inhoud uit op 1

4

166

b. De inhoud is groter dan 142,5 c. 10 10 2 3 3 1 1 1 2 2 6 ₀ 6 3 0 10 166 x dx _ x _   



d. 1 1 1 2 3 3 ( 10 10) 10 1662 3 I      G h    8. a. VABT : VPQT 10 2 15 3 2 2 2 4 3 3 9 15 10 PQRS PQ a PQ a a Opp a a a         10 AB MT 15 PQ NT a

(5)

b. De inhoud van de piramide is de som van een aantal balkjes met grondvlak 2 4 9a en hoogte Va. Dus 2 4 . 9 ABCD T I 



a Va.

Door Va steeds kleiner te nemen gaat deze uitdrukking over in 15 2 4 9 0 a da



c. 15 15 2 3 4 4 9 27 ₀ 0 500 a da _ a _ 



9. a. 10 10 40 r h   1 4 1 4 40( 10) 10 10 10 r h r h r h       b. 40 40 40 2 2 2 3 1 1 1 1 4 16 2 48 ₀ 0 0 (10 h dh) (100 5h h dh) (100h 2 h h        _   _ 



3 1 3 9333  29321cm 29,3    liter. 10. a. ₂2__r2 _₅2 _b. _x2__r2 _₅2 2 2 21 21 ( 21) 21 r r Opp        2 2 2 2 2 2 25 25 ( 25 ) (25 ) r x r x Opp  x  x          c. 5 5 2 1 3 1 3 ₀ 3 0 (25 ) 25 83 halve bol I 



 x dx _ x x _   d. 4 3 2 1 3  5 1663  2 833 Klopt. 11. a. Oppcirkel   r2   h b. 4 4 2 1 2 ₀ 0 8 25 I 



h dh_ h _    cm3_. 12. a. De stralen zijn 1 1 1 1 4 4 4 4 ( ) f    respectievelijk 4 4 4 2 9 9 9 9 ( ) f    .

De oppervlakten zijn dan 1 2 1

4 16 ( )    resp. 2 2 4 9 81 ( )   

b. De straal is gelijk aan f x( ) en voor de oppervlakte van een cirkel geldt _O___r2_.

2 2 2 ( ( )) ( ) ( 2 ) O  f x   x x   x x x x c. _I __{0,2 ( (0,1)}_ __f 2___f_(0,3)2___f_(0,5)2___f_(0,7)2___f_{(0,9) ) 0,1081}2 _ Voer in: 2 1 2 y  x x x x .

De Riemann-som reken je dan uit met sum seq( (0,2y12, , 0.1, 0.9, 0.2)x d. 1 ₁ 2 1 2 4 2 1 3 1 2 5 3 ₀ 30 0 (x 2x x x dx) x x x x  _ _ _ _ _  _   



(6)

13. a. f x( ) 0 2 1 1 3 3 (3 x) 0 x 0 3 x x x x        b. 3 3 3 2 2 4 3 2 5 4 3 1 1 2 1 1 1 3 9 3 45 6 3 ₀ 0 0 ( ) ( ) 0,9 I  



x x dx 



x  x x dx   _ x  x  x _   14. a. b./c. 2 4 4 4 4 2 1 2 ₁ 1 1 1 2 4 4 4 3 I dx dx x dx x x x       _  _   _{ }    _ _   



15. a./b. 3 3 3 3 2 2 2 2 3 4 2 0 0 0 0 (4 ) (16 8 ) I 



x x dx



x dx 



x  x x dx



x dx  1 3 4 1 5 3 1 3 3 3 4 1 5 3 3 3 5 ₀ 3 ₀ 5 ₀ 5 5 x 2x x x 5x 2x x 21          _   _  _ _  _   _ 

c. Je berekent dan de inhoud van het lichaam dat ontstaat als je de grafiek van

2 2 ( ) ( ) 4 3 f x g x  x x  x x x om de x-as wentelt. 3 3 3 2 2 2 3 4 3 1 4 1 5 1 2 5 ₀ 10 0 0 (3 ) (9 6 ) 3 1 8 I 



x x dx 



x  x x dx_ x  x  x _   d. 3 4 3 4 2 2 2 1 3 1 3 4 1 5 3 ₀ 3 5 ₃ 0 3 (4 ) 5 2 I 



x dx



x x dx _ x _ _ x  x  x _  8 8 15 15 9 3  12     16. a. 1 2 3 x 1 x 2 1 4 1 4 9 2 2 ( 4) 0 0 4 x x x x x x       b. 4 4 2 2 3 3 1 1 4 2 4 ₀ 0 (9 2 ) 4 24 I 

_

x x dx  _ x  x _   c. 4 4 2 1 2 1 2 2 4 0 0 ((3 1) (1 1) ) (9 x 6 1) (2 3 1)) I 



x   x dx



 x  x  x dx  12 4 ₄ 1 2 3 3 2 1 4 4 0 0 ( 2 x 6x 6 x dx) x 3x 4x 32      

_

    _   _  17. 4 4 4 2 2 1 3 2 3 ₀ 3 0 0 ( (4 )) (4 ) 2 10 M 

_

x x dx 

_

x x dx _ x  x _   2 3 4 4 4 10 2 1 2 1 2 ₀ 8 3 0 0 ( 4 ) (4 ) 4 8 _Z 1 V 

_

x dx

_

x dx _ x x _   x  _  x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1

(7)

18.

a. x3y (bij spiegeling in de lijn y x wordt de rol van x en y verwisseld.) 1

3

y  x

b. Het spiegelpunt van (0, 5) is (5, 0) bij spiegeling in de lijn y x. c. 5 5 5 2 2 3 1 1 1 17 3 9 27 ₀ 27 0 0 ( ) 4 I 



x dx 



x dx  _ x _   19. a. ( ) x 1 g x e  b. Van 0 tot 2. c. 2 2 2 2 2 1 2 2 ₀ 0 0 ( x 1) ( x 2 x 1) x 2 x I 

_

e  dx 

_

e  e  dx _ e  e x_  1 4 2 1 1 4 2 1 2 2 2 2 ( e 2e 2 2) ( e 2e 3 )           20. a. b. _{x e}_ y 2 1 ln( ) (ln( )) 2,26 e y x I  x dx  



 c. 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 0 0 ( ( ) )x ( x) x ( ) I 



e  e dx 



e e dx_e x e _  e  21. a. x y 1 2 2 1 1 y x y x     2 2 2 2 2 4 2 1 5 2 3 11 5 3 ₀ 15 0 0 ( 1) ( 2 1) 13 I 

_

x  dx

_

x  x  dx _ x  x x_   b. Dit is hetzelfde als gebied G wentelen om de x-as zoals in opgave 20c

Dus 1 2

2 ( 1)

I   e  .

22.

a. Als je wentelt om de y-as is de inhoud groter. Gebied G ligt verder van de y-as dan van de x-as. b. 1 1 1 2 2 2 2 4 1 3 1 5 2 3 5 ₀ 15 0 0 ( ( ) ) ( ) I 

_

x  x dx 

_

x x dx _ x  x _   c. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 3 1 2 3 ₀ 6 0 0 (( ) ) ( ) I 

_

x x dx

_

x x dx  _ x  x _   x + 1 f(x) g(x) - 1 x x y 1 2 3 -1 1 2 3 4

G

(8)

23. a. 2 2 2 2 1 1 4 8 16 1 3 1 3 2 2 ( 2) I dx dx x x x            _  _   _   _         



2 1 1 8ln | 2 | 16( 2) 3 ((2 8ln(4) 4) ( 1 16)) 3 (12 8ln(4)) x x x           _     _            b. 1 4 2 x y    ( 1)( 2) 4 4 2 1 4 2 1 x y y x y x           c. 2 2 3 3 2 2 1 2 2 4 16 16 2 2 4 4 1 1 ( 1) I dx dx dx x x x           _  _   _   _        



1 3 2 4 _4x 16ln |x 1| 16(x 1) _ 4 (12 16ln(2)) 16 (1 ln(2))   _     _      24. a. _OA_ ₁2_₁2 _ ₂_,_AB_ ₁2_₇2 __{5 2} 2 2 1 19 362 BC    2 5 2 362 27,51 OA AB BC     

b. De werkelijke lengte is groter. c. O(0, 0), 1 1 2 8 ( , ) A , B(1, 1), 1 3 2 8 (1 , 3 ) C , D(2, 8) 5 1 2 8 (2 ,15 ) E en F(3, 27). 0,5154 1,008 2,427 4,652 7,641 11,386 27,63 L        25.

a. Met de stelling van Pythagoras kun je de lengte van de kromme tussen A en B benaderen: 2 2 ( ( ) ( )) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) (1 ( ) ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) f x x f x x f x x f x f x x f x f x x x PQ x f x x f x x x x x x                         V V V V V V V V V V V V V

b. Voor kleine waarden van Vx geldt: f x( x) f x( ) f x'( )

x    V V c./d. 3 3 2 2 4 0 0 1 (3 ) 1 9 27,658 L



 x dx 



 x dx 26. a. b./c. '( ) 1 ₂ 2 ₂ 2 1 1 x f x x x x        en 1 2 2 1 1 3,14 1 x L dx x     



d. De grafiek van f is een halve cirkel met straal 1. De omtrek daarvan is 1

22 1  x y 0 1 2 3 0 5 10 15 20 25 30 A B C x y 0,5 1 -0,5 -1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 -0,2

(9)

27. 21 3 3 ₃ 1 2 2 2 3 3 0 0 0 1 ( ) 1 (1 ) 4 L

_

 x dx 

_

x dx_ x _  28.

a. De grafiek ziet er ongeveer uit als die van opgave 26.

b. ₁__x4 _₀ 3 3 4 4 1 2 '( ) 4 2 1 1 x f x x x x        4 4 1 0 1 1 1 x x x x        1 6 4 1 4 1 3,35 1 x L dx x     



29.

a. Bij de top is de parabool iets steiler.

b. 1 1( ) 2( ) x x f x  e e 1 1'( ) 2( ) x x f x _ e _e c. 4 2 1 4 0 1 ( x x) 27,29 L_ _ e _e dx_



30. a. _{u x}_{( ) (}_ _x__{4) en ( ) 2}3 _{f u} _ _u 2 '( ) 3( 4) u x  x , '( ) 2 1 2 f u u u   _{en dus} 2 _1,52 3 3( 4) 3( 4) '( ) 3 4 ( 4) ( 4) x x f x x x x         2 1 ( '( )) f x  1 9( x4)  9x37 b. 2 121 27 ( ) (9 37) G x  x c. 12 0 ₀ 1 2 74 2 27 27 27 4 4 9 37 (9 37) 37 L x dx x     



 _  _   31. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t x y L x y x y t t t   V  V  V  V  V  V V V  V V



 



2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) i i x y x y t t x m y m t t t t t         _ _ _ _         V V _V V V _V _V V V V V b. -c. 2 2 2 2 2 2 0 0

( 3sin( )) (3cos( )) 9 sin ( ) 9cos ( )

L t t dt t t dt   

_

  

_

 

 

2 2 2 2 2 0 0 0 9(sin ( ) cos ( ))t t dt 9 dt 3t 6     

_

 

_

  x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2 4 6 8 10 12 -2

(10)

32. a. b. 2 2 2 2 3 0 36 sin ( ) 4cos ( ) 26,22 L t t dt  

_

  33. a. 1 1 2 2 2 2 4 0 0 (6 ) (6 ) 36 36 L



t  t dx 



t  t dx b. ₃₆_t2_₃₆_t4 _ _{36 (1}_t2 __t2₎ _ ₃₆_t2 _ ₁__t2 _₆_t_ ₁__t2 c. 1 2 1 2 ( ) (1 )

G t a t differentiëren met de kettingregel:

1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 en ( ) '( ) 2 1 3 3 1 6 1 2 u t t G u a u G t t a u t a u a t t t t a                 d. 21 1 ₁ 1 2 2 0 0 6 1 2 (1 ) 4 2 2 L

_

t t dx _  t _   34.

a. met de x-as: met de y-as:

0 sin( ) 0 0 sin( ) 0 0 (1, 0) en ( , 0) t t e t e t t t P P_ e            1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 cos( ) 0 0 cos( ) 0 1 (0, ) en (0, ) t t e t e t t t P_ e  P _ e              b./c. 2 2 0

( t sin( ) t cos( )) ( t cos( ) t sin( ))

L e t e t e t e t dt  



         2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0

sin ( ) 2e sin( )cos( ) cos ( ) cos ( ) ...

... 2e sin( )cos( ) sin ( ) 2 (sin ( ) cos ( ))

2 2 2 2 ( 1) t t t t t t t t t t e t t t e t e t t t e t dt e t t dt e dt e dt e e      _                 _{ }   



35. a. b. 2 2 2 0 (1 cos( )) cos ( ) L t t dt  

_

   2 2 0 (1 2cos( ) 2cos ( )t t dt 8,21  

_

   x 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 -1 -2

(11)

36.

a. met de x-as: met de y-as:

2 2 2 2 4 0 4 2 2 ( 6, 0) en (6, 0) t t t t P_ P         3 2 2 0 1 1 ( 1) 0 0 1 0 1 1 (0, 4), (0, 3) en (0, 3) t t t t t t t t t P P_ P              b./c. 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 (3 1) ( 2 ) (9 6 1) 4 9 2 1 16,21 L t t dt t t t dt t t dt    

_

   

_

   

_

   37. a.





₁ 1 1 ( ) ln | | ln( ) p p A p dx x p x 

_

 

Als p heel erg groot wordt, wordt de oppervlakte A(p) onder de grafiek ook heel groot. b. 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 p I p dx dx x x x p          _{ }   _ _  _  _      



De inhoud I(p) komt dan steeds dichter in de buurt van  voor grote waarden van p

38.

a. b a is de lengte van het interval en c de hoogte b. Op



0 , 1 :



1 1 2 1 3 1 3 ₀ 3 0 1 c 

_

x dx _ x _  Op



0 , 3 :



3 3 2 3 1 1 1 3 3 3 ₀ 0 3 c 

_

x dx _ x _  c. 1 2 1 1 3 1 1 3 1 2 3 ₀ 3 3 0 12 p p p x dx p  x  p p p  

_

 _ _    2 ₃₆ 6 6 p p p      39. a. b. a R rh0  R rh R r h y _  _{ }x r c./d. 2 2 2 2 0 0 ( ) (( ) 2 ) h h R r R r R r h h h I _



 x r_ dx _



 _x _ r_  x r_ dx _ 2 1 3 1 2 2 2 1 3 2 2 3 2 ₀ 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 3 3 3 2 2 1 3 ( ) 2 (( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) h R r R r R r R r h x r h x r x h h r h h r h R r h r R r h r h h R Rr r Rr r r h R Rr r             _       _                            40. a. -b. Uit ( ) b Z a

M x 

_

f x dx volgt direct dat Z b _{( )}

a M x f x dx 



(12)

c. 4x x x(4x) 0 1 3 2 3 4 4 4 2 2 3 1 3 1 4 1 3 4 ₀ 3 0 0 4 4 2 2 1 3 2 3 ₀ 3 0 21 10 0 4 (4 ) (4 ) 1 21 (4 ) 2 10 2 Z x x M x x x dx x x dx x x x x dx x x x          _  _     _  _   



41.

a. De halve cilinders hebben straal 5, dus de hoogte van het kruisgewelf is ook 5.

b. 1 2 2z 25h 2 ₄₍₂₅ 2_{) 100 4} 2 Opp z  h   h c. 5 5 2 1 3 1 3 ₀ 3 0 (100 4 ) 100 1 333 I 



 h dh_ h h _  m3

(13)

T-1.

a. 1

2

cos( )x  1

2

sin( )x  sin( ) cos( )x  x

1 2 3 13 x    1 5 6 6 x    x  1 1 4 14 x    x 





5 1 6 4 5 1 3 6 5 1 6 4 5 1 6 3 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 2 2 2 1 4

( cos( )) (sin( ) cos( ))

sin( ) cos( ) sin(x) ( 3) ( 2 ( 3 ))

2 Opp x dx x x dx x x x                _  _            



b.





1 2 ₁ 2 1 2

(1 cos( ) sin( )) sin( ) cos( ) 1 2

rood Opp x x dx x x x        



      





1 2 1 2 1 2

(sin( ) 1 cos( )) cos( ) sin( ) 2

blauw Opp x x dx x x x      



        T-2.

a. Maak gebruik van gelijkvormige driehoeken (in VACT ) en een verhoudingstabel: 1 1 12 12 (12 ) 12 d h d h       Zo ook in VBDT : 12d2  6 (12h) en dus d2  12 (12h) 6 21h. b. 1 1 1 2 1 2 2 (12 ) (6 2 ) (6 2 ) 4 6 36 Opp  h   h   h  h  h c. 12 12 2 3 2 1 1 4 12 ₀ 0 ( 6 36) 3 36 144 I 

_

h  h dh_ h  h  h_  T-3. 23 23 8 8 ₈ 1 2 3 2 3 5 2 2 2 (2 ( ) ) (4 ) 4 21,06 I 



 x dx 



x dx  _ x x _ 

T-4. Bepaal de inverse functie van 1

3 y x : 1 3 3 3 3 3 2 2 2 2 3 2 6 1 7 7 ₀ 0 0 (2 ( ) ) (4 ) 4 13,57 x y y x I  x dx  x dx  x x     



 



  _  _  T-5. a. 1 2 2 2 1 1 1 2 6 2 '( ) 1 ( 4) 2 4 f x   x   x  x x  5 2 2 1 4 0 1 ( 4) L



 x x  dx b. 1 2 2 1 4 2 1 2 2 4 4 2 1 x x( 4) x x  1 ( x 1) 5 5 5 2 2 2 3 5 1 1 1 2 2 6 ₀ 6 0 0 ( 1) ( 1) 1 5 L



x  dx 



x  dx _ x x_  12 d1 12 12-h

(14)

T-6. a. _{f t}'( )__et __et_en_{g t}_{'( )}_{ }₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( '( )) ( '( )) ( ) ( 2) 2 4 2 2 ( ) t t t t t t t t t t t t t t f t g t e e e e e e e e e e e e e e                            b. 1 1 1 2 1 0 0 0 ( t t) ( t t) t t e L_ e _e dt _ e _e dt _ _e _e _ _{ }e  



T-7. a. b. 2 5 5 2 1 1 4 16( 3) 3 I dx x dx x       _ _      



1 5 1 16(x 3) 2 _  _   _  _  c. 4 3 x y   4 3 4 3 y x y x     2 0,5 1 0 0,5 0,5 1 2 0 0,5 4 (25 1) 3 1 16 24 24 8 I dx dx x dx dx x x     _ _     __  _  _          _   _   







1 0,5 ₁ 0 0,5 24 16 24ln | | 8 12 ( 8 ( 32 24ln(2) 4)) 32 24 ln(2) x x x x            _   _           T-8. a. 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) a a a x a x a a a a a a Opp e e dx e x e a e e e a e  _  _  _    



  _   _        1 1 1 1 ₃ a a a a a a ae  e  e  ae  e e        ln(3) a b. 2 2 1 1 ( )x 4,79 L



 e dx  c. 1 1 2 1 2 1 2 2 ₀ 2 0 ( 1) x x onder I 

_

e dx  _ e _   e  1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 0 ( x) x ( ) boven I 

_

e e dx _e x e _   e  Het verschil is  . T-9. a./b. 2 2 2 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 3 3 3 3 ( ) ( ( ) 1 r r r r I  r x dx  r x x _  r r r r r    

_

  _  _       x y 1 2 3 4 5 6 -1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 -0,2 G