H2: Vectoren en lijnen in de ruimte

Hoofdstuk 2:

Vectoren en lijnen in de ruimte

1.

a. Hoek E is 90o_{, dus VEHA is een rechthoekige driehoek.}

b. D

c. Q, S en T liggen ook in vlak EHA.

d. DCGH is een rechthoek.

e. P, Q en T liggen ook in vlak DCGH.

f. E

g. Omdat E, R en F op een rechte lijn liggen.

h. H ligt niet in de driehoek, maar wel in het vlak ABG. 2.

a. Er zijn oneindig veel verticale vlakken door A en B mogelijk.

b. Nee. Een vlak ligt vast als het derde punt niet op de lijn door A en B ligt.

3.

a. BC ligt o.a. in de vlakken ABCD, BCGF en BCHE.

b. Ja, het diagonaalvlak ABGH.

c. Ja het diagonaalvlak ACGE. Er is geen ander vlak mogelijk. d. Ja, het diagonaalvlak ABGH.

e. Ja, het diagonaalvlak BFHD.

f. Ja het diagonaalvlak ACGE. Er is geen ander vlak mogelijk.

g. De punten A, B en C liggen in één vlak (het grondvlak) en daar ligt punt H niet in.

4.

a. Het vlak BCI. c. De lijnen BC en CI. b. De lijn BC en punt I. d. De lijnen BC en FI.

e. Het vlak ECH, het vlak door punt E en lijn CH, het vlak door de lijnen EC en CH, het vlak door de lijnen CH en EJ.

5.

a. Ja, de lijnen AC en EJ lopen evenwijdig. (zie bovenaanzicht) b. Nee. De punten E, J en I liggen in het bovenvlak en B niet. c. Nee, het vlak BCF gaat door K. Punt J ligt boven dit vlak. d. Ja, namelijk het diagonaalvlak BCLE.

e. Nee, de lijnen BI en DJ snijden elkaar op de verticale lijn door C. f. De lijnen GJ en BC.

6.

a. MN en KL zijn evenwijdig.

b. KL en PQ, KL en RS, MN en PQ, MN en RS, PQ en RS.

c. In KLMN wel, maar in PQRS niet.

7.

a. zie volgende bladzijde.

b. Lijnen in vlak ACGE, die niet evenwijdig zijn aan de lijn CP. Bijvoorbeeld AE, AC, maar ook EG!

d. Beide lijnen liggen in het vlak

ACGE en ze zijn niet

evenwijdig.

e. Nee, lijn HB ligt helemaal in het vlak BCHE en de lijn CP alleen met punt C. Punt P ligt buiten dit vlak, dus geen snijpunt.

8.

a. Beide lijnen liggen in het grondvlak, dus hebben ze een snijpunt.

b. Nee, punt B en lijn CD liggen in het grondvlak en punt T niet. c. Nee. Lijn DE en punt B liggen in

het grondvlak, maar T niet.

9.

a. kruisend: lijn BC en punt N liggen in het grondvlak. b. snijdend: beide lijnen liggen in het grondvlak.

c. snijdend: beide lijnen liggen in het vlak BCT. Het snijpunt is T. d. kruisend: lijn CN en punt A liggen in het grondvlak.

e. snijdend: beide lijnen liggen in het grondvlak. f. kruisend: lijn DT en punt B liggen in het vlak BDT.

10.

a. Lijn DH en punt A liggen in het zijvlak ADHE en punt P niet. Ze zijn kruisend. b. Nee, want de punten B, D en F liggen in het verticale vlak DBFH en P niet.

c. QP ligt in het achtervlak en gaat per 2 naar beneden ook 2 naar rechts. Dan nog 4

naar beneden en dus ook 4 naar rechts. Met andere woorden: DS6. d. Dan moeten QP en EB evenwijdig zijn: P ligt dan in het midden van HG. e. Nee, AP loopt onder BQ door.

11.

a. PQ en EH zijn snijdende lijnen. Ze liggen beide in het zijvlak ADHE.

b. Deze zijn kruisend. Lijn HG en punt R liggen in het achtervlak DCGH.

c. Nee. Vlak PCE loopt schuin omhoog (in de richting PE) en G ligt recht boven C. d. BD 4 2 _{QB (4 2)}2 _62 _{ 68}

e. Ze liggen beide in het zijvlak en gaan 4 horizontaal en 2 omhoog.

12.

a. Deze lijnen zijn kruisend.

b. Voor tekening 2: PQ en RS kunnen kruisend zijn door bijvoorbeeld PQ in het ondervlak en

RS in het bovenvlak te tekenen. Ze kunnen

niet evenwijdig zijn. Door de lijnen beide in het bovenvlak te tekenen zijn ze snijdend.

Voor tekening 3: PQ en RS kunnen niet kruisend zijn. Ze liggen namelijk altijd in een verticaal vlak PRSQ. Ze vallen samen als beide lijnen in het grondvlak

getekend worden; hebben een snijpunt als P en S in het grondvlak en Q en R in het bovenvlak liggen; lopen evenwijdig als PQ in het grondvlak en RS in het bovenvlak ligt.

13. a. A(5, 0, 0) E(5, 0, 3) C(0, 6, 0) b. M(5, 6, 1 2 1 ) c. P(0, 4, 3)

d. De vector AG gaat 5 naar achter, 6 naar rechts en 3 omhoog. e. _|AGuuur_{| ( 5)} 2_62_32 _{ 70} 14. a. M(0, 9, 2) b. 6 9 2 AM             uuur 2 2 2 |AMuuur| ( 6) 9 2  121 11 c. Voor alle punten van de lijn DE geldt: y 0 en z4.

d. 2 2 0 5 4 3 x PQ y z          _  _{ } _  _  _      uuur , dus Q(4, 5, 1)

e. Voor alle punten op de lijn AB geldt: x6 en z0. f. _|PRuuur_{| (6 2)} 2_r2_{(0 4)} 2 _{ 32r}2 _9 2 2 32 81 49 7 7 r r r r        R(6, 7, 0) 15. a. 0 : (6, 0, 4) en 1: (6, 9, 0) b. Door punt E en B. c. steunvector: OAuuur d. richtingsvector: _AMuuur e. 6 6 : 0 9 0 2 x AM y z            _{ }                     f. 2 4 : 0 9 4 4 x PB y z           _{ }             _        g. 6 6 : 0 9 4 4 x CE y z           _{ } _                    6 6 2 4 9 9 4 4 4 4                 2 5 6 6 2 4 10 4            3 3 2 5 5 5 (3 , 3 , 2 ) S 16. a. 6 6 : 0 6 0 5 x AQ y z            _{ }                     b. 6 3 : 6 3 0 4 x BP y z           _{ }             _        c. 6 3 0 3 6 4 x y z           _{ }             _        d. 0 6 : 0 6 8 5 x PM y z           _{ }             _       

e. 8 5  0 3 5 3 3 5 5 5 8 1 (9 , 9 , 0) S    17. a. 28 4  b. 210 2  6 5 4 5 1 1 y         3 4 3 1 7 1 3 3 8 y z               

Punt (10, 1, 16) ligt niet op l. Punt (-6, 7, -9) ligt ook niet op l. c. Ja, de richtingsvector is met –2 vermenigvuldigd.

d. De richtingsvector is dezelfde. Vraag is dus of (-4, 6, -5) op de lijn ligt.

2 4 2 4 2 1 6 1 2 3 5 y z                

Klopt, dus dat is ook een vectorvoorstelling van lijn l.

18. a. 1 5 4 1: 4 1 3 7 3 2 5 x y z                    _{  } _ _{  } _   _  _  _          en 2 3 4 2 : 1 2 4 7 9 7 5 x y z                    _{  }   _{   } _     _  _         

Het snijpunt van l en m is (4, 7, -5).

b./c. De x-, y- en z-coördinaten moeten aan elkaar gelijk zijn.

19.

a. De eerste vergelijking met 4 vermenigvuldigen en de tweede met 3. b. De tweede vergelijking met 3 vermenigvuldigen en de derde met 2. c.  1 5  8 7 keer 3:  3 15 24 21  4 3  5 2 keer 5: 20 15  25 10  23 1 11 11 22 2          Snijpunt: (-6, 1, -1) 20. a. 5 2   3 2 keer 3: 15 6  9 6 5 5    2 3 keer 2: 10 10   4 6 5 4 13 4 8 2          snijpunt: (1, -5, 8) b. 3 2    3 3 keer 3: 9 6    9 9 2 3 15 2     keer 2:  4 6 30 4  13 39 13 13 52 4         snijpunt: (9, 7, -8)

c. Ze zijn niet evenwijdig, want de richtingsvectoren zijn geen veelvoud van elkaar. 5 2 3 3 5 5 15 2            10 4 6 6 15 15 45 6            14 19 25 19 39 19 14        9 14 19 19 3 19 3 8 2 9 3        Invullen in de z-coördinaten: 14 4 19 19 2 3 z      en 3 15 19 19 12 3 5 3 z      Klopt niet, dus de lijnen l en n kruisen elkaar.

21. a. 6 3 : 6 2 0 3 x BQ y z            _{ } _                    en 6 2 : 0 2 1 1 x RS y z            _{ }                     1 5 6 3 6 2 6 2 2 12 5 6 5 6 1                 3 1 5 5 4 5 3 1 5 5 4 4 5 5 2 3 1 3 1 3 1 3 1 1 2 z z            

De lijnen BQ en RS kruisen elkaar.

b. 6 0 : 2 2 0 1 x PR y z           _{ } _                    en 0 0 : 2 2 6 1 x QS y z           _{ }              _      

c. De richtingsvectoren zijn veelvouden van elkaar. d. Omdat ze in hetzelfde vlak liggen.

e. 6 1 : 2 0 0 1 x PQ y z            _{ }                     en 6 2 : 0 2 1 1 x RS y z            _{ }                    

Uit de tweede vergelijking volgt: 2 2.

Het snijpunt van PQ en RS is als  1: (4, 2, 2)

f. 6 3 : 2 2 0 2 x PS y z            _{ }                     en 6 6 : 0 2 1 5 x RQ y z            _{ }                     2 2 2 2 1 5 2 1 3 3 3 1                   2 1 5 1 4 2 6 3 2 12 6 6 1 12 2 1 2 2 2 4 x x y en z                              snijpunt: (12, -2, -4) 22. a. 1 4 3  3 3 1 

b. l en n: 1 6 2   2  1 Op l: (1, 1, -1) en op n: (1, 1, 1 2 6 ) 1 2 2 5 2    

    1 De lijnen l en n zijn kruisend.

l en a: hebben dezelfde steunvector en zijn niet evenwijdig. Ze snijden elkaar in

(1, 2, 1) n en m: 1 9 4  6 2     4 3 2 9      4 5 9 2 2 klopt! 4__{ } ₂8 2 8 4      De lijnen n en m snijden in (-2, 1, 5) n en a: 1 2  9  1 6 2 8    10 1  1

  1   8 De lijnen n en a kruisen elkaar.

m en a: 9 2  1 x        4 3 4 8 1    9 2__{ } ₄8 y         9 4 4 7 2 9 m en a snijden elkaar in (-8, -7, 1) 23. a. A(4, 0, 0) P(0, 8, 1) Q(0, 6, 4) 2 2 2 |APuuur| ( 4) 8 1  81 9 _|AQuuur_{| ( 4)} 2_62_42 _{ 68} 2 2

|PQuuur| 2  ( 3)  13 _PQ2_AQ2 _AP2_{, dus AQP 90}o

b. 68 9 cos AQ AP PAQ    9 68 cos 68 AP AQ    PAQ  uuur uuur c. a b a br r  ₁ ₁ a b₂ ₂a b₃ ₃ d.        4 4 8 6 1 4 68 24. a. _{AP AD}uuur uuur_{         4 4 8 0 1 4 20} b. QA QPuuur uuur          4 0 6 2 4 3 0

c. De hoek tussen QA en QP is 90o_{; zie vraag 23a.}

d. 4 4 0 MO       _{ }     uuur en 0 4 4 MF            uuur 1 2 4 0 4 4 0 4 16 cos 32 32 32 120 OMF OMF                 o 25. a. cos  24 14 15_{65 74} _ 0,360  69o b. cos  36 14 25_{65 110} _ 0,887  28o c. cos  21 16 5_{78 74} _ 0  90o 26. a. 3 0 4 AD             uuur en 3 6 2 AM             uuur _cos 9 8 _0,486 5 7 61 DAM DAM        o

b. 0 4 4 PA      _{ } _    uur en 3 2 2 PM         _    uuur _cos 8 8 ₀ 32 17 90 APM APM         o c. 3 4 0 PD       _{ }     uuur en 0 2 4 PB        _    uuur _cos 8 _0,358 5 20 111 DPB DPB         o 27.

a. 5 1 3 3 7 2 5 9 14 0          , dus de hoek tussen de vectoren is 90o_.

b. Dan is het inproduct 0. c. 15 2 s  7 8 2s0 2 8 4 s s   28. a. 14 10 2  t  4 2t 0 c. 30 3 q0 6 2 p q  6 2p10 0 2 4 2 t t     3 30 10 q q     2 816 p p     b. 2 3 0           en 0 4 2           d. 1 3 0 2 a b c        _{ }             en 2 1 0 3 a b c        _{ }             3 2 0 a b c en 2a b 3c 0 3 2 a  b c 2( 3 b2 )c  b 3c 0 6 4 3 0 5 b c b c c b        Kies b1. Dan is c  5 en a7 29. a. b. CD, EL en HQ.

c. Ja, ze liggen beide in het grondvlak en ze zijn niet evenwijdig.

d. Nee, het vlak door EH en punt K is een vertikaal vlak.

e. Die zijn kruisend; zie d.

f. De lijnen KN en LM zijn snijdend.

30.

a. AC en BT kruisen elkaar. A, B en C liggen in één vlak en T ligt daar niet in.

b. A, B, C en D liggen in één vlak, dus AC en BD snijden elkaar.

c. AQ en CR liggen in het vlak AHC, dus snijdend.

d. B en D liggen in één horizontaal vlak en U en S ook (alleen in een ander vlak.) BD

en US zijn evenwijdige lijnen.

31.

a. Ja, B, C en Q liggen niet op één lijn, dus is het vlak BCQ mogelijk.

P ligt niet in dit vlak. De lijn PQ ligt op hoogte 4 en snijdt BC niet. BC en PQ kruisen

elkaar, dus P ligt niet in vlak BCQ.

b. AP en OT zijn kruisend. P ligt namelijk niet in het vlak AOT.

c. OA4 _{AB 1}2_52 _{ 26 BC  ( 5)} 2_{ ( 1)}2 _{ 26 OC4} 8 OT  _{AT  4}2_82 _{ 80 4 5 BT  ( 5)} 2 _{ ( 5)}2_82 _{ 114} 2 2 ( 4) 8 4 5 CT     d. 4 2 : 0 1 0 2 x AP y z            _{ }                     0 1 : 4 2 0 2 x CQ y z           _{ } _                   

e.        2 1 1 2 2 2 0. Het inproduct van de richtingsvectoren is 0. f. cosACQ 4 2 4 4 0 4    _{32 36} 0,707 ACQ45o

32. a. P(5, 0, 3) Q(8, 5, 3) R(3, 8, 3) S(0, 3, 3) b. 8 1 : 0 0 0 1 x AD y z            _{ }                     Op hoogte h is z  h en P(8h, 0, )h c. Q(8, 8h h, ) R h( , 8, )h S(0, , )h h d. PR QSuuur uuur (h(8h)) 8 8 (    h(8h)) 0 0 (2   h    8) 8 8 (2h8) 0 33. a. 4 2 : 4 2 0 5 x BT y z           _{ }             _        . Voor 1 2

  wordt punt P bereikt.

b. cosAQM  4 0 0 2    _{32 5} 4 1 0,316 AQM 108o

c. Beide lijnen liggen in het vlak BCT.

1 2 0 3 : 2 1 5 2 x MP y z             _            _        1 2 5 2 0 2 (6, 4, 0) S     

d. beide lijnen liggen in het vlak OBT, dus ze snijden elkaar.

e. 4 4 : 0 2 0 5 x AM y z            _{ }                     en 1 2 0 3 : 0 3 4 1 x PQ y z             _            _       

Uit de tweede vergelijking volgt: 23

4 9 4 6 3 9 4         1 12 12 2 2 9 18 3 2 1 2 1 4 3 3 3 2 9 1 1 1 3 3 3 5 3 4 4 1 (1 , 1 , 3 ) S            

34. a. t 5 b. _{|PA| 4}2_32 _{5 |PD| ( 4)} 2_{ ( 4)}2_72 _{ 81 9} c. ₄2_t2 _{ ( 4)} 2_{ ( 4)}2_(10t)2 2 2 2 2 4 5 16 16 16 (10 ) 16 32 100 20 20 116 5 t t t t t t t             d. 0 4 4 4 3 7 5 5 9 45 cos APD           APD96o e. 0 4        4 4 t (10 t) 0 2 16 10 ( 2)( 8) 0 2 8 t t t t t t          35. a. _{|AB| 6}2_92 _{ ( 2)}2 _{ 121 11 en |AD| 6}2_{ ( 2)}2_92 _{ 121 11} b. 6 6 9 2       2 9 36 18 18 0   c. 11 6 : 12 2 5 9 x BC y z          _ _ _          _          en 11 6 : 1 9 6 2 x DC y z           _{ }             _        11 6 11 6 12 2 1 9 5 9 6 2                 12 211 11 1 9           1      5 9 6 2 klopt. C(17, 10, 4)

T-1.

a. A, C, N, S en W.

b. Ja, SW en DP zijn namelijk evenwijdig. c. Nee, het vlak ADP bevat punt S en niet R. d. Ja, namelijk het vlak CDWT.

e. S ligt op AW, dus S ligt in het vlak ACW en AC is evenwijdig aan SN, dus SN ligt in

vlak ACW.

T-2.

a. In het midden van GH.

b. Beide lijnen liggen in het rechter zijvlak. Verleng CB en JF. Ze snijden elkaar in S. c. FI en AB zijn kruisend. AB en F liggen in het voorvlak ABFE en I niet.

BK en CH snijden elkaar want ze liggen alle twee in het vlak BCHE. HI en GJ zijn evenwijdig. Ze liggen beide in het vlak HGJI.

GK en BH kruisen elkaar. GK en H liggen in het horizontale vlak EFGH en B niet. T-3. a. D(0, 0, 0) A(6, 0, 0) B(6, 6, 0) C(0, 6, 0) E(6, 0, 6) F(6, 6, 6) G(0, 6, 6) H(0, 0, 6) b. K(0, 0, 4) L(6, 6, 3) M(6, 0, 2) c. _{MG ( 6)} 2_62_42 _{ 88} d. 0 6 : 0 6 4 1 x KL y z           _{ }              _       e. 6 18 3 3 6 18 y     

Het punt (18, 17, 0) ligt niet op de lijn KL.

T-4. a. l en n lopen evenwijdig. b. l en m: c. n en m: 2 1 2 3 1 2            2 2 1 2 1 1 2        1 2 1 1 1 2 3             2 2 1, 0 1 2 1 0        

Klopt: S(3, 1, 3) Klopt niet, dus n en m kruisen elkaar.

T-5. a. 4 4 6 TA      _{ } _    uur en 4 4 6 TB        _    uur 36 68 16 16 36 cos 68 68 58 ATB ATB         o b. 1 2 tan AQ AB ABQ    ABQ27o c. 6 6 3 PO       _{ } _    uuur en 2 6 3 PA      _{ } _    uur 33 63 12 36 9 cos 9 7 58 OPA OPA          o

d. 4 8 0 QB            uuur en 2 6 3 QP            uuur _cos 8 48 0 _0,894 80 7 27 BQP BQP         o T-6. a. 5 1 : 0 0 0 1 x AQ y z            _{ }                     en 5 1 : 7 0 1 1 x PM y z            _{ }                    

b. De richtingsvectoren zijn gelijk (evenwijdig) en de steunvectoren niet (niet samenvallend). c. 5 5 7 7 25 49 24 0 6 4 AM PQ            _{  }  _            uuur uuur

d. De lijn AM en punt B liggen in het vlak ABMR waarbij R(0, 0, 6) is. Punt Q ligt daaronder, dus AM en BQ zijn kruisend.

e. 5 5 : 7 7 0 12 x BD y z            _{ } _                    en 5 5 : 7 7 1 4 x PQ y z            _{ } _                   

Uit de eerste twee vergelijkingen volgt dat  .

1 8 12 1 4 8 1       

 Het snijpunt is:

3 1 1 8 8 2 (4 , 6 ,1 ) S T-7. a. R(1, 0, 4) b. _{BR  ( 4)} 2_{ ( 7)}2_42 _9 c. 0 7 1 PA      _{ } _    uur en 5 0 5 PM             uuur 1 10 5 cos 50 50 96 APM APM         o d. T(5, 0, t) e. 5 7 5 QB        _    uuur en 5 0 5 QT t         _    uuur 25 5( 5) 25 5 25 50 5 0 5 50 10 QB QT t t t t t             uuur uuur T-8. a. 7 1 : 2 2 3 2 x AD y z           _ _           _          en 1 1 : 2 2 6 2 x BC y z            _{ }                    

b. De lijnen AD en BC lopen evenwijdig: dezelfde richtingsvectoren.

c. 7 2 : 2 0 3 3 x AB y z           _ _           _          en 5 3 : 14 2 18 5 x CD y z           _ _ _            _       

d. A, B, C en D liggen in hetzelfde vlak en de richtingsvectoren van AB en CD zijn niet

gelijk (of veelvouden van elkaar). e. 7 2    5 3 2 14 2 3 3 18 5          2 612    S(13, 2, -12) f. 7 4 : 2 4 3 7 x AC y z           _ _           _          en 1 1 : 2 2 6 1 x BD y z           _{ }              _       7 4 1 2 4 2 2 3 7 6                 42 2     7 4 1 2 6 6 1          S(3, 6, 4)