Cursus Hilbertruimten : 1957-1958

Cursus Hilbertruimten : 1957-1958

Citation for published version (APA):

de Bruijn, N. G. (1957). Cursus Hilbertruimten : 1957-1958. Stichting Mathematisch Centrum.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1957

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

'·

~--~~;\.

STICHTING

MATHE MA TISCH CENTRUM

2e BOERHAAVESTRAAT 4 9 AM ST ER DAM- 0. HR 1 Cursus Hilbertruimten door Prof .dr N.G. de Bruijn 1957-1950

B!BLIOTHEEK

8

511035.

T.H.EfNDHOVEN

'b

"<-'-\o~~l

Litteratuur: F. Riesz et B.Sz.NagyJ Le~ons d'Analyse fonctionelle,

2me 2d., Budapest 1953.

P.R. Halmos, Introduction to Hilbert space and the theory of spectral multiplicity, New

York 1951. .

A.G. Zaanen, Linear Analysis~ Amsterdam, Groningen

1953. .

B.Sz.Nagy, Spektraldarstellung linearer

transfor-mationen des Hilbertschen Raumes,

Berlin 19L~2.

1. Lineaire ruimten.

Def .1.1. Een lineaire ruimte is een additieve abelse groep R

waar-bij voor elke f ER en elK: complex getal A. een sea lair product

Xf ER is gedefinieerd, zodanig dat

\ ( f +g)

=

A f + A g , ( \ + µ) f = A f + µ f I A (I- f) = (A. µ ) f , 1 • f = f .

Gevolgen: O!f = O (het nulelement van R)) (-1)·f =-f.

Def .1.2. Het begrip reele lineaire ruimte is analoog gedefinieerd:1

met als enige verschil dat 11_{complex getaln veranderd wordt in}

11

reee1 get a 111 •

Opmerking 1.1. Elke (complexe) lineaire ruimte is ook als reele lineaire ruimte op te vatten door het gebruik van scalaire

produc-ten \ f te beperlrnn tot reele waa rden van A. •

Opmerking 1.2. Bij ruimten met eindige dimensie wordt door de onder opm.1 genoemde operatie de ditnensie verdubbeld. Het begrip

11_{dimensien wordt als volgt ingevoerd: Een basis voor een (com=}

plexe) lineaire ruimte R is een stel elementen

r

1, .•. Jfn ER zo

dat elke f ER te schrijven is als A.

1f 1+ ... +\/n (:x.. 1s complex).

(Niet elke lineaire ruimte heeft een eindige basis). Is er een

eindige basis5 dan is e~ ook een basis met minimaal aantal

ele-• _t. menten; deze basiselementen ziJn dan automatisch lineair

onafhan-kelijk (d.w.z. :x..₁

r

..

HR 2

A

1= •.• =t...n=0). Het aantal elementen is ·voor alle lineair

onafhan-kelijke bases hetzelfde, en dit aantal heet de dimensie van de ruimte.

Is

r

1, .. e.sfn een lineair onafhankelijke basis voor R, dan

is

r

1,ir1,r2,if3; ... ,fn,ifn een lineair onafhankelijke basis voor

de a ls reele linea ire ruimte opgeva tte ruimte (in da t geva 1 wordt

het begrip lineaire onafhankelijkheid anders geinterpreteerd, nl. als volgt: g

1, ... ,gk heet lineair onafhankelijk als ~

1

g

1

+ .•• H,kgk=0.,

met reele A. 's impliceert t...

1= ••. =A.k=O).

Opmerking

1.3.

Zander meer heeft het geen zin om in een complexe

lineaire ruimte over reele vectoren te spreken, Men ZOU dit wel

kunnen gaan doen, door bijv. een lineair onafhankelijke basis te

kiezen en dan alle reele lin~aire combinaties daarvan reeel te

noemen.

2. Ruimten met inwendig product (IP-ruimten)

Def.2.1. Een IP-ruimte is.een (complexe) ~ineaire ruimte R

waar-bij aan elk paar f ER, g ER een complex getal is toegevoegd, dat

we met (f ,g) aanduiden, en dat de volgende eigenschappen heeft:

(t-.f,g)

=

A.(f,g)

(f,g)

=

(g,f) , ( f, f) > 0 a ls f/O.

((g,,f) betekent de complex geconjugeerde van (g,f)).

Gevolgen: (f,/..g) = A.(f,,g); (f_,g

1+g 2 ) = (f.l'g1)+(f,g 2 ), (f,0)=(0,,g)=O,

(:':k~1;..kfk'

L:h:1µhgh) =.

rk~1

E h:1/l.kµh(fk,gh).

Def .2.2. 1(f,,f) heet de norm of lengte van

f~

en wordt met

l!rfl

c:iangeduid.

Stelling 2.1.

r!

11.fjl = jf.j ·

!!

f!i .,

Def.2.3. t:J_g of gj_f betekent (f,g)=O (dus (g,f)=O).

Def. 2. 4. f en g he ten even red ig a ls er een h E R is, en complexe

getallen A. enµ, z6 dat f= A. h, g= µh.

Voorbeelden van IP-ruimten. Voorbeeld 2.1. Zij n een vast natuur-lijk getal, en zij R de verzameling van alle rijtjes van n com-plexe getallen (a

1, ... ,an). Door optelling en scalaire

HR 3

"- (CJ. 1 ' • • • ' o:n )

= ( "-

0:1 ' • 0

' ' /...an ) '

wordt R een lineaire ruimte. Door het inwendig product van

(a~, .•. ,o: ) en (F~,

...

,~) te definieren door a

1

~

1

+ •.. +an~n' wordt

1 n 1 n . .

R een IP-ruimte.

Voorbeeld 2.2. Zij R de verzameling van alle continue complexe

functics op het gesloten interval [0~1]. f=g+h betekent

f(x)=g(x)+h(x) (OS. xs_ 1), en f= A. g betekent f(x)= A. g(x) (OS.x<1).

Hiermee is R een lineaire ruimte (tegelijk is dit een voorbeeld van een lineaire ruimte zonder eindige basis). Wanneer men verder

(f ,g) definieert door

r 1

( r ,

g)

=

j _

r (

x ) g ( x ) -

a

x ,

0 1

dan wordt Reen IP-ruimte. Merk op dat (f,f)=

J

!f(x)

!

2

ax

>

0 is,

tenzij f identiek nul is, dus het nulelement_vgn R is.

Wanneer we 11_{continu". bijv. vervangen door}

Riemann-integreer-baar; dan hebben we geen IP-ruimte meer, want dan kan (f,f)=O zijn zonder dat f identiek nul is.

Opmerking 2.1. Men kan ook het begrip reele IP-ruimte definieren, als een reele lineaire ruimte met een inwendig product (f ,g) dat

voor alle fen g reeel uitvalt, en aan de in def .2.1 genoemde

eigenschappen voldoet. Als voorbeelden kunnen we de bovengenoemde voorbeelden 2.1 8n 2.2 nemen, met beperking tot reele rijtjes en

reele A. 1_{s. Voorbeeld 1 wordt dan het bekende geval van de}

n-di-mensiona le euc lidische meetkunde, waarbij nu

II r!I

werkelijk de

lengte van de vector f wordt.

Opmerking 2.2. Wanneer men echter een complexe IP-ruimte R als reele lineaire ruimte opvat (zie opm.1.1) wordt het nooit een reele IP-ruimte (tenzij R slechts uit het nulelement bestaat). Is nl. fE R, f/O, dan is if ER, (if,f)=i(f,f)/o, dus (if,f) niet reeel.

Van nu af aan spreken we weer over een (complexe) IP-ruimte R.

Stelling 2. 2. Is f ER,

g

E R dan is

I (

f ,g)

I

s_

!lr!l · llgll (

ongelijkheid

van Schvm rz).

En

I

(-f ,g)j =II

r!I ·II

g

II

geldt dan en slechts dan als f en

g

evenre-dig zijn.

HR

4

Bewijs. Voor f=O zijn beide uitspraken juist (ellrn g is met 0

evenredig). We onderstellen nu ffO, dus 11~1

fo.

Zij A. een com-plexe variabele. Dan is

ll'-f-gll 2= (/1.f-g, /..f-g) =t..;_(f,f) -'A (f,g) -

~(g,f)

+ (g,g) -= (t..11

r11 _ .rg,r),. ( )l!r

II_

(r ,g))

+ !/g!!21!fll2-l(r,g)! 2 •

11

I

II

f

II

I . I. "

l l

f

II

II

f

11

2

Kies nu/.. =(g,f )/l!fl! 2• Dan blijkt dat

II g 112 11 f

!l

2 - I ( f , g ) I 2 = 11 fll 2 11 A f - g 112

>

0 ,

en het gelijkteken geldt slechts als g= Af, Dan zijn f en g evenredig. En steeds wanneer f en g evenredig ziJn is

!(f,g)j= l!fll~//g/!, want als f=o:h, g=~i1, dan is j(f,g)I=

I

o:f(h,h)I=

=I

o: l II

blJ ·

l ~/

!!hi!

=

11 f!l ·11 gll . .

Opmerking 2.3. Passen we st.2.2 toe op voorbeeld 2.1, dan vin-den we

I E1o:k~k ~ n - 12 E1 n I o:k

!

2 . E1 n I ~k 12 '

Stelling 2.3. llf+gll~IJflJ +!lg!!; !!f-gl!~l!~I

-

l!gl!I. In beide gevallen geldt het geJ.ijl{teken dan en slechts dan 'als f= Ag met

"-20 of als g=O.

Bewijs.

lJ

f+gl/ 2= ( f+g, f+g)= ( f, f) +( f ,g) +(g, f) +(g,g)=

=

llfl!2+2 Re(f,g)+

llgll

2

~

!!rll

2+2ll f!l

Ilg/!

+

Jlgll

2

=

(!lfll + /lgll)2•

Het gelijkteken treedt opals Re(f,g)=

II

~I ·llgll • Dus '.!(f ,g)

I

2. 2.l!fll

·It

gl!, en uit st.2.2 volgt nu dat l(f,g)j = !lr/J·l!gj/, dus

dat fen g evenredig zijn~ Bovendien blijkt uit Re(f,g)=l/f!!·flgll en

I

(f ,g)! =l!rll · llgll 9 dat (f ,g)=Jlf

ll·

llgll . Zij f= ex h, g= ~ h, hfO.i

dan vinden we

aj3!1111!2

= jal·flhfl. j

~l

·llh!I,

dus o:

~>O.

Is

·~

fo,

dan blijkt data. =t..~ met t...2_0. Hiermee zijn de uitspraken over

llf+g

II

bewezen.

We hebben nu verder

II

\211

=

!l(r-g)+gll

~

llr-g 11

+

llgll ,

11 g II

=

11 ( g-r)

+

r 11

~

llg-r I!

+

II r II

~

l I r -g 11

+

11

f

I! ,

zodat

l:f-gjl

zowel 2.llf

II - II

g!j als

2.llg!! -

!!

f

II

is. Het is dus

2.

I JI f II - II gl! l . Treedt het gelijkteken op en is bijv. II f 11 2. I Jg II ,

aan is II

rJ!

= 11

r-gll +II

g!I , aus g=o of r-g= µ g, µ 2.

o.

Dus f= 'Ag, /\

2.

O. Als

II

fl!<

II

g

II ,

komen we tot de conclusie dat f=O of g= /.. f, 'A

2.

0, en dat komt weer op hetzelfde neer.

HR 5

Def. 2.5. Een deelverzameling L van R heet een lineaire

deel-ruimte als voor alle fE L, g EL en alle complexe !... , µ geldt

~f + µgE L. L is (met de reeds in R bestaande definitie van

inwendig product) een IP-ruimte.

Def .2.6. Is Q een deelverzameling van R, dan is L

8 (Q) de

col-, N

lectie van alle eindige sommen van de vorm ~. ~A·q,

1= I 1 1

(N=1,2, .. ..,qi E Q, A.

1 complex).

Stelling 2.4. L

8 (Q) is een lineaire deelruimte. Als Q z~lf

reeds een lineaire deelruimte is dan is Le(Q)=Q.

Def

.2.7.

Een deelverzameling Q van

R

heet een

orthonormaal-systeem als llqll=1 voor alle qEQ_, (q

1.iq2)=0 voor alle

q1 ,q2 E Q"

Een orthonormaalsysteem heet·maximaal als het niet een echt deel is van een groter orthogonaalsysteem. M.a.w.: als

er geen f E R is met

rfo,

fj__q voor a lle q E Q. (Anders zou

f /

II

f

II

aan Q kunnen worden toegevoegd).

Stelling 2.5. Er bestaat een maximaal orthonormaalsysteem. Bewijs. Berust op het z.g. keuzepostulaat. Gemakkelijker toepasbaar is het daarmee equivalente Lemma van Zorn:

Heeft in een pa rtieel geordende verzameling L elke lineair

geordende deelverzameling een bovengrens in t , dan bevat E

een maximaal element.

Voor de elementen van t nemen we de

orthonormaalsyste-men van R, en de ordening wordt door de inclusierelatie gegeven. Van elke lineair geordende collectie van orthonor-maalsystemen is de vereniging wcer een orthonormaalsysteem, en di t lean a ls bovengrens fungercn.

Opmerking 2.4. Dit bewijs is niet constructief. We zullen echter later zicn, dat in het practisch zo belangriJke sepa-rabele geval een constructief bewijs gegeven kan worden.

Stelling 2.6. Zij Q een orthcnormaalsysteem in R3 en f ER.

Dan zijn er hoogstens aftelbaar vele q E Q met (f _,q)tf'o, en we

hebben

(Ongelijkheid van Bessel). (Het sterretje geeft aan dat de termen die nul ziJD moeten worden weggelaten_, zodat er een som van hoogstens aftelbaar vele termen ontstaat) .. De getallen (f,q) heten de

BR 6

Bewijs. Laat lq₁, •.. ,qn} een eindige deelverzameling van Q

zijn. Dan is, a ls a

1, •.. , an c omplexe geta llen zijn,

II

f -

z~akql{ll

2 = (f- rk:1akqk' f-

Ih~1ahqh)

=

·= 11 f 11 2 - r:

h~

1 a.h ( f, qh) - L:

k~

1 o:k ( qk, f ) + I

h~

1 ! (J. h I 2 =

Nemen we o:h=(f ,qh), en bedenken we dat het eerste lid

>

0 is,

dan vinde11 we

Laat

N

een natuurlijk getal

>llr!l

2 ziJn. Dan concluderen

we: hoogstens N van de

I (

f, q)

I

1 _{s zijn}

2.

_{1, hoogstens 4N ervan}

zijn

2.l,

hoogstens 16N zijn

2.J,

~nz. Dit levert een

aftel-ling van de van 0 verschillende (f,q)'s. Vervolgens: was

z*I(

f, q)

1

2

>!If II

2 > dan zou er reeds een pa rtiele sorri van

z~~

grater dan

llrl!

2 zijn, in strijd met' wat we boven vonden •

_.

Opmerking

2.5.

Zonder bewijs en zonder voorbeelden vermelden

we: Bet gelijkteken in de -ongelijkheid van Bessel behoeft niet te gelden. Bet geldt zeker niet voor alle f als Q niet maxi-maal is (kies bijv. voor f een element van een groter ortho-normaalsysteem). Als Q_wel maximaal is en Reen eindige

dimen-sie heeft, geldt het gelijkteken wel voor alle f, en ook als

Q maximaal is en Reen Bilbertruimte is. Bij andere R kan het

echter gebeuren dat Q en f zo te kiezen zijn, dat Q maximaal

is en niettemin het teken

<

geldt.

Stelling 2.7. Zij (q

1, •.. ,qn) een eindig orthonormaalsysteem

in R, en zij fE R. Beschouw

!If-

L. k~'1 akql{ll als functie van

de complexe variabelen o:

1, •.. ,o:n. Deze functie is strikt

mi-nima a 1 a 1 s o: 1

= (

f , q ₁ ) , . , . , a. n = ( f , qn ) •

Bewijs, Volgt direct uit de in het begin van het bewijs van

de vorige stelling afgeleide identiteit. Bet minimum bedraagt

li

I

r

ll

2 -

z

~

I (

r,

qh)

1

2

1 l .

Def .2.8. Zij ~ een afbeelding van R

1 in R2, waarbij R1 en R2

IP-ruimten zijn. 9 heet een isometrische afbeelding, als voor

alle f,gER

qi(A.f+µg) =A.<ll(f) +µcp(g),

(9(f), cp (g))= (f,g).

HR 7

R

1 en R2 het2n isometrisch als er e8n ceneenduidige

isome-trische afb0elding van R

1 op R2 b(::staat.

Opmerking 2.6. Een isometrische afbeelding van R

1 in R2 is

automatisch eeneenduidig. Uit ~(f)= cp(g)·valgt nl. ~(f-g)=O,

dus o;:(('P(f-g), cp (f-g))=(f-g_,f-g)=O, dus f=g.

3.

Topologie in een IP-ruimte

In dezc paragraaf is R weer steeds een IP-ruimte.

Stelling 3 .1. Als we de a fstand van f ER tot g ER definieren

door f-g , dan wordt R ean metrische ruimte.

Bewijs. l!f-gjl >0 als f/g-, en l!f-fl!

=

O (def.2.1 en def.2.2).

En stelling 2.3 garandeert de driehoeksongeliJkheid:

II

f-g

II

illf-h

II

+I! h-gll , aangezien f-g= ( f-h) +( h-g) •

De v66r stelling 3,5 uitgedrukte eigenschappen berusten

_.

uitsluitend op het fe.it dc:it R een metrische ruimte is.

Def

.3.1.

Zij Seen deel van R. De afsluiting van S (notatie

s)

is dan de verzameling van alle f ER met de volgende

eigen-schap: bij elke c:

>

0 is er een g E S met

!I

g-f

II<£ -._

Stelling 3.2. 1~ Sc.S; 2°.

s

1 cs, dan

s

1cs; 3°.

S=S

(S

bete-kent de afsluiting vans).

B • ' 1 Q 2 Q 0

• t • • l 1 o i=i ) ~ b • .. 3 Q \·T t

ew1Js. · en ZlJn r1v1aa_, a smeae 0 .:, .lJ . "!e onen

nu aan dat

ScS.

Zij fE

S,

£>0. Er is een gE S met llg-flj<~s.

Bij g is nu een h E S te vindcn rnc::t

II

g-hj! <~e. Wegehs de d

rie-hoeksongelijkheid is nu

Jlf-t-41<

s. Daa r E willekeurig was, blijl{t

dat fE S.

Def.3.2. Sheet gesloten als S=S • .

S he et open a ls 11,:;t c omplemcnt van S (no ta tie R '\. S) gesloten is.

Stelling

3.3.

S is dan en slechts da~ open als er biJ elke

f ES E;en £>0 bcstaat

z6

dat elke g met

II

g-fil<s

in

S ligt.

Bewijs. De in

ce

stelling genoemde voorwaorde kan ook als

volgt worden uitgedrukt: als f E S, dan is bet niet waar dat

er bij clkt--.:- e--,,.o een gE R'\.S bestaat metJjg-fl!<t:. M.a.w. als

fES, dan ligt f niet in R'\.S. Dus R'-.ScR'\.S, dus R"\S is

HR 8

Def.3.3. ZiJ S'1cS 2cR. S'1 heet dic~~t in

s

_{2 , als S2 cs'1.} M.a.w.

elke f E

s

₂ kan me

c

iedere gewenste graad van nauwl{eurigheid

door elementen van S'1 worden benad2rd.

Def·.3. ~,. Zij Sc R. S oee t sepa ra bel a ls ep een lloogstens a fte

1-bare deelverzameling TcS bestaat die dicht ligt in S.

Stelling 3.J1r, _{Zij S'1cS 2cR, en}

s

_{2 separabel. Dan} is S'1

sepa-rabel.

Bewijs. Zij ·rcs₂.:i T dicht j_n

s

2. Kies bij elke n (n= '1.:i2; ... )

en elke t ET een element stn E S'1 met llstn-tll< n-'1, als er zo een stn bestaat. Zo niet, dan kiezen we geen stn" De verzame-ling van alle gekozen stn's noemen we T'1. T

1 is hoogstens

af-te lbaa r 7 en T'1 c

s

₁• We la ten zien da t T'1 d icl1t in

s

₁ ligt.

Zij fE

s

1,, s >0. Kies

n>2£-1_{. Kies een tE T met}

_llt-f'll<

_n-1_·

Bij deze t en n is er een st gekozen. _{. n} Er was immers·minstens

een candidaat, nl. f. Nu is

-11stn-fll~listn-tll

+II

t-fll <2n-1< SJ

en stnE T_{1 .}

Opmerking 3.'1. Sommige van de hier aangegeven begrippen zijn

niet slechts afhankelijk van S doch 'oak yan R. We beschouwen

eens twee metrische ruimten R

1 en R2, met doorsnede R3• Voor

f ,g ER

3 zij de afstand van f tot g t.o.v. R1 dezelfde als t.o.v.

R3 •

Is SE R

₃

~ dan is de afsiuiting van S t.o.v. R

1 niet

nood-zakelijk dezelfde als de afsluiting t.o.v. R 2•

Voorbeeld 3.1. Zij R₂ de I?-ruimte van de continue functies op

[0,'1] (voorbeeld 2.2), en zij

n

1 de deelruimte bestaande uit

alle polynomen op [0,1] . Bij elke f E R₂ en elke £>0 bestaat

er een PE R₁ met jp(x)-f(x)j<e (O~ x ~1) volgens de

approxima-tiestelling van Weierstrass. Dus

II

p-f/j< E • R

1 ligt dus dicht

in R2 • De afsluiting van R1 t.o.v. R2 is dus R2, en de afslui-ting van R

1 t.o.v. R1 is R1 zelf.

n

1 is gesloten in R1, doch

niet in R₂• N.B. Voor opm. 3.2 zie p. HR 9o

Woorbee1·a:.·. 3. 2. Neem voor R₂ een tweedimensiona le IP-ruimte, en

voor R

1 een eendimensionale deelruimte. Neem S=R1. R1 is open

in R~.:i _{doch niet in R2 .}

Opmerking 3.3. De begrippen "s

1 dicht in

s

2

11 _en

!is

_separabel11

zijn kennelijk onafhankelijk van R. Opmerking 3.4. Is Sc R

1c R2, en S open t.o.v. R2, dan is S

..

HR 9 t.o.v. R'1.

Stelling 3.5. De uitdrukking

A.f+

f-!.g is een continue functie van A,µ ,f ,g. En (f ,g) is een continue functie van fen g. Bewijs. Zij f ,g ER,

A. ,

µ complex. Zij e > O. Als nu

0 0 0 0

jjf-f₀

ll

<b_,

llg-g

₀

11

<o,!;.__-A.J <

o,

Iµ-

µ

0 j

<

0 , dan is

I!

\f+

µg -

(t-~f

0

+ µ

0

g

0

)1!~

I A.

-1-0

P11rll +I

t-0

1

!lf-f0

II +

(idem

met µen g) < o(l!f

0

!1 +o) + oj

1-. 0 1

+ o

(lig0

1l

+

c)

+

o

jµ

0

j.

We kunnen dit < s maken door een

o

te kiezen met

O < 0 < '1 ' 0 _<

l

_{11 f} 01! +

I!

g 0 I l + I A 0 I + l P o l + 2 } -'1 e: • Verder is voor llf-f 0 11<0 ,

llg-g

0

11

<o:

j(f,g) - (f 0 ,g0 )l

=

j(f-f

0

~g-g

0

)

+

(f-f0 ,g0 )

+

(f0

;g-g

0 )

I

<

~;

o

2

+

l!g

₀

JI

o + ilf

0

ll

o.

Kies nu

o<

o

< 1 en 0< (1+

II g

0 1!

+II

r

0

!1

)-~ ..

Def.3.5. Zij f'1,f₂, ..• een rlJ elementen van R, en ook fE R.

We zeggen dat lim fn=f, of fn-+ f, als !'ifn-f!I _, O.

Stelling 3.6. Is fn-> f, gn- g, '-n-+ t- , µn.-. µ , dan is

Bewijs. Volgt direct uit st.3.5.

Opmerk_ing-75.2. Neem R19 R

2

~R

3

weervo}gensopm.3.1. Is ScR

3

~ S open in R₁ 9 dan behoeft' S niet open te zijn in R2 •

4. Zwakke IP-ruimten

WE; zull:::~n vn2 lt ruimten t0:genko:i1en die aan de eisen van def.2.1 voldo8n, met als enige tckortkoming dat slechts

(f,f)1

O geldt en niet steeds (f,f)> O voor alle rfo. We kun-nen dan steeds daaruit een IP-ruimte maken door een operatie die we samenttekking zullen noemen, en die eigenliJk betekent dat we restklassen vormen modt'.lo de deelruimte der f met.

(f,f)=O, of dat we twee elementen steeds identificeren als

het verschil de norm nul heeft.

Definitie 4.1. Een lineaire ruimte R beet een zwakke IP-ruim-te als er een inwendig product is gedefinieerd dat voldoet aan (f1+f2,g) = (f1,g) + (f2_,g), (f,g) = (g,f) , Met !If

II

1 bedoelen we weer (f,f)2. (11.f,g)

=

A.(f ,g) (f,f)>

o.

\

Stelling lf.1. In een zwakke IP-ruimte $eldtt!A.f!I=

It.I·

llfl!,

I (

r ,

g ) I

i.

II

r

!I ·

11 g 11 ,' II

.r

+g II

i.

l I

r

II +

I!

g II , 11

r -

gl I

1

I

11

r

II - 11 g

Ii

I

BewiJS.: zie st.2.2 en st.2.3. De uitspraken over de gevallen waarin het gelijkteken geldt, komen echter te vervallen. Stelling l~.2.

r

1 ER en

r

2 ER heten equivalent als llf1-r2

!1

=0. Deze equivalen'cierelatie is reflexief, symmetrisch en transi"". tief.

BewiJs. 1°. llf-fl! =!loll= O. 2°. Uit llr

1-f2

!1

=0 volgt

!I

r

_{2 -f 1}

!j

=0.

3°. Uit

II

f

1-r 2

!I=

0 en

II

f 2-f3

!! =0

volgt

II

r

1

-r

3 11 =0 wegens stelling l; .• 1 (f1-r3=(f1-r2)+(r2

.:..r

₃

n

Definitie 4.2. Zij R8 de collectie van alle equivalentieklas-sen bij de in st. lJ .• 2 uitgedrukte equivalentie. Zij cv

1 ER 8

_, s

9 2E R • Kies

r

1 E iJl1,,

r

2 Er;i2• Onder q1+ qi2 resp. A. c;i1 verstaan we de klas:aen waartoe

r

1+..f2 resp. /,f1 behoren. Onder

(cv

1, tp2) verstaan we (f

1

,r

2). Deze definities zijn toelaatbaar wegens: Stelling 4.3. ·~,

1

+ qi

2, .\r111 en (cr1, cp 2) hangen niet van de speciale keuzen van r

1 en

r

2 af. Bewijs. Kies oak

r,;

Ecp

1, f2E Cll2• Dan is !l(r_;+r2)-(f1+r2

)11

<

i

l!f,;-r

_{1 I!+ l!r2-r 2}!1 =0, dus r,;+r2 en r

1+r 2 be>JOren tot dezelf-de klasse. En !1Af1- :\f111

=!"-I·

l!r,;-r

₁11 =0, dus

"-f1

en A.f₁ b_ehoren tot dezelfde klasse. Tenslotte_is

I

(f1,f2)-(f

HR 1Af·

c

Stelling

4.4.

Ru is een IP-ruimte.

Bew i j s . We be w i j

z

en ·s 1 e c h t s d a t ( cp _, qi )

>

O (qi :/ 0 ) • He t is du id e

-liJk clat (cp,cp)2_0. Als (cp,(p)=O, en als fE cp, dan is (f,f)=O,

dus

!If-Oii

=0. Dus OE cp, zodat cp de nulklasse is.

Definitie 4.3~ R8 beet de samentrckking van R.

5. Hilbet'truimten

Def.5.1. Een rij

r

₁

,r

₂

Jr

3, ..• van elementen van een IP-ruimte

R neet een fundamentaalrij, als er bij elke E >O een N is te

vinden

z6

dat

!If -

_n f _m

II<

E voor a lle n

>

N, m

>

rI.

De rij l1eet convergent a ls er een f E R is met f _, f

n

( dus

II

f - f _n

II _,

0). Een convergente rij heeft slechts een limiet. _.

Stelling 5.1. Elke convergente rij is een fundamentaalrij.

I,

Def.5.2. R heet volledig als elke fundamentaalrij

_.

c6~vergeert .

Def.5.3. Een volledige,IP-ruimte beet een Hilbertruimte.

Voorbeeld 5.1. Zij S een willekeurige verzameling, en H~ de

u

colle~tie van alle complexe functies f op S met de eigenschap

dat f(s) voor hoogstens aftelbaar vele s ES van nul verschilt,

terwijl · 2:*

!

f(s) 12· convergeert (vgl. st.2.6).

Is nu fE H

8_, gE H8, dan is ook A.f+µg.EH8, want

L:j

A f ( s) + µ g ( s)

I

2i. 2

l

A

12

I'.'~

If (

s)

12

+

2

Iµ

12

z:'~

I

g ( s)

l

2

(gebruik

la+

P

1

2 = 2j a J2

+2j

P

I

2

-1

a -

~

!

2). En bovendien is

L:*f(s)g(S) absoluut convergent, want voor elke partiele som geldt

door

(zie opm.2.3). Het is nu gemakkelijk in te zien dat/ae

defi-nitie

(f ,g)

=

1:1(-f(s) g(s) , dus

II fl!

2

=

L::-1:-lf(s)! 2 ,

Hs een IP-ruimte ~~orclt. We bewijzen nu dat 11

8 volledig is.

Zij

r

1

,r

2, . . . een fundamentaalrij. Dus l!f11-fm 11

2

_<

e

Hierin is s de sommatievariabele. Kiezen we een speciale s

0 ES, dan blijkt door beperldng tot de term met S=s0 dat

0

I

f (s) _{n o -} f'(s )I'---<£ _{m o} (n>N(e), m>N(e)).

Dus de rij

r

1(s0) ,

r

2(s0 ) , ••• is een fundamentaalrij van

com-plexe getallen; en derhalve convergent. Noem.de limiet f(s

0) .

Door dit voor elke s

0 te doen, is f als functie op S

gedefi-nieerd. We laten zien dat f E H

3 . Zij { s1, ... ,sk

1

een ein<)ig

deel van S. Dan is

2: k

1

Houd s₁, •.. ,sk' n en£ vast, en laat m-oo • Dan blijkt

(n>N(e)).

Kies een e en een n

>

N ( £) . Dan is

omdat dit voor elke eindige deelsom geldt (dat er hoogstens aftelbaar veel termen -/0 zijn blijlct als in 'St.2.6). Dus

fn-f E HS' en derhalve f E H

3• Verder is 11.f-fn

II

2

i

£ . Dit

geldt voor clke £ mits n >N(e). We concluderen dat f

11 - f.

De fundamentaalrij is dus convergent.

Opm.5.1. Als S eindig is (aantal clementen n), is H₃ de in

voorbeeld 2.1 beschouwde ruimte.

Opm.5.2. In het biJzonder interesseren we ons voor het geval

dat S aftelbaar is. Als S de verzameling der natuurlijke

ge-tallen is, stellen we H

3 door H voor. De Hilbertruimte H

. 0 0

bestaat dus uit alle riJen van complexe getallen (a

1,a2, ... )

met

I;j

a . 12

<

oo •

J H

0 is bijzonder belangrijk omdat, naar later blijken zal,

elke separabele Hilbertruimte met H isometrisch is (zie def. _{. 0}

2.8).

Opm.5.3. Nemen we een willekeurige S, dan is in Hs de volgende

lineaire deelruimte R van bijzonder belang: Zij

Rs

de collectie

van alle complexe functies f op S met de eigenschap dat f(s)

HR

1~

eindig is, is Rs dus een echt deel van H₃. R₃ is een

IP-ruim-te (zie def.2.5), maar is niet volledig als S niet eindig is.

Elke f uit Hs is nl. gemakkelijk als limiet te schrijven van

een rij

r

1

,r

2, ... (fke R8). Deze riJ is een fundamentaalrij

in R

8, maar heeft geen limiet in Rs als f buiten R8 gekozen

is. R

3 ligt dicht in en daaruit volgt (st.6.3) dat H3 de

z.g. completering van R

8 is.

6. Completering van een IP-ruimte tot Hilbertruimte

In een IP-ruimte R behoeft niet elke fundamentaalrij een limiet te hebben. Het zal echter blijken dat we R kunnen ver-groten tot een ruimte waarin zulks wel het geval is. Wanneer

we deze ui tbreiding "zo ''zui_pig mogeliJk11_{nemen, zal blijken da t}

zij eenduidig bepaald is op isometrie na.

De situatie is te vergeliJken met uitbreidingsoperaties

in de algebra. Wanneer we ~en integriteitsgebied I hebben

(zoals dat der gehele getallen) dan kunnen we dat uitbreiden tot een grater integriteitsgebied K, waarin de deling steeds mogelijk is (dus een lichaam). K is zo zuinig mogelijk, als

er geen lichaam K₁ is dat I omvat en een echt deel van K is.

Een dergelijlce K heet een quotientenlichaam van I. ZiJn K en

K1 _{quotientenlichamen van I, dan is er een isomorfie tussen}

Ken K' die I elementsgewijs invariant laat. Bovendien geldt: ligt I in een lichaam K , dan is er binnen K steeds precies

0 0 .

een quotientenlichaam van I.

Het ging hier om completering t.o.v. de deling, die in I niet steeds mogelijk was. Een volkomen ana loge si tua tie

ont·-staa t bij een IP-ruimte, waarin het 11

nemen van de limiet van een fundamentaalrijn niet steeds mogelijk is.

Def.6.1. Een Hilbertruimte H heet een completering van de IP-ruimte R, als Re H, en als er geen HilbertIP-ruimte H

1 bestaat

met Re H₁ e Hs H

1fH. (De notatie Re H betekent hier dat R een

lineaire deelruimte van de IP-ruimte H is, in de zin van def.

2. 5) •

Is reeds bekend dat R in een Hilbertruimte H ligt, dan is er gemakkeliJk een completering aan te geven:

Stellin~ 6.1. Is Reen deelruimte van de Hilbertruimte H, en

R de afsluiting van R t.o.v. H, dan is R een completering van R •·

Bewijs. R bestaat precies uit alle f e H die als limiet van

een rlJ van elementen van R geschreven kunnen worden (zie def.

3~1). Daaruit volgt gemakkelijk (vgl. st.3.6) dat Reen

line-aire deelruimt~ van His. We laten nu zien.dat R volledig is.

Is

r

1

,r

2, ... een fundamenta8lrij in R, dan is het een

funda-mentaalrij in H. dus er is een f e H met f ..., f. Daar f ER, _{n n ·}

zien we dat fe R=R.

Onderstel vervolgens Re H

1 e R, H1 een Hilbertruimte. Zij

fE R, dan is daarbij een rij

r

1

,r

2, •.• met fn ER, fn-' f. Deze

rij is een fundamentaalrij, ligt reeds in H₁, en heeft dus ·

een limiet in H

1. Dus f E H1. Derhalve is H1=R.

Stelling 6.2. Is Reen IP-tuimte, H een Hilbertruimte, en RcH,

dan zijn de uitspraken nR gesloten t.o.v. H" en nR volledign

gelijkwaa rdig.

Bewijs. Uit st.6.1. Is R gesloten t.o.v. H, dan is R=R. R is

volledig, dus R oak.

Is R volledig, dan is Reen Hilbertruimte. Noem die even

H

1 • Dan is ReH 1 eR, waaruit volgt H1=R. Dus R=R.

Stelling 6.3. Zij Reen IP-ruimte. His dan en slechts dan een completering van R als H een Hilbertruimte is waarin R dicht ligt.

Bewijs. Is Re H, R dicht in H, dan is R=H, dus H is een

com-plete ring (st.6.1). Zij nu ReH, en H een comcom-pletering van R.

R is een Hilbertruimte. Noem die even H

1• Daa r Re H1 e H,

vin-den • W e u u n d R H

1=n, us

=

~.

Stelling 6.4. Is R cH (R een IP-ruimte, H een Hilbertruimte) _,'

dan is er slechts een complete ring H

1 van R met Re H1 c H, nl.

H1=R (afsluiting van R in H).

Bewijs. Dat Reen completering is, staat al in st.6.1. Zij verder H1 een willekeurige complete ring, Re H1 e H. Dus

Re H1 (H1 is de afsluiting van H1 in H), zodat Re H1 (st.6.2). R ligt dicht in H

HR

1S

Tot nu toe onderstelden we dat R in een Hilbertruimte lag. We laten nu dit gegeven vallen, en willen niettemin de existentie van een completering aantpnen.

Stelling

6.5.

Elke IP-ruimte R bezit een completering. Bewijs. We zullen construeren: een Hilbertruimte H met een deelruimte L.dicht in H, en een isometrie tussen Len R. His dus een completering van L, en daaruit volgt direct een com-pletering van R, nl. de ruimte die ontstaat door in H alle elementen van L te vervangen door de corresponderende elemen-ten van R en hetzelfde te doen in alle relaties f+g=h,

kf=g, (f,g)= a (voor zover die elementen uit L bevatten). Dit komt dus alleen op naamsverandering neer.

Zij K de collectie van alle fuhdamentaalrijen uit R. De som van twee fundamentaalrijen (f₁

,r

₂, ... ) en (g

1,g2, ..• ) (f₁ER, g₁ER) definieren we door (f₁+g₁

,r

2+g2, •.• ), en het

scalaire product A(f

1

,r

2, •.• ) door (~r

1

,~r

2

, ... ). Het inwen-dige product dezer fundamentaalrijen definieren we als

lim (f ,g ). Deze limiet bestaat, want uit

n__,oo n n ,

volgt gemakkelijk dat de rij (f₁,g₁

),(r

₂,g

2), ..• een fundamen-taalrij van complexe getallen is. Het is nu niet moeilijk te bewijzen dat Keen zwakke IP-ruimte is.

Zij H=K8 (de samentrekking van K, zie def .4.~. Bij deze samentrekking worden de naar nul convergente fundamentaalrijen tot het nulelement van H samengetrokken). Dus H is een IP-ruimte. Het element van H dat bij de samentrekkj_ng uit een cpE K

ont-staa t, noteren we door c;i 8 •

Voordat we de volledigheid van H aantonen geven we eerst L aan. Voor f ER zij cy f de fundamentaalrij ( f ,f, ... ). Schrijf

(cpf)8

=hr~ De col~ectie van alle hr's noemen we L. Lis een lineaire deelruimte van H, en de afbeelding f_, hf van R op L

is een isometrie ((hf,hg)=lim(f,g)=(f,g)).

L ligt dicht in H. Zij nl. h EI-I, h= <p 8, cp=(f

1,f2, •.• )E K,

en z i j t:

>

0 • Kie s N ( s ) z

6

d a t 11 f n -f m II

<

£ v o or n

>

N ( s ) , m

>

N ( £ ) •

11 h-h _g 112 = lim (fn-g'fn-g),

n ~co

en d a a r 11 f n -g 11

<

s is v o or n

>

N ( e: ) , is de z e 1 imi et

II

h-:-hg

II

_$.s , terwijl hg E L. L ligt dus dicht in H.

2

<

e: • Dus

Tenslotte laten we zien dat H volledig is. Zij

h( 1 ),h( 2 ), ...

een fundamentaalrij uit

H.

Kies bij h(n)

f(n)E R, z6 dat

een

(dit kan, daar L dicht in H ligt). Nu is ook h~(

₁

),h (_{2 ), ...}

een fundamentaalrij, en het is voldoende aan ~te to~en dat

deze nieuwe rij een limiet heeft (h (_'1), h ( 2), •.• heeft dan

de-zelfde limiet).

Wegens de isometrie tussen R en L geldt

II

hf-hg II=

II

f-gll .

We c,oncluderen dat (f(1 ) ,r(2 ), ••• ) een fundamentaalrij in _R is.

Noem die <p , en zij h= q:•3 • Nu is

en dit is

<s

_{als n voldoend groot is. Dus h f(n) ~ h,} q.e.d.

Stelling

6.6.

De completering van R is op isometrie na

eendui-dig bepaald. M.a.w. als R

1cH,1' R2cH2, H1 en H2

Hilbertruim-ten~ R₁ dicht in H

1, R2 dicht in H2, en R1 isometrisch met R2,

dan kan die isometrie tussen R

1 en R2 t~tl een isometrie tussen

H_{1 en H2 worden voortgezet.}

Bewijs. Is h

1 E H1, dan is daarbij een rlJ elementen uit R1 te

vinden die naar h

1 convergeert. Dit is een fundamentaalrij in

R₁. Daarmee correspondeert (via de isometrie) een

fundamentaal-rij uit R

2. Daar H2 volledig is, convergeert deze naar een

element h

2 van H2• Een tweede rij uit R1 die eveneens naar h1

convergeert levert ons dezelfde h₂ op (dit is in te zien door

de beide rijen tot ~~n rij te mengen). We hebben zo een

af-beelding van H

1 in H2. Daar elke fundamentaalrij uit R2

hier-bij aan de beurt komt, is het een afbeelding van H

1 op H2. Dat het een isometrie is volgt direct uit st.J.6. Dat deze een voortzetting van de gegeven isometrie tussen R

1 en R2 is,

is direct in te zien door fundamentaalrijen (f,f,f;···) te bekijken.

HR 17

7. Kwadratisch integreerbar(; functies op een maatrui1nte

Stelling

7.1.

De in voorbeeld 2.2 genoemde IP-ruimte R der

con-tinuci functles op [0,1] is niet volledig .

. Bewijs. ZiJ f(x) gedefinieerd door f(x)=1 (OS. xit),· f(x)=

=

O (~ < x

i

1), zo,da t f' niet tot H behooPt. Er is 2cl1ter een riJ

functies f E H aan te geven met de eigenschap dat

• .. ····. 1 n .

J

0 jf(x)-f11(x)!

2 _{dx __. 0. Daaruit bliJl-ct dat}

f

1_,f 2i • • • een

funda-mentaalrij in R is. Had dcz2 cen limiet g ER, dan zou

f" 1

·} jf-gj 2 dx=O zijn,

~at

onm9gsl1Jk is: Is

g(~)IO,

dan is er een

- 0 r a 2

a>~ te vinden met•

I

f-gl dx

>

O; is g(~ )Th dan is er een ana-: 1

) -=- 1

loog resultaat met 2e2n b<2.

O~merking

7.1.

Wanneer men i.p.v. continue met Riemann~integreer­

~are functies werkt (waartoe ecbter nog moet worden

samengetrok-door z.g. 1_inulfuncties1_{i met nul te identificeren), dan kan}

<men op ana loge wijze de onvolledigheid la ten zien. EnerziJdS lean

, . r 1 2

dat gebeuren door een onbegrensde f te kiezen met/

I

f(x)I dx

<

oo,

bijV. f(X)=X-'1/3

s

anderzijds door een begrensde

r'

O te ki2zen

, ' .

niet Riemann-integreerbaar doch wel Lebesgue-integreerbaar

... :..----=__:...;.._2. Met be'.·rnlp van Lebesgue-integralen komt men ech- __ /./ ·

een Hilbertruimte. Vooruitlopend op het resultaat

we_even de situatie: L₂([0,1]) i s de collectie van

alle meetbare functies f op [0,1] die de eigensclrnp hebben dat

1 _{jf(x)j 2dx}

_<

f

1

oo. We definieren (f,g) door. f(x)g(x)dx. Deze L2

is geen IP-ruimte5 want (f,f) kan =0 ziJn

°

zonder dat f=O is.

,.. 1

(f,f)=O betekent datj lf(x)j 2dx=O, of dat f biJna overal nul is.

Door samentrekking onBstaat een IP-ruimte en dat is in dit geval een Hilbertruimte.

Hetzelfde resultaat kan worden verkregen als we het

inter-val [O s 1

J

(met gewone Leb2sgue-maat) vervangen door een

wille-keurige maatruimte.

~ij zullen ec~ter een geheel zelfstandige weg volgen,

waai-biJ we de resultaten van de maattMeorie niet gebruiken: de

inte-gralen zullen warden ingevoerd door middei van completering van een IP-ruimte.

HR

18

Opmerking

7.3.

Ter geruststelling·kan warden vermeld dat de in

7.1

genoemde IP-ruimte dicht ligt in de in het begin van opm.

genoemde Hilbertruimte.

D~finitie

7.1.

ZiJ X een willekeurige verzameling. Een niet-lege

collectie r van deelverzamelingen van X heet een semiring als,

voor elk paar A

Er,

BE

r,

zowel de doorsnede A;' B als het

ver-A B als een disjuncte som van eindig vele verzamelingen

r kan warden geschreven. (Hetzelfde geldt dan automatisch

de vereniging A B).

ld .1. X=(-oo, oo); r ~estaat uit 1° de lege Verzameling,

---en alle halfopen intervallen (a, b] (- oo

<

a

<

b

<

oo).

Opmerking

7.4.

Def.

6.1

is iets beperkter dan de overeenkomstige

de cursus Lebesgue-integrat~e (Eindjoven

1957-

1

58,

~erder _met

LE aangeduid, def. 1.1.5), doordat "aftelbaar vele11

door neindig

leu is vervangen. Voor de practijk is def

.7.1

echter

ruim-schoots voldoende.

Definitie 7 .2. Een functie µ die aan elke A Er een

gegenerali-seerd getal µ(A) (met

Oi

'µ(A)i_oo) toevoegt, heet een maat op

r,

als µ(0)=0

(0

stelt de lege verzameling voor), en als voor 00

.ft>; elke disjuncte split sing A= f=~ A

1 (A Er, Ai Er) geldt µ(A)=

- L:~ µ(Ai). ( µ heet dan totaal-additief) .

.

:-'~ ~ ;.

". Definiti·2 7 .3. Voldoen X, r en µ aan de eisen van def. 7 .1 en

def.7.2, dan zeggen we dat (X,

r,

µ) een maatruimte is.

Voorbeeld 7.2. Zij X een deelinterval van (- oo, oo ) , en r de

col-.lectie van alle ~alfopen deelintervallen (a,b] van X, plus de

lege verzameling. Zij g een re~le (overal eindige) monotoon

niet-dalende functie op X, en defini~er µdoor µ{(a,b] )=g(b+)-g(a+).

(Met g(b+) wordt de rechterlimiet van gin b bedoeld). Dan is (X, r , µ ) een maatruimte (Stieltjesmaatruimte. Zie LE blz .14 en ·. blz. 66) •

7.L!-. ZiJ (X, r ,µ) een maatruimte. Onder ee11 speciale

---'--trap fun c tie verstaan we :een functie die een lineaire combinatie ( c omplexe c oeff ic :1-e.nten) van eind ig vele XA. 's is, i-Jaa rin

slecllts A₁1 _{s opt red en met eindige ma at ( X Al is de ka ra}

kteris-tieke functie van f._: X A (x)=1 als x E A, en anders O). De

collec-tie van alle speciale trapfunccollec-ties stellen we door T voor (vgl. LE blz.!rO, daar werd ecl1ter T* gebruikt i.p.v. T).

HR 19

Is tE T, t= 2:b, XA (eindige som), dan definieren we

l .

J

X t(x)d µ = 2: biµ (Ai).

(~emakkelijk

is aan te tonen dat deze

definitie onafhankelijk is van de voor t gekozen splitsing in

·karakteristieke functies, vgl. LE blz.42).

Stelling 7.2. Me~ de triviale definitie van som en scalair

pro-duct wordt T een lineaire ruimte. Is verder t

1 E T,, t 2 E 'I' dan ligt ook t

1t 2 (d.i. de functie die in een punt x de waarde

t

1(x)t 2 (x) aanneemt) in T. Definieren we

r

(t₁,t_{2 )}

=jx

t ₁(x)t₂(x)d µ,

dan wordt T een zwakke IP-ruimte.

Opmerking 7.5. Het woord"zwakke" mag niet worden weggelaten,

want het kan gebeuren dat r niet-lege A1_{·s bevat met maat O.}

Definitie 7.5. De samentrekki~g van T noemen we T8 , en de

com-pletering van T8 stellen, we doot' ·L

2 (X, r , µ ) voor.

Opmerking 7.6. De elementen van deze L

2 zijn abstract

gedefini-eerd (zie st.6.5), en stellen dus nog gee~ functies op X voor.

Het moeten ook geen functi,es word en, maa r zekere equi va lentie-kla ssen van functies (vgl. opm.7.2). We zullen nu dus eerst een

equivalentiedefinitie voor functies op X geven~

Defini tie 7. 6. Zij (X, r , µ ) een maa truimte. We z~ggen da

t

een

deelverzameling S van X de maa t O heeft (no ta tie µ (S )=0) a ls

er bij elke e: >O een rij A

1,A2, •.. (A1 Er) is te vinden met

co

co

2: µ (A.)

<

£ •

1 l

Stelling 7.3. Heeft elk van de verzamelingen Si (i=1,2; ... ) de· maat O, dan heeft ook de vereniging de maat 0.

Definitie 7.7. Twee op X gedefini~erde functies

r

1 en

r

2 heten

equivalent a1s de verzameling van alle x met

r

1(x)lf2(x) de

maat 0 heeft. (Men zegt dan ook dat f

1=f2 (p.p.), of dat f 1

-r

2

bijna overal nul is). Deze equivalentie-relatie is symrnetrisch~

reflexief en transitief. De collectie van alle

equivalentieklas-sen stellen we door ~ voor.

Opmerking 7.7. Met de voor de hand liggende definitie van som

en scalair product wordt ~ een lineaire ruimte.

Opmerking 7.8. Zijn t₁ en t ₂ trapfuncties die warden

ge!dentifi-ceerd bij de samentrekking van T tot T8, dan ziJn ze oak

HR 20

We zullen nu L₂ (X, r , µ ) in

w

in bed den.

Stelling

7.4.

Is t₁,t

2,t

₃

, ...

een fundamentaalrij in T, dan is

er een deelrij die voor bijna elke x convergeert. Dit wil

zeg-gen: er zijn natuurlijke getallen n₁,n₂, ... , en er is een S cX

met µ (S)=O z6 dat voor elke x EX'- S de rij t (x),tn (x), •..

n1 2

convergeer'c.

Bewijs. Kies nk' z6 dat nk

>

nk-'1 (a ls k

>

1 is) en z6 dat

II

tm-tn

II

<

2-2k is voor a lle m

2.

nk, n

2.

nk. Di t legt de deelrij vast. Gemakshalve nummeren we deze opnieuw: we vervangen t

2k nk

door tk. Nu is dus lltk+'1-tkll < 2- •

Zij a positief, t ET,

l!tH

< a2• Eriseen eindig aantal

dis-juncte A.Er aan te geven op elk waarvan t(x) een constante

l '

waarde

fo

heeft. Op sommige Ai's kan lt(x)J >a zijn, maar daar

r

jt(x)j 2dµ

<

a4 is, is de som van de.maten dezer A. 's kleiner

x 2 . l.

~' dan a • Stel de vereniging dezer A. 's door U( t; a) voor.

. l

Als x zo gekozen is dat 't

1(x),t2

(x), ...

niet convergeert,

dan is oneindig vaak

I

tk+₁(x)-tk(x)

I>

2-k, dus x ligt in

onein-dig vele der Uk' waarin

Uk=U(tk+'1-tk;2-~).

Voor elk natuurliJk

getal N geldt dus oat de. verzameling der x waarvoor de rij

divergeert,kan warden overdekt door de vereniging van UN,UN+'1'""~ .

Dit is een vereniging van aftelbaar vele Ai Er, en de som der

-2N -2N-2 •t d .

maten van deze A. is <2 +2 + ••.• De ui zon

er1ngsverza-1

meling heeft dus de maat O.

Stelling 7.5. Zij gEL

2

(x,r,

µ).Kies een rij s1,s2_, ... (siETs)

met l!s.-g!l~o. Kies uit elke s. een t.E T. Kies van t ₁,t₂, ....

l l l

een deelrij die voor bijna alle x convergeert, en noem de li-miet f(x) (definieer bijv. f(x)=O als de lili-miet niet bestaat).

Zij ~ de equivalentieklasse van f. Dan is ' onafhankelijk van

de zoeven gemaakte keuzen. De toevoeging van g- ~ is een

lineaire een-eenduidige afbeelding van L₂ in r~ . • Bij deze

.af-beelding gaat elke s E T8 in zijn eigen functieklasse over (nl.

in de klasse van t, als teen willekeurig element vans is).

Bewijs. Dat ~ niet afhangt van de drie gemaakte keuzen blijkt

als volgt. Zij (na het aanbrengen van een nieuwe nummering)

l!s₁-gjj - O, l!si'-glj ~ O, t 1Es1, t1 1 Esi'' t₁(x) ~r(x) (p.p.), t_1.1_(x)-f1_{(x) (p.p.). Noem s.-s.'=s.", t,-t.'=t.} 11 • Dan is (' l l l l l l llsi"ll - O, dus

JI

t₁11 (x)! 2dµ - O en t ₁"(x) - f(x)-f 1 _{(x) (p.p.).}

Door op een dee1rij over te gaan kunnen we bereiken dat

HR 21

·4"

11t

1

."ll

<2-1

. Deze rij mengen we met nullen: t.",o,t

2 11 ,o,t 3 11 , • • • • l -2k

Stell€m we deze door v

1, v 2, v ₃, •.. voor, dan ge ldt

II

v k+1-v k

II

<2 •

Volgens het bewijs van st.

7.4

blijkt nu dat vk(x) bijna overal convergeert. Daaruit volgt dat tk11 _{(x) bijna overal naar nul} con-vergeert, dus f(x);f'(x)

(p.p.).

Dus fen f' liggen in dezelf-de klasse.

De lineariteit van de afbeelding g-> qi volgt gemakkelijk uit het feit dat t,.(x) _.f(x) (p.p.) en t. '(x)-f'(x) (p.p.)

l l ..

impliceren dat f..t.(x)+A.'t. '(x)-; A.f(x)+ A.'f'(x) (p.p.) (st,

l l .

7. 3) .

Het kost enige moeite om de een-eenduidigheid van de af-beelding aan te tonen. Daartoe moeten we laten zien: Is

t ₁₅t

2, ••. een fundamerJtaalrij in T, en is t 1(x)-.; O (p.p.),

dan is

I!

t

1 11 __. O.

Neem het tegendeel aan. Dan is er een p > 0 zodat oneindig vaa k II t i 11

>

p. Door op een dee lrij over te gaan bereiken we da t het voldoende is om een tegenspraak te ver1{r.ijgen uit de gege-vens: t

1,t2 , ... is fundamentaalrijJ lit111.> 1 (alle i),

ti(x)-> 0 (p.p.).

Door weer op een deelrij over te gaan kunnen we bereiken dat i!t_{1-t 2}

!1

+

llt

₂-t

3

!1

+ .•• convergeert, vgl. bet begin van het

bewijs van st.7.4., ~n door daarvan een beginstuk wag te laten bereiken we een nieuwe rij t

1st2, ••. die voldoet aan

Daar> t

1 een tPapfunctie is, is er esn eindige M>O met

I

t

1(x)

Ii_

M(x EX). En er· is een eindig,=: disjuncte som .S= _E~Aj

(AjE r) zo dat t₁(x)=0 als x buiten S ligt_,, terwiJl :E~1 .p; (Aj)=

=K (oo is. Wegens llt

1 jl >1 is M>O, K>O.

Zij t~ ET gedefinieerd door t~(x)=min(

I

t

1 (x)

I ,. . ->I

tn(x)! ) .

Dan is M2. t~(x) 2. t~+

1

(x), t~(x)-<· O (p.p.); t~(x)=O buiten S, en l!t~!I

>!.

Dit laatste blijkt als volgt:

dus

+

It

n-1 ( x)

-t

n ( x)

I

2.

It

1 ( x)

l .

:c

HR 22

. "

1-Zij Sn de verzameling van alle x ES waarvoor t~(x)

<

(8K)-2

• Dan is

Sn is een disjuncte som van elementen van r, onder µ(Sn)

wordt de som v,an de ma ten daa rvan verstaan). Dus

µ (Sn)

<

µ ( S) - ( 8M2) -'1 .

We hebben

s

1cs2 cs3 c . . . . Hegens t;,(x)-70 (p.p.) ligt bi j n a e 1 ke x E

s

in

e

en de r

s

n .

z

i j A 1 , A 2 J • • • e en r i j (Ai

E

r )

waarvan de vereniging de uitzonderingspunten bedektJ met

Eµ(A

1)

<

(8M 2

)-1• Nu wordt de gehele S overdekt door

en de som der maten van dei8 stukken is

<

µ(S). Dit is in

strijd met het feit dat µ totaal~additief is (tot nu toe werd

steeds slechts de additiviteit gebruikt, hier wordt voor het eerst de totaal-additiviteit uitgebuit).

Hiermee is de ~~n~~nduidigheid aa~getoond. Tenslotte

gaan we na wat er met een s E T8 gebeurt. s is een klasse van

trapfuncties die twee aan twee equivalent ziJn in de zin dat het absolute kwadraat van bun verschil de waarde nul heeft

(::::ie def .7.5). Orn het beeld vans in

w

te vinden mogen we

s=s

1=s2= ... nemen. Zij teen trapfunctie uit s, dan kunnen

we de fundamentaalrij t,t.:.··· gebruiken; deze convergeert

overal naar t. Het beeld van s is nu de klasse van alle fun~­

ties f met de eigenschap dat f(x)=t(x) (p.p.). We vinden

bo-vendien (wat oak gemakkelijk direct te bev~iJzen is):

Als t 1ET, t 2ET dan is

f!t

1(x) - t2( ,)

i

2 dµ =0 <i

~

t 1(x)-t 2 (x) = 0 (p.p,). I

Definitie

7.8.

Daar L₂

(x,r,µ)

als completering van T8 toch

alechts op isometrie na was gedefinieerdJ mogen we aan de

ele-menten ervan nog een concrete betekenis geven: elke g E L

2

(x,r

,µ) ·

interpreteren we als de in st.7.5 daarmee corresponderende ~.

Daardoor is een deelruimte van ~ tot Hilbertruimte gemaakt,

HR 23

Opmerking

7.9.

Eigenlijk zijn de elementen van T geen

ele-menten van ~ . Voortaan moeten we onder een element van T

verstaan: een klasse van functies op X die bijna overal ge-lijk zijn aan eenzelfde speciale trapfunctie.

'

Definitie

7.9.

Een op X gedefinieerde complexe functie f

heet kwadratisch integreerbaar (t.o.v. r enµ) als f tot een

equivalentieklasse cp E L2(x;r,µ) behoort. Zijn

r

1 en

r

2

kwa-dratisch integreerbaar. dan defini~ren we de Lebesgue~inte­

graal van

r

1

r

2 door

Tr

1(x)r2(x)dµ =(cp1,cp2), waarin cp1

,cr

2

de met

r

1

,r

2 correspoftderende klassen zijn. We zullen i.p.v.

(cp₁.,qi

2 ) ook wel (f1

,r

2 ) schr>ijven. (na ·aeze definitie vorm~n

de kwadratisch integreerbare functies'een zwakke IP-ruimte).

Opmerking 7 :'lO. Van hieruit kan de theorie van de

Lebesgue-integralen geheel worden opgebouwd. I-Iet is echter vervelend dat voor dit doel de ruimte X nog in stukken moet worden

ge-knipt en ook functies ii1 stukken moet•en worden gesplitst.

Dit zou in mindere mate nodig geweest zijn als we de

comple-tering van de metrische ruimte T8 hadden uitgevoerd met de

afstandsdefinitie fltjdµ i.p.v. met

(fltl

2

dµ)~.

Definitie 7.'10. Is EcX, en is XEc12 (x,r,µ), dan heet E

meetbaar _, en de maat van E definieren we door µ (E)=

II

X E

II

(a ls EE r , dan stemt di t met de oude definitie overeen). Een

disjuncte som van zulke E's wordt ook meetbaar genoemd, en als maat wordt de som van de maten van deze stukken genomen

(de maat kan dus oneindig zijn).

Opmerking 7.11. We noemen nog een paar dingen die gemakkelijk

af te leiden zijn: 1°. Is fnEL2 , fEL2J

ll

f-r

11

r1~0, dan is er

een deelrij der f-fn die p.p. convergeert. 2°. Is AiEr,

L: ~ µ ( Ai )

<

oo,

E j _{meet ba a r , E 1c E 2c . . . c} L: ~ µ (Ai ) , d an is o o k lim E. meetbaar. Hieruit volgt dat de meetbare verzamelingen

J

een sigmaring vormen (LE blz.10).·3°. Is fEL₂, f reeel, a

reeelJ dan is de verzameling der x met f(x)> a een meetbare verzameling.

----~---_ --~:.._ __

-..:_-HR 24

8. Orthogonaal complement Definitie 8.1. Als Ren R

1 IP-ruimten zijn, met RcR1, dan wordt de verzameling van alle f E R

1 met fj_R (d .w.z. fj_g voor alle g E R) het orthogonale complement van R in R

1 genoemd.

Not a tie R

1 .e.. R.

Stelling 8.1. 'R

1 -e. R is een lineaire deelruimte van R1, die

ge-sloten is in R

1• ,

Bewijs. Uit

r

1l_R, f 2j_R volgt direct dat elke lineaire

combi-natie van

r

1 en

r

2 loodrecht op R staat.

Zij nu fn ER

1.Q.R (n=1,2; .••

L

fn->fER1• Voor ellce gE R

is (fn,g)::O, dus (f,;g)=O. Dus fj_R, zodat fE R

1.o.R.

Stelling

8.2.

Als R de afsluiting

van

R in R

1 is~ dan is

R

1 -e. R=R1 ..o, R.

Bewijs. Als fj_R, dan ook fj_R. Als fj_R, dan is (f,g)=O voor elke g E R, dus ook ( f ,g )=0 voor elke g E

·R.

Stelling 8 .3. Als R c R

1, en R volledig is ( dus een

Eilbert-ruimte is), dan is

R 1 = R + (R1 .o.,R) R 1 ~ ( R1 e- R) = R. (directe som); en BewiJS. Zij f E R

1, en d=inf llr-gl! • We kiezen een rij g1 ,g2, .•.

gER

met gn E R, 11 f-gn II _,. d. Op grond van de betrekking

;11111+h21!2 + llh1-h21!2 = 2 !1111 112 + 2 lih2ll2

voor elementen h

1,112 van een IP-ruimte (= formule voor de lengte

van een zwaartelijn in een driehoek) geldt

Daar

II

f-~(gn+gm)ll

2.

d is, vinden we dat bij gegeven £ een N kan word en bepaa ld z6 da t voor n

>

N, m

>

N geldt

!

I gn -gm 112

<

2 ( d + e:) 2 + 2 ( d + e:) 2 -

l~d

2

=

8 e: d + 4 £ 2 . Bijgevolg is g

1Jg2, ... een fundamentaalriJ. Daar R volledig·isJ is er een g i: R met g _,g. We zien nu dat llr-gll= lim

II

f-g

II

=d.

n n

HR 25

complexe geta llen >..

II

_{1f-g +Ah}

11

2 11 ;

12

I

2.

j1f-gj :;

dus °I(f-g,h) +A. (h>f-g) +I A. j2(h.ih) 2_0. Door A. =-t:(f-g_,h) te kiezen vinden we cl.at £!(f-g:h)

!

2(t:(h,h)-2)2_0.; dus door ervoor te zorgen:; dat, £

>

O, £ (h,h)

<

2J vinden we dat (f-g,h)=O.

We hebben nu aangetoond dat elke fe _. R~ _I te schriJven is als f=g+(f-g) met ge R} f-g E R

1 -G-R. Dit lean rnaar op

eeri

manier. Is

nl. ook f=g'+(f-g 1

L

_{g' e R, f-g' e R}

1 -&-Rs dan is g-g'=

= (

f -g f ) - ( f -g ) E R1 .Q. R; d us g-g 1

_!

HJ c:: us g-g I J_g-g I :; d us g-g I =0 .

Nu is bewezen dat R

1 directe som van Ren R

1

~R is.

De tweede beweril!g volgt hieruit gema kkeliJk. Zij f f R.

1,

fj_(R

1-&-R). We splitseD f=g+h,, gER} hE(R

1

~R). Aangezien

gj_ (R

1 -B- R):; is nu ook f-g=l~j_(R

1

-0 R)} dus hJ_h" dus · h=O. Du3

feR. Omgekeerd geldt: als fER dan is f._l(R

1

~R).

Opmerking

8.1.

Men kan zich afvragen of althans het tweede ge-deelte van st.8.3 (dat uit het eerste deel volgde zonder van de volledigheid van R gebruik te maker:) oak uit andere veronder-stellingen beweze:·1 kan worden. Men Irnn proberen

1°. R gesloten in R

1 (als R

volledi~

is, is dit automatisch

vervuld)J doch dit blijkt niet afdoende te ZiJn (voorbeeld

8.1).

Oak kan men proberen de voorwaarde

2°. R

1 is ecn Hilbertruimte.

Als R gesloten is in R

1J dan is R volledig (st.6.2), zodat st.

8.3 kan worden toegepast. Als R niet gesloten is, is Rd-G-(R

1 -&-R)fJ1,

want het linkerlid is w~l gesloten

(st.8.1).

Dus ook 2 is niet · afdoende. W~l geldt echter:; als R

1 een Hilbertruimte is> dat

R

1-e- (R1 -e-R)=R, want R1 -e-(R1-e-R)=Rs aangezien R volledig is (st.

6.2):; terwijl R

1-0-R=R1-G- R (st.8.2).

Voorbeeld

8.1.

We beschouwen de numericke Hilbertruimte H

0 (zie

opm.5.2). Daarin nemen we de deelruimt2 R

1 van alle rijen

(a

1J«2, ..• ) waarin slechts. eindig vele a'.s van nul verschillen. (zie opm.5.J). Kica in H

0 een element dat buiten R1 ligt, bijv.

-2-1 -2 -3 ) T • ( ..c> I ( ) l

b- ,2 52 , • • • • },eem nu R=l.t i f eR

1, fJb =OJ •

R is gesloten in R

1. Want a ls f n E R, f n ->f, f E R1, dan is

(f..,b)=lim(f ,b)=O~ zodat f ER. l·J2 laten vervolgens zien dat

n

R

1 -e-R=O (zodat de uitspraken van st.8.3 niet doorgaan). Zij

HR 26

gER

1-e-R. Dus gER1-, zodat g de vorm (a1>···>an_,O,O_, ... ) heeft.

Kies nu h=(a,.,, •.. ,a ,a +,.,,0,0, ... ) z6 dat (h,b)=O (neem

2 1 n n , .

a ,.,=-2a. -2 a. ,.,- ••• -2no:,.,). Nu is h ER,., en (h;b)=O, dus hE R.

n+ I n n- I I I

Daa r g E R

1 ~ R.~ is ( g > h )=0. Wegens de spec ia le vorm van g en h

is (g,h-g)=O> zodat nu (g,g)=O, dus g=O.

9. Orthonormaalsystemen.

We zetten de beschouwingen uit §2 voort (st.2.4 en verder).

Definitie

9.1.

Een orthonormaalsysteem Qin e2n IP-ruimte R

beet volledig~ als L

8(Q) (zie def .2.6) dicht ligt in R (het

woord 11

volledig11

is hier gebruikeliJk, ofschoon het niets te

maken heeft met het in def .5.2 en verder gehantserde begrip).

Stelling

9.1.

Elk volledig orthonorm22lsysteem in een IP-ruimte

is maximaal.

Bewijs. 1°. Zij Qc R, Q een volledig orthonormaalsysteem. Zij

f ER, fj_Q, !lflj =1. Voor alle g E LC>(Q) is nu (f,g)=Os dus

!lf-gjj

2=

l!fll

2

+J!?;!l

2

2.

lif!l

2

~1.

Daar L

8 (Q) dicht ligt in R is er bij

elke E)O een g ELe(Q) met ,nr-g!l<c . Dit levert voor E =1 een

tegenspraak op. Dus Q is niet uit te breiden.

Stelling 9.2. In een Hilbertruimte is elk maximaal orthonorma2l-systeem volledig. En elk onvolledig orthonormaalorthonorma2l-systeem kan tot een volledig worden aangevuld.

Bewijs. Zij Q

1 een orthonormaalsysteem in de Hilbertruimte H.

Zij H1 de afsluiting van Le(Q1 ) in H, dan is H1 volledig (st.

J.2,

3° en st. 6.2), en Q

1 is een volledig orthonormaalsysteem

in H1 (want Le(Q1 ) ligt dicht in H1 . Volgens st.8.3 is nu H een directe som: H=H

1+H2 (ook H2 is een Hilbertruimte, volgens st.

8.1). Is Q₁ niet volledig, dan is H

1fH, dus H2fo. Er is dan een

f E H2 ,

llr!I

=1. Daar fj_Q

1 is, concluderen we dat Q1 niet

maxi-maal is. Daarmee is het eerste deel van de stelling bewezen. "Kies" in H2 een maximaal orthonormaalsysteem Q2 (st.2.5).

Nu vormen Q₁ en Q_{2 samen een orthonormaalsysteem Q in H . .} Zi~

fE H, fj_Q. Splits f=f

1+f2, f1E H1, f 2E H2. Dan is

r

1

_lQ

2,

r

₂

j_Q

_{1 . Wegens fj_Q is}

rj_Q

1,

r_j_Q

2, zodat nu ook

r

1

_lQ

1,

f 2

j_Q

_{2 . Daar Q1 en Q2 maximaal zijn in H1 resp.} H

₂

~ is f 1=f

2

~o,

dus f=O. Dus Q is maximaal, en derhalve volledig.

Stelling 9.3. Zij Q een orthonormaalsysteem in een IP-ruimte R.