Berekening van grondwaterstanden door middel van het numeriek oplossen van een differentiaalvergelijking

NN31545,0474 INSTITUUT

VOOR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING

NOTA klh, d.d. 5 juli 1968

Berekening van grondwaterstanden door middel van het numeriek oplossen van een

di f ferentiaalvergelijking W. van Doorae BiBl.lO'iH:,: \

STARiNGGfciJOuW

N o t a ' s van b e t I n s t i t u u t z i j n i n p r i n c i p e i n t e r n e communicatiemid-d e l e n , communicatiemid-dus geen o f f i c i ë l e p u b l i k a t i e s .

Hun inhoud varieert sterk en kan zovel betrekking hebben op een eenvoudige veergave van cijferreeksen, als op een concluderende discussie van onderzoeksresultaten. In de meeste gevallen zullen de conclusies echter van voorlopige aard zijn omdat het onderzoek nog niet is afgesloten.

Bepaalde nota's komen niet voor verspreiding buiten het Instituut in aanmerking.

Inhoudsopgave Pag. 1. Inleiding 1 2. De differentiaalvergelijking 2

3. Een numerieke oplossing 2

k. Opmerkingen over de nauwkeurigheid van de numerieke oplossing 8 5. Een methode om de onnauwkeurigheid van de numerieke oplossing te

i:o ;-\xr

1

-1. Inleiding

De grondwaterstand in de omgeving van een put, vaar water wordt ont-trokken kan blijkens ERNST (i.C.W.-nota 353) worden beschreven door middel van de differentiaalvergelijking:

kD . ( £ ^ + ± H ) . y(h) . || + A(h) + E(h) - N(t) + A

o

(1)

waarin de genoemde grootheden de volgende betekenis hebben: h : hoogte grondwater, gemeten ten opzichte van maaiveld; r : afstand tot de put;

t : tijd;

y(h): bergingscoëfficiënt, afhankelijk van h; A(h): afvoer, afhankelijk van h;

E(h): verdamping, afhankelijk van h;

N(t): neerslag, afhankelijk van t (seizoen); A : constante grondwaterstroom.

In de praktijk blijkt het in het algemeen niet mogelijk uit een derge-lijke vergelijking met twee of meer onafhankederge-lijke variabelen (r en t) en hogere afgeleiden, de functie h (die van r en t afhangt) te bepalen. Daarom

wordt meestal volstaan met een zogenoemde 'numerieke oplossing'. Deze bestaat uit een stel benaderde waarden voor h bij een aantal van te voren gekozen

combinaties van r- en t-waarden. Exacte oplossingen voor h blijken alleen

mogelijk wanneer de differentiaalvergelijking wordt vereenvoudigd, bijvoor-beeld door te veronderstellen dat u(h) constant is, dat A(h) lineair is in h,

of door veronderstellingen te maken omtrent het 'neerslag-overschot' N(t) - E(h).

In het volgende is een methode voor het berekenen van een numerieke op-lossing gegeven, gevolgd door enkele beschouwingen betreffende de nauwkeurig-heid van deze numerieke oplossing.

XL : t

'JVC; 2 'JVC;

-2. De differentiaalvergelijking

Het ia dus de bedoeling de functie h(t, r) uit vergelijking (1) op te lossen. Hierbij wordt de eis gesteld dat de oplossing van een gedaante is, als aangeduid in figuur 1: bij grote afstanden tot de put dient de invloed van de put op de grondwaterstand onmerkbaar klein te worden en moet een be-paalde evenwichtstoestand worden bereikt.

In verband met de numerieke oplossing biedt het voordelen de variabele x in te voeren door de substitutie r = vkD* . e waardoor vergelijking (1)

overgaat in

32h _ 2x

y(h) IJ- + A(h) + E(h) - N(t) +

A

n

3t O

(2)

Er wordt verondersteld dat de waarden van de grootheden y(h), A(h), enz, op een of andere wijze kunnen worden vastgesteld wanneer hun argumenten

(t of h) bekend zijn, bijvoorbeeld via êên of meer formules of uit tabellen. In het algemeen zijn er vele oplossingen van (2) mogelijk, hoewel ze vrijwel nooit expliciet te bepalen zijn. Om een eenduidige (numerieke) op-lossing te vinden is het dus nodig aan h enkele beperkingen op te leggen. In het volgende is dan ook gewerkt met de volgende randvoorwaarden:

1. de waarden h(t, x ) worden voor alle t en bij te voren gekozen vaste x bekend verondersteld;

o

2. hetzelfde wordt gedaan voor h(t , x) voor alle x en vaste t , die

o o ook te voren wordt gekozen;

3. bovendien wordt de waarde h_ vastgesteld en wordt aangenomen dat lim

^ ^ h(t, x) = h.. ongeacht de waarde van t.

Een en ander wordt in het volgende nader uitgewerkt. 3. Een numerieke oplossing

Een numerieke oplossing van (2) bestaat uit een stel waarden berekend uit t en x die een goede schatting zijn voor de exacte waarden van h(t, x ) . Voor x werd genomen x. = x + j . Ax waarin j = 0, 1, 2, terwijl

. • : \ ) J

.j'i j ï " : , r ,'i'v:j;-nj3"

3

-t. = t + i . At waarin i = O, 1, 2, ... De stapgrootten Ax en At zijn

hierbij vaste bedragen. De grootste vaarde van t respectievelijk x wordt aangegeven met t respectievelijk x . Het aantal stappen van t

respectieve-G S lijk x bedraagt m respectievelijk n.

In onderstaand tableau zijn de gebruikte t- en x-waarden aangeduid, evenals de bekend veronderstelde waarden van h (in overeenstemming met de randvoorwaarden uit de vorige paragraaf, waarbij uiteraard de waarde h wordt toegekend bij een waarde van r, die voldoende groot wordt geacht om r = °°

te representeren).

x

t=t

0 t +At < o t +2At 0 t +iAt o » x a 0 . + 0 i i ! i — -I

t

; t =t +m+At e o Ax 4 X O + 2Ax x + j .

o °

. . i i <

I U-1.Ô

! i , j - l j i i d

! ! i + 1 . j i ; Ax x = x + n e o «

"t "

i l f i *

j i . j + 1

1

i i ' = h l = hl = hl ' = h l ' = h l l = h l . Ax i... randvoorwaarr'gr:

Om een numerieke oplossing te verkrijgen worden de differentiaalquotiën-ten in (2) door quotiëndifferentiaalquotiën-ten van differenties vervangen. In plaats van -rrin een

dt punt (t., x.) komt er

At

h. . — h. ., JLJ 1-1, Jj en in plaats van — * 3x (Ax) —n • !&• .. i - 2h.. + h. . J

k

-dus voor alle combinaties (i, j ) , waarbij i = 1, 2, ... m-1 en

j = 1, 2, ... n-1. Op deze wijze wordt steeds een viertal naburige waarden

van h in elkaar uitgedrukt (zie tableau). Het aantal van deze waarden komt

overeen met het aantal vergelijkingen dat uiteindelijk ontstaat en bedraagt

(m-1) (n-1). Directe oplossing van een dergelijk stel vergelijkingen is in

het algemeen alleen mogelijk, wanneer de onbekenden lineair voorkomen,

het-geen hier alleen het geval kan zijn wanneer in (2) het gedeelte vanaf A(h)

lineair is in h. Daarom wordt overgegaan tot iteratieve oplossing van het

stel vergelijkingen. Hiertoe wordt h.. uitgedrukt in de drie naburige

h-waarden, waarbij enkele hulpgrootheden U, V, W en Z worden ingevoerd.

Wanneer wordt gesteld

U = h. .... + h. .

.

x. 2

V = (e

J

.

A X )

y(h-.)

Z • A(h..) + E(h..) - N(t.) + A

ij ij ï o

dan blijkt uit (2) dat

U + V . (W . h. , . - Z)

ij 2 + V . W

{3}

naar aanleiding waarvan de volgende werkwijze wordt voorgesteld ter bepaling

van een numerieke oplossing van differentiaalvergelijking (2):

1. Stel t , x , t , x , m e n n vast en bepaald At en Ax door middel van

— o' o' e* e'

*

t - t x - x

At = —ê — en Ax = —; stel h. vast

. X. ! i:OX--;-.:-;.-.iCU'I00 v)J..L.' •.. o v a : j :

• ^ ,'.b:.

• <•• • •••*ti

5

-2. Stel de randwaarden vast, dus h(t., x ) met i = 1, 2, ... , m-1 en h(t , x.) met j = 1, 2, ... , n-1; stel verder h(t., x ) = h. waarbij

o j x e x i = 1, 2, ... , m-1. De juistgenoemde vaarden van h ondergaan in de

loop der berekeningen geen wijziging, maar wel "beïnvloeden ze de te vinden oplossing.

J3. Bepaal voorlopige waarden voor h(t., x.) waarin i = 1, 2, ... , m-1 en j = 1, 2, ... , n-1; zo goed mogelijke schattingen verdienen de voor-keur.

k_. Gebruik (3) om uit de huidige h. .-waarden via U, V, W en Z nieuwe

h. .'s te berekenen; pas hierbij (3) systematisch toe, bijvoorbeeld door ij

het tableau via rijen of kolommen te doorlopen. Noteer bij elke nieuw berekende h.. ook zijn oude waarde,

x 0

J5. Vergelijk de nieuwe h..-tabel met de vorige of met een aantal vorige tabellen; blijkt de nieuwste tabel voldoende constant, dan kan deze als numerieke oplossing van (2) geaccepteerd worden.

6, Indien opeenvolgende tabellen {h. .} niet naar een stabiele tabel congeren, of dat niet voldoende snel doen, kan worden getracht dit te ver-helpen door At en/of Ax te verkleinen en/of de aanvangsschattingen, ge-noemd onder punt 3 te wijzigen en dan bij punt k te beginnen. Een

in-druk van de nauwkeurigheid waarmee de numerieke oplossing de exacte be-nadert, kan worden verkregen door de eindresultaten bij verschillende At en Ax te vergelijken: heeft verkleining van At en/of Ax weinig effect, dan is de numerieke oplossing nauwkeurig genoeg.

Bij het werken met differenties zou het beter geweest zijn — te ver-3t vangen door een verschil symmetrisch rondom (i, j ) , bijvoorbeeld

•^rr * fa'.* . - h. . Tl en met behulp hiervan een formule in de trant van 2At |_l+1i J i-1» il

(3) af te leiden. Dit heeft het nadeel dat bij de berekening van h . . ook

m-1, o h . gebruikt zou moeten worden, zodat extra voorwaarden nodig zouden zijn

m, j

om h . vast te leggen (laatste regel in het tableau). Dit bezwaar is door m, j

de keuze van een asymmetrisch verschil vermeden.

Een rekentechniek als boven beschreven, werd toegepast op de vergelij-king

6 -3 ^ 2x 3x 7 « 3h . kb. . 3h . 2TTbl ,M

kD

t o t e

m

At

h

l

s = = = = = 2500

0

3T5

25

15

0

xo

= -

k.5

xe

= +

k.5

n = 18 Ax = 0,5

die uit (2) ontstaat door u(h) = 0,1 te stellen en door de laatste vier termen in (2) te vervangen door de laatste twee termen in (k). Verder werd gewerkt met de volgende gegevens

kleinste waarde van t resp, x grootste waarde van t resp. x aantal stappen van t resp. x stapgrootte van t resp. x grondwaterstand op grote afstand

De uiterste waarden van r bedragen dus 50 e" en 50 e meter, zodat r varieert van 0.56 m tot U5OO.86 m.

Onderstaande tabel bevat de gebruikte randwaarden en de berekende numerieke oplossing. De aanvangswaarden van h(t., x.) waren per kolom gelijk, en wel gelijk aan" de randwaarde h(t , x . ) . Er moesten ongeveer 20 tabellen

worden berekend voordat de uitkomsten voldoende stabiel geacht werden; als norm werd genomen, dat de berekende waarden van h in millimeters constant moesten zijn. De berekeningen, uitgevoerd met behulp van de computer IBM 1130 vergden ongeveer 10 minuten tijd. Het eindresultaat is de volgende tabel, waarin de grondwaterstanden in centimeters beneden maaiveld zijn vermeld. Ter illustratie van het verloop van de berekende grondwaterstand kan figuur

2 dienen: voor enkele waarden van t is hierin de grondwaterstand h uit de tabel tegen de afstand r uitgezet.

7

-v

a 0)

1

IA m o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o •>.-—• o -=t- m rn ci w w r T- v v- *- *- <\j c\l c v i ^ J t i n ^ o r v . co co a> N ^ IA l A IA O »À* CM -r g CO tv- P- MO M O M O f - M e o » £ rp IAÇ2 £ KJ jQ |AJA JV) C£ vO

£8*3158158 8 5 S » & Ri R Ä Ä 3 S R £ £ £ £ . ? *

I A 9 > o m o o « a in IA MO r>- «y« CM MO o .» q> •* o> CM •* »A *- MO r- I A

tA OS IA OS •* 3f •* -* 3f .#. -3- IA IA MO MO MO r- r<- co OO CO CO I S P- MO o CM * ( f f f l to oo ä Î 2 oo CO oo co c> J o g r r r CM *- *- r- o o ifi K\ 8 W N 8 « CM Si CM CM {8 i<\ ^ S J J - R U S U S I T I I A U S - ^ S K V c - r * r - r * T - * - r - t - T - r * * - r - r - * - r * r - ?- T * T - ^ - * - t - * - T - v o If» i n Q N I f t K M f t I A K\ l A t>- p - * SP CM MO Q ÇA MO MO MO î £ Ç£ -s* Q C>» C** Is- MO MO MO MO vO vO U3 v o N [ ^ t>- CO 00 O CT* CJ* CJ* CT* O N CO 00 CO r - T - ï - ï - f1« ' ^ - r - r - « - r - r - v < r v? T - r - ^ - r - * - T - * - T - T - V

c^s^s^cls S ^ S ü s 8Ü8&IJ& &§»&$$

o O CM o ep MO .» K\ CM CM K\ . * MO co r- tf\vocr»CMm\p c> MO ^- ;r co -* o I IA • k I K \ 4 w o m o t oo co g > o CM . * c>- cr< CM - * M O i>- r*. r v I A I A o £ . R S f i S R S . r f t c \ l < \ l ( \ l CM CM CM i S RS S \ i n K x \ K \ « \ ifv I A rA rA K\ K\ R \ $ 3 3 * 3 3 * $ £ 5 $ S 3 Ss.5tT?;ttR£ & EK K R R £ I A r A rA I A I A K\ r A m I A I A I A I A T A i f t K M O I m m m K \ r c \ K N K \ r o » r c i ï£> £ J ST Q> 00 on 00 eg eg Q> Q r - CM . £ LA C^- ço Q Q © Q CJ> eg v ß • £

& $ $ & & » & &&&£•££• ss-ss-ss s s n n

CM I

N v u U \ * l A I f l « CM I A I A . * LA v© [*. CT>

K\ RS m K \ KN I « K\ I A I A I A K \ r A Ï A m ICI I A t<\ i A roi I A i c i "lA k \ i * . rA' C i m § \ ^ J 4 4 à ' 3 3 " * ^ ^ r RJ N m W r O 5 ; C;

•4- - * CM I ICI I I A I O

-ï

5

L A i r \ I A VÖ MO MO I A UN I A 00 t^ t^ c-r» r- t^ K ie ^r i t j

-8 -8 -81-81

I A I A I A I A J » 4 - J f • * 4 • RI Ri S I » » « I A t A I A I A I A I A r - CM K\ . Jt I A I A I A I A CM Rï Rî I A I A I A MO M O M O M 5 \2S M ? \ D MO MO vQ MO MO O D *2> f ^ uS LA LA LA L A l A l A l A l A l A u N l A l A l A l A <M \ T -V ^~ * ~ «IOi \ D vO O MO MO T - Ç - K- V V- V f * - ^~ Ç~ * - S~ l O vO v O vO v O v O CM CM CM T T * -vD v u -vD CM CM N \ v - » r r* O v D i O I A L A * r A CM r

-sssss S

Ri Rj Rî tô c§ 8 I A I A I A I A I A I A O p Çt> CJ> CT> 00 [\_ C^> v o \ D v u vO I A LA I A LA I A I A I A CM CM CM CM CM v ^ r - r - v - r -v£> \ Û vO O vO vO « I A I A I A I A l A I A v u vO vO I A I A I A I A I A I A I A I A vD vO vO MO . I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A I A MO MO MO MO MO MO I A I A I A I A I A I A vO MO MO I A I A I A I A I A I A MO <D MO I A I A I A I A I A LA I A I A I A I A I A I A MO MO MO MO MO \ D Q I A Q S A Q l A O l A Q l A Q l A O I A O l A O l A Q l A Q l A Q l A « ^ « R » o 8 p « f 8 ? c X i ^ ^ c Q & S m S R « « 5 î

8

-k.

Opmerkingen over de nauwkeurigheid van de numerieke oplossing

Om een indruk te krijgen van het effect van de keuze van de

stapgroot-ten At en Ax op de nauwkeurigheid van de oplossing van

differentiaalverge-lijking (2), wordt (3) in beschouwing genomen. Als hierin h de waarde van een

functie is. die in (t., x.) exact aan (2) voldoet en h.. de waarde die

vol-' i j ij

gens (3)

wordt berekend, dan geeft e.. = h.. - h een aanwijzing omtrent de

nauwkeurigheid van de berekende waarde h... Daarom zal worden getracht e..

uit te drukken in At en Ax. Hiertoe worden de in (3) genoemde grootheden

U en h. « .in machtreeksen rondom (t., x.) ontwikkeld. Dus

1-1, J I J

h, _ = h

+

Ax . h'

+

i ^ . h " + - ^ . h"»

+

- ^ . h " " +

i, j+1

_W

h, . = h - A x . h'

+

- ^ . h " - - ^ . h'"

+

- ^ . h'"'

+

i» j-1

_UT

waarna door het optellen van de termen die onder elkaar staan blijkt

U • 2h + (Ax)

2

. h " + - ^ - . h»»" +

(5)

waarin de accenten de afgeleiden naar x aanduiden.

Verder is, differentiërend naar t(aangeduid met +)

i. , . - h - (At) . h

+

+

( A t r y++ (At)-

3 h

zodat

W

'

h

i - 1 , j =

J i

| |

1

•

h

- »

( h )

•

h - - £ h

+ - < ^ >

(6)

Worden nu de gelijkheden (5) en (6) ingevuld in (3), en wordt hierbij

tevens rekening gehouden met vergelijking (2):

2x. i

dan blijkt

9

-- P . (Ax) + Q . V . W . (At)'

ij

V . W + 2

(7)

waarin V en W dezelfde betekenis hebben als in (3) en waarin P en Q

gedeel-ten aan machtreeksen voorstellen. Omdat e eindig verondersteld mag worden,

zijn P en Q begrensd. Er bestaan dus vaste positieve getallen M en N, zo,

dat |P| < M en |Q| < N. Derhalve is

e.. <

1 ij '

M . (Ax) + N . V . W . (At)

2

V . ¥ + 2

(8)

waaruit volgt

• )

I i , M . (Ax)

U

. N . V . W . (At)

2

|

e

i j | V . W

+

2

M

2x.

e

X

u(h)

2x.

• N . e X . y(h) * 2

. (Ax) . At

De uitdrukking tussen vierkante haken is voor een bepaald waardenbereik

voor x en t eveneens begrensd. Er bestaat dus een vast positief getal E (dus

onder meer onafhankelijk van Ax en A t ) , zo, dat

e.. < E . (Ax) . At

i j |

voor alle (i, j)

(9)

Dit houdt in dat een numerieke oplossing die blijkens de punten 5 en 6

van de oplossingsprocedure aan (3) voldoet willekeurig dicht bij een exacte

oplossing kan worden gebracht door de stapgrootte(n) voldoende klein te

ma-ken. De convergentie zelf is dus verzekerd, de snelheid van convergentie

echter, kan niet uit (9) worden afgeleid.

• )

_{De tweede ongelijkheid volgt uit de eerste door de overweging dat bij A,}

B, C en D ^ 0

A + B A B _ - (AD

2

+ BC

2

) „

n

, .

C~TD - C - D * (C i D) . C . D « °

Z o d a t

10

-5. Een methode om de onnauwkeurigheid van de numerieke oplossing te schatten De ongelijkheid (9) die in de vorige paragraaf werd afgeleid is meer van theoretisch belang, dan dat ze bruikbaar zou zijn om schattingen van de afwijkingen e.. te berekenen. Om in een concreet geval van de gegeven diffe-rentiaalvergelijking een schatting van de maximale waarde van Ic .I te kunnen geven, dienen de grootheden P en Q beschouwd te worden. Op de in paragraaf k

aangeduide wijze kan worden afgeleid dat

P . (Ax)U - ^(tx)k hU x + 3 ^ ( A x )6 Hx + - ^ ( A x )8 h8 x +

en

Q . (At)2 = l(At)2 h a - £(At)3 . h3 t + ^{Lt)k . hkt - - ^ ( A t )5 h5 t + ....

waarin bijvoorbeeld h. de vierde afgeleide naar x voorstelt en h_ de twee-de afgeleitwee-de naar t.

Daar deze afgeleiden in het algemeen niet bekend zullen zijn,worden ze in bovenstaande uitdrukkingen vervangen door hun geschatte waarden, die met behulp van differenties van waarden van h kunnen worden verkregen. Hiervoor wordt verwezen naar nota 255, hoofdstuk VII, volgens welke bijvoorbeeld geldt

(Ax)U . hU x = Ax

en

(At)2 . h ^ - A2

De rechterleden stellen hierin respectievelijk het vierde verschil naar x en het tweede verschil naar t voor. De waarden van A worden berekend in een

of ander punt, gelegen binnen het waardenbereik van x en t (nota 255). Dit punt is niet precies bekend, hetgeen in het volgende niet bezwaarlijk zal zijn.

en

11 -T, /A ^ 1 ^ X 1 A6 X J A8 X

p . (AX) = là

A

x

+

3S0

A

x

+

' 2ÔT50

A

x

+

(10)

. ,

A 4

x2 1 . 2 1 .3 . 1 >

Q . (At) = g

A

t * ^

A

t

+

W

A

t *

M

, +

(11)

Uit (10) en (11) kunnen vervolgens bovengrenzen worden bepaald voor de

k

2

absolute waarden van de grootheden M . (Ax) en N . (At) , die na invullen

in (8) een bovengrens voor |e-.j leveren.

In dit verband wordt eerst (10) beschouwd en wordt overwogen dat h voor

elke waarde van t een monotone, vertraagd-toenemende negatieve functie van

x zal zijn. Zie hiervoor figuur 3. waarin bij êên t-waarde, voor een derge-

_{lijke functie enkele waarden van}

lijke kromme is

en

zijn aangeduid. Bij een

derge-Ai

> A2

X >

4

In verband waarmee uit (10) volgt dat in een punt (t, x) geldt

P(Ax)

_{. (:}

— + 1

2 3SÔ

+ ....)

12

(12)

Wat betreft (11) wordt figuur

k

onder de aandacht gebracht. Hierin is

een functie h getekend, die ten aanzien van (11) de meest ongunstige

situa-tie weergeeft. Want zijn in dit geval de verschillen A. gelijk aan + 1 of

2 3

- 1, dan is A. = + 2, A, = +

k

enz, steeds tweemaal zo groot, terwijl echter

k+1

voor een willekeurige functie van t de waarde van A , niet groter kan z:jjn

dan het dubbele van de absolute waarde van de grootste der twee verschillen

k k+1

A^ waaruit A . is berekend. Wordt daarom bij ein bepaalde x de grootste

aangegeven door D. , dan volgt uit (11):

XX

p p 1 p ^ p j p ^ pp

IQ . ( t )

2

| < D

t x

(f + f - - | i r

+

T2Ö

+

f20 - > *

2 D

tx

(13)

12 -e- . I IJ 1 U

I2K

+ 2V . W . D 2 + V . W

kB

- - 1 . 1

M - cm

tx 12 ~ tx ' 2 + V . W

(HO

Volgens (3) is VW onder meer afhankelijk van y(h). Worden alle groothe-den in (1*0, uitgezonderd y bekend verondersteld, dan is (1U) een monotoon dalende of stijgende functie van y. Omdat echter y tussen 0 en 1 ligt, zal een bovengrens voor

ij

worden gevonden, die onafhankelijk is van y, door y = 0 of 1 in te vullen. Voor y = 0 is VW = 0; voor y = 1

is VW - (Ax)'

2x

At

ste van de waarden

waaruit via (1*0 blijkt dat e. .

iJ kleiner is dan de

groot-1

2lT

en

^ t x " UD

tx * 72

2 +

(Ax)' At (15)

.2x

Een en ander wordt nu toegepast op de tabel van uitkomsten. Hierbij is Ax = -T , At = 15. Nemen we bijvoorbeeld (t, x) = (18O, 0 ) , dan is

= 261 - 217 = kk terwijl in de kolom x = 0 wordt gevonden D = 2(

vX

De waarden genoemd in (15) bedragen respectievelijk

en

2ÏT .

kk

=

1.8

I t x l t -2 x k - 12

kk

2 +

<s-*°

= 1.9

Bij t = 180 en x = 0 werd dus gevonden h(t, x) = 261 met een

onnauwkeu-righeid die volgens bovenstaande berekeningen geschat wordt op maximaal onge-veer 2 eenheden. Bij grotere waarden van x zal y kleiner worden, en daardoor zal de tweede uitdrukking in (15) minder bruikbaar worden omdat ze juist is verkregen door y = 1 in te vullen in (Ik). (15) is dus hoofdzakelijk te ge-bruiken voor het middengedeelte van de tabel van uitkomsten, aan de rechter-rand zal ze te hoge waarden voor |e..I geven.

13

-Indien het mogelijk i s , scherpere grenzen voor y "te bepalen dan de

waar-den 0 en 1, ligt het voor de h a n d , deze in (1^) in te vullen en de grootste

waarde als

e..

ij

te gebruiken.

In de proefberekening w e r d u = 0.1 gesteld. In dit geval

(Ax = 3 , At = 1 5 , u = 0,1) k a n (15) worden vereenvoudigd tot

2D

U D t X

"

1 2

A

1

x

tx _

_

,

_ 1 2x

2 +

m

e

welke uitdrukking aanleiding geeft tot schattingen van e. . die voor geen

I

1

«J I

enkele t en x m e e r dan 2 eenheden bedragen.

6. Toepassingen van het voorgaande wanneer de factortjjd weinig of geen

invloed h e e f t ; een voorbeeld

Het voorgaande kan ook worden toegepast wanneer de factor tijd wegvalt.

Vergelijking (2) k a n dan worden vereenvoudigd tot

^ L - e ^ I K h ) +E(h) + C| (16)

waarin C een constante voorstelt.

Naar analogie met (3) luidt het rekenvoorschrift:

u =

V i

+ h

j-i

V =

(e

J . A x )

2

en

Z = A(h) + E(h) + C

- 11+

-Naar analogie met (7) en (12) is

P. . (Ax) 1

3T

(18)

Heeft men dus, na herhaalde toepassing van (17)» een numerieke oplos-sing van de in figuur 3 aangeduide gedaante gevonden, dan kan via (18) een indruk worden verkregen van de maximale afwijking van elk punt van de nume-rieke oplossing ten opzichte van de exacte waarde.

De randvoorwaarden zullen het begin- en eindpunt van het deel van de curve h(x) moeten vastleggen, dat wordt beschouwd. De aanvangswaarden h. waarmee (17) moet werken kunnen op vele manieren gekozen worden, het meest voor de hand liggend is wellicht ze op de verbindingskoorde tussen begin- en eindpunt te kiezen.

De curven A(h) en E(h) hebben in het algemeen een kromlijnig verloop. Ter illustratie van het bovenstaande wordt een voorbeeld gegeven, waarin A(h) en/of E(h) kwadratisch met h verlopen. In dit geval wordt (16) van de vorm

3 ^ 2x|

— p

= e

lü.

3x*

h + bh + c

waarin a, b en c constanten voorstellen.

We beschouwen nu het voorbeeld waarin a = 1 , b = 2,c = 0, terwijl de randvoorwaarden luiden (x =-3, h = -1) en (x = 2, h = 0 ) . In overeenstemming met figuur 5, zijn de aanvangswaarden h. als volgt gekozen

d j 1 2 3

k

x h. J - 3 - 1 - 2 -

0.8

- 1 -

0.6

0 -

0.U

randwaarden hg, h , h. en h te berekenen volgens (17)

15

-Uit (17) volgt in dit geval

^ 2

h. , - 2h. + h.x1 • e J . (hT + 2h.) _{j - 2, 3, *, 5}

Uit deze vierkantsvergelijking is h. te berekenen als h . « en h. . "be-kend zijn. Dit wordt zodanig toegepast dat als bijvoorbeeld h- is bere"be-kend, deze waarde direct wordt ingevuld en wordt gebruikt bij het berekenen van h-, enz.

Door de volledige berekening (j = 2, 3, U, 5) een aantal keren te her-halen ontstaan enkele kolommen van h-waarden, die alle naar vaste waarden

convergeren. Een aantal kolommen met tussenresultaten is hieronder vermeld, de laatste kolom bevat de volgens (18) verkregen schattingen van de maximale fout van de betreffende h.

0 x 1 - 3 2 - 2 3 - 1 4 o 5 1 6 2 h. 0 aanvang - 1 - 0.8 - 0.6 - 0 . 4 - 0 . 2 J 1e - - 1 - 0.791 - 0.542 - 0.195 - 0.012 3e - 1 - 0.708 - 0.370 - 0.097 - 0.006 5e - 1 - 0 . 6 6 6 - 0.340 - 0.088 - 0.005 7e - 1 - O.66O - 0.336 - 0.087 - 0.005 9e - 1 - O.66O - O.336 - 0.087 - 0.005 < 0.324 0.249 0.082 0.005 eó 0.013 0.010 0.003 0.000

T3 C O + J

•*-o

II t !

43g

ra a) Sn eu a •P o a) & -P •tf 3 C O. O <D P X} O • P Ö

t-B

<ä fi 0 P. ft •H •P m a - p -a o ra O <*-l i-H «3 h a> a> > -Ö •p -P <D a> K S CM bî> •H <H " - J •H +3 .H $ a cd cd •. C •O a> C -o Q> C ,M cö û) -P -P Bî a) ^ bO d) p <D cä •H S p cd a> 3 -P C p ra a> T 4 fc > ra <D a> ra P ho b O - H <D

S ^ 9

bO <D 3 • P >Ü «5 •H ? Ö fi a> <D fi -Ü bO gj u * E O "Ö Q S ci o CD i r \ v o bOCO K\ fi CM cd „ ö co II cd > © -p Ö T3 ra a> o •H -H o u o os a>

_{.. ,. °«}

n n _fi -P -P V) •r> ""3 • r i r l (J CQ .Q -H

a>

r»

c

L. <l> X3 <D -M •u

c

o

(_

c

•o

c

o

•*-> o></) 10 -M (1)

£

ci?

0)O "U > CD

X + 3 A X

fig. jj De gedaante van

de in paragraaf 5 beschouwde mono-tone, vertraagd-toenemende functie, met behulp waarvan (12) is afgeleid De lengten AC, DF, GH, enz. komen overeen met

waarden van j A I

De lengten AB, DE, enz. komen overeen met waarden l 2 1

van £

BD is evenwijdig met CF, EG is evenwijdig met FH, enz.

h= -1

fig. 5 Een numerieke oplossing van de differentiaalvergelijking £ - | = e2* [ h2 + 2h] volgens