uitwerkingen 5 havo D H2

Hoofdstuk 2:

Afstanden

c. Vlak ABGH. Dit is een rechthoek van 10 bij ₈2_42 _{ 80}

d. _{AG 10}2_{( 80)}2 _{ 180 13,4} 2. a. _{HB  3}2_62_42 _{ 61 7,81} b. _{AP  6}2_32_22 _{ 49 7 HP  6}2_22 _{ 40} 2 2 3 4 25 5

AH     Driehoek APH is niet gelijkbenig.

c. 25 45 52 2    45 52 cos ACH 96,7cos 72 cos 0,74 42 ACH ACH ACH       o 3.

a. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek. Elke zijde vormt met punt S een gelijkbenige driehoek met tophoek 60o_.

b. _{AT  4}2_32 _{ 25 5} c. 2 5 cos AB BT ABT    d. 2 1 1 1 2 1 4 2 4 5 4 16 6 2 4 2 cos 22 20 14 AP      ABT     AP 3,77 e. 1 1 2 2 ' 1 QQ  TS f. 2 1 2 2 6 (1 ) 6,18 AQ   4. a. _{PB  2}2_22_52 _{ 33 5,74PE PS} ₂

b. PS staat loodrecht op ABFE, dus ook loodrecht op BE. c. ABQR want QR // BC ABRS want RS // BF

Dus ABPQRS want AB staat loodrecht op 2 snijdende lijnen in vlak PQRS. En dus ABPR want AB staat loodrecht op iedere lijn in het vlak PQRS. d. _{d P CD( , ) 2}2_102 _{ 104 10,2} e. _{d P KL( , ) 6}2_62 _{6 2 8,5} 5. a. punt S b. PS c. In het zijaanzicht: d P CDHG( , ) 10

6.

a. d G ADHE( , )GH 4

b. d A DCGH( , )AD4

c. d E DBFH( , )EM_HF 2 2, hierin is MHF het midden van HF.

d. d R HC( , ) 2 7. a. AC5 2 7,1 b. 1 212 2 2 4 sin ATC  1 2 62,1 124 ATC ATC     o o

c. Omdat ATC stomp is.

d. De loodlijn uit A snijdt CT in M.

4 180 124 56 sin56 4sin56 3,31 AM ATM AM        o o o o o 8. a. AC4 2 CF  AF b.

c. ACBD (diagonalen van een vierkant)

AC BF (BF staat loodrecht op het grondvlak, dus loodrecht op iedere lijn in het grondvlak)

ACBDHF, dus AC FM want FM ligt in vlak BDHF. d. FM 2 2 3 2 6 4,90 9. a. AB c. _{d A HG( , ) 3}2_42 _{ 25 5} b. AH d. _{d A CG( , ) 10}2_42 _{ 116 10,8} 10. a. ABGH b./c. d. VABH : VPBA 5 10 125 4,47 AP _  _ 11. a. _{AT  (3 2)}2_62 _{ 54} 3 2 6 _3,46 AS AT SK ST AST SKT SK     V : V 125 HB AB10 5 AH  AP ...

12. a. BE 8 2 _{EP BP  8}2_42 _{ 80 8,94} b. _{d P BE( , ) ( 80)}2_{(4 2)}2 _{ 48 6,93} c. 1 2 8 2 48 39,19 BED Opp    

d. De oppervlakte van een driehoek is 1

2basis hoogte , waarbij de hoogte loodrecht

staat op de basis. e. 1 2 39,19  80d E BP( , ) 1 2 39,19 80 ( , ) 8,76 d E BP   13. a. _{AT  (18 2)}2_222 _{33,65 m} b. _{d T AB( , ) 33,65}2_182 _28,4 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 511,66 33,65 ( , ) 36 28,4 511,66 ( , ) 33,65 ( , ) ( , ) 30,4 ABT Opp AB d T AB BT d A BT d A BT d A BT _                c. 22 18 tan   50,7o d. 1 2 ( , ) 14,2 l  d T AB  m 14. a. d E grond( , )EA2 b. d E RSMN( , )EP 4 c. 1 2 ( , ) 2 1,41 d E AH  ED 

d. HG ligt in het vlak ABMN. d E ABGH( , )d E AH( , )

e. d E CQPD( , )ED2 2 2,83

15.

a. Als een lijn l loodrecht staat op een vlak V, dan staat elk vlak waar l in ligt loodrecht op V.

HF EG (diagonalen van een vierkant) en HF GC (GC staat loodrecht op vlak AFGH), dus HF staat loodrecht op ACGE. Dus elk vlak waar HF in ligt, (o.a. AFH) staat loodrecht op ACGE.

b. AM c. d. l AM en l FH, omdat FH ACGE e. _{AM  4}2_{(2 2)}2 _{ 24} 4 2 2 24 ( , ) 2,31 AM EM AE EK AEM AKE d E AM EK      V : V

16. d E ABJ( , )d E AI( , ) 4 2 20 16 4 20 ( , ) 1,79 AI EI AE EL AI AEI ALE d E AI EL         V : V 17. a. d B ACT( , )d B AC( , ) 4 2 5,66 b. d S AD( , ) 3 c. d S ADT( , )PS 2 2 3 6 3 6 6 3 45 2,68 PS PS      18. a. 1 1 . 3 ( 6 6) 6 362 ABD E I       b. 3 . 4 6 4 36 72

BDEG kubus ABD E

I I  I     c. BD BE DE6 2 1 2 6 2 (3 2 3) 18 3 31,18 BDE Opp       d. 1 3 72 31,18d G BDE( , ) d G BDE( , ) 48 6,93 19. a. _{AM  4}2_{(3 2)}2 _{ 34} 4 3 2 34 ( , ) ( , ) 2,91 AE EM AM d E AFH d E AFH      

b. (AFH ABCD, ) (AM AC, ) MAC 4 3 2 tan 43 MAC MAC     o

c. AMC180o  2 AME 180o  2 MAC93o

d. Het vlak ADPQ met Q op HG en PQ // AD maakt een hoek van 45o _{met ADHE.}

Dan is EAP 45o _{en EP 4.} 6 4 4 2 ( , ) ( , ) ( , ) 4,24 AB d P AB AP d B AP d B AP       20. a.

b. De bodem wordt gevormd door 6 gelijkzijdige driehoeken.

54 27 27 3 18 3 FM EM EF ED EMF DME ED     V : V 1 2 2 18 3 (9 3 3) 420,9 6 420,9 2525 EBD EBGCFA Opp Opp cm         c. d A BC( , ) 27 3 46,8 cm.

d. AK DK 27 3 en AD54

De hoogte van de piramide DD’ is gelijk aan d(D, AK)

2 2 54 38,2 27 3 ( , ) ( , ) 54 (27 3) 27 27 3 ( , ) ( , ) 44,1 ( , ) ( , ) 50 44,1 5,9 50 2 5,9 38,2 AD d K AD AK d D AK d D AK d D AK cm d D EFG d H ABC cm DH cm                   21. a. Omdat AE // BF. b. d P BDHF( , )d A BD( , ) 2 2 8 6 8 6 ( , ) ( , ) 4,8 AB AD BD d A BD d A BD        c. Die afstand is 4,8. 22.

a. AT is even steil als CT. En zowel P als Q ligt op afstand 2 van de top, dus liggen P en Q even hoog.

b.

c. punt P. De afstand van PQ tot het grondvlak is dan PP’.

2 1 2 2 ' 5 7 (2 2 ) 7 ' ' 4,32 AT MT AP P P AMT AP P P P     V : V 23.

a. De hoogtelijn uit B op AC heeft lengte 3 3 3. b. Het midden M van EF.

c. DM MM 'DM d M DM' ( , ') 2 2 3 4 3 4 ( , ') 2,4 d M DM     24. a. d P ADRS( , )d P RS( , ) 2 2 3 4 4 3 ( , ) ( , ) 2,4 AP PS AS d P RS d P RS        b. d S PQGF( , ) 2,4 (symmetrie) c. d T ADRS( , ) 2,4

d. De twee vlakken ADRS en PQGF zijn evenwijdig. e. d CTD EFU( , )d CM UF( , ) met M het midden van BF.

2 2 2 4 2 4 1,79 FG MK FM FU MKF FGU MK      V : V

25.

a. D d EKL( , )d D EKLH( , )d D HL( , ) 4 4₂₀ 3,58 b. zie opgave 24e: h1,79.

26.

a. _{h 4}2_32 _{ 7 2,65 m}

b. (ABFE ABCD, ) (AE AD, ) DAE 3 4 cos 41,4 DAE DAE     o (CDFE ABCD, ) 41,4 o

De hoek tussen BCF en ABCD is de hoek van F, midden BC, F’.

' 2,56 FF  en F M' 3 2,65 3 tan ' ' 41,4 FMF FMF     o

Ze lopen dus even schuin!

c. 1 1

2 3

( 6 2,65) 7 (3 6) 2,65 71

zolder prisma piramide

I I I          _m3_. d. 7 3 7 2  l 3 ( 7 2) 7 0,73 7 0,73 7,73 waslijn l l m        e. 7 3 2  PP' 6 7 ' 2,27 PP   _m. 7 2 ' 3 2 6 2 7 2 ' 2 ' ' 2 2 2 ' 3,21 (6 2,27 ) (7 ) 61,93 7,87 Q B Q B F Q Q B PQ PQ m           27. a. BD 6 2 2 2 ( , ) 6 (3 2) 3 2 6 2 8,5 d T ABCD TU      b. 1 2 ( , ) 1 2 2,1 d S TBD   c. 6 3 2 3 3 ( , ) 4,9 d AD BCT _  _ d. 1 3 2 2 3 tan UMT  1 2 54,7 109 UMT UMT     o o 28. a. 4 5 tan 

c. _{MN  5}2_42 _{1,20 1,50 3,70  m.} d. _{BF  1}2_3,702 _{3,84 m.} e. _{CF  3,84}2_3,252 _3,39 2 2 2 1,50 3,39 3,70 2 3,39 3,70cos 25,09cos 22,93 cos 0,91 23,9             o 5 4 tan 51,3 90 (23,9 51,3 ) 14,7 Hoek         o o o o o

f. Idakkapel Iprisma  2 Ipiramide 

1 1 1 2 1,50 3,39cos14,7 3 2 3 ( 1 1,50) 3,39cos14,72 9    o       o  m3_. 29. a. d A V( , )d A EP( , ) 2 2 6 4 6 1 3,95 AM AE EF EP AME EFP AM      V : V b. Dan ligt P in V. 2 2 6 4 6 4 ( , ) 3,33 d A EP     c. 2 3,5 4 6  _{36 x} 2 4 6 3,5 2 2 36 6,86 36 47 11 3,32 3,32 0,68 7,32 x x x x x BP BP               30. a. _{EF  (6 2)}2_32 _{ 81 9} b. c. AE  45 en AF 6 2 45 81 72 2 9 6 2 cos 152,7cos 108 cos 0,71 45 AFE AFE AFE AFE             o d. _{AC (6 2)}2_{(6 2)}2 _12 e. _{AS 12}2_62 _{ 180 13,4} f. tan FSD _{12 2}6 19,5 FSD   o

T-1. a. _{PH  9}2_82 _{12,04 m PF  9}2_102 _{13,45 m} b. _{EQ  8}2_72 _{10,63 m} c. _{PR  8}2_72_42 _{11,36 m} d. _{RH  5}2_72 _{8,60 RF  5}2 _32_82 _9,90 T-2. a. _{d D BC( , )DC 3}2_42 _{5 b. d F AB( , ) 6}2_{(2 2)}2 _6,63 c. _{AF BF  4}2_62 _{ 52 en AB4 2} 2 4 2 44 52 ( , ) 52 (2 2) 44 4 2 44 52 ( , ) ( , ) 5,20 d F AB d A BF d A BF          T-3.

a. Omdat EB // CF, dus EB // ACFD. b. d C ACFD( , ) 4 .

c. d C ABED( , )d C AB( , ) 2 2 2,83. d. BS 2 dus d S ACFD( , ) 6

T-4.

a. PM snijdt het grondvlak in AC; d PM ABCD( , ) 0

b. vlak ACGE. c. _AP d P AG( , ) PM  EM 2 2 2 12 ( , ) 1,63 d P AG _  _ T-5. a. _{AQ QG  15}2_x2 _{ (30x)}2 _202 _{ 225x}2 _{ x}2_{60x1300} Voer in: 2 2 1 225 60 1300 y  x  x  x minimum: x 12,86 b. c. _{AG 30}2 _352 _46,10 d. VAQE : VGQF 15 (30 ) 20 450 15 20 35 450 12,86 GF AE EQ QF x x x x x x          e. _{APG 50}2_152 _{ 2725 52,20} 2 2 45 20 2425 49,24 ARG   

Via Q is de kortste afstand.

T-6.