• No results found

Graph parameters and invariants of the orthogonal group - Samenvatting

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Graph parameters and invariants of the orthogonal group - Samenvatting"

Copied!
3
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

UvA-DARE is a service provided by the library of the University of Amsterdam (https://dare.uva.nl)

UvA-DARE (Digital Academic Repository)

Graph parameters and invariants of the orthogonal group

Regts, G.

Publication date

2013

Link to publication

Citation for published version (APA):

Regts, G. (2013). Graph parameters and invariants of the orthogonal group.

General rights

It is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the author(s) and/or copyright holder(s), other than for strictly personal, individual use, unless the work is under an open content license (like Creative Commons).

Disclaimer/Complaints regulations

If you believe that digital publication of certain material infringes any of your rights or (privacy) interests, please let the Library know, stating your reasons. In case of a legitimate complaint, the Library will make the material inaccessible and/or remove it from the website. Please Ask the Library: https://uba.uva.nl/en/contact, or a letter to: Library of the University of Amsterdam, Secretariat, Singel 425, 1012 WP Amsterdam, The Netherlands. You will be contacted as soon as possible.

(2)

Samenvatting

Dit proefschrift gaat over verbanden tussen bepaalde graafparameters en de invariantentheorie van de orthogonale groep en enkele van zijn ondergroepen. De verbanden worden gelegd door zogenaamde partitiefuncties van lijnkleuring modellen. Deze partitiefuncties kunnen zowel beschouwd worden als graafpa-rameters alsmede als polynomen die invariant zijn onder een natuurlijke actie van de orthogonale groep.

Partitiefuncties van lijnkleuring modellen werden geïntroduceerd als graaf-parameters door de la Harpe en Jones [28] in 1993. Voor k∈ N, is een k-kleur

lijnkleuring model een statistisch mechanisch model. Voor een gegeven graaf G, kunnen we de lijnen van G beschouwen als deeltjes, de punten als interacties tussen de deeltjes en de kleuren als toestanden. Gegeven een kleuring van de lijnen van G met k kleuren (dat wil zeggen, een toewijzing van toestanden aan de deeltjes), zien we bij elk punt van de graaf een multiverzameling van kleuren, waaraan het lijnkleuring model een waarde toekent. Het gewicht van de kleuring is het product over de punten van G van deze waarden; in de statis-tische mechanica wordt dit het Boltzmann gewicht genoemd. De partitiefunctie van het model is de som, over alle mogelijke kleuringen van de lijnen van G met k kleuren, van de gewichten behorend bij deze kleuringen.

Veel interessante graafparameters zijn partitiefuncties van lijnkleuring mod-ellen. Bijvoorbeeld, het aantal perfecte matchings, het aantal propere lijn-kleuringen met k kleuren voor vaste k ∈ N, maar ook het aantal

homomor-fismen in een vaste graaf.

In dit proefschrift geven we een karakterisatie van graafparameters f , die partitiefuncties zijn van complexwaardige k-kleur lijnkleuring modellen, voor vaste k∈N, door middel van een oneindig aantal vergelijkingen van de vorm

∑n

i=1λif(Gi) = 0, voor zekere λi ∈ {±1}n, grafen G1, . . . , Gn en n ∈ N. We

kunnen deze vergelijkingen beschouwen als de beschrijving van een ideaal in een polynoomring R met een oneindig aantal variabelen. Het bewijs van de karakterisatie is gebaseed op een combinatorische interpretatie van de

(3)

Samenvatting

nomen in R die invariant zijn onder de orthogonale groep, welke op zijn beurt bewezen wordt gebruikmakende van de Eerste en Tweede Hoofdstelling van de invariantentheorie van de orthogonale groep en op Hilbert’s Nullstellensatz.

Een belangrijk instrument zijn zekere gemarkeerde grafen, welke fragmenten genoemd worden. Voor een lijnkleuring model h, kan men een natuurlijke af-beelding definiëren van de ruimte van formele lineare combinaties van frag-menten naar de tensor algebra. Wanneer h reëelwaardig is, dan blijkt het beeld van deze afbeelding de algebra van tensoren te zijn die invariant zijn onder de ondergroep van de orthogonale groep bestaande uit de elementen die h stabi-lizeren. Dit wordt bewezen gebruikmakende van een stelling van Schrijver [58]. De situatie is ingewikkelder waneer h complexwaardig is, maar een zelfde soort resultaat kan bewezen worden. Het verband tussen fragementen en invariante tensoren stelt ons in staat om een vraag van Szegedy [66] te beantwoorden.

Naast de introductie van het lijnkleuring model, introduceerden de la Harpe en Jones ook het puntkleuring model. Voor een gegeven graaf G, kunnen we ook de punten van G beschouwen als deeltjes, de lijnen als interacties tussen de deeltjes en de kleuren wederom als toestanden. Gegeven een kleuring van de punten van G met n kleuren (dat wil zeggen, een toewijzing van toestanden aan de deeltjes), zien we bij elk lijn van de graaf een paar kleuren, waaraan het puntkleuring model een waarde aan toekent. Het gewicht van de kleuring is het product over de lijnen van G van deze waarden; in de statistische mechanica wordt dit het Boltzmann gewicht genoemd. De partitiefunctie van het model is de som, over alle mogelijke kleuring van de punten van G met n kleuren, van de gewichten behorend bij deze kleuringen. Partitiefuncties van puntkleuring modellen zijn generalisaties van het tellen van graaf homomorfismen.

Szegedy [66] heeft laten zien dat elke partitiefunctie van een puntkleur-ing model gelijk is aan de partitiefunctie van een complexwaardig lijnkleurpuntkleur-ing model. Door gebruik te maken van gevanceerde technieken uit de geometrische invariantentheorie, is het ons gelukt om te karakteriseren voor welke puntk-leuring modellen de bijbehorende lijnkpuntk-leuring modellen reëelwaardig zijn.

In [45], introduceerden Lovász en Szegedy een puntkleuring model met een oneindig aantal kleuren en lieten ze zien hoe deze modellen gezien kun-nen worden als limieten van bepaalde rijtjes enkelvoudige grafen, in het geval de verzameling van grafen voorzien wordt van een toplogie gebaseerd op het tellen van homomorfismen. Geïnspireerd door deze resultaten, introduceren wij lijnkleuring modellen met een oneindig aantal kleuren en laten we zien hoe zij fungeren als limiet objecten voor bepaalde rijtjes lijnkleuring modellen, wan-neer de verzameling van deze modellen voorzien is van een zekere topologie.

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

Marginal efficiency is given by the ratio of the number of events that passed the selection cut to the number that passed the previous cut while absolute efficiency efficiency is

This mixed methods research study examined the perceptions of gender bias in Grade 8 mathematics at West Rock Middle School, surveying 45 participants, (20 male, 25 female)..

The research question is: “What supports, challenges, and barriers do Aboriginal young adults experience with regard to finding and keeping work?” Research of this type is

and this dissertation work. In this dissertation I address the overarching research question: How are registered and practical nurses’ experiences of learning to work together

Our wall extraction method is based on the results obtained from the slice transform and particularly depend on the angle matrix (Section 3.1.6), responsible for finding the

As a number of reviewers ofthe Journal have pointed out, we have succeeded somehow, and this against the specializing tendencies of the public order, in creating a discourse which

Both the NCI and MCI-S groups were more accurate on the false and inference statements, more sensitive to the statement type differences, faster in responding, and showed

Based on five in- depth interviews with waste management stakeholders which include two City Government Officials in the Engineering Department, the Manager of Encorp