februari
2001
-
nr 5
-
jaargong 76
Redactie
Dr.
A.G. van AschD
rs. R
. BoschH.H.
Daale
Drs.
J.H. de Geus
Drs. C.P. Hoogland hoofdredacteur G. deKleuver voorzitter D.AJ. Klingeos eindredacteur Drs. W.LJ. Knoester-Ooevc:
Ir.
W.J.M. Laaper secretarisMw. Y. Schuringa-Schogt eindredacteur
J. Sinnema penni
ngmeesterJ.
van 't Spijker Voorzitter Drs.M.
Kollenveld leeuwendaallaan 43,
2281
GK Rijswijk tel.070
-
3906378
e-mail: M.Kollenveld@nww.nl Secretaris W. Kuipers Waalstraat8, 8052
AE Hattem
tel.038
-444
7017
Artikelen/mededelingen- - - e-mail: W.Kuipersۂnww.nl Ledenadministratie
Artikelen en mededelingen naar:
Kees Hoogland
Veldzichtstraat
24, 3731
GH De Bilte-mail: redactic-cuclides@nww.nl
Richtlijnen voor artikelen:
•
goede afdruk met illustraties/foto's/
formules op juiste plaats of goed in de tekst aangegeven.• platte tekst op diskette of per e-mail:
WP, Word of ASCII.
• illustraties/foto's/formules op aparte vellen: genummerd, zwart/wit, scherp contrast.
Mw. N. van Bemmc:I-Hendriks
De
Schalm 19,8251
LB Dronten tel.0321-312543
e-mail: ledcnadministratie@nww.nl
Colofon
ontwerp Groninger Ontwerpers produktie TiekstraMcdia. Groningen
druk Giethoorn Ten Brink, Meppel
Contributie per ver. jaar: fBO.OO Student leden: f 40,00 leden van de
WWL: f55,00
lidmaatschap zonder Euclides: f
55,00
Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden geven zich op bij de ledenadministratie. Opzeggingen vóór 1 juli.
Abonnemc nten niet-leden
Abonnementen gelden steeds vanaf het
e~rstvolgendc nummer.
Abonnementsprijs voor personen:
f
85.00
per jaar.Voor instituten en schol~n: (240,00 per jaar. B~taling geschiedt per acceptgiro. Losse nummers op aanvraag l~verbaar voor
f
30.00.
Opzeggingen vóór 1 juli.Advenenties
Informatie, prijsopgave en inzending:
L.
Bowwa, Menvekade90
331
t TH Dordecht, tel. 078-639 08 90fax 078-639089
1
e-mail: lbozuwa@worldonline.nl of F. Mahieu, Dommeldal
12
5282
WC Boxtel, tel.0411
-
67 34 68
Kees Hoogland
Van de
redactietafel
Joop van Dormole
n
. Abraham Arcavi
Wat is een cirkd?
1
87
Agnes Verweij
Een bijna vergeten algoritme
Voortgang bijhouden
in
het
studiehuis.
ho
e
dM
je
d<H
?
196
Johan
va
n Benthem
I
nstroom
Blues
197
A
a
nk
o
ndi
g
in
g
198
Marian
Kollenvf'lcl
Van
de
ht'S
i
u
ursla
f
rl
199
Re
g
ionale NVvW-studiebijeenk
o
m
st
en
203
Mededeling
204
HenkStaal
Co
mput
era
l
g
ebra en digitaal le
s
m
ater
i
-<Jal
2
1
0
40 jaar geleden
212
Hans
Blom
Sint en
de
le
tt
e
r
e
2
14
Eveli
n
e
Tuynman
Mi
l
lenniunwergissing?
216
Service pagina
Door
oms
t
a
ndi
gheden ontbreekt ook
in
dit nummer de rubriek Recr
eatie
.
[Van de redactietafel]
Voor
u ligt weer
een gevarieerd nummer met
hopelijk
voor
elk
wat wils.
Scholen koersen alweer
langzamerhand
aan op
het
einde van
het
schooljaar.
Vdc scholen voor vmbo zijn op dit
moment
bezig
PTA's op
te
steJlen
voor hun
derde
en vierde
klas.
Leerlingen zullen
in de tweede klas al een (soms nog
voorlopige)
keuze moeten maken
voor
één
van
de sectoren
van het,
vmbo.
Een
tlink
aantal scholen
met een vwo-afdeling
is op weg naar
de
eerste
examens over
het
Tweede fase programma. Als die geweest
zijn.
kan
mogelijk
een eerste balans opgemaakt worden
over
opbrengsten en resultaten van de
Tweede fase. Wc houden u op
de
hoogte.
R
egio
n
al
e
bijee
n
kom
s
ten
In
dil
nummer
treft u
ook de
uitnodiging aan voor
de
regionale bijeenkomsten
van
de
NVvW
in
Zwolle, Eindhoven en
Leiden.
Er is weer
een
uitgebreid en
gevarieerd programma samengesteld
door de
vcrenigingscommissic voor
deze
b
i
jeenkomsten.
Er :lijn veel
wcrkgroep<'n rond het
vmbo,
er zijn werkgroepen
rond
de
Tweede
fase
havo/vwo
en er zijn
nog
een aantal
meer
algemene
werkgroepen.
Alle begrippen die op dit
moment
in het onderwijs rondwaren, zien we terug in
de titels: problecmgcstuurd, PTA, sectorwcrkstuk. cxamentraditie,
computer-gebruik,
determinatie,
examendossier, toetsen, J>raktische opdrachten. Internet.
Vanaf
pagina
201 vindt u het programma.
Op
de website van
de
Vereniging
(http://wiiiW.III'IIW.III)
treft
u natuurlijk
ook
steeds
de meest actuele inhouden
en programma's van
de bijeenkomstrn
aan.
Compute
r
a
l
ge
b
r
a
Voor de Tweede Fase van
havo
en vwo zal de
komende
jaren een
beslissing
genomen
moeten
worden of
het
gebruik maken van computeralgebra
toegcstaan zal worden in wiskunde. Er zijn al allerlei
rekenmachines,
als
opvolger van
de
grafische rekenmachines, waarin mogelijkheden op hrt gcbird
van computeralgebra zijn ingebouwd.
Het mogen gebruiken van zo'n machine
heeft
natuurlijk niet alleen implicaties
voor
de programma's
van de bovenbouw,
maar
ook voor het algebraonderwijs
in
de onderbouw.
Daarnaast zien
we een ontwikkeling
naar allerlei pakketten
d
ie
h
et best
zijn
te
omschrijven
als digitale leeromgevingen, waarin de
mogelijkheid
voor computeralgebra êén van de vele funetionaliteiten
is.
In dil nummer
vindt
u
een praktisch vcrslag van een experiment
met
zo'n
pakket:
Studyworks.
Opvallend
is dat
niet
alleen docenten
in
de Tweede fase
van
havo
en vwo geïntrigeerd zijn door de mogelijkheden die dit geeft in
de
wiskundeles: er zijn ook
docenten
van
mavo-
en vbo-scholen die met hun
leerlingen met dit pakket aan de slag zijn of binnenkort gaan. Wc hopen u
regelmatig vcrslag
te
blijven doen van
de
klassenervaringen op dit gebied.
H
oofdred
act
eu
r
Na vijf
jaar het hoofdredacteurschap
van dit
mooie
vakblad
bekleed te
hebben,
heb
ik bes
loten het stokje
aan
een andere collega over te dragen.
Dus als u redactionele
ambities heeft en een uitdaging zoekt in het hart van
(de
ontwikkelingen in) het wiskundeonderwijs, kijkt u
dan
vooral naar de oproep
op de een
na
laatste bladzijde van dit nummer.
Daarnaast kan de redactie altijd mensen gebruiken, die op een of andere
manier willen bijdragen aan de totstandkoming van dit orgaan van de
Vereniging.
Als u ideeën heeft, dan kunt u zich melden hij voor.dttcr van de redactie:
Gen de Klcuver.
De ideeën
in
dit artikel
[1]
zijn
niet
nieuw in Nederland.
Toch "\'Vilden de
schrijvers hun
ervaringen
overdragen die
ze gehad hebben
bü
het
ontwerpen
van
leerteksten. Zij geloven
dat
de
inhoud van het artikel algemene waarden heeft, waarbij de tekst over
het leren
van
de cirkel eerder
als
voorbeeld dient,
dan
als afzonderlijk
wapenfeit.
Q?
Wat
is een cirkel?
[
J
oop
v
an Do
rmo
le
n
en
Abraham
Ar
ca
vi
,
W
e
izm
a
n
n
I
n
stitute fo
r
Science, Rehovot
,
Israël]
Als
jong
leraar probeerde een
van de
auteu
r
s
zijn
leerlingen
re leren wat
een
cirkel
is door
ze de
definitie re
geven: 'Een
cirkel
is
een
figuur
waarvan
de punten
een
vaste afstand
hebben
tol ee
n
gegeven
pu
n
L:
Zijn leerlingen
lu
isterden
geduldig. Sommigen zetten hun ik
-
begrijp-wat
-je-zegt-gezicht, zoals
van hen
verv;acht werd
.
Hadd
e
n
zij
echt
begrepen
waar het over ging? Als hen
later
gevraagd
werd wat een cirke
l
is,
waren
de mee
s
te
leer
li
ngen
niet in
staat de definitie
op
bevrectigende
manier
te
reproduceren
en degenen die het wel konden
schenen
de defini
t
ie
zonder begrip ui
t
hun hoofd te reproduceren.
Wat was er
fout
gegaan?
H
oe
kan het dat
een
korte,
heldere en
ondubbelzinnige
beschrijving
b
l
ijkbaar
onvo
ldoe
nde was
voor
he
t bevatten van het
begrip.
E
n da
t terw
ijl
vrijwel
iedereen een cirkel kon tekenen en
herkennen.
De zaak
was
da
t
de
le
ra
ar (nog) n
i
et
door had da
t
niet de
cirkel gedefi
n
ieerd moest worden,
maar
dat de
leerlingen
i
ets moesten leren
.
Definities zijn
vrijwe
l
nooit
startpunt
voor
het leren
van
een
nieuw begrip.
Veeleer
het
eindpunt
ervan.
Het is
een samenvatting vnn
l
eerervaringen waarin
een
ni
euw
begrip is
ontwikkeld,
onderzocht
en
toegepast
in
verschillende contexten.
Op
zeker moment
is het
nodig
een defmitie
vas
t
te leggen,
opdat een theorie
ontwikkeld
kan worden, nieuwe
eige
n
sc
happ
en
kunnen worden
go::;wdJ
l,
go::vumku
t:IJ I.Jt:wt::~:t:u.Maar vuurtlal alle:; mud
men
vertrouwd zijn
me
t
he
t
begrip. Dit
alles is
tegenwoordig -
in de
tijd
van realistische wiskunde
- n
i
ets
ni
euws,
maar
de vraag
i
s wat
d
e consequenties zijn voor
de
ontwikkeling van
leerstof.
Een
serie
opdrachten
Hieronder volgt een mogelijke
benadering
vaiJ een se
r
ie
leeropdrac
h
ten.
Leerlinge
n
krijgen
een
reeks vragen
en opclrach re
n
:
I.
hr
fi
guur
5
zie je
een aanral figuren.
Welk ervan is
een
CiTkel?
2.
War zijn
de jongens
op
dit
plaatje
(zie
.
fig
u
ur
2
)
aan
het doen? Waarom
zo
ud
e
n
ze
het
op deze manier doen?
3
. Kijk naar de
deur
van
de
kamer waar
je
nu bent
(zie
figuur
3
).
Als
het geen
sc
huifdeur is,
doe
hem
dan
een
paar kêer open en dicht.
Let
daarbij op de
beweging
van een hoek
aan
de
buitenkan
t
. Wa
t voor figuur
maak
t
die
hoek
,
als de deur open of
dicht
gaat?
4.
De pony
in
figuur 4
graast.
Het
lijkr of
hij
e('I'Jcirkel
eet.
Hoe komt dat?
5.
Stel
J.e een kkin
meisje
op een schommel voor
(zie
figuur 5)
. Denk
aan
de figuur
die haaT neus
beschrijft bij
het schommelen. Wat
·
vo
or
een figuur
is
dat?
6. Neem een rouwlje van
onge
vee
r
20 cm
.
Maak een kanr
aan een
potlood
11asr (zie
.figuur 6
}. Zet
je ·
ttinge
·
r op het
andere
eind
en teken een
cirkel.
Als je een elastiekje
in
plaats van een touwtje zou
gebruiken
, zou
er dan ook een
cirkel
komen? Waarom?
7. Teken een cirkel met je passer (zie fig
u
ur
7
).
N
u
komt
de
reflecteervraag
:
8.
WM !rebb
e
n al
deze
v
ragen
gcmecnsc!Jappclijk?
De
l
eerlingen
hebben
nu
erva
r
inge
n
van aller
lei
aard.
Daarom
kan
nu
de
vraag gesteld worden:
9
.
War
is
een cirk.
el?
We denken dat de leerlingen
nu
in staat zijn met
begrip te
annvoorclen,
dan
wel
het
antwoord te
beg
rij
pen.
Wat is begrijpen?
Voordat we
de
verschillen
becommentariëren
tussen
de
eersre en de tweede benader
i
ng,
wiJlen we
kijken
naar
wat
he
t
betekent
om een
begrip
te 'begrijpen'. Daarvoor
moe
t
iemand zich
-
het begrip
kunnen voorstellen
(ze
ker
als
het
een
meetkundig
begrip is);
- beseffen wat de essentiële elementen zijn van het
begrip;
- beseffen wat
de
relaties
zijn
tussen
deze
basiselementen enerzijds en het voorstellingsbee
l
d
anderzijds;
-
in verschillende
en nieuwe
situaties deze
lf
de
basiselemen
te
n kunnen herkennen.
Voor
het
speciale geval van
de cirkel betekent
dat,
lictl
it:mctntl
- een cirke
l m
oet
kunnen herke
n
nen temielden
van
andere
figuren
(opdracht
I
);
-
zich realiseert
dat
een cirkel een middelpunt, een
straal
en een omtrek
. heeft waarop we
pun
ten
kunnen
aanwijzen, ook al
kent
hij die
woorden nog n
i
et
(o
pdrachten
2
-
7);
-
zich realiseert
da
t
elk
punt
op
eenzelfde afstand ligt
(na
melijk de
straal) van een
vast
punt (namelijk he(
m
idde
lpu
nt) (opdracht 8);
-
het
midde
l
punt,
de
srraal en
punten
op
de
omt
rek
moet
he
r
kennen als abstracties
ui
t de verschillende
situa
r
ies (opdrachten
8
en
9).
Met dit alles
in
gedachten willen we
nogmaals Daar
opdracht 8 kijken,
maar nu
niet om te
bedenken
wat
l
eerlingen zouden kunnen annvoorclen, maar
lroe
zij
de
vragen I tot
en
met
7
zo
uden
kunnen doorwe
rke
n en
wat zij van vraag
8
zouden kunnen
l
eren.
Antwoorden kunnen natuurlijk uiteenlopend zijn.
We
zijn zelf overtuigd
van
het volgende.
De vragen gaan over
dingen
waar
de
leerlingen
iets
over
weten,
al
zijn zij
he
t zich misschien niet
bewust.
H
et we
rken aa
n de opgaven
maakt
dat bepaalde
er11aringen en kennis opgerakeld worden,
in
een
n
ie
u
w
li
cht
komen
te staan.
Dit
veroorzaakl
nieuwe
ervaringen, die
de
kennis u
i
t
breiden.
Meru
i
tzo
ndering
van
de
eerste opdracht, hebhen alle
opdrachten iets
te maken met
lichamelijk
e actir;iteiten,
ofwel
door
ze ze
l
f te doen,
of
w
e
l
door
re
fanraseren
over iemand die ze doet.
183
De
lt:ra
l
inge
n
wordt
niers
verte
l
d, ma:1r rr worden
Progeil
gcstrld
.
De kerlingt.>n worden aangemoedigd uit dt.>
verschillende situaties de esc;enriële elementen te halen.
Met andere woorden. zij
math<·mrlli~cn·ndt.>
gcmccnschappel~jke
elemenren en
h
un
relarics.
Wr.:
zu
l
len
nu
o
p
elk
van
deze
vil
·
r <ll11woorde
n
comment
a
ar
leve
r
en.
Ervaringen en kennis oprakelen
Er
i~een u
i
tsp
r
aak
dar
je
a
l
leen
kun
I
lerrn wat je a
l
weet. Dat is
een
paradox.
want
we weten
dat
wc nu
meer
weu:n dau roen we
vier jaar
ourl waren. Toch is er
een grond
van waarheid in de paradox. Wc vragen de
lczt.T ter
u
g
te
denken aan een
crvilring
waar hij
luisterde
naar een
u
i
rleg
of
ee
n
verklarende te
k
st
las,
wail
ri
n all
e
woorden
tot
bckcndt· dage
li
jkse
taal
behoo
rd
e, de z
inn
e
n
nie
r in
gewikke
l
d wa
re
n
en hij toch
(;(tt'
n
woo
rd
v
a
n
d
e uit
l
eg
bl'grC't'p.
Zo
i
ets
gebeur
t
er a
l
s
i
e
m
and
zonder
voorbere
i
ding
ck
tkfinitie van
een
cirkel te
horen
krijg!.
Zo
i
emand
wordt in
een situatie
geplaarst waarbij de
nieuwe
informatie in verband moeten wordrn gebrachr
met
de
basiselementen
van
her begrip cirkel en hun onderlinge
relaties. We (\\ijfdcn er nicl aan dm de
leerlingen
het
plaaye van
~:encirkel temidden van andere
plaaUes
kunnen
herkennen. Wc
geloven
dat
ze
bevredigend
k
u
nnen a
n
twoo
rd g€'ven k
u
n
n
en op
de volge
n
de
op
d
rach
t
e
n, maa
r
g
e
l
oven
ook
cl~11l
ij
z
i
ch
z
ond
er
die
opdrachten
niet
bewusr
zijn van
de
basisdementen
va
n
ht:l
d
r
kelbegrip
en
hun
onderling<>
r€'laties
.
Wc vragen de lezer ook terug te denken
naar
een
ervaring waarbij een uitleg vol\lrekt duideliJk was.
In
zulke gevallen
heeft
men
het gevoel dat
men
zich he1
een en ander niet rcalist·crcll'. maar eigenlijk allang
wist.
Het
kan ook zijn de
informatie
eehl nieuw
was,
m<~ardat het net
het
k
l
eine h<'l'I.ÎE' informatie
was.
dat
men
mis
t
e om
z
i
ch
bewusr
re
wo
r
den
en
t
e beg
rijp
e
n
w;
r(
m
e
n
eige
n
lij
k
al wist.
Zone van
naaste
ontwikkeling
De paradox dal
men
alleen kan
ler
en
wal men al weer.
kan opgelost worden met behulp
van
een begrip dat
ontwik.kdd is door de Russische psycholoog Vygotskii.
IE'dereen heeft een gebied van kennis. vaardigheden en
houdingen. waa
r
in hij
onat11ankelijk van ;.mderen
<~ntwoorden
k
an
geven en
prohiE'mrn kan oplossen
. D
il
geb
i
ed
n
o
em
t
Vygots
ki
i
i
ema
n
ds
zo
11
e I'CI
Il
feite/ijkt>
U
il
tw
i
kkel
i
ng
(zo
u
e of
netlint de
t
'('/op
m
ent)
.
V
olg
ens
Vygotsk.i
i
hebb
e
n mensen
ook een a
n
der
gdJit:
d
va
n
kennis
.
vaard
i
gheden en
houdin
gen
. die zij niet zonder
hulp van anderrn
kunnen ra
adplege
n.
omd<Jllij lich er
niet bewust van zijn. Dit
gebied
noemt hij de
zone 1
'(111
rraaste ollllllikkeling
(zone
of pro.rima/ det
•
dopment).
Om
de lOne van naaste ontwikkding te benaderen heeft
men de
hulp nodig van
iemand
anders. zoals een
le
r
aar,
een
medeleer
l
i
n
g.
een schoolhockauteur
.
De mondelinge
of sch
r
iftcl\jke
hulp
rn
aakr
dat
men
zich bewust
w
o
rd
!
vn
n de begrip
p
en,
d
eze t
•
x
p
l
i
rit"l
knn maken e
n
zodoende
d
e zo
n
e
van fe
ir
cl
i
jk
ontwikke
l
i
n
g kan
vergrote
n
.
Dit
i~een manier om u
i
t de paradox re raken: breng
leerlinf.(en in
~iwatieswaarin ..:lj hun zone van feitelijke
ontwikkeling kunnen uitbreiden met behulp van
begrippen waarvan zü zich niet
bewust
waren (omdat
die
in
de ;one v;m naaste omwikkeling lagen). Of. als ze
Lidt t·r wel bewust van waren. maar cle relaties tussen
de vcrschillende ell·mcntcn niet konden leggen. Dit kan
gebeuren met behulp van leidende vragen. ervaringen
.
opdrachten l'n cxplicitcringen.
In on' vo
o
rbeeld van de cirkel. in de tweede benadering
met negen opdrll<.:hten e
n
vragen, wordt er rekening
mee gehouden. dat leerlingen al een visueel beeld
hebbt·n van een cirkel en dar ze
dat
beeld in
relatie
kunnt·n
brengen
met he
t
woo
rd "
c
irk
e
l
: Van
hen
werd
vcrwacht
da
t
t.c een ci
rkel
te
midd
en va
n
ande
re
plaa~cskonckn
h
erkennen, ook al waren ze
zich daar niet
van
bewust.
De
ee
r
ste vraag breng
t
ze rot
die
bewu:.twording. leerlingen zullrn zich
niet realiseren
dat
(conswnH
.
•) afstand ee
n
essentiële
ro
l
s
peel
t
b[j het
h
egr
i
p drkel.
In
de vo
l
ge
nd
e opdrachten
wordt die rol
benadrukt.
Deze opdrac
ht
e
n
waren
ve
r
schillend van
llard
.
zoab
hi
eronder zal
worden
toege
l
i
clu.
In
so
mmi
f.W
s
i
tua
ti
e:.
b
de af<>tand
duidelijk
aanwez
i
g,
i
n andere
mot-~t
er c<.:n voorste
ll
ing van grvonnd worden
.
Op het
laatst werd van dt· leerlingen gevraagd re reflecteren op
wal tij hadden gedaan. om
w
uit hun ervaringen een
memaal hcl'ld te krUgen van de
afsraud
van
prmlt·u op
rle
cirkd
tol
een
r•asr pum.
Pa~daarna heeft de definitie
een grott•re
kan~om voor hen betekenis te krijgen.
lichamelijke activiteiten
leekreen weet en geloofT dat men geen vaardigheden
kan
verwl'rvt•n door uitleg. Dat
is
zeker hij motori:.che
vaardigheden. zoals Z\\emmen. schrijven
.
breien
.
lopen
.
p
r
aten. Me
n
moet
ze
7clf
doen en oefenen
.
Di
t
i:,
ook
het
geva
l met
intcllectuelr vaardigheden
.
zoa
ls h
et
oplosse
n
van t•en
tweedcgraad~ve
r
gel
ijki
ng, h
et
hewijz~uvan
d
e ste
llin
g
van
Pyth
<lgoras
.
Wij
stclh:
n dat. n
m
t
s
L
h
et le
ren van vMml
i
ghe
den,
ook
hct
h
:rcn va
u
L>cgr
i
ppcn, z
o
a
l
s
rir
kel,
p<trall
ell
o
gr
am. f
u
nl"li
c
.
sinus. crr:.H·graads vergeli
j
king
.
loodrecht.
ook
bevorderd
kan worden met lichamelijke activiteiten.
I
u opdrachten 6
en 7. en wellicht ook in 3, werd gevraagd een cirkel te
makert. De bclangrijksre reden
wa~niet om
hen
vaardigheid te geven in het hanteren van een in:,trument.
maar om hen motorische ervaringen
re
geven om hen te
helpen de vcrschillende elementen van een cirkel te
ontdekken, .dch voor te stellen en emtee om
te
gaan.
Toch h
t:r
hij het leren van begrippen een duidelijk
verschil met het leren van vaardigheden. In plaats van
zelf de lichamelljke activiteiten uir 1e voe
r
en, k.an men
t.idt ook voorstellen da1 men ze doet, of dar iemand
ander~ Ll'
dot:!.
li
et blijk
t
dat zu
l
ke gefan
t
aseerde
nctiviteiten ook kunnen ltelpcn.
In
ons voorbeeld was
dat
het
gtval me
t
opd
r
ac
ht
e
n
2
tol
5.
lii
er wo
rden
de
l
eerl
in
ge
n
i
n sit
u
a
ties
gch
raeh
l
rli
e ze
kunnen
h
erkl
·n
nt·n. en
door
die
herkenning,
zich te
iclenrific
eren
rnct
de
mensen
u
i
t
d<'
s
i
tu;
lli
cs.
Z
elfs als
die
men
sen
alleen in
dl'
ve
rb
eelding bestaan
.
lle1
h
erke
n
ne
n
van
de
:,ilucn
i
cs moet worden opgewekt e
n
on
d
ers
teun
d
door
rcllcctic l'n
da
t
gebeurt in op
dr
ac
h
t 8
.
1
'i
Vragen
in
plaats van
uitleggen
-
l
eren
door doen
In het bove
n
staande he
b
ben wc een lans gebroken voor
het
gebruiken van
handen.
armen of zelfs
her hele
lichaam bij het leren van beg
r
ippen. Doen is echter niet
be
p
erkt
101mo
t
orische acties.
Ab wc leerl
i
ngen ove
r
dingen vrage
n d
ie
n
iet vreemd zijn in hun
ervaringswerel
d. ku
n
n
e11 ze deze - met
geschikt
gekoze
n
v
r
age
n,
opdrac
h
ten e
n
o
pm
er
ki
nge
n
-t.e
l
fsta
n
d
i
g
onder
z
o
eke
n
of e
r
o
p r
etlccte
r
e
n zond
e
r
dal
de leraar al
l
e
s
verte
l
t.
Essentieel
hierbij is dat her
gcwc:n!.tc
resullaar sterk
albankelijk
is van twee
soonen -
of
to
men wil, twee
niveaus
-
van
vragen
en
opdrachten.
I
n het eerste
niveau wor
d
en de lee
r
lingen
uirgenodigd iers
te
doen
(zoals
in de vragen
1 tot en met 7},
teneinde
ge
r
eed te
zijn voor het tweede niveau (opdrachten 8 en 9) waarin
wordt
gevraag
d
te
rejle
c
reren op eigen en•aringen
ge
d
u
r
e
n
de het ee
r
ste ge
d
eelte
.
Het
d
oe
n
geeft
d
e
b
ou
wm
ate
r
i
al
e
n
v
o
o
r
d
e
re
fl
ec
ti
e
. In d
e e
ers
te
be
n
ade
r
i
n
g. waa
rin
de denni
ll
e
kant e
n
k
l
aar
meegedeeld werd, bleven de leerlingen verstoken
van
beide niveaus van
actie
en werd hen het droge
eindproduct gegeven,
zonder
persoonlijke
betrokkenheid
en daarom be1ekcnisloo:.
voor velen
.
Het
ontwerpen van een leertekst
Voor het leren van ee
n
nie
u
w beg
r
i
p
, stellen wij een
o
p
ee
n
vo
l
g
in
g
v
a
n
leererva
rin
ge
n
voo
r w
aa
rin
lic
ha
me
l
i
jk
e a
c
t
i
v
it
eiten (
ui
tgevoer
d
0r
ge
f
a
n
tasee
rd
),
toepassel
i
j
k
e vragen en opdrachte
n
en
l
eiding e
n
smring
door de leraar de cenrralc elementen zijn. Deze
elementen
weerspiegelen de
opvauing
dat her
leren
van
een
begrip betekent
I. de opbouw en verrijking van een mentaal beeld.
2.
het bewust worden van de
elementen
van het begrip
J.
van hun onderlinge relaties.
4
.
rencctie naa
r
ge
n
e
r
a
li
saties
en
abstracties
.
In
d
i
t
licht w
il
le
n w
e
n
og
m
aa
ls
d
e ve
r
seb
il
le
nd
e
op
d
rachte
n d
e
r
e
vu
e
la
ten
passeren.
Opdracht
1:
Her
k
enning van de naam en van de vorm
tem
i
dde
n
van andere vom1en. Dit vcronderstelt dat het
voor
herkenning gebaseerd kan
zijn op
algemene
kennis en niet noodzakelijk
op ex
p
liciete
wiskundige
definities.
Opd
r
acht
2: Onder
k
ennen van
het
feit
dat het maken
van een cirkel betekent dat
stecd'>
dezelfde touwlengte
genomen
mo
e
t
wo
rd
e
n. n
a
m
e
l
ij
k d
e consta
n
te afstand
lo
l
te
n
geg
e
ve
n pun
r.
Opdrac
ht
3
:
O
n
d
e
r
ke
n
ne
n
dat he
l
besc
h
ri
jven va
n
ee
n
cirkel
n
i
et
n
oodzakelij
k i
nhoudt dal die cirkel ook echt
gete
k
end
wordt. De breedte van de deur legt de nadruk
op
de
vaste afstand.
terw
i
jl de cir
k
el
alleen in de
fantasie wo
r
dt getekend.
Opdracht
4:
Als
opdracht
J.
maar in dit
geval
neemt
men het resultaat
waar,
terwijl
in 2 een activiteit
wordt
waargenomen. Een ander versch
i
l is dat men hier de
c
ir
kel ziet.
m
aa
r
d
e co
n
stan
t
e
al'stnnd en het
m
idd
el
p
u
n
t
m
oe
t
fa
n
tase
r
e
n
.
Opdrac
ht
5: Als op
d
racht J en <~Is zodan
i
g ee
n
voorbereiding op de abst
r
acric in
opgave
8
.
Opdracht
6
:
Als opdrac
h
t 2, waarbij de
constante
tuclidts nr.S /2001
af:.tand
en het middelpunt
zijn
vastgeleg
d.
Maar
hi
er
wordt de acriviteit niet
geobserveerd en
gefantaseerd.
maar
ook in
feite uitgevoerd.
Opdrac/11
7:
Hier wordt
alleen
het middelpunt
en
her
eindre!.ultaat
waargenomen. De
constante
afstand blijft
onzichtbaa
r
. Men moe
l
de siraal fanlaseren t1.
1
ssen de
twee
punten van de passer.
I
n he-t begin
m
oer ook de
resulterende
ci
r
k
el wo
r
de
n
gefantaseer
d.
Op
dr
ac
ll
t
8
:
R
e
n
ecr
i
e op
d
e
erva
rin
ge
n
e
n
a
b
srractie
va
n
de
ge
m
e
e
nschappel
ij
ke
e
l
eme
n
te
n
e
n h
un
onderlinge
relaties uit de vcrschillende contexten
.
Opdracht
9:
Formalisering
van
de resultaten.
Op het eerste gezicht mag dit
allemaal
wat
gecompliceerd
lijken
.
We
geloven ec
h
ter dat veel
èrvarcn leraren op deze manier werken zonder het in
zovt•el
woorde
n
uir te drukken.
li
et
is da<t
r
om.
gelove-n
wc
, ni
et al re
m
o
e
ilijk
lessen voor
I
e be
r
e
i
de
n
{o
f
lcl'T
l
eks
t
e
n t
e sch
r
i
j
v
e
n)
waa
rbi
j
b
ove
n
genoe
md
e
ideeën een
r
ol spe
l
e
n
.
H
et is
ook
niet a
l
te moei
lij
k
omdat er
niet vanuil ni
k
s begonnen hoeft te
worden.
We bevelen aan het voorbeeld
van
de
drkel
re
generaliseren tot een
heuris
t
ische strategie voor
het
kielen,
ontwerpen en gebruiken van activiteiten
in de
kla~. Men kanreks1en
uit schoolhoeken analyseren en
reflectere
n
op eigen lessen door v
r
agen te stellen
.
zoals:
-
I
s
er
i
n d
e
sit
u
atie (t
ek
st u
il
het
l
ee
r
h
o
e
k of
eige
n
lcsacliv
i
tei
t
) aa
nd
ac
h
t
b
esLee
d
aa
n h
erken
nin
g
?
-
Wat zij
n
de basiselementen van
h
et beg
ri
p en we
r
d
daar in de tekst
of
de les rekening mee
gehouden?
-
Wat zijn de relaties msscn de basiselementen en
we
r
d daar in de
tekst
of de Ie!. rekening mee
gehouden?
-
Welke
activiteiten werden er van
de leerling
verwacht?
-
I
s
er een goed evenwic
h
t tussen doen en
r
eflec
t
e
r
en?
Epiloog
We geloven dat de meeste, zo nie
t
a
ll
e, onderwerpen
u
ir
cle
schoolwis
k
unde
en
d
envezen kunnen worden
volgens de hier beschreven principes. Her maa
k
t e
r
her
leven
van
leraren
en te
k
stschrijvers niet
gemakkelijker
op.
Het kost ook veel tijd. Maar hel zou het onderwijs
wel meer afgestemd kunnen maken
op
de leerlingen en
meer rekening kunne
n
houden met hun behoeften,
achtergro
n
de
n
e
n
ca
p
a<:ire
it
e
n.
Atlri'Hfll t•all d~ twtt'llrS
Dr. Joop 11011 Dormo/cn, Re/rOl' 1/oroj'ch 48A. Haifa 34367,
l>rarl Uoop@tx.tec:llllion.ae.il)
Dr. A brolram Arcavi. Wcizman11 l11stiWic of Srienet·. D~parl·
mrnt
of Srirne~ T~aeiling. Rrltot•ol16100,
Jsrai'l(111 a re
a,.
i @u•iCC'ma i I. U'duna rw.
oe. i/)Noot
I
I1
Dilarrikr
l
is eerdc·r in liet EII[Jl'l~ Ierpublica
r
ic
not~gebo11en llllll lire Engelse blad r;oor wiskuntlclerllr('n Mat/Iemalies i11Sclluol rn in !tel Hebreeuws nott lt~t tvndiscile blad 1100r
wis-ktmdt'trrarcn
A/rit.[Kruimel(
![Schoeman, K. 1989. Olive Schreiner: 'n lewe in Suid-Afrika 1855 - 1881. [Boek resensie]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)