Hoe berekenbaar en betrouwbaar is de coefficient k in x-ksigma en x-ks?

Hoe berekenbaar en betrouwbaar is de coefficient k in

x-ksigma en x-ks?

Citation for published version (APA):

Lub, K. B., & Bosch, A. J. (1987). Hoe berekenbaar en betrouwbaar is de coefficient k in x-ksigma en x-ks?

(Bouwstenen; Vol. 6). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date:

Gepubliceerd: 01/01/1987

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be

important differences between the submitted version and the official published version of record. People

interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the

DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page

numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

x s

7

u

·

bouwstenen

6

Hoe berekenbaar en betrouwbaar is

de coëfficiënt kin x -

ka

en x- ks?

IR.K.B.LUB DRS. A.J. BOSCH

faculteit

t(Ïj

bouwkunde

8

7

L

u a

BMA

Bibliotheek

DUWSTEN EN" is een publikatiereeks van de tculteit Bouwkunde, Technische Universiteit "ldhoven.

i presenteert resuhaten van onderzoek en 1dere aktiviteit en op het vakgebied der Bouwkunde, uitgevoerd in het kader van deze Faculteit.

Kernredaktie Prof.drs. G.A. Bekaart Prof. dr.dipl.ing. H. Fassbinder Prof.ir. J.W.B. Star!<

Prof.dr. H.J.P. Timmermans International Advlsory Board Dr. G. Haaijer PhD

American lnst~ute of Steel Constructions, lnc. Chicago, U.S.A

Prof. ir. N.J. Habraken

Massachusetts lnstitute of T echnology Cambridge U.S.A.

Prof. H.Harms

Technische Universität Hamburg- Harburg Hamburg, Duitsland

Pof. dr. G. Helmberg Universität lnnsbrud\ lnnsbruck, Oostenrijk Prof. dr. H. Hens

Katholieke Universiteit Leuven Leuven , België

Prof. dr. S. von Moos Universität Zürich Zürich, Zwitserland Dr. M. Smets

Katholieke Univers~eit Leuven Leuven, België

Prof. ir. 0. Vandepitte Rijksuniversiteit Gent Gent, België Prof. dr. F.H.Wittmann Universiteit van Lausanne Lausanne, Zwitserland

Technische Universiteit Eindhoven

8802879

BOUWSTENEN

publicatie van bouwkundig onderzoek, verricht aan de Faculteit Bouwkunde van de Technische Universiteit Eindhoven

publications of building research at the Department of

Architecture, Building and Planning of the Eindhoven University of Technology (The Netherlands)

uitgave:

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Bouwkunde

Postbus 513 5600 MB Eindhoven

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, 's-Gravenhage Lub, K.B., Bosch, A.J.

Hoe berekenbaar en betrouwbaar is de coëfficiënt k in

~ - ko en x - ks ?

Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven- 111 -(Bouwstenen: dl. 6)

Uitgave van de Faculteit Bouwkunde, Vakgroep Konstruktief Ontwerpen, met literatuur opgave.

ISBN 90-6814-506-1

SISO 693.1 UDC 620.1:624.1

Trefw.: bouwmaterialen; onderzoek; statistiek.

Copyright T.U. Eindhoven, Faculteit Bouwkunde, september 1987.

Zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever is verveelvoudiging niet toegestaan.

Inhoudsopgave

0. Inleiding

I. Statische basiskennis 2. Probleemstelling

3. Oplossing, 0 bekend ondersteld 3A. Oplossing keuringsvoorschrfit, 3B. Oplossing tolerantie-interval, 0 0

4. Oplossing, o onbekend ondersteld

bekend ondersteld bekend ondersteld

4A. Oplossing keuringsvoorschrift, 0 onbekend ondersteld

4B. Oplossing tolerantie-interval, 0 onbekend ondersteld S. Benadering voor he: 0eval dat o onbekend is

SA. Benadering voorns en ks in een keuringsvoorsch~i~~bekend SB. Benadering van n en k volgens Hamaker

SC. Benadering voor n en k met behulp van de computer

SD. Benadering voor k bij een tolerantie-interval. o onbekend 6. Uitgewerkt praktijkvoorbeeld

6A. Tolerantie-interval (rechtséénzijdig) 6B. Tolerantie-interval als keuringsvoorschrift 6C. Keuringsvoorschrift

7. Overzicht van de te gebruiken formules Literatuur 2 6 8 8 13 15 IS I 7 18 18 20 21 23 25 2S 27 28 29 30

Samenvatting

De faktor k in de statistische uitdrukking x - ks of x - ka wordt in dit

rapport bepaald, exact en benaderd. Er wordt tevens een verband aangegeven tussen een tolerantie-interval en een keuringsvoorschrift. Tevens wordt

ingegaan op de begrippen konsumenten- en producentenrisiko. De toepassing

van de theorie wordt tenslotte toegelicht aan de hand van een voorbeeld.

Summary

In this re~ort, the k-factor in the statistica! expression x - ks or

~ - ka will be determined, exactly and approximately.

Also the relation between a toleranee interval and a testing code 1s shown.

Besides the definitions consumers- and producers' risk are discussed.

Voorwoord

De inhoud van dit rapport heeft betrekking op keuring van materialen

en konstruktie-elementen en de interpretatie van proefresultaten die onderhevig zijn aan een grote spreiding en waarvan de resultaten niet

afwijken van de normale verdeling. Er zijn twee methoden om te keuren: a. Keuringsvoorschrift.

b. Tolerantie-interval.

Onder a. hebben we te maken met twee partijen. De konsument en de

producent. Een konsument wil goede partijen accepteren en slechte af-keuren, de producent wil niet dat goede partijen afgekeurd worden. Om te beslissen of een partij goed-of afgekeurd moet worden nemen we een aselekte steekproef ter grootte van n: x_1, ... , xn. nis vooralsnog onbepaald. Het ligt voor de hand een beslissingsgrootheid te nemen.

x = x - ks s i s een schatter voor de onbekende spreiding (o). We

-bg -

-aanvaarden een partij als _{-Dg -}~ > dan een karakteristieke waarde bijv. een 5% ondergrens en verwerpen een partij als dit niet het geval is.

Daar een grote waarde van k gunstig is voor de konsument en een kleine

k waarde gunstig voor de producent, zullen we t.g.v. deze tegenstrijdige

belangen een compromiswaarde moeten vinden. De faktor k nu is afhankelijk

van een lage goedkeurkans a met een hierbij behorend hoog foutenpercentage _{p 1} en een hoge goedkeurkans

B

met een hierbij behorend laag foutenpercentage v

0 .

Het blijkt nu dat bij deze wijze van keuren het hiervoor benodigde aantal proeven vooraf is te bepalen. De faktor k is eveneens afhankelijk van het al of niet bekend zijn van de spreiding (o of s). Voor beide gevallen zijn in dit rapport formolE's afgeleid. Hoewel het niet gebruikelijk is, wordt b. ook wel als keuringsvoorschrift gebruikt. Dit is met een voorbeeld toegelicht.

Echter hierbij is het gevaar aanwezig dat een goede partij een te hoge

Van proefresultaten waarbij een grote spreiding aanwezig is kau een relatie worden gevonden die gekoppeld is aan een vooraf nvereen te komen ondergrens en betrouwbaarheid.

De betekenis van dit onderzoek ligt vooral in het feit dat tot heden de faktor k in de uitdrukking

x -

ks, grafisch bepaald is. Dit leidt tot een onnauw-keurige benadering van de faktor k, en slechts tot enkele gevallen waarbij de faktor k bekend is. Het is nu mogelijk bij een oneindige variatie van de randvoorwaarden, zowel bij een onbekende als een bekende spreiding, met eenvoudige formules de faktor k en het aantal uit te voeren proeven vooraf te bepalen.

0. Inleiding

In verschillende artikelen en voorschriften duiken de vormen x - ka en x - ks op, veelal met verschillende k-waarden. Hoe men aan deze k-waarden komt wordt meestal niet uitgelegd. Krcijger [2] gebruikt een dubbel waarschijnlijkheidsnet, ontwikkeld door Stange [5]. Maar zo'n net is veel ondoorzichtiger en ook on-nauwkeuriger dan een eenvoudige formule.

Stange [5] leidt ook formules af voor n en k, maar geeft voor het geval dat a onbekend is slechts benaderingen. Met een simpele basiskennis van de sta-tistiek ~s alle geheimzinnigheid rond deze coëfficiënt k eenvoudig weg te nemen.

In dit artikel wordt verder het verband aangegeven tussen een tolerantie-interval en een keuringsvoorschrift. Tevens wordt nader ingegaan op de begrip-pen konsumenten- en producentenrisiko.

De indeling 1s als volgt:

1. Statistische basiskennis.

2. Probleemstelling. A keuringsvoorschrift, B tolerantie-interval, rechts-éénzijdig.

3. Oplossing van beide problemen als a bekend is. 4. Oplossing van beide problemen bij onbekende o. 5. Benaderingen in het geval dat a onbekend is. 6. Uitgewerkt praktijkvoorbeeld.

-

~

-I. Statistische basiskennis

Notaties:

l.I. Het symbool:= betekent "wordt gedefinieerd door".

I. 2. Toevalsvariabelen worden onderstreept zoals x, u, s, _~v' 2 Xv I. 3. _>Jx Ex (populatie)gemiddelde van x. Ook als ~ genoteerd.

e.d.

I. 4. o 2 = var ~ = (populatie)variantie van ~· Ook als o 2 genoteerd. x

o =

;d2

=

(populatie)spreiding, standaardafwijking.

Ex wordt de verwachting van ~ genoemd. n

I. 5. x

·=

i~I xi/n is het steekproefgemiddelde.

2 n - 2

s :=

I

(xi-x) I (n-1) ~s de steekproefvariantie.

i= I

s

=

~is

de steekproefspreiding.

x en s zijn schatters voor resp. ~ en o.

In de literatuur worden vaak steekproef- en populatie-grootheden wat betreft notatie en naamgeving door elkaar gehaald, hetgeen zeer verwarrend is.

1.6. ~ ~ y betekent:~ en y heb~~n dezelfde frekwentieverdeling. . 2

1.7. ~ ~ N(~,o) d.w.z. x heeft een normale verdeling, ook Gauss-verdeling ge-noemd, met gemiddelde >J en variantie o2.

3

-Merk op dat de grafiek symmetrisch is t.o.v. de lijn x = ~.

a = afstand buigpunt tot deze as van

symmetrie.

figuur I. Grafiek van de normale verdeling

~ ~ N(O,I) d.w.z.~ is standaard-normaal verdeeld, dat is normaal met~ 0 en a2 = I.

1.8. P(~ <x) d.w.z. de kans dat~ een waarde< x aanneemt.

p p

1.9. P(~P~ <~.os p=p₁) d.w.z. de kans dat ~p~ <~.OS onder de voorwaardep

1.10. xp is als volgt gedefinieerd: P(~ < xp)

=

p.

x heet het lOOp-percentielpunt van de verdeling van~· d.w.z. een fraktie

p

p(=IOOp %) van de verdeling ligt onder x • p

x.OS' dat is dus het S-percentielpunt, wordt de karakteristieke waarde van de verdeling (populatie) genoemd.

Zo is P(~ < u ) = a en Cl.

u

4

-Vanwege de symmetrie van de standaardnormale verdeling geldt: 2

Analoog zijn gedefinieerd tv,l-a' tv,B' xv,l-a ·

u a

Pas op: vergeleken met ISO [ I ] zijnpen 1-p verwisseld, zo ook up en u 1_p. Twee verkorte notaties: u

0 := u1_p en u1 := u1_p •

0 I

Definities:

1.11. De centrale chi-kwadraatverdeling met v vrijheidsgraden:

2

x

-V V

"" I

I 2 u.

- 1 waarbij de ~i alle onderling onafhankelijk zijn en u.

- 1 N (0, I) •

1.12. De niet-centrale Studentverdeling met v vrijheidsgraden en niet-centraliteits-parameter ö:

u+ö

waarbij teller en noemer onafhankelijk zijn.

//;v

_-v

Stellingen:

1.13. E(a~ + bz + c)

=

aE~ + bEz + c. Hierin is c een konstante. Zo is E~ = E(~

1

+ ••• + ~) In (ll + ••. + ll) In = ll •

In woorden: de verwachting v?n het steekproefgemiddelde x is gelijk aan het

populatiegemiddelde \l.

Eveneens is E(~ - ka) ll - ka nl. ka 1s konstant.

1.14. Zijn~ en zonderling onafhankelijk, dan geldt:

5

-Zo is

var x =var[(~

1

+ ... +~)In] =var(~

₁

1n) + ... +var(~nln)

2 2 2 2 2 2

a In + .•• +a In =a In met a var x.

- l .

2

1.15. Is~~ N(~z'az) dan is (~- ~z) laz ~~ ~ N(O,I). We hebben~ gestandaardi-seerd.

2 - 2

1.16. Is~~ N(~,a) dan LS ~ ~ N(~,a In) en dus met 1.15

x - ~

----""u~ N(O, I)

a I

rn.

-Tevens geldt:

2

a ' doch Es < a . Bij benadering is var s R1 a2 I 2n.

2

Eveneens geldt dat ~ en s onderling onafhankelijk zijn. Hieruit volgt met 1.14:

- 2 2 2

var~+ k var~ R1 (l+k l2)a In

2 2 2

1.17. Voorn~ oo nadert

x

totven dus s tot a en wordt 1.12

-v ~₀₀(o) ""u + o • 1.18. Uit 1.16 volgt: 2 2 2 P(v~ I a > xv,l-o) a , ofwel I - a waarbij

c

1 :=

I

V I

6

-In Vis [6] pag. 817 is G

1 getabelleerd voor a = 0,05. Deze tabel van

c

1

-waarden kan men dus eenvoudig zelf maken voor elke a en n met behulp van een chi-kwadraattabel, in elk statistiekboek aanwezig, zie o.a. Owen [4].

I. 19. Zij x~ N(~,o 2 ). Nu is volgens 1.10 P(~ <x)

p pen met 1.15

x -

IJ\

<~}

p oftewel p

dus (xp- ~) /o =up= -u₁_p en xp = ~- u₁_po.

Deze u-waarden zijn in elk statistiekboek te vinden, in een tabel van de standaardnormale verdeling. Zo is in het bijzonder:

~ - 2,326o _x.05 ~ - I ,645o .

2. Probleemstelling

We beschouwen twee problemen die nauw met elkaar samenhangen.

2A. Een konsument wil van een producent een partij goederen kopen. Er zijn twee (tegenstrijdige) belangen in het spel. De konsument wil slechts goede partijE aanvaarden en slechte afkeuren. Maar de producent wil natuurlijk niet dat ee(

goede partij wordt afgekeurd. Eerst zal dus gedefinieerd moeten worden wat een goede en wat een slechte partij is:

Een partij heet goed (aanvaardbaar) als p ~ p

0 < 0,05. Een partij heet slecht (onaanvaardbaar) als p ~ p₁ > p

0•

Hierin is p de fraktiefouten in de partij (lOOp= ondeugdelijkheidspercen-tage). De grenzen p

0 en p1 worden dus in overleg vastgesteld.

Nu is het mogelijk dat ten onrechte een goede partij wordt afgekeurd (een risi\o voor de producent) of een slechte wordt goedgekeurd (een risiko voor de konsument). Het is uiteraard logisch dat men beide risiko's zo klein

moge 7 moge

-lijk wil houden.

Daarom komt men overeen:

a. b.

de kans om een partij met foutenfraktie p

1 goed te keuren de kans om een partij met foutenfraktie p

0 af te keurzen a heet het konsumentrisiko (bij p p

1) B heet het producentenrisiko (bij p = p

0).

a.

B.

Deze a en B zijn dus "gekoppeld" aan de grenzen

Po

en p

1 en moeten even-eens in overleg worden vastgesteld!

Bedenk echter dat de werkelijke risiko's van de producent en konsument funkties zijn van de ware fraktiefouten p in de partij. Hierop komen we nog terug.

In Kreijger [2] en Vis [6] wordt nogal "ruw" omgesprongen met de begrippen producenten- en konsumentenrisiko!

Het probleem is dus een keuringsvoorschrift te maken, bij gegeven a,p 1 en B,p

0 dat aan beide eisen a en b voldoet.

2B. Een producent wil kontrole op zijn produktieproces en het foutenpercentage "beheersen". Stel dat een produkt goed ~s als de daaraan te meten variabele x boven een zekere grens ligt. Hij wil dan een uitspraak bijvoorbeeld van de vorm:

met een betrouwbaarheid P = I - a kan ik zeggen dat minstens een fraktie 1 - p boven xp~ ligt. Dit geeft een zogenaamd rechtséénzijdig tolerantie-interval.

xp~ heet de linkertolerantiegrens. Dit tolerantie-interval is dus een betrouwbaarheidsinterval voor het lOOp-percentielpunt xp van x.

8

-Het probleem is dus, bij gegeven onbetrouwbaarheidsdrempel a, gegeven steekproefgrootten en foutenfraktie p, een linkertolerantiegrens xp~ voor xp aan te geven.

Beide problemen lossen we op, eerst onder de aanname dat cr bekend is (§3), daarna indien cr onbekend is (§4).

3. Oplossing, cr bekend ondersteld

3A. Oplossing keuringsvoorschrift, cr bekend ondersteld

~ te bestuderen grootheid bijv. druksterkte van betonnen kubussen.

2

Aangenomen wordt dat~~ N(~,cr ), een aanname die uiteraard eerst ge-toetst moet worden, d.w.z. de normaliteit.

~.OS= voorge3chreven karakteristieke waarde, d.w.z. hoogstens S% van de partij mag onder deze grens liggen.

In Kreijger [2] is ~.OS= cr'bk , in Vis [6] ~.OS= f~k .

p fraktiefouten in de partij. Het ondeugdelijkheidspercentage is dus lOOp. Een kubus is "slecht" (fout) als zijn druksterkte kleiner is dan de voorgeschreven karakteristieke druksterkte ~.OS' Er geldt dus P(~ <~.os)= P·

figuur 2. goede partij p $ p 0 < 0,05 2 ~ ~ NC11 0,o ) Volgens 1.19 is ( 3. I ) - 9 -en slechte partij p~p

₁

> 0,05 2 ~I~ N(\ll,o)

Om te beslissen of een partij goed- of afgekeurd moet worden, nemen we een aselekte steekproef ter grootten: x₁, ... ,xn. De steekproefgrootten is vooralsnog onbepaald!

Het ligt nu voor de hand om als beslissingsgrootheid te nemen

(3. 2) _{~pR- := ~- ka .}

We aanvaarden de partij als xpl!. > 11.

05 en keuren deze af als xpl!. < IJ. 05. Ook de coëfficiëntkis nog onbepaald. Zonder te weten wat k precies is, zien we dat een kleine k gunstig is voor de producent (er wordt eerder goe dge-keurd dan bij grotere k), een grote k gunstig voor de konsument (er wordt

eerder afgekeurd). Hier•Jit blijken duidelijk de eerder genoemde tegenstrij-dige belangen. We zullen dus voor k een "compromis-waarde" moeten vinden.

10

-Voor de goedkeurkans als funktie van de fraktiefouten p in de partij krijgen we de volgende keuringskarakteristiek:

goedkeurkans a ···-. 0 goed Po indifferent p 1 slecht fraktiefouten p in de partij

figuur 3. Grafiek van de goedkeurkans als funktie van p.

De grafiek gaat door de samen overeengekomen punten

en Q(pl,a) •

Zoals we later zullen zien is de grafiek een monotoon dalende lijn en vol -ledig bepaald door de punten P en

Q.

Nu blijken ook n en k vast te liggen. Ook lezen we uit de grafiek af dat de goedkeurkans afneemt als het fouten-percentage toeneemt. M.a.w. de konsument loopt :.n het algemeen een kleiner risiko dan het gesteld~ konsumentenrisiko a bij p

=

p₁•

Hoe vinden we n en k ?

We moeten voldoen aan de eisen a en b van §2. Deze worden 1n formule:

a kans goedkeuren ~ -l-p (~pQ, > \.1.05 slechte partij

=

a .j. p = PI)

=

a

b kans afkeuren goede partij

-1- .j.

+

P (x 2 < IJ

I

P = Po) -p .05

8

(3. 3)

11

-Dit in figuur gebracht:

figuur 4

~.os

x · - - ko .... N(~

1

-ko,o2/n)

--p • .t.= ~, _"'-p - 2

t'c "'-a- ko-N(~₀-ko,o /n)

0

Hierin is x

0 het steekproefgemiddelde van een steekproef uit een partij met foutenfraktie p

0• Analoog x1•

Het probleem nog eens kort geformuleerd: Hoe groot moeten, bij gegeven a,p

1 en S,p0, de steekproefgrootte n en de coëfficiënt k zijn opdat aan de eisen a en b is voldaan?

Er moet dus gelden:

= a

èn P(x t < J.l.os)

-po

B met (3. I) en (3. 3)

r

c.;.

I - ko > _J.ll - u 1o)

=

a P(~ - ko < J.IO - u0o) S x _{- J.ll}

rC

1 > (k- u 1)/ll)

=

a o!v'n met I. 16

=

a met 1.10

(k - ul)/ll

=

_{u l-a} èn (k

-

uo)

rn

=

US

= -ul-

S

bfn

=

12

-Dus

(3.4) k

Hieruit zijn n en k op te lossen. Dit geeft:

(3. 5) (3. 6) u u + u u l-p 0 1-a 1-p1 1-B ul-a + ui-B Enkele opmerkingen:

I. Inderdaad zien we uit de formules (3.5) en (3.6) dat n enk vastliggen

2. Is a = B (dus producentenrisiko = konsumentenrisiko), dan wordt (3. 6)

juist: k = _{(u l-p} + ul-p ) I 2, het gemiddelde van u₀ en u1.

0 I

In het algemeen is k een "gewogen gemiddelde" van u

0 en UI.

3. Hoe kleiner a, B, des te groter ul-a' u₁_

8 (zie 1.10) en des te groter

Dus: wil men kleinere risiko's, dan zal men een grotere steekproef moete

nemen. Bij vaste n, p

0, p1 geldt: hoe groter a, des te kleiner

B

en omgekeerd.

4. De vorm in (3.5) ~s i.h.a. geen natuurlijk getal. Men zal dus afronden.

5. We zagen dat de goedkeurkans bij een foutenfraktie p ~s:

P(~ > (k-u

1_p) v'n) .

1-lordt nu p groter, dus UI _-p kleiner, dan wordt (k-ul _-p )

rn

groter en

dus neemt de goedkeurkans af. Deze is dus een monotoon dalende funktie

•,ran p.

- 13

-Enkele voorbeelden:

I. Zie Vis [6] pag. 819. Daarisobekend ondersteld en

Ct

=

0,01 0,08 f3 0,05 0,01 .

Dit geeft:

u

1_a

=

2,326 I ,405 I ,645 uo = 2,326 .

Metdeformules (3.5) en (3.6) vindenwen = 18 enk= 1.94 (niet 1.95). De u-waarden zijn te vinden in een tabel van de standaardnormale ver-deling, zie o.a. Owen [4].

2. Zie Kreijger [2] pag. 108. loleer is a bekend ondersteld. Hier is Ct = f3 0,05 _Po 0,014 _PI 0,20 Dit geeft: u = u 1-a 1-8 1,645 uo 2,20 UI = 0,842 Daar a f3 wordt k Hu 0+u1) 1,52 (3. 5) geeft n 6

3B. Oplossing tolerantie-interval, a bekend ondersteld

We gaan weer uit

va~~~

N(~,o

2

)

met

~

onbekend, a bekend. De vraag is: geef een (rechtséénzijdig) tolerantie-interval, met betrouwbaarheid P =I- a, voor het JOOp-percentielpunt x van de verdeling van~· oftewel

p geef een linkerondergrens xp~ voor xp.

De onbetrouwbaarheidsdrempel a alsmede p zijn dus gegeven. Ook de steek-proefgrootte n moet men zelf bepalen.

14

-!<Ie gebruiken weer de variabele x "

-px. ~- ko uit (3.2) en zoeken dek

zodat geldt:

P (x > x )

=

I -a

p -p9. oftewel P(x -px. n > x ) p

=

a •

Dit is hetzelfde probleem als "linkerkolom" 1.n 3A. Met 1.19 is dit:

oftewel

(3. 7)

P(; - ka > ~ - u a)

=

a

1-p

P (_u > (k - u )

In)

= a dus

1-p k Dus de ondergrens is (3. 8) x ~ x - (u + u I ln)o . pt I-p 1-a P(; - ~ > (k - u )o)

=

a 1-p (k - u _1-p )

In

= u I-~ _~

De formule (3.7) is hetzelfde als (3.4), alleen u₁ = u

1_p I is hier u1 -p

Deze k-waarden zijn, als k

1, getabelleerd o.a. in ISO [ I ] tabel 5. Daar is p

onze I - p. Slechts getabelleerd voor a 0,05 en 0,01 en p 0,10;

0,05 en 0,01.

Met formule (3.7) kan men dus zelf eenvoudig voor elke a,p en n deze k

1

-waarden berekenen. De coëfficiënt ul-a' u

1_p vindt men weer in een tabel

van de normale verdeling.

Is in het bijzonder a

=

p 0,05 dan wordt k I , 645 (I+ I I

In

) .

Opmerking:

Tot nu toe is er hier geen sprake geweest van producenten- of konsumente

15

-"gekeurd". Vis [6] gebruikt dit interval wèl als keuringscriterium en wel als volgt: keur de partij goed als xpt > ~.

₀₅

(=voorgeschreven ondergrens

bij p = 0,05). Dit betekent, zie figuur 3, dat punt

Q

(0,05;a) gegeven is. Het konsumentenrisiko bij p

1 = 0,05 is a. Het producentenrisiko is nog

niet vastgelegd, daar p

0 nog te kiezen is. Is p0 gekozen dan ligt B vast zoals direkt volgt uit (3.4). In§ 6 zullen we zien dat bij een dergelijke keuring de producent er wel eens slecht vanaf kan komen.

4. Oplossing, o onbekend ondersteld

4A. Oplossin~ keuringsvoorschrift, o onbekend ondersteld

De afleiding is volkomen analoog aan die in 3A. Daar o onbekend is, gebruiken we echter nu x :=x- k~; ~is een schatter voor de onbekende o, zie (1.5).

-pt -

-Er moet weer gelden:

P(x t > _~.05) = a èn P(x t < _~.05) B -pi -po met (3. I) en (3. 3) p (;_I ks > _~I - u 1o)

=

CL P(~ ks < ]Jo - uoo) B P(;_l - ~I + u₁o > ks) CL P(~ - ]Jo + uoo < _k~) B B P(~ + 6 i > ks Info)

=

CL P(~ + 6 0 < ks.ln/a) waarbij en

- 16 -a u + ö

D(~

<

kv'n)

S/0 met 1.12 en 1. 16 a Dus

km=

tn-1,1-a(ol) èn

Oftewel n en k te vinden uit de relatie

( 4. I)

Enkele opmerkingen:

I. Voorn 4 _{oo, dat wil juist zeggen a bekend, wordt (4.1) met (1. 17):}

ul-a + ullll =US+ uolll oftewel

juist formule (3.4).

2. Daar n een natuurlijk getal is, is (4. I) i.h.a. niet exakt op te lossen

bij gegeven a, p

1, 8, p0. Oplossen betekent hier dus: minimaliseren naar n _{van ltn-l,l-a(o 1)-} tn-I,B(_ö0

)1.

Heeft men de ootimalengevonden

dan kan men bij vaste a, 8, p

0 en dezen, (4.1) oplossen voor p1 en zo

deze p

1 nader aanpassen. Dit is uiteraard alleen goed mogelijk via een

- 17

-4B. Oplossing tolerantie-interval, a onbekend ondersteld

Het geheel is weer volkomen analoog aan 3B, alleen nu met x :~ x - ks.

-pR. P(x > x ) ~ I - a

1) -pR. oftewel P(x -p.<, n > X ) p a .

Dit is hetzelfde probleem als de linkerkolom ~n 4A, alleen niet voor p

1,

maar voor willekeurige p.

P(~ - ks > ~ - u cr) ~ a

- 1-p

Analoog krijgen we:

Dus (4.2) k tn-1, 1-a(ul_p/ll)

rn

met é :~ u 1 -p

rn .

a .

De linkerondergrens van het tolerantie-interval voor x met betrouwbaarheid

p

I - a wordt dus xpR. ~ x- ks met dek uit (4.2).

Deze k--w aarden zijn (als k

2) o.a. getabelleerd in ISO [I] tabel 7 en Owen

[4] pag. 126.

Tabellen van de niet-centrale student-verdeling zijn, vanwege de 3 parameters, in de meeste statistiekboeken niet opgenomen.

Voorn+ oo, dus a bekend, ontstaat met (1. 17):

k u 1_ N + u

rn

~ 1-p u + u 1_ N ;

rn

1-p ~ juist (3. 7) .

18

-5. Benadering voor het geval dat a onbekend is

SA. Benadering voorns en ks ~neen keuringsvoorschrift, a onbekend

Daar de vergelijking (4.1) moeilijk zonder computer op te lossen is,

maakt men vaak gebruik van de volgende benadering: (zie Stange [5] pag. 9):

(5. I) ~~ := x - ks ~ N(~ - ka, (I + k /2)a /n) . 2 2

Voor de variantie z~e (1.16).

Hier zijn ~n feite echter 3 benaderingen toegepast:

le 2e 3e

,

-2--~ is normaal verdeeld ondersteld. Doch s ~ a /~v/v

Es

=

a. Echter Es < a

2

var s

=

a /2n. Ook dit is slechts een benadering.

Onder de aanname dat (5.1) geldt, worden de e~sen a en b nu:

a èn a zie (1.16) zie (1.16) zie (1.16) a P(~ - ks - ~O + ko < (k _{- u0 )}a) Dus (5.2) P(u > (k - u 1 )/;;:-/1 +k2/2 a èn (k - u )

ru

0 ) P(u < (k - u ) ;;;:-0

19

-Oftewel

Dit geeft de benaderingen:

(5.3) k

=

s u u + u u l-p 0 1-a l-p1 1-B ul-a + ui-B (5.4) n = s 2

I

(-u---..::-ul-a + ui-B ) (I + k /2) 2

I

. I-pO ui-pi

Formule (5.3) is hetzelfde als (3.6).

Noteren we de steekproefgrootte als o bekend is met n

0, als o onbekend

is met ns' dan wordt (5.4) n

s

Is bijv. n

0

=

5 en k

12

dan wordt n s = 10.

Een grotere steekproef is de prijs die we moeten betalen voor een onbekende o.

Voorbeeld:Zie Kreijger [2] pag. 106, 107:

Daar is a = B = 0,05 ;

Po

0,01 en p

1 = 0,20.

(2,326+0,842)/2 = 1,58 (niet 1.59) (5.4) geeft ns = 11 (en niet 12).

De verschillen ontstaan door het feit dat nomogrammen minder nauwkeurig

werken dan formules. Overigens geeft de exakte formule (4.1) de waarden n = 12 en k

=

1,61 maar dan bij een iets gewijzigde p

20

-SB. Benadering vannen k volgens.Hamaker Hamaker [7] bepaalt k en n zó dat

x - k

a

' s s

a (met steekproefgrootte na) en

x - k

s ~ (met steekproefgrootte ns) hetzelfde gemiddelde en

dezelfde variantie hebben:

met 1.16 s/a

~.;

x

2/v met V n -1

V s

var s ""a2/2v Daar Es2 = a2 en var s geldt bij benadering:

Es "" a / I -

_l ""

a ( 1-

_l)

2v , 4v ofwel Hieruit volgt: 4n -5 s - - - a 4n -4 s k2

n _s -1 _{""na \} (I+ _-2-s - _nl ) ""na (l+ka2/2)

s 2(n -1) s ( l + - - -_{4n -5} I ) s (l+k2/2)n +I (5.7)

a

a

Bij substitutie van ka en na moet men de niet-afgeronde waarden

nemen uit (3.5) en (3.6) ns mag wel afgerond getal; stellen we k

5 (l+an ) ka dan geldt:

s worden op natuurlijk I a n s We z1en dat in (5.7) n

5 groter is dan ns in (5.5) zie blz. 19; (5.7) blijkt korrekt te zijn.

- 21

-SC. Benadering voorn en.k.met behulp vari de computer

---

-

--

·

-

-· --·-- - ··--- ·- - -

·

-Uit vergelijking (4.1) zijn bij gegeven a,

B,

p

0 en p1 met behulp van

een computerprogramma meteen de exacte waarden (d.w.z. afgerond op 2 decimalen) van n en k berekend.

s s

Door een kleine korrektie aan te brengen op an

volgende uitdrukkingen: voor n < 10 neem a s n s n > 10 neem a s n s ( 4n -I) s s

Dus bij een keuringsvoorschrift met

a

onbekend:

k

(l+

s \ (I+ k s n +I en a (S.8) I \ _{k als n <} 4n -1)

a

s s I

_\

k als S,6n _s -1)

a

n s 10 (S.9) > 10 (S.IO)

onder SB vindt men de

- 22

-In de volgende tabel kan men de resultaten van de 3 benaderingen vergelijken. -1 I ' '

I

s

k =k I I a _{po PI}

I

n 5 5 0 k k s s lul-a ul-f' u l-p u l-p

!

SA SB I SC 0 I _I

I

i '

I

.

10 • 10 .OI .28S3 ~

I

! 1 u= I .282 ! u=.S67 i s 1 .446*

I

I. S4

_!

1 .S2

I

l

I I

I

'

I

I

_I

. 10 . 10 .02 .2S83 i

I

I I 7 1. 349* 1. 41

I

I. 40 I u=2.0S ! u=.648 I i

i

I

I

I 1 .os .028Ij

i

I

! .os .306 ~ I 10 I. 208*

;

I. 24 j I .23 iu=I.64S u= 1.91 ! u=. S06

l

t

I

I i ' ;

!

.os .os .0 I

!

.

19S ₁₂

I

I .S92* I .63

I

I .62 i

i

u=. 8S8

!

I

i

I

:

I I

i

_I

.os .os .014 i .203

!

13 I. Sl6* I. ss 1. S4 u=2.20 ! u=.831 l: ' _'

I

i

i

I

I

~ i

I

i

I .OI .OI .014 I . 199 26 ' ' I. S23* I I 1. S4

I

I. S3 ju=2. 326 i 1 u=.84S _'

I

I

I

i

l

i

'

I I ' ; .07 . 10 .OI .080 2S I. 834 1.85. ' I. 8S

I

\u=l.476

I

u= I .40S i i _I

'

_I

I

!

'

I

.os .OI .OI .080 I

I

i

. u= 1. 40S ' ss I. 94S I. 9S ! I. 9S ' ;

l

_I : i *a = Sen dus geldt: k 0 ~(u I-po + u1 -p, ) k s computer I. S2 1.40 1. 23 I. 62 I. S4 I. S3 I .8S I. 95

- L.5

-SD. Benadering voor k bij een tolerantie-interval,

a

onbekend

Dek uit (4.2) is niet eenvoudig zelf te bepalen zonder tabel als in ISO [1].

Hoe kunnen we deze echter benaderen? Evenals 3B en 4B volgt dit uit de "linkerkolom" van SA, zie (5.2)

(k-u

1 -p )

/n-u l-a

Dit geeft de volgende vierkantsvergelijking:

waaruit k u + 1-p u

lu

2 2 2 1-a 1-p I 2n + lln- u I 2n 1-a l - u2 I 2n 1-a Noteren we t:: u 1_a I

rzn

dan ontstaat k ul-p + t: I - E2 2 2(1 - E )

Voor grote n, is E klein en kunnen we benaderen:

I 2 2 u 1_p 11 + 2(1 - E. ) I u1_p ~ Dan wordt (5. I I) k -;::,:

UB

. .!.=..:e. 1-E + L - - - - --- -2 ( l + _!____2- € ) u l-p u l-p

- 24

-Hoe goed zijn echter de benaderde waarden van k voor een tolerantie-interval?

n k ( 4. 2) of tabel 7 uit [ I ] k benaderd met (5. I 0)

5 4,21 3,74 10 2,91 2,82 IS 2,57 2,53 20 2,40 2,38 26 2,27 2,27 40 2,13 2' 13 Hier is a p 0,05 dus u₁_a 1,645.

- 25

-6. Uitgewerkt praktijkvoorbeeld

6A. Tolerantie-interval (rechtséénzijdig)

Vijftien aselekt gekozen voorgespannen betonliggers zijn volgens

een vierpuntsbuigproef tot bezwijken belast. De liggers zijn

be-zweken tijdens het gelijkmatig opvoeren van de belasting.

De hoogste belasting die hierbij optrad is aangemerkt als de bezwijkbelasting Pu[KN]. De steekproef gaf de volgende resultaten:

90, 77, 82, 85, 82, 96, 76, 71, 83, 80, 72, 71, 72, 64, 73.

. 2

In het vervolg noteren we Pu =~en stellen dat~~ N(~,o ) d.w.z. we nemen aan dat de bezwijkbelasting ~normaal verdeeld is, met on-bekend

gemiddelde~

en variant o2 (eventueel ook onbekend). F.r

bestaan toetsen om te kijken of een steekproef uit een normale ver-deling komt. De praktijk heeft uitgewezen dat inderdaad P

11 redelijk

normaal verdeeld is. Hier gaan we niet verder op in.

Daar ~ onbekend is, is uiteraard de karakteristieke bezwijkbelasting

(dat is het 5-percentielpunt) van~ nl. x.

05 = ~ - 1,6450 ook

onbe-kend. We willen nu een 99% rechtséénzijdig tolerantie-interval voor x.

05 m.a.w. we zoeken een ondergrens x.

05

~ zodat we kunnen zeggen: x.

05 > x.

05

~ met een betrouwbaarheid van P = I - a = 0,99.

Uit de steekproef berekenen we x= Zxi/15 78,3 er: s

=

Dek vinden we uit (4.2) met n = IS; p = 0,05; u 1 -p

Deze is getabelleerd in ISO [I] tabel 7. Ook kunnenwek benaderen met (5.11). Zo vinden we:

78,3- 3,10

*

8,3 52,6 met ISO (I] en

x.OSt 78,3- 3,12

*

8,3 5 2, 4 met ( 5. I I) • Dus

x.OS > 52,6 met P = 0,99

I ,545; a 0,01.

of in woorden: met een betrouwbaarheid van 99% kan ik zeggen dat het 5

percentielpunt van x boven 52,6 ligt, oftewel hoogstens 5% van de partij heeft een bezwijkbelasting lager dan 52,6.

Hadden we een kleinere betrouwbaarheid van P 0,95 I - a, dus

a = O,OS dan vinden we

x.059, = 78,3 - 2,57

*

8,3 57,0

oftewel

x.

05 >57,0 met P = 0,95.

Was a bekend ondersteld (bijv. ook a = 8,3) dan volgt k snel uit (3.7).

Stel weer a= 0,05 dus u

1 -a = 1,645 geeft k = 1,645 (1+1//lS) = 2,07

en dus

x.059, 78,3 - 2.07

*

8,3 61.1

oftewel

- 27

-6B. Tolerantie-interval als keuringsvoorschrift

Kan men het tolerantie-interval gevonden onder a ook gebruiken als

keuringsvoorschrift: keur de partij goed als x.OS~ >~.OS' keur anders af?

Hierin is ~.OS de voorgeschreven karakteristieke bezwijkbelasting.

Ook al is het niet gebruikelijk, man kan het zo doen zoals o.a. gebeurt

in Vis [6] .

Maar hoe zit het dan met het konsumenten- en producentenrisiko?

Door'a en p

1 O,OS is het punt Q(p1,a) van de keuringskarakteristiek

vastgelegd met p 1

a = 0,01 bij p 1

O,OS en a = 0,01. Het konsumentenrisiko is dus

o,os.

Uit (4.1) volgt dat

Po

en

B

nog vrij te kiezen zijn, maar dat

B

vast-ligt zodra

Po

gekozen is. Beschouwen we weer het geval obekend (=8,3)

en P = 0,99. Dus a= 0,01; u

1_a = 2,326; p1 = O,OS; u1 -pl = 1,64S; n= IS.

Uit (3.4) vinden we k = l,ó4S + 2,326/115 = 2,2S (zie ook ISO tabel S)

en x.OS~ = 78,3 - 2,25 * 8,3 = S9,6. Dus we keuren af als S9,6 < ~.os·

Stellen we nu

Po

= 0,01, hoe groot is dan het producentenrisiko B ?

Dit vinden we direkt uit (3.4) nl. k = 2,2S = 2,326 - u

1_B/ 115. Dus

u₁_B = 0,29 en S = 39%.

Dit betekent dat een partij met slechts 1% fouten, een afkeurkans heeft

van 39%, hetgeen onaanvaardbaar is.

Hieruit blijkt duidelijk dat bij dit keuringsvoorschrift géén rekening

is gehouden met de producent, alleen met de konsument!

De opmerking in Vis [6] pag. 819 onderaan: ·~e hier geschetste

proce-dure voor de keuring van een partij betonstaal zal over het algemeen

in de praktijk weinig moeilijkheden opleveren, ondanks het feit dat

28

-De daar gehanteerde k = 2,57 is te hoog (onguns~ig voor de producent

zie§ 2). Bij een linkséénzijdig interval is de producent bevoordeeld!

6C. Keuringsvoorschrift

Hoe had de keuring dan wel moeten geschieden?

Alvorens de steekproef te kunnen nemen, moet men de steekproefgrootte n

weten. En deze volgt juist uit de samen overeengekomen a, 8, Po en p

1.

Stel weer bijv.o bekend (=8,3) en a= 8 = 0,01; Po= 0,01 en p

1 = 0,05.

Dan vinden we met (3.5) en (3.6) n = 47 enk= 2,25 (uiteraard). Dus

een veel grotere steekproef! Houden we vast aan n = 15, a=8 = 0,01

en Po= 0,014 dan geeft (3.4) k = 2,2- 2,326// IS= 1,60 = u

1 + 2,326//15

78,3- 1,6 x 8,3 = 65,0.

Uiteraard kunnen we nu ook een tolerantie-interval geven voor p₁, nl.

- 29

-Eindconclusie: Bij een gegeven keuringsvoorschrift (d.w.z. bij gegeven a,

p

0, 8, p1 en dus ook bekende u1 -a , u1 -po , u1_0 , P u1 -pi ) berekenen we de steekproefgrootte n en de coëfficiënt k als volgt: I. spreidingo bekend: n 0 2 ( u +u 0 ) ~~ -_.:ca"---'-1 _.:c-p=---. _{( 3, 5)} ul-p _ul-o PJ

De u-waarden vindt men in een tabel van de normale verdeling.

Zo is bijv. u₀. 95 = 1,645; u0.90 = 1,282; uO.Ol = 2,326 ed. 2. spreiding 0 onbekend: n I s ( 3. 6) en k = ( I + -1) k s 4ns- 0 als n s < 10 (5.9) k s (I + 1 )k als n 5,6ns-l o s > 10 (5. 10) Hierin zijn n

0 en k0 de niet afgeronde waarden onder I berekend.

7. Overzicht van dé te gebr~ikert fot~ules

Tot slot een overzicht:

grootheid bekend zelf vast te

I

gezocht

leggen formule

~

---x

-p-t----T-

---

0----+-n

a p 1

B

Pot'

-

-

n----k--~--n

---k---~

tolerantie x- ko x x x x x (3.7) of ISO[!) interval keurings-voorschrift x - ks x - kO x x - ks x x x

!

x .(5.10) of ISO[!)

!

x x x x x x (3. 5) (3 .6) x x x x x x (5.8) (5.9)/(5.10)

rechtséénzijdig tol. interval: xp > xp~ met P = I - a of in woorden: hoogstens lOOp% ligt onder de grens xp~ met een betrouwbaarheid van I - a.

keuringsvoorschrift: goedkeuren als xp~ > 11.

05 (=voorgeschreven karakt.waarde)

30

-Literatuur

[I) ISO 3207. International Standard 1975.

[2) Kreijger, P.C., Controle druksterkte van beton volgens ontwerp

VB 1972, Cement XXIII, 1971, nr. 3

[3) NEN 3861. Voorschriften beton VB 1974

[4) Owen, P.B., Handhook of Statistica! tables, Addison Wesley

[5) Stange, K. Universiteit van Berlijn. Stichproben-pläne fÜr

messende PrÜfung. Aufstellunp und Handhabung mit Hilfe des

doppelten Wahrscheinlichkeitsnetzes

[6] Vis, W.C., e.a. Kennis van spreiding. Cement XXXIII, 1981, nr. 12

[7) Hamaker H.C. Acceptance sampling for percent defective by variables

and by attributes, The Jo11rnal of Quality Technology, vol. 11,

no. 3, July 1979