Methoden voor interpolatie en extrapolatie van de rentecurve en de
aansluiting bij de Nederlandse markt
Tom Wijnhorst 19 juni 2014
Auteur: Tom Wijnhorst Studentnr: 6180108
Datum: 19 juni 2014
Inhoudsopgave
1 Inleiding 4 2 Theoretisch kader 6 2.1 Yieldcurve . . . 6 2.2 Interpolatie en extrapolatie . . . 7 3 Data en methoden 13 3.1 Beschrijving data . . . 13 3.2 Onderzoeksmethoden . . . 13 4 Resultaten en analyse 154.1 Bruikbaarheid voor extrapolatie . . . 15 4.2 Bruikbaarheid voor hedge . . . 18
5 Conclusie 21
Referenties 22
Bijlages 24
1
Inleiding
In de afgelopen jaren hebben pensioenfondsen vele tegenvallers gehad. Zo neemt de vergrijzing toe, bleken de gebruikte beleggingsportfolio’s minder waard in de crisis en zorgt een historisch lage rente ervoor dat de toekomstige voorzieningen veel lager zijn dan enkele jaren geleden gedacht, bij waardering tegen marktwaarde. Dit alles resulteert in een probleem met de dekkingsgraden van pensioenfondsen en kost deelnemers pensioen doordat indexatie uitblijft. Om te zorgen dat in de toekomst deze problemen zo min mogelijk meer voorkomen wordt er gewerkt aan verdere regulering van de verzekerings- en pensioenmarkt.1
De toekomstige rente is een belangrijk instrument om financi¨ele producten te voorzien van een markt-waarde (zie figuur 1). Het is echter niet altijd eenduidig welke rente gebruikt dient te worden, bijvoor-beeld bij lange looptijden. In de financi¨ele markt wordt door handel in renteswaps een betrouwbare rente bepaald, maar voor de langere termijn de neemt handel hierin af en is het lastig te bepalen wat een goede voorspelling van de rente is. Om een goed beeld te kunnen schetsen van de solvabiliteit van een financi¨ele instelling en de risico’s waaraan deze blootgesteld is, is het echter van belang een goed en re¨eel beeld te hebben van de langetermijnrentes.
Figuur 1: Het effect van de opgelegde rekenerente op de gemiddelde dekkingsgraad van pensioenfond-sen. Bron: Jaarverslag en slotwet Ministerie van Sociale Zaken en Werkgelegenheid 2010.
Er zijn veel methoden om uit de waar te nemen liquide punten2 op de rentecurve een nette volledige curve te maken door middel van interpolatie en extrapolatie. Verschillende partijen gebruiken verschil-lende methoden om dit te doen. Deze methoden kunnen flink vari¨eren. Zo heeft EIOPA, het instituut van de EU dat bezig is met regulering, gekozen voor het gebruik van de Smith-Wilsonmethode zoals beschreven in Smith & Wilson (2001), een aanpak met een voornamelijk macro-economische onderbou-wing. Zij stellen dat de langetermijnrente altijd convergeert naar een vaste waarde van 4,2%, bestaande uit een lange termijn verwachting van 2,2% voor de rente en 2% voor de inflatie. Deze vaste waarde heet de Ultimate Forward Rate (UFR).3 Deze keuze en methode stuiten echter op tegenstand. Zo zou dit een te grote vereenvoudiging van de werkelijkheid zijn. Door de Nederlandse commissie UFR, ingesteld om te onderzoeken wat voor regelgeving goed bij de Nederlandse tweede pijler pensioenen zou passen, wordt voorgesteld om de keuze voor de UFR te veranderen in een 120-maands gemiddelde
1
Zie 2.2 en 4.2.2 van ’Toelichting voorontwerp van wet ftk consultatie’: http://www.internetconsultatie.nl/ambitieovereenkomst/document/775
2
Punten waarop dermate veel gehandeld wordt dat de rente betrouwbaar wordt geacht.
3
Advies regelgeving Europa: http://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/consultations/QIS/QIS5/ ceiops-paper-extrapolation-risk-free-rates_en-20100802.pdf
van de langetermijnrente.4 Daarnaast wordt voorgesteld meer marktinformatie te gebruiken. Smith-Wilson gebruikt geen marktinformatie na het LLP voor de constructie van de curve vanaf dit punt. Dit zorgt voor een grote gevoeligheid voor die specifieke waarneming. De commissie UFR methode veronderstelt meer liquiditeit in de markt en neemt deze met afnemend gewicht mee in de bepaling van de rente. Om dit te doen maken ze gebruik van een andere extrapolatiemethode dan de orginele Smith-Wilsonmethode.
Een alternatief om meer marktinformatie te gebruiken en de gevoeligheid rond het LLP te verminderen is de Cardanomethode, zoals beschreven in Kocken, Oldenkamp & Potters (2012). Deze methode transformeert de forward rates die bij de Smith-Wilsonbenadering gebruikt worden naar een variant die afhankelijk is van de extra marktinformatie. Door vervolgens de extrapolatie na het LLP niet met de oorspronkelijke forwards maar met deze forwards te doen past de benadering zich aan aan alle beschikbare gegevens. Omdat de liquiditeit afneemt en de onzekerheid toeneemt voor bonds met grotere looptijden, worden ook hier de extra waarnemingen voorzien van een wegingsfactor.
Een andere methode om te komen tot een volledige rentecurve is de Nelson-Siegelmethode. Dit is een voorbeeld van een methode waarbij een in dit geval door Nelson & Siegel (1987) voorgestelde formule voor de rentecurve wordt gefit aan de waargenomen waardes. Deze methode komt, zeker in extreme gevallen als de huidige lage rente, tot heel andere uitkomsten dan de Smith-Wilson methode. Een ander voorbeeld van een methode die een functie fit aan de waargenomen waardes is de Financial Splinemethode, zoals beschreven in Hagan & West (2001). Bij deze variant van cubic spline wordt een derde orde polynoom gebruikt.
Het doel van dit onderzoek is erachter te komen welke van deze bovengenoemde methoden het best toepasbaar is door Nederlandse pensioenfondsen en verzekeraars. Daartoe zal eerst een analyse van de verschillende methoden worden gegeven, waarbij de voor- en nadelen worden bekeken. Daarna wordt de aansluiting bij de Nederlandse financi¨ele markt onderzocht door te kijken hoe deze methoden het doen bij toepassing op de Nederlande rentes. Daarbij wordt niet alleen gekeken naar de huidige rentestanden maar ook naar relevante situaties uit het verleden.
Om te zien wat de uitkomsten van deze methoden inhouden voor een pensioenfonds, zijn aan de hand van een voorbeeld portfolio de effecten op de rentegevoeligheid vergeleken. Om dit te doen is er gebruik gemaakt van de Basis Point Value methode. Hierbij wordt gekeken hoe sterk een schok in de rentecurve invloed heeft op de waardering en in welke periodes deze gevoeligheid zich concentreert. Aan de hand van de resultaten hiervan is het voor een pensioenfonds of verzekeraar mogelijk te bepalen hoe zij zich kunnen beschermen tegen renterisico.
Om te kunnen komen tot een duidelijke vergelijking van de eerder genoemde methoden, bevat paragraaf 2.1 een overzicht van de relevante theorie omtrent het bepalen van rentecurves en paragraaf 2.2 de theorie achter de verschillende te onderzoeken methoden. Om te kijken welke van deze methoden het beste van toepassing is op de Nederlandse financi¨ele markt wordt een empirisch onderzoek uitgevoerd aan de hand van historische data over de rente in Nederland. In paragraaf 3.1 worden de gebruikte data voor dit onderzoek beschreven en over de manier van onderzoeken wordt uitleg gegeven in paragraaf 3.2. In hoofdstuk 4 wordt een overzicht en analyse gegeven van de gevonden reslutaten. Hoofdstuk 5 bevat de conclusies die gedaan kunnen worden naar aanleiding van deze resulaten.
4Advies regelgeving Commissie UFR: http://www.rijksoverheid.nl/bestanden/documenten-en-publicaties/
2
Theoretisch kader
2.1 Yieldcurve
Om een goed beeld te krijgen van de rentetermijnstructuur is de yieldcurve van belang. Deze curve geeft het verband weer tussen de looptijd van een lening en het verwachte rendement, ofwel de yield to maturity (YTM). Om te zorgen dat de yieldcurve niet wordt verstoord door de invloed van risicopre-mies wordt alleen gekeken naar risico-vrije rentes, zoals bijvoorbeeld obligaties met een AAA-rating. Verder zal de par yieldcurve gebruikt worden, met als voordeel dat de YTM gelijk is aan de zero-coupon rente, ook wel de spot rente genaamd.
De yieldcurve geeft de verwachting weer van zowel de toekomstige rente als de toekomstige inflatie. Daarnaast bestaat er een liquiditeitsfactor, een compensatie voor het voor langere tijd vastzetten van geld. Het verloop van de yieldcurve is een indicatie voor de economie. Zo impliceert een stijgende curve dat er een positieve inflatie wordt verwacht en wellicht een stijging in de rente, twee indicatoren die gepaard gaan met een groeiende economie. Een dalende yieldcurve daarentegen duidt op een verwachte teruggang in de economie, waarbij investeerders liever op de korte (veiligere) termijn investeren.
Figuur 2: Een voorbeeld van een normale en een dalende yieldcurve.
Zoals eerder genoemd is het mogelijk de yieldcurve samen te stellen aan de hand van waargenomen zero-coupon rentes. De zero-coupon rente op een bepaald tijdstip wordt op de obligatiemarkt bepaald door handel in zero-coupon obligaties met een looptijd gelijk aan dit tijdstip. Deze bepaling van de marktwaarde is echter alleen betrouwbaar wanneer er voldoende gehandeld wordt in dat type obligatie en de liquiditeit dus hoog genoeg is. Voor korte looptijden is dit over het algemeen geen probleem, echter voor looptijden vanaf 20 jaar is er discussie over de betrouwbaarheid van deze methode. Een ander voorbeeld van weinig verhandelde looptijden zijn bijvoorbeeld de punten tussen gehele jaren. Om te komen tot een volledige yieldcurve is het daarom van belang de beschikbare liquide datapunten uit te breiden tot een volledige curve, waarmee het mogelijk wordt voor elke periode de waarde van een langlopend financieel product te kunnen bepalen. Om de data aan te vullen tussen het eerste en laatste waargenomen liquide punt wordt daartoe interpolatie toegepast. Daarnaast kan aan de hand van extrapolatie een uitspraak gedaan worden over de yieldcurve na het laatste liquide punt.
Omdat in dit artikel zowel de zero-coupon rentes als forward rates gebruikt zullen worden, is het van belang het verband tussen de twee uit te leggen. De forward rate is een in de toekomst geldende rente voor een bepaalde periode. F (0, t − 1, t) is de forward rate voor 1 jaar op tijdstip t − 1 in de toekomst, vastgesteld op tijdstip 0. Dit betekent dat een afspraak op tijdstip 0 om geld uit te lenen tussen de tijdstippen t − 1 en t voor F (0, t − 1, t) aan rente oplevert. Het verband tussen zero-coupon rentes en
forward rates kan als volgt worden beschreven voor een zeker discrete tijdsinterval (meestal 1 jaar):
(1 + zt)t= (1 + F (0, 0, 1)) · (1 + F (0, 1, 2)) · ... · (1 + F (0, t − 1, t)), (1)
waarbij zt de zero-coupon rente op tijdstip t is. Uit formule (1) kan F (0, t − 1, t) als volgt bepaald
worden: F (0, t − 1, t) = (1 + zt) t (1 + zt−1)t−1 − 1. (2) 2.2 Interpolatie en extrapolatie
Om zoals eerder besproken van een verzameling liquide punten een volledige rentecurve te construeren is het nodig om interpolatie en extrapolatie toe te passen. Deze paragraaf bevat allereerst een be-schrijving van de Nelson-Siegelmethode. Daarna volgt een bebe-schrijving van de Smith-Wilsonmethode, waarbij de comissie UFR methode en de Cardanomethode als varianten van Smith-Wilson worden toegelicht. Als laatste volgt een korte uitleg over de Financial Splinemethode.
Nelson-Siegel
Nelson en Siegel (2004) beschrijven een methode voor het fitten van een functie op de yieldcurve. Op deze manier vindt er dus interpolatie en extrapolatie plaats. Bij de keuze voor de te gebruiken functie wordt gebruik gemaakt van de eigenschappen van differentiaalvergelijkingen om het rekenwerk te beperken en de methode toepasbaar te maken op zero-coupon rentes. De bij Nelson-Siegel gebruikte functie is: f (t) = β1+ β2e− t λ + β3t λe −t λ. (3)
Omdat dit de oplossing van een tweede orde differentiaalvergelijking is, geldt voor een zekere functie s de volgende relatie voor de yield of zero coupon rentes:
s(t) = 1 t
Z t
0
f (x)dx. (4)
Door deze relatie toe passen op de Nelson-Siegelfunctie ontstaat de volgende functie voor de yield of zero coupon rentes:
s(t) = β1+ β2 1 − e−λt t λ + β3( 1 − e−λt t λ − e−λt). (5)
De formule kan ook in vereenvoudigde weergave worden geschreven:
s(t) = β1h1+ β2h2(t) + β3h3(t), (6)
h1= 1 h2= 1 − e−λt t λ h3= ( 1 − e−λt t λ − e−λt).
Door deze manier van schrijven valt te zien dat de rente geschat wordt met drie componenten, een langetermijnrente (h1), een kortetermijnrente (h2) en een middellangetermijnrente (h3). In figuur 3 is
hiervan een illustratie te zien.
Figuur 3: De drie gedeeltes van de Nelson-Siegelbenadering tegen de tijd, voor λ = 1.
Aan de hand van deze formule kan de bekende data ge¨extrapoleerd worden, door s(t) te berekenen voor t > M , met M het laatste liquide punt in de data.
Dan rest echter nog het schatten van de variabelen ˆβ1, ˆβ2 en ˆβ3 aan de hand van waargenomen
zero-coupon rentes op een bepaald tijdstip. Hiervoor wordt OLS gebruikt. Het doel van de regressie is om schatters voor β1, β2, β3 te vinden zodanig dat de foutterm Pi=1M (s(Ti) − ˆs(Ti))2 minimaal is. Hierbij
is T een vector met looptijden van de waargenomen bonds en is s(T ) een vector met de bijbehorende waargenomen yields of zerocoupon rentes.
De m ∗ 1 vector ˆs(T ) kan geschreven worden als HNβ, metˆ
HN = h1(T1) h2(T1) h3(T1) h1(T2) h2(T2) h3(T2) ... ... ... h1(TM) h2(TM) h3(TM) , β =ˆ ˆ β1 ˆ β2 ˆ β3 . (7)
Daarmee kan het doel van de OLS-regressie als eerder genoemd als volgt worden geschreven:
minimaliseer(s − HNβ)ˆ 0(s − HNβ).ˆ (8)
De bijbehorende waarde voor ˆβ is dan op basis van de theorie achter OLS als volgt:
ˆ
β = (H0NHN) −1
Smith-Wilson
Naast de Nelson-Siegelmethode wordt de Smith-Wilsonmethode ook veel gebruikt voor extrapolatie. Bijvoorbeeld in de eerder genoemde regelgeving omtrent Solvency II door EIOPA.
We gebruiken de volgende notatie:
N : het aantal zero-coupon bonds waarvan de prijsfunctie bekend is, mi: voor i=1,2,...,N, de geobserveerde prijs van de zero-coupon bond,
ui: voor i=1,2,...,N, de looptijd van de zero-coupon bond,
t: de term to maturity van de prijsfunctie,
UFR: de ultimate forward rate, bij continue samenstelling, α: maat voor de snelheid van convergentie naar de UFR,
ξ: voor i=1,2,...,N, de te bepalen parameters om de curve te fitten aan de werkelijke waardes. Dan is de bij Smith-Wilson gebruikte formule voor de prijs van een zero-coupon bond:
P (t) = e−U F R·t+ N X i=1 ξiW (t, ui), t ≥ 0, (10) waarin:
W (t, u) = e−U F R(t+u)hα · min(t, u) − 0, 5 ∗ e−α·max(t,u)(eα·min(t,u)− e−α·min(t,u))i. (11) Om de waardes voor ξ te kunnen bepalen dient het volgende stelsel van vergelijkingen opgelost te worden:
m1 = P (u1) = e−U F R·u1 +PNi=1ξi· W (u1, uj)
m2 = P (u2) = e−U F R·u2 +PNi=1ξi· W (u2, uj)
...
mN = P (uN) = e−U F R·uN +PNi=1ξi· W (uN, uj)
. (12)
Wat in matrixnotatie geschreven kan worden als
m = p = µ + Wξ, (13)
Met
m : (m1, m2, ..., mN)0,
p : (P (u1), P (u2), ..., P (uN))0,
µ : e−U F R·u1, e−U F R·u2, ..., e−U F R·uN0,
ξ : (ξ1, ξ2, ..., ξN)0,
W : een N x N matrix met Wilsonfuncties.
Door deze notatie is het mogelijk de waarde van ξ als volgt te schrijven:
Bij de Smith-Wilsonmethode is het niet mogelijk aan de hand van de variabele α precies aan te geven na hoeveel jaar convergentie tot de UFR op moet treden. Om de α te bepalen die zorgt voor de juiste convergentietermijn wordt eerst een standaardwaarde van 0,1 genomen, waarna deze opgehoogd wordt met kleine stapjes, tot de gewenste snelheid van convergentie is bereikt.
Bij de Smith-Wilson methode is het van belang te bepalen wat een goede keuze voor de UFR is. EIOPA kiest ervoor gebruik te maken van de absolute waarde 4,2%5. Deze is, als eerder beschreven, opgebouwd uit een langetermijnverwachting van 2,2% voor de risico-vrije rente en 2% voor de inflatie. De re¨ele rente wordt verantwoord door een studie van Dimson et al. (2009) naar rendementen van staatsobligaties in de afgelopen eeuw. Dit onderzoek stelt dat in de tweede helft van de 20e eeuw de gemiddelde opbrengst van obligaties van geselecteerde landen 2,3% bedroeg. Hier zijn echter wel kanttekeningen bij te plaatsen, zoals de invloed van hyperinflatie in de eerste helft van de 20e eeuw in sommige landen. Daarnaast is een inflatie van 2% de gebruikte doelstelling van de ECB om de economie bij te sturen. De keuze komt dus overeen met het beleid van de ECB.
Daarnaast kiest EIOPA ervoor een laatste liquide punt (LLP) te gebruiken van 20 jaar, en veronderstelt daarmee dat de datapunten na 20 jaar onvoldoende liquide zijn om te gebruiken voor extrapolatie. Hierdoor wordt de volledige rentecurve na 20 jaar afhankelijk van alleen de waarnemingen tot dan. Er is echter discussie over tot hoever de markt liquide verondersteld kan worden, over het algemeen wordt verondersteld dat de data tot een looptijd van 30 jaar ook nog voldoende liquide is om te gebruiken. Implementatie van meer marktinformatie kan helpen om een betere rentecurve te schatten.
Commissie UFR
Een methode om meer marktinformatie te implementeren is de methode die de commissie UFR voor-stelt in het artikel Advies commissie UFR uit 2012. De curve tot de looptijd van 20 jaar wordt hierbij bepaald aan de hand van Smith-Wilson zoals eerder beschreven. Hierbij wordt data tot 20 jaar ge-bruikt voor de berekening. Voor de extrapolatie kiest de commissie echter voor een andere methode dan de standaard Smith-Wilson. Zo wordt als waarde voor de UFR een gemiddelde van de 20-jaars forward rente over de afgelopen 10 jaar gebruikt. Dit 120-maands gemiddelde zou een beter beeld moeten geven dan de vaste 4,2%. Hoewel het redelijk constant zal blijven is er de mogelijkheid om mee te bewegen met veranderingen in de markt. Daarnaast wordt ook extra marktinformatie na het 20 jaar punt meegenomen, met een afnemend gewicht.
De berekening van het 120 maands gemiddelde is als in formule , waarbij M(t) de verzameling is van de 120 maandultimo’s voorafgaand aan tijdstip t:
U F R(t) = 1 120
X
iM (t)
F (i, 20, 21). (15)
Voor verdere berekeningen is het continu samengestelde equivalent hiervan nodig, te berekenen als:
U F Rc(t) = ln(1 + U F R(t)) (16)
Om marktinformatie na het 20 jaar punt mee te nemen in de extrapolatie zonder al te erg afhankelijk te zijn van grote schokken hierin, wordt de Last Liquid Forward Rate (LLFR) bepaald als een combinatie van de vorige LLFR en een gewogen gemiddelde van de extra marktinformatie. De gewichten nemen af voor forward rates die verder in de toemkomst liggen, om te compenseren voor de grotere onzekerheid:
5Zie 3.1 van advies regelgeving Europa: http://eiopa.europa.eu/fileadmin/tx_dam/files/consultations/QIS/
Fc∗(t) = αFc∗(t − 1) + (1 − α)w Fc(t, 20, 25) + 1 2Fc(t, 25, 30) + 1 4Fc(t, 30, 40) + 1 8Fc(t, 40, 50) , (17)
waarbij voor α = 12, w = 158 gekozen is. De startwaarde voor deze iteratieve berekening is vastgesteld op 1 januari 2003, op die datum is Fc∗(t) = U F Rc(t). Aan de hand van de bepaalde waardes voor
U F Rcen de LLFR kan de curve ge¨extrapoleerd worden. Dit gebeurt met een door de commissie UFR
voorgestelde methode. Allereerst de extrapolatie van de forward rates, waarbij a = 0, 1:
Fc(t, 20, 20 + h) = U F Rc(t) + (Fc∗(t) − U F Rc(t))
1 − e−ah ah
. (18)
Met deze forward rates kunnen de zero coupon rentes ge¨extrapoleerd worden als volgt:
zc(t, 20 + h) =
20zc(t, 20) + h · Fc(t, 20, 20 + h)
20 + h . (19)
Vanwege de aanname dat rentes jaarlijks vastgesteld worden en niet continu, is het van belang de verkregen waardes weer terug te transformeren naar hun jaarlijks vastgestelde variant:
z(t, 20 + h) = ezc(t,20+h)− 1. (20)
Cardano
Een andere methode om de tekortkomingen van de Smith-Wilson methodevan EIOPA te verbeteren is de Cardano-methode, als voorgesteld in Kocken, Oldenkamp & Potters (2012). Deze methode veron-derstelt dat de liquiditeit niet ophoudt bij 20 jaar, maar dat er zeker tot 30 jaar bruikbare data zijn. Daarnaast wordt voorgesteld om marktdata na 20 jaar met een afnemend gewicht te implementeren, om zo een correctie te geven voor de afnemende betrouwbaarheid. Door dit te doen neemt wederom de rentegevoeligheid af op het tijdstip 20 jaar.
Om deze extra marktinformatie te implementeren wordt er gekeken naar de forward rates van Smith-Wilson vanaf het LLP. Deze bestaan uit een combinatie van de laatst waargenomen forward voor het LLP en de ultieme forward rate. Deze combinatie kan geschreven worden als
FS−W(0, t − 1, t) = (1 − w(t))F (0, LLP − 1, LLP ) + w(t) · U F R. (21) Door deze vergelijking om te schrijven kunnen de gewichten w(t) bepaald worden voor elk tijdstip:
w(t) = 1 − FS−W(0, t − 1, t) − U F R F (0, LLP − 1, LLP ) − U F R . (22)
De Cardanomethode past deze formule voor de forwards aan om ook data na het LLP mee te nemen. De formule voor de forwards na het LLP wordt dan
FCardano(0, t − 1, t) = (1 − w(t))F (0, t − 1, t) + w(t) · U F R, (23) met w(t) dezelfde gewichten als bij Smith-Wilson. Het verschil zit dus in de F (0, t − 1, t). Deze forward rate wordt bepaald uit de beschikbare data. Om deze forward te kunnen bepalen wanneer er niet voor
elk tijdstip een datapunt is, moet er gebruik gemaakt worden van interpolatie van de forward rates. In dit artikel is de keuze gevallen op een lineaire interpolatie van de logarithmes van de verdiscon-teringsvoeten die uit de data te berekenen zijn.6 Door vervolgens deze nieuwe forward rates terug te rekenen naar jaarlijkse rentes kan de yieldcurve benaderd worden. Doordat deze methode bijna niets verandert aan de orginele Smith-Wilsonmethode zal de benadering niet veel verschillen van de eerder bepaalde. Het effect op het verspreiden van rentegevoeligheid kan daarentegen erg groot zijn.
Financial Spline
Naast de Nelson-Siegelmethode en de Smith-Wilsonmethode is er nog een extrapolatie methode het bekijken waard, namelijk de Financial Spline methode. Deze methode is een variant op de Cubic Spline methode, waarbij er enigszins vergelijkbaar met de Nelson-Siegelmethode een functie aan de beschikbare data wordt gefit. De hiervoor gebruikte formule voor de yield op tijdstip t is
r(t) = ai+ bi(t − ti) + ci(t − ti)2+ di(t − ti)3. (24)
Om te kunnen bepalen voor welke waardes deze formule het beste past bij de data moeten er aanna-mes gedaan worden, zoals continuiteit, differentieerbaarheid en aansluiting bij de data. Verschillende aannames resulteren in verschillende methoden, zoals beschreven in Hagan & West (2001). Bij de Financial Spline zijn deze aannames dat de gehele functie twee keer differentieerbaar is, dat de tweede afgeleides op de eindpunten gelijk zijn aan 0 en dat de eerste afgeleide van het rechter eindpunt, dus bij de hoogste looptijd in de data, gelijk is aan 0. Deze laatste voorwaarde zou ervoor moeten zorgen dat de verkregen functie goed te extrapoleren valt na dit laatste punt. Wanneer deze restricties in matrixvorm Ax=b worden geschreven, kan de matrix x bepaald worden door beide kanten voor te vermenigvuldigen met de inverse van A. Daarmee zijn alle variabelen gedefinieerd en kan de curve bepaald worden.
6
3
Data en methoden
3.1 Beschrijving data
Om te onderzoeken of de eerder besproken methodes voor het bepalen van een volledige yieldcurve goed van toepassing zijn op de Nederlandse markt is het nodig hier data voor te hebben. De in dit onderzoek gebruikte data beschrijven de yield op Nederlandse staatsobligaties in de periode 09/12/1994 tot en met 12/05/2014, ofwel de rente die Nederland dient te betalen om zijn staatsschuld te financieren. De data zijn verzameld door Thomson Reuters en verkregen via Datastream7. Deze data is beschikbaar voor de looptijden 3 maanden, 6 maanden, de gehele jaren vanaf 1 jaar tot en met 10 jaar, 20 jaar en 30 jaar. Voor de looptijden 4, 6, 8, 9 en 20 jaar is er echter pas data beschikbaar vanaf 08/11/2001 en voor de looptijden 3 maanden en 6 maanden pas vanaf 19/01/2011. Omdat in de gehele beschreven periode Nederlandse staatsobligaties een AAA-rating hadden kan dit beschouwd worden als een vrijwel risicovrije rente.
Daarnaast is het nodig data voor langere looptijden te hebben, daar sommige methoden gebruik ma-ken van looptijden tot wel 50 jaar. Om aan deze gegevens te komen wordt ook swapdata van de EU gebruikt. Het is mogelijk om de Smith-Wilsonmethode toe te passen op deze swapdata, door de va-riant met een kasstroommatrix C te gebruiken. Deze vava-riant wordt toegelicht in QIS5 (2010). Ook de andere methodes kunnen met kleine aanpassingen geschikt gemaakt worden voor deze data. De gebruikte swapdata beschrijft de periode 01/05/2005 tot en met 12/05/2014, omdat eerder de belang-rijke 40 en 50 jaar looptijd ontbreken. De data zijn verzameld door Thomson Reuters en verkregen via Datastream8. Deze data is beschikbaar voor de looptijden 1 week, 1 maand, 3 maanden, 6 maanden, 9 maanden, de gehele jaren vanaf 1 jaar tot en met 10 jaar, 12 jaar, 15 jaar, 20 jaar, 25 jaar, 30 jaar, 40 jaar en 50 jaar. Gebruik wordt gemaakt van de dagtellingsconventie van de EU van 30 dagen per maand en 360 per jaar, waarbij een jaarlijkse coupon verondersteld wordt.
3.2 Onderzoeksmethoden
Bruikbaarheid voor extrapolatie
Om te bepalen of de beschreven methodes een bruikbare volledige curve bepalen uit de beschikbare data is het van belang eerst te bepalen waar een goede curve aan dient te voldoen. Zo is het onwenselijk dat een geschatte curve erg grote uitschieters heeft of dat de curve negatieve waarden produceert voor de forwards. Wanneer de forward rente een waarde kleiner dan 0 heeft kan er sprake zijn van arbitrage. De methodes zijn toe te passen op alle tijdstippen die beschreven zijn in de dataset, zij het echter met vari¨erend succes. Zo maakt het voor de Smith-Wilsonmethode bijvoorbeeld uit of het LLP boven of onder de gekozen UFR ligt. Voor de spline methoden kan een kleine sprong in de data voor twee opeenvolgende looptijden echter weer een probleem opleveren. Om te kunnen bepalen welke methode het meest betrouwbaar is, is het daarom van belang te kijken naar meerdere periodes in het verleden. Periodes met hoge rentes, zoals voor de economische crisis, maar ook periodes met een vlakke yieldcurve of met negatieve rentes op de korte looptijden. Het volgende hoofdstuk bevat een uitgebreide analyse van de effectiviteit van de onderzochte methodes in deze gevallen.
Bij de Cardanomethode en de commissie UFR methode is gebruik gemaakt van de beschikbare data tot en met 30 jaar, al vragen de methodes eigenlijk om meer marktinformatie. Voor de commissie UFR methode is dit opgelost door de iteratieve formule aan te passen en de forward F(t,20,30) een
7
code in datastream: LTRNLBMK
8
wegingsfactor 1 te geven. Bij de Cardanomethode worden vanaf tijdstip 30 de orginele Smith-Wilson forwards weer gebruikt om de curve te bepalen, vandaar dat er een kleine sprong kan zitten op dat tijdstip.
Bruikbaarheid voor hedge
Wanneer een pensioenfonds zijn renterisico wil afdekken ofwel hedgen, is het van belang dat men weet op welke punten het portfolio gevoelig is voor een stijging of een daling in de rente. Dit kan worden uitgedrukt door middel van de Basis Point Value (BPV) methode. De risicogevoeligheid is gelijk aan het effect van een schok van 1 basispunt in de rentecurve op de waarde van het portfolio van het pensioenfonds. Om in dit onderzoek hier iets over te kunnen zeggen zonder in detail te treden over de opbouw van een gemiddelde portfolio van een pensioenfonds zal gebruikt gemaakt worden van een versimpelde voorbeeldportfolio.
Een goed uitgangspunt voor dit voorbeeldportfolio is het Nederlandse Algemeen Burgerlijk Pensioen-fonds (ABP). Het beheerd vermogen door dit Pensioen-fonds bedroeg in november 2013 bijna 40% van het totaal beheerde vermogen door de 25 grootste pensioenfondsen9. Daarmee is het veruit het grootste pensioenfonds van Nederland. Een verdere beschrijving van het portfolio van het ABP en het daaruit afgeleide voorbeeldportfolio bevindt zich in bijlage 1.
Door de BVP schok toe te passen op de cashflows van de voorbeeldportfolio is het mogelijk een over-zicht te maken van de rentegevoeligheid per periode. Wanneer dit gedaan wordt voor de verschillende besproken methoden om de rente te bepalen, kan een vergelijking worden gemaakt van de verdeling van de rentegevoeligheid over de periodes. Aan de hand hiervan kan vergeleken worden welke methode geschikt is om een goed gehedged portfolio te construeren. Hier is het noodzakelijk voor enkele me-thoden, met name die van de commissie UFR en die van Cardano, data te hebben voor de looptijden tot 50 jaar. Vandaar dat voor deze analyse gebruik gemaakt is van de swapdata, ook al beschrijft deze de gehele Europese Unie en niet alleen Nederland. Het resultaat van deze BPV analyse bevindt zich ook in het volgende hoofdstuk.
9gebaseerd op data van company.info, zie:
4
Resultaten en analyse
4.1 Bruikbaarheid voor extrapolatie
Zoals in het vorige hoofdstuk beschreven kan de yieldcurve grote verschillen vertonen in de tijd. Om te kijken of de onderzochte methodes voor elk geval een goede curve geven is het van belang een aantal tijdstippen te selecteren met een opvallende yieldcurve. De keuze is gevallen op de datums in figuur 4, in dit figuur is tevens een weergave van de data voor die momenten te zien.
Figuur 4: De vier geselecteerde datums en bijbehorende data.
De keuze is gevallen op deze vier termijnstructuren omdat ze alle vier een verschillende situatie uit de afgelopen jaren voorstellen. Zo beschrijven de eerste twee datums de situatie voor de economische crisis van 2008. In deze periode waren de rentes zeer hoog, in de situatie van 29/05/2003 zelfs boven de door EIOPA voorgestelde UFR van 4,2%. Op 10/10/2005 was de rente nog steeds hoog, maar de curve is op die datum een stuk vlakker dan op 29/05/2003. De overige twee beschrijven de recentere situatie van lage rentes, waarbij op 07/12/2012 de 1- en 2-jaars rente zelf negatief waren. Op de datum 12/05/2014 is te zien dat er een kleine sprong zit in de data, iets wat gedurende een langere periode voorkomt. Zo’n sprong kan invloeden hebben op de schatting van de beschreven methodes, vandaar dat ook deze datum wordt meegenomen in de vergelijking.
Omdat de Financial Splinemethode zulke grote afwijkingen vertoont dat de andere methoden in de grafiek niet meer goed te vergelijken zouden zijn, zijn de resultaten hiervan apart opgenomen in figuur 5. Te zien is dat de methode met name na het LLP enorme afwijkingen vertoont en grote negatieve waarden oplevert. De voorwaarde dat de eerste afgeleide in het laatste gefitte punt gelijk moet zijn aan 0 zorgt niet voor een goede extrapolatie. Dit doordat de eerste afgeleide direct na het laatste datapunt hard omlaag of omhoog schiet.
Figuur 5: Financial Spline, links de schatting van de yieldcurve en recht de forwards.
Een aanpassing om deze methode alsnog bruikbaar te maken zou zijn om vanaf het rechter eindpunt lineaire extrapolatie toe te passen, maar dit zou een erg grote vereenvoudiging van de werkelijkheid zijn. Voor de overzichtelijkheid is deze methode in de rest van het onderzoek buiten beschouwing gelaten.
29/05/2003
Figuur 6: Forwards en yieldcurve op 29/05/2003
In figuur 6 is te zien dat de andere vier methodes een stuk betere benaderingen opleveren. Deze datum beschrijft een periode met hoge rentes, er is dan ook te zien dat bij de methodes die gebruik maken van een UFR na het laatste punt de schatting en de forwards omlaag duiken richting deze waardes. De Nelson-Siegelmethode convergeert echter niet naar een theoretische waarde en schat voor de looptijd 60 jaar een waarde van bijna 5%. Het is de vraag of deze hoge schatting realistisch is.
Bij de kortere looptijden zitten er wat kleine oneffenheden in de data, wat opvalt is dat de Smith-Wilsonmethodes de punten precies aandoen en daardoor kleine sprongen en de forwards vertonen. De Nelson-Siegel methode fit daarentegen niet alle punten exact en heeft dus een veel constantere forward curve. Bij de schatting in figuur 5 is goed te zien dat de Nelson-Siegel methode meer een gemiddelde neemt van de data en dat de Smith-Wilsonmethodes de curve echt proberen te beschrijven. Daarnaast valt een kleine sprong in de curves van Cardano en comissie UFR op rond tijdstip 20, dit is het resultaat van de gebruikte extrapolatiemethodes die niet volledig aansluiten bij de Smith-Wilsonmethode.
10/10/2005
Figuur 7: Forwards en yieldcurve op 10/10/2005
Op deze datum is de curve vrij vlak en ligt de waarde bij het LLP redelijk in de buurt van de gebruikte UFRs. Vandaar dat er niet veel verschil is te zien tussen de verschillende methoden. Wel vallen wederom de vlakkere forwards van de Nelson-Siegel methode op. Daarnaast is ook weer de kleine sprong te zien rond het LLP bij de Cardano en commissie UFR methoden, door de andere extrapolatie aanpak.
07/12/2012
Figuur 8: Forwards en yieldcurve op 07/12/2012
Figuur 8 beschrijft een datum waarbij de rentes voor de looptijden 1 en 2 jaar licht negatief zijn en de rentes voor de langere looptijden een stuk lager liggen dan in de twee eerdere gevallen. Door deze lagere rentes is goed het verschil te zien tussen de verschillende methoden. Omdat de Nelson-Siegelmethode niet naar een theoretische waarde convergeert blijft deze na het LLP laag, nog onder de 3%. Smith-Wilson gaat er echter van uit dat de lage rentes een tijdelijk fenomeen zijn en dat de rente voor de langere looptijden op zal lopen naar de veronderstelde UFR. Bij de forwards hebben de Cardano en commissie UFR een grotere sprong bij het LLP dan voor de eerdere gevallen. Dit komt doordat de 30 jaars rente niet helemaal in lijn met de verwachting ligt, maar op een ongeveer gelijke waarde als de 20 jaars rente. Het wel of niet meenemen van het 30 jaars datapunt zorgt hier dus voor een aanzienlijk verschil.
12/05/2014
Figuur 9: Forwards en yieldcurve op 12/05/2014
Dit laatste geval beschrijft wederom een periode van lage rentes, maar opvallend is in dit geval de kleine sprong in de data rond het tijdstip 9. Zoals te zien heeft dit een redelijk groot effect op de schattingen van de Smith-Wilsonmethoden. Natuurlijk is het lastig te beoordelen welke van de methoden hier de beste benadering genereert, aangezien er geen informatie is over de werkelijke curve tussen looptijd 10 en 20. Maar zou de afwijkende waarde ontstaan zijn door een meetfout en dus een outlier zijn, zouden de Smith-Wilsonmethodes ver van de werkelijkheid af zitten. De Nelson-Siegelmethode blijkt nauwelijks gevoelig te zijn voor een mogelijk verkeerde meetwaarde. Dit heeft echter wel als nadeel dat afwijkende data die niet gezien kan worden als meetfout min of meer buiten beschouwing gelaten wordt.
4.2 Bruikbaarheid voor hedge
Om de gevoeligheid van de verschillende methodes te onderzoeken is er zoals eerder beschreven gebruik gemaakt van een DV01 schok op de beschikbare swapdata. Omdat eerder bleek dat de Financial Spline methode de werkelijkheid zeer slecht beschrijft is deze methode weggelaten uit de vergelijking. Daar de drie overgebleven methodes op datum 12/07/2012 goed werken en er duidelijk een verschil in de gebruikte extrapolatieberekening te zien is, is de analyse uitgevoerd voor deze datum. Het toepassen van de verkregen rentecurves op het voorbeeldportfolio als beschreven in de bijlage levert figuur 9 op. Zoals verwacht kent de Smith-Wilsonmethode als voorgesteld door EIOPA grote rentegevoeligheid rond het LLP en vlak daarvoor. Dit kan een probleem opleveren wanneer een verzekeraar of pensioenfonds zich wil beschermen tegen een mogelijke verandering in de rentekoers. Deze beschermig is mogelijk door een portfolio aan renteswaps in het bezit te hebben die bij een nadelige verandering vin de rente juist een postief resultaat geven. In het geval van Smith-Wilson zal er dan een grote hoeveelheid renteswaps met looptijden vlak voor en op het LLP ingekocht moeten worden. Het bijhouden van zo’n portfolio zal veel relatief veel moeite kosten doordat er vaak aanpassingen in nodig zijn.
Te zien is dat de door de commissie UFR voorgestelde methode inderdaad de rentegevoeligheid ver-spreidt over een grotere periode. Daarnaast is ook de totale ofwel netto rentegevoeligheid ongeveer even groot als bij de Smith-Wilsonmethode zonder aparte extrapolatiemethode. Hiermee is deze methode effectiever voor het vaststellen van een bruikbaar hedgeportfolio.
Figuur 10: Rentegevoeligheid methodes bij DV01 schok.
Een nadeel van de commissie UFR methode is echter wel de toegevoegde complexiteit. Met name het vaststellen van de UFR als 120-maands gemiddelde en de extrapolatie aan de hand van een afwijkende methode leveren veel extra rekenwerk op. De Cardanomethode levert als het op rentegevoeligheid aankomt een vergelijkbaar resultaat als de commissie UFR methode. Zowel de hoogte van de totale rentegevoeligheid als de spreiding van deze gevoeligheid ontlopen elkaar nauwelijks.
Naast dat de Nelson-Siegelmethode in dit geval de hoogste totale rentegevoeligheid oplevert, is ook de spreiding van deze gevoeligheid niet ideaal. Door gelijke weging van alle datapunten komt de meeste gevoeligheid te liggen bij de langste looptijden. Daar deze het meest onzeker zijn zullen zich hier ook de grootste schokken in voordoen. Het is echter mogelijk de methode te verbeteren door de data na het LLP wegingsfactoren mee te geven, vergelijkbaar met de methodes van Cardano en de commissie UFR. Dit kan vrij eenvoudig door bij de bepaling van de parameters middels OLS de fouttermen van de minder liquide waarnemingen met een gewicht minder dan 1 mee te wegen. In figuur 11 is hier het resultaat van te zien voor wegingsfactoren (2/3, 1/2, 1/4, 1/8) en (1/2, 1/4, 1/8, 1/16) voor respectievelijk de waarnemingen bij t=25, t=30, t=40 en t=50. Met name de eerste set wegingsfactoren zorgt ervoor dat het renterisico beter wordt verdeeld, terwijl de totale rentegevoeligheid ongeveer gelijk blijft.
Figuur 11: Rentegevoeligheid Nelson Siegel na invoering van wegingsfactoren.
5
Conclusie
Dit onderzoek begon met de doelstelling te bepalen welke van de methodes voor het construeren van een volledige rentecurve uit een verzamling datapunten het meest geschikt is voor Nederlandse pensioenfondsen en verzekeraars. Uit de analyse in hoofdstuk 2 blijkt dat er grote verschillen zijn tussen de verschillende methodes. Zo is er met name een tweedeling te maken tussen methoden die gebruik maken van een Ultimate Forward Rate, ofwel een langetermijn verwachting van de rentestanden. Hoewel er nog steeds discussie bestaat over de realiteit en de bepaling van zo’n convergentiepunt, heeft EIOPA hievoor gekozen, met als grootste argument de brede toepasbaarheid en relatieve simpliciteit. De methode heeft echter zijn zwakke punten en een uitbreiding is dan ook zeker wenselijk.
Zoals verwacht ligt een van de grootste nadelen van de Smith-Wilsonmethode in de slechte verdeling van rentegevoeligheid over de tijd. Dit maakt het moeilijk voor een verzekeraar of pensioenfonds om zijn renterisico goed af te dekken en zal veel aanpassingen in een te gebruiken hedgeportfolio vergen. Onder de methodes die het eens zijn over het bestaan van een langetermijn convergentiepunt voor de rente presteren de Cardano methode en de door de commissie UFR voorgestelde methode vergelijkbaar waarbij ze beiden de rentegevoeligheid veel beter verdelen over de tijd. Dit zonder dat de totale rentegevoeligheid significant groter is dan die van de Smith-Wilsonmethode als voorgesteld door EIOPA. Daarmee verdienen deze twee methoden als alleen naar de resultaten gekeken wordt de voorkeur boven de methode van EIOPA.
Een groot nadeel van de Cardanomethode en de commissie UFR methode is echter de benodigde extra berekeningen. Daarnaast is voor een bepaling aan de hand van de commissie UFR methode veel extra data nodig om hun 120-maands gemiddelde en extrapolatiemethode toe te passen. Met het oog op Europese regelgeving kan die extra ingewikkeldheid een grote horde zijn op weg naar brede implementatie. De extra stappen bij de Cardanomethode zijn echter nog zeer goed te overzien, zeker vergeleken met de commissie UFR methode, en verdient daarom dan ook de voorkeur.
Maar zoals eerder genoemd is de keuze voor een UFR niet onomstreden. Wanneer er zich bijvoorbeeld een structurele verandering heeft voorgedaan in de economie zou het kunnen dat een UFR er voor zorgt dat er jaren lang met een verkeerde standaard gerekend wordt. Zo bevinden de rentes zich al jaren op zeer lage niveaus. Het is maar de vraag of rentes van 4,2% in de toekomst weer de standaard worden. Het 120-maands gemiddelde van de commissie UFR zorgt er wel voor dat in geval van een structurele verandering de UFR mee verandert, maar dit zal een lange tijd in beslag nemen.
Daarom zijn er ook twee methodes in beschouwing die geen gebruik maken van een UFR. Een van deze methodes, de Financial Splinemethode, bleek bij toepassing op de data ongeschikt om goed rentecurves mee te extrapoleren. De Nelson-Siegelmethode daarentegen gaf zeer goede resultaten. Het nadeel van deze methode is wel de concentratie van renterisico bij grote looptijden, maar met het invoeren van wegingsfactoren kan dit probleem enigszins ondervangen worden. Daarmee is deze methode een goed alternatief voor de UFR methodes.
Al met al verdient de Cardano methode absoluut de voorkeur wanneer er uitgegaan wordt van de juistheid van een constante UFR. De commissie UFR benadering is minder afhankelijk van deze aan-name, maar brengt veel extra rekenwerk met zich mee. Daarmee zal brede invoering in Europa van deze methode waarschijnlijk lastig worden. Een combinatie van de Cardanomethode en de methode van de commissie UFR kan een oplossing bieden, met een berekening van bijvoorbeeld een 10-jaars gemiddelde voor de UFR, maar met het meenemen van extra marktinfomatie zoals dat bij de Cardano-methode gebeurt. In zo’n geval is er weinig extra rekenwerk nodig, maar worden toch de voornaamste problemen van de door EIOPA voorgestelde methode opgelost.
Referenties
[1] ABP (2013) Jaarverslag 2012.
[2] Commissie UFR (2013). Advies commissie UFR.
[3] Dimson, E., Marsh, P., & Staunton, M. (2009). Triumph of the optimists: 101 years of global investment returns. Princeton University Press.
[4] Hagan, P. S., & West, G. (2006). Interpolation methods for curve construction. emphApplied Mathematical Finance, 13(2), 89-129.
[5] Hull, J. (2009). Options, futures and other derivatives. emphPearson education.
[6] Kocken, T., Oldenkamp, B. & Potters, J. (2012). An alternative model for extrapolation. Insurance Risk
[7] Lesniewski, A. (2008). The forward curve.
[8] Nelson, C. R., & Siegel, A. F. (1987). Parsimonious modeling of yield curves. Journal of business, 60(4), 473.
[9] Smith, A., & Wilson, T. (2001). Fitting yield curves with long term constraints. Technical report
Bijlages
Beschrijving van voorbeeldportfolio
Om te onderzoeken hoe de verschillende extrapolatiemethoden afhankelijk zijn kleine veranderingen in de rente is het van belang de verkregen rentes toe te passen op een portfolio, ofwel een verzameling verwachte kasstromen in de toekomst. Zoals eerder genoemd is in dit onderzoek het Nederlandse Algemeen Burgerlijk Pensioenfonds (ABP) als uitgangspunt genomen. Gebaseerd op de stand van zaken als die te vinden is in het jaarverslag over 2012. Een grafische weergave van de op dat moment verwachte toekomstige verplichtingen staat in afbeelding ... Daarnaast bevat afbeelding ... een weergave van de omvang van het ABP. In het jaarverslag wordt aangegeven dat het portfolio een duration heeft van 17,3. Dit is afhankelijk van de gebruikte verwachting van de rente, maar geeft toch een goed beeld.
Figuur 13: Grootte ABP t.o.v. de 25 grootste pensioenfondsen van Ne-derland.
Figuur 14: De toekomstige kasstromen van het ABP eind 2012.
Omdat er geen exacte data is over de hoogte van de kasstromen in dit portfolio is het voorbeeldport-folio een zo goed mogelijke benadering ervan. Figuur ... bevat een exact overzicht van de gebruikte kasstromen ’c(t)’ voor elke periode en een grafische weergave van het portfolio.
