SOCOMO : een model voor de berekening van de spanningsverdeling en de daaruit volgende verdichting van de grond onder wielen

CO

o

ik

c

c

'c

ç

'c

.c

o

?

P

1

S0C0N0: EEN MODEL VOOR DE BEREKENING VAN DE SPANNINGSVERDELING EN DE DAARUIT VOLGENDE VERDICHTING VAN DE GROND ONDER WIELEN

Deel 1: De spanningsverdeling in de grond

i r . J.J.H, van den Akker

ISjfZl

CENTRALE L A N D B O U W C A T A L O G U S

0000 0386 3202 Nota's van het Instituut zijn in principe interne communicatie-; middelen, dus geen officiële publikaties.

Hun inhoud varieert sterk en kan zowel betrekking hebben op eer eenvoudige weergave van cijferreeksen, als op een concluderende discussie van onderzoeksresultaten. Inde meeste gevallen zullen de conclusies echter van voorlopige aard zijn omdat het onderzoek nog niet is afgesloten.

Bepaalde nota's komen niet voor verspreiding buiten het Instituut) in aanmerking

1 . INLEIDING

2. DE THEORETISCHE ONDERGROND VAN HET MODEL 2.1. Basisprincipe

2.2. Berekening van spanningen ten gevolge van vertikale belasting

2.3. Berekening van spanningen ten gevolge van horizontale belasting

2.4. Berekening van hoofdspanningen 2.5. Enige kanttekeningen

3. HET PROGRAMMA SOCOMO 3.1. Algemeen 3.2. De subroutine LEES 3.3. De subroutine RASTER 3.4. De subroutine SIGMA 3.5. De subroutine PRINT 3.6. Grafische uitvoer LITERATUUR 1 2 9 11 12 13 13 16 18 19 20 20 21

chaniseerd. Zoals blijkt uit figuur 1 wordt de grond de laatste jaren steeds zwaarder belast. Een tweede aspect is dat het deel van het

bouw-Bruto gewicht, ton

3or

Fig. 1. Stijging van het brutogewicht van trekkers, wagens en zelfrijdende voertuigen

landareaal dat wordt ingenomen door aardappelen, suikerbieten en snij-•ais sterk is toegenomen. In 1960 was het aandeel van deze gewassen

27%, in 1983 was dit gestegen tot 62% van het oppervlakte bouwland. De teelt van aardappelen en suikerbieten is bewerkelijk, waarbij grote hoeveelheden product in de herfst onder min of meer natte omstandig-heden worden gerooid en afgevoerd. De kans op bodemverdichting wordt

hierdoor groot. In 1985 werd ± 177 000 ha snijmais verbouwd, wat onge-veer 25% van het bouwlandareaal beslaat. Hiervan ligt tweederde deel op voormalig grasland. Vooral in de in hoofdzaak op zandgelegen veehoude-rijgebieden komt veel continueteelt van mais voor. Eén van de redenen om dit voedergewas te verbouwen is dat mais grote hoeveelheden drijf-mest verdraagt. Dit wordt met glertanks met steeds grotere capaciteit uitgereden. In verband met de vaak beperkte opslagcapaciteit gebeurt het uitrijden op tijdstippen in de winter en het voorjaar waarop de bodemomstandigheden minder gunstig zijn.

Bij de oogst moet 50 tot 60 ton vers produkt onder overwegend natte bodemomstandigheden worden geoogst en van het land worden afgevoerd. Een groot deel van de mais wordt geteeld op zandgronden, die als het

organisch stofgehalte laag is, gemakkelijk kunnen worden verdicht. Bij niet te zware belasting van de grond onder redelijke omstandigheden, dat wil zeggen niet te nat, blijft de verdichting beperkt tot de boven-grond, die bij de jaarlijkse grondbewerking weer wordt losgemaakt. In vele gevallen wordt de grond te zwaar belast onder natte omstandig-heden. Dit heeft tot gevolg dat de verdichting zich tot in de onder-grond voortzet en niet meer elk jaar wordt opgeheven.

De mate waarin de grond verdicht door berijding is afhankelijk van veel factoren. De druk die door het wiel op de grond wordt uitgeoefend is onder andere afhankelijk van de wiellast en de wieleigenschappen (dimensies, soort band, bandspanning), maar ook van de mate waarin de grond een tegendruk op de band kan uitoefenen. De sterkte- en verdich-tingseigenschappen van de grond zijn onder andere afhankelijk van de soort grond, de dichtheid, de bodemtextuur, de spanningsverdeling in de grond en het vochtgehalte. Het grote aantal parameters dat de ver-dichting bepaald maakt het ondoenelijk om al de mogelijke combinaties van factoren in het veld te bestuderen. Daarom is het noodzakelijk om naast veldstudies modellen te ontwikkelen waarmee de verdichting ten gevolge van een breed scala van wielbelastingen en grondcondities kan worden berekend.

Het model dat hiertoe is ontwikkeld is S0C0M0. SOCONO staat voor Soil Compaction Model. Voor het berekenen van de verdichting moet eerst de spanningsverdeling in de grond worden bepaald. In deel 1 zal

worden aangegeven hoe met behulp van SOCOMO de spanningsverdeling wordt berekend.

In deel 2 zal worden aangegeven hoe uit deze spanningsverdeling de verdichting wordt berekend.

2. DE THEORETISCHE ONDERGROND VAN HET MODEL

2.1. B a s i s p r i n c i p e

Het model is gebaseerd op de theorie van BOUSSINESQ (1885), die de verdeling van spanningen in een homogene isotrope .halfruimte geeft, veroorzaakt door een puntlast loodrecht op het oppervlak van die half-ruimte. Op elk volume-element in de halfruimte werken verticale, hori-zontale en tangentiale normaal- en schuifspanningen (zie fig. 2 ) .

Fig. 2. Spanningen op een volume-elementje in een halfruimte, waarop een puntlast wordt uitgeoefend

Voor de verschillende spanningen kan worden geschreven: a- = -5£L cos3 e z 2nr2 ah = -?-=(3 cos e sin2 e - SL^-2. 1 > ( 1 ) 2nr2 m 1 + cos 0 ï-^-2- -P-^tcos 8 - , 1 H> m j^r2 1 + cos 6 T_ = 3 P A cos2 9 sin 0 = Th z änr2 n waarin:

<r2, an, at = vertikale, horizontale en tangentiale normaalspanningen Tz« Th = vertikale en horizontale schulfspanningen

P = vertikale puntlast r en 0 » poolcoördinaten

n = inverse van de dwarscontractiecoëfficiënt (Poissoncoëffi-ciënt)

De spanningsverdeling in de halfruimte ten gevolge van de puntlast is axiaalsymmetrisch. Hieruit volgt dat de schuifspanningen in het vlak loodrecht op de tangentiaal nul zijn. Dit geldt ook voor de

schuifspanningen met de richting evenwijdig aan de tangentiaal in het horizontale vlak en het vlak loodrecht aan de tangentiaal. Nat betreft de schuifspanningen in het vlak loodrecht op de tangentiaal valt in te zien dat deze nul moeten zijn door te bedenken dat ten gevolge van de

axiaalsymmetrie al de volume-elementen met dezelfde poolcoördinaten r en 0 dezelfde vertikale en radiale verplaatsingen hebben. De contact-vlakken tussen deze volume-elementen verschuiven niet ten opzichte van elkaar, zodat er geen schuifspanningen kunnen optreden. Wat betreft de schuifspanningen in tangentiaalrichting moet worden bedacht dat bij axiaalsymmetrie de volume-elementen niet in de tangentiaalrichting

worden verplaatst. Er zijn dan ook geen onderlinge verschuivingen in deze richting tussen de volume-elementen. De betreffende schuifspan-ningen moeten dan nul zijn. Dat de schul fspanschuifspan-ningen Tz en Tn aan

elkaar gelijk zijn volgt uit het moroentevenwicht van een volume-element (zie figuur 3 ) .

*

ZMom A=0

Fig. 3. Momentevenwicht volume-element

Het moment om punt A moet nul zijn, omdat anders het volume-element begint te draaien.

Z M o m A = a * T z - a * T n = 0 = >

T

h

De factor m geeft de verhouding tussen de vervorming evenwijdig aan (Cj) en loodrecht op (c2) de richting van de eenassige belasting

van een element, zodat:

.-?

(2)

m heeft een waarde tussen 2 en 3. De volumeverandering van de grond is nul in het geval m-2.

Omdat de invloed van m op de resultaten klein Is, stelt FRÖHLICH (1934) voor om in de vergelijkingen (1) m=2 te nemen. Bovendien intro-duceert hij een concentratiefactor v in de formules van Boussinesq, waardoor rekening wordt gehouden met het niet-elastisch gedrag van grond. In de grond spreidt de spanning zich in het algemeen niet zo sterk als in een elastisch lsotroop materiaal, waardoor de spanningen zich als het ware rond de belastingsas concentreren. Dit gedrag wordt sterker als de grond door een grotere vochtigheid plastischer is. De concentratiefactor geeft de verdeling van de belasting rond de belas-tingsas. Invullen van m=2 en V in de vergelijking (1) geeft:

a_ = -JdP cosv e z 2nr2

a

= - ^ c o s

0 s i n

0 (3)

2irr

T =

c o s "

e sin e

2rrr

Door het invullen van m=2 wordt ert=0 en wordt de vergelijking voor

an sterk vereenvoudigd. Voor w=3 worden de formules van Boussinesq met

m=2 verkregen. Hoe slapper c.q. natter de grond, hoe groter v wordt. KOOLEN en KUIPER (1983) geven waarden van v van 3, 4 en 5 voor respec-tievelijk een harde, normale en zachte grond.

2.2. B e r e k e n i n g van s p a n n i n g e n ten g e v o l g e van v e r t i k a l e b e l a s t i n g

Bovenstaande theorie (vergelijking 3) beschrijft de spanningen die in de grond onder een vertikale puntlast optreden. De wiellast wordt echter niet in één punt aan de grond overgedragen, maar over het

gehele band-grond contactvlak. Bovendien kan de wiellast worden ont-bonden in een vertikale en een horizontale belasting op de grond. Als eerste zal de vertikale belasting worden beschouwd.

SÖHNE (1953) heeft een numerieke procedure ontworpen om de verti-kale spanningen az, die door een wiellast in de grond worden opgewekt, te berekenen. Het wielgrond contactvlak wordt door Söhne opgedeeld in een aantal elementen. In het centrum van elk van de elementen werkt een puntlast (zie figuur 4 ) .

P.sp.-Aj

Fig. 4. Sommatieprocedure van de spanningen az i opgewekt door de

punt-lasten Pj, die over het wiel-grond contactvlak zijn verdeeld (SÖHNE, 1953)

De vertikale spanning az in een bepaald punt B onder het contact-vlak wordt verkregen door al de verschillende vertikale spanningen, die door de puntlasten in de elementen van het contactvlak worden uit-geoefend, bij elkaar op te tellen. Deze procedure is echter niet geschikt om de horizontale spanningen an en de schuifspanningen Tz te

berekenen. De richting van deze spanningen, die op een bepaald punt in de grond werken, wordt namelijk bepaald door de plaats van de puntlast ten opzichte van het beschouwde punt in de grond. Omdat de richting van deze spanningen per puntlast verschillend is, kunnen de spanningen

niet zonder neer bij elkaar worden opgeteld om de totale CTn en TZ in het beschouwde punt te berekenen. De horizontale spanningen en de

schuifspanningen kunnen wel worden gesommeerd indien ze worden ontbon-den in de x- en y-componenten. Dit is aangegeven in figuur 5.

r ^

\s>.

-TV-T

xy*T-Gy

Fig. 5. Ontbinding van de horizontale en schuifspanningen in x- en y-componenten ter verkrijging van de totale horizontale en schuifspanningen werkend in een bepaald punt in de grond

TINOSHENKO en GOOD1ER (1980) geven de volgende algemene oplossing voor deze ontbinding:

ax = an cos2 4» + fft sin2 $ - 2 Tn t sin c|> cos (j>

av = on sin2 <J> + ot cos2 «f> + 2 Tn t sin $ cos <J> (4)

Zoals eerder is aangegeven is in verband net de axiaalsymmetrie

T

=0. Omdat de inverse van de dwarscontractiecoëfficiënt • op 2 is

gesteld, is ook c

=0. De vergelijkingen (4) kunnen hiermee worden

vereenvoudigd tot:

ff

= CT

cos

4>

ffy = crh s i n2 <J> (5)

T

= a

s i n <J> c o s <J>

De schuifspanning T

in het z-vlak kan worden ontbonden in:

T

zx -

xz •

z

•

(6)

T

zy "

yz "

z

•

De symbolen in de vergelijkingen 4, 5 en 6 worden verklaard in

figuur 5.

2.3. B e r e k e n i n g van s p a n n i n g e n ten gevolge van horizontale belasting

Naast vertikale werken er ook horizontale spanningen in het

wiel-grond contactvlak.

FRÖLICH (1934) geeft aan hoe de spanningen in de grond ten gevolge

van een horizontale puntlast kunnen worden berekend.

De vergelijkingen die hij geeft zijn echter alleen geldig in het

vlak waarin de kracht werkt. In figuur 6 is dit het xz-vlak. De

aflei-ding van het algemene geval is als volgt :

VP

y-2

a_ = » (2) (7)

z

2»rr

r

Uit figuur 6 volgt dat:

Fig. 6.

a

op punt (x.y.z) door een horizontale punt]ast veroorzaakt

Combinatie van vergelijking (7) en (8) levert:

vP

ff

" s i n

- 2 e cos""

4>

r

2nr

De spanningen

a

,

a

en T , zoals aangegeven in figuur 2, naar nu

veroorzaakt door een horizontale puntlast zijn:

°Z

°T

^

T

•

a

sin 8 cos 0

Invulling van vergelijking (9) in (10) levert:

vP

*

2 ^

VP

w

sin

~

e cos

6 cos"

«f>

*L sin

0 cos

~

*

*

2nr

T„ = ^Tj* sin

O cos e c o s

tj>

Met behulp van de vergelijkingen (5) en (6) kunnen de spanningen

°Z' °h

°z

*

~

y-componenten worden ontbonden.

Voor de berekening van de spanningen in de grond door een

wiel-last, waarbij de kracht via het band-grond contactvlak op de grond

wordt overgebracht, kan op dezelfde manier als bij de vertikale last

de procedure van Söhne worden toegepast voor berekening van spanningen

ten gevolge van een horizontale last. Door voor de horizontale

punt-lasten dezelfde aangrijppunten te nemen als bij de vertikale

puntlas-ten, kunnen de spanningen

a

,

a

, a

, T

, T

en T

, die door een

horizontale en vertikale belasting in het wiel-grond contactvlak in

een bepaald punt in de grond worden opgewekt, bij elkaar worden

opge-teld.

2.4. B e r e k e n i n g van h o o f d s p a n n i n g e n

Het is mogelijk een volume-element zodanig te draaien, dat als de

schuifspanningen op de vlakken van het element nul worden. Dit is

aan-gegeven in figuur 7.

Z*

>^c

Fig. 7. Verdraaiing van het volume-element tot dat al de

schuifspan-ningen nul worden

De overblijvende spanningen loodrecht op de vlakken worden de

hoofdspanningen a

a

en a

genoemd. Hierin is <Tj de grootste en a

de kleinste hoofdspanning. De drie hoofdspanningen in een bepaald punt

beschrijven in zijn geheel de spanningstoestand in dat punt. Volgens

TINOSHENKO en GOODIER (1980) zijn deze hoofdspanningen de wortels van

de vergelijking:

5

3 - «7

a

a

)S

+

ia

a

* a^a

a

a

- T

-

-

-- « W z

xy

xz

yz " * x

" V x z ~

z

x y

°

Het zal duidelijk zijn dat deze talloze berekeningen alleen met

behulp van een computer kunnen worden uitgevoerd. Het op bovenstaande

theorie gebaseerde bodemverdichtingsmodel SOCONO (Soil Compaction

Model) kan alle spanningen in elke willekeurige doorsnede loodrecht op

of in de rijrichting berekenen.

2.5. Enige k a n t t e k e n i n g e n

De theorie waarop het model is gebaseerd staat in principe geen

plastische deformaties en grote volumeveranderingen toe. De

vervor-mingen in de ondergrond zijn in het algemeen zo klein dat aan deze

voorwaarden wordt voldaan. Dit geldt echter niet voor de bovengrond.

Door voor de bovengrond uit te gaan van de vervormde toestand, kan dit

probleem worden omzeild. Dit houdt in dat bij de berekening de

belas-ting in het spoor, dus enkele centimeters onder het maaiveld,

aan-grijpt en dat voor de bepaling van de concentratiefactor

v

wordt

uit-gegaan van een verdichte bovengrond.

Een tweede mogelijkheid is om uit te gaan van de belasting die

door de bovengrond op de ondergrond wordt uitgeoefend. De mogelijkheid

bestaat om deze belasting met behulp van drukopnemers in de praktijk

te meten. Volgens CARPENTER e.a. (1985) wijken de spanningen die met

behulp van de formules van Fröhlich en Söhne zijn berekend «aar weinig af van de werkelijke waarden. Het model zal daarom in ieder geval voor de ondergrond redelijk voldoen. Omdat vooral de verdichting van de ondergrond wegens het moeilijke herstel ervan een probleem vormt, is er in dit stadium het meeste behoefte aan een model dat in ieder geval de verdichting van de ondergrond redelijk kan voorspellen.

3. HET PROGRAMMA SOCOMO

3.1. A l g e m e e n

De naam SOCOMO staat voor Soil Compaction Model. Er zijn twee ver-sies van het programma ontwikkeld, namelijk SOCOMOL en SOCOMOD, waar-mee voor respectievelijk een bepaalde langsdoorsnede of een bepaalde dwarsdoorsnede de grootste hoofdspanningen Sj, de kleinste hoofdspan-ningen S3, de vertikale spanhoofdspan-ningen av, de horizontale spanningen ax en

ay, de schuifspanningen Tx, Tv en TX V en de gemiddelde hoofdspanningen

cm, worden berekend.

Figuur 8 geeft het coördinatenstelsel.

-Y.(JUK)

X.IU.IM) = rijrichting

Hierin komt de x-as overeen met de rijrichting, staat de y-as lood-recht daarop en geeft de z-as de diepte aan. Bij elke as staan tussen haakjes de tellers die in SOCONO worden gebruikt bij die richtingen.

In figuur 9 zijn de spanningen op een volume-element gegeven.

1

*xy

1«

\

\ .

Fig. 9. De spanningen op een volume-element.

Uit deze spanningen kunnen de hoofdspanningen Sj, S2 en S3 worden

berekend. In het programma is de benaming van deze spanningen als volgt: av

-°x

=

xy

Figuur 10 geeft de rasteropbouw met benamingen, zoals die in S0C0M0 voorkomen.

Op elk van de rasterpunten in het bovenvlak staat een puntlast. Deze puntlast vertegenwoordigt de belasting op een vlakje met de afme-tingen RASTBR* RASTLEN rondom het rasterpunt.

RASTBRIcn) 10.0.01 \ *ê \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N uu X^ 5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ N \ \ \ \ \ \ \

Fig. 10. De rasteropbouw net benamingen, zoals die in S0C0M0 voorkonen

Fig. 11. De belasting op het gearceerde vlak wordt geconcentreerd in de puntlast pj op het rasterpunt

Bij de beschrijving van het programma zullen de benamingen in figuur 10 worden verduidelijkt. Het programma S0C0M0 bestaat uit vier subroutines, namelijk LEES, RASTER, SIGMA en PRINT. Deze vier subrou-tines zullen achtereenvolgend worden beschreven.

3.2. De s u b r o u t i n e L E E S

In LEES wordt eerst een invoerfile geopend. Bij interactieve ver-werking wordt de naam van deze file gevraagd. Bij batchverver-werking is dit bij berekening van een dwarsdoorsnede standaard SOCOMODB.DAT, in het geval van een langsdoorsnede standaard SOCOMOLB.DAT.

Uit de invoerfile wordt achtereenvolgend gelezen: - De beschouwde doorsnede: LX bij SOCOMOD

JY bij SOCOMOL.

LX en JY zijn de coördinaatnummers waarvoor de doorsnede moet worden berekend. De coördinaten zijn respectievelijk X = (L-l) * RASTLEN en Y = (JY-1) « RASTBR.

- Bij SOCOMOD: het rasterpunt waar de zijkant van de wiellast begint: NRUT0.

Bij SOCOMOL: het rasterpunt waar de achterkant van de wiellast begint. Een en ander wordt verduidelijkt in figuur 12.

, , LRAND=13 _J_RUT=6_

. . . *_/!_. I I I I I T i //-• . . i i 1 2 3 4 5 6 "12 13 U 15 16 17 18 19 28 29 30 31 32

Fig. 12. Situering wiellast in een langsdoorsnede

Standaard is een doorsnede 32 rasterpunten lang. NRUT0 respectieve-lijk LRAND geven aan waar de belaste punten gesitueerd zijn.

- Het aantal rasterpunten in de diepte: IDIEP. Idem loodrecht op de rijrichting: NRUT. Idem in de rijrichting: LRUT.

- De afmetingen van een rasterelement in cm, breedte * lengte « diep-te: RASTBR * RASTLEN * RASTDIE.

De wiellast: LOAD in kgf. De concentratiefactor MU.

- De gelijkmatig verdeelde bovenbelasting: BOVENBEL in kgf/cm2. - Het volumegewicht RHONUL in g/cm3 in de diepte, het volumegewicht

van een element wordt toegekend aan het onderste knooppunt van dat element, het volumegewicht voor de bovenste rasterpunten is nul. - Een matrix met de vertikale belasting per rasterpunt in kgf, de

rijen lopen evenwijdig met de rijrichting, de kolommen loodrecht daarop : RUTFORCE(NRUT.LRUT).

- Idem voor de horizontale belasting: HORRUT(NRUT,LRUT). - De naam van de output-file.

Al de inputgegevens worden ook weggeschreven naar de output-file. Een inputfile ziet er dan als volgt uit:

Inputfile SOCOMOL: JY LRAND IDIEP,NRUT,LRUT RASTBR,RASTLEN,RASTDIE,LOAD,MU BOVENBEL

RHONUL(l) ,RH0NUL(2) RHONUL(I) RHONUL(IDIEP) RUTFORCE(l.l) RUTFORCE (1, LRUT)

RUTFORCE ( NRUT, 1 ) RUTFORCE ( NRUT, LRUT ) HORRUT(l.l) HORRUT (1, LRUT)

HORRUT(NRUT.l) HORRUT (NRUT, LRUT) FILE.OUT

Een voorbeeld van zo'n inputfile: 5 10 24 9 9 3250 4 5. O 5. O 5. O 0.0 0.0 1.48 1.48 1.53 1.58 1.52 1.51 1.50 1.50 1.50 1.50 1.50 1.48 1.48 1.50 1.54 1.60 1.60 1.60 1.60 1.60 1.60 1.60 1.60 12. 70 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 12. 70 25. 39 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 25. 39 25. 39 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 25. 39 25. 39 50. 78 50 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 25. 39 25. 39 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 25. 39 25. 39 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 25. 39 25. 39 50. 70 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 25. 39 25. 39 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 50. 78 25. 39 12. 70 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 25. 39 12. 70 • 1.80 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 1.80 3. 61 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 3. 61 3. 61 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 3. 61 3.61 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 3.61 3. 61 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 3. 61 3. 61 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 7. 21 3. 61 3.61 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 3.61 3.61 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 7.21 3.61 1.80 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 3.61 1.80 UEST2310A. LA2 3.3. De s u b r o u t i n e R A S T E R

In RASTER wordt voor een oppervlak met een bepaalde breedte en lengte van de wielafdruk tot een bepaalde diepte een raster van knooppunten bepaald. De vertikale en horizontale spanningen ten gevolge van de gelijkmatig verdeelde bovenbelasting en het eigen gewicht worden berekend en aangebracht.

De vertikale spanning SIGMAV van de bovenste rasterpunten is gelijk aan de bovenbelasting. De vertikale spanning in een rasterpunt daaronder is in formulevorm: SIGMAV(I,J,L)=SIGMAV(I-1,J.L)+RHONUL(I)* 0.001*RASTDIE. De horizontale spanningen zijn volgens TSCHEBOTARIOFF

(1951) 0,5 maal de vertikale spanningen. Hieruit volgt dat:

SIGMAX(I,J,L)=SIGMAY(I,J,L)=0,5*SIGMAV(I,J,L). Deze spanningen zijn in dit stadium ook de hoofdspanningen. Dit wil zeggen dat de

3.4. De s u b r o u t i n e SIGNA

In SIGMA worden de spanningsverdelingen onder een opgelegde last berekend. De spanningen zijn afhankelijk van de opgelegde puntlasten aan het oppervlak, de afstand van de puntlast tot het rasterpunt in de grond en de hoek tussen de normaal en de verbindingslijn tussen de puntlast en het desbetreffende rasterpunt in de grond.

SIGMA bestaat uit drie delen.

In het eerste deel worden de horizontale en vertikale belastingen op de door LRAND respectievelijk NRUT0 bepaalde plaats op het raster aangebracht. Daarbij worden de vertikale spanningen SIGMAV en de schuifspanningen TAUZ ten gevolge van deze belastingen in de bovenste rasterpunten berekend.

In het tweede deel worden voor elk van de rasterpunten de door elk van de horizontale en vertikale puntlasten opgewekte normaalspanningen SIGMAV, SIGMAX en SIGMAY en schuifspanningen TAUX, TAUY en TAUXY bere-kend en gesommeerd. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de vergelij-kingen (3), (5) en (11).

Uit symmetrie-overwegingen zijn bij een langsdoorsnede over het hart van de belasting de schuifspanningen TAUY en TAUXY gelijk aan nul. Door deze schuifspanningen in de vergelijkingen in SOCOMOL buiten beschouwing te laten, kan een aanzienlijke verkorting van de rekentijd worden verkregen.

In het derde deel worden uit deze spanningen de hoofdspanningen Sj, S2 en S3 berekend met behulp van vergelijking (12). Hierbij wordt

de eerste wortel bepaald met de Newton-Raphsonmethode, waarbij als beginschatting S=SIGMAV wordt gebruikt. De nauwkeurigheid waarmee deze bepaling wordt uitgevoerd is EPS-0.0001. Er volgt een foutmelding

indien deze nauwkeurigheid niet binnen de 50 stappen wordt bereikt. De twee resterende wortels worden berekend uit de gereduceerde vergelij-king, die wordt verkregen door vergelijking (12) te delen door (S-Sj). De gereduceerde vergelijking wordt dan:

S2 + (E+Sj)S + (F+ESj + S|) = 0 (13) waarin: E = - (ax + ay + av)

F = 0xay * ay0z + axaz - T2 - T2 - T 2 y De wortels hieruit zijn:

S2 3 = - fcfE+Sj) ± V ^(E+Sj)2 - (F+ESj+S2) (14)

Er wordt een foutmelding gegeven indien de vergelijking onder de wortel negatief blijkt te zijn. On daarna toch nog te kunnen doorreke-nen wordt het deel onder de wortel op nul gesteld. De drie berekende wortels worden op volgorde van groot naar klein gezet en gelijkgesteld •et S-j, S2 en S3.

3.5. De subroutine PRINT

In de subroutine PRINT wordt de uitvoer naar de terninal en de

outputfile verzorgd. Er wordt in aparte tabellen de hoofdspanningen Sj en S3, de gemiddelde hoofdspanning SM, de vertikale spanningen SIGMAV, de horizontale spanningen SIGNAX en SIGMAY en de schuifspanningen TAUX, TAUY en TAUXY in een bepaalde langs- c.q. dwarsdoorsnede gege-ven.

3.6. Grafische uitvoer

Met behulp van de programma's PLOTSPAND en PLOTSPANL kunnen de contourlijnen van de spanningen in respectievelijk een dwarsdoorsnede of een lengtedoorsnede worden getekend. In de invoerfile moet achter-eenvolgend staan:

- De tekst onder de plot.

- Het aantal contourlijnen KH, de onderlinge horizontale afstanden DX tussen de punten en idem voor de vertikale afstanden DY, de schaal-factor S.

- De spanningen H(K) waarvoor de contourlijnen moeten worden getekend. - De matrix XY(IX, JX) met de spanningen. Deze matrix komt uit de

uit-voerfile van SOCOMO.

- De tekst bij de contourlijnen.

Een voorbeeld van zo'n invoerfile is gegeven op de volgende bladzijde. PLOTSPANL en PLOTSPAND zijn interactieve programma's. Na het opstarten van de programma's wordt de naam van de inputfile gevraagd.

LITERATUUR

BOUSSINESQ, J. 1885. Application des potentiels à l'étude de

l'équilibre et du mouvement des solides élastique. Gauthier-Villais, Paris, geciteerd door Fröhlich.

CARPENTER, T.G., N.R. FAUSSEY and R.C. REEDER, 1985. Theoretical Effect of Wheel Loads on Subsoil Stresses. Soil & Tillage

Research, 6 (1985), Elsevier Science Publishers B.V., Amster-dam.

FRÖLICH, O.K. 1934. Druckverteilung im Baugrunde. Verlag von Julius Springer, Wien.

KOOLEN, A.J. and H. KUIPERS, 1983. Agricultural Soil Mechanics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo. SÖHNE, W., 1953. Druckverteilung lm Boden und Bodenverformung unter

Schlepperreifen. Grundlagen Landtechnik.

TIMOSHENKO, S. and J.N. GOODIER, 1980. Theory of Elasticity, third edition. McGraw-Hill Book Company, New York, London. TSCHEBOTARIOFF, G.P., 1951. Soil mechanics, foundation and earth

o * > i ^ n i n * * ' O n * ï * * * * * c i i n c i * o ( t -* -* - o m i ^ - o i n -* i n t ^ o v > o o n o ( o - c i r > n o n t x t -* • • • • • • • • • • • • • . . . . . . P ï P i n n « « - « « - i O O O O O O O O O O O O O O o o o o

§

oo* a ot^o**-* a ifnwit>m*c^*t^t^t^o--ot^in-ontn****m*m a a mif-*!^ «• « 00 m

< 0 O ' ( i n o i n > c i 4 i n M D M n a i < 0 0 " < o a ' " i M v i H n < ) 4 O i n < 0 - 0 r ) ' a o M D i i i ' 0 i i i i n D,o o r i i i o « « r i i o o - o n o o o K O ' ï ' O r i i o o o t h - ' r ^ — • o - i < i - H i r i - H i f > - ^ i r - < ' r - ' > » - ' n - > n - i ( D « ' ï - r i i n r i i r j r ü f j r j d r d d n i d p d d - » d - « d « - » d « 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . d . d . ó . ó r o o o o n o n r^ o n n o t oo n aa o r» ca tv o N N N m N m o i in N n « o œ s o ^ 4 o o> tv •»-«r -• oo «a- ~ . o n f ) j ) < i i r i s - . N o i r n » 0 ' r i i o < i - ' r i i r j r i i n n ' » ' M n - i O N M i N - œ ( i i o - - o i M f ) o n - > t - i ( t r o n n n o o o i r > o r i i o o - o < i o n o - ' - < o - - ' C D - ' r v ~ o . H i n « i n - H n - i < r - i » t - > n - " r ) - i n r j « t r j r ) r j r i j r j r d r j - i ó r i d N Ö n i 6 H d - d - d « d d o ' d d d d ó d d d d ó ó d d 6 ó o ' 6 d d d 6 d . d . d o . o P o o o o § tt*0'Oi^iD*a}thtii**<D*o*Cia-oomono*inr*o*-o**otn***oib-o-oinci CD «T « N o - o i o N N N " T ( D f a t h - o O ' T - " r v n n « r r i i m « r i n r v < i r i i N N C Q « » - o o - < e h C o o - N O i r i - i w « i n r i j œ n n n o o o m o f d O 0KO - 0 o n « - > - i 0K- < a i - ' N - < o - « i r i - < i n « « t - i « ï - H < r « n « n r d n r d ' ï - r i ( n f d r i j f d r j r i i ••• rt.n.n.n. o o n o n o f i o « o - < o - 0 " 0 0 o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o . o . o . o o « o o o o riQ-onioo>ODCDno'>ooorao3n'4)incoinininnncD<->inmn«NO'ODininocoin«r^ -o rj tv pj ö « »,N t,) N « t e p » o - i n « - i f i i o r i < t T - < i n — - o r i N o c o « o t > N O ' r » 0Ko o a ) - ' - o - » i r j rli r ü r o ' « - n N n r i i « • < o c * o « » - o - * o œ o i n - i P ) - « - < - < o - - < C D - « N « - o - i i n - * *><* ******* nnnnnncit* an ciinn nn S d N d f i i d f i i d - ó - ö - i d - i o d o d d d o d ó d d d ö o ó ó o d ó ó d o o o ó . d . d . d o • o o o o o - N N o r i i - * n r t - o n ( M n H N n * n n r ü » ' - 0 ' N o n « ( i i m n - i N o - < n - o o o « o in o> • < o o l S l D ^ n o « • < l ^ r l l ^ n ^ l l n o < l ^ ^ 0 D I D O ^ 4 ' l ^ o o • o o ^ l • • o « o r l l • O N l n n l ^ n « < n n < r o t O O - O O O O C D ~ O « « P > « « « < — O « O D « t^ ** -o •* o ** <r> ** t> et * c* * r* * tv n a n a n a n n n c. n c. a c<i a pj . n . n . n . . O r d O P d O - * 0 - « 0 - « 0 - « 0 « < 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . o . o o o n o o o o **Q*K*n*rm-oo-**o-ot*-or>nQ-'>o*>*'>*n****4iO>**nr>*mo** o n n s n o * as ru -o oonthMO<y**mnin*ri-oot^oa**o>no<^**c<i**i*-C4*c.**c.o-nt^ninn****p****int^iri

<o*o***n**ei******o**o>**a**t^**<ic, inciiinr**ci* e. *ctn et ntvn et nc.nc* et etc. et** et **ó**ö**ó**ó**ó**ö**öóóöóóóóóóóóóóóóóöóóóöóóóóó . o . d . d . d

o o o o

§

Q****(D et mncttot*t^nm*oo>**n Ci t^ et cinmn\t>*ti*tï*t^*ir>***nint^}n**iri-o-an-'i O Ci ** -O** a **0- ** m **tD** t^ Ci -OCi -O Ciin CimCi* Ci* a* Ci nan an an Ci nCid da Ci **Ci -< Ci

óóóóöóóóöóóöóóóó óóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóóó d d d d o o o o

§

8

O O O ** O ** Ci Ci na * Ci* Ci * Ci * Ci * Ci* Ci* Ci* Ci n Ci n Ci nun Ci nan Ci n Ci O Ci O Ci O Ci O Ci

n . n . n . n o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o d O O O O O O O O O O O O O O O O . O - O . o . o

o o o o

oot^o>mi^ncnnr>ci***tynm*Ci*oO'Ot>ot>nt^4)t^<ït^acD-oO'*inai** -c « * * in

§ QQm****air>ooO'***at^nm*œ*t^n4)n£a***nociQ'*tt-'*frQCDommminm*m*çp oo**o a o a a a a nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnanan a na a-air-a o* a o* a Ci . Ci . Ci . Ci . o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o . o . o . o . o o o o o o o N o m c o N ^ o r s a D ^ ^ N n i o ^ m - o i n o p j o — N C O P J i n N ^ - w n N i f t n i N o r i i c n c B « PI W PO §o o p ) ^ N r d r i i - < < ) i D O,' " t o o o - < o O ' < o ~ p a o o r i i N - « i n - < « » - o P ) o r y oK « o o ( h o 0 3 0 K ' 0 0 ' o o ^ 5 0 ~ o o -o -o N -o r c i -o n - n - « n n > j r ( ' » r n t n r ) n n n n n n n n n n n n r < n N n r i i n r ( r i i œ r j i B f u œ r i i ( i i r i i PU . ru . cv • f a O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O -O .o . o . o o o o o § ocar>t>uno'inviO'-oaiD**t^o*ft-ma>o-o<>*D'*o-oo'0>tDe>-on*n*ift*&- r> a o» _ co o o o « - > N W P ) m c o « o N O - < o > P ) r > . i n i n i v p ) N > - i N OKO B r « N i n r s « » r v p ) r v m N — NOinoinois >o-ODO-o >o-ODO-o >o-ODO-o p j >o-ODO-o n >o-ODO-o t >o-ODO-o ^ — m - ^ n r a t r a ^ P J ^ w ^ r u t t M n f i i n c M n p a n M P i m p i M P j f t i r i N n t v n N r g i v r d cv . m . fu . Pii . « o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o . o o o o o o Pil o o c o i n i n K P d n P J n i n i n — i n o * w o * i n - < C D t v r d O D O i n n i o N n i n i n . o « o - « N C D r > Q ) - * 0 «f o -o * oooo****ciCi**ntit^v>antioa>-o**aaO'n-c*nmoini*iin-ûmminnmci-ocin-*in**a>ooo . o o O " »,o i n o - o o o o o - ^ - o - ' - o - < i n r i i i n r i i ' * - r i i * r d < T r i i * r a n r u n r > i P i r i i P ) r i i n r u P ) > o P ) - o n - o n N n Pil Pd . Pil . rd • Pd o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o . o .o . o . o in o o o o m o « Q o i D M > N n o o « o>n < i n « « o a i n H M O ( i N ' < i ^ n M M h « ' O N N o r i i « o o o PI N PI O ooo**~*(*-Citi>nB)**tDtticiuiriinr-.oo-inoo**-ocinaontDn-o*in***n**uin**tD'*ci-; o o o o o o < i O N o r o o œ o ( D O N « N « - < ) ' < - o - ' i n p d i n r d « t r d « - r d 9 - r d P ) r d P î r d r,) r d P ) r d P î i n p > i n n i n n - o n Pd .Pd . rd . ru ( E O - i d d d d ó d d o d o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o . o • o . o • o o o o o o o ei in n. . o a B Ä i P i o o t n o P i r u o D O O o n B i O B i o c ^ _ _ aoóo o ** a n * <) O' a * o t^ tf o o ** a a n n o m o * •* m O . . . . . . . . . . . . . . . Pd Pd Pd rd cn d d d d d o o o o o o o o o o o o o o o . . _ • • ; o o o o o o

°. °