Hoofdstuk 2: Overige verbanden

Hoofdstuk 2: Overige verbanden.

1.

a. Voer in: y10,4x2 x 1,3 minimum: (1,25; 0,675)

b./c. _0,4p2 _{ p 1,3 1,3} 2 0,4 (0,4 1) 0 0 0,4 1 0 2,5 p p p p p p p p          

d. De top ligt precies in het midden van deze punten: x1,25

2.

a.     1 1 3 5 8

b. f(3)f(2) 1 en f(4)f(3) 1 ( (2) 1) 1  f   f(2) c. x3, daarvoor daalt de grafiek en daarna stijgt de grafiek.

d. Een dalparabool: het toenamediagram gaat van negatief (dalend) naar positief (stijgend).

e. A is een bergparabool (vanwege de _x2_).

Parabool B heeft een top bij x 3 en parabool C heeft de top bij x3.

3.

a. t 0 : (0) 180h  . De toren is 180 meter hoog. b. gemiddelde snelheid (3) (1) 255 215 3 1 2 20 h h      m/s 72km/u c. De snelheid is dan 0.

d. Vanaf tijdstip t 4 gaat de pijl naar beneden. e. h0 2 180 40 t5t 0 Voer in: 2 1 180 40 5 y   x x zero: x 11,21 s f. dy(11,21) 72

dx   . De snelheid op tijdstip t 11,21 is ongeveer 72 m/s.

4. a. 4000 min 9 24 18,5 v  _  km/u b. 4000 40 5000 € 500.000, P     c./d. TK B P 1150 v2 5000 4000 v        7 2 2 10 1150 v v     (45) € 2.773.194, TK   (30) €1.701.667, TK   TK(18,5) €1.474.669,  e. xMin18 en xMax 45 zoom zoomFit

f./g. TK is minimaal € 1.458.883 bij een snelheid van 20,56 km/u.

v (in km/u) TK (in euro's) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -5 500000 1000000 1500000 2000000 2500000 3000000

5.

a. _{A400 2,67} 2_{9150 2,67 46800 25.221  }

auto’s.

b. De totale opbrengst is dan 25.221 2,67 € 67.340,07 

c. _{TO T A T   (400T}2_{9150T 46800)}

_400T3_9150T2_46800T

d.

e. Bij een toltarief van € 3,25 is de totale opbrengst maximaal € 69184, 38 f. 1,06 0,972 1,03032 

De totale opbrengst is met 3,032% toegenomen.

6.

a.

b. _A0,2x4 _{0,2x x} 3

Op den duur is 0,2x groter dan 1. c. Dat is voor x 5.

7.

a. _{y x}0 _1

b. een horizontale lijn op hoogte 1. c. a0

8. De grafiek van B gaat niet door (0, 0) vanwege de negatieve macht van x.

9. a. A: _5x3 _{40 B: 4 3 x}3,7 _{12 C: 5x}0,7 _20 1 3 3 ₈ 8 2 x x    3,7 3,7 2 3 3 8 2 x x   1 0,7 0,7 ₄ 4 0,14 x x      2 3,71 3 (2 ) 1,30 x  

b. Omdat _x6 _{0 voor alle waarden van x.} 10. a. 5 1 2 22 uur. b. 3 1 2 0,15 2 2 3 E     joules. c. 3 1 2 0,15v  2 d. _{E 0,15v}3_{ 1 0,15v}3 1 3 3 2 3 2 3 26 (26 ) 2,99 / v v km u    1 1 1 1 3 3 3 3 3 1 2 0,15 3 2 2 3 3 6 0,15 (6 ) (6 ) 1,88 E v E E v E E E          11. a. _{0,4 4500}0,67 ₁₁₂ olifant Z    ml/km

b. Z 0,4 40 0,67 4,74 ml/km Dat is dan ruim 33 ml zuurstof voor 7 km.

T (in euro's) TO (in euro's) 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 12500 25000 37500 50000 62500 75000 -12500 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 A P K

c. 0,4 G Z 1 1 1 0,67 0,67 0,67 0,67 1 0,4 1,49 2,5 (2,5 ) 2,5 3,93 G Z Z G Z Z Z         1,2 liter zuurstof (1200 ml): _{G3,93 1200} 1,49 _{155 000 kg} 12. a. _{11,75 G} 0,2 _L 1 1 1 0,2 0,2 0,2 0,2 1 11,75 6 5 0,0851 (0,0851 ) (0,0851) 4,46 10 G L L G L L  L           

De levensverwachting van die olifant is _{11,75 4500} 0,2 _{63 jaar}

b. Een mens is ongeveer 70 kg.

0,2

11,75 70 27,5

L   jaar. De levensverwachting van de mens ligt wel hoger.

13.

a. _{TK 25 500} 0,64 _{ €1334,38}

b. _{TK 25 501} 0,64 _{€1336,09. De extra kosten zijn}

€ 1,71

c. De extra opbrengst is: _{78 501} 0,5 _{78 500} 0,5 _{€ 1,74}

d. De opbrengst neemt meer toe dan de kosten. e. _{W TO TK 78q}0,5 _25q0,64

f. De winst is maximaal € 411,14 bij een productie van 580,62 liter. 14. a. 2x 5 0 1 2 2 5 2 x x     b. 1 2 ( 2 , 4) R   c. 1 2 2 x  invullen in de formule. 15. a. 50 4 1 1,30 € 11,30 P   _  per raam. b. 50 400 1 1,30 € 1,42 P   _  per raam.

c. Bij 4 ramen betaal je 4 11,30 € 45,20  en bij 400 ramen: 400 1,42 € 568,  

d. 50 1 1,30 _A 2,55 50 1 50 1,25 1,25 1 40 39 A A A      

e. Als het aantal ramen heel erg groot wordt, wordt 50 1

A heel erg klein (bijna 0, maar

nooit 0 of negatief). De prijs per raam komt steeds dichter bij € 1,30 te liggen.

q (in liters) winst (in euro's)

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 100

200 300 400

16.

a. 196,0

130

4,4 5,91

e   g/km

b. Als de snelheid groter is, wordt de breuk kleiner. De emissie is dan ook kleiner. c. 4,4 196,0 5 v   d. 4,4 196,0 4,5 v   196,0 0,6 196,0 0,6 326,7 v v    196,0 0,1 196,0 0,1 1960 v v   

Bij snelheden groter dan 326,7 km/u Dit zijn snelheden die voor auto’s is de emissie lager dan 5 g/km niet haalbaar zijn.

17.

a. Z 200(1 10₁₀ 100₁₀2) 200 cm3/l

b. Z 200(1 10₇₀ 100₇₀2) 175,5 . Dit is 175,5₂₀₀ 100 88% van het normale niveau.

c. Voer in: 1 2 10 100 200 1 10 ( 10) y x x    _   _     minimum: Z 150 cm 3_/l

d. Voor hele grote waarden van t worden de noemers van beide breuken heel erg groot en de breuken worden dan vrijwel gelijk aan 0. Het zuurstofgehalte nadert weer naar 200 cm3_/l. 18. a. V(38,6)V( 27,4) 39,7  m/s b. 331 1 15 6,5 331 1 15 6,5 331 1,0549 0,0238 273 273 273 h h V            h c. 331 1,0549 0,0238  h 320 1,0549 0,0238 0,97 1,0549 0,0238 0,93 0,0238 0,12 5,05 h h h h km       19. a. _{s  6 13,8}7_{log(3) 13,79 km} b. s(1,5)s(1)s(1,5) 6 2,88  km. c. s(4,5)s(4) 0,84 km.

c. In het tweede uur heeft het autootje s(2)s(1)s(2) 6 4,92  km afgelegd. De gemiddelde snelheid is 4,92 km/u.

d. Voer in: 7

1 6 13,8 log( )

y    x dy(5) 1,42

dx  km/u.

20.

a. 3_log(10)3_log(7) 3_log(70)

b. 5_{log( ) 3a  }5_log(2) 5_{log( )a } 5_{log(2 )}3 _ 5_{log(8 )a}

21. a. _{N }0,2 4_ t _{b. N  5 3}2t _{c. N    3 2} 4_{log(5 )t} 1 0,2 4 4 5 0,2 log5 t N _{N N} t N     2 1 5 3 3 0,2 5 2 log0,2 t N _{N N} t N     1 1 2 2 4 4 1 1 2 2 1 2 log(5 ) 3 log(5 ) 1 5 4 N t N t N t        3 1 2 log0,2 t   N 1 1 2 12 1 5 4 N t    d. 1 3 2 log(4 ) N    t 1 3 3 6 3 6 1 4 log(4 ) 2 log(4 ) 3 6 4 10 10 N N t N t N t t           22. a. Voer in: 1 7 2 4,35 log 1 3 y x     _  _   en y2 4,5 intersect: x 1,97 b. Als q steeds groter wordt, nadert 2

3q naar 0. 7 2 7 4,35 log 1 4,35 log(1) 4,35 3 P q     _  _     23. a. 100 0,75_ d _50 _{b. 100 0,75} d _{25 c. P 100 0,75} d 0,75 0,75 0,50 log0,50 2,41 d d m    0,75 0,75 0,25 log0,25 4,82 d d m    1 100 0,75 1 100 0,75 100 log d P _P d P    d. Natuurlijk moet d 0 vanwege het domein van de logaritmen.

0,9

20 2  logd 0 Voer in: 0,9

1 20 2 log

y    x zero: x 23,59 De formule heeft betekenis voor 0 d 23,59.

e. _{A60 2 }0,9_{log( )d } 0,9_{log(0,9 )}60 _0,9_log(d2_) 0,9_log(0,0018) 0,9_log(d2₎ 0,9_log(0,0018d2₎

   24. a. D43 20 63  1,68 28log 16 63 28log 47 log 1,68 10 47,7 / v v v v km u       b. 28logv16 36log v 4

c. 28logv16 36log v  4 3

1,875

36log 28log 8log 15 log 1,875 10 75 / v v v v v km u       d. D(80)D(40) (28log80 16) (28log40 16) 8,43     dB

e. D2v 36log2v 4 36(log2 log ) 4 36log v   v 4 36log2Dv 10,8

25.

a. De verticale as is logaritmisch. Dus één hokje omhoog komt overeen met een vermenigvuldiging met 10. Als de x met 1 toeneemt gaat de lijn 2 hokjes omhoog, dus een vermenigvuldiging met 10 10 100 

b. De groeifactor is constant. c. g 100 d. ₁₀1_10 e. _{y }10 100_ x 26. a. _{y 316 0,056} 0 _{316 (0, 316)} b. 10p _316 log(316) 2,5 p  c. _{1 10} 0 d. 316 0,056_ x _1 0,056 0,00316 2 x x   e. f. _{y 0,1 46} 0 _{0,1 (0, 10}-1₎ 2 2,3 0,1 46 211,6 10 y     (2, 102,3₎ 27.

a. De grafiek is een rechte lijn op logaritmisch papier. b./c. 2 6144 9600 0,64 g   0,5 1 0,64 0,8 0,8 9600 0,8 0,8 12000 12000 0,8 x x g y b b b b y          

d. De grafieken zijn evenwijdig, dus de groeifactoren zijn gelijk. 0,8 50000 0,8 62500 62500 0,8 x x y b b b y      

0,1 46

y





316 0,056

y





28.

a. 10p _60109

log(60109) 4,78

p 

b. (3, log(9984) 4 ) en (6, log(1689) 3,2) c. De punten liggen vrijwel op een rechte lijn op

logaritmisch papier. d. 3 1689 9984 0,17 g   e. _{B b }1,30t 1 3 0,17 0,553 60109 0,553t g A     2 3400 1,69 3400 1,30 2012 b b     2012 1,30t B  f.

g. Na iets meer dan 4 jaar zijn er van elk soort evenveel dieren.

29.

a. De punten liggen op logaritmisch papier vrijwel op een rechte lijn. De groei is dan exponentieel. Het aantal ransuilen neemt dan per jaar met een vast percentage toe. b. De groeifactor per 22 jaar is 1000

20 50. De groeifactor per jaar is

1 22

8,9 1,19. Het aantal ransuilen nam in die periode met 19% per jaar toe. De beginwaarde is 20.

( ) 20 1,19t R t   c. _{R(14) 20 1,19 } 14 _{228 en dat is meer.} d. _{R(0)  a b 0,6}0 _{  a b 178} e. _{R(2)  a b 0,6}2 _{ a 0,36b205} f. b178 0,36 b205 0,64 27 42,19 220,19 b b en a    30.

a. Het minimale hersengewicht is ₁₀2,5 _{316 en het maximale gewicht 10}3,5 _{3162 g.}

b. De horizontale as is ook logaritmisch.

c. Het te verwachten hersengewicht is _{VH 12,3 70} 0,67 _{211,9 gram.}

Dat wijkt 1260 211,9211,9 100% 495%

 _{ }

af van 1260 gram. d. _12,3L0,67 _1260

Voer in: y112,3x0,67 en y2 1260 intersect: x 1001,6 kg. 31. a. 14000 80 14000 80 240 207 28 Groningen N     1800 46 1800 46 240 140 28 Haren N     b. 15800 126 15800 126 240 196 28 gemeente N   

 . Dit heeft voor de gemeente Groningen nadelige gevolgen.

c. Als d heel erg groot wordt, komt N steeds dichter in de buurt van 240. De horizontale asymptoot is: N 240.

32.

a. De levensduur van koper is ongeveer 313 10_{8,7 10} 66 36 jaar. Dat is ongeveer 420₃₆ 11,7 zo

groot als de levensduur van chroom. b. 8,7 10 1,0586 t koper V    en _{1,9 10 1,033}6 t chroom V    6 koper chroom V  V c. Voer in: 6 6 1 8,7 10 1,058t 2 11,4 10 1,033t y    en y    intersect: x11,3 Vanaf 1982 is het jaarverbruik van koper minstens 6 keer zo groot als dat van chroom. d. 230 log(420 2,35 100) 460 101,4 2,35 N L       e. * 230 log(420 3,3 100) 460 81,7 3,3 L      

De voorraad chroom is dan in 2052 uitgeput. f. 30 230 log( 6,1 100) 460

6,1

L

   

 _{(mag ook met GRM opgelost worden)}

2,80 230 log(6,1 100) 460 183 230 log(6,1 100) 643 log(6,1 100) 2,80 6,1 100 10 625 6,1 525 86 L L L L L L jaar                   

T-1. a. _{V 0,01 0} 2_{400 400 liter.} b. _{0,01 t}2 _{400 4000} 2 2 0,01 3600 360.000 600 600 t t t t       

De formule heeft betekenis voor 0 t 600 seconden. (dan is het reservoir vol) c. 3600 liter in 600 seconden. De gemiddelde vulsnelheid is 6 liter/sec.

d. eerste 100 s: (100) (0) 500 400 100 100 1 V V _  _{ liter/sec.} laatste 100 s: (600) (500) 4000 2900 100 100 11 V V _  _{ liter/sec.} T-2. a. _{P 0,4 6 8} 3_ 0,75 _{411 Watt.}

b. _{P 0,4 6 16} 3_ 0,75 _{691 Watt. Het vermogen is met} 691 411

411 100% 68% toegenomen. c. _0,4v3_100,75 _700 1 3 3 3 2,25 700 311 311 6,78 / v v v m s      T-3.

a. Als het aantal geproduceerde schaatsen zeer groot wordt, worden de gemiddelde kosten ongeveer gelijk aan: 200 12000 200 200

10 q q GK q q    

 . Bij een grote

productie worden de gemiddelde kosten per paar schaatsen ongeveer €

200,-b. 200 20 12000

20 10 € 533,33

GK   

 

c. De totale kosten worden dan 20 533,33 € 10666,67. d. 2 200 12000 200 12000 10 10 q q q TK GK q q q q          e. 2 200 12000 25000 10 q q q  _  2 2 2 200 12000 25000( 10) 25000 250000 200 13000 250000 200( 65 1250) 0 15,5 80,5 ABC formule q q q q q q q q q                

T-4. a. P 10 15 log(0 1) 10%    . b. 10 15 log(  x 1) 20 2 3 2 3 15 log( 1) 10 log( 1) 1 10 4,64 3,64 x x x x         

Men moet minstens 4 spotjes uitzenden: €

92.000,-c. R P (5)P(4) 1,19% d.

e. Het rendement wordt steeds kleiner omdat de grafiek van P steeds minder snel stijgt.

T-5.

a. _G101,5 _{31,6; ongeveer 32 gram.}

b. Na 10 weken weegt de courgette ongeveer ₁₀2,95 _{891 gram.}

c. Omdat de verticale schaal logaritmisch is.

d. De toename in perioden van 5 weken is resp. ₁₀2,5_101,5 _{285, 10}2,95 _102,5 _575,

3,05 2,95

10 10 231, ₁₀3,07 _103,05 _{53 en 10}3,1_103,07 _{84. In de tweede periode}

van 5 weken is de gewichtstoename het grootst.

e. 0 1900 1900 32 1 k 0,68  1k  1900 32 1 59,375 58,375 k k    

f. Als t heel erg groot wordt, nadert _k0,68t _{naar 0. Het gewicht zal steeds dichter bij} 1900 gram uitkomen. T-6. a. _{L6 :O 2 6}2 _{72 dm}2_. b. _{V 0,1 6} 3 _{21,6 en G 0,2 21,6 4,32  kg.} c. _{L14 :V 0,1 14} 3 _{274,4 en G 0,2 274,4 54,88  kg.} d. _{G0,2 V 0,2 0,1 L}3 _0,02L3 e. _0,02L3 _80 1 3 3 2 2 4000 4000 15,87 2 15,87 504 L L en O dm       aantal spotjes P (in %) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 5 10 15 20 25 30 35