Tweede orde structuren voor digitale filters

Tweede orde structuren voor digitale filters

Citation for published version (APA):

van Dinther, C. H. B. A., & Ritzerfeld, J. H. F. (1999). Tweede orde structuren voor digitale filters. (IPO-Rapport; Vol. 1204). Instituut voor Perceptie Onderzoek (IPO).

Document status and date: Gepubliceerd: 07/06/1999

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

IPO, Center for Research on User-System Interaction PO Box 513, 5600 MB Eindhoven

Rapport no. 1204

Tweede orde structuren voor digitals filters

R. van Dinther J. Ritzerfeld

© Copyright 1999 Technische Universiteit Eindhoven

Tweede orde structuren voor digitale filters

R. van Dinther

J.

Ritzerfeld

Samenvatting

In dit verslag gaan we tweede orde structuren bekijken voor digitale filters. Daar-voor is het belangrijk om beschrijvingen van filters te formuleren die algemeen en overzichtelijk zijn. In paragraaf 1 laten we ons in met de state space beschrijving. We kunnen elk Ne orde filter beschrijven als een state space filter. Daarnaast is het ook eenvoudig om met de state space beschrijving te rekenen en er een transformatie op los te laten. Met een geschikte transformatie kunnen we een ge-geven H(z) optimaliseren met betrekking tot coeficient gevoeligheid, limit cycles en kwantisatieruis.

Er is veel bekend over de analoge filtertechniek waar bijvoorbeeld de coeficient ge-voeligheid eveneens een rol speelt. De oplossing in de analoge filtertechniek berust op het concept van verliesvrijheid en passiviteit. Deze beide begrippen kunnen we ook invoeren in de digitale filtertechniek om filters te ontwerpen die niet gevoelig zijn. In paragraaf 2 bespreken we het wave digital filter, die in verband staat met de analoge filtertechniek. Bij het wave digital filter kunnen we de kennis van deze techniek gebruiken zodanig dat wave digital filters eigenschappen van analoge fil-ters hebben, zoals het minimale gebruik van vermenigvuldigers en een optimale noisegain. Een nadeel is dat bij tweede orde wave digital filters de nulpunten van de overdrachtsfunctie vaststaan na het kiezen van de polen.

In paragraaf 3 maken we een uitgebouwde wave digital filter waarbij de nulpunten wel vrij te kiezen zijn. Dit uitgebouwde filter heeft echter geen optimale noisegain. We tonen in paragraaf 6 aan dat het uitgebouwde wave digital filter begrensd is door twee keer de optimale noisegain. In de laatste paragraaf geven we een programma in matlab, die de noisegain berekent van een willekeurige state space filter.

Inhoudsopgave

1 State space filters 2 Wave digital filters

3 Het uitgebouwde wave digital filter 4 Optimalisatie van H(z)

5 De noisegain van een digitaal filter

6 De noisegain van het uitgebouwde wave digital filter

7 Berekening noisegain van een willekeurige state space filter 8 Referenties 2 3 8 9 10 12 13 14

1

State space filters

Elk digitaal filter kan men overzichtelijk beschrijven met een state space beschrijving. Een voordeel is <lat men er gemakkelijk mee kan rekenen. De state space beschrijving van een digita<!-1 filter is een 'back box' met N poorten, waarin algebraische bewerkingen worden uitgevoerd ( optellingen en vermenigvuldigingen) en waaraan uitwendig N ver-tragingselementen zijn aangesloten. In figuur 1 is deze state space voorstelling afgebeeld. Hier zijn x(n) het ingangssignaal en y(n) het uitgangssi-gnaal. De toestanden of states

si(n) zijn de inhouden van de geheugenelementen die op elk tijdstip n kunnen worden uitgelezen. De 'nieuwe' state s(n

+ 1)

wordt op elk moment aan de ingangen van de tijdvertragers aangeboden. Met N geheugenplaatsen kunnen we algemeen een Ne orde overdrachtsfunctie realiseren.

s1(n+l) s1(n)

x( n) _ _______. optellers, verrnenigvuldigers i - - - y( n)

SN(n) SN(n + 1)

Figuur 1: State space voorstelling

De verandering van de state in de tijd wordt vastgelegd door de toestandsvergelijkingen

s(n

+

1) = As(n)

+

bx(n), y(n) = cTs(n)

+

dx(n).

Hier is A een N x N matrix, b en c zijn vectoren met N elementen en dis een scalar. De toestandsmatrix A beschrijft hoe de nieuwe state afhangt van de huidige en bepaalt daarmee de stabiliteit van het systeem.

De z-getransformeerde vorm van de toestandsvergelijkingen zijn

zS(z)

=

AS(z)

+

bX(z), Y(z) = cTS(z)

+

dX(z).

Elimineren we de getransformeerde state vector S ( z), dan vinden we

We zien dat het noemerpolynoom van H(z) gelijk wordt aan de determinant van (zl-A),

zodat de polen van H(z) gelijk zijn aan de eigenwaarden van A.

Voeren we een transformatie s = Ts' uit, met T een reguliere matrix, dan geldt dat

A'= T-1 _{AT. Hieruit volgt dat de overdrachtsfunctie onveranderd blijft.}

In de volgende paragraaf kijken we naar wave digital filters. Het voordeel van deze filters is dat ze in verband kunnen worden gebracht met analoge filters, waar veel over bekend is. Ook is een wave digital filter aantrekkelijk vanwege het minimale gebruik van vermenigvuldigers.

2

Wave digital filters

Met een bilineaire transformatie kunnen we van het s-domein overgaan naar het

z-domein. Zo kunnen we bijvoorbeeld de verliesvrije analoge elementen zoals de spoel en de condensator vertalen naar overeenkomstige digitale elementen.

Om tot een goede vertaling te komen moeten we echter eerst de begrippen verliesvrijheid en passiviteit invoeren. Definieren we het momentane vermogen van een tijddiscreet sig-naal x(n) als p(n) = x2(n) en het gemiddelde vermogen of kortweg het vermogen Pals het tijdgemiddelde van p( n), dan kunnen we stellen <lat een digitale bouwsteen verliesvrij is, als het totale vermogen dat de bouwsteen instroomt via ingaande signalen gelijk is aan het totale vermogen <lat de bouwsteen verlaat via uitgaande signalen Pu= Pi. Een digitale bouwsteen is passief als het uitgaande vermogen niet groter is dan het ingaande vermogen Pu

:=;

Pi. Meer hierover is te vinden in [1].

We bekijken eerst de manier van beschrijven van een tweepoort met een matrix S. De overdrachtsmatrix S heet de verstrooiingsmatrix. In de elektrotechniek wordt de sig-naaloverdracht door een lange leiding beschouwd als een verstrooiing van golven. Een naar rechts lopende golf A1 wordt met een factor S12 doorgelaten en met een factor S11

gereflecteerd. Op dezelfde manier wordt een naar links lopende golf A2 met een factor

S12 doorgelaten en met een factor S22 gereflecteerd, zoals aangegeven in figuur 2, waar

Figuur 2: Verstrooiingsmatrix

We kunnen de signalen in een digitaal filter als golven beschouwen met een richting en een meegevoerd vermogen ~IAl2 in een golf a(n) = Re(Aei0_{n). De correcte keuze in}

paren leidt dan tot het wave digital filter.

In een analoog filter worden twee golven geassocieerd met een poort of klemmenpaar (spanning V, stroom I), en wel een golf A= V +RI in de richting van de stroom aan de

plusklem en een golf B

=

V - RI in de richting van de stroom aan de min-klem. Hier

is R een geschikt te kiezen poortweerstand. We geven nu de golfvoorstelling van de vier

belangrijkste elementen.

Een spanningsbron E met inwendige weerstand R levert een klemspanning V = E - RI.

Een golfvoorstelling is een spanningsbron, een golfbron met A

=

E, onafhankelijk van B=V-RI.

Een weerstand R wordt aan de klemmen beschreven door V =RI. Een weerstand R is

daarmee een golfput met B = 0. Definieren we de reflectiecoefficient p als de verhouding B /A, dan geldt

B V-RI

P = A = V +RI = O.

Voor een spoel L geldt aan de klemmen: V = jwLI. Voor de modulus van het

reflec-tiecoefficient vinden we

I

V - LI

I

ljw -

11

IPI = V +LI = jw

+ 1

= 1.

We zien dat het vermogen van de inkomende golf A volledig wordt gereflecteerd.

Een condensator C wordt aan de klemmen beschreven door I= jwCV. Voor de modulus

van de reflectiecoefficient geldt

I

V-I/Cl 11-jwl

IPI= V+I/C = l+jw =l.

Het vermogen van de inkomende golf A wordt weer volledig gereflecteerd.

De reflectiecoefficient van de beide verliesvrije elementen L en C is een all-pass functie

van de Laplace variabele s, met modulus 1 voor s

=

jw. We hebben nu expliciet een reflectie ( s - 1) / ( s

+

1) voor de spoel en (1 - s) / (1

+

s) voor de condensator. Met de bilineaire transformatie s

=

(z - 1)/(z

+

1), als vertaling van een all-pass functie in het s-domein naar een all-pass functie naar het z-domein, volgt clan dat B = -z-1 _{A voor} de spoel en B

=

z-1 _{A voor de condensator. We hebben hier de conventie genomen dat s}

een op w0 genoqneerde frequentie variabele is en daardoor dimensieloos is. Hier is w0 de

afsnijfrequentie (in rad/s) van een prototype analoog laagdoorlaatfilter. Op die manier hebben ook de elementwaarden Len 1/C de dimensie van een weerstand, doordat spoe-len en condensatoren worden gekarakteriseerd door de grootte van hun impedantie bij frequentie w_{0 .} Na keuze van de afsnijfrequentie volgen de elementwaarden van spoelen (in Henry) en condensatoren (in Farad) uit L/w0 resp. C/w0 • Het analoge filter dat het

uitgangspunt vormt voor het onderwerp van een wave digital filter heet een referentie

filter.

We hebben nu dus vertalingen van de analoge filterelementen ter beschikking. Een bron-tweepool drukt een ingangssignaal op, een weerstand onttrekt een uitgangssignaal, een spoel is een tijdvertrager met een inverter en een condensator is een tijdvertrager. Afhankelijk van de waarde van de analoge elementen, moet een gunstige poortweer-stand worden gekozen. Op het moment dat we de digitale elementen met elkaar willen verbinden, vergelijkbaar met een 'analoge' serie- en parallelschakeling, komen de poort-weerstanden en daarmee de waarden van de analoge elementen in het spel in de vorm van vermenigvuldigers in de adapters, die de verbindingen in een wave digital filter ver-zorgen.

In een analoog filter kunnen we elementen in serie of parrallel schakelen. In het over-eenkomstige wave digital filter hebben we daartoe adapters nodig die algemeen n poor-ten met verschillende poortweestanden Ri, R2 , ••• ,

Rn

met elkaar kunnen verbinden, de

n-pair serie adapter en den-pair parallel adapter. In termen van Ven I betekent serie-schakelen van n poorten dat

Vi

+Vi

+ · · · +

Vn

=

0 en 11

=

12

= · · · =

In.

Den-pair serie adapter client clan de volgende n relaties B = SserieA te realiseren.

n Bi

=

Ai - /3i

L

Ak

waar

Hieruit volgt dat

I:

/3i = 2.

k=I 2~

/3i=-Ro

(i

=

1, ... , n), n met

Voor V en I betekent parallelschakelen van n poorten dat

Vi

De n-pair parallel adapter client dan n relaties B = Sparalle1A te realiseren.

waar

n

Bi= LakAk -Ai

k=i

met

Ook hier geldt

I:

ai = 2.

(i=l, ... ,n),

n

De algemene n-pair adapters gebruiken elk minimaal n-1 vermenigvuldigers en hebben dus n - 1 vrijheidsgraden. In de uiteindelijke realisering heeft een wave digital filter

hetzelfde totale aantal vrijheidsgraden als het analoge referentiefilter. In figuur 3 zijn de symbolen van beide n-pair adapters getekend.

B2

A2

B2

A2

R2

t

R2

t

Ai

Ai

I I

~

Bi

+

Rn

Rn

An Bn An Bn

Figuur 3: n-pair serie adapter en n-pair parallel adapter

We kunnen de adapters ook karakteriseren door een N x N matrix S. Met bovenstaande

relaties vinden we dan voor Sserie en Sparallel:

Sserie Sii = 1 - f3i en Sii =-{Ji (i =/= j), Spara11e1 Sii = ai - 1 en Sii = ai ( i =/= j).

De poortweestanden van de adapters worden bepaald door de aangesloten elemen-ten. In het in figuur 4 getekende voorbeeld worden de poortweerstanden bepaald door de bronweerstand Ri, de afsluitweerstand R2 , de spoel'weerstand' L en de

condensa-tor'weerstand' 1/C. Een 3-pair parallel adapter realiseert de parallelschakeling van de bron (met inwendige weerstand), de afsluitweerstand en de serieschakeling van Len C.

Voor de serieschakeling hebben we nog een 3-pair serie adapter nodig. Bij verbinding

x

+

E 11 L

c

•

s2[n]

Figuur 4: Voorbeeld van een wave digital filter met bijbehorend referentie filter

tussen adapters wordt een gemeenschappelijke poortweerstand niet bepaald door een element (R₃ in figuur 4). Toch is deze niet vrij te kiezen. Bij het verbinden van adapters onstaat er in het algemeen een vertragingsvrije lus of delay free loop. Dit is een gesloten pad in het filter <lat geen vetragingselement bevat. Een vertragingsvrije lus mag niet voorkomen, omdat het onmogelijk is om een rekenvolgorde in de lus aan te geven. Door geschikte keuze van de gemeenschappelijke poortweerstand kan bij het verbinden van adapters een vertragingsvrije lus worden vermeden. Bij een van de adapters mag dan de directe weg van ingangssignaal naar uitgangssignaal van de verbindende poort niet voorkomen. In figuur 4 hebben we gekozen voor de parallel adapter, hetgeen is aangege-ven met een dwarsstreepje bij de betrokken poort. Er moet gelden <lat B3 onafhankelijk

is van A3 , ofwel a3 - 1 = 0.

Algemeen geldt voor een parallel adapter <lat wanneer een poortgeleiding Gi gelijk is aan de som van de andere poortgeleidingen, <lat Sii gelijk is aan nul. De betrokken poort heet dan reflectie vrij. Voor een serie adapter geldt hetzelfde met betrekking tot de poortweerstanden. In figuur 4 hadden we bijvoorbeeld ook R3 = L

+

1 / C kunnen kiezen

om 1 -

/3

3 = 0 te realiseren. Door het bewandelen van de wegen in figuur 5, kunnen we

een de state space beschrijving van het filter bepalen met de aangegeven states,

A = ( 1 -

/31

- /31

)

3

Het uitgebouwde wave digital filter

In dit verslag bekijken we de tweede orde filters nader. Er blijkt dat met de condensa-tor, de spoel en de weerstanden in totaal acht verschillende wave digital filters te creeren zijn, z6 dat bij het bandsperfilter, banddoorlaatfilter, hoogdoorlaatfilter en laagdoor-laatfilter er ieder twee variaties mogelijk zijn (op nummering van de poorten na). Het voorbeeld in figuur 4 is een bandsperfilter. We kunnen met behulp van het plaatje de overdrachtsfunctie berekenen. Deze luidt als volgt

H(z) = a1((,81

+

,82)z2 - 2(,82 - ,81)z

+

(,81

+

,82))

z2

- (,82 - ,81)z

+

(1 - ,81 - ,82)

We geven hieronder nog drie overdrachtsfuncties van een banddoorlaatfilter, laagdoor-laatfilter en een hoogdoorlaagdoor-laatfilter.

We nemen voor het banddoorlaatfilter een 4-pair parallel adapter met een condensator en een spoel. De overdrachtsfunctie is

H(z) = a1(z2 - 1)

z2

+ (

_{a3 - a4)z}

+

_a3

+

_{a4 - 1}

Voor het laagdoorlaatfilter nemen we een aan elkaar geschakelde serie adapter en parallel adapter. Beide 3-pair adapters. De spoel is aan de serie adapter geschakeld en de condensator is aan de parallel adapter geschakeld. Het ingangssignaal komt binnen op de serie adapter en het uitgangssignaal verlaat de parallel adapter. We kiezen 1-,83 = 0.

De overdrachtsfunctie is

H(z) = a1_(z

+

₁₎2

z2

+

_{(2 - a2 - 2,82}

+

_a1,82)z

+

_{1 - a2 - 2,82}

+

_2a2,82

+

_a1,82

Voor het hoogdoorlaatfilter nemen we een aan elkaar geschakelde parallel adapter en serie adapter. Beide 3-pair adapters. De spoel is aan de parallel adapter geschakeld en de condensator is aan de serie adapter geschakeld. Het ingangssignaal komt binnen op de parallel adapter en het uitgangssignaal verlaat de serie adapter. We kiezen a3-l = 0. De overdrachtsfunctie is

H(z) = -a1,83(z2 - 2z

+ 1)

z2

+

(2 - 2a2 - ,82

+

a2,81)z

+

2a2

+

,82 - 2a2,82 - a2,81 - 1

Uit deze functies blijkt dat na het kiezen van de polen de nulpunten vast staan. Om ook de nulpunten vrij te kunnen kiezen, kunnen we een wave digital filter 'uitbouwen'. In figuur 5 geven we een state space filter afbeelding, waarbij het recursieve gedeelte afkomstig is van een wave digital filter. In termen van de state space beschrijving

d

x(n)

,________ y ( n)

Figuur 5: State space beschrijving van een uitgebouwde wave digital filter

hebben we

A = ( 1 - 1'1 -1'2 )

/'1 -1

+

/'2 '

In paragraaf 1 hebben we gezien <lat we elke state space beschrijving kunnen transfor-meren in een andere. Het blijkt nu <lat het uitgebouwde filter een rotatie over 45 graden is van een state space filter van directe vorm. We kunnen dan

T =

~

( 1 -1 ) 2 1 1

kiezen. In de volgende paragraaf kijken we naar geschikte transformaties om een gegeven

H ( z) te optimaliseren.

4

Optimalisatie van

H(z)

Een geschikte transformatie kan dienen om een state space filter met een gegeven

H(z)

te optimaliseren met betrekking tot coeficientgevoeligheid, limit cycles en kwantisatieruis. · Als aan de voorwaarde

llAll

<

1 wordt voldaan, bereikt men juist een lage coeficientge-voeligheid en garandeert deze voorwaarde <lat zowel limit cycles als overflow oscillaties

niet kunnen optreden.

Een belangrijke tweede orde state space filter met polen l'!?±j(I

<

1 en toestandsmatrix

A=(

'!9 ( ) -( '!9

voldoet aan de- eis

llAll

<

1. Dit wordt een realisering in normale vorm genoemd, omdat

A een normale matrix is.

We kunnen ook eisen opleggen aan de vectoren b enc in de state space realisering. Met deze vectoren kan men de kwantisatieruis aan de uitgang van van het filter verminde-ren. Een state space filter met een maximale signaal/ruis-verhouding noemt men een

minimum noise filter. Een tweede orde minimum noise filter voldoet aan de condities,

a11

=

a22 , b1c1

=

b2c2 en de toestandsvariabelen moeten maximaal in de zelfde mate

worden uitgestuurd, hetgeen kan worden bereikt met scaling. Het scalen is niets an-ders dan een transformatie met een diagonale matrix. We komen hier in de volgende paragraaf op terug.

5

De noisegain van een digitaal filter

Men kan het kwantiseren van de 'nieuwe' states modeleren door toevoegen van witte ruis bronnen. De toegevoegde ruisbronnen zorgen ervoor dat de uitgang van het filter ook ruist. De uitgangsruis van het filter bestaat uit twee componenten, de kwantisatie van de 'nieuwe' states, de kwantisatie van de met c gewogen states en de met d gewogen ingang. Het totale ruisvermogen aan de uitgang is te schrijven als

a?ot

=

E[y2(n)]

=

q2/12(G+1).

In de uitdrukking wordt de term G de noisegain van het filter genoemd, q is de kwanti-satiestap. G hangt samen met de overdracht van de states naar de uitgang. We kunnen

G uitdrukken in termen A enc, zie [4].

00

G

=

tr(W), met W

=

L(cA1)TcA1• l=O

We merken op dat W positief definiet is, als A stabiel is.

Het witte ruis model is alleen geldig als het aantal keren dat er overflow optreedt ver-waarloosbaar klein is. Een methode om overflow in digitale filters tegen te gaan is het scalen van het filter. De states worden dan maximaal uitgestuurd zonder overflow te creeren.

Een veel gekozen manier om vrij realistisch en hanteerbaar te scalen, is door op de in-gang uit te gaan van witte ruis met een Gausische verdeling. De kans op overflow wordt dan gekarakteriseerd door de standaard deviatie a. De verdeling op de states is dan ook door de standaard deviatie van de nieuwe verdeling gekarakteriseerd. De strategie is nu om de kans op overflow voor de states dezelfde te laten zijn als de kans op overflow voor het ingangssignc:i.al. Dit kan worden gedaan door te eisen <lat de standaard deviatie van de states gelijk is aan die van de ingang. Als de kans op overflow verwaarloosbaar klein is, dan geldt <lat ook voor de states.

Voor het ingangssignaal x(n) geldt E[x(n)x(n+

1)]

= a2_{t5(1). Voor de ie component van}

de state vector moet gelden E[sr(n)] = a2

• Er geldt 00

E[s(n)sT(n)]

=

L

Amb(Amb)T

=

K,

m=O

met K de covariante matrix waarvoor geldt <lat Kii = 1. We merken op <lat K po-sitief definiet is, als A stabiel is. Deze manier van scaling wordt ook wel l2 scaling

genoemd. Zij F'i, de overdrachtsfunctie van het ingangssignaal naar de state Si en zij Gi

de overdrachtsfunctie van de state Si naar het uitgangssignaal. Dan geldt

Waarbij geintegreerd wordt over de eenheidscirkel

r

in het complexe vlak. De matrices K en W kunnen ook in recursieve vorm geschreven worden

00 00

ATWA

=

L(cA1+I)TcA1+1

=

L(cA1)TcA1, dus W

=

ATWA

+

cTc.

l=O l=l

Op vergelijkbare wijze geldt K = AKAT

+

bbT.

Voor scaling kiezen we een geschikte coordinaat transformatie. Zij T een diagonaal matrix met diagonaal elementen tii = vfJ(;;,. Dan wordt voldaan aan de voorwaarde

K:i = 1. Doordat T een diagonaal matrix is, blijft de filterstructuur behouden. De noisegain G' van het filter met scaling kan uitgedrukt worden in de oorspronkelijke K en W, en wel

N

G' =

:L:

Kii wii·

We merken op <lat KW na een coordinaat transformatie gelijkvormig blijft, en dus de

eigenwaarden van KW onafhankelijk zijn van de filterstructuur. Dit impliceert dat de

eigenwaarden van KW uitsluitend bepaald worden door de overdrachtsfunctie van het

filter. Men kan bewijzen <lat

N 1 ( N

)2

~ K··lt':··

> -

~µ·

~ii ii_N ~ i ,

i=l i=l

waar

µr

de eigenwaarden van KW zijn. De optimale noisegain Gopt is dan gelijk aan

1/N(

y:/;

₁

µi)

2.

Een eigenschap van een wave digital filter is, <lat de noisegain van het filter optimaal is.

In de volgende paragraaf zullen we aantonen <lat de noisegain van onze uitgebouwde wave digital filter begrensd wordt door twee keer de optimale noisegain. Dit is opmerkelijk, want de noisegain van een willekeurige state space filter hoeft niet begrensd te zijn.

6

De noisegain van het uitgebouwde wave digital

fil-ter

Uit de vergelijkingen K

=

AKAT

+

bbT en W

=

ATW A+cTc kunnen we de elementen

Kii respectievelijk Wii berekenen. Voor onze uitgebouwde wave digital filter geldt

1 Ku= ' 'Yl (2 - 'Yl - 1'2) 1

K22

= , 1'2(2 - 'Yl - 1'2) en K12 = K21 = 0.

w -

(c~('Yr + 'Yf'Y2) - 2c1c2bf'Y2 + 'Yl'Yi - 21'11'2) + ci('Yni + 'Y~ + 41'2 - 4'Yi))

11

- 4('Yn2(2 - 1'1 - 1'2)) '

w. -

22 - (ci('Y~ + 'Y1'Yi) - 2c1c2bf'Y2 + 'Yl'Yi - 21'11'2) + c~bi'Y2 +'Yr+ 41'1 - 4'Yi)) '

4('Yn2(2 - 1'1 - 1'2)) en

W 12 -_ W. _ 21 - -(chi - 2c1cnn2 + ci'Yi) . 41'11'2

Met fl.ink wat rekenwerk en maple kunnen we de eigenwaarden Ai ~ 0 van KW

bereke-nen. We proberen aan te tonen <lat

Na stevig doorrekenen en maple bereiken we

Kn Wn

+

K22 W22 = 1.

>.1

+

>.2

Hieruit kunnen we afl.eiden dat

Kn Wn

+

K22 W22 = >.1

+

>.2 = (

vf

>.1

+

>.2) 2 :::;

(A+

\.f\;)

2 = 2Gopt· Dus Kn Wn

+

K22 W22 :::; 2Gopt·

In het volgde paragraafje geven we een programma in matlab, die de noisegain berekent van een willekeurige state space filter.

7

Berekening noisegain van een willekeurige state

space filter

Met gegeven A, b, c end, kunnen we in matlab de noisegain van het bijbehorende state space filter berekenen. Hiertoe is het preferabel dat we de elementen Kii en Wii expliciet

bij de hand hebben. Er geldt dat

( b' 2 -2ana12

)

Kn = C · det

b~

-a12 1-a~2 -2a21a22

b1b2 -a12a22 1 - ana22 - a12a21

( 1-

al

1 b2 -2ana12

)

1

K22 = C · det -a~1 b2 ₂ -2a21a22 -ana21 b1b2 1 - ana22 - a12a21

( c'

2 -2ana21

)

Wn = C · det

c~

-a21 1-a~2 -2a12a22

C1C2 -a21a22 1 - an a22 - a12a21

( 1-

al

1 c2 -2ana21

)

1

W22 = C · det -a~2 c2 _-2a12a22 2

-ana12 C1C2 1 - ana22 - a12a21

Met

C= 1

(1 - det(A)) [(1

+

det(A))2 - tr2_{(A)] ·}

Hieronder volgt het programma in matlab.

function ng=ngain1(A,b,c)

con=1/((1-det(A))*((1+det(A))A2-(trace(A))A2)); a11=A(1,1);a12=A(1,2);a21=A(2,1);a22=A(2,2); b1=b(1);b2=b(2);c1=c(1);c2=c(2);

k1=[b1A2 -a12A2 -2*a11*a12;b2A2 1-a22A2 -2*a21*a22;b1*b2 -a12*a22 1-a11*a22-a12*a21 k2=[1-a11A2 b1A2 -2*a11*a12;-a21A2 b2A2 -2*a21*a22;-a11*a21 b1*b2 1-a11*a22-a12*a21 w1=[c1A2 -a21A2 -2*a11*a21;c2A2 1-a22A2 -2*a12*a22;c1*c2 -a21*a22 1-a11*a22-a12*a21 w2=[1-a11A2 c1A2 -2*a11*a21;-a12A2 c2A2 -2*a12*a22;-a11*a12 c1*c2 1-a11*a22-a12*a21

8

Ref erenties

1. J.H.F. Ritzerfeld. "Speciale structuren voor digitale filters,"Tijdschrift van het Ne-derlands Electronica- en Radiogenootschap deel 55-nr. 1-1990.

2. J.H.F. Ritzerfeld. "A Condition for Overflow Stability of Second-Order Digital Filters That is Satisfied by All Scaled State-Space Structures Using Saturation," IEEE Trans-actions On Circuits And Systems, Vol. 36, No. 8, August 1989.

3. A. Fettweis. "Wave digital filters: Theory and practice," Proc. IEEE, vol. 74, pp. 270-327, 1986.

4. G. Verkroost. Dictaat "Realisering Digitale Signaalbewerkende Systemen".