Een proefopstelling voor het meten van de dynamische eigenschappen van kontaktvlakken

Een proefopstelling voor het meten van de dynamische

eigenschappen van kontaktvlakken

Citation for published version (APA):

van Heck, J. G. A. M. (1981). Een proefopstelling voor het meten van de dynamische eigenschappen van kontaktvlakken. (DCT rapporten; Vol. 1981.017). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1981

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

de dynanische eigenschapLpn van kontaktvlakken.

Mei 1981

Jos van H e c k

2

inhoud

Inhoud

Lijst van spbolen Samenvatting

Ebofdstuk I: Inleiding

Ebofds tuk I I : De modale analyse-meetprocedure

11.1. Inleiding 1 3 6 6 9 9 11.2. Beschrijving in het Laplace danein; Transferfunctie 9 11.3. Beschrijving in het frequentie dmein; frequentie-respns 1 6 ~ ,

11.4. Het meten van de frquentie-respns

11.5. Het bepalen van de modale parameters

23 I 4 5

Hoofdstuk 111: Randcoradities, parametemariaties, pakket van

eisen 5 3 I

111.1. Parameters die het kontaktvlak beschrijven

111.2. ]Extra eisen en randcondities 6 2

'

6 8 68

Hoofdstuk IV: De opzet van de proefopstelling

IV.

1.

Alternatieven

IV.2. %zet van de proefopstelling

IV.3. De meetprocedure

Bofdstuk V: De meetapparatuur

Ebofdstuk VI: De uitwerking van de constructie Ebofdstuk VII: Details

VII.l. Enkele belangrijke nunerieke gegevens

~ ~ 1 . 2 . De aanärijving, constant hoden toerental

VII.3. Mbranen

VII.4. De krachtopnaer

VII.5. Lijst van apparatuur

r.,- -Literatuur 7.5 1 77 78 80 8i8

'

8% 90 97 107 108 109 ~

§ynkolenli j s t cm21 A

h l

: oppervlakte : residunatrix b i j pool

%

_c...1

Binax : maximale bandbreedte

Cml

b : breedte van het vliegwiel

: danpingmatrix

cc1

E : Eiasticiteitsnodulus E+ f : Energie : frequentie : txijvingscoefficient

: frequentie van de excitatiefrequentie

f O fex Af

c

fl

F N

: oplossend vermogen i n frequentiedmein

: kracht-kolmmatrix : Kbmalkracht op kontaktvlak G (f), G (f): A u t e p e r spektrun xx

YY

C..]

: Cross-per s,Oektrun _{c e . 1}

c..1

C..]

CH(P)

1

: transfer-functiematrix

H. .(pi : transfer- f unctie

1 7 : frequentie-respons : frequentie-respons

c..1

c..1

i : impuls-respons

_c..1

h. . ( t ) 1 3 CII : identiteitsnatrix : traagheidsnament

: vector ter lengte

1

langs imaginaire as

c-I

CkSm21

1-1

4

K : torsiestij fheid

[KI : s tij fheidsciatrix

k : stijfheid R : l e n g t e : wrijvingskoppel

%

CM1 : massmatrix m' _ij : residuele massa n P : vermogen : t o e r e n t a l van de aandrijfas P : kontaktdruk

,

onafhankelijke variakele i n Laplacx h e i n

: pool no. k i n Laplace danein

pk r : straal Sx(f), S ( f ) : l i n e a i r spektrun

Y

Si : residuele flexibiliteit T : meettijd t : t i j d A t : t i j d tussen benonsteringen V : g l i j s n e l h e i d

E

d

: verplaatsings kolmmatrix z

r2

(f)

: coherentie-functie

Yx

: a a n t a l kontaktpunten per oppervlakte-eenheid

6 : zakking, verplaatsing kontaktvlak

A : vormafwijking 6 : ongelijkloop w

cs-ll

CWI

C N / ~ ~ I

cs-ll

cs-ll

rml

C..]

1-1

Cm1

Cml

c-I

E : rek

[-I

w w _n w ex

8

a V : hoeksnelheid

: hoeksnelheid van de aandrijfas

: hoeksnelheid van de dpâmische krachten

%

: eigentrillingsvom b i j pool : soortelijke massa : spanning :diepte bewerkingsgroeven

Cs-ll

Cs-ll

Cs-ll

6

Samenvatting

I n d i t verslag wordt een F o e f o p s t e l l i n g besprciken an d y n d s c h e eigen- schappen van kontaktvlakken t e meten. De r e s u l t a t e n van deze metingen moeten ingezet kunnen w r d e n b i j berekeningen m e t de elenenten-methode

.

H e t b l i j k t namelijk d a t berekeningen m e t de elementenmethode voor het

dynamisch gedrag v a n bijvoorbeeld gereedschapswerktuigen vaak grote

afwijkingen vertonen m e t experhenten andat het m o e i l i j k is verbindingen

op de j u i s t e wijze t e s c h a a t i s e r e n .

Nadat i n hoofdstuk I een i n l e i d i n g w o r d t gegeven i n de problemen d i e

kunnen ontstaan b i j het ontwerp van een proefopstelling wordt i n hoofd-

stuk

I1

ingegaan op de theorie die nodig i s voor de meetprocedure. I n

hoofdstuk

I11

wordt een pakket van eisen opgesteld. U i t een l i t e r a t u u r -

studie is gebleken tussen welke grenzen de parameters die het kontakt-

vlak beschrijven, kunnen v a r i e r e n . Samen m e t een a a n t a l extra e i s e n

m . b . t . de meetprocedure wrdt t e n s l o t t e het pakket van e i s e n opgesteld.

I n hoofdstuk IV worden enkele a l t e r n a t i e v e n g e p r e s e n t e e r d d i e min of

meer aan h e t e i s e n p a k k e t voldoen. De a l t e r n a t i e v e n z i j n vaak geïn-

spireerd door o p s t e l l i n g e n d i e i n de v e r s c h i l l e n d e p u b l i c a t i e s be-

schreven mrden. Verder wrdt i n d i t hoofdstuk de opzet van het gekozen a l t e r n a t i e f en de meetprocedure besproken. Bfdstuk V i s geheel g e w i j d

aan de keuze van de benodigde m e e t i n s t r m e n t e n e n opnemers. H e t gaat hierbij an basisprincipes vmr de meting en niet an de keuze v a n merken en typenunmers. I n hoofdstuk V I wordt de uitwerking v a n de c o n s t r u c t i e

toegelicht. Tenslotte kmen i n hoofdstuk V I 1 enkele b e l a n g r i j k e details

aan de orde. Hierbij z i j n standaardberekeningen v a n eenvoudige onder- delen achterwege g e l a t e n en mrden a l l e e n d i e punten a a n g e t i p t die om

I. Inleiding

_-

B i j het v o o r s p e l l e n van het l i n e a i r e t r i l l i n g s g e d r a g v a n werktuig- machines w r d e n vaak eindige elementenmethodes toegepast. D e machine wordt i n een rekemodel weergegeven m e t behulp v a n een massa-, stijf- heids- en danpingmatrix. Hieruit kunnen dan voor licht-gedempte sys- temen eigenfrequenties, eigenvectoren en bijbehorende danpingen berekend worden. Fen groot problem b i j de modelvorming is het op j u i s t e wijze i n

rekening brengen van verbindingen mals boutverbindingen, lagers, recht-

geleidingen enz.

Ten behoeve van de elenentemethode-berekeningen is het dus g m e n s t over een betere mcdelvoming van v e r b i n d i n g s e l a e n t e n t e beschikken. I n de

l i t e r a t u u r z i j n vele p u b l i c a t i e s over onderzoek aan v e r b i n d i n g e n t e vinden waarin m e 1 theoretisch als experimenteel onderzoek w o r d t be-

sproken. Fkn literatuuroverzicht is gegeven door H i j i n k e.a. ( 1 9 7 3 )

.

De

r e s u l t a t e n z i j n echter vaak n i e t meteen praktisch b r u i k b a a r of er z i j n d u i d e l i j k e vraagtekens t e p l a a t s e n b i j de meetprocedure. Een v a n de

meest bruikbare onderzoeken is dat van Corbach (1966). Hij b o u d e een proefopstelling waannee h i j een groot a a n t a l parameters kon v a r i e r e n . Deze o p s t e l l i n g mrdt besproken i n hoofdstuk IV. De r e s u l t a t e n v a n z i j n onderzoek kunnen helaas n i e t eenvoudig i n e i n d i g e elementemethode- berekeningen mrden toegepast en dienen meer g e z i e n t e worden a l s een parmeterstdie.

In d i t verslag wordt een meetopstelling voor k o n t a k t v l a k k e n besproken waarmee k a r a k t e r i s t i e k e n zoals s t i j f h e i d en demping gemeten kunnen worden. De o p s t e l l i n g i s zo geconstrueerd d a t een overheersende r o l wordt gespeeld door twee identieke kontaktvlakken. De parmeters d i e de

toestand van de kontaktvlakken beschrijven kunnen binnen ruime grenzen

gevarieerd wrden. Enkele parmeters zijn: statische kontaktdruk, opper-

vlakte-ruwheden, t a n p r a t u u r , dikte en visccsiteit van de sneerfilm enz.

Behalve de statische kracht d i e nodig i s om de kontaktdruk d i e ge-

b r u i k e l i j k is b i j r e c h t g e l e i d i n g e n t e r e a l i s e r e n , wordt ook nog een

dynmische kracht toegevoegd m e t een random karakter. Deze dynamische

krachtkmponent mrdt geregistreerd tezamen m e t de bewegingen v a n de

8

beide k o n t a k t v l a k k e n t e n opzichte v a n elkaar. M e t b e h u l p v a n e e n

'

signal-analyzer' worden f r e q u e n t i e r e s p o n s i e s berekend d i e per fre- quentie de verhouding tussen de arplitmles van de respons e n de kracht

aangeven. De ganeten frequentieresponsies kunnen v e r g e l e k e n worden m e t responsies die berekend z i j n u i t een mssa-, stijfheids-, e n dempings-

matrix. D o o r g e b r u i k t e maken v a n o.a. c u r v e - f i t algoritmes u i t de modale analyse kunnen de oribekende matrices u i t h e t rekenmodel worden

bepaald u i t de meting-en. Deze gegevens kunnen dan i n g e z e t worden b i j

elanenten-methdeberekeningen. Hierbij wordt als b e l a n g r i j k e veron- d e r s t e l l i n g gewerkt m e t l i n e a i r e systenen.

11.

De Modale Analyse

-

meetprocedure

11.1.

Inleidina

Voordat het eisenpakket voor de proefopstelling geformuleerd w o r d t z a l

eerst de rneetprocedure e n de a c h t e r l i g g e n d e theorie i n h o o f d l i j n e n besproken wrden. in § Ir.2 wordt voor een dynamica-model een r e l a t i e

gelegd tussen enerzijds rnassa-, stijfheids- en denpingmatrix e n ander-

zijds de mgenaamde modale parmeters. Vervolgens w r d e n i n § I I . 3 en §

11.4 enkele o p e r k i n g e n geplaatst over de frequentie-respons en h e t

meten van deze f u n c t i e m e t een d i g i t a l e s i g n a l a n a l y z e r . T e n s l o t t e worden i n § II.5 enkele algoritmen besproken am uitgaande van een aantal ganeten freqilentieresponsies de modale parameters v a n de s t r u c t u u r t e

bepalen. b k t b e h u l p v a n deze modale parameters z i j n we i n staat een

mechanische structuur te vergelijken m e t een rekemdel.

\

11.2.

Beschrijving van een rekemdel i n het Laplace-domein; Transfer- functie

We gaan u i t van de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n voor een v i s c e u s gedaqpt

system m e t meerdere graden van vrijheid:

(11.1)

De matrices

[MI,

[C] en [KI z i j n symetrisch, t e r w i j l [MI en [KI boven- d i e n s&-positief definiet zijn.

We b e k i j k e n het system i n h e t Laplace domein. De t r a n s f o r m a t i e i s

l i n e a i r en geldt a l l e e n voor l i n e a i r e systanen.

I n het Laplace damein beschrijven we het system met ccanplexe g e t a l l e n .

10

warden als het proäukt van een term die van het ingangssignaal afhangt en een t e m die alleen van het system afharikelijk is. W krijgen dan:

(11.2)

Hierin is EX(p)) een kolammatrix met de Laplace-getransformeerde van de verplaatsingen en (F(p) } de Laplace getransformeerde van de krachten. p is de onafhankelijke Laplace variabele. Verder zijn de beginwaarden

(x(0) = ( O ) = ( I ( 0 ) verondersteld. W kunnen schrijven:

(11.3)

met [B(p)

1

= [p2[MI

+ p[Cl

-0- [KI]

Als be het stelsel (11.3) op kunnen lossen geldt:

(11.3)

Hierin is [H(p)] de transfer-functie matrix.

[H (p)

3

kan bepaald wrden met de regel van Craner :

[D(p)] is de geadjqeerde van [B(p)] m e t als recept:

-

bepaal voor iedere term van [B(p)] de onderdeterminant.

-

vermenigvuldig de termen waarbij de sm van de i n d i c e s oneven i s m e t de factor

-1.

-

Transponeer de aldus verkregen matrix.

Set nul s t e l l e n van de noener i n (11.4) levert de karakteristieke verge-

l i j k i n g : (de verplaatsingen i n

(11.3)

mrden dan oneindig groot)

det[B(p)] = O

(11.5)

Elke term Hij(p) van [H(p)] i s een quotient van twee polynmen i n p:

We hekijken verder a l l e e n nog onderkritisch gedmpte systemen. De v a r - tels van de karakteristieke vergelijking z i j n dan complexe g e t a l l e n en

z i j komen i n geconjugeerde paren voor. W e kunnen d a n voor ( 1 1 . 6 )

schrijven:

1 2

= constante O

pi =wortel van de karakteristieke vergelijking: ook pool gemand

*

= caplex geconjugeerde van p l p

i i

Partieel breuksplitsen levert:

*

*

A ij,2 A.

+ *

+

...

+

l j ,

1

ijf 2

+ *

+-

l j ,

1

H.

.

(p) =

-

p-p2 P-p2 J-1 1 7 P-Pl

*

A. A. ij,n ij r n

+-

_P-Pn

+T P P n ofwel : in matrix-notatie: (11.8) (11.9) (I1 .lo)

p heet een pool en

[\I

de bijbehorende residumatrix. De matrix [H(p)], waarvan elke term een transfer-functie tussen twee punten van de structuur voorstelt, is dus opgebouwd uit n geconjugeerde paren van

ccnrrplexe g e t a l l e n . Voor het geval dat n =

1

i s H(p) grafisch keergegeven

i n figuur

11.1.

magnitude reëel deel

figuur

11.1.

De transfer-functie H(p) als er slechts &&n t r i l l i n g s -

1 4

Indien ve u i t de matrix [H(p)] de e i g e n t r i l l i n g w o m e n Willen berekenen is het n i e t nodig elke term van [H(p)] t e kennen. E h r i j of kolom i s

hiervoor voldoende. D i t kunnen ve als volgt inzien:

EFierui t volgt :

(11.4)

(11.11)

In elke pool geldt D e t EB(%)] = O ( d i t i s h e r s de karakteristieke

v e r g e l i j k i n g ) . U i t

(11.11)

volgt dat er i n p o l pk geldt:

[B(pk)l[D(pk)] = [O]

(11.12)

E

- - ke k o l a van CD(%)] is dus een oplossing v a n 'net homogene de

1

van

het stelsel ( 1 1 . 3 ) en is dus afgezien van een constante factor, g e l i j k

aan de e i g e n t r i l l i n g s v o m {

Vanwege de synmetrle i n EM], [ C ] en EK] geldt d i t ook voor elke r i j van

CD($)]. Daar de transferfunctie matrix [H(p)] op een factor det[B(p)] na g e l i j k i s aan de geadjugeerde v a n [B(p)] (=[D(p)]) kunnen we de

belangrijke conclusie trekken d a t elke r i j of kolom v a n de t r a n s f e r -

1

behorende b i j pool p k'

U i t (11.9) b l i j k t d a t el'ne component Hij (p) v a n de t r a n s f e r - f u n c t i e matrix [H(p)

1

bepaald mrdt door n sets van t h e e complexe parameters: de

3-01

en het b i j die pool behorende residu Ai

Ce polen

$

z i j n voor a l l e transfer-functies binnen [H(p)] g e l i j k ; de

residuen echter niet: z i j verschillen van ccsrnponent tot c a p o n e n t binnen

CH(P)

I

Samenvattend kunnen t e concluderen:

H e t gedrag van een op visceuze danping gebaseerd dynamica-rekenmodel

wordt volledig beschreven door een i n het Laplacedamein gedefiniegrde

transfer-functie matrix [H(p)]

.

Elke ccsnponent Hij (p) van [H(p)] kunnen WE? schrijven als:

(11.9)

I) De eigentrillingsvonnen {

I$

] worden volkmen bepaald door &&n r i j of b [Hipj] kan 'besc'nreven mrsen m e t de mgenamide modale pardiTieters die

voor elke eigentrillingsvorm k bestaan u i t een pool

ri,

en een residu-

matrix

[%].

16

11.3.

B e s c h r i j v i n g v a n het rekenmodel i n het frequentie-domein; de

frequentie-respns

Ais de ’beschrijving i n het Laplace-dmein bekend is kan de overgang naar

het frequentie-dmein e e n v o d i g uitgevoerd worden door p = j u .te sub-

stitueren, waarbij w & hoekfrequentie voorstelt.

In figuur

11.1

kunnen we d i t v o o r s t e l l e n als een d o o r s n i j d i n g v a n de grafiek m e t een vlak door de h a g i n a i r e as loodrecht op de reëele as. l?e z u l l e n eerst de beschrijving van de frequentie-repons en de p r e s e n t a t i e i n het c w l e x e vlak bekijken; daarna worden e n k e l e korte o m e r k i n g e n

geplaatst over speciale g e v a l l e n zoals ongedempte en p r o p o r t i o n e e l gedanpte systemen.

Allereerst wrdt vergelijking 11.9 cmgewerkt. De residumatrix

[%]

d i e

gevuld is m e t de r e s i d u a is op een constante factor C na g e l i j k aan

CD(&)

1

:

1

Ik

(11.13)

W e hebben i n §

ïï.2

gezien dat elke r i j en elke k o l a i n [D(p,)] op een constante na gelijk is aan de e i g e n t r i l l i n g s v o m {

%

1.

I& kunnen [D(%)

1

nu schrijven als het produkt van { $,-

1

en { $k

y:

n niet C en I l k D i t levert m e t C constant. 2,k (11.9): (

11.14)

Splitsen i n reëele en imaginaire delen:

(11.15)

(II.16)

(11.17)

E51 overgaan van het Laplace-daneh naar het frequentie-danein door

p = j u

levert :

(I1.18)

(11.19)

als a l g e n e formule voor de frequentie-respons.

Alvorens de F e s e n t a t i e van de frquentie-respons i n h e t complexe vlak

t e 'bekijken, beschouwen we eerst de functie

18

Deze functie b l i j k t voor - m < w < e n cirkel i n h e t complexe vlak te beschrijven m e t een middelpunt (-

-

,

O ) e n een straal

1

-

1

(zie

figuur

11.2).

1

2 % 2p k

De bijdrage van &n mode k i n v e r g e l i j k i n g

(11.19)

bestaat u i t t w e e

functies van het type

(11.20)

d i e a l l e e n gebruikt mrden voor O < w < a,

.

P 4

en verdraaid

2

De cirkels mrden vergroot m e t een factor &lijk

+

Vijk

over een hoek m e t een tangens v a n

)

resp.

(

-

)

.

De totale

i j k

frequentierespns wordt v e r k r e g e n door voor elke t r i l l i n g s v o r m deze

c i r k e l b o g e n op t e t e l l e n . I n f i g u u r

11.2

w o r d t e e n en a n d e r ver- d u i d e l i j k t .

G&NEWA

1

VIS

CO

US DAMPING

MODAL C O N T W ~ B U ~ ~ O N

W .

w -v -w-v .

Dra wing assumes

p<Q U > O V<O I* Re

-

-!-

0'l a r c i a n Re 9

figuur 11.2. De presentatie van de frequentierespons in het complexe vlak als n = 1 (slechts &&I trilingsvorm)

.

Men n m t de presentatie van de frequentierespons in het complexe vlak vaak een Nyquist-àiagrm

.

We zullen vrij s d e r de €requentie-respons en zijn presentatie in het c q l e x e vlak bekijken voor de speciale gevallen van ongedempte en proportioneel gedenpte systemen.

Ongedqte systenen

We bekijken het rekermcdel eerst in het Laplace-domein. Ondat bij on- gedenpte systanen de matrix [C] = [O] in vergelijking (11.2) komen er in de matrices [B(p)] alleen even machten van p voor. De polen uit de karakteristieke vergelijking zijn dan zuiver imaginair en k m e n voor in

20

c q l e x geconjugeerde paren. De matrix [D(p)] bestaat dan ook u i t zuiver reeele ccrmponenten; als we dus de residunatrices [A$ behorende b i j de

zuiver imaginaire p ï e n gaan bepalen dan b l i j k t dat deze residumatrices u i t zuiver imaginaire caponenten bestaan. Als we v a n u i t h e t Laplace-

dcsnein naar het f r e q u e n t i d m e i n overgaan door p =

j0

.te s u b s t i t u e r e n

k r i j g e n ws m e t

p

, =

%

+

j v k = j u , bolen z i j n zuiver imaginair)

-

-

(residuen z i j n zuiver

"k

%,i %,j jk -'i + kji']

-

kji'J imaginair )

voor

(11.19)

:

(

11.21)

De frequentierespons wordt o n e i n d i g als w p i i j k w o r d t a a n v,

.

(de

eigen-frequentie)

.

I n het cmplexe vlak wordt de frequentie-respons

weergweven door een l i j n mer de reëele as van -m raar

+-

.

Deze presen-

tatie is n i e t zinvol en het is v e r s t a n d i g e r naar andere p r e s e n t a t i e s

(bijv. B d e diagrm) te kijken. Proportionele derping

systeerr. ~eer!t nen p-qortimxid. gedempt als de bewegingcverge- l i j k i n g e n t e ontkoppelen z i j n m e t de e i g e n v e c t o r e n d i e gevonden z i j n

door het oplossen van het ongdarrpte systeem.

Nodige en voldoende voorwaarden hiervoor z i j n o s e s t e l d door Caughly &

O'Kelly (1965); een voldoende voorwaarde i s bijvoorbeeld d a t de dem-

p i n g m a t r i x een l i n e a i r e ccmbinatie is van de massa- en de stijfheids-

polen gamne ccanplexe g e t a l l e n zijn, de residuen w e e r z u i v e r i m a g i n a i r z i j n :

Voor de frequentie-respons volgt daarmee:

(11.22)

I n het Nyquist-diagran worden de cirkels u i t v e r g e l i j k i n g

(11.20)

ge- draaid over

+TB

-

(= a r c t a n m ) . Ze l i g g e n dan symmetrisch om de h a -

g i n a i r e as.

Conclusies

M e n v a t t e n d kamen

ws

tot de volgende operkingen over de b e s c h r i j v i n g

van het rekerncdel i n het frequentie-dcanein:

e- De Algemene formule voor de f r e q u e n t i c l r e s p n s l u i d t :

(11.19)

b De p r e s e n t a t i e i n het cmplexe vlak kan als volgt g e c o n s t r u e e r d wor-

22

1

-

voor elke trillingsvorm twee cirkelbogen met straal

1-1

2 r i k

an middel-

I

punt (-

-,o).

2rik

-

Cirkels vergroten met een factor

'ijk I j k

'ijk 'ijk

-

Cirkels draaien over de hoeken arctan (-) resp. -arctan (-).

e Voor oqedapte systenen geldt:

-

De polen zijn zuiver imaginair.

-

De residunatrices zijn zuiver imaginair.

-

De uitdnikking vmr de frequentie-respons mrdt vereenvoudigd tot

(11.21)

-

De presentatie in het c q l e x e vlak is een l i j n op de reëele as.

b Voor proportioneel gedmpte systemen geldt:

-

De polen zijn normale caplexe getallen.

. I

-

& resi&mïa+-yices zijn zuii-er ~TiqïLziï.

-

De frequentie-respons is

-

Bij de presentatie i n het complexe vlak mrdt de fr.equentierespons

samengesteld u i t cirkelbogen die symmetrisch zijn t.o.v. de imaginaire as.

11.4.

Et meten van de frequentie-respons

Wanneer we h e t dynamische gedrag v a n e e n c o n s t r u c t i e experimenteel w i l l e n bepalen is het handig als we kunnen beschikken over e e n meet-

techniek d i e metingen i n het Laplace-domein mogelijk maakt. Daarmee

kunnen we dan de p o l e n en de b i j b e h o r e n d e residumatrices opsporen.

Helaas beschikken vie n i e t over zo'n meettechniek en kunnen we slechts

metingen v e r r i c h t e n i n h e t frequentie-domein; d.w.z. we kunnen d e

transfer-functie a l l e e n meten voor z u i v e r imaginaire p-waarden. D i t

levert ons de f r e q u e n t i e r e s p n s . Voor h e t meten van zo'n frequentie- r e s p o n s wordt tegenwoordig veel g e b r u i k gemaakt v a n e e n d i g i t a l e I' signal-analyzer"

,

waarin de signalen gedigitaliseerd worden e n vervol- gens naar het f r e y u e n t i e 4 m e i n getransformeerd worden door e e n micro-

processor m e t een "Fast Fourier Transform" algoritme. In deze paragraaf

worden erikele aspecten van het meten m e t m'n analyzer a a n g e t i p t . Voor verdere informatie wordt verwezen naar A l l m n g (1980a), E W w (1980a)

,

Van Honacker (1980)

,

Klosterman ( 1 9 7 1 )

,

v . Loon ( 1974) e n v.d. Staay

(1979)

.

II.4.a. Analoog-digitaal metting

Qndat de meetsignalen verwerkt moeten w r d e n door een microprocessor, is

het nodig an de analoge meetsignalen an t e zetten i n een digitale vorm. Daartoe wrdt na elk t i j d s i n t e r v a l v a n A t seconde de waarde v a n het

ingangssignaal g a e t e n en digitaal opgeslagen totdat een totaal van N

banonsteringen is genanen.

Volgens het theorena van Shannon gelden de volgende relaties ( z i e b i j v .

Ekndat/Piersol (1971) )

-

de totale meettijd: T =

-

de maximale breedte van

transformeerde berekend

-

het frequentie-interval

1

transfomatie is A f = - T N

.

A t (

11.23)

de frequentieband waarbinnen de Fourier-ge-

kanworden is: B =

1 / ( 2 . A t )

( 11-24]

tussen de discrete u i t k m t e n van m a x de Fourier-

(I1

-25)

24

D i t heeft onder andere de volgende gevolgen:

-

w i l men de bandbreedte verkleinen, dan wrdt de meettijd langer.

-

om een trillingsvorm goed t e beschrijven is het nodig over een groot oplossend vermcgen i n het frequentie danein te beschikken. Cxndat daar

een grote meettijd voor n d i g is kan de b e s c h r i j v i n g v a n h e t s i g n a a l i n het tijddcmein onnauwkeurig mrden andat de bemonsteringen m e t t e

grote t i j d s i n t e r v a l l e n p l a a t s v i n d e n . D i t kan men name b i j knpact-

excitatie-technieken problanen opleveren.

II.4.b. Aliasing-foutbronnen

Indien FR de ingangssignalen volgens de f a s t f o u r i e r t r a n s f o r m w i l l e n behandelen w r d e n de r e s u l t a t e n beinvloed door e v e n t u e l e s i g n a l e n met

een frequentie die buiten de ingestelde bandbreedte valt.

H e t verband tussen toegevoerde en ganeten frequentie i s weergegeven i n

max

ingestelde bandbreedte

2.f max frequentie van

ingangssignaal

3.f max

figuur I I. 3. Aliasing.

H e t is dus belangrijk cm frequenties buiten de ingestelde bandbreedte t e elimineren. Indien er gebruik genaakt wrdt van complete a n a l y z e r sys-

temen z i j n deze anti-aliasing f i l t e r s reeds ingekouw3 en h o e f t men zich

over deze foutbron geen zorgen t e maken. Qndat er geen ideale afkap- filters bestaan wrdt er b i j deze systemen m e t een

2

x zo grote fre-

quentie banonsterd dan theoretisch noodzakelijk voor de gewenste band-

26

II.4.c. Afrondingsfouten i n de ADC

Doordat het signaal van een analoge naar een digitale vorm w o r d t angezet i n de A-D converter zullen er a f r o n d i n g s f o u t e n optreden d i e de meet- r e s u l t a t e n nadelig beinvloeden. H e t is d u s b e l a n g r i j k d a t d e a n a l o g e

waarde na d i g i t a l i s e r i n g door voldoende bits mrdt weergegeven. ( B i j 8

b i t s is de maximale afrondhgsfout 0.4%). Afrondingsfouten kunnen be-

langrijke meetfouten veroorzaken i n d i e n de toegevoerde s i g n a l e n een

grote harmonische of statische cgnponent bevatten; h e t d y n m i sche deel

wordt dan m e t aanzienlijke fouten beschreven (zie figuur

11.4)

.

signaal met grote statische

signaal m e t grote harmonische

I --i

I 1

8000 i?O00

.

SO00 400Q 400 eo0 I ROO t SO0 1008

1s w 1

figuur 11.4. Afrondingsfouten i n de AD c o n v e r t e r d i e o n t s t a a n door

II.4.d. Signaal-lek

Een van de meest voorkomende foutbronnen b i j h e t meten van de fre-

quentie-respnsies m e t digitale apparatuur is de zogenaamde 'I s i g n a a l - lek". Deze f o u t o n t s t a a t mdat

wz!

n i e t i n staat z i j n de ingangssignalen gedurende oneindige t i j d t e observeren, mals de fourier-trans f ormaties voorschrijven. Ais we het sinuwomige signaal u i t figuur II.5.a w i l l e n analyseren, wrdt d i t signaal slechts gedurende een e i n d i g e t i j d geob-

serveerd. D i t k m e n be v o o r s t e l l e n door het s i g n a a l u i t f i g u u r

11.5

.a

t e vermenigvuldigen m e t de rechthoekige functie u i t figuur

11.5

.b. Z o I n

f u n c t i e wrdt i n d i t verband vaak "windm function" genoand. H e t r e s u l - t a a t v a n de vermenigvuldiging is gegeven i n figuur II.5.c.

28

T

figuur II.5.b. Windm functie.

De vermenigvuldiging van het ingangssignaal m e t een windav-functie heeft

t o t gevolg dat i n het f r e q u e n t i d m e i n de Fourier-getransformeerden v a n

het ingangssignaal en van de windw-functie geconvolueerd worden. ( h e t

produkt van twee functies in h e t tijddomein komt o v e r e e n m e t de con- v o l u t i e van de getransformeerden van deze f u n c t i e s i n h e t f r e q u e n t i e - damein; Enlrty/Rubinstein (1964) )

.

Coor deze convolutie wrdt het gemeten

spectrun vervormd; een en ander is duidelijk t e zien i n figuur 11.6.

figuur II.6.a. Fourier getransformeerde van het te meten s i g n a a l u i t

30

figuur 1I.Q.b. Füurier getransformeerde v a n de window f u n c t i e u i t figuur II.5.b.

figuur II.6.c. Qnvolutie van figuur II.5.a en I I . 5 . b : h e t gemeten spectrun. D i t kant overeen m e t de fourier g e t r a n s f o r -

Signaallek is een f o u t b r a die theoretisch gezien n i e t t e o m z e i l e n is; men kan nu eemaal n i e t gedurende een o n e i n d i g e t i j d meten. Er z i j n

echter wel mogelijkheden am de vervorming van het spectrun t e beperken,

b i j vmrbee Id :

Zorg ervoor dat de signalen periodiek z i j n m e t een periodetijd d i e gelijk is aan de meettijd T. D i t wrdt ook w e l periodieke excitatie

genoand en heeft als effect dat de s p e c t r a a l l i j n e n v a n h e t spectrun precies sanenvallen m e t de nuldoorgangen v a n de f o u r i e r - g e t r a n s f o r -

meerde van de windm-functie. Zie v e r g e l i j k i n g

(11.25)

en figuur

11.7.

D e m e e t t i j d v e r l e n g e n , d . w . z . h e t o p l o s s e n d vermogen i n h e t

frequentie-dmein vergroten.

Gebruikmaken van andere windm-functies i n plaats van de rechthoekige

f u n c t i e u i t figuur II.6.b. V e e l gebruikte windm-functies z i j n :

2 Hanning: sin Hamming: 0.08 Exponentieel:

($3

2 r

+

s i n

( r 5

- a t e

B i j deze €uncties z i j n de toppen van de zijlobben veel minder hoog; de hoogste top mrdt echter breder. (verlies aan selectiviteit).

Signaallek is vaak t e herkennen aan een slechte coherentie (zie 1 1 . 4 .e)

32 MAG f f l

I !

( 1 f 5 I

fig. II.7.a. De ingangssignalen zijn periodiek met de meettijd + e n

fig. II.7.b. De signalen zijn niet periodiek met de meettijd. Dit levert signaal-lek

.

34

II.4.e. Fbuten door het randan gedrag van de ingangssignalen

De ingangssignalen z i j n b i j n a a l t i j d signalen m e t een random karakter;

d.w.z. hun verloop kan n i e t voorspeld worden maar hangt af v a n een a a n t a l min of meer toevallige mstandigheden. Z i j dienen dan ook als

zodanig behandeld t e worden. K a r a k t e r i s t i e k e n v a n e e n random proces

kunnen

we

o& nooit precies bepalen zonder a l l e mogelijkheden voor h e t verloop van het proces i n beschouwing t e nmen. in de praktijk kunnen we

dus a l l e e n spreken van schatters voor d i e k a r a k t e r i s t i e k e n ; b i j elke schatter hoort een betrombaarheidsinterval. De schatters w r d e n bepaald

u i t observatie van &n of meerdere randan processen gedurende een eindig t i j d s i n t e r v a l . Door de processen langer te observeren worden de schat-

ters nauwkeuriger bepaald en wrdt het betrouvbaarheidsinterval kleiner.

D i t i s o& het geval indien de schatters een a a n t a l keer bepaald worden ( t e l k e n s u i t een andere observatie) e n gemiddeld worden. We z u l l e n

erïkele functies bekijken die de randm in- en uitgangs-signalen van een l i n e a i r system i n het frequentiedmein b e s c h r i j v e n en voor de modale

analyse van belang z i j n .

*

G n e a i r spectrum

s

( f ) ,

s

( f )

.

X Y

Deze functies mrden berekend door het ingangssignaal x ( t ) e n h e t u i t - gangssignaal y(t) van het system t e transfomeren volgens Fourier:

W W

(11.26)

-2a j E t dt

=

I

dt)

.

e -2rjEt d t en § = I

gt)

.

e

sX -0) y 4 0

Zet is i n de praktijk n i e t mogelijk m gedurende een o n e i n d i g e t i j d t e

meten. Et middelen van de schatters Sx( f ) e n S ( f ) w o r d t besnoeilijkt

door het f e i t dat de fase afhankelijk i s van h e t beginpunt v a n de me- ting. D i t i s de belangrijkste reden d a t h e t l i n e a i r spectrum v r i j w e l n o o i t gebruikt wordt.

*

Aixto-power spectrun G (f) I Giy(f).

xx

Deze f u n c t i e s worden vaak g e b r u i k t an de frequentie-inhoud v a n een signaal te bekijken. ( U i t welke frequenties en i n w e l k e verhouding i s

mijn ingangssignaal omebubd?) De berekening gaat volgens:

(11.27)

Door het l i n e a i r s,pctrun m e t z i j n ccmplex geconjugeerde t e vermenig- vuldigen raakt de fase-infomiatie verloren t e r w i j l de amplitude-infor- natie behouden b l i j f t . Et i s nu w e l mogelijk om schatters G x x ( f ) e n

G ( f ) te middelen.

YY

Als er een schatter voor het a u t e p e r spectrun bepaald is dan kan het betrouihaarheidsinterval rond die schatter berekend worden m e t :

( 11.28)

m e t : G ( f ) = a u t c - p w r spectrun

G(f) = schatter vmr G ( f )

n = a a n t a l v r i j h e i d s g r a d e n v a n de Chi-square v e r d e l i n g = 2

*

a a n t a l metingen

x2

=Chi-square verdeling m e t H graden van vrijheid

K

I n tabel

11.1

i s een vmrbeeld gegeven voor een 90% betrouwbaarheids- i n t e r v a l .

36

B i j de modale analyse wrdt het auto-power spectrun vaak g e b r u i k t om t e controleren of alle frequenties die gewenst z i j n voldoende i n het in- gangs s ignaai ver t e g m o r d i g d z i j n.

*

Cross-pwer spectrm G ( f )

Yx

H e t Cross-pawer spectrun mrdt berekend met

(11.29)

D i t spectrum wordt gebruikt an de relatie t u s s e n t w e e s i g n a l e n t e be-

s t d e r e n . De onrrplitilde van G ( f ) i s het produkt v a n de amplitudes van

S (f) en S (f), terwijl de fase het verschil is van de fasehoeken van

S (f) en Sx(f). Het is dus mogelijk cm te middelen indien er een dui- delijk verband bestaat tussen in- en uitgangssignaal. (dan is het fase- verschil constant). Dit mrdt in figuur 11.8 toegelicht voor een be- paalde frequentie fi. Betrouwbaarheidsintervallen worden weer berekend met ( 11 . 2 8 ) . X Y Y METINGEN 1 G ( f l ) IM Y X GEMIDDELD

c

IM

figuur II.8.a. Cross-pawer voor frequentie fl. Aile vermogen bij deze frequentie is in beide signalen van dezelfde bron aflac>mstig.

39

figuur II.8.b. cross-pawer voor frequentie f Alle vemogen b i j deze

frequentie is voor beide signalen van een andere bron

afkmstig o

1'

RE

figuur II.8.c. cross-per b i j frequentie f Een gedeelte v a n h e t

vermogen i n beide s i g n a l e n

1'

i s v a n dezelfde b r o n

*

Coherentiefunctie

U i t figuur

11.8

b l i j k t dat we m e t h e t Cross-power spectrm G ( f ) i n staat z i j n a n signaalmponenten m e t een constant faseverschil i n x( t) en y ( t ) t e s c h e i d e n v a n s i g n a a l c m p o n e n t e n m e t random faseverschil

(bijv. r u i s , vreende ingangssignalen enz.). mr het Cross-power spec-

trun te schalen t u s s e n n u l en &&n kunnen we per f r e q u e n t i e h e t per-

centage "coherent" signaal aflezen; we nomen de aldus verkregen functie

de coherentie-functie. De berekening gaat volgens:

YX

2

2

I

1

y

_(fl

_{= Gxx(f) G ( f )}

Yx

YY

(11.30)

De coherentie-functie bevat g&&n f a s e - i n f o r m a t i e . Betrouwbaarheids-

i n t e r v a l l e n vmr schatters

y

(f) kunnen berekend mrden m e t : yx tanh2{w(f)

-

(n-2)-'

+

ow

. z a p ]

Hierin is: w ( f ) =

-

₂

1

I n = t a n h-l

(YF(f))

-1

u2 = (n-2) W (I1

31)

(11.32)

40

n =

2

*

aantal middelirigen

= z-waarde b i j normale verdeling b i j gegeven twee-zijdige over- s c h r i j d i n g s k a n s or v o o r e e n

(1-or)

.

1 0 0 %

Y

zd

betrombaarheidsinterval rond

y

(f)

.

Deze formule is uitgewerkt v a r een betrouvbaarheidsinterval v a n 90% i n tabel

11.2.

Tabel I1

.2.

90% betrombaarheidsintervallen voor schatters voor de

*

De frequentie-respns

H. .(p), die aan het cmplexe getal p een caplex getal H ij (p) toevoegt,

alleen t e bekijken voor p = j w ; waarbij w reëel is.

1 3

Er geldt volgens (11.3) :

(11.33)

d i t k a n t voor

j u

9

=^ S Jf) = fourier-getransformeerde van het uitgangs-

F( j w

9

4 S $ f ) = fourier-getransformeerde van het ingangs-

s ignaai

signaal

overeen m t

(11.34)

Daar S (f) en S ( f ) moeilijk t e meten zijn wrdt de overdrachtsfunctie

X

Y

berekend volgens

(11.35)

daar G

intervallen rond de schatter H(f) worden berekend volgens:

( f ) en G=(f) wel goed gemeten kunnen worden. Betro-aarheids-

42

( 11.36)

h i e r i n is:

"r(

f ) : de straal van een c i r k e l i n h e t complexe v l a k rond H( f )

waarin H ( f ) m e t een betrouwbaarheid van ( i - a )

.

100% l i g t .

n F

y

(f) : Schatter mor de coherentiefunctie y2 (f)

.

G ( € )

,

G ( f ) : Schatter voor h e t auto-power s p e c t r m G ( f ) en

: 2

*

aantal middelingen. : F-verdeling m e t 2 en n-2 vrijheidsgraden. 2 ;n-2

P

Yx

YY

xx YY Gxx(f)

H e t is duidelijk d a t als de ganeten coherentiefunctie g e l i j k i s aan 1 de

fout i n EI(€) door het randan gedrag van de signalen gelijk i s aan nul.

*

Samenvattend kunnen we de besproken f u n c t i e s d i e de random s i g n a l e n x ( t ) en y ( t ) i n het frequentie-damein b e s c h r i j v e n p l a a t s e n z o a l s i n figuur 11.9.

II.4.f. Excitatietechnieken

Qn een frequentierespons m e t een digitale signal analyzer te meten moet

de constructie i n a l l e f r e q u e n t i e s binnen de i n g e s t e l d e bandbreedte

aangestoten mrden. Hiervoor bestaan een aantal technieken d i e nu kort

besproken zullen worden m e t hun specifieke voor- en nadelen.

*

pseildo randm

Er mrdt een gewenst excitatie-kracht spectrun i n de computer be-

rekend. Westal betaat d i t spectrun u i t een amplitude d i e voor a l l e

frequenties binnen een beperkte band gelijk is m e t een randm fase; er

bestaat echter o& de mogelijkheid te corrigeren voor bijv. bewegende massa van de excitator. Vervolgens wordt het berekende spectrm n a a r

het tijddanein getransformeerd en het s i g n a a l d a t zo o n t s t a a t wordt naar de excitator gevoerd. &dat het signaal i n h e t frequentiedomein omebouI\d en daarna naar h e t tijddomein getransformeerd is, i s het krachtverloop periodiekmet de meettijd. Bet is numogelijk signaallek

t e voorkomen door de c o n s t r u c t i e m e t h e t periodieke s i g n a a l aan t e s t o t e n e n de metingen t e beginnen als de i n s c h a k e l v e r s c h i j n s e l e n u i t g e d a p t z i j n . Een groot nadeel v a n deze methode i s d a t door de periodieke excitatie evt. losse onderdelen v a n de c o n s t r u c t i e mee

kunnen gaan t r i l l e n . Deze t r i l l i n g e n z i j n coherent m e t de excitatie en kunnen dus n i e t door middelen verwijderd wrden.

*

Periodic mirps

Deze excitatievorm l i j k t veel op de psecdo randm e x c i t a t i e . Hierbij

wordt het krachtverloop echter n i e t i n het frequentie-dmein berekend maar electronisch gerealiseerd door een sinus i n de meettijd de fre-

quentieband te l a t e n doorlopen. De meetprocedure verloopt hetzelfde

als b i j pedo-randan excitatie.

*

Puur Random. H i e r b i j wordt de s t r u c t u u r aangestoten m e t e e n puur randan signaal (meestal " w i t t e ruis"). D i t s i g n a a l w o r d t vaak elec- tronisch omewekt en is n i e t t e beïnvloeden. Omdat h e t s i g n a a l n i e t

periodiek is o n t s t a a t er s i g n a a l - l e k d i e b i j v . door een geschikte

windw-functie gereduceerd k a n worden. Deze excitatievorm i s vaak

44

*

Periodiek-randm.

De periodieke randm excitatie ccanbuleert de voordelen van pure randan en psedo randm excitatie. Er mrden een a a n t a l metingen gedaan m e t

pseuk-randm excitatie waarbij het gegenereerde krachtverloop telkens

opnieuw i n het frequentiedanein berekend mrdt en d u s o n g e c o r r e l e e r d

i s m e t de voorgaande metingen. Tenslotte w r d e n de metingen g d d d e l d .

De enige nadelen z i j n de mvangrijke i n s t a l l a t i e d i e nodig is en het

f e i t dat de procedure zeer tijdrovend is.

*

impact excitatie.

Hierbij wordt de structuur geexciteerd d.m.v. een hpulcvorrnige kracht

d i e bijvoorbeeld verkregen kan w r d e n door een klap m e t een hamer. De

i q u l c v o d g e kracht is een benadering voor een delta f u n c t i e die alle frequenties bevat. Door harde of zachte koppen op de hamer t e beves-

t i g e n kan het verloop van de kracht als functie van de t i j d b e ï n v l o e d

mrden. De methde is zeer snel. Als nadelen mrden g e n m d :

-

door het hoge piekvernogen mrden eerder niet-linealre v e r s c h i j n s e l e n i n de meting betrokken.

-

B i j k l e i n e bandbreedtes wordt h e t p u l s - s i g n a a l door t e w e i n i g be-

monsteringen beschreven.

II.4.g. Et meten van een frequentie-respns

Satenvattend kunnen ws s t e l l e n dat als ws een frequentierespons w i l l e n

meten ws m e t de volgende aspecten rekening moeten hoden:

-Worden de s i g n a l e n i n het tijddomein voldoende vaak bemonsterd?

( 8 11.4.a).

-

Worden de resultaten i n het frequentiedomein door voldoende punten

beschreven? ( § II.4.a)

.

-

kbrden de frequenties buiten de ingestelde bandbreedte u i t g e f i l t e r d ? ( § II.4.b).

-

Wordt er verstandig gebruik gemaakt v a n h e t bereik v a n de AD-con- vertor? ( 8 E . 4 . c ) .

-

Worden er voldoende maatregelen getroffen m signaal-lek t e voorkomen of te reduceren? ( I II.4.d)

-

Is de coherentie-functie b i j de belangrijke frequenties b i j benadering

gelijk aan

1

zodat de randm f o u t i n de frequentie-respons n a a r nul

gaat? ( 5 11.4.e).

§ lI.4.f).

-

Heb ik de structuur i n alle frequenties goed geëxciteerd? ( § Iï.4.e &

11.5.

et

bepalen van de modale parameters u i t een a a n t a l gemeten fre-

quentie-responsies.

In § Iï.2 is aangetoond dat een rekerncdel voor dynamica-problemen m e t visceuze danping beschreven kan worden m e t een i n h e t Laplace-domein gedefinieerde transfer-functie matrix [H(p)]. Elke ccanponent Hij (p) v a n

deze matrix kan beschreven mrden door de vergelijking

*

(11.9)

A I S we voor elKe triiiingsvorm K een pool

IS,

en een bi-jhhmeïìde resi&-

matrix

[%I

kennen i s het rekerncdel volledig beschreven. €&laas i s het onmogelijk an deze parameters direct te meten; b i j experimenten kunnen we a l l e e n informatie over het frequentie-dcxnein verkrijgen. iharm w r d t

v e r g e l i j k i n g (11.9) omgewerkt n a a r de algemene formule voor de fre-

quentie-respons :

46

m e t A _{i j , k}

_-

_-

uijk

+ jVijk en pk = p k + I v k

H e t problem is dus an voor elke t r i l l i n g s v o r m de 4 parameters U i j k vijk' 'k k

kmdratemethode-algor itmes

.

v & bepalen. D i t kunnen be bijvoorbeeld doen m e t k l e i n s t e

Qndat be i n de praktijk slechts een bepaalde frequentieband i n beschouw-

ing nmen breiden VE vergelijking

(11.19)

u i t m e t twee extra termen:

.

residuele massatem voor de e f f e c t e n van t r i l l i n g s v o r m e n m e t

1

m'.

.

w

17

--.

2

een lagere frequentie.

residuele f l e x i b i l i t e i t voor e f f e c t e n van trillingsvormen m e t e e n f r e q u e n t i e d i e hoger i s d a n de i n g e s t e l d e hoogte

"G

:

frequentie.

We vergelijken de ganeten frequentierespns danmet de formule:

(I1 -37)

De 4n

+

2

onbekende parameters kunnen worden bepaaid door de zogenaamde

"curve-fit" procedures. zullen enkele van de meest bekende procedures

besproken worden waarbij nadruk wordt gelegd op de v e r o n d e r s t e l l i n g e n waarvan wordt uitgegaan.

*

(&adrature-fit

De volgende veronderstellingen worden gmaakt:

e rond een resonantiepiek is slechts &&n t r i l l i n g s v o r m b e l a n g r i j k ;

vèèl groter dan de overige temen.

o H e t system is proportioneel gedgnpt d.w.z. Uijk = O (zie vergelijk- ing

11.22).

Met deze veronderstellingen wrdt ( 11.37) vereenvoudigd tot

(11.38)

rond trillingcvom m.

De ongdmpte natuurlijke eigenfrequentie wm =

'net nul stellen van het reëele deel van (11.38). Vervolgens w x d t de danping berekerd met:

Tenslotte wrdt Vi@ bepaald u i t het imaginaire deel v a n de fre- quentie-respons b i j w

48

De Q u a d r a t u r t i f i t is de meest eenvoudige manier om de modale para-

meters t e 'bepalen. Et algoriwe is zeer s n e l maar er kunnen ern-

s t i g e f o u t e n o p t r e d e n i n d i e n er t r i l l i n g s v o r m e n zeer d i c h t b i j elkaar liggen of niet-proportionele danping aanwezig is.

L i t e r a t u u r : 8 . v a n Brussel (1980), Klosterman ( 1 9 7 1 ) , Van Loon (1974)

,

Wrgeay (1980)

,

Van der Staay (1979)

.

*

Circle-fit

Hierbij gaat men u i t van:

e de t r i l l i n g s v o m e n beïnvloeden elkaar n a u w e l i j k s d .w. z . : rond de

trillhgsvom m kan de totale bijdrage van alle andere modes voorge-

steld mrden door een c q l e x e constante (RI?

+

j 1 P ) .

o H e t system is licht gdmpt; d.w.z. rond de t r i l l i n g s v o r m m i s de

tem

i

uijm

+ jVijm

-

+ j ( u m ) te verwaarlozen t.o.v. ' m

u

-i j m i ' ' jrn

-vm +

j ( u + v m )

Vergelijking (11.37) wrdt vereenvoudigd tot:

(11.41)

In het ccmplexe vlak is d i t een cirkel m e t een diameter v a n

I

___4 vi jm

/

2pm

I

e n een middelpunt 'ijm 2pm F@

-

Uijm/2Pm

,

I P

-

-

ik circle-fit verloopt als volgt:

-

H e t a a n t a l t r i l l i n g s v o r m e n wordt afgeschat u i t de f r e q u e n t i e - respons.

-

De gedapte natuurlijke e i g e n f r e q u e n t i e s vk z i j n d i e f r e q u e n t i e s

-

M e t een kleinste kwadraten algoritme mrdt een cirkel berekend door waarbij de amplitude van Hij ( w ) een maximale waarde bereikt.

een aantal punten rond

_{% -}

-

De denping pk az h e t r e s i d u (UijkR Vijk) worden berekend u i t de

plaats van h e t middelpunt en de diameter van de cirkel.

M e t deze metbde kan n i e t proportionele denping snel worden berekend; i n d i e n er echter veel r u i s i n d e m e t i n g e n a a n w e z i g i s k a n h e t

algoritme divergeren. Literatuur: Van Brussel (1980), Ergeay (1980)

,

Van der Staay (1979).

*

Volledige f i t

Bij deze methoäe woräen geen extra verondersteliingen g e b i u i k t en

wordt de volledige formule (II.37) i n beschouwing genmen. Er b e s t a a n drie werkwijzen

-1-

Curve f i t i n het frequentiedcsnein

-

Maak een beginschatting voor

Y , E n v

k'

,

S l j m e t b e h u l p v a n een

-

Bepaal de residuen (Ui jk, Vijk),

-

i j

1

m'

l i n e a i r k l e i n s t e kwadraten methode algoritme.

-

Bereken met de mjuist verkregen volledige set van 4n

+

2

para-

meters als beginschatting de volledige set parameters m e t een

50

\

a v k mer a l l e geneten frequentie-

-

Bepaal het geniddelde van r e s p n s i e s .

-

Bereken b i j deze set van 2n parmeters 1i _k ai v C k r e s i d u e n en

k

de extra toegevoegde termen m e t een l i n e a i r k l e i n s t e kwadraten- methode algoritme.

Voor meer i n f o m a t i e : Van ï m n (1974).

-2-

Cuwe f i t i n het tijddamein (Mergeay (1980)).

Eíiervoor gebruiken we de i n v e r s Fourier-getransfonneerde v a n formule (

11

.i9) m e t

IA^^,^^

= 'ijk @ i j k %jk =arctan (-) (11.42) (11.43) (11.44) (II.45)

(11.46)

Effecten van t x i l l i n g s v o m e n buiten de beschouwde frequentieband )worden i n rekening gebracht door twee extra t r i l l i n g s v o r -

-

men mee t e nemen m e t v k = w A el Vk - u g :

PAt

h . .(t) = 21Aij,Ale cos(w A t + $ijA)

+

J-7 lkt n k=l

+

2 C (IAij,kle c o s ( v k t + $ijk))

+

PB

+

2 l ~ ~ ~ , ~ l e cos(wgt+ $ i j B ) (11.47)

Door een k l e i n s t e kwadraten aanpassing aan e e n gemeten impuls- responsie (of berekend u i t ganeten bcequentie-respons ) kunnen de parmeters bepaald mrden

.

52

-3- Curve fit i n het t í j d - en frequentie-danein.

B i j deze methode wordt eerst een c u r v e - f i t i n h e t tijddomein

toegepast cm de parmeters v

vk

te b e p a l e n voor k =

1

-i n ïharna imrdtmet deze parmeters i n (11.37) ingevuld een curve-fit i n het frequentie-danein gebruikt a n de overige 2n

+

2

onbekende parameters t e bepalen. Voor de l a a t s t e c u r v e - f i t kunnen we volstaan m e t een l i n e a i r k l e i n s t e kwadratenmethode algoritme. Literatuur: mrgeay ( 1980)

.

tele oostellinq

g i t de inleiding b l i j k t dat er een proefopstelling gewenst i s waarmee

overdrachtsfuncties gemeten kunnen wrden van een systeem waar BBn of

meer contactvlaidcen een overheersende rol spelen. De condities van de contactvlakken meten nauwkeurig ingesteld kunnen worden. Bovendien i s het gewenst dat a l l e parameters die de toestand van het contactvlak beschrijven zoveel mogelijk onafhankelijk van elkaar gevar ieërd kunnen wrden opaat de invloed van elke paraneter afzonderlijk bestudeerd kan worden.

Allereerst zullen de parameters die de conditie van de contactvlakken

bepalen besproken mrden. Daarna volgen de overige eisen en randcon- dities waaraan de constructie zal moeten voldoen.

111.1.

Variatie van parameters die de toestand van een contactvlak beschrijven

We nemen aan dat de toestand van een contactvlak met redelijke nauw-

keurigheid beschreven kan wrden met de volgende parameters:

-

afmetingen van het contactvlak

-

grootte van de statische cgnponent van de contactdruk

-

materiaalsmrt van de contactlichamen

-

oppervlaktegesteldheid van beide contactvlakken

-

temperatuur en viscositeit van het sneermiddel

-

dikte van de sneerfilm

-

relatieve glijsnelheid

Het moet mogelijk zijn de waarde van deze parameters tijdens de meting constant t e houien i.v.m. de reproduceerbarheid. Indien we het effect

van de parameters afzonderlijk Willen bestderen moeten ze m i afmnder-

54

Grootte van het contactvlak

De invloed die de grootte van het contactoppervlak heeft op het gedrag van het contactvlak mrdt voornamelijk veroorzaakt door vormafwijkingen die onvermijdelijk optreden. De invloed van deze vormafwijkingen op de contactstijfheid is in enkele gevallen met behulp van theoretische beschouwingen bekeken door Levina/Reshetov (1965)

.

In figuur 111.1 is

het verbad weergegeven tussen contactdruk en verplaatsing bij verschil- lende typen vormafwijkingen. Ook de invloed van de grootte van de vorm- afwijking is aangegeven.

Figuur 111.1. Het effect van vormafwijkingen A q? de elastische de- formatie van een contactvlak als gevolg van een nor- maalbelasting. De resultaten zijn berekend op basis van iie relatie 6 = C . 9 . N -*.P0*4 ( 6

23

Ern],

p it? C N / J ]

!

Getrokken lijnen heben betrekking op convexe/concave oppervlakken, gebroken lijnen op gegolfde oppervlakken

Qmdat het grote scala van mogelijke vormafwijking zeer moeilijk i n een

mathenatischmodel t e vangen is l i j k t het verstandig cm i n de eerste in- s t a n t i e het oppervlak k l e i n t e houden. Hierdoor wordt de i n v l o e d van vormafwijkingen zo k l e i n mogelijk. I n g e p u b l i c e e r d e onderzoeken aan contactvlakken z i j n oppervlakken gebruikt m e t een oppervlakte v o l g e n s

tabel

111.1.

Tabel

111.1.

Qpervlakte van de contactvlakken.

Corbach (1966) lblbey/Bell (1970)

Andrew/Oockburn/FJaring (1968) 12.9 en 3 . 2

Levina (1965)

Connolly/Thornley ( 1968)

Op grond van bovenstaande beschouwingen is als ontwerpeis gekozen voor

een Oppervlakte ter grootte v a n

50.10

-4 m2. Deze parameter zal i n de

eerste i n s t a n t i e n i e t gevarieërd mrden.

De grootte v a n de c o n t a c t d r u k i s een b e l a n g r i j k e parmeter b i j een contactvlak. Volgens Levina (1965) i s het verband tussen de c o n t a c t d r u k

5

en de verplaatsing loodrecht op het contactvlak b i j drukken t o t 1 5

.

10

N/m2 : ,

m

56

In figuur

111.2

is d i t verband. eergegeven.

figuur

111.2.

Verband tussen c o n t a c t d r u k en v e r p l a a t s i n g bij e e n normale belasting van contactvlakken. C o n t a c t o p p e r v l a k

5

83

n/m

.

Diepte v a n de bewerkingsgroeven v cm a a n t a l contactpuntjes per an2 z :

(1):

v

=15-20

~.iw

z =

2.0-2.5

cm :

(2):

v =7-8 in) z =

2-2.5

an-2; ( 3 ) : y = 7-8 urn,

z = 3-4 anm2; ( 4 ) : v = 3 - 4 urn, z = 3-4 m-2. (Levina

(1965) )

.

m2. Voorspanning van het c o n t a c t v l a k O .O65

1 0

2

5 5 2

Bij contactdrukken tussen 15

.

10 en 150 10 N/m ontstaat er een verband volgens figuur 111.3 (Comolly, Tnornley (1968)).

figuur 111.3. E t verband tussen (hoge) contactdruk en de verplaats- ing 6 Saj contactvlakken onder normale belasting. De oppervlakken waren geslepen staal en de contactop- pervlak was 13.10 -4 m2 ( Connolly & Thornley (1968) )

.

Deze hoge contactdrukken mrden vaak toegepast in bout-verbindingen en kanen niet in amerking bij rechtgeleidingen. Tabel 111.2 geeft een overzicht van de maximale contactdrukken zoals die in gepubliceerde experimenten vermeld worden. Cmdat we in deze proefopstelling voor- namelijk geleidingen willen bekijken w r d t de eis gesteld dat de con- tactdruk

Ur

te stellen m e t zijn tussen O en 15.10 5 _N/m 2

.

5%

Takel

111.2.

Toegepaste contactdrukken

Corbach (1966) l3lbey/Bell (1970) Andrew/Co&burn/Waring (1968) Levina (1965) Connolly/mornley ( 1968)

5

2

contactdruk

c l 0

N/m

1

6 5.5

2.1

en 8.4

15

150

Maximale aandrukkracht

U i t de keuze van het contactoppervlak A en de maximale contactdruk pmax volgt de maximale kracht waarmee de contactlichamen op elkaar g e d r u k t worden. Q grond van de eerder gekozen waarden van pmax en A berekenen

w i j voor de maximale aandrukkracht FN :

max

= A * = 5O.iO4

*

15

lo5

= 7500CNI

FN PmaX

m a x

Deze maximale kracht is een belangrijke maat voor de s t e r k t e b e r e k e n i n g van de proefopstelling.

Materiaalsoorten

G i t “ L I

111.3

“ulij‘nt dât eï i n Ge i i t z r à k w x 3ij gelijksmrtige ÛEder- zoeken allerlei canbinaties van materialen toegepast z i j n . Staal b l i j k t het meest gebruikt te z i j n naast gietijzer, speciale lagermaterialen en kunststoffen. Qndat i n de praktijk zeer vaak &n v a n de c o n t a c t v l a k k e n van staal is w x d t b i j de o p s t e l l i n g geeist d a t er alleenmateriaalcom- b i n a t i e s m e t staal gerealiseerd moeten worden. De c o n s t r u c t i e v a n de

Tabel

111.3.

Toegepaste m t e r i a a l s o o r t e n

Gxbach (1966) :

I=olbey/Bell (1970) :

Andrew/Qckburn & Waring (1968) :

Connolly/Thornley (1968) : Levina (1965) : SnBz81, GG26, GG26 Eiart, C45, CriBz811,

mS2,

5 kunststoffen. Ferobestos, 3 s,ceciale lagermaterialen. Gietijzer. zacht staal. zacht staal.

gehard staal, gietijzer.

H e t is nanelijk een groot voordeel dat slechts &en c o n t a c t l i c h a a m u i t - wisselbaar m o e t zijn. E i t e r i a a l s o o r t e n waaruit d i t verwisselbare lichaan

vervaardigd kan w r d e n z i j n : Gietijzer, staal, lagermaterialen, kunst- s t o f f e n en speciale High danping m e t a l s (U. Vandeurzen e.a. (1980) )

.

De oppervlakteruwheden d i e i n de l i t e r a t u u r beschreven z i j n werden

meestal verkregen door toepassen van bmerkingstechnieken zoals draaien,

frezen, s l i j p e n , leppen e.d. De gebruikte oppervlakteruwheden z i j n

verzameld i n tabel 111.4. Bij deze onderzoeken worden a l l e e n Ra of

waarden gegeven, terwijl men a a n k a n nemen d a t er meerdere ruwheids-

parmeters een belangrijke invloed kunnen hebben. Ehkele van deze para-

60

Tabel

111.4.

Toegepaste rmiheidswaarden

Corbach (1966)

Andrew/Qckbum

We zullen i n de p r o e f o p s t e l l i n g oppervlakken gebruiken d i e g e s l e p e n , gefreesd of gedraaid z i j n . Vbbr en na de metingen dienen de oppervlak-

teruwheden m e t moderne meetmethoden bepaald t e varden (Huybers ( 1981) )

.

Sneemiddel

H e t is aannemelijk dat de eigenschappen van de smeerfilm i n hoge mate

het gedrag van het contactvlak bekvloeden.

H e t is daarm belangrijk de toestand van de sneerfilm goed t e meten en constant te houden. Een belangrijke grootheid is de viscositeit v a n de gebruikte sneerolie. In de l i t e r a t u u r kunnen we w e e r e n k e l e gegevens vinden b i j de gepubliceerde experimenten. Ze z i j n vermeld i n tabel

111.5.