0
Schrift of scherm
meetkunde in de brugklas
PRAKTIJKONDERZOEK BENJAMIN DEL CANHO EN JORAM PEREIRA
MASTEROPLEIDING WISKUNDE
HOGESCHOOL VAN AMSTERDAM juni 2015
Begeleiders: Sonia Abrantes Garcez Palha René Reumerman
Joram Rodrigues Pereira, st.nr. 500676008 Benjamin del Canho, st.nr. 500107610
1
Inhoudsopgave
Samenvatting
... 31.
Inleiding ... 3
1.1 Aanleiding voor het onderzoek ... 3
1.2 Begripsontwikkeling met dynamische software ... 4
1.3 De keuze voor GeoGebra ... 6
1.4 Pilot ... 6
1.5 Opbouw van het onderzoeksplan ... 6
2.
Theoretisch kader ... 7
2.1 Overzicht theoretisch kader ... 7
2.2 Meetkundig begrip ontwikkelen ... 7
2.3 De Van Hiele niveaus ... 7
2.4 Kritieken bij de van Hiele niveaus ... 10
2.5 Problemen bij het leren van meetkunde ... 11
2.6 Dynamische meetkundige software ... 13
2.7 Conclusies ... 14
2.8 Conceptueel model ... 15
3.
Onderzoeksvraag en doel van het onderzoek... 16
4.
Methode ... 17
4.1 Design ... 17
4.2 Condities ... 17
4.3 Interventie ... 18
4.4 Instrumenten en analyse ... 20
4.5 Betrouwbaarheid en validiteit van de interventie ... 22
5.
Resultaten ... 22
5.1 Ontwikkeling van meetkundig begrip ... 22
5.1.1 Construeren van meetkundige objecten ... 24
5.1.2 Beschrijven van constructies ... 25
5.1.3 Informele deductie ... 27
5.1.4 Aanwenden van voorkennis in nieuwe situaties ... 28
5.2 Beheersing van computervaardigheden ... 28
5.3 Samenvatting van de resultaten ... 28
6.
Conclusies en discussie... 29
6.1 Onderzoeksvraag 1: invloed van meetkundige software op begripsontwikkeling ... 29
6.2 Onderzoeksvraag 2: computervaardigheden ... 30
6.3 Reflectie op de methode ... 31
6.4 Conclusies en aanbevelingen ... 31
Tijdsplanning ... 35
2
Bijlage B: het toetsen van instrumentele vaardigheden ... 37
Bijlage C: Voormeting van probleemoplossend vermogen en meetkundige vaardigheden ... 39
Bijlage D: Pilot ... 44
Bijlage E: data analyse ... 47
Bijlage F: werkboek experimentklas ... 48
Hoofdstuk 1 - lijnstukken, cirkels en driehoeken ... 48
Hoofdstuk 2 - hoeken, congruentie en bissectrice ... 61
Hoofdstuk 3 - loodlijnen en middens ... 70
Hoofdstuk 4 - afstand ... 81
3
Samenvatting
Bij het leren van meetkunde worden verschillende niveaus bereikt: van eenvoudig visueel naar zuiver theoretisch, en van kennis reproducerend naar creatief probleemoplossend. Een moeilijkheid bij het onderwijzen van meetkunde is dat meetkundige objecten op papier misconcepties in de theorievorming kunnen veroorzaken. Leerlingen kunnen vaak geen onderscheid maken tussen de toevallige eigenschappen van een statisch voorbeeld en de theoretische kenmerken van de meetkundige klasse waartoe dit voorbeeld behoort. Deze tekortkoming van traditioneel meetkundeonderwijs verhindert de begripsontwikkeling. Met dynamische meetkundige software kan dit probleem worden verminderd: in de vakliteratuur is dit reeds beschreven voor meetkundeonderwijs in de bovenbouw. Door de dynamiek van de software kan een leerling interactie aangaan met een meetkundige figuur en zelf ontdekken wat veranderlijk is, en wat theoretisch kenmerkend. Een complicerende factor van het gebruik van zulke software is echter dat de technische aspecten van omgang met de software ook remmend kunnen werken op de begripsontwikkeling.
Ons onderzoek richt zich op de vraag of het gebruik van meetkundige software ook in de onderbouw het leerproces kan ondersteunen. Daartoe hebben wij de leerwinstverschillen in twee vwo-brugklassen vergeleken. Een experimentklas leerde meetkunde op de computer, een controlegroep met pen en papier. Uit de resultaten blijkt dat de inzet van meetkundige software op geen van de onderzochte niveaus de ontwikkeling van het meetkundig begrip extra stimuleert. Het uitblijven van dit effect kan niet worden toegeschreven aan problemen die de leerlingen in de omgang met de software zouden ervaren. Zij beheersen de techniek om meetkundige software te kunnen besturen, maar zijn nog niet in staat om de voordelen van de dynamiek te benutten.
1. Inleiding
1.1 Aanleiding voor het onderzoek
Op de middelbare scholen is er een groeiende aandacht voor het gebruik van ICT om het onderwijs te verbeteren en vernieuwen. Met de komst van de zogeheten technasia in het voortgezet onderwijs hebben de traditionele gymnasia concurrentie gekregen bij de werving van getalenteerde en ambitieuze basisscholieren. Door het aanbieden van extra science-uren is er voor kinderen die iets extra’s willen tegenwoordig de mogelijkheid van een vwo-plusschool zónder klassieke talen. Voor het Amsterdamse Barlaeus gymnasium betekent dit dat het zich extra moet inspannen om zijn bèta-profiel te etaleren. Meer inzet van ICT in het huidige curriculum ligt voor de hand. Initiatieven van de wiskundesectie om te onderzoeken of een deel van de lessen naar het computerlokaal kan worden verplaatst, worden door de schoolleiding toegejuicht.
4
Steeds vaker hebben scholen de benodigde voorzieningen om ICT in de lespraktijk in te zetten. Op het Vlietland College in Leiden zijn alle leslokalen voorzien van digitale schoolborden, waarvan in het wiskundeonderwijs nog sporadisch gebruik wordt gemaakt. Enkele docenten ondersteunen hun lessen in meetkunde al met meetkundige software. De schoolleiding constateert dat de dynamiek die deze software biedt de wiskundelessen verrijkt, en zoekt naar manieren om het gebruik ervan te bevorderen.
Tot nu toe wordt op de meeste scholen het gebruik van meetkundige software alleen in de
bovenbouw ingezet. Collega’s aarzelen om in de brugklas leerlingen zelfstandig te laten werken met deze software, ofschoon de verwachting bestaat dat dit een gunstig effect zal hebben op de
ontwikkeling van meetkundig inzicht. Dit wordt bevestigd door recente curriculumontwikkelingen in het voortgezet onderwijs. De vernieuwingscommissie voor de toekomst van het wiskundeonderwijs (cTWO) deed in haar eindrapport van eind 2012 een oproep om de rol van ICT in de lespraktijk te vergroten (commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs, 2012). Er was een expliciete aanbeveling voor een dynamischer benadering van het meetkundeonderwijs, die de begripsontwikkeling ten goede zou komen. In de wetenschappelijke literatuur en in de gangbare lesmethodes staat actief gebruik van dynamische meetkundige software echter nog in de kinderschoenen. Dit onderzoek zou moeten bijdragen aan een breder intern draagvlak voor modernisering van het meetkundeonderwijs. In de bovenbouw (16-17 jaar) gebruiken wij, de auteurs van dit onderzoek, al regelmatig
meetkundige software in onze lessen ter ondersteuning van de begripsontwikkeling. Daar hebben we zeer positieve ervaringen mee. We vragen ons af of deze software met hetzelfde doel ingezet kan worden bij jongere kinderen (12-13 jaar). Als dat het geval is, kunnen we deze software vanaf de eerste klas gebruiken in een doorlopende leerlijn.
1.2 Begripsontwikkeling met dynamische software
Het gebruik van passer en liniaal in de wiskundeles staat door de groeiende populariteit van meetkundige tekenprogramma’s onder druk. Gebruikers van zulke software toveren met twee muisbewegingen een vrijwel perfecte cirkel op het scherm. Ook complexere vormen als een ellips of een parabool zijn eenvoudig te tekenen. De aandacht kan direct uit naar het bestuderen van de meetkundige vormen zelf. Bovendien biedt deze meetkundige software de mogelijkheid om
interactief de eigenschappen van meetkundige objecten te onderzoeken. Daardoor kan er meer en
sneller inzicht bij de leerlingen worden bereikt.
Leerlingen doorlopen verschillende stadia bij het ontwikkelen van meetkundige kennis, van een
visueel niveau tot aan het beheersen van formele deductie (Van Hiele, 1999). Studies laten zien dat
de inzet van software de kennis over wiskunde naar een hoger niveau kan helpen brengen (o.a. Drijvers, 2012; Kondratieva, 2013). Door variatie van parameters is het mogelijk variabelen op te voeren, waardoor de leerling nadrukkelijk wordt uitgenodigd om na te denken over de essentiële eigenschappen van meetkundige objecten. Eenzelfde voordeel wordt bereikt door de mogelijkheid meetkundige objecten te verslepen. In het voorbeeld hieronder heeft het parallellogram variabele zijden a en b. Door a en b te variëren of door een zogeheten ongebonden punt te verslepen ontstaat een dynamiek die helpt bij het ontdekken van de invariante eigenschappen van het parallellogram, bijvoorbeeld dat diens diagonalen elkaar in het midden snijden.
5
Figuur 1: vierhoek ABCD is geconstrueerd door overstaande zijden dezelfde lengte (a en b) te geven. Door a en b te variëren worden snel verschillende vormen van hetzelfde meetkundige object (een parallellogram) zichtbaar. Ook als de eis wordt gesteld dat a en b een vaste waarde hebben (hier a =3,2 en b = 2,1) ligt de vorm van ABCD nog niet vast. Punt C is een voorbeeld van een niet volledig gebonden punt. Het kan worden versleept over de blauwe cirkel.
Bij het leren van meetkunde is er spanning tussen de toevallige eigenschappen van een figuur en de wiskundig kenmerkende eigenschappen. Een wiskundeleraar kan niet voorkomen dat een specifieke driehoek die hij op het bord tekent toevallige bijzondere eigenschappen bezit zoals een rechte hoek of gelijkbenigheid. Omdat een getekende driehoek statisch is geeft dit bij leerlingen aanleiding tot verwarring. Leerlingen kunnen niet goed onderscheid maken tussen wat wiskundig kenmerkend is voor een driehoek in het algemeen en deze specifieke driehoek. Met meetkundige software kan deze verwarring worden verminderd. Een geometrische figuur zoals een driehoek kan hiermee worden gevisualiseerd die dynamisch is, waarvan de vorm interactief aan te passen is. Zo is het voor leerlingen duidelijker welke aspecten essentieel zijn en welke veranderlijk, en daardoor kunnen de theoretische eigenschappen beter in het oog springen. In de literatuur worden ten behoeve van dit onderscheid de termen spatio-grafische en theoretische eigenschappen van een meetkundig object gebruikt (Laborde, 2004). Op dit onderscheid gaan we verder in in het theoretisch kader.
Voor de bovenbouw is de meerwaarde van de inzet van meetkundige software inmiddels bewezen (Kondratieva, 2013; Olkün, 2013). Toch wordt er op veel scholen nog geen gebruik van gemaakt. Een reden is dat bij docenten basale kennis van de software ontbreekt. Ook de druk van het
examenprogramma op de lestijd in de bovenbouw doen de docent aarzelen om dynamische
meetkundige software in de lessen te implementeren. Juist daarom is het interessant om te kijken of er in een vroeger stadium al kan worden begonnen met het introduceren van deze software.
Voordeel is dat leerlingen de vaardigheden met meetkundige software al onder de knie hebben wanneer in de bovenbouw de meetkunde zélf uitdagender wordt.
Naar de inzet van meetkundige software in de onderbouw is echter nog geen onderzoek gedaan. Wij stellen ons ten doel dit wél te doen. Daarbij richten we ons op twee doelen:
1. De opbrengst voor het meetkundeonderwijs zelf. In onze probleemstelling zullen we dit uitwerken tot de vraag in hoeverre dynamische meetkundige software het leren van meetkunde in de eerste klas kan bevorderen.
2. Beheersing van de hiertoe benodigde technische vaardigheden. Kinderen die niet in staat zijn om met dynamische meetkundige software te werken, kunnen daar ook geen voordeel van hebben bij het leren van meetkunde.
6
We hopen met de uitkomsten van ons onderzoek aanbevelingen te kunnen doen voor intensievere inzet van meetkundige software in het wiskundeonderwijs.
1.3 De keuze voor GeoGebra
De meetkundige software die we in dit onderzoek willen gebruiken heet GeoGebra. Er zijn talloze alternatieven beschikbaar, maar in veel onderzoeken (o.a. Domènech, 2009) naar het leren van meetkunde wordt GeoGebra vaak genoemd als de meest geschikte software voor dit doel. Het programma is zeer uitgebreid, vrij eenvoudig te bedienen, het is gratis en open source. Een extra voordeel van GeoGebra is dat het een breed palet aan mogelijkheden biedt, waar andere software veelal toegespitst is op één wiskundig deelgebied. Bovendien is het makkelijk in het gebruik voor leerlingen op de middelbare school, en daar specifiek op toegesneden (Hohenwarter & Fuchs, 2004). Tenslotte hebben wij zelf al veel ervaring met GeoGebra, dus we zijn vertrouwd met de
mogelijkheden van het programma.
1.4 Pilot
De moeilijkheden die de omgang met de software geeft, zijn zeer ongewenst vanuit didactisch oogpunt en kunnen een grote belemmering zijn voor het leren. “Technical problems may frustrate students, impede their learning and severely decrease the quality of education provided.”
(Milakovich, 2012, p.96). Omdat besturing van de software een noodzakelijke voorwaarde is voor de begripsontwikkeling van de leerlingen, hebben wij ter oriëntatie vijf kinderen van twaalf en dertien jaar gevraagd om drie opdrachten in GeoGebra uit te voeren (zie bijlage D). Deze opdrachten waren erop gericht om te kijken of de kinderen moeite zouden ondervinden bij de besturing van de software. De kinderen hadden niet eerder met GeoGebra gewerkt. Wél genoten zij al een jaar wiskundeonderwijs.
De uitkomsten van onze pilot waren positief en ondersteunen onze veronderstelling dat met de inzet van dynamische software al op twaalfjarige leeftijd kan worden begonnen. Kinderen lijken zich de techniek om GeoGebra te besturen – inclusief die voor het verslepen van objecten en het invoeren van parameters – vlug eigen te maken. Ten behoeve van de validiteit van ons onderzoek zullen wij in de hoofdstudie gedetailleerder ingaan op de vraag in hoeverre kinderen uit de eerste klas de voor het werken met meetkundige software benodigde computervaardigheden beheersen.
1.5 Opbouw van het onderzoeksplan
Wij willen onderzoeken of de inzet van de computer bij het leren van meetkunde invloed heeft op de begripsontwikkeling en het leerproces. In het theoretisch kader in hoofdstuk 2 geven we een
overzicht van relevante literatuur over het leren van meetkunde en het gebruik van software daarbij. In hoofdstuk 3 geven we een verder toegespitste formulering van de onderzoeksvraag. We
verwachten door de inzet van dynamische meetkundige software een verschil te vinden in de ontwikkeling van het wiskundig inzicht bij de leerlingen in vergelijking met leerlingen die niet met de software hebben gewerkt. Het verschil kan zowel kwalitatief als kwantitatief zijn. Onthouden en begrijpen leerlingen die GeoGebra gebruiken meer of minder dan leerlingen die meetkunde leren op papier met passer en liniaal? Ook is het de vraag of ze dezelfde vaardigheden en meetkundige begrippen ontwikkelen. In de methodesectie 4 zetten we uiteen hoe we mogelijke verschillen in de leeropbrengsten willen meten en analyseren. In hoofdstuk 5 bespreken wij de resultaten van ons onderzoek. Tenslotte reflecteren wij op onze methode en onderzoeksresultaten en doen
7
2. Theoretisch kader
2.1 Overzicht theoretisch kader
In het theoretisch kader zetten we uiteen wat er bekend is over het leren van meetkunde. Bestaand onderzoek toont aan dat met de inzet van dynamische meetkundige software het proces van het ontwikkelen van meetkundig begrip kan worden versterkt. In de wetenschappelijke literatuur worden echter ook hindernissen genoemd die leerlingen en docenten tegenkomen bij het leren van meetkunde en het gebruik van de computer. Er zou dus ook een negatief effect kunnen zijn. In de volgende paragrafen bespreken we deze onderzoeksresultaten. Gebaseerd op aanbevelingen uit de literatuur hebben we een interventie ontwikkeld die naar verwachting het leren van meetkunde kan verbeteren.
2.2
Meetkundig begrip ontwikkelen
Kennis onderling kunnen verbinden is een voorwaarde om iets goed te kunnen onthouden. De structuur van kennis versterkt zichzelf, zoals blijkt uit onderzoek naar schaakgrootmeesters die in een oogwenk een stelling kunnen doorgronden (Groot, 1946). De grootmeester ziet onderlinge
verbanden en kan een complexe schaakstelling daardoor veel makkelijker onthouden dan een leek voor wie de onderliggende relaties van de schaakstukken geen betekenis hebben. Niet alleen zijn losse feitjes moeilijk te onthouden, maar gebrek aan onderlinge verbindingen verhindert ook de ontwikkeling van inzicht. Dit geldt in nog sterkere mate voor het leren van wiskunde, waarbij het uiteindelijk niet draait om feitenkennis maar meer om het ontwikkelen van inzicht of begrip.
Zogeheten inter-connectedness speelt in de wiskundedidactiek daarom een steeds grotere rol. Zulke onderlinge verbondenheid van kennis bevordert bovendien de wiskundige creativiteit (Ervynck, 1991), het zelfvertrouwen en het probleemoplossend vermogen (Kondratieva, 2011). Wij gaan daar in paragraaf 2.4 nader op in.
2.3
De Van Hiele niveaus
Van Hiele (Van Hiele, 1999) stelt dat leerlingen van de middelbare school vijf verschillende stadia doorlopen bij het leren van meetkunde. Dit zijn achtereenvolgens het visuele, het analytische, het
informeel deductieve, het formeel deductieve niveau en tenslotte het niveau van wiskundig zuiver en
rigoureus redeneren. In dit onderzoek sluiten wij ons aan bij deze classificatie van Van Hiele om de vooruitgang van het meetkundige inzicht van een leerling te meten.
Op het visuele niveau is de manier van denken van een leerling nog non-verbaal. Leerlingen op dit niveau kunnen een meetkundig object – een vlieger bijvoorbeeld – herkennen en construeren. In de meetkunde wordt onder een constructie verstaan: een tweedimensionaal object dat is opgebouwd uit (delen van) lijnen en cirkels en hun snijpunten.
8
Figuur 2: vierhoek ABCD is een vlieger. Twee paar aanliggende gelijke zijden bepalen de kenmerkende vorm.
Op het analytische niveau kan de leerling eigenschappen van objecten herkennen én onder woorden brengen. Of hij de eigenschappen van een object onder woorden kan brengen, meten wij door te vragen naar een beschrijving van de constructie. In de beschrijving van een constructie moet de leerling zich rekenschap geven van de eis dat een meetkundig object enkel en alleen is opgebouwd uit (delen van) lijnen en cirkels en hun snijpunten.
Figuur 3: in de beschrijving van de constructie van een vlieger moet de leerling verdedigen dat hij alleen (delen van) lijnen en cirkels heeft gebruikt.
Op het derde niveau, informele deductie, kan de leerling logische redeneringen geven over de eigenschappen van objecten en onderlinge relaties benoemen. Dit derde niveau meten wij door te vragen naar een argumentatie, een leerling moet kunnen aangeven waarom zijn constructie correct is.Een voorbeeld hiervan is de constructie van een bissectrice. De bissectrice, of deellijn van een hoek, kan worden gemaakt door op de benen van een hoek een vlieger te construeren. Door in de vlieger twee juiste gelijke driehoeken aan te wijzen, wordt direct duidelijk dat de bissectrice de hoek in twee gelijke delen deelt.
9
Figuur 4: de gestippelde halfrechte is de bissectrice of deellijn van hoek A.
Figuur 5: de gelijkheid of congruentie van de driehoeken ADB en ADC kan worden verdedigd door gelijke zijden dezelfde kleur te geven. Omdat de driehoeken gelijk zijn, zijn ook de overeenkomstige hoeken gelijk. De bissectrice deelt hoek A dus in twee gelijke hoeken.
Het vierde en vijfde niveau van Van Hiele zijn respectievelijk “formal deduction” en “rigor”. Typerend voor het niveau van de formele deductie is dat een leerling abstract kan argumenteren, en uitgaande van wiskundige stellingen en axioma’s een logische redenering kan geven. Het gebruik van
congruente driehoeken om de constructie van de bissectrice te verdedigen, stoelt op axioma’s over congruentie. Deze worden normaliter pas in de late bovenbouw van het vwo behandeld. Het vijfde en hoogste niveau wordt vervolgens bereikt wanneer redeneringen wiskundig sluitend en volledig correct worden geformuleerd. In ons onderzoek spelen het vierde en vijfde niveau geen rol, omdat deze mate van abstractie voor leerlingen in de onderbouw nog niet haalbaar is, zoals beschreven door Van Hiele zelf (1999). Onderzoek naar meetkundig inzicht bij jonge kinderen bevestigt dit beeld (Mayberry, 1983).
10
2.4
Kritieken bij de van Hiele niveaus
Uit literatuur (Ervynk, 1991; Kondratieva, 2011; de Groot, 1946) blijkt dat er een kanttekening te plaatsen is bij de niveaus van Van Hiele: de Van Hiele niveaus maken geen onderscheid in het vermogen geleerde kennis in te zetten in een nieuwe probleemsituatie. Verschillende bronnen (Ervynk, 1991; Kondratieva, 2011; de Groot, 1946) tonen aan dat de diepgang van de meetkundige kennis, de mate waarin samenhangend inzicht is opgebouwd, de leerling helpt om zijn kennis in nieuwe situaties aan te wenden. Kondratieva (2011) omschrijft deze relatie als volgt:
Students equipped with a comprehensive view of one interconnecting mathematical problem will likely exhibit more confidence, mathematical insight, and elegancy in problem solving than those who have studied an equivalent number of disconnected and arbitrarily contextualized mathematical facts. (p.22)
Drijvers (2012) noemt zulk samenhangend inzicht een “rijk cognitief schema”. Wanneer die aanwezig is, dan kan de kennis op nieuwe problemen worden toegepast. Het terugvinden van het middelpunt van een cirkel bijvoorbeeld behoort niet tot de standaardconstructies die in de les worden
besproken. Het middelpunt kan worden teruggevonden met hulp van kennis over de middelloodlijn en zijn eigenschappen.
Figuur 6: door zijn kennis over de eigenschappen van middelloodlijnen in te zetten kan een leerling het middelpunt M van een cirkel terugvinden (rechts).
11
Figuur 7: met het tekenen van AM, MB en CM kan de juistheid van de oplossing op informeel deductief niveau worden aangetoond (links). Immers: M ligt op de middelloodlijnen van AB en BC, en daarom is M het middelpunt van de omgeschreven cirkel van drie willekeurige punten A, B en C op de cirkel (rechts).
Omdat Van Hiele de inzet van aanwezige meetkundige kennis in nieuwe situaties niet apart heeft geclassificeerd, introduceren wij een extra vierde niveau, naast de drie eerste niveaus van Van Hiele. Op dit vierde niveau kan de leerling zijn meetkundige kennis inzetten in nieuwe situaties. We
noemen dit het accomoderende niveau.
2.5
Problemen bij het leren van meetkunde
Een bekend probleem bij het leren van meetkunde is dat misconcepties bij leerlingen kunnen
ontstaan door beperkte visualiseringen (o.a. Mariotti, 1995; Laborde, 2004). Een leerling heeft alleen een aanschouwelijk begrip van het plaatje in het boek of op het schoolbord en mist de theoretische achtergrond. Door dit gebrek ontstaan soms volledig foute ideeën over meetkundige concepten. Laborde (2004) onderscheidt in een meetkundige figuur de spatio-grafische eigenschappen, ofwel ‘toevallige’ eigenschappen en de theoretische eigenschappen. Statische afbeeldingen in een lesboek hebben beide eigenschappen, wat het begrip van de meetkunde in de weg kan staan. Het probleem is dat als leerlingen niet de conceptuele kennis hebben, dat ze de elementen in het plaatje voor wáár aannemen. Ze trekken dan conclusies op basis van de toevallige kenmerken van de afbeelding in plaats van de wiskundige eigenschappen. In andere literatuur wordt hetzelfde onderscheid anders benoemd: figural vs. conceptual (Mariotti, 1995), of pragmatic/empirical vs.
mathematical/systematic (Joubert, 2013). Laborde en Joubert beargumenteren dat
het voor een meetkundig bewijs essentieel is om heen en weer te kunnen bewegen tussen deze domeinen, of anders gezegd: het plaatje ondersteunt het bewijs en het bewijs is de theoretische rechtvaardiging van het
plaatje.
Een voorbeeld waarbij leerlingen de toevallige eigenschappen van de afbeelding verwarren met de theoretische, wiskundige eigenschappen is het vraagstuk hiernaast uit een proefwerk goniometrie voor 3 VWO. Een leerling veronderstelt ten onrechte dat AD en CD even lang zijn. Gevraagd om AC te berekenen, tekent deze leerling hulplijn DS loodrecht op AC in de overtuiging dat DS de symmetrieas is van een gelijkbenige driehoek
12
ACD. De leerling heeft zich laten verleiden om een (ogenschijnlijk) toevallige eigenschap van de
afbeelding voor waar aan te nemen. Bewijs daarvoor op het wiskundig zekere, theoretische niveau ontbreekt echter.
Volgens Drijvers (2012) biedt de inzet van ICT mogelijkheden om deze verwarring te verminderen.
Een andere insteek is dat de ICT variatie mogelijk maakt, door bijvoorbeeld een invoergetal of parameter te veranderen met een schuifbalk of door een meetkundig object te verslepen. De dynamiek die zo ontstaat, maakt het onderscheid mogelijk tussen kenmerken die aan verandering onderhevig zijn en invariante eigenschappen. Hierdoor kan de leerling de situatie exploreren. (p. 277)
Met name dynamische geometrische software is een middel om de suggestie van de toevallige, spatio-grafische eigenschappen van een meetkundig object sterk te verminderen. In de volgende sectie zullen wij nader ingaan op deze software. Volgens recent onderzoek (Kondratieva, 2013) kunnen leerlingen door de interactiviteit van een meetkundig object beter zien welke eigenschappen van een meetkundig object veranderlijk zijn (en dus toevallig) en welke eigenschappen invariant (en dus definiërend) zijn.
Figuur 8: bij het construeren van een ruit (een vierhoek met vier gelijke zijden) kan abusievelijk worden geconcludeerd dat het construct een vierkant is met vier rechte hoeken (links). In GeoGebra kan punt C worden versleept, waardoor direct duidelijk wordt dat de eigenschap op toeval berust (rechts).
Volgens Brousseau (1997) zijn er drie categorieën obstakels te onderscheiden bij het leren van meetkunde: epistemologische obstakels, didactische obstakels en ontogenetische obstakels. Epistemologische obstakels betreffen gebrek aan kennis bij de leerlingen. Zulke obstakels zijn niet bezwaarlijk, maar juist kenmerkend voor de onderwijssituatie. Een leerling weet iets nog niet, en het doel van de les is om dit hiaat weg te nemen. Er zit een didactische component aan: het aanbieden van de leerstof moet juist gedoseerd zijn. Als de sprongen te groot zijn, verlies je de leerling.
Didactische obstakels betreffen de wiskundedocent, de gang van zaken in de les of de methode. Inzet van ICT kan zowel epistemologische als didactische obstakels wegnemen. Wij zullen daar in ons onderzoek verder niet op ingaan.
Ontogenetische obstakels zijn hindernissen die inhoudelijk los staan van de leerstof. Deze obstakels doen zich volgens Brousseau voor als de lichamelijke of cognitieve rijping tekortschiet voor
verwerking van de aangeboden stof. Het inzetten van dynamische geometrische software is in dit licht interessant. De moeilijkheden die de omgang met de software geeft, zijn zeer ongewenst vanuit
13
didactisch oogpunt en kunnen een grote belemmering zijn voor het leren. “Technical problems may frustrate students, impede their learning and severely decrease the quality of education provided.” (Milakovich, 2012, p.96).
Wanneer het de leerling aan basale computervaardigheden en kennis van specifieke software ontbreekt, zou de docent dit ten onrechte aan gebrekkig begrip kunnen toeschrijven. De leerling moet in een vroeg stadium vertrouwd raken met meetkundige software om zulke ontogenetische obstakels uit de weg te gaan.
Er zijn meer bezwaren van de inzet van ICT in het onderwijs. Uit diverse recente onderzoeken blijkt dat leerlingen minder van een tekst onthouden van een scherm dan uit een papieren boek (Mangen, 2008). Het kost ons meer mentale energie om te lezen van een scherm en onze houding tegenover de kennis van een computerscherm is minder ontvankelijk (Jabr, 2013). We onthouden niet alleen moeilijker, maar begrijpen ook minder. In ons onderzoek gaan we dit niet apart bestuderen, maar het zou wel een mogelijke verklaring geven voor eventuele negatieve effecten.
2.6
Dynamische meetkundige software
Zoals we hierboven gezien hebben begint meetkundig begrip op een aanschouwelijk niveau en kan interactiviteit in de software beperkingen van statische afbeeldingen ondervangen. Opdrachten aan de hand waarvan leerlingen zelf meetkundige situaties kunnen exploreren kunnen hier zeer effectief zijn. Kondratieva (2013) betoogt dat zogenaamde dynamische of interactieve geometrische software
DGS) hiervoor bij uitstek geschikt is. DGS stelt de gebruiker in staat om op een dynamische,
interactieve manier de eigenschappen van een meetkundig object te onderzoeken. Doel ervan is het onderscheid te ontdekken tussen de invariante eigenschappen (de theoretische eigenschappen van Laborde) die het meetkundige object definiëren en toevallige kenmerken (de spatio-grafische eigenschappen van Laborde) die aan verandering onderhevig zijn. Deze software biedt leerlingen de kans om te experimenteren, om vermoedens te ontwikkelen, en om om te gaan met geometrische figuren op een aanschouwelijke en intuïtieve manier. Wiskunde kan op een constructivistische manier worden beoefend. De gebruiker wordt uitgedaagd om patronen te herkennen, om zelf wiskundige relaties te ontdekken, en uiteindelijk om op een kennisniveau uit te komen waar wiskundige bewijzen kunnen worden gegeven (Kondratieva, 2013).
Door drie punten in een plat vlak met elkaar te verbinden, bijvoorbeeld, ontstaat een driehoek. Met
DGS is het mogelijk om elk van de hoekpunten van een driehoek te verslepen. In het vraagstuk
hieronder uit het artikel Geometric Explorations with Dynamic Geometry Applications based on van
Hiele Levels van Olkün (2009) wordt de mogelijkheid tot verslepen ingezet om de gebruiker tot het
14
Door met meetkundige objecten te slepen, krijgt de gebruiker directe feedback over vermoedens en vergroot zo zijn inzicht. Het vraagstuk is gebruikt door Olkün (2009) in een studie waarin hij aantoont dat de actieve inzet van DGS zeer geschikt is om de stadia van Van Hiele te doorlopen.
It is also evident in their reflections that they transitioned from one geometric level to the next by studying on their own. [....] DGS encourages students to move to higher levels of geometric thinking instead of having to memorize a laundry list of shape properties. (p. 11).
Doordat de gebruiker van DGS een meetkundige stelling op een efficiënte manier kan onderzoeken,
zal hij onderliggende mechanismen beter aanvoelen en raakt hij eerder overtuigd van de waarheid en de bewijsbaarheid van de stelling. Dit leidt er weer toe dat een leerling gemotiveerder is om op zoek te gaan naar een bewijs, zoals Domènech (2009) stelt:
Students can benefit from the integration of dynamic geometry software because it can facilitate visualization, exploring, conjecturing and understanding the distinction between drawing and figure, for instance, and hence can lead to improvements in argumentation abilities. (p. 8)
2.7
Conclusies
Wetenschappelijke studies naar de inzet van dynamische meetkundige software in de bovenbouw laten zien dat het de ontwikkeling van het meetkundig begrip kan versterken. De nadelen van traditioneel meetkundeonderwijs met potlood en papier worden door de dynamiek en interactie die deze software biedt verminderd. Om de begripsontwikkeling van meetkunde in de onderbouw te kunnen classificeren hebben wij de Van Hiele niveaus gemodificeerd tot:
1. Het visuele niveau. 2. Het analytische niveau.
3. Het niveau van informele deductie. 4. Het accomoderende niveau.
Het leerproces kan door dynamische meetkundige software echter ook worden gefrustreerd. Ontogenetische obstakels moeten worden weggenomen alvorens het voordeel van dynamische geometrische software bij het leren van meetkunde kan worden benut.
15
2.8
Conceptueel model
Het theoretisch kader mondt uit in het volgende conceptuele model dat de belangrijkste begrippen met elkaar verbindt.
Conceptueel model
16
3. Onderzoeksvraag en doel van het
onderzoek
Het eerste doel van ons onderzoek is te kijken in hoeverre dynamische meetkundige software het leren van meetkunde in de eerste klas kan bevorderen.
1. Ontwikkelen leerlingen van de eerste klas die meetkundige software gebruiken een beter begrip in de meetkunde en hebben zij betere meetkundige vaardigheden dan dezelfde soort leerlingen die de meetkundige software niet gebruiken?
Om deze verschilvraag te onderzoeken binnen een evaluatief onderzoek hebben wij een lessenserie ontworpen waarin dezelfde meetkundige vaardigheden aan bod komen als tijdens een traditionele meetkundeles. In deze lessenserie is uitleg over de bediening van de meetkundige software verweven. Na afloop van de lessenserie willen we voor elk van de vier in het theoretisch kader vastgestelde niveaus van Van Hiele vaststellen of leerlingen die met meetkundige software werken meer leerwinst boeken dan leerlingen uit een controlegroep die met passer en liniaal werken. De hoofdvraag valt aldus uiteen in vier deelvragen:
1.1. Ontwikkelen leerlingen van de eerste klas die meetkundige software gebruiken zich beter bij het construeren van meetkundige objecten dan dezelfde soort leerlingen die de software niet gebruiken?
1.2. Ontwikkelen deze leerlingen zich beter bij het beschrijven van meetkundige objecten? 1.3. Ontwikkelen deze leerlingen zich beter als zij de geldigheid van een constructie met
informele deductie moeten verdedigen?
1.4. Ontwikkelen deze leerlingen zich beter bij het aanwenden van meetkundige kennis in nieuwe situaties?
In tweede instantie richten we ons op de vraag wat de mogelijkheden en problemen zijn om al op deze jonge leeftijd te beginnen met meetkundige software. We willen onderzoeken welke technische mogelijkheden van GeoGebra de leerlingen beheersen, en door welke aspecten in de omgang met de software ze worden belemmerd.
2. In hoeverre beheersen leerlingen uit de eerste klas de voor meetkundige software benodigde computervaardigheden?
Wij verwachten door ons onderzoek een beter beeld te ontwikkelen van de meetkundige én instrumentele vaardigheden van eersteklassers in de omgang met meetkundige software. In de lijn van de geraadpleegde literatuur verwachten we door de inzet van meetkundige software grotere leerwinsten op het niveau van informele deductie en op het accomoderende niveau.
We hopen door de uitkomsten van ons onderzoek aanbevelingen te kunnen doen voor intensievere inzet van meetkundige software in het onderwijs.
17
4. Methode
In dit hoofdstuk gaan wij in op het design, de steekproef, de interventie, de instrumenten en tot slot de wijze waarop de gegevens worden geanalyseerd.
4.1 Design
Omdat de twee soorten onderzoeksvragen verschillen wat betreft type passen we twee soorten designs toe:
1. Een traditioneel quasi-experimenteel design met voor- en nameting voor het evaluatieve onderzoeksdeel met de vergelijkende onderzoeksvraag.
2. Een beschrijvend design voor het probleemanalytische deel.
Wij kiezen voor het quasi-experimenteel design omdat een willekeurige verdeling over de twee condities praktisch niet haalbaar bleek. In de conclusie gaan wij in op mogelijke alternatieve verklaringen die wij niet hebben kunnen uitsluiten.
Het beschrijvende design wordt alleen toegepast op de experimentele groep. Mogelijk ontdekken we dat deelnemers aan het experiment tegen ontogenetische obstakels aan lopen (Brousseau, 1997). Dit zou een alternatieve verklaring kunnen geven voor het al dan niet vinden van leereffecten.
Bovendien kan dit aanleiding geven onze interventie in de toekomst aan te passen.
4.2 Condities
Ter toetsing van de eerste onderzoeksvraag hebben wij twee eerste klassen van elk dertig leerlingen (11-13 jaar) op het Barlaeus gymnasium aangewezen. De keuze voor het Barlaeus gymnasium is een praktische: één van de auteurs werkt op deze school en heeft met het oog op dit onderzoek kunnen plannen dat hij in het schooljaar 2014-2015 twee eerste klassen lesgeeft. Eén van deze klassen is – na loting – als experimentele groep aangewezen.
De experimentgroep kreeg het meetkundehoofdstuk over standaardconstructies in GeoGebra aangeboden van de eigen wiskundedocent, een auteur van dit onderzoek. Daartoe is een werkboek met opdrachten ontworpen met speciale aandacht voor het invoeren van parameters en het verslepen van punten (zie figuur 9, rechts), met verder dezelfde leerdoelen als in de gangbare methode (zie hiervoor de volgende paragraaf). De leerlingen kregen vier keer per week meetkunde gedurende een periode van zes weken (24 lesuren van 50 minuten). Door beperkte beschikbaarheid van de computerlokalen liep de interventie echter vertraging op. Hoewel de totale contacttijd tussen de experimentklas en de controleklas niet verschilde, is de module in de experimentklas zes
lesweken later afgesloten. In de experimentklas werden gemiddeld twee lessen per week aan de meetkundemodule besteed: in de controleklas bijna vier uur per week. De leerlingen hebben
zelfstandig aan de opdrachten gewerkt: ieder achter een eigen computer. De leraar beperkte zich tot individuele uitleg, en het aanmoedigen van leerlingen om elkaar te helpen.
De controlegroep had les van dezelfde docent, maar verwerkte de opdrachten op traditionele wijze, met passer en liniaal (zie figuur 9, links). Gemaakte opdrachten werden hier veelal klassikaal
besproken. Door de verschillen in werkvorm tussen de experimentklas en de controlegroep
18
Figuur 9 Opdracht 7c uit de gangbare methode (links). Opgave in het GeoGebra-werkboek (rechts)
In figuur 9 (links) is een voorbeeld te zien van een opgave uit de gangbare methode. In de opgave wordt gevraagd naar de constructie van een driehoek met drie gegeven zijden (opgave 7c). In het d-onderdeel moet de constructie nog eens worden herhaald met drie zelf bedachte lengtes. In het voor dit onderzoek ontworpen GeoGebra-werkboek (rechts in de figuur) worden drie parameters
opgevoerd waardoor de leerling in korte tijd diverse voorbeelden van dezelfde constructie kan produceren. Het probleem van de driehoeksongelijkheid (onderdeel e in de gangbare methode) kan in GeoGebra worden geëxploreerd met een onuitputtelijk groter aantal voorhanden voorbeelden. Het Barlaeus gymnasium heeft een populatie die vergelijkbaar is met andere categorale gymnasia in Nederland. Omdat categorale gymnasia alleen leerlingen met een vwo-advies aannemen zijn de gemiddelde resultaten doorgaans iets beter dan het landelijk vwo-gemiddelde. Conclusies aan de hand van deze clustersteekproef zouden kunnen worden gegeneraliseerd naar alle eersteklassers op categorale gymnasia in Nederland, maar zover rijkt de pretentie van dit oriënterende onderzoek niet. Het is om die reden niet relevant om de resultaten tussen de experimentklas en de controlegroep op toeval te toetsen (Agresti & Franklin, 2009).
4.3 Interventie
Wij hebben een werkboek met opdrachten ontworpen (bijlage F) met dezelfde leerdoelen als in de methode (Aalberts e.a., 2008) die op deze school wordt gebruikt, te weten:
a) Kennismaken met construeren met passer en rechte als belangrijk deel van de meetkunde en daarmee voorbereiden op het formele redeneren en bewijzen
b) Formuleren en beschrijven hoe de constructie is uitgevoerd
c) Bijzondere lijnen in driehoeken construeren en de om- en ingeschreven cirkel van een driehoek
19
e) Met behulp van informele deductie beargumenteren waarom een constructie klopt. De basisconstructies komen aan bod, bijvoorbeeld die van de bissectrice, en van een driehoek waarvan de lengtes van alle zijden zijn gegeven. Deze eenvoudige constructies kunnen opgelost worden door leerlingen die het visuele niveau van Van Hiele beheersen. Om leerlingen op het
analytische niveau te brengen is er aandacht voor het beschrijven van deze constructies als een
opeenvolgende serie van het tekenen van (delen van) lijnen en cirkels en hun snijpunten. Om leerlingen op het niveau van informele deductie te brengen zijn er ook opdrachten waarin de verdediging van de geldigheid van een constructie aan bod komt. Bijvoorbeeld om de geldigheid van de constructie van een bissectrice te verdedigen kunnen leerlingen de congruentie van ΔABD en ΔACD met kleuren laten zien (figuur 10, links). Tenslotte is er een aantal opdrachten ontworpen waarin de behandelde constructies in een nieuwe situatie moeten worden toegepast
(accomoderende niveau). Zo wordt bijvoorbeeld gevraagd te onderzoeken hoe bij een gegeven cirkel het in- en omgeschreven vierkant geconstrueerd kan worden. Om het ingeschreven én
omgeschreven vierkant van een cirkel te vinden zullen de leerlingen kennis over loodlijnen en
raaklijnen moeten inzetten. Een mogelijke constructie die door leerlingen gegeven kan worden wordt in figuur 10 (rechts) aangegeven. Door deze constructies succesvol uit te voeren, tonen de leerlingen aan dat ze niet alleen de eerste drie niveaus van Van Hiele hebben bereikt, maar ook dat ze diepgang in hun meetkundige kennis hebben opgebouwd. Een leerling laat hiermee zien het accomoderende niveau te hebben bereikt.
Figuur 10: constructie van bissectrice (links). Constructie ingeschreven en omgeschreven vierkant (rechts).
Om optimaal te profiteren van de voordelen van dynamische meetkundige software is er in het werkboek bijzonder aandacht voor het verslepen van punten en het gebruik van parameters. Zoals wij in het theoretisch kader hebben toegelicht zijn dat twee belangrijke voordelen van het gebruik van meetkundige software. Zo wordt bij opdracht 1.15 van het werkboek aan de leerlingen gevraagd om twee parameters op te voeren (figuur 11).
20
Figuur 11: parameters opvoeren bij opdracht 1.15.
Leerlingen van de experimentgroep bewaarden hun opdrachten in een digitaal portfolio. De opdrachten werden digitaal ingeleverd (zie bijlage F). De leerling kreeg hierop feedback en per opdracht een voorlopig cijfer. Het werk kon vervolgens nogmaals worden ingeleverd, waarna een definitief cijfer volgde. De cijfers voor deze opdrachten telden mee voor het vaststellen van het rapportcijfer.
De leerlingen uit de controlegroep leverden tijdens de cursus drie keer hun schrift in. Hierdoor duurde het soms langer dan in de experimentklas tot een leerling feedback kreeg op de opdrachten. Wél konden ook de leerlingen uit de controlegroep het werk opnieuw inleveren alvorens een definitief cijfer voor “het schrift” werd vastgesteld.
4.4 Instrumenten en analyse
Om de eerste onderzoeksvraag, naar de verschillen in leerwinst, te beantwoorden hebben we een voor- en een natoets gedaan. Hierin zijn de vier niveaus van Van Hiele uitgesplitst. In de toets zijn vragen opgenomen waarvoor: het visuele niveau vereist is (onderzoeksdeelvraag 1.1 naar het construeren van meetkundige objecten), het beschrijvende niveau (deelvraag 1.2 naar het beschrijven van meetkundige objecten), het niveau van informele deductie (deelvraag 1.3) en het accomoderende niveau (deelvraag 1.4 naar het aanwenden van meetkundige kennis in nieuwe situaties).
Er heeft een voormeting plaatsgevonden naar reeds aanwezige vaardigheden (bijlage C) teneinde gerealiseerde leerwinsten tussen experimentgroep en controlegroep te kunnen vergelijken. De vaardigheden ten aanzien van constructies en van de beschrijving daarvan werden voorgemeten aan de hand van twee eenvoudige constructies. Om het startniveau van informele deductie en de inzet van meetkundige kennis in nieuwe situaties vast te stellen, legden we de leerlingen qua niveau oplopende meetkundige kangoeroeopdrachten1 voor.
Tot besluit van de cursus werd een toets afgenomen (bijlage A). Deze toets is een directe afgeleide van een bestaand proefwerk, horend bij de methode. Er zijn echter relatief meer explorerende vragen opgenomen, om het accomoderende niveau van de leerlingen betrouwbaar vast te stellen.
21
De opdrachten uit de toets zijn direct te koppelen aan de vier Van Hiele niveaus. Opgave 1a en 2a betreffen het visuele niveau: voor het uitvoeren van de gevraagde constructies is alleen het visuele niveau vereist (zie bijvoorbeeld figuur 4). De onderdelen 1b en 2b betreffen het beschrijvende niveau. Een correcte beschrijving van de constructie van bissectrice en middelloodlijn vereist het beschrijvende niveau (figuur 3). Opgave 1c, 2d en 4b betreffen het niveau van informele deductie. Voor een juiste verdediging van de constructies is het niveau van informele deductie vereist. Op dit niveau kan een leerling de geldigheid van een constructie met behulp van intuïtieve ideeën over congruentie aantonen (figuur 5). De opdrachten 3, 4a en 5b vereisen het accomoderende niveau. Leerlingen die deze vragen goed beantwoorden (zie bijvoorbeeld figuur 6), zijn in staat hun
meetkundige kennis in te zetten in nieuwe situaties en bevinden zich op het accomoderende niveau. De opdrachten werden digitaal ingeleverd. In de controlegroep werd deze toets schriftelijk gemaakt, met passer en liniaal.
Voor elk van de vier deelvragen kan per leerling de leerwinst worden berekend door de resultaten van de voormeting en van de eindtoets van elkaar af te trekken. Voor elke leerling hebben we zo per Van Hiele niveau de leerwinst berekend. Vervolgens kan voor de experimentgroep en de
controlegroep de gemiddelde verschilscores worden berekend. Deze twee gemiddelden worden van elkaar afgetrokken en gedeeld door de gezamenlijke (gepoolde) standaarddeviatie van de
verschilscores. Dit quotiënt – Cohen’s d – is een gangbare maat die de gevonden effectgrootte onderverdeelt naar “groot”, “gemiddeld”, “klein” of “geen” (Baarda, de Goede & van Dijkum, 2007).
Tabel 1: Effectgrootte Cohen (Baarda, de Goede & van Dijkum, 2007)
Effectgrootte D
Groot 0.80-1.29
Gemiddeld 0.50-0.79
Klein 0.20-0.49
Geen 0.-0.19
Bij de vaststelling van de effectgrootte volgens Cohen’s d zijn de gegevens gebruikt van 25 leerlingen uit de experimentklas en 27 leerlingen uit de controleklas. De gegevens van de acht leerlingen die niet bij alle meetmomenten aanwezig zijn geweest, zijn niet meegerekend.
Om de tweede onderzoeksvraag (over de ervaren problemen bij het gebruik van GeoGebra) te beantwoorden gebruikten we een tussentoets. Het tweede doel van ons onderzoek is een antwoord te vinden op de vraag wat de mogelijkheden en problemen zijn om al op deze jonge leeftijd te beginnen met meetkundige software. Om te onderzoeken welke instrumentele vaardigheden van
GeoGebra de leerlingen beheersen en door welke aspecten in de omgang met deze software ze
worden belemmerd, namen we na ongeveer tien lessen in de experimentgroep onaangekondigd een tussentoets af (bijlage B). Zo is bijvoorbeeld gemeten of leerlingen uit de experimentgroep
meetkundige objecten kunnen verslepen, en of ze in staat zijn om een variabele waarde met behulp van een schuifknop te introduceren. Aan de hand van deze data zullen we een uitspraak doen over
22
de vraag of de inzet van GeoGebra ontogenetische obstakels zal opwerpen bij het leren van meetkunde.
De resultaten van leerlingen die onvoldoende beheersing van instrumentele vaardigheden aan de dag leggen om goed en snel met dynamische meetkundige software te werken, worden niet opgenomen in de analyses bij de bepaling van de verschillen in leerwinst tussen de experiment- en controleklas2. Gebrekkige omgang met de software verstoort in sterke mate het leerproces
(Brousseau, 1997), waardoor ook de ontwikkeling van meetkundig inzicht kan worden geremd. Mogelijke leerwinstverschillen kunnen dan niet worden toegeschreven aan verschillen in de methodiek.
4.5 Betrouwbaarheid en validiteit van de interventie
Om de leerwinstverschillen te meten, hebben we voor elk van de vier niveaus slechts een beperkt aantal opgaven voorgelegd (zie paragraaf 4.1) – dit gezien de belasting aan tijd en inspanning van de leerlingen bij het maken van de voor- en de natoets. Dit geringe aantal opgaven per niveau van Van Hiele leent zich niet voor een adequate berekening van Cronbachs alpha. Deze maat voor
betrouwbaarheid is namelijk gevoelig voor het aantal opgaven: hoe minder opgaven (per niveau) des te lager Cronbachs alpha. De twee tot drie opgaven die we per niveau aan experiment- en
controlegroep hebben voorgelegd, zijn simpelweg te weinig om de betrouwbaarheid van de toets mee vast te stellen. Ook een test-hertest leek ons niet geschikt: niet in praktische zin (belastbaarheid van leerlingen en beschikbare lestijd) noch vanwege het risico van herkenning van de opgaven door de leerlingen. Wel hebben wij de opgaven tevoren voorgelegd aan ervaren vakdidactici, om de kwaliteit en de inhoudelijke validiteit te waarborgen. Voor het overige hebben wij de procedure van afname zoveel mogelijk gestandaardiseerd ter voorkoming van ruis of systematische factoren.
5. Resultaten
Dit hoofdstuk bevat de resultaten van ons onderzoek. Deze resultaten betreffen 25 leerlingen uit de experimentele groep en 27 leerlingen uit de controlegroep die meededen aan alle metingen. Acht leerlingen die niet bij alle meetmomenten aanwezig zijn geweest zijn niet meegenomen in de resultaten. We doen verslag van de gemeten leerwinsten in de voor ons onderzoek relevante deelgebieden. Ten slotte presenteren we de uitkomsten van ons onderzoek naar de beheersing van computervaardigheden.
5.1 Ontwikkeling van meetkundig begrip
Voor elk van de voor ons onderzoek relevante meetkundige deelgebieden – construeren, beschrijven van constructies, informele deductie en inzet van reeds vergaarde kennis in nieuwe situaties – is het effect van de interventie doorgemeten. Deze resultaten worden vermeld in de tabellen 2a en 2b. De scores zijn uitgedrukt in de percentages juist beantwoorde vragen. De scores van de voormetingen
2 Achteraf bezien bleken er geen leerlingen in de experimentgroep te zijn geweest die dusdanig hinder hebben
23
voor het derde en vierde niveau van Van Hiele zijn geïndexeerd met een factor 2/7, dit om de scores van de voormeting in overeenstemming te brengen met de resultaten van de eindtoets.
Tabel 2a: Resultaten experimentgroep per meetkundig deelgebied (percentages)
Voormeting Nameting Verschil
1. Construeren 24 (std. = 35,7) 98 (std. = 10,0) 74 2. Beschrijven 5 (std. = 14,4) 83 (std. = 25,6) 78 3. Informele deductie 28 (std. = 5,3) 28 (std. = 23,5) 0 4. Nieuwe situaties 28 (std. = 5,3) 48 (std. = 35,5) 20
Tabel 2b: Resultaten controlegroep per meetkundig deelgebied (percentages)
Voormeting Nameting Verschil
1. Construeren 13 (std. = 26,3) 93 (std. = 16,6) 80 2. Beschrijven 6 (std. = 14,4) 79 (std. = 23,1) 73 3. Informele deductie 25 (std. = 6,2) 26 (std. = 21,0) 1 4. Nieuwe situaties 25 (std. = 6,2) 46 (std. = 34,4) 21
Tabel 3 vermeldt de bijbehorende effectgroottes volgens Cohen’s d:
Tabel 3: Effectgrootte
Cohen’s d Effectgrootte
1. Construeren -0,20 Klein (negatief)
2. Beschrijven 0,16 Geen
3. Informele deductie -0,07 Geen
24
Het gebruik van meetkundige software heeft een zeer zwak remmend effect op de leeropbrengsten bij het maken van constructies. Bij het beschrijven van constructies, bij informele deductie en bij de inzet van vergaarde meetkundige kennis in nieuwe situaties zijn de verschillen tussen de
leeropbrengsten te klein om van enig effect te kunnen spreken.
Van geen van de deelnemers aan het experiment was de omgang met de software dermate ontoereikend dat de resultaten uit de vergelijkende analyse niet konden worden gebruikt (zie paragraaf 5.2).
5.1.1 Construeren van meetkundige objecten
De toetsresultaten laten zien dat de ontwikkeling bij het construeren van meetkundige objecten licht wordt geremd door de inzet van meetkundige software. Deze negatieve effectgrootte is echter volledig toe te schrijven aan de betere resultaten van de experimentklas bij de voormeting. In de experimentklas is weliswaar minder leerwinst geboekt, maar tegelijkertijd kan worden vastgesteld dat vrijwel alle deelnemers aan het experiment in staat zijn om een meetkundige constructie uit te voeren. Alle eersteklassers beschikken over voldoende meetkundige vaardigheden om een
constructie – hetzij met passer en liniaal, hetzij met meetkundige software – te kunnen uitvoeren. Het vereiste visuele niveau van Van Hiele is bij vrijwel alle deelnemers aanwezig. De resultaten suggereren dat passer en liniaal even goed kunnen worden ingezet bij het leren als meetkundige software.
Zoals in figuur 12 te zien is doorzien de meeste leerlingen de regels van het constructiespel nog niet aan het begin van de lessenserie. Gevraagd om het midden van lijnstuk AB te vinden, wordt het prikkenbeen van de passer net zo lang verschoven tot het lijkt of de cirkel zowel A als B snijdt (figuur 12, boven). De bissectrice die door dezelfde leerling in de slottoets wél correct werd geconstrueerd (onder links), is exemplarisch voor het niveau dat door vrijwel alle eersteklassers aan het einde van de cursus wordt gehaald. Ook in de experimentklas wordt de constructie van de bissectrice door vrijwel iedereen correct uitgevoerd (onder rechts), in dit geval met behulp van de parameters a en b waarmee de stralen van de hulpcirkels kunnen worden gevarieerd.
25
Figuur 12 Foutieve constructie van het middelpunt van de cirkel (boven). Correcte constructie van bissectrice in de afsluitende toets (onder links). Constructie van de bissectrice in de experimentgroep (onder rechts).
5.1.2 Beschrijven van constructies
Bij het beschrijven van de constructies zijn de gemeten verschillen tussen de leeropbrengsten te klein om van enig effect te kunnen spreken. De inzet van meetkundige software heeft geen effect op de ontwikkeling van meetkundige kennis waarvoor het analytische niveau van Van Hiele vereist is. Zo’n effect hadden we ook niet verwacht. In een beschrijving van een meetkundige constructie geeft een leerling zich rekenschap van de eis dat een meetkundig object enkel en alleen is opgebouwd uit (delen van) lijnen en cirkels en hun snijpunten. De toegang tot meetkundige software daarbij is niet per se voordelig. De beschrijving van een constructie wordt niet inzichtelijker door de mogelijkheid om in korte tijd diverse voorbeelden van dezelfde constructie te produceren, een belangrijk voordeel van het gebruik van meetkundige software. Een enkel voorbeeld van de constructie (bijvoorbeeld van een middelloodlijn) is in principe genoeg om de constructie stap voor stap te kunnen beschrijven.
26
Overigens zij opgemerkt dat Geogebra over een applicatie beschikt die de beschrijving van een constructie kan vergemakkelijken. Met de zogeheten navigatiebalk kan de gebruiker de gemaakte constructie stap voor stap terugspelen (zie figuur 13). De docent heeft tijdens de lessenserie de leerlingen hier ook met regelmaat op geattendeerd. Wie met passer en liniaal werkt echter, heeft na voltooiing van een constructie überhaupt geen mogelijkheid om te zien in welke volgorde de lijnen, cirkels en hun snijpunten zijn aangebracht. Of dit voordeel van de navigatiebalk voor de beschrijving van de constructies ook daadwerkelijk werd uitgebuit, hebben wij niet nader onderzocht.
Figuur 13: de navigatiebalk van Geogebra.
Een blik op de resultaten van de voormeting leert dat voorafgaand aan de cursus vrijwel geen enkele eersteklasser in staat was een correcte omschrijving van een geslaagde constructie te geven. Daar komt nog bij dat de kans om te scoren bij de voormeting toch al klein was vanwege de voorwaarde dat de gevraagde constructie correct was uitgevoerd, iets wat slechts één op de vier tot één op de zeven kinderen lukte. De scores bij de voormetingen vielen zo laag uit, dat er sprake is van een zogeheten bodemeffect. Er kan daardoor geen goede vergelijking worden gemaakt tussen voor- en nameting.
27
5.1.3 Informele deductie
Ook op het niveau van informele deductie zijn de gemeten verschillen tussen de leeropbrengsten te klein om van enig effect te kunnen spreken. De inzet van meetkundige software heeft geen positief effect op de ontwikkeling van meetkundige kennis waarvoor het derde Van Hiele niveau is vereist. De resultaten uit de controleklas laten zien dat het vermogen om een redenering met informele deductie te kunnen maken bij eersteklassers sterk wisselend aanwezig is. Ruim de helft is in staat op grond van symmetrie of congruentie te beredeneren waarom een constructie geldig is. In figuur 14 is een voorbeeld te zien van een leerling die een redenering bij de constructie van een bissectrice geeft op basis van symmetrie (links). Correcte redeneringen echter die niet op symmetrie-eigenschappen berusten, maar op complexere kennis van de driehoeksongelijkheid bijvoorbeeld of van de
omgeschreven cirkel, zijn veel sporadischer. De leerling die kan verdedigen waarom zijn constructie het middelpunt van de gegeven cirkel geeft (rechts), behoort tot de meetkundige elite van zijn klas.
Figuur 14: Links een constructie met gebruik van informele deductie en symmetrie. Rechts een correcte redenering die niet op symmetrie berust.
De resultaten in de experimentklas komen sterk overeen met die van de controleklas. Ook hier is het vermogen om een redenering met informele deductie te kunnen maken sterk wisselend aanwezig. Ruim de helft van de leerlingen is in staat een constructie op grond van symmetrie-eigenschappen te verdedigen. Complexere redeneringen worden ook door de leerlingen van de experimentklas, die op de computer hebben gewerkt, zelden gemaakt. De inzet van meetkundige software lijkt geen effect te hebben op het vermogen om een redenering met behulp van informele deductie te maken. In figuur 15 is rechts een voorbeeld te zien van een goede redenering, maar in de linkerfiguur lukt het de leerling niet een geldige redenering te geven bij de constructie van een bissectrice.
28
Figuur 15 Rechts een voorbeeld van een correcte redenering op grond van symmetrie-overwegingen. Links mislukt dit.
Het meten van leerwinstverschillen werd bemoeilijkt doordat de meeste eersteklassers tot de start van de cursus nooit eerder meetkundige constructies hebben gemaakt. Om toch een startniveau te kunnen vaststellen, hebben we enkele kangoeroeopdrachten met een meetkundig karakter
voorgelegd. Maar het is de vraag of de gebruikte kangoeroeopgaven een goede maat zijn om het niveau van informele deductie bij de voormeting vast te stellen.
5.1.4 Aanwenden van voorkennis in nieuwe situaties
Ook het aanwenden van voorkennis in nieuwe situaties lijkt in de eerste klas niet te worden
bevorderd door de inzet van meetkundige software. Op het accomoderende niveau zijn de gemeten verschillen tussen de leeropbrengsten te klein om van enig effect te kunnen spreken. Een dergelijk effect trad wél op in eerder onderzoek bij oudere kinderen (Kondratieva, 2011; Joubert, 2013). In de conclusie zullen we het uitblijven van dit effect trachten te verklaren.
5.2 Beheersing van computervaardigheden
De leerlingen uit de experimentele groep hebben halverwege de lessenserie een tussentoets (zie bijlage B) gemaakt met opdrachten in GeoGebra om de computervaardigheden te meten. De instrumentele vaardigheden in de omgang met de software van de leerlingen zijn op ruim voldoende tot zeer goed niveau. Op grond van de pilot ligt dit resultaat ook in de lijn der verwachting. Alle leerlingen hebben ten minste 18 van de 22 gevraagde GeoGebra-opdrachten foutloos gemaakt. Van de gemaakte fouten die er zijn gemaakt is het merendeel niet technisch van aard, maar het gevolg van standaardproblemen zoals het slecht lezen van de vraag. Deze uitkomst betekent dat de omgang met de software geen hindernissen opwerpt voor eersteklassers van het vwo.
5.3 Samenvatting van de resultaten
Uit de resultaten blijkt dat er nauwelijks enig verschil is in de ontwikkeling van meetkundig begrip bij de inzet van dynamische software door jonge gebruikers vergeleken met traditioneel
29
toegeschreven aan ontogenetische obstakels bij de omgang met de software. Alle deelnemers aan de interventie leggen voldoende beheersing van computervaardigheden aan de dag om te kunnen profiteren van mogelijke voordelen van het gebruik van dynamische meetkundige software.
6. Conclusies en discussie
In dit hoofdstuk geven we antwoord op de onderzoeksvragen. We bekijken in hoeverre elk van de vier niveaus van Van Hiele afzonderlijk wordt bereikt. Vervolgens is er aandacht voor alternatieve verklaringen voor de gevonden effecten. Ten slotte zullen we reflecteren op de methodologie van dit onderzoek.
6.1 Onderzoeksvraag 1: invloed van meetkundige software op
begripsontwikkeling
Uit de resultaten van het onderzoek valt te concluderen dat de inzet van meetkundige software door eersteklassers van het Barlaeus gymnasium geen extra bijdrage levert aan de ontwikkeling van meetkundig begrip en vaardigheden. Het niveau dat de leerlingen in de experimentgroep hebben bereikt na voltooiing van de lessenserie is gelijk aan dat van de leerlingen die de software niet hebben gebruikt.
Voor het maken van constructies wordt een minimaal negatief effect gemeten. De oorzaak van dit effect kan echter worden verklaard door de hogere gemiddelde score bij de voormeting in de experimentklas. De betreffende vragen in de nameting worden namelijk door zo goed als iedereen foutloos beantwoord. De conclusie is dat de jonge gebruiker van meetkundige software evenzeer in staat is meetkundige objecten te construeren als kinderen die dat met passer en liniaal doen. De inzet van meetkundige software heeft geen effect op de leerontwikkeling bij het beschrijven van constructies. In het algemeen kan worden gesteld dat een grote meerderheid van de leerlingen in staat is een correcte beschrijving van een constructie te geven. De inzet van meetkundige software doet daaraan niets af.
Ook op het niveau van informele deductie en bij het aanwenden van meetkundige kennis in nieuwe situaties worden geen opbrengsteffecten ten faveure van de inzet van meetkundige software gemeten. Hoewel onderzoek onder oudere kinderen een dergelijk effect voorspelde (Kondratieva, 2011; Joubert, 2013), suggereren onze resultaten dat die conclusie voor jongere kinderen niet valt te trekken. In het algemeen geldt dat veel leerlingen op deze leeftijd nog moeite hebben met het maken van een informele deductieve redenering. Ook de vaardigheid om meetkundige kennis in nieuwe situaties in te zetten is wisselend aanwezig. Het bereiken van de hogere Van Hiele niveaus is voor jonge kinderen niet altijd haalbaar, zoals Van Hiele ook zelf heeft ondervonden (1999). Deze bevindingen zijn in lijn met oudere onderzoeken naar Van Hiele niveaus bij jonge kinderen
(Mayberry, 1983). We hebben niet kunnen aantonen dat het gebruik van meetkundige software daar een positieve invloed op heeft.
30
Een verklaring voor het uitblijven van dit effect kan zijn dat kinderen op deze jonge leeftijd de voordelen van de dynamische software (het verslepen van punten en het gebruik van parameters) niet weten te benutten, of dat ze daar beter in moeten worden getraind. Opgave 3 van de eindtoets is in het voordeel van de computergebruiker ontworpen (figuur 16). Gevraagd om een raakcirkel bij gegeven middelpunt A aan een gegeven rechte te geven, past traditioneel een flink deel van de eersteklassers de straal van de cirkel af zodat het lijkt dat cirkel en lijn precies één punt
gemeenschappelijk hebben (links). Zowel door in te zoomen (midden) als door te gaan slepen met het afgepaste punt B op de rechte (rechts) kan de gebruiker van GeoGebra de fout in zijn antwoord opsporen. Niettemin wordt de foute oplossing door te mikken ook in de experimentklas regelmatig gegeven.
Figuur 16
In de eindtoets is een drietal vragen opgenomen om vast te stellen in hoeverre het accomoderende niveau wordt bereikt (bijlage A: de vragen 3, 4a en 5a). Met het gevaar naar het resultaat toe te willen redeneren, zij opgemerkt dat de leerlingen in de controlegroep wel degelijk significant beter scoren (Cohen’s d = 0,24) bij de vragen die teruggrijpen op de stof die later tijdens de module is aangeboden. Een negatief leereffect (Cohen’s d = -0,41) lijkt aan te wijzen bij opgave 5a, die voortbouwt op stof die juist in het begin van de module ter sprake kwam. Dit zou verklaard kunnen worden aan de hand van de theorie dat onthouden van scherm moeilijker gaat dan van papier (Mangen, 2008). Overigens kan hierbij ook de uitvoering van de interventie een verstorende rol hebben gespeeld. Door beperkte beschikbaarheid van de computerlokalen heeft de interventie vertraging opgelopen, waardoor de tijd tussen oefening en terugvragen langer was dan in de controleklas. Wellicht dat in deze groep de voor dit vraagstuk relevante kennis verser in het geheugen lag.
Het verwerven van deze vaardigheden an sich betekent nog niet dat kinderen op deze leeftijd daar ook per se hun voordeel mee zullen doen. Vervolgonderzoek zou hier uitsluitsel over kunnen geven.
6.2 Onderzoeksvraag 2: computervaardigheden
Alle deelnemers aan de interventie leggen voldoende beheersing van computervaardigheden aan de dag om te kunnen profiteren van mogelijke voordelen van het gebruik van dynamische meetkundige software. De conclusie is tweeërlei:
31
- Het uitblijven van extra opbrengsteffecten door jonge gebruikers van meetkundige software kan niet worden toegeschreven aan problemen in de omgang met de software zelf.
- Het is niet nodig te wachten met de inzet van meetkundige software uit angst voor ontogenetische obstakels.
Wij interpreteren dit als een positief resultaat. Het is bemoedigend dat de experimentklas, ondanks een ingrijpende wisseling van lesmethode, vergelijkbaar presteert met de controlegroep volgens een beproefde methode.
6.3 Reflectie op de methode
In de gebruikte methodiek zijn drie knelpunten aan te wijzen, alle in verband met het meten van leerwinsten.
De negatieve effectgrootte die wordt gemeten voor de leerwinst op visueel niveau, is volledig toe te schrijven aan de betere resultaten van de experimentklas bij de voormeting. In de experimentklas is weliswaar minder leerwinst geboekt, maar tegelijkertijd kan worden vastgesteld dat alle deelnemers aan het experiment in staat zijn om een meetkundige constructie uit te voeren. Bij herhaling van het experiment zou dit plafondeffect wellicht niet meer optreden door het niveau van de opgaven in de natoets te verhogen.
Vergelijking van de meetresultaten wordt voor het beschrijvende niveau juist bemoeilijkt door een
bodemeffect. De scores bij de voormetingen vielen erg laag uit. Voorafgaand aan de cursus was
vrijwel geen enkele eersteklasser in staat een correcte omschrijving van een constructie te geven. De kans om te scoren bij de voormeting was tóch al klein vanwege de voorwaarde dat de gevraagde constructie eerst correct moest zijn uitgevoerd. Bij herhaling van het experiment zou dit probleem kunnen worden omzeild door voorafgaand aan de gevraagde beschrijving de constructie te demonstreren.
Een derde complicatie deed zich voor bij de vergelijking tussen voor- en nameting op het niveau van informele deductie en het accomoderende niveau. Door de relatief makkelijke opdrachten van de voortoets en de moeilijker opdrachten van de natoets is een sterker effect gemeten dan wanneer de opdrachten van een meer vergelijkbaar niveau waren geweest. Wij hebben dit probleem met een indexering ondervangen. Bij herhaling van het experiment zou dit probleem kunnen worden voorkomen door het niveau van de opgaven uit de voormeting te verhogen.
6.4 Conclusies en aanbevelingen
De leerlingen die meetkunde hebben geleerd met de inzet van dynamische meetkundige software hebben geen betere resultaten behaald dan leerlingen uit de controlegroep. Vervolgonderzoek moet uitwijzen of het uitblijven van positieve leereffecten op met name het niveau van informele deductie en bij het aanwenden van meetkundige kennis in nieuwe situaties kan worden verklaard uit het feit dat kinderen van deze leeftijd – ondanks beheersing van de daartoe benodigde technische
vaardigheden – de bewezen voordelen van dynamische software niet weten te benutten. Toekomstige modules voor dynamisch meetkundeonderwijs in de eerste klas zouden opgaven kunnen bevatten, waarbij de dynamiek van de software direct al een belangrijke rol speelt. Een voorbeeld hiervan zou zijn om te onderzoeken of het ogenschijnlijk midden van een lijnstuk ook het werkelijke midden is (zie figuur 16 en 17). De voordelen van dynamiek – de mogelijkheid tot
32
inzoomen en het verslepen van ongebonden of deels gebonden punten (Drijvers, 2012) – kunnen met dit soort opdrachten dan in een vroeger stadium van de interventie worden benut.
Figuur 16 Met de optie Midden of middelpunt geeft geogebra het exacte midden C van lijnstuk AB. In eerste instantie lijkt dit samen te vallen met het gegeven punt P (rechts).
Figuur 17 Door in te zoomen ontdekt de leerling dat het exacte midden en het ogenschijnlijk midden tóch niet samenvallen (links). Ook is het mogelijk om P over AB te verschuiven. P is gebonden aan lijnstuk AB, maar niet aan het midden ervan (rechts).
Hoewel op grond van de theorie wij anders hadden verwacht, zijn onze resultaten in het licht van de wens om het meetkunde-onderwijs op onze scholen te moderniseren toch bemoedigend te noemen. De eersteklassers hebben laten zien dat de instrumentele omgang met deze – toch behoorlijk
geavanceerde – wiskundige software geen grote belemmeringen geeft. Het feit dat al in het eerste jaar van het werken met de nieuwe methode vergelijkbare leerwinsten worden geboekt, stemt ons optimistisch voor de toekomst.
Met ons onderzoek willen wij stimuleren dat meer collega’s meetkundige software in de onderbouw gaan gebruiken. In de bovenbouw kan de software dan haar echte potentieel laten zien. Bij het geven van wiskundige bewijzen, het ontwikkelen van vermoedens en het concept van de logische
deductieve zekerheid is de meerwaarde van dynamiek en interactie aangetoond. Door al vroeg te leren werken met deze software zijn de leerlingen optimaal voorbereid wanneer het er straks inhoudelijk écht op aankomt. Met de resultaten van dit onderzoek kunnen wij onze collega’s in de onderbouw aanmoedigen vaker en effectiever dynamische meetkundige software in te zetten.
