MULO-B Meetkunde 1936 Algemeen

(1)

Mulo B (1936)

Opgave 1

CBP

PDB



 

(hoeken op de zelfde boog) en

  

P

, waarmee de gelijkvormigheid van de driehoeken PBC en PDB is vastgesteld.

Uit deze gelijkvormigheid volgt

BC PB PC BD







.

Volstrekt analoog is het bewijs dat de driehoeken PAC en PDA gelijkvormig zijn, waaruit volgt dat

PA AC PC AD







.

Door de gevonden gelijkheden op elkaar te delen ontstaat

BC PB

PC BD

PA AC

PC AD



_



en daar

PA PB



(raaklijnstukken vanuit het zelfde punt) volgt nu

BC

BD

AC



AD

en dus

BC AD AC BD







.

Opgave 2

Omdat zijde AD en



ASD

gegeven zijn, is de cirkelboog waar S op ligt, construeerbaar m.b.v. de zogeheten basis-tophoek-constructie. Zie nu de analysefiguur van het trapezium.

Breng door S een lijnstuk aan dat evenwijdig is met AB en laat E het snijpunt met AD zijn. De evenredigheden

AE ED

:



AS SC

:



AB CD b a

:



:

en

ES CD

:



AS AC

:

leiden dan tot

:

: (

)

x a b b a





ofwel tot

(

a b b a x



) :



:

.

Uit deze laatste evenredigheid volgt dat het lijnstuk ES te construeren is als de vierde evenredige van de lijnstukken (a+b), b en a. Zie de bijgeleverde constructietekening.

De ligging van punt E op zijde AD is ook bekend, want AE : ED = b : a.

C

B P

A

(2)

Na deze voorbereidingen is het trapezium te construeren.

Als namelijk de bovenbeschreven cirkel en het punt E geconstrueerd zijn, dan wordt S verkregen door vanuit E een cirkelboog te beschrijven met straal ES = x.

De rest van de constructie behoeft geen verdere toelichting.

Opgave 3

Door gebruik te maken van de bekende waarde

sin(36 ) sin(144 )

0 0

1 10 2 5

4 





vinden we voor de driehoeken BCD en BCE dezelfde oppervlakte, namelijk

0 0 2

1

1 sin(36 )

sin(144 )

10 2 5

2   

a a

   

2 a a



8 a



De oppervlakte van driehoek DBE is dus gelijk aan

1

2

10 2 5

4 a



.

Het zelfde resultaat kan ook zonder kennis van de sinus van de hoek van 36 0_{verkregen worden door} gebruik te maken van de stelling dat in een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 36 0_{de basis} gelijk is aan het grootste stuk van het in uiterste en middelste reden verdeelde been.

(3)