Examen Lineaire Algebra
Faculteit Ingenieurswetenschappen 1ste zittijd
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 21 januari 2014
N.B.: Begin elke vraag op een nieuw blad. Gelieve op elk blad je naam en groep te schrijven en goed aan te duiden welke vraag je beantwoordt. Elke vraag staat op 5 punten.
Lees de vragen aandachtig, verklaar elke stap en schrijf duidelijk! 1. Beschouw de lineaire afbeelding f : R3 → M2,2(R) waarvoor
f (a, b, c) = a + b b + c c + a a + b + c 1 0 4 2 − 1 0 4 2 a + b b + c c + a a + b + c . (a) Bepaal Ker(f ); geef een basis voor deze deelruimte en bepaal haar dimensie.
Vul deze basis aan tot een basis E van R3.
(b) Bepaal Im(f ); geef een basis voor deze deelruimte en bepaal haar dimensie. Vul deze basis aan tot een basis F van M2,2(R).
(c) Geef de matrix van f ten opzichte van de standaardbasissen van R3en M2,2(R).
Gebruik overgangsmatrices om de matrix van f te bepalen ten opzichte van de basissen E0 = {(1, 1, 0), (2, 0, 1), (−1, −1, 1)} van R3 en F0 = 1 1 0 0 , 1 0 1 0 , 1 0 0 1 , 1 1 1 1 van M2,2(R).
2. Voor m ∈ Z, beschouw de matrix
Cm = m 1 1 1 1 m 1 1 1 1 m 1 1 1 1 m .
(a) Voor welke waarden van m is Cmniet inverteerbaar?
Bepaal de rang van elke matrix Cmin functie van m.
(b) Bereken Cm2. Bewijs dat er am, bm ∈ Z, afhankelijk van m, bestaan waarvoor Cm2 +
amCm+ bmI4 = 04.
3. Beschouw de euclidische ruimte E = Rn met standaard inwendig inproduct h, i. Stel A =
(aij) ∈ Mn,n(R) een matrix met rang 1.
Beschouw de volgende afbeelding mA : E → E : X 7→ AX. Veronderstel dat V =
(v1, . . . , vn)teen basis is voor Im(mA).
(a) Bewijs dat aij = viwj voor een bepaalde vector W = (w1, . . . , wn)t. Toon aan dat
A = V Wt.
(b) Stel dat de matrix A een eigenwaarde λ1 6= 0 heeft. Bewijs dat elke vector Z 6= ~0
waarvoor hZ, W i = 0 een eigenvector van A is met eigenwaarde 0.
Voor A ∈ Mn,n(R) noteren we met Sp(A) het spoor van A, m.a.w. de som van de
diago-naalelementen van A.
(c) Veronderstel dat Sp(A) 6= 0. Toon aan dat λ = Sp(A) een eigenwaarde van A is en bepaal een eigenvector voor λ.
4. Beschouw de kwadriek Q in R3 die ten opzichte van de standaardbasis volgende vergelijking heeft:
2x2+ 2y2+ 2z2+ 2xy − 2xz + 2yz + 4x − y + z = 5.
(a) Herleid deze kwadriek tot zijn Euclidische standaardvergelijking. Bepaal de aard van de kwadriek.
(b) Geef de co¨ordinatentransformaties uit 4.(a) die nodig zijn om tot deze standaardvergelijking te komen.
