Het ontwerpen van een proefopstelling voor de bestudering van het statische en dynamische gedrag van aërostatische taatslagers

(1)

Het ontwerpen van een proefopstelling voor de bestudering

van het statische en dynamische gedrag van aërostatische

taatslagers

Citation for published version (APA):

Snip, J. G. (1991). Het ontwerpen van een proefopstelling voor de bestudering van het statische en dynamische gedrag van aërostatische taatslagers. (TH Eindhoven. Afd. Werktuigbouwkunde, Vakgroep Produktietechnologie : WPB; Vol. WPA1090). Technische Universiteit Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1991 Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

(2)

HET ON'IWERPEN VAN EEN PROEFOPSTELLING VOOR DE BESTUDERING VAN IIET STATISCIIE EN DYNAMISCIIE GEDRAG VAN

AEROSTATISCIIE TAATSLAGERS

Onderzoeksopdracht WPA-nr. 1090 Auteur: Snip J.G.

Eindhoven, februarl 1991

Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Werktuigbouwlwnde Vakgroep WPA

Afdellng Geometrlsche Meettechniek Begeleiders:

Dr.Ir. P.H.J. ScheUekens Ir. J.M. Wang

(3)

SAMENYATTING

Gezien het feit dat in de nabije toekomst aerostatische taatslagers steeds meer gebruikt zullen gaan worden in machines met hoge nauwkeurigheid, is het erg belangrijk dat het gedrag van deze aerostatische lagers bestudeerd wordt. Hierbij moet het gedrag bekeken worden zowel onder statische als dynamische omstandig-heden. Er is reeds een opstelling beschikbaar, die het mogelijk maakt het statische gedrag te bestuderen.

Voor de bestudering van de lagers is nu een proefopstelling ontworpen, waarmee het mogelijk is, zowel de dynamische als statische eigenschappen van aerostatische lagers te bepalen.

(4)

VOORWOORD

De proefopstelling is ontworpen, onder begeleiding van ir. J.M. Wang en dr. ir. P.HJ.

Scbellekens, in bet kader van bet promotieonderzoek van ir. J.M. Wang. Dit promo-tieonderzoek omvat de bestudering en optimalisering van aerostatiscbe lagers.

Voor dit promotieonderzoek beeft bet meetlaboratorium al de beschikking over een proefopstelling waarmee bet statiscbe gedrag van de lagers bestudeerd kan worden. Als aanvulling is een proefopstelling ontworpen waarmee zowel bet statiscbe als bet dynamiscbe gedrag bestudeerd kan worden. Tevens kan deze opstelling gebruikt worden voor afnamecontroles van lagers, die geleverd zijn door exteme instanties. Bij bet ontwerpen van de proefopstelling is, indien mogelijk, gebruik gemaakt van bestaande middelen, zodat kostenbesparend gewerkt kon worden. Dit betekende wel dat de ontwerpvrijbeid enigszins beperkt werd.

(5)

SAMENVATTING VOORWOORD 1. INLEIDING INHOUDSOPGAYE biz. ... 3 ··· 4 ... 6

1.1. Belangrijkste eigenschappen van aerostatische lagers ... 6

1.1.1. Belastingscapaciteit, statische stijfheid ... 6

1.1.2. Demping ... 7 1.1.3. 1-a.gerstabiliteit ... 7 1.2. Ontwerp specificaties ... 8 2. lfET ONlWERP ... 10 2.1. Bespreking proefopstelling ... ... 10 2.1.1. Inleiding ... 10 2.1.2. De portaalconstructie ... 10

2.1.3. Overbrenging statische kracht ... 14

2.1.4. De excitator ... 15

2.1.5. Dyamische krachtsamplitude op testlager ... 15

2.1.6. Globale beschrijving van de proefopstellio.g ... 16

2.1.7. Eigenfrequenties bewegende gedeelte ... 18

2.1.8. Bewegingsvergelijking ... 20

2.1.9. Geleiding ... 20

2.1.10. Luchtcontactschijf ... 21

2.1.11. Scheefstelling testlager ... 21

2.1.12. Stijfheid blok en luchtcontactschijf ... 21

2.1.13. Trillingsisolering ... 22

2.1.14. Temperatuursinvloed ... 23

2.1.15. Instelbaarheid van de lagerhoogte ... 23

2.2. Instrumentatie ... 24

2.2.1. Aansturing excitator ... 25

2.2.2. Aansturing pneumatisch cilinder ... 25

2.2.3. Meting van de optredende krachten ... 25

2.2.4. Meting

ho

en oh ... 25 2.2.5. Meting gasverbruik ... 25 2.2.6. Meting versnelling en oh ... 25 UTERA TUlJR ... ... 27 BULAGEN ... 28 Bijlage A tekeningen ... 28

Bijlage B Resultaten GIFTS en SEPRAN ... 45

Bijlage C Berekening eigenfrequenties bewegende gedeelte. ... 60

Bijlage D Stijfheid pneumatische cilinder ... 63

Bijlage E Berekening stijfheid blok en luchtcontactschijf ... 64

Bijlage F Typen excitatoren ...•... 66

(6)

1. INLEIDING

Voor de bestudering van het statische en dynamische gedrag van aerostatische

taatslagers is een proefopstelling ontworpen, die het mogelijk maakt de

karak-teristieke eigenschappen van deze luchtlagers te onderzoeken.

Alvorens het ontwerpproces te bespreken, zullen eerst in het kort enkele van deze

eigenschappen behandeld worden.

1.1. Belan&rijkste ei&enschappen van aerostatische Iaaers

De gasfilm wordt opgevat als een veer-demper-systeem. De massatraagheid van de

gasfilm is te verwaarlozen ten opzichte van de veer- en dempingskracht aangezien de

massa van de gasfilm zeer gering is.

In figuur 1 is het gemodelleerde veer-demper-systeem weergegeven.

In de literatuur [1,2] worden voor de weergave van de

gasfilm verschillende soorten modellen van veer-dem-per-systemen behandeld, waarbij onder andere

rekening is gehouden met gecombineerde

eigen-schappen van gasfilm en restrictor. Voor de eenvoud wordt hier van het model in figuur 1 uitgegaan. Dit

model is gel dig bij kleine dF. d h

1.1.1. Belastingscapaciteit, statische stijtheirl _/

De belastingscapaciteit W is gedefinieerd als de figuur 1 gemodelleerde

veer-integraal van de drukverdeling p over het lager- demper systeem

oppervlak A.

(l.l.l.a.)

De statische stijfheid S is gedefinieerd als de afgeleide van de belastingscapaciteit W

naar de zweefhoogte

ho·

(7)

de randvoorwaarden aangaande de druk, de volumestroom van het gas, de snelheden en de temperatuur aan het einde van de spleetuitlaat en de restrictorinlaat.

1.1.2. Demping

Door onder andere de impulsresponsie en stapresponsie van het lager te bepalen, kunnen de dempingseigenschappen bestudeerd worden.

1.1.3. Lagerstabiliteit

Het is noodzakelijk dat een aerostatisch lager stabiel is tijdens gebruik. In

literatuur [1,2] wordt de stabiliteit behandeld. Uit de praktijk blijkt dat de frequenties waarbij instabiliteit optreed zelden 1000 [Hz] overschrijden.

Een aerostatisch lager kan beschouwd worden als een servosysteem waarbij de overdrachtsfunctie (de frequentieresponsie) de belastingsverandering tegen de spleetwijdteverandering weergeeft. De frequentieresponsie is belangrijk voor de bepaling van de stabiliteit van de lagerspleet. Wanneer we het model in figuur 1 aanhouden en de frequentieresponsie van de gasfilm gelijkstellen met die van het veer-demper systeem dan geldt:

K( e»)

=

k

+

j e» b (1.1.3.a.)

waarin k de dynamische stijfheid (het reeele gedeelte van de frequentieresponsie) en b de dynamische demping is. Men verkrijgt b door het imaginaire gedeelte van de frequentieresponsie te delen door e».

Het blijkt dat k en b frequentieafhankelijk zijn. Voor verdere informatie wordt verwezen naar literatuur [1,2].

(8)

1,2. Ontwem speciftcaties

De proefopstelling moet aan de volgende eisen voldoen:

1) Het leveren van een statische kracht tot 3000 [N] (voor het geval meer lagers tegelijk getest moeten worden).

2) Het uitvoeren van dynamische metingen tot 1000 [Hz].

3) Het leveren van een lineair toenemende kracht van 0 tot 100 [N] binnen 1 [s).

4) Het leveren van een stoot- en een stapbelasting.

5) Aangezien bij de bepaling van de frequentieresponsie de constructie bloot wordt gesteld aan een brede frequentierange, is het wenselijk dat eigentrillingsvormen in het verticale vlak buiten deze frequentierange vallen. Eigentrillingsvormen in het horizontale vlak optredend binnen de frequentierange beinvloeden de meetresultaten slechts in geringe mate.

Toch moet hier opslingering worden voorkomen. Dit gebeurt door demping tussen de verbindingsdelen maar kan ook gebeuren door dempers te plaatsen op strategische plaatsen. Na fabricage van de proefopstelling kan met behulp van een modale analyse bepaald worden waar deze dempers eventueel geplaatst moeten worden.

6) Onder invloed van statische en dynamische krachten zal een filmdiktevariatie optreden. Aangezien de verplaatsingen in het ~m gebied optreden is het van belang dat de gemeten verplaatsingen overeenkomen met de verplaatsingen die worden veroorzaakt door de opgelegde krachten, willen we de in 1.1. besproken eigen-schappen nauwkeurig kunnen bepalen.

In figuur 2 is een en ander voor het geval het een statische kracht betreft, grafisch weergegeven.

onolergrond iS one.nciig stijf

ul lndien de ondergrond niet oneindig stijf

is, zal onder invloed van een gelijke kracht een kleinere verplaatsing worden gemeten. W anneer de verplaatsing u2-u3

van de ondergrond echter ook wordt gemeten, zijn de karakteristieke eigen-schappen van het lager toch nauwkeurig te bepalen. Aangezien bij een meet-methode echter altijd gestreefd wordt naar eenvoud, is het zaak de ondergrond zo stijf mogelijk te maken, zodat het

uJ C 0

ono•ra g,. ond ;s rw• t

onl'lndiQ stiJF

(9)

ge-7)De proefopstelling moet in staat zijn zowel afzonderlijke lagers, als mechanische structuren die meer lagers bevatten, te testen.

(10)

2. HET ON1WERP

2.1. Besprekina= proefopstellina=

2.1.1. Inleiding

Zoals ook al in het voorwoord gezegd is, is in verband met de kosten, zoveel mogelijk gebruik gemaakt van bestaande middelen. De portaalconstructie die beschreven wordt in 2.1.2. was reeds aanwezig en is aangepast voor de proefopstelling. Tevens is gebruik gemaakt van een excitator (2.1.4) en instrumentatie (2.2.) die ook reeds aanwezig waren. In bijlage A zijn de tekeningen weergegeven.

Hieronder volgt een beschrijving van de verschillende onderdelen van de proef-opstelling.

2.1.2. De portaalconstructie

Met behulp van het eindige elementen pakket GIFTS is zowel het statische als het dynamische gedrag van de portaalconstructie bekeken. In respectievelijk figuur 3 en figuur 4 zijn de portaalconstructie en het model van deze constructie te zien.

Wat betreft de kinematische randvoorwaarden zijn van de onderste vier knooppunten (81,82,83,84) de zes vrijheidsgraden onderdrukt.

Wat betreft de dynamische randvoorwaarden werkt op de bovenste plaat bij benade-ring een maximale kracht -340 [N] (gewicht excitator + maximale dynamische

amplitude die de excitator kan leveren) en op de middelste plaat een maximale kracht van 3000 [N] (pneumatische cilinder ).

De statische doorbuiging van de portaalconstructie onder invloed van de gegeven krachten blijkt na berekening verwaarloosbaar te zijn (zie bijlage B).

GIFTS is in staat dynamische berekeningen uit te voeren waarmee de eigentril-lingsvormen en de bijbehorende frequenties bepaald kunnen worden. In bijlage B zijn deze eigentrillingsvormen weergegeven alsmede materiaal-, knooppunten

elementinformatie. Eigentrillingsvormen in het verticale vlak blijken tot 1000 [Hz] niet op te treden. De zes eigentrillingsvormen in het horizontale vlak treden op in een frequentiegebied tot 227 [Hz], waarvan de eerste drie in een gebied tot 36 [Hz].

(11)

Deze worden veroorzaakt door de grote massa van de bovenste plaat.

Aangezien de middelste plaat geen eigentrillingsvormen in bet verticale vlak mag veroorzaken beneden de 1000 [Hz], is voor een stijve plaat gekozen. De grote massa van deze stijve plaat is ecbter wei verantwoordelijk voor de lage frequenties van de vierde, vijfde en zesde trillingsvorm. Verkleining van de massa van de plaat (bijvoo-rbeeld door bet boren van gaten of door bet plateau samen te stellen uit meerdere balken) met beboud van voldoende stijfheid, beeft als gevolg dat de frequenties van de vierde en bogere trillingsvormen omhoog gaan. Dit zal tot gevolg bebben dat over de to tale frequentierange tot 1000 [Hz] de eigentrillingsvormen verspreid zullen optreden. Bovendien kunnen er door een veranderde geometrie een aantal tril-lingsvormen bijkomen in bet 1000 [Hz] gebied. In eerste instantie wordt er gekozen voor een stijve plaat.

(12)

voora.a.nzicrt qstelling I

- -

-

-'"

I

...0 _... _...

-

-'II \

I

II\ II\

I

0 ... I (") A _I _A - -

_I

-

-"

/ l{) I _,...CD

I

I _'II

- -

-

--

-

I

-

-/ -/ 7

/. /

/ /

(13)

81

83

(14)

2.1.3. Overbrenging statische kracht

Drie mogelijkheden zijn voorhanden:

1 mechanisch (b.v. schroefdraad of hefboomoverbrenging)

2 pneumatisch (pneumatische cilinder)

3 hydrostatisch (hydraulische cilinder)

Aangezien er een maximale kracht van 3000 [N] moet worden geleverd, zijn aile drie de mogelijkheden toereikend.

In verband met trillingen in de proefopstelling veroorzaakt door de excitator vervalt een hefboomoverbrenging, aangezien door eventuele resonantie van de hefboomover-brenging geen constante kracht geleverd kan worden.

In bet geval dat we ook kijken naar de bestuur- en regelbaarheid van de statische kracht dan voldoen 2 en 3 bet beste.

Kiezen we voor een cilinder, dan heeft de cilinder als taak een statische kracht uit te oefenen op bet testlager. De slag van de cilinder is erg klein (grootte orde van de zweefhoogteverandering van bet testlager onder invloed van de statische kracht). Een hydraulische cilinder heeft als groot nadeel dat de proefopstelling altijd vervuild is met lekkende olie. Bij bet testen van de lagers is. bet van belang dat de contact-oppervlakken schoon en dus olievrij moeten zijn.

Een pneumatische cilinder heeft als voordeel dat ze geen vervuiling met zich meebrengt. Hierbij komt nog dat olie een medium is dat nagenoeg niet samendruk-baar is. Lucht is dit wel. Dit betekent dat bij een pneumatische cilinder de druk met behulp van een regelventiel relatief eenvoudig kan worden gevarieerd.

De nauwkeurigheid van de aangeboden druk hangt uiteraard af van de

nauw-keurigheid van het regelventiel. In bijlage G zijn de gegevens te vinden van een proportioneel precisie drukventiel.

Een nadeel van een pneumatische in vergelijking met een hydraulische cilinder kan zijn dat de afmetingen veel groter zijn. Dit komt doordat de krachtdichtheid van een pneumatische overbrenging veel lager is (zie literatuur [9]). Een pneumatische cilinder werkt vaak met drukken tot 7 [bar] terwijl een hydraulische cilinder werkt met drukken tot een paar honderd bar.

Gezien de voordelen die een pneumatische cilinder met zich meebrengt, en het feit dat in de meetkamer perslucht aanwezig is, wordt gekozen voor een pneumatische

(15)

Voor de stijtbeid van de cilinder zie bijlage D. 2.1.4. De excitator

Ben eletro-magnetiscbe excitator Ievert de dynamiscbe kracbt, die wordt gesuper-poneerd op de statiscbe kracbt. De specificaties van de excitator zijn te vinden in bijlage F evenals een bebandeling van de verschillende typen excitatoren.

In paragraaf 2.2. wordt de aansturing van de excitator besproken.

2.1.5. Dynamische krachtsamplitude op testlager

De grootte van deze amplitude bangt af van de gewenste dynamiscbe verplaatsing van bet testlager ten opzicbte van de tafel, de zogenaamde filmdiktevariatie ob.

Er wordt aangenomen dat de gasfilm zicb lineair gedraagt. Dit is correct indien de filmdiktevariatie klein is ten opzicbte van de filmdikte. De filmdikte die wordt veroorzaakt door een statiscbe kracbt wordt ook wei zweetboogte

ho

genoemd. De gemiddelde zweetboogte van bet lager bangt af van de statiscbe uitwendige belasting en de toevoerdruk p,.

Aangezien bij een normaal gaslager de zweetboogte booguit een tiental (.liD's kan zijn, moet de filmdiktevariatie ob gezocbt worden in een gebied < 1.0 (.liD.

Waarborging van de lineairiteit van de gasfilm vereist dus filmdiktevariaties < 1.0 (.liD. Deze lage waarde beeft tot gevolg dat de signaal-ruisverbouding erg laag is. Het zweetboogtesignaal wordt dus bei'nvloed door ruis. Om niet een te lage

signaal-ruisverbouding te krijgen moet gelden 0.25 (.liD< ob < 1.0 (.liD.

De excitator moet dus in staat zijn een kracbt te leveren die bij bet te testen lager met de boogste stijtbeid een maximale filmdiktevariatie ob= 1.0 (.liD kan bewerk-stelligen.

Wanneer wordt aangenomen dat bet lager met de boogste stijtbeid een stijtbeid beeft van 100 [N/(.lm], dan moet de excitator een dynamiscbe kracbt met maximale amplitude van 100 [N] op bet lager kunnen uitoefenen.

(16)

2.1.6. Globale beschrijving van de proefopstelling

Onder invloed van een statiscbe en dynamiscbe kracbt die op de gasfilm tussen lagerscboen en luchtcontactschijf worden uitgeoefend zal de filmdikte varieren. Deze kracbten zijn in verband met bet kracbtenevenwicht gelijk aan de integraal van de drukvariatie over heel bet lageroppervlak. Door nu de krachten op de gasfilm te

I 2-D ClClnzicht opsblling portClCllconstructltt geleidlng verloindingsstul< pneuM. cilinder loevest1g1ng clllnder verlolndingsstul< loCldcell verplClCl tslngs-opneMer lous + versnelllngs-opneMer luchtcontClctschijf' testlClger stiJf' blol<

(17)

meten, evenals de zweefhoogte

ho

en de filmdiktevariatie oh, kunnen de in de inleiding besproken eigenscbappen bepaald worden.

In figuur 5 is de overzicbtstekening van de opstelling te zien.

De statiscbe kracbt, de stapbelasting en de ramp belasting worden door een pneu-matiscbe cilinder geleverd, de dynamiscbe kracbt en de stootbelasting door een electro-magnetiscbe excitator.

Het te testen lager wordt met de uitstroomopening naar boven gericbt op een stijf blok geplaatst. Hiervoor zijn twee belangrijke redenen:

1) massaverlaging van bet bewegende gedeelte (in 2.1.7. wordt bet bewegende gedeelte bebandeld).

2) de lagers zijn makkelijk te plaatsen aangezien er geen constructieve wijzigingen boeven worden aangebracbt.

Vervolgens wordt op bet lager druk gezet en wordt op bet lager door de cilinder een gewenste statiscbe kracbt uitgeoefend. Dit kan een constante kracbt zijn maar ook een lineair in de tijd toenemende kracbt of een stapbelasting. Met bebulp van bet verbindingsstuk tussen excitator en zuigerstang wordt de zuigerstang met twee schroeven vastgezet aan de excitator, waarna excitatie plaats kan vinden. Ben loadcell meet de optredende statiscbe en dynamiscbe kracbten terwijl drie contactloze inductieve opnemers (in bet laagfrequentie gebied) en een versnellingsopnemer (in bet boogfrequentie gebied)

ho

en ob meten. De versnellingsopnemer beeft ook als taak de massatraagbeid van bet bewegende gedeelte (zie 2.1.8.) te bepalen.

(18)

2.1.7. Eigenfcequenties bewegende gedeelte

Met bebulp van bet eindige elementen pakket Gifts zijn de eigenfrequenties met bijbeborende eigentrillingsvormen van de portaalconstructie bepaald.

Bij bet bewegende gedeelte zijn eigentrillingsvormen in bet verticale vlak onvermij-delijk aangezien dit gedeelte een niet te verwaarlozen massa heeft.

Ervan uitgaande dat er geen kanteleffecten optreden kan bet dynam.iscbe gedrag beschreven worden als een een-dimensionale beweging.

Notabene: met uitzondering van de gasfilm wordt de demping in bet bewegende gedeelte verwaarloosd. In figuur 6 is bet bewegende gedeelte gemodelleerd.

ml = bewegende gedeelte excitator + verbindingsstuk excitator / cilinder m2 = zuigerstang cilinder + verbindingsstuk cilinder/ load-cell + load-cell m3

=

self-alignment schijfje+ kracbtgeleidingsbus + lucbtcontact schijf. kl' = stijfheid (niet-lin.) van cilinder

Voor bepaling kl' zie bijlage D. k2'

=

stijfheid (niet-lin.)

van test-lager

k3,k4 = stijfheden beborende bij resp. ml, m2 en m3 b2' = demping gasfilm kl',k2' < k3, k4

ul

Ml

k3

u2

M2

1 k4

MJ

u3

figuur 6 model bewegende gedeelte

(19)

Het vereenvoudigde model is in figuur 7 te .zien.

Voor dit model geldt:

f1

=

1/(2*n)*SQRT((k1' + k2')/m) f1 = 1/(2*n)*SQRT(4E7 /2.56) fl= ± 630[Hz]

De eigentrillingsvorm behorende

bij f1 uit zich, aangezien een massa een rol

speelt, in een in y-richting trillende massa. M

b2'

figuur 7 vereenvoudigd model bewe-gende gedeelte

Het verschil van de waarde f1 met de uitgebreid berekende waarde ligt waarschijnlijk aan bet feit, dat bij de uitgebreide methode met de afronding fouten zijn ontstaan. Aangezien bet om grote waarden gaat en er nogal wat aannames zijn gepleegd, is een verschil van ongeveer 7 % niet zo veel. De waarde f1 van bet vereenvoudigde model is waarschijnlijk bet meest betrouwbare resultaat, en de uitgebreide berekening van de eigenfrequenties had bier slechts tot doel aan te tonen dat de tweede en derde eigentrillingsvorm optraden bij eigenfrequenties ver boven de 1000 [Hz].

(20)

2.1.8. Bewegingsvergelijking

De dynamiscbe kracbt wordt evenals de statiscbe met bebulp van een loadcell gemeten. Gezien bet feit dat de kracbtopnemer is opgenomen midden in de bewegen-de massa is in figuur 8 voor deze situatie bet dynamiscbe kracbtenspel weergegeven. Bekijken we bet kracbtenspel in figuur 8 dan volgt:

waarin:

mA = ml + m2 ms

=

m3

F dyn. gemeten - IDs Us" = (2.2.6.a.)

F excitator - F pneum. - IDA UA - IDs Us -"

"-F excitator - F pneum. - mA + s u" (2.2.6.b.)

Het blijkt dat voor de bepaling van Fop gasfilm de

massa-traagheid van ms meegenomen dient te worden. Deze massatraagheid kan bepaald worden m.b.v. de ver

-snellingsopnemer.

2.1.9. Geleiding

F excito. tor

J

Uo. clyn geneten

J

Ub nb F op go.sfilr1 figuur 8 dynamiscb kracbtenspel /

(21)

2.1.10. Luchtcontactschijf

Onder invloed van de optredende kracbten zal bij deze schijf buiging optreden. De schijf is weergegeven in bijlage A figuur Al, AlO en A12. Aangezien door buiging de spleetgeometrie gewijzigd wordt, is bet erg belangrijk dat deze buiging niet optreedt, omdat een veranderde spleetgeometrie tot andere meetresultaten leidt.

In figuur 9 is van de lucbtcontactschijf de onvervormde en vervormde toestand getekend.

In verband met de belastingssituatie zal een maximale verplaatsing optreden in bet midden van bet lager. Het blijkt na berekening met bebulp van bet soft-ware-pakket SEPRAN dat bij de schijf met dikte 20 [ mm] de doorbuiging ver-waarloosbaar klein is (zie bijlage B).

2.1.11. Scheefstelling testlager

In eerste instantie moet scbeefstelling worden voorkomen. Doordat de kracbts-inleiding via de self-alignment pin gaat, corrigeert de lucbtcontactschijf zichzelf

indien bet lager niet loodrecbt op de vervorMde sltuQ tie

kracbtsricbting staat. Er wordt op deze figuur 9 buiging lucbtcontactschijf manier scbeefstelling van bet lager ten

opzicbte van de lucbtcontactschijf

voor-komen. De verplaatsing van de schijf wordt door drie op gelijke afstand geplaatste contactloze induktieve opnemers gemeten. Deze opnemers zijn aan bet stijve blok met bebulp van statieven bevestigd. Middeling van deze drie metingen geeft een nauwkeurige verplaatsing weer van bet middelpunt van de lucbtcontactschijf.

2.1.U. Stijfheid blok en luchtcontactschijf

Gekozen is voor een granieten blok met een boogte van 220 [mm]. De keuze is op graniet gevallen in verband met de krasbestendigheid, boge stijfheid, de bewerkbaar-beid van bet oppervlak. Een stalen blok was bier oak mogelijk geweest ware bet niet dat met de testopstelling oak mecbaniscbe structuren met meer dan een lager moeten kunnen worden getest. In dit geval is een granieten ondergrond bet meest geschikt aangezien in een werkelijke situatie oak graniet gebruikt wordt.

Zoals oak in de inleiding is vermeld, moet dit blok zo stijf mogelijk zijn.

Na berekening blijkt dat de doorvering van bet granieten blok en lucbtcontactschijf verwaarloosbaar is. In bijlage E wordt de invloed van de stijfheid van bet granieten blok weergegeven.

(22)

2.1.13. Trillingsisolering

De constructie komt in de meetkamer te staan. Uit metingen daar is gebleken dat de invloed van trillingen van buiten af nagenoeg verwaarloosbaar is. De vloer bestaat daar uit een apart fundament. Deze is passief ge!soleerd.

De testopstelling zou omringende machines kunnen hinderen, aangezien er dyna-mische metingen worden gedaan. De krachtsamplitudes zijn echter niet groot. Demping in de opstelling en in de vloer zal voldoende zijn.

(23)

2.1.14. Temperatuursinvloed

Temperatuursverandering zorgt ervoor dater uitzetting zal optreden.

Wanneer we ervan uitgaan dat de uitzettingscoefficienten van de verschillende onderdelen gelijk zijn, zal temperatuursverandering geen invloed hebben op de meetresultaten aangezien de resulterende verplaatsing ten gevolge van uitzetting ter plekke van bet testlager nul is. Het binnenwerk zet immers evenveel uit als de portaalconstructie.

Bij verschillende uitzettingscoefficienten van de verschillende onderdelen, treden er bij temperatuursverandering krachtvariaties op. Deze krachtvariaties en de daarbij gemeten spleetwijdtevariaties worden echter gemeten. Om tijdens metingen de krachten tach enigzins constant te houden wordt de opstelling in een geconditioneerde ruimte geplaatst.

2.1.15. lnstelbaarheid van de lagerhoogte

Er moeten lagers getest worden met een hoogte varierend van 12 tot 22 [mm]. Tijdens bet testen van een lager is de verplaatsing van de zuigerstang te verwaarlozen. Door nu de zuigerstang in hoogte te Iaten varieren, kunnen de verschillende lagers getest worden.

(24)

2,2.Instrumentatie

D

0 CIJ

Di

cor•put~.-voh ... f"''estroof"'l C l / f - - - 1 u d <.-~ ~ v~r-plQQts:ng

a

-'= 1 - - - i l o o vprsn@lling/ verploa.tslng 0 0 0 excite. tor

figuur 10 schema instrumentatie meetopstelling

Toelichting figuur 10

scoop

0

verf"''og~nsv~rsterker

In figuur 10 is schematisch de instrumentatie van de meetopstelling weergegeven. Het toegevoerde gas wordt in een drooginstallatie van water ontdaan, waarna droge

Iucht ontstaat die gebruikt wordt door de cilinder en bet testlager. De instrumentatie die in de figuur te zien is, wordt zodadelijk besproken.

De meetgegevens kunnen met behulp van een. A/D converter verwerkt worden op een computer.

(25)

2.2.1. Aansturing excitator

Aangezien we te maken hebben met een electro-magnetische excitator (zie bijlage F) is de uitgeoefende kracht door de excitator evenredig met de stroom door de spoel. Indien een sinusvormige kracht gewenst is, moet een sinusvormige stroom door de spoel gestuurd worden. In verband met oververhitting en beschadiging van de excitator zit er een maximum aan de te leveren stroomamplitude.

Een toongenerator Ievert spanning met gewenste amplitude en frequentie aan eenversterker die op zijn beurt de stroom levert aan de excitator.

Met behulp van bijvoorbeeld een Fourier-analyser is het mogelijk de excitator te sturen met een witte-ruis signaal.

2.2.2. Aansturing pneumatische cilinder

Met behulp van een proportioneel-precisie-drukventiel, zie bijlage G kan de druk in de cilinder geregeld worden. Dit drukventiel kan electronisch aangestuurd worden en is in staat het drukverloop volgens een ingesteld programma te laten verlopen.

2.2.3. Meting van de optredende krachten

Een loadcell meet zowel de statische a1s de dynamische krachten. De loadcell werkt volgens het rekstrook-principe en is aangesloten op een meetversterker. De specificaties van de loadcell en de meetversterker zijn te vinden in bijlage G. Voor de weergave van dynamische krachten wordt a1s aanvulling een scoop gebruikt.

2.2.4. Meting

ho

en 6h

Drie contactloze inductieve opnemers (zie bijlage G) meten de zweefhoogte en filmdiktevariatie in het laagfrequente gebied (tot 300

a

400 [Hz]). De opnemers worden aangesloten op een meetversterkter (zie bijlage G).

2.2.5. Meting gasverbruik

Het gasverbruik van de lagers wordt met behulp van een volumestroomsensor gemeten.

2.2.6. Meting versnelling en 6h

De meting gebeurt met behulp van een piezo-electrische versneUingsopnemer. De specificaties zijn weergegeven in bijlage G. Een ladings-meetversterker zet de aan het kwartsoppervlak opgewekte electrische lading om in een spanning die geijkt kan worden in Volt/Newton.

Tevens wordt oh gemeten bij hoge frequenties met behulp van de

versnellingsopnemer aangezien de contactloze inductieve opnemers niet geschikt zijn voor hoogfrequentie metingen.Indien we oe verplaatsing zien a1s een harmonische trilling x= X eiwt dan is de versnelling x" = A eiwt =

-v?

X eiwt.

(26)

Bij hoge frequenties kunnen nu zeer kleine verplaatsingen gemeten worden omdat de hierbij behorende versnellingen hoog zijn.

Willen we de verplaatsingen kunnen bepalen dan moet van de gemeten versnellingen de bijbehorende frequenties bekend zijn. Registratie van deze bijbehorende frequenties kan automatisch gebeuren door gebruik te maken van de Fourier-analyser.

(27)

LITERAIUUR

[1] Wang, J.M., Design of externally pressurized gasbearings: theory and practice, report no. WPA 0921, 1990.

[2] Plessers, P., Dynamische instabiliteit van aerostatische gaslagers in

mechanische systemen, Leuven, Katholieke universiteit, 1985.

[3] Roblee, J.W., Design of externally pressurized gasbearings for dynamic applications, Uvermore, University of California, 1985.

[4] Doebelin, E.O., Measurement systems, Application and design, 4th ed., London, Me. Graw-Hill, 1990.

[5] Van Campen, D.H., De Kraker, A, Het dynamische gedrag van constructies, Eindhoven, Technische universiteit, dictaat 4552, versie 1987/1988.

[6] Van der Wolf, AC.H., Werktuigen voor de machinefabriek, Eindhoven,

Technische universiteit, dictaat 4626.

[7] Schellekens, P.HJ., Werktuigkundige Meettechniek, Eindhoven, Technische

universiteit, dictaat 4629.

[8] Van der Wolf, AC.H., The development of a hydraulic exciter for the investigation of machine tools, Eindhoven, Technische hogeschool, 1968.

[9] Schlosser, W J.M., Een samenvattende beschouwing van de overbrengingen

(28)

(29)

I

2-D o.o.nzicht opstelllng _exc1to.tor

porto.o.l-constructle geleldlng verlolndlngsstuk pneuM. clllnder loevestlglng clllncler verloinclingsstuk loo.cl-cell verplo.o. tslngs-opneMer lous ... versn~.>llings opn~.>Mer luchtconto.ct schiJf test-lo.ger stijf lolok ·,

(30)

Figuur A2

cloorsnecle bove

1

nko.nt opstelling

exci~ator Mono 1 portaal-constructie

(31)

Mono

1

a _ ( Y ) (\J I

/

OJOJ

I

'

7 ,<

WM

I I

~

-CD-... ...

~

_..,

1/2

indh p.c.d.

rand

164 I

/

>,

_I

WM

J

I I Figuur A3 a

r--.

(\J

3/8 inch b.

lfl (\J

.f.x.

(32)

Figuur A4

Mono 2 geleiding verbindingsstuk

boveno.o.nzicht

-@-

18"'

\

I

\

' I

-@

7.5 inch vooro.o.nzicht

ron~

20

I

< >

I

rand ~

I

EJ

<

I

EJ~

rand .J_t.;B/ f7

I

ll

I

:

I I

I

rand 3/8 inch

>

<

(33)

A

I I I

1+1

I'

I

rl~

r11

I

01 10

I

Lf) Lf) Figuur A5 Mono 3

(34)

Figuur A6

(35)

Figuur A7

PneuMa. tische cilinder

290 gQ_,

242.5 L

40

-

--

--L

'VI

-Ql

-

X -

--

'

(36)

-load-cell

Figuur A8

Mono 4

verbindingsstuk cilincler loo.cl-cell

(37)

\

( rand 32 ( M 20lx 1.5 ) 0 (\J Figuur A9 Mono4 verbindingsstu cilinder /lood-cell

(38)

9 ouow

-Jo6'0l-S'06 toY U'OA

'OlA-Jaddo+~u+uo~

+

.;awaudo

S6U!St U'Old-JoA \S6U!lloUS-JoA

+

!t Jn-Jt

SUO~S6U!p!al-JOOptyJU-J)i

8£

(39)

Figuur All Mono 5 kro.chtgeleidingsbus

I

rand

45.5 r

rant

2~

l

-....:- 111 Lf) ....:- _"C c 0 !...

~

(40)

Figuur A12

I

looveno.o.nzicht

-;

"

I

~

_._

~

Mono 6 luchtconto.ct schiJf' CD

/

v

'-....

Jr-I

vooro.qnzicht -.:....L--..>-J 0.185 inch lo.s. F.x.

(41)

Figuur A13 I

-

_I _i\ I \0

-

--

-

-'

k

/~

I I \ I 0

-I ("') A _I A

- -

_I

-

-'-V

L() I CD !' -I I I I I '\II

- -

-

--

- I

-

-/ -/ -/

~

/

/ /

(42)

Figuur A14

I

Q_

I

-,

-...

--,

0 0

I-I

/ Lf'l }

0

::J

1--4

ro

Q_ ~

I

_-I

\

l>

L

'

J.

/ _{_j} l>

I

I .

(43)

Figuur Al5

lo

I

o-I

' 5"0 fO

<

. I

>

<

fO

I

ll'l c+ :::>

I

co

:::>

I

co

lfl

-o

,...-I

-1

1-

p p I--A c+ ~

~

w

~

-

-o-· o

-

_Ul :::>

I

fO

c

-1

1-

3

I

p c+

--I

It~

ll'l

,

I

n

"3" fO

I

_<i>

30 n

-·

I

126.5

:::> -· Q_ fO

I

}

<

420 >

Zijo.o.nzicht bevestingsplo.o. t

I

420

I

- 0 - 0 - - 0 -

-I

I

I I I I

I

<35:> I

>\

< 85 _:> _< 110 4x2 MlO

(44)

Figuur A16

50

< >

doorsnede Q-Q voora.a.nzicht loevestigingspla.a.

(45)

Bijla2e B Resultaten GIFTS + SEPRAN

Gifts: - eerste 8 eigenfrequenties van bet systeem - materiaalinformatie

- elementinformatie - knooppuntinformatie

- verplaatsingsinformatie van de knooppunten met de grootste verticale verplaatsing

- plot onvervormde toestand met knooppuntsnununering

- plots van de verschillende trillingsmodes

Sepran: - verplaatsingsinformatie luchtcontactschijf

biz. 46

47

48 51 53 54 59 A

(46)

B:snipe MODE 1 2 3 4 5 6 7 8 FREQ 1.83417E+01 3.11047E+01 3.58040E+01 1.25649E+02 2.09322E+02 2.26461E+02 1.19143E+03 1.19143E+03 14-FEB-91 FREQUENCIES EIGV 1.328120+04 3.819540+04 5.060830+04 6.232690+05 1.729780+06 2.024640+06 5.603990+07 5.603990+07

-

.

16:10:48

(47)

OB:snip 14-FEB-91 11:40:01 MATERIAL INFORMATION

T MAT YOUNG'S POISSON'S SHEAR YIELD MASS

0. TYP MODULUS RATIO MODULUS STRESS DENSITY

1 1 2.1000E+11 3.0000E-01 8.0769E+10 2.4000E+08 7.9000E+03

OB:snip 14-FEB-91 11:40:14

ELEMENT INFORMATION

ELEM SYS MAT MAT THS

NO. NO. TYPE NO. ANG NO. CONNECTIVITY

1 1 QM4 1 .00 1 1 9 26 45 2 2 QM4 1 .00 1 9 10 45 46 3 3 QM4 1 .00 1 10 11 46 47 4 4 QM4 1 .00 1 11 12 47 48 5 5 QM4 1 .00 1 12 13 48 49 6 6 QM4 1

.oo

1 13 14 49

so

7 7 QM4 1 .00 1 14 2

so

15 8 8 QM4 1 .00 1 26 45 25 51 9 9 QM4 1 .00 1 45 46 51 52 10 10 QM4 1 .00 1 46 47 52 53 11 11 QM4 1 .00 1 47 48 53 54 12 12 QM4 1 .00 1 48 49 54 55 13 13 QM4 1 .00 1 49

so

55 56 14 14 QM4 1 .00 1

so

15 56 16 15 15 QM4 1 .00 1 25 51 24 57 16 16 QM4 1 .00 1 51 52 57 58 17 17 QM4 1 .00 1 52 53 58 59 18 18 QM4 1 .00 1 53 54 59 60 OB:snip 14-FEB-91 11:40:16 ELEMENT INFORMATION

19 19 QM4 1 .00 1 54 55 60 61 20 20 QM4 1 .00 1 55 56 61 62 21 21 QM4 1 .00 1 56 16 62 17 22 22 QM4 1 .00 1 24 57 4 23 23 23 QM4 1 .00 1 57 58 23 22 24 24 QM4 1 .00 1 58 59 22 21 25 25 QM4 1 .00 1 59 60 21 20 26 26 QM4 1 .00 1 60 61 20 19 27 27 QM4 1 .00 1 61 62 19 18 28 28 QM4 1 .00 1 62 17 18 3 29 29 QM4 1 .00 2 5 27 44 63 30 30 QM4 1 .00 2 27 28 63 64 31 31 QM4 1 .00 2 28 29 64 65 32 32 QM4 1 .00 2 29 30 65 66 33 33 QM4 1 .00 2 30 31 66 67 34 34 QM4 1 .00 2 31 32 67 68 35 35 QM4 1 .00 2 32 6 68 33 36 36 QM4 1 .00 2 44 63 43 69 DB:snip 14-FEB-91 11:40:17 ELEMENT INFORMATION

37 37 QM4 1 .00 2 63 64 69 70 38 38 QM4 1 .00 2 64 65 70 71 39 39 QM4 1 .00 2 65 66 71 72 40 40 QM4 1 .00 2 66 67 72 73 41 41 QM4 1 .00 2 67 68 73 74 42 42 QM4 1 .00 2 68 33 74 34 43 43 QM4 1 .00 2 43 69 42 75

(48)

44 44 QM4 1 .00 2 69 70 75 76 45 45 QM4 1 .00 2 70 71 76 77 46 46 QM4 1 .00 2 71 72 77 78 47 47 QM4 1 .00 2 72 73 78 79 48 48 QM4 1 .00 2 73 74 79 80 49 49 QM4 1

.oo

2 74 34 80 35 50 50 QM4 1 .00 2 42 75 8 41 51 51 QM4 1 .00 2 75 76 41 40 52 52 QM4 1 .00 2 76 77 40 39 53 53 QM4 1 .00 2 77 78 39 38 54 54 QM4 1 .00 2 78 79 38 37

·oB: snip 14-FEB-91 11:40:19

ELEMENT INFORMATION

NO. NO:. TYPE NO. ANG NO. CONNECTIVITY

55 55 QM4 1 .00 2 79 80 37 36 56 56 QM4 1 .00 2 80 35 36 7 57 57 BEAM2 1 3 81 27 41 58 58 BEAM2 1 3 27 9 41 59 59 BEAM2 1 3 82 32 36 60 60 BEAM2 1 3 32 14 36 61 61 BEAM2 1 3 84 41 27 62 62 BEAM2 1 3 41 23 27 63 63 BEAM2 1 3 83 36 32 64 64 BEAM2 1 3 36 18 32 OB:snip 14-FEB-91 11:40:30

NODAL POINT INFORMATION

POINT SYS ACTIVE

NO. NO. X y

z

_FREEDOMS

1 1 .OOOOOE+OO 9.33000E-01 .OOOOOE+OO U,

v,

W,RX,RY,RZ

2 2 .OOOOOE+OO 9.33000E-01 -4.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

3 3 4.00000E-01 9.33000E-01 -4.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

4 4 4.00000E-01 9.33000E-01 .OOOOOE+OO U,

v,

W,RX,RY,RZ

5 5 .OOOOOE+OO 5.30000E-01 .OOOOOE+OO U, V, W,RX,RY,RZ

7 7 4.00000E-01 5.30000E-01 -4.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

8 8 4.00000E-01 5.30000E-01 .OOOOOE+OO U,

v,

W,RX,RY,RZ

9 9 .OOOOOE+OO 9.33000E-01 -6.00000E-02 U,

v,

W,RX,RY,RZ

10 10 .OOOOOE+OO 9.33000E-01 -1.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

12 12 .OOOOOE+OO 9.33000E-01 -2.40000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

14 14 .OOOOOE+OO 9.33000E-01 -3.60000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

15 15 1.00000E-01 9.33000E-01 -4.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

16 16 2.00000E-01 9.33000E-01 -4.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

17 17 3.00000E-01 9.33000E-01 -4.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

18 18 4.00000E-01 9.33000E-01 -3.60000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

OB:snip 14-FEB-91 11:40:31

POINT SYS ACTIVE

NO. NO. X y

z

_FREEDOMS

19 19 4.00000E-01 9.33000E-01 -3.00000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

20 20 4.00000E-01 9.33000E-01 -2.40000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

21 21 4.00000E-01 9.33000E-01 -1.80000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

22 22 4.00000E-01 9.33000E-01 -1.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

(49)

33 33 1.00000E-01 5.30000E-01 -4.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

34 34 2.00000E-01 5.30000E-01 -4.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

35 35 3.00000E-01 5.30000E-01 -4.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

36 36 4.00000E-01 5.30000E-01 -3.60000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

B:snip 14-FEB-91 11:40:33

POINT SYS ACTIVE

NO. NO. X y

z

_FREEDOMS

37 37 4.00000E-01 5.30000E-01 -3.00000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

38 38 4.00000E-01 5.30000E-01 -2.40000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

39 39 4.00000E-01 5.30000E-01 -1.80000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

40 40 4.00000E-01 5.30000E-01 -1.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

41 41 4.00000E-01 5.30000E-01 -G.OOOOOE-02 U, V, W,RX,RY,RZ

42 42 3.00000E-01 5.30000E-01 .OOOOOE+OO U,

v,

W,RX,RY,RZ

43 43 2.00000E-01 5.30000E-01 .OOOOOE+OO U,

v,

W,RX,RY,RZ

44 44 1.00000E-01 5.30000E-01 .OOOOOE+OO U, V, W,RX,RY,RZ

46 46 1.00000E-01 9.33000E-01 -1.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

47 47 1.00000E-01 9.33000E-01 -1.80000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

48 48 1.00000E-01 9.33000E-01 -2.40000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

49 49 1.00000E-01 9.33000E-01 -3.00000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

so

1.00000E-01 9.33000E-01 -3.60000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

52 52 2.00000E-01 9.33000E-01 -1.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

53 53 2.00000E-01 9.33000E-01 -1.80000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

54 54 2.00000E-01 9.33000E-01 -2.40000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

B:snip 14-FEB-91 11:40:34

POINT SYS ACTIVE

NO. NO. X y

_z

_FREEDOMS

55 55 2.00000E-01 9.33000E-01 -3.00000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

56 56 2.00000E-01 9.33000E-01 -3.60000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

58 58 3.00000E-01 9.33000E-01 -1.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

59 59 3.00000E-01 9.33000E-01 -1.80000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

60 60 3.00000E-01 9.33000E-01 -2.40000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

61 61 3.00000E-01 9.33000E-01 -3.00000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

62 62 3.00000E-01 9.33000E-01 -3.60000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

64 64 1.00000E-01 5.30000E-01 -1.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

65 65 1.00000E-01 5.30000E-01 -1.80000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

66 66 1.00000E-01 5.30000E-01 -2.40000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

67 67 1.00000E-01 5.30000E-01 -3.00000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

68 68 1.00000E-01 5.30000E-01 -3.60000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

69 69 2.00000E-01 5.30000E-01 -6.00000E-02 U, V, W,RX,RY,RZ

70 70 2.00000E-01 5.30000E-01 -1.20000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

71 71 2.00000E-01 5.30000E-01 -1.80000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

72 72 2.00000E-01 5.30000E-01 -2.40000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

B:snip 14-FEB-91 11:40:36

POINT SYS ACTIVE

NO. NO. X y

z

_FREEDOMS

73 73 2.00000E-01 5.30000E-01 -3.00000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

74 74 2.00000E-01 5.30000E-01 -3.60000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

75 75 3.00000E-01 5.30000E-01 -G.OOOOOE-02 U,

v,

W,RX,RY,RZ

76 76 3.00000E-01 5.30000E-01 -1.20000E-01 U, V, W,RX,RY,RZ

(50)

78 78 3.00000E-01 5.30000E-01 -2.40000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

79 79 3.00000E-01 5.30000E-01 -3.00000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

80 80 3.00000E-01 5.30000E-01 -3.60000E-01 U,

v,

W,RX,RY,RZ

81 81 .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO -G.OOOOOE-02

82 82 .OOOOOE+OO .OOOOOE+OO -3.60000E-01

,

83 83 4.00000E-01 .OOOOOE+OO -3.60000E-01

(51)

a:snip 14-FEB-91 LOADING CASE 1

~

NT

I

55 I 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77

u

-3.398E-13 -4.652E-13 1.316E-09 1.460E-09 1.013E-09 1.013E-09 1.460E-09 1.315E-09 6.918E-10 6.991E-10 4.589E-10 4.588E-10 6.988E-10 6.913E-10 l . 971E-13 8.838E-14 -2.009E-14 -1. 282E-13 -2.361E-13 -3.439E-13 -6.914E-10 -6.990E-10 -4.589E-10 DISPLACEMENT INFORMATION V W RX

5.997E-07 1.928E-10 2.334E-07 6.143E-07 3.775E-10 2.285E-07 6.418E-07 1.129E-10 -2.422E-07 6.269E-07 5.129E-10 -2.143E-07 6.169E-07 2.075E-10 -8.809E-08 6.169E-07 -2.119E-10 8.809E-08 6.269E-07 -5.173E-10 2.143E-07 6.418E-07 -1.173E-10 2.422E-07 1.838E-06 -1.988E-11 4.108E-06 2.094E-06 -2.235E-10 3.983E-06 2.283E-06 -9.276E~11 1.708E-06 2.283E-06 8.990E-11 -1.708E-06 2.094E-06 2.207E-10 -3.983E-06 1.838E-06 1.703E-11 -4.108E-06 2.310E-06 1.607E-10 4.545E-06 2.607E-06 7.285E-11 4.960E-06 2.859E-06 -2.919E-12 2.372E-06 2.859E-06 -3.007E-13 -2.372E-06 2.607E-06 -7.607E-11 -4.960E-06 2.310E-06 -1.640E-10 -4.54SE-06 1.838E-06 -2.025E-11 4.108E-06 2.094E-06 -2.239E-10 3.983E-06 2.283E-06 -9.312E-11 1.708E-06

11:52:04 RY -2.212E-13 -1.710E-13 -7.861E-13 -6.966E-13 -6.163E-13 -6.078E-13 -6.873E-13 -7.886E-13 -2.505E-13 -2.147E-13 -1. 290E-13 3.362E-14 2.792E-13 5.058E-13 -4.887E-13 -4.385E-13 -3.682E-13 -2.916E-13 -2.212E-13 -1. 710E-13 -7.862E-13 -6.966E-13 -6.163E-13 RZ 1.216E-13 1.422E~13 5.207E-07 4.914E-07 4.863E-07 4.863E-07 4.914E-07 5.207E-07 8.649E-06 9.022E-06 9.348E-06 9.348E-06 9.022E-06 8.649E-06 -9.438E-13 -8.202E-13 -9.848E-13 8.513E-13 5.359E-13 2.829E-13 -8.649E-06 -9.022E-06 -9.348E-06

(52)

(W\

~---_.~---'~

-~~---~._---~~

(53)

(54)

-MOOEl- 1.834E+01CPS

I

..

~

..

.

VIEW DIIECTIDN

•

0

100 VIEWIN& DIST.

t.OOOE+16

PLOT LIMITS

~ X

_4.000E-o1

.OOOE+OO

(55)

MODE2-

3.llOE+Ola»s

1 _'

'

..

~

-'"

..

.

VIEW DIFECTION

100

0

0 ..

VIEWIN& DIST.

1.000E+16

PLOT LIMITS

~ X

_4.000E-o1

.OOOE+OO

MODEl

DEFLS.

y

.OOOE+OO

-~

--

_~

z

9.331E-o1

_.OOOE+OO

~.aQOE-otPU

53

(56)

MCt'E3-

3. 580E+01CPS

VIEW DIFECTII»>

58

!5B

VIEWIN6 DIST.

t.OOOE+16

PLOT LIMITS

X

4==~

(57)

M00£4- 1.256E+02a'S

VIEW DIRECTION

0

100 VIEVIN6 DIST.

1.000E+16

PLOT

LIMITS

X

4==~

.OOOE+OO

DEFLS.

y

9.331E-G1

L

z

-4.200E-G1

.OOOE+OO

-

x~--~~~~~s~n~--~

E-o2

14-FEB-91 12:40

(58)

MOt'£5- 2. 09SE+02CFS

VIEW DIRECTIC»t

100

0

VIEWIN& DIST.

1.000E+16

PLOT LIMITS

X

.OOOE+OO

(59)

MODE&- 2.265E+02CPS

r

VIEW DIFECTION

sa

58

sa

VIEWINS DIST.

t.OOOE+16

X

PLOT LIMITS

.OOOE+OO

4.000E-ot

~x·~--~-9-=-~~~~~-~--~~

r -

z

-4.200E-ot

J:

snipe

(60)

file: SEPRAN.OUT last modified: 12~1991 10:59:04 page: 1

...

I!I'IIAII finite el-nt pacuqe

.

• •

...

define points points pl• (0. Od-0, 0. Od-0) p2•(4 .Od-2, O.Od-Ol p3• 15.5d-2,0. Od-0) p4• (5.5d-2, 2. Od-2) p5• ().2d-2' 2. Od-2) p6•(1.4d-2,2.0d-2) ~7• IO.Od-0,2 .Od-2) * clefi ne C\ll'WS • curves

c1•llne1 (p1 ,p2,nei•40,rotio-1 ,factor•1d0)

c2•linel (p2,pl,nela•15,ratio-1, factor•ldO) cl•linel (pl,p4 ,nela•l,ratio-1, factor•ldO)

c4•line1 (p4 ,p5,nelm•23,rotio-1, factor•1d0) o5•line1 (p5,p6,nelm•18,rotlo•1, factor•1d0)

c6•linel {p6,p7 ,nelm•l4,ratio-1 ,factor•ldO)

c7•1ine1 (p7 ,pl ,oela•l,ratio-1, factor•ldO)

surfaces sl•recl&nCJlel (n•55 ,•l ,cl ,c2,cl ,c4, cS, c6 ,c7)

.

IIOShline lela1• lshape•1 ,c1 l • lelml• lshape•1 ,c5) llleShsurf aelml• 1&1 l

plot (plotfm•15.0dO,yfact•1 .OdO, jiMrk•O)

end

u .. ia 3.1344 seconds in subroutine reotan<Jie u .. ia 13.6797 aeooada In aubroutine PLO!t42 . - r of nodal points 224

. - r of el-nu llO

u .. II 14.3945 seconds in subroutine :III'SII:t - 1

u .. Ia 14.3945 aecoada in aubroutine :MESH problem types elgrp1, ltype•208l • elgrp2, (type•208l elgrp2, (type•206) easbounoond

degfd1 ,degfd2•ourwa0 loS)

*degfd1 ,degfd2•ourwa0(c2l

degfd1•ourves0(c7)

end

input for subroutine probd.f:

maximal nllllber of degrees of freedom In a nodal point

n\WIIber of arrays of special structure 2

nUIIber of different types per standud element

type nl.llben of standard elements:

1: 208

2: 206

nlllber of degrees of freedom In nodal points of standard el . . . nts of array of s

pecial atructure 1

1 1: 0 2:

2 1: 4 2: 3:

Dllllber of degrees o£ froecloao in nodal points of atanclard el-nta of array of a

pecial structure 2

1

1 1: 0 2:

2 1: 3 2: 3:

Dllllber of degrees of freedom • 44a

- r of points with preacril>ed loounduy conclit!ona (!ncludin<J double points)

• 23

- r of prescribed degrees of freedcn • 42

Dllllber of periodical boundary conditions • 0

u . . ia 15.2734 seconds In subroutine :PROBDF u . . II 15.4375 seconds In subroutine :<XMIAT u . . Ia 15.6016 seconds in subroutine bvalue lillie Ia 15,6016 seconds in subroutine bvalue

u . . ia 25.a242 seconds in subroutine :SYS'm4:to0050

u . . II 26.4258 seconds in aubrouline solve

wctor printout DISPLACDIEI!TS: z

paqe 1 5-598907!-08 5.589498!-0a 5.476416!-08 5.432069!-08 5.227356£-08 5.177528£-08 5.03111 OE-08 5. 012872£-0a 5.037a50E-08 5.072026£-08 5.330589£-08 5.4255a2!-08 5.,07336!-08 6.044318!-08 6.551179£-08 6.642155£-08 6.624891!-08 6.53a517!-08 6-673224!-08 6. 769268!-0a 1_240892£-08 7. 367329£-0a 1.854953£-08 4 .209448!-08 4.104222£-0a 4.051593£-0a l. 763417!-08 3.681785!-08 ).397917£-0a 3.3506141-0a ).275680£-08 3.288678!-0a l-412514£-0a 3.552660!-0a 4.020395!-08 4.174741!-0a 5. 572620£-08 5.3a3411E-08 5.1 31650!-08 5.003595!-08 5.118251!-08 5.53194aE-08 6. 181891!-08 6. 706004!-08 6.515841!-08 6,877369£-08 7. 493430!-08 4.1977au-oa 3. 989583£-08 3.601430£-0a 3.313560!-0a 3.314689£-0a 3.647194£-0a 4. 342a50E-08 5.547626!-08 5.))2063!-08 5.091218£-08 5.004177!-08 5.176731!-08 5. 64a74 7!-08 6.315607!-08 6. 7))319!-08 6.538640£-08 6. 993a23E-08 7.617702!-08 4 '177538£-08 3. 919630£-08 3.525373!-08 3. 2aa323E-08 3.353848£-08 3.756498£-08 4.522416!-08 5.515277£-08 5.279452£-08 5.057426!-08 5.015390£-08 5.247540£-08 5. 774554£-0a 6.440391!-08 6. 711789!-08 6. 594140£-08 7. 115759£-08 1. 738699£-08 4. 146406£-08 3.a43527E-08 3.456655!-08 3. 275602£-08 3.406361!-08 3.8a0871E-08 4. 709068£-08 1 7.577852!-08 7.131206!-08 7.886573!-08 3.041287£-08 3.020036£-08 2.979951!-08 2.919246!-08 2.836867!-08 2.131534£-08 2.601502£-08 2.444))8£-08 2.256619!-08 2.033496£-08 1. 768035!-08 1 .450242!-08 1 ,065578!-08 5. 927006!-09 0. 000000!+00 0. 000000!+00 0. OOOOOOE+OO 0.000000!+00 0.000000!+00 0.000000!+00 O.OOOOOOE+OO O.OOOOOOE•OO 0. 000000!+00 0. 000000!+00 0.000000!+00 0. OOOOOOE+OO 0. OOOOOOE•OO 0.000000!+00 0.000000!+00 0.000000!+00 0,000000!•00 O.OOOOOOE•OO 0.000000!+00 1.162768£-08 2.073266!-08 2.804389!-08 3.404855£-08 3.907854£-0a 4.336492!-08 '· 707238E-08 5.032149!-08 5.320351£-08 5.579002£-08 5.a13849E-08 6.029582£-08 6.230071!-0a 6.418538£-0a 6.597687£-08 6.769815!-08 6.U6901E-08 7.100691!-0a 7.262769£-08 7.424622!-08 7.5a7700B-Oa 7. 753413!-0a 7.9234a2E-Oa

lillie Ia 26.7578 seconds In subroutine prinrv

- t o r printout DISPLACDIEI!TS:r paqe 1 0.000000!+00 3.171948!-10 6.491209£-10 9.991971!-10 1.374585£-09 1. 783694!-09 2. 234772!-09 2. 735364!-09 3 .291986!-09 3. 909843£-09 4.592562!-09 5.341911!-09 6.157560!-09 7.036906£-09 7.975094!-09 8.965409!-09 1.000036!-08 1.107408!-08 1.217964!-0a 1.331003£-08 1.445841!-08 1.561a19B-08 1.678287!-08 1. 794587!-0a 1. 910040£-08 2.0239laE-08 2.135435!-0a 2.243135!-08 2.347884!-0a 2.446877!-08 2 .53965aE-08 2.6251 60!-08 2. 702385!-08 2. 770530!-08 2. 829198£-08

2 .87a13U-08 2, 91 97041-0a 2. 953138£-08 2. 9a0588E-08 3. 004055!-08 3.025a82E-08 3.044169£-08 3.056688!-08 3.064776!-08 3.069247!-08 3. 070630!-08 3 .069302!-0a 3.065560!-0a 3. 059659!-08 l. 051834£-08 3.042307£-08 3.031298!-08 3.019030!-08 3.005743!-08 2.991698£-08 2.977201!-08 0.000000!•00 3.3392141-10 6.374152!-10 9.3240a1E-10 1.2))412!-09 1.549226!-09 1.186865!-09 2.252679!-09 2.652740£-09 3.092938!-09 3.578871!-09 4.115520!-09 4. 706638£-09 5.353751!-09 6.054576!-09 6.800604!-09 7.573496!-09 8.362411£-09 9.161772!-09 9.969254!-09 1.078450£-08 1.16082aE-08 f-244198!-08 1.328717!-08 1.4145341-08 1.501762!-08 1.590447!-0a 1.680534!-08 1. 771817£-08 1 .863a79E-08 1. 956007£-08 2. 047075!-08 2. 135396!-08 2. 21 a524E-Oa 2.293001£-08 2.356755!-08 2.409321!-08 2.450793!-08 2.481149!-0a 2.499756!-08 2.504921!-08 2.497a741-08 2.482719£-0a 2.462476£-0a 2.4393441-08 2.414907£-08 2.390283!-08 2.366241!-08 2.343284£-08 2.321713!-08 2.301677!-08 2.28319aE-08 2.266199!-08 2.250511!-08 2.235882£-08 2.221969!-08 0.000000!+00 -1.493a31E-10 -1.894213£-10 -1.9013a5E-10 -1.695022£-10 -1.332464£-10 -a.235943E-11 -1.477243£-11 7.433430!-11 1.927597!-10 3.51a379E-10 5.672855£-10 8.603759£-10 1.259513!-09 1.802320!-09 2.538384!-09 3.195494!-09 3. 794922£-09 4. 353774!-09 4.886141 E-09 5. 403943£-09 5. 91 7565!-09 6. 436341 E-09 6. 968916£-09 1.523530£-09 a. 1 oa223E-09 a. 730978£-09 9.399785£-09 1. 012263!-08 1. 090734!-08 1.17613 1!-0a 1. 2690a5E-08 1. )70025£-08 1. 479007£-08 1. 5421 88E-08 1. 575420£-08 1.589038£-08 1. 589702£-08 1.5a1646E-08 1.567551£-08 1.549215!-08 1.52a055E-08 1.505274£-08 1.481 a58E-08 1 . 45a578E-Oa 1. 43601 5!-08 1. 414581 E-08 1.394552£-08

1 .3760a1 E-08 1. 359226!-08 1. 343959!-08 1. ))01 76E-08 1. 317705£-08

1.306300!-0a 1.295639!-08 1.2a5314E-08 0.000000£•00 4.828725£-10 a.oa0967!-10 1.081465!-09 1.310888!-09 1.493162!-09 1.621689!-09 1.6885a6!-09 1.685676!-09 1.605314£-09 1.441408!-09 1.190962£-09 8.565383£-10 4 .5021 66!-1 0 0. 000000!+00 0. 000000£•00 0. OOOOOOE•OO 0.000000!+00 0.000000!+00 0.000000!•00 O.OOOOOOE+OO O.OOOOOOE+OO 0.000000!+00 0.000000!+00 O.OOOOOOE+OO 0.000000!•00 0.000000!•00 0 .000000!+00 0.000000!+00 0. 000000£•00 0. 000000!•00 0. OOOOOOE+OO 0.000000!+00 -6.755203£-10 -1.0a5150E-09 -1.279898!-09 -1.308169£-09 -1.213201!-09 -1.032073!-09 -7.955927£-10 -5.2a7756E-10 -2.512923£-10 2.213413!-11 2.8098a3E-10 5.181465£-10 7.291142!-10 9.113619£-10 1.063a19E-09 1.186391!-09 1.279708!-09 1.344a67E-09 1.383296£-09 1 .396680!-09 1 .3a6946E-09 1.356319£-09 1.307433!-09

time Ia 26.a672 seconds in subroutine prinrv

(61)

Biilaa=e C Berekenina= eia=enfreguenties bewea=ende mJeelte *Bepaling massa matrix M en stijtheidsmatrix K

De gegeneraliseerde coordinaten kunnen in matrixvorm als volgt geschreven worden:

Aangezien in bet dynamische systeem aileen translaties en geen rotaties optreden kan de formule voor kinetische energie geschreven worden als:

T -_{- -.l.l.}1 '11. •

_.u....:

T

2 waaruit volgt dat

De stijfheidsmatrix K kan uit onderstaande formule van de potentiele energie bepaald worden:

V=kllu12 + k12u1u2 + k13u1u3 + k21u1u2 + k22u22 + k23u2u3 + k31u1u3 + k32u2u3 + k33u32

Bekijken we figuur 6 in paragraaf 2.2.5 dan volgt voor de potentiele energie indien we de invloed van de zwaartekracht verwaarlozen:

V = 1/2 k2'u32 + 1/2 k4(u2-u3? + 1/2 kl'(-u2)2 + 1/2 k3(u1-u2? =1/2 (k2'+k4)u32 + 1/2 (k1+k3+k4)u22 + 1/2 k3u12 +

- 1/2 2 k4u2u3 - 1/2 2 k3u1u2

kll=k3; k12=k21=-k3; kl3=k31=0; k22=k1+k3+k4; k23=k32=-k4; k33=k2+k4.

In matrixvorm geschreven geeft dit:

-k3 0

kl +k3 +k4 -k4 -k4 k2+k4

(62)

*Berekening eigenfrequenties

Uit bovenstaande gegevens volgt de karakteristieke vergelijking:

Hieruit volgt:

(.i..m1 + k3)(.i..m2+ k1 + k3+ k4)(.i..m3+ k2+ k4)-k42(.i..m1 + k3)+

-k32(.i..m3+k2+k4)=

,;.. 3m1m2m3 +,;.. n1m3k1 +,;.. n1m3k3 + +,;.. n1m3k4 +,;.. ~m3k3 +,;.. n1m2(k2 + k4) +,;..

m3*(k1k3+ k32+ + k3k4)+ .i..(m1k1 +m1k3+m1k4+m2k3)(k2+ k4)-.i..(m1k42+

m3k32) + (k2 + k4 )(k1k3 + k32 + k3k4) = 0

Dit is te herleiden tot:

Neem voor de bepaling van de laagste eigenfrequenties:

k₁'=5.5E3 [N/m]

k₂'=40E6 [N/m]

(1)

k₃= stijfheid bewegende gedeelte shaker + verbindingsstuk; aangenomen wordt dat

L=0.1 [m] en d=0.015 [m]

= EA/L= 2.1Ell *n*(0.0075f /0.1 =3.7E8 [N/m]

1 /k₄= 1 /'Ka + 1 /'xu waarin lea= stijfheid van m₂

'xu= stijfheid van m₃

1/'Ka = 1/~igctstang + 1/kloadcell =0.29/(2.1Ell *n*(0.01)2)+

+0.03/(2.1Ell *n*(0.013/2)2) ---> lea= 1.8E8 [N/m]

'xu =2.1Ell *n*((0.038/2)2-(0.028/2)2)/0.05 =2.2E9 [N/m]

(63)

m2=0.72+0.76+0.2= 1.68 [kg]

m_{3 = 0.15 + 0.27 + 0.25 = 0.67 [kg]}

Invullen van bovenstaande gegevens in ( 1) geeft:

b= 5.6E8

c= 1.3E17 + 1.4E17- 9.6E16 = 1.7E17 d= 3.6E25- 3.4E25= 2.2E24

Na iteratie volgt uit de derdegraads vergelijking (1) een globale oplossing A1 =-1.35475E7.

Voeren we de volgende staartdeling uit:

A+ 1.354 75E7

I

A3 + 2.3E9A2 + 7.1E17A + 9.2E24 \A2 + 2.286E9A + 6.7904E17 Deze staartdeling levert de tweedegraads vergelijking:

A2 + 2.286E9A + 6.7904E17 = 0

Deze vergelijking levert de oplossingen: A2=-3.509E8

A3=-1.935E9

Uit A =-<a>2 en f= 1/{2n)*<a> volgt: f1=586 [Hz]

f2 = 2980 [Hz

1

f3=7000 [Hz]

(64)

Bjjla&e D Stijtheid pneumatische cilinder

Een pneumatiscbe cilinder gedraagt zicb als een niet-lineaire veer. Voor de test-opstelling zijn , bij benadering, de boogste en laagste stijfueid van de cilinder van belang. Dit in verband met de bepaling van respectievelijk de eigenfrequenties en de bewegingsvergelijking.

De stijfueid van een pneumatiscbe cilinder bangt van de zuigerboogte af.

Rekening boudend met de gaswet en er van uitgaande dat de perslucbt zicb als een ideaal gas gedraagt, blijkt dat de laagste stijfueid optreedt bij bet grootste volume. p1*V1= p2*V2

--->

p1/p2= (F1/A1)*(A2/F2)= V2/V1=

(A2*12)/(A1*L1)

--->

F1/F2=12/L1

lndien ervan uit wordt gegaan dat bet boogteverschil tussen de te testen lagers maximaal 15 [mm] is en dat voor een pneumatiscbe cilinder met maximale slag= 25 [mm] is gekozen, treedt, bij benadering, de laagste stijfueid van de cilinder tijdens bet testen van de lagers op bij L1 = 20 [mm] en de boogste stijfueid bij L1 = 5 [mm]. - bepaling benadering laagste stijtbeid (wrijving zuiger/

cilinder wordt verwaarloosd)

neem mini male statiscbe kracbt F1 = 100 [N]

minimale dynamiscbe kracbt F= 10 [N] (0.25*40)

--> F2= 110 [N]

invullen in formule 1 geeft dit 12= 18.2E-3 [m]

---> k1= (F2-F1)/(L1-12)= 5.5E3 [N/m]= 0.0055 [N/~m] - bepaling benadering hoogste stijtbeid

neem maximale statiscbe kracbt F1 = 3000 [N]

maximale dynamiscbe kracbt F= 50 [N] (0.5*100)

-> F2=3050 [N]

invullen in formule 1 geeft dit 12= 4.92E-3 [m]

---> k1= 6.1E5 [N/m]= 0.61 [N/~m]

In vergelijking met de stijfbeid van bet test-lager

(65)

Bijlge E Berekenin& invloed stijtbeid ondemrond en stijtbeid lucbtcontactschijf Gevall

De ondergrond en de lucbtcontactschijf worden oneindig stijf verondersteld. In

vergelijking met bet model gegeven in de inleiding is onderstand model iets uitgebreider, uitgaande van de eindige stijfheid k₂van bet testlager zelf.

F

u2=0

geval 1 model waarbij

ondergrond en lucbtcontactschijf oneindig stijf zijn

Geval2

waarin k1 = 40 ... 100 [N/Ilm]

k2= E*A/L met E=2.1Ell[N/m2]

Eindige stijfheid ondergrond (blok) en lucbtcontactschijf. F = (k₁_k2k₃k_{4) /}(k₁_k2k₃+ _k2k₃k4 + k1k3k4 + k1k2k4) *u1

= kJ*u2

u2=F/k3

neem k₁= 100E6 [N/m] \boogste stijfheid)

k2=2.1Ell *n*0.05 /(17.5E-3)=9.42E10 [N/m]

k₃=6E10*0.42*0.35/0.22=4.00E10 [N/m]

k₄=2.1Ell *n*0.0552 /0.02=9.98E10 [N/m]

(66)

u2 ~1• f"'ClSSG l ucht-contQctschtjF ~z· .-.ossa. t•st-log•r- + NlSSCl gro.ni•t•n blok

geval 2 model met eindige stijfheid ondergrond en luchtcontactschijf

Voor geval 1 geldt u₁-u₂= 30.03 !liD.

Voor geval2 geldt u₁-u₂= 30.137-0.075=30.06

!liD.

Geval 2 geeft een afwijking van ongeveer 0.1% ten opzichte van geval 1. Deze afwijking is verwaarloosbaar.