Hoofdstuk 1:
Vectoren.
1.a. Hoek E is 90o, dus EHA is een rechthoekige driehoek.
b. D
c. Q en T liggen ook in vlak EHA. d. DCGH is een rechthoek.
e. P, Q en T liggen ook in vlak DCGH.
f. E
g. Omdat E, R en F op een rechte lijn liggen.
h. H ligt niet in de driehoek, maar wel in het vlak ABG.
2. Nee. Een vlak ligt vast als het derde punt niet op de lijn door A en B ligt. 3.
a. BC ligt o.a. in de vlakken ABCD, BCGF en BCHE. b. Ja, het diagonaalvlak ABGH.
c. Ja het diagonaalvlak ACGE. Er is geen ander vlak mogelijk. d. Ja, het diagonaalvlak ABGH.
e. Ja, het diagonaalvlak BFHD.
f. Ja het diagonaalvlak ACGE. Er is geen ander vlak mogelijk. g. De punten A, B en C liggen in één vlak (het grondvlak) en daar
ligt punt H niet in. 4.
a. Het bovenvlak door A, F en G. (Ik denk zelfs elk drietal punten die je noemt). b. Het bovenvlak waar lijn EF en punt H in ligt.
c. In het bovenvlak liggen de snijdende lijnen EF en EG.
d. Neem een verticaal vlak, bijvoorbeeld het voorvlak waar de lijnen BF en CG in liggen. 5.
a. Ja, de lijnen AC en EJ lopen evenwijdig. (zie bovenaanzicht) b. Nee. De punten E, J en I liggen in het bovenvlak en B niet. c. Nee. Punt K ligt in het vlak BCF.
d. Ja, namelijk het diagonaalvlak BCLE. e. De lijnen GJ en BC.
6.
a. MN en KL zijn evenwijdig.
7.
a. Lijnen in vlak ACGE, die niet evenwijdig zijn aan de lijn CP. Bijvoorbeeld AE, AC, maar ook EG! b. BF, DH, AB, EF, GH, …
c. Beide lijnen liggen in het vlak ACGE en ze zijn niet evenwijdig.
d. Nee, lijn HB ligt helemaal in het vlak BCHE en de lijn CP alleen met punt C. Punt P ligt buiten dit vlak, dus geen snijpunt.
8.
a. Beide lijnen liggen in het grondvlak, dus hebben ze een snijpunt.
b. Nee, punt B en lijn CD liggen in het grondvlak en punt T niet.
c. Nee. Lijn DE en punt B liggen in het grondvlak, maar T niet. 9.
a. kruisend: lijn BC en punt N liggen in het grondvlak. b. snijdend: beide lijnen liggen in het grondvlak.
c. snijdend: beide lijnen liggen in het vlak BCT. Het snijpunt is T. d. kruisend: lijn CN en punt A liggen in het grondvlak.
e. snijdend: beide lijnen liggen in het grondvlak. f. kruisend: lijn DT en punt B liggen in het vlak BDT 10.
a. Lijn DH en punt A liggen in het zijvlak ADHE en punt P niet.
b. Nee, want de punten B, D en F liggen in het verticale vlak DBFH en P niet.
c. QP ligt in het achtervlak en gaat per 2 naar beneden ook 2 naar rechts. Dan nog 4 naar beneden en dus ook 4 naar rechts. Punt S ligt 4 van punt R. Met andere woorden: DS 6 .
d. AR2 AD2 DR2 62 22 40
AR 40
e. AP2 AR2PR2 ( 40)242 56
AP 56
11.
a. PQ en EH zijn snijdende lijnen. Ze liggen beide in het zijvlak ADHE. b. Deze zijn kruisend. Lijn HG en punt R liggen in het achtervlak DCGH.
c. Nee. Vlak PCE loopt schuin omhoog (in de richting PE) en G ligt recht boven C.
d. BD 4 2
2 2
QB (4 2) 6 68
e. Ze liggen beide in het zijvlak en gaan 4 horizontaal en 2 omhoog.
f. De ‘helling’ van PQ is 5 horizontaal en 6 omhoog. Dat is dezelfde als 221 horizontaal en 3
12.
a. Deze lijnen zijn kruisend.
b. Voor tekening 2: PQ en RS kunnen snijdend zijn door bijvoorbeeld PQ in het ondervlak en RS in het bovenvlak te tekenen. Ze kunnen niet evenwijdig zijn. Door de lijnen beide in het bovenvlak te tekenen zijn ze snijdend.
Voor tekening 3: PQ en RS kunnen niet kruisend zijn. Ze
liggen namelijk altijd in een verticaal vlak PRSQ. Ze vallen samen als beide lijnen in het grondvlak getekend worden; hebben een snijpunt als P en S in het grondvlak en Q en R in het bovenvlak liggen; lopen evenwijdig als PQ in het grondvlak en RS in het bovenvlak ligt.
13.
a. 240 km/u. b. 360 km/u. 14.
a./b.
c. Omdat de rechtstreekse afstand kleiner is dan de som van de twee afstanden. d. 3212 10 m/s. 15. tan T AB 31 AT o T 18 16. a./b. c./d. a 2 20 20 2 a 10 2 P( 10 2, 10 2) en Q( 10 2 10, 10 2) 2 2 LQ ( 10 2 10) (10 2) 14,74 km. ( 10 2 10) 10 2 o tan 0,29 16 17. 18.
a. De zwemmer zwemt met een snelheid van 40 m/min schuin naar links tegen de stroom in. z r vert z vert r v v v v v v rechtstreeks
b. De horizontale component van de vector van de zwemmer moet dus tegengesteld en even groot zijn als die van de rivier.
o 25 cos 40 51
De zwemmer moet dus onder een hoek van 180 51 129 o met de stroomrichting zwemmen om
precies loodrecht aan de overkant aan te willen komen. 19.
a. De som van F1 en F2 is even groot als Fz maar tegengesteld (recht omhoog), want het gewicht
hangt stil.
b. Fz (F F ) 1 2 F F 1 2
z 1 2
F F F 0 Bovendien hangt het gewicht in evenwicht, dus de som van de krachten die op dat gewicht werken moet 0 zijn.
20. a.
b. De vector ABuuur gaat 6 naar rechts en 3 naar beneden. Dat geldt ook voor de vector DCuur. c. Nee, de vectoren ACuuur en BDuur hebben niet
dezelfde richting.
d. ACuuur gaat 4 naar rechts en 7 naar beneden. BPuur dus ook. Dus P(11, -8)
e. 2 DCuur gaat 12 naar rechts en 6 naar beneden. Dus Q(19, -7) f. zie plaatje: R(8, 1) 21. a. 1 1 2 a b 1 3 4 r r 1 2 3 a b 1 3 2 r r 3 4 7 3a 2b 3 6 3 r r b. ar ( 1) 212 2 br 2232 13 a br r 12 42 17 2 2 a br r ( 3) ( 2) 13 3a 2br r ( 7) 2 ( 3)2 58 22. a. 4 KL 1 uur b. 2 6 4 OL OK 5 4 1 uuur uuur c. 12 26 14 OB OA 20 2 18 uuur uuur
d. omdat OA AB OBuuur uuur uuur
e.
12 14 26
BA OA OB
20 18 2
23. a. 3 1 4 AB 31 30 1 1 3 4 BC 31 35 4 0 4 4 CD 34 35 1 0 1 1 AD 30 34 4
b. ABuuur 42 12 17 BCuur CDuur ADuuur c. Vierhoek ABCD is een ruit.
24. a.
b. vr en wr zijn beide veelvouden van 2 1 c. 2 1 , 8 4 en 10 5 d. 2 1 , 8 4 en 10 5 e. 1 2 en veelvouden daarvan : 2 4 en 3 6 25. a. AQ p a p a q b q b uuur 2 2 AQuuur ( p a) ( q b) a p a p AP q b q b uur 2 2 APuur (p a) (q b) 2 2 2 2 2 2 2 2 AQ AP ( p a) ( q b) (p a) (q b) ( p a) ( q b) (p a) (q b) uuur uur b. p2 2ap a 2 q22bq b 2 p22ap a 2q22bq b 2 4ap 4bq 0 ap bq 0 26. a. PR 6 4 10 17 2 15 uur 1 5 6 QS 13 9 4 uuur
10 6 15 4 0 , dus PR staat loodrecht op QS. b. PQ 95 24 79 uuur en QR176 59 18 uuur
9 1 7 8 65 0 , dus deze staan niet loodrecht op elkaar.
c. PQuuur 9272 130 QRuuur 1282 65 RSuur ( 7) 2 ( 4)2 65 en PSuur 32 112 130 en de diagonalen staan loodrecht op elkaar. Dus PQRS is een vlieger.
27.
a. 2.00 uur: (4, 16) 2.30 uur: (4 , 17 ) en12 21 3.00 uur: (5, 19)
b. Om 16.00 uur bij de Afsluitdijk. c. rechte lijn van (2, 10) tot (6, 22) d. Om 14.00 uur.
e. De richting van het jacht is 1 naar rechts en 3 omhoog. Vanaf Medemblik moet het jacht nog 75 naar rechts, en dus 225 naar boven. Het jacht gaat door het punt (22, 235).
28.
a. Elke keer 1 naar rechts en 3 omhoog. b. 2 uur: xy 102 2 13 102 26 164 en 3 uur: x 2 1 2 3 5 3 y 10 3 10 9 19 c. t 2,75 : x 2 2,75 1 2 2,75 4,75 y 10 3 10 8,25 18,25 29. a. 1 : x 1 1 3 1 3 4 y 2 4 2 4 6 3 x 1 1 15 16 5 : 5 y 2 4 2 20 22 1 1 1 1 2 2 2 2 3 x 1 1 6 5 2 : 2 y 2 4 2 8 6 3 x 1 1 4 5 1 : 1 y 2 4 2 6 8 b. 12 34 1014 1 3 10 3 9 3 y 2 3 4 14
Dus (10, 14) ligt op de lijn. c./d. 21 34 100136 3 31 1 2 4 b 1 3 100 3 99 33 y 2 33 4 134 1 3 31 3 30 10 y 2 10 4 42 b Nee, het punt (100, 136) ligt niet op de lijn.
30. a. OP 8 2 uur c. xy 82 25 b. PQ 10 8 2 3 2 5 uuur
31.
a. De richting van de lijn is 6 naar rechts en 9 omlaag. Dat is dezelfde richting als 2 naar rechts en 3 omlaag.
b. andere steunvector: xy 1811 23
(je kunt elk punt op de lijn nemen als steunvector.) andere richtingsvector: xy 2012 32 32. a. AB 4 5 1 : x 5 1 y 7 9 7 2 9 uuur b. OP 53: yx 53 uur c. QR 2 2 4 : xy 2 2 7 7 14 7 7 uuur d. KL8 89 3 60 : xy 83 01 uur 33. De lijn door A en B: AB 7 3 10 : xy 3 5 13 5 8 5 4 uuur 5 3 42 5 4 41 3 5 42 5 45 9 y 5 9 4 41
De punten A, B en C liggen op één lijn. 34.
a./b. De eerste lijn gaat door de kop van vector a en loopt evenwijdig aan de vector b. De tweede lijn gaat door de kop van vector b en loopt evenwijdig aan de vector a.
35.
a. A(5, 0, 0) E(5, 0, 3) C(0, 6, 0) b. M(5, 6, 1 )12
c. P(0, 4, 3) 36.
a. R(0, 4, 0) en S(5, 4, 0) c. Q(5, 3, 0): Q ligt op het midden van AB. b. 5 PE 4 0 uur
37. a. 6 FM 2 2 uuur b. AQ 2, AB 6, QP 2, MN 2 c. BQ 62 22 40 FN BP ( 40)222 44 2 11 FM d. FM ( 6) 2 ( 2)2 22 44 38. a. OS 5242 41 OP 4232 5 OF 5262 32 70 2 2 2 DB 5 6 ( 3) 70 b. AP 52 ( 4)2 ( 3)2 50 5 2 SP 52 ( 3)2 34 2 2 2 FR ( 5) ( 2) ( 3) 38 39. a. b. C(-4, 0, 0) D(0, -4, 0) M(0, -2, 2) N(-2, 0, 2)
c. Alle ribben zijn de diagonaal van een vierkant met zijde 4. Alle ribben zijn 4 2. d. AM ( 4) 2 ( 2)2 22 24 2 6 2 2 AN ( 6) 2 40 2 10 2 2 MN ( 2) 2 8 2 2 40.
a. De lijn OF en punt E liggen in het vlak OEFC en P niet. De lijnen OF en EP zijn kruisend. b. O(0, 0, 0) A(6, 0, 0) B(6, 6, 0) C(0, 6, 0) D(0, 0, 6) E(6, 0, 6)
F(6, 6, 6) G(0, 6, 6) P(0, 6, 3) c. 1 x OF : y 1 z 1 d. 6 2 x EP : y 0 2 z 6 1
e. Door C en evenwijdig aan EP:
0 2 x y 6 2 z 0 1 f. 6 0 6 x 6 6 2 6 en y 6 2 12 S( 6, 12, 0)
41. a. 0 : (0, 4, 1) 2 : (5, 1 , 8 )21 21 21 4 : ( 8, 8, 11) 10 : (20, 6, 31) b. 2 8 4 c. 2 10 2 6 5 y 4 5 1 1 3 y 4 3 1 7 Punt (10, 1, 16) ligt niet op l. z 1 3 3 8
Punt (-6, 7, -9) ligt ook niet op l. d. Ja, de richtingsvector is met –2 vermenigvuldigd.
e. De richtingsvector is dezelfde. Vraag is dus of (-4, 6, -5) op de lijn ligt.
2 4 2 y 4 2 1 6 z 1 2 3 5
Klopt, dus dat is ook een vectorvoorstelling van lijn l. 42.
a.
b. CD en EL
c. Ja, ze liggen beide in het grondvlak en ze zijn niet evenwijdig.
d. Nee, het vlak door EH en punt K is een vertikaal vlak. e. Die zijn kruisend; zie d.
f. De lijnen KN en LM zijn snijdend. 43.
a. In het midden van GH.
b. Beide lijnen liggen in het rechter zijvlak. Verleng CB en JF. Ze snijden elkaar in S. c. FI en AB zijn kruisend. AB en F liggen in het voorvlak ABFE en I niet.
BK en CH snijden elkaar want ze liggen alle twee in het vlak BCHE. HI en GJ zijn evenwijdig. Ze liggen beide in het vlak HGJI.
GK en BH kruisen elkaar. GK en H liggen in het horizontale vlak EFGH en B niet. 44. a. Fn n 50 cos12 F 50cos12 48,9 N en Fp p 50 sin12 F 50sin12 10, 4 N
b. De wrijvingskracht is tegengesteld aan Fp, dus het blok gaat niet schuiven.
45.
a. br 3 ar : ze hebben een tegengestelde richting. b. 6 25 15 10 0 : ze staan loodrecht op elkaar. c. Geen van drieën.
d. 1
3
46. a. xy 21 12 b. 1 2 3 y 2 3 2 8 C ligt op AB. c. DA 6 4 uuur en AB 4 8 uuur
6 4 4 8 8 0 dus ze staan niet loodrecht op elkaar.
d. DQ 8 q 2 uuur 8 6 (q 2) 4 48 4q 8 56 4q 0 4q 56 q 14 47.
a. Ja, B, C en Q liggen niet op één lijn, dus is het vlak BCQ mogelijk.
P ligt niet in dit vlak. De lijn PQ ligt op hoogte 4 en snijdt BC niet. BC en PQ kruisen elkaar, dus P ligt niet in vlak BCQ.
b. AP en OT zijn kruisend. P ligt namelijk niet in het vlak AOT.
c. OA 4 AB 12 52 26 BC ( 5) 2 ( 1)2 26 OC 4 OT 8 AT 42 82 80 4 5 BT ( 5) 2 ( 5)282 114 2 2 CT ( 4) 8 4 5 d. 4 2 x AP : y 0 1 z 0 2 0 1 x CQ : y 4 2 z 0 2 48.
a. EB en CF zijn kruisende lijnen. Punt C ligt niet in het voorvlak ABFE. b. PR en QS zijn snijdend. Ze liggen beide in het horizontale vlak PQRS. c. 0 1 x CF : y 8 0 z 0 1
en voor 50 kom je terecht in punt (50, 8, 50) d. P(5, 0, 3) Q(8, 5, 3) R(3, 8, 3) 2 2 PQuuur 3 5 34 PRuur ( 2) 282 68 e. AD 8 2 3 4 1 2 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 2 2 5 5 5 5 5 5 5 5 AP 8 2 1 2 en PD 8 2 6 2 P(6 , 0, 1 ) Q(8, 6 , 1 ) R(1 , 8, 1 ) S(0, 1 , 1 ) f. 4 5 4 PR 8 0 uur en 54 8 QS 4 0 uuur 4 4 5 5 4 8 8 4 0 , dus loodrecht.
T_1.
a. A, C, N, S, en W.
b. Ja, SW en DP zijn namelijk evenwijdig. c. Nee, het vlak ADP bevat punt S en niet R. d. Nee.
T_2.
a. AC en BT kruisen elkaar. A, B en C liggen in één vlak en T ligt daar niet in.
b. A, B, C en D liggen in één vlak, dus AC en BD snijden elkaar. c. B en D liggen in één horizontaal vlak en U en S ook (alleen in een
ander vlak.) BD en US zijn evenwijdige lijnen. d. T_3. a. b. c. d. T_4. a. v 3w 23 3 57 23 1521 1223 r ur 2 7 4 7 3 2v w 2 3 5 6 5 11 r ur b. vr 22 ( 3)2 13 wur 72 52 74 3vr 62 ( 9)2 117 2 2 w 3vur r 1 14 197
c. 2 7 3 5 14 15 1 0. De vectoren v en w staan niet loodrecht op elkaar. T_5. a. KL : xy 3 1 5 2
b. De richtingsvector is dezelfde. Vraag is dus of punt (6, 13) op KL ligt.
3 6 9 y 5 9 2 13 Klopt! c. 3 321 d. 3 27 1 2 1 2 6 y 5 6 2 8 30 y 5 30 2 55 p Het punt (3 , 8)12 ligt op KL.
T_6. a. D(0, 0, 0) A(6, 0, 0) B(6, 6, 0) C(0, 6, 0) E(6, 0, 6) F(6, 6, 6) G(0, 6, 6) H(0, 0, 6) b. K(0, 0, 4) L(6, 6, 3) M(6, 0, 2) c. MG ( 6) 2 62 42 88 d. 0 6 x KL : y 0 6 z 4 1 e. 6 18 3 y 3 6 18
Het punt (18, 17, 0) ligt niet op de lijn KL. T_7.
a. MK ligt in het linker zijvlak en LG in het rechter zijvlak. Die snijden elkaar niet. De richting van MK is 6 naar achter en 2 omhoog en Die van LG is 6 naar achter en 3 omhoog. MK en LG zijn dus niet evenwijdig. Dus G ligt niet in het vlak KLM.
b. 0 1 x CE : y 6 1 z 0 1
c. De lijn HB en punt G liggen in het diagonaalvlak ABGH. M ligt daar niet in, dus HB en MG zijn kruisende lijnen. d. 6 0 x BF : y 6 0 z 0 1
e. P(3, 3, 312) en die ligt niet op CE.
f. 2 2 1 2 2 PG ( 3) 3 (2 ) 24,25 en 2 2 1 2 2 PB 3 3 ( 3 ) 30,25 T_8. Nee.