Reduktie van diskrete dynamische systemen

Citation for published version (APA):

Kraker, de, A. (1986). Reduktie van diskrete dynamische systemen. (DCT rapporten; Vol. 1986.018). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

-1-

REDUKTIE QAN DISKRETE DYNANISCHE SYSTEBEW

A. de Kraker Vakgroep BFW april 1986 WFW-86.018

Abstract

When performing a dynamic analysis of a structure, condensation of the internal degrees of freedom is common practice when we intend to combine complex substructures to an even more complex main structure.

In this report it is shown that writing these internal degrees of freedom not only as a function of the constrained modes but also taking into account a contribution of the static behaviour (by means of a Guyan-reduction part) can result in much more accurate results.

Most of the condensation techniques for mechanical systems with many degrees of freedom are based on formulations where damping is neglected or in some special cases where damping is assumed to be modal (also called

proportional) damping, More and more these assumptions have to be rejected in order to get realistic results. In this report the alternative

condensation technique is extended to the field of systems with general viscous damping, using a state-space formulation.

-3- Samenvatting

Bij het reduceren ~3an het aantal vrijheidsgraden van ongedemste, complexe konstrukties m a k t men vaak gebruik van modale representaties voor delen van deze koristrukties G E van een groot aantal te elinineren, interne vrijheids- graden over te Bunnen gaan op een klein aantal nieuwe, gegeneraliseerde vrijheidsgraden, zoals bijvoorbeeld beschreven door Arduini. Een alternatie- ve methode wordt in dit rapport aangegeven, waarbij deze interne vrijheieis- graden niet enkel geschreven worde~i a l s een lineaire kombinatie van de zoge- heten constraint trillingsmodes maar waarbij tevens een ?an d e G u y a n - ~ e d u k - tie afgeleide statische bijdrage w r d t meegenomen. Een eenvoudig vocrbeelc? geeft aan dat dit tot veel nauwkeuriger resultaten kan leiden,

In een zomemend aantal. situaties zal. het enkel beschouwen s a n ongedempte systemen of de begerfhizlg t o t zogeheten pro2ortionele deziping niet meer ge-

rechtvaardigd kunnen worden en aal een model met aigemeen viskeuze d-emping

als uitgangspunt moeten dienen, In d i t rapport is aangegeven daz ook in dat geval, ~ i t g z a n d e van een toestandsformu:ering, deze alternatieve methode

voor het reduceren van het aantal vrijheidsgradên met vrue3t gehanteerd kar; vmrden lizet een zeer grote overeenkomst in structuur van de een rol spelende relaties

-

3 . Guyan- of statische reduktie 4. Een gekombineerde aanpak

4.1 Theorie

4.2 Eenvoudig voorbeeld

5, 3e spectrale aorm bij algemeen viskeuze deaping 6 - Slotopaerkingen

Literatuur

[I] A. de Kraker: Enige algemene beschouwingen over de frequentierespons van viskeus gedempte, lineaire dynamische systemen, WHW rapport, BE 83.04, 1 9 8 3 ,

E23 C . Arduini, Spectral Condensation: A Rev Concept in Humerica? Structural Dynamic Analysis, E S A Journal, f70l. 8 , 1984.

i 3 1 A. de Kraker; Enige ~ e t b o d e n voor de analyse vzn het dynamisch gedrag

-5-

1. DE SFECTRALE VORM VOOR OHGEDEIVIPTE SPSTEHEN

-_ _{u i j gaan u i t van h e t s t e l s e l gekoppelde bewegings7ergeiijk;ngen voor een}

ongedempt systeem wiet n gegeneraliseerde koordinaten (vrijheidsgraden):

waarbij:: &: (n*n), symmetrische massamatrix

E:

In*??), symmetrische stijfheidsmatrix q ( t f kolom z e t n vrijheidsgraden q . (t!

f(tf kolom wiet gegeneraliseerde krachteri

., 1

x

VSj gaan er van u i t dat de t o t a l e verzameling arijheidsgraden g g e s p l i t s t

t i o r d ~ i n eea; deelverzameling van m externe vrijheidsgraden (master d o f ) ,

opgeborgen i a de k ~ l m q en i n een d e e l v s r z a ~ e l i n g van

1

lokale (of ineer- ne) n i j h e l d s g i a d e E 4 Er geldt n = L+m, et i s u i t e i n d e l i j k de b s d o e l i ~ g deze lokale vrijhaidsgraden q t e elimineren (of t e _wxiiangen door een ge-

risdger aantal anders vrijheidsgraden), Daarbij atuet het resulterend model

voldoende representetief blijven voor ern vooraf t e s t e l l e n toepassingsge- bied.

Ve ne-en aan d a t w i j de kol02 q kunnen schrijven a l s :

-

-R

,+ & "

-i!

-

overeenkomstige partitionering Tan massa- en stijfheldsmatrices i

-

en

-

K leidt dan voor

(1.1)

t o t :

Voordat h e t werkelijke probleem van een geschikte k o o r d i n a t e n t r a n s f o r ~ z t i e wordt aangepakt beschouilaen w i j op de eerste p l a a t s het zogenoemde

"constraint systeem". Hierme vordt bedoeld het originele systeem wâarwor a l l e externe vrijheiiisgradec q onderdrukt zijn. D i t constraint s y s t s e ~ . RYxdt dan SeschrsveTo door:

Wij beschcwen vervolgens he% bij het hmogene deel va9 (1.4) behorende e i ge nw a arde -pr ob I e em :

-e

ietv voor b e p a l e n wij de d (reële) eigenhoekfrequenties i~ en de korresponde-

rende eigenkolommen u Ik = 1, 2,

0,

ûok deze kolommen zijn reëel, - i k

w i j serzame:en de eigenhoekfrequenties u ir, de fl

*

1 ) diagonaalmatrix

Dgl

en de eigenkoiommen in d e (.+!*ti matrix

gkl:

k k

De ebgenkolommen spannen de

1

dimensionale ruiats

R

op, ihet andere woorden d e matrix

IJte

is regéniler, Verder gelden d e orthogoaaliteits- c . g , norrne-

ringckonditiesr

t

"_. .

w ~ j gaan terug mar de partitionering vac d e vrijheidsgraden g zoals gegever?

~ G O I - (lq2). \Foor wat betreft Fie lokale of interne vrijheidsgraden g a m vi4

nu cver op een serzamaling (van in eerste instantie k) nieuwe koordinaten, V i j scbrijveri namelijk:

x

In feite gaan wij áus over op een lineaire kcmbinatie van de

l

constraint trlllingsmodes via d e coëffieienten (,. Ceze bactste noemen wij dan. ook de modale a w l i t u d e s ,

Uit het tweede s t e l s e l vergelijkingen van

(1.3)

v o l g t wiet Q , -i =

g a l

i j

e n na

, I T

Beperken w i j ons t o t harmonische e x c i t a t i e en -respor;s m t hoeksnelheid

Y

#

w (k = 1, 2 , . - - ,

1)

en amplitude resp. F dan wor6-t dit:

n n

k s e r

M i j definiëren verder:

Een noemt dit de gereduceerde, niet-lineeire spectrale vor?il.

De belde formuleringen ( 1 . 1 2 ) en (1.20) zijn ncg identiek siet hei stelsef.

vergelijkingen waar wij van uitgegaan zijn. Toch bezitten de foxmleringe3 geen echte voordelen, bijvoorbeeld voor de bepaling van het v r i j e trillangs-

gedrag 7an het totale s y s t e e ~ . Z e t nam? ( 2 . 2 0 ) leidt dan tot een eigennaiir- deprobleemformuaerlng die theoretisch wel dezelfde oplossing l ~ v e r t als het

originele pr ob lee^, m a r waarvoor weinig o f geen nuli.,eibrfre procedüres be- staan hetgeer? uit dien hoofde al snel t o t problemen leidt.

Echter voor de verdere beschouwingen en met n a m voor het afleiden van gere- duceerde miadellen zullen genoemde formuleringen een geschikt uitgangspunt

. .

-9-

I n hoofdstuk 1 z i j n twee alternatiwe formuleringen aan de orde gekomn

zonder dat daarbij essentiële veranderingen ten aanzien van de nauwkeurig- heid van de oplossing o f k o ~ p l e x i t e i t van het model een rol speeldelz. 'Eiel

verd een s i t u a t i e gekreërd % x m m ? r het ontbreken van ~ o l d o e n d e e f f i c i ë n t e numerieke gereedschappen tot nieuwe g r o b i e m a aanleiding gaf.

In dit hoofdstuk z a i de m g e l i j k h e i 5 van reduktie van het aantal v r i j h e i d s - grader, (met name d e geïntroduceerde modëile alttplitudes) aan de orde komt,

Baarbij staat voorop dat d e nauwkeurigheid van de nader te áefiniëren oples- singsruimte gewaarborgd b l i j f t sn/of dat additiocele informatie ter beschik- Biag k o ~ t betreffende de vemindering van de nauwkeurigheid a l s fuactie van de vermindering van het a a n t a l vrijheidsgraden,

~ e t e-ssentiëTc uitgangspunt is de aanname d a t a i j wensen t e becchikkeii m e r zera 2aUakeurlg dyna-'isch %;ode1 van een kocstruktie o f kanstruktiedeel voaz

een beperkts frequentieband cf frequentiebanden [intervallen [f,. _&$:IE f y e v

5 1

S$.Cz.n Deze verzameling fre~uentieinteraa99en (vaak een afgeleide van de spectral2 energieinhoud van de te verwachten excitatie) duiden wij aan m e t Be

g i j gaan uit van de theoretisch nog exakte relatie (1.201:

Hierbij is Be f r z g u e n t i ~ i e s p o n s f u n c ~ i e m a ~ ~ i x of transferEunctle~atrix I l j ! ( g )

van het constraint-syctea geïntroduceerd, n,axelFjk: (zie ook [lj)

De totale xatrix Pr! het linkerlid van ( 2 . 2 ) kan en ziea a l s de llY2$AHISCEE

STIJPHEISSFiBTRIX, betrokken op de vrijheidsgradec q

-

De tweede term van het rechterlid geei& aan op vrelke wijze de invloed van de rnterne krachten wordt

-2

In principe dienen wij bij het reduceren van het probieem $e afzonderlijke reeks-bijdraga van -wil Z c j I I r l *. ~e vergelijken roet de korresponderende temerl

aan 2,

derende elementen van f

en de afzonderlijke reeks bijdragen van Z

_til

met de korrespoil-

-%pi! -m&

-

-3

Een tarr~lijk grove aanpak bestaat hieruit dar wij enkel die modes { u d k , !lk,

1

meenemen ia; de verdere beschouwingen waarvoor <j

Een Ban ook de relatieve invloed an eigenkclomen u

zEIlp

in de beschouwing betrekken. Arctuini E21 Bijvoerbeeld maakt gebruik van

de volgende schatter voor de relatieve inv1oe6 va9 reeksbijdragen:

i

MI

u~

F )

e

1K

en van de nâtricrs

-

&B

13 principe gaan wij er van uit dat het mogelijk is 0% aan te geveei vrelke 1,

tarnei; van de totale verzmeling van

t

termen van de r e e k s e n in sielc6tie

( 2 , ~ : yan wezenlijk belang z i j n . De hiermee korresponderende eigenhoekfre-

( L o *

Lo:

p

quenties respectievelijk eigenkolommen v u l l e n de wiatrices ijI

U C U

respectievelijk

g p ,

( 2 * d O ) e

Voor de gereduceerde, ciet-lineairs spectrale wwm k r i j g e n wij dan:

8, a<

Voor de bij deze 1, geselekteerde mdes behorende modcrle amplitudes

gli:

geldt rrervoigens:

Hiermee kan (2.5) dan ook geschreven worden in de uitgebreide, lineaire spectrale v o m , namelijk:

-11-

Flij krijgen dus een stelsel van irn t 1,) vrijheidcgraden, n,L. de tn externe of kspp-lings~rijheidsgLaden y en de 1, interne, modale aziplitudeà ( e Indien iti < < n en $,<< 1 z a l hierdoor een âanzienlljke reduktie va2 de orde

vag de resterende massa- en ctijfheidsmatrix kunnen worden gerealiseerd, Bet door ( 2 , 7 ) beschreven stelsel kan verder worden geanalyseerd (bijvoorbeeld h e t vrije of gedwongen trillingcgedrag) o f het Ban gebruikt worden a l s boua- steen voor een grotere konstruklie, tesaïrien inet arLdere stelsels van de vorm

(2.7). De onderlinge koppeling van 6eze subatru-cturen vindt daarbij erokel ea alleen plaats via d e kopp-lingcvrljheidsgraden g e

\$i1 men na de opiossing van

clin

en

a,,

uit ( 2 . 7 ) ook informatie over 6e oor- sprcmkelijke interne vrijheidsgraden

g 6

dan kan dat via:

-.li? - 1 0

E a ander alternatief voor het reduceren van h e t aantal vrijheidsgraden vag een dynaxisch ~it,odel biedt de zogenaarc.de GUYAM- o f statische reduktie. Z i e r b i j wordt d e t o t a l e verzameling van vrijheidsgraden g e s p l i t s t i n een deelverzameling externe vrijheidsgraden (e stuks, endergebracht i n d e deel- kolcm q _*e 1 en de resterende, t e elimineren interne vrijheidsgraden g .

-1

bi s t u k s , i = n

-

a)

Be externe vrijheidsgraden omvatten de e z r c l e ~ g e n o m d e koggelingsvrijhaids- graden q,. plus nog een aantal (L s t u k s ) e x t r a vrijheidcgraden

xrp

dus:

-in

Guyan-reduktie gaat nz uit van de (statische) transformtie:

=

- ar?

:c.

Tie -11 -12

aiaarbij :

Toepassing van deze koördinaten-transformatiz ( k i l vezen een Boördinaten-re- duktie indier, q = liiet leeg) l e i d t dan t o t :

waarbij :

!Gij k r i j g e n dus ook nu weer een gereduceerd stelssl. i n d e VOTR var, v e r g e l i j - king 6 2 , 7 0 - %u hebberi wij te maken met de v r i j h e i d s g r a d e n q en in plaats van de aodaPe aapliLudes

l J

hebben %ij nu te maken !;.,et de extra "interne" vrijheidsgraden 8,. Hoe groter het a m t a l vrijheidsgraden in qF (dus hoe

-

rn

- 2 0

.-i- -L

kleiner het aantal i.i q , f koe nauvkeuriger in het d g e s e e n de oplossing zal

-L

r l -00 b'.,

x3

"_

o f g e d e e l t e l i j k moet worden opgelost. De enige grote Blus is meestôl h e t er?

58,

kramen worden bepaald zonder dat een eigenwaaide-pr ob lee^ geheel

k b

. . .

efficient i a ~ ~ e r t e r e i ; Van de aatric:

gii

waarbij Immers gratig hebben d a t i

g r m t is. Een aadegl van Guyan-reduktie is dat het effect op Ge restnxuwksu- righeid ondocrzichtig i a en het kiezen :Ian aantal en plaats Baa de w i j - heidsgiaden q (%&? t e nemen interne) vaak enkel intuitief kan geschieden.

B ~ v e n d i e n z a l Guyan-reduktie e.nke7 goede resultaten 0p7eacren in die^ WIJ 822

beperkt a a n t a l van d e laagste trillingsmodzs aensen t e beschrijven, Het gebruik van d e zethode wordt erg moeilijk indien ij goede resultaten villei?, genereren *1ioor e e n bepaalde frcgu.entieband.

-r

Een n a d e e l COOT de lineaire spectrale u i t d r u k k i n g is h e t ieit d a t indie;., ynen

( 3 123

I n d i m w i j vas d i t systeem de eigenhoekfrequenties b e s c h ~ u w e n zullen aeze aaníxerkelijk slechter z i j n in h e t dgerfieen dan Be elgenkoe~~frequentlec v a h e t korrespondereide s t e l s e l dat ontstaat bij Guyan-zeduktie m e t q = leeg, n e l , (zie 0 . 3 . [ 3 3 f :

4 . 1 TBEORIE

--. .

_{u q gaan weer}

uit van het stelsel vergelijkingen voor i gegeneraliseerde koördinaten, n e l ,

De t o t a l e verzazieling vrijheidsgraden wordt wser gesplitst i n m e x t e r n e o f randvrijheidsgraden SB h l o k a l e af i n t e r n e vrijheidsgraden:

De s e t

3

q _-m is voldoende voor koggeling van de substructuur aan andere sub- structuren o f voor h e t in r e k e l i i ~ g b r e i g e n vas kinemâtizche randworwaarden o f gelangrijke uitwenaige belastingen.

De totale ~ e r ~ ~ a a ~ s ~ ~ g s ~ o l o ~ splirsen gij nu i-, e a sta-cisch vervorxi.ngsóeei

er, een deel ljûor h e t in rekening Brangen van de vervorminaen tengevolge van d e in Xe interne knooppunten aanwezige traagheidseffecteni

. .

De bijdragen q

op de door Guyan-reduktie gebruikelijke vrijze:

word’: volledig Seyaald door d e externe vrijheidcgraden q, I

I S -m.

waar b i j

Daarnaast veronderstellen x i j dat de interne Trijheidsgraden nog r e n extra d y n a ~ i s c h r v e r p l a a ~ s l n g s b i j a r a g e q

wordt van in eerste instantie I modale coëfficiënten v i a de matrix van

bezitteLr welke afhankelijk veronderstel6 -d

Er geldt nu: of:

*

6 XT f = T E "

*

-17-

Hierbij z i j n Or: en f uitdrukkingen zoals Bekend b i j Guyan-reduktie (zie o.a. ( 3 . 8 ) t i r n ( 3 . 1 8 1 ,

I ill -mm -2

Het stelsel 14.10) is nog -solleC;ig identiek et het stelsel wcar Y j i j vanuit

tjegaaa z i j n . Het enige aersrshil is dat syij van d e n o ~ ~ ~ ~ ~ o ~ k e l i j ~ e gegene- raliseerde koördinaten q z i j n overgegaaa op n niruwe gegeneraliseerde ihoOr-

dinatea (n.Ta q

b4.9) c

I

en

Sri)

v i a een é4n-eenduidige k o ö r d i n a t 2 n t r a n s f o r m a ~ ~ ~ -a

T Normeren wij weer dr eigenkolommen il zodanig Oat

wij tae ~ m * j ~ matrix $2'

=

2

en. definieren

-

kk

als: -m .i!

dan hebbeii. w i j Bus au gekregen:

% l

=

-

K-1

_{- i e}

x

_-1m

4%

I !4*19:

-+ ;!

gen door h e t elimineren .;an C;e vrijheidagraden

t P

- 4 . en het oannemen va-, h a r ~ o -

nbsche e x c i t a t i e en -responc. i4bj krijgen dan:

vaarbi j :

Tenslotte kan (4.20) dan geschteveas. Isirden als:

R e i a t i e (4.201 is izrat q 2 m u w b e t r e f t identiek, aan de eerder afgeleide rela-

t i e ( 2 . 1 ) . Ook nu speelt wee;: de frequentieresponsiunctie rnatrix

E

,! d ( Y ] volgens ( 2 . 3 ) een belangrijke r o l ,

-19-

Indien 1 = O hebben w i j enkei t e maken met Guyan-reduktie. Boor .t"

#

O

nemen w i j E.& of meerdere "constraint modes" mee voor het i n rekening bren-

gen van de dynariticche vervorningen van de interne struktuuï,

u i;

g i j beschouwen het i n de volgende probleem.

figuur geschetste, twee-dimensionale baik-

Figuur

1.

De geanalyseerde balkkonstruktie.

de kolorn van vrijkeidsgraben gr 1 7 9 0 ~ deze konctruktie is gedefinieerd als:

x c

T

.Pils externe vrijheidsgraden kiezen w i j .F = iw p,] zodat voor de lokale oi t e elimineren interne vrijheidsgraden g geldt:

-3 5 3

- k m

= [w p W r p r W f v 3 r -_ w r p ~ 3 e Ir, dat geval krijgen w i j :

1 P I r 2 2 3

De 7 0 0 ; ~ d e z e konstruktie e e n ~ o u d i g t e begale-. massa- en s t i j f h e i d s m t r i x hebben dan de vnlgende siruktuur:

)m

P

m n

oplossing vc~n het constraint eigenwaarde prohlee~n 6- % O = 0

2 -11 *

leidt tot de in de tweede kolom vzn de in onderstaande ta3el i vermelde eigenhoekfrequenties,

m

r i i

Via de bekende Guyan-reduktie relaties volgt:

- *

._

Dezo z i j n ewakt g e d r j ~ aan de stijfheids- e~ ~ a s s z m a t r i x indien de konstruk- tie zou sorden opgebouwd uit slechts i enkel e l e ~ e n t met lengte 5,

ge gaan vervolgens voor de interne vrijheidsgraden over op gegeneraliseerde koördinaten via (la9), leidende t o t de standaarduitdrukking (1.123 {Eethode I ) , en vervolgens via ( 4 - 8 1 : leidende t o t de g e w d i f i c z e r d e uitdrukking

( 4 , 2 S i (Xethode

11).

I n l i i e n v r i j alle Interne modes :zeenemen

U

= 85, moeten beaelfde hoekfrequen-

. .

zaes gevonden vorden a l s u i t de direkte o g ~ l o s s i n g , zoals ook intierdaad

b l i j k t u i t de hiervoor gegeven tabel 1,

Vei3joPgens bepalen w i j de oplossing aan gereduceerde systemen door s t e e d s 1

interne zode (beginnend b i j 3e hoogste eigenhoekfrequentie) weg t e Jaten, De resultaten zijn weergegeven 800r de standaard aiinpak I n tabel 2 en voor de

gemodificeerde aanpak i n tabel! 3 .

In beide figuren is door e e n d i k getrokken l i j n de deelverzameling eigeii-

hoekfrequenties aangegeven welke nog minimaah. twee decimalen overeenstemmen

et de exakte oplossing (fout i n de orde van minder dan 1%)- Frappant is dat b i j methode I b i j weglaten van een of meerdere van de hoger-frequente, i w -

terne ;-odes n i e t enkel de hogere frequenties Ban het systeen g a a ~ afwijken, Baar dat reeds bij i!

gaan vertonen.

= 7 ook de laagste frequenties aanzienlijke fouten

o

Tabel 2 , Resultaten van standaard reduktie b i j toenemend aantal wegge-

-23-

Tabel 4. Direkte-, constraint-, standaard- en gemodificeerde oplossingen

(zonder reduktie) voor de aan beide zijden opgelegde balk.

De constraint-frequenties liggen nu getalmatig wat verder af van de konstruktie-frequenties.

Bij weglaten van steeds meer interne modes

( 1

= 7 , 6,

.

. .

, 1, 0) krijgen wij de in tabel 5 voor de standaard methode en de in tabel 6 voor de gemodi- ficeerde methode gegeven resultaten voor de eigenhoekfrequenties van het gereduceerde systeem. Ook nu is door een dik getrokken lijn het gebied

aangegeven waarvoor de fout grofweg minder dan 1% bedraagt. Dezelfde algeme-

ne tendenzen kunnen worden onderkend.

o

Tabel 5. Resultaten van standaard reduktie bij toenemend aantal weggela-

1

I

w

0.019266 0,0192~6

1 I I J I

Tabel 6. Resultaten van gemodificeerde reduktie bij toenemend aantal

weggelaten interne modes.

Uit de resultaten blijkt dat de gekombineerde aanpak (althans voor dit een- voudige probleem) aanmerkelijk betere resultaten aflevert dan de standaard methode. In de praktijk waar wij met komplexe problemen te maken hebben

(veel graden van vrijheid) zal echter ook de benodigde rekeninspanning in de

beschouwing moeten worden betrokken. Wij zullen dan de gekombineerde aanpak met relatief weinig interne modes moeten vergelijken met de standaard aanpak met veel interne modes en daarbij nagaan hoeveel rekeninspanning nodig is voor het bereiken van een bepaalde betrouwbaarheid. Daarbi,j moet men globaal tegen elkaar afwegen dat enerzijds een Choleski decompositie moet worden

begmld van de matrix K

“k’ !!ik

Een aspect dat daarbij ook nog een rol speelt is dat men voor het bepalen van de eigenwaarden van het constraint systeem in een aantal gevallen toch

al de inverse nodig heeft voor de statische ontkoppeling van het systeem

zodat het uitvoeren van de Cuyan-reduktie dan nagenoeg geen extra inspanning meer vergt.

ear anderzijds dat meer eigenwaarden en -kolommen

-22

-

zodat:

De %"ergeiijkingen Y C V P net ' i c O n s t r 8 i n Z systen;" luiden nu:

65.23

DS ?4: = L { i n 'net algeneen koïnplexe) eigenvaarden dk en korrespsnderende e i g e n k o i o ~ m e n u -k vatten wij samen in d e matrix

ikL

res-ectievelijk

oli:

Voor de frequentieresponsfunctiematrix Ilkk('d) kan nu geschreven worden: (zie o.a. El])

*

waarbij de matrix

C,,

een (L

*

L ) diagonaalmatrix is waarvoor geldt:

( 5 . 7 )

Deze normeringskonstante ck mogen wij vrij kiezen. Vaak wordt gekozen voor c _k = 1; k = 1, 2, 3 ,

...,

L

Intermezzo Voor het speciale geval =

2

komen de eigenwaarden

Ak

en -ko-

lommen voor in

k

paren van toegevoegd komplexe grootheden.

De eigenwaarden zijn zuiver imaginair en de eigenkolommen zul- ver reëel.

Wij kunnen nu schrijven:

L

0

-

cl,

]

(1

*

1

diagonaalmatrix) Er volgt nu:

(5.11)

Het

A,

= juk vinden wij dus de in hoofdstuk 2 gehanteerde rela- tie ( 2 . 3 )

-27-

ofwel:

waarbij :

(5.12)

(5.13)

Toepassing van deze koördinatentransformatie leidt nu tot het stelsel:

waarbij

*

*T

*

! ?J = -

g T

*

"T

*

5

= T

K T

Er volgt nu:

1

(5.14) (5.15) (5.16) (5.17) (5.17) (5.18)

giezbi j maken w i j gebruik van d e (standaard) -uitdrukkingen:

Eeri belangrijk aspect van de h i e r gevolgde aângak is h e t feit dat 6e in

fc U nu geen diagonaalmtrices aeri z i j x en. bsvendien I;uqAexe g e t a l - T

210, -jf -$L

Pen bevatten. Alhoewel de h i e r gepresenteerde m t h o d e aangeeft op welke wijze het reduktieprincipe uitgebouwd kan vorder, t o t sen. methode die ook geschikt is voor algeaeea gedeapte syste%en, kân een op een toestandszormu- lerinq gebaseerde methodiek een aantal voordelen bieden. D i t zal in het hlernavolgende nagegaan worden.

-29-

Wij gaan uit van de beschrijving van een viskeus gedempt systeem in de zoge- heten TOESTANDSVORM:

waarbij :

( 5 . 2 3 )

In feite zijn wij dus van n StukSr 2 e orde differentiaalvergelijkingen over- gegaan op 2n stuka, l e orde differentiaalvergelijkingen.

Ook nu weer splitsen wij de n oorspronkelijke gegeneraliseercle koördinaten in m vrijheidsgraden !&t) en

R

vrijheidsgraden . q 6 ( t ) . ,.

We definiëren: (M: = 2 m r L: = 2 8

Wij kunnen nu schrijven:

( 5 . 2 4 )

(5.25)

( 5 . 2 6 )

ElLr

gmt, etc. zie pag. 5.1.

Ye kunnen ook nu weer de vergelijkingen voor het "constraint system" op- schrijven, dat wil zeggen het systeem met

gm

= dus

yH

= O. Wij krijgen dan :

-

L,

L! +

%I.,

:I,,

-

L!

~~~~

Het bij het homogene deel behorende i-igenwaardeprobleem luidt :

( 5 . 2 8 )

Dit leidt tot (in het algemeen komplexe) eigenwaarden en korresponderende

eigenkolommen

B~

(k =

1,

2,

. .

.

,

21 = Ll.

De eigenkolommen en eigenwaarden worden saaengevat in Üe &*Ei matrices &L resp.

y,,:

= [v (.

v

...

I !,I

-LE

- 1

-2 (5.29)

-31-

x

*

waarbij C:

Boor de kolom y l t ) met 2n koIiIponenten:

resp.

ELL

diagonaalmatrices z i j n e

-LL

-

HierSij as:

y = - z

z =

-

[i1

(5.35)

Toepassing van koördinatentrancformatie (5.34) op (5.23) leidt dan tot:

waarbij : Hieruit volgt: (5.36) (5.37) (5.38) (5.39) (5.40)

- 3 3 -

(5.41)

Hierbij maken wij gebruik van:

T

-

Mormeren wij de matrix

YLL

zo dat

ILL

gLL

ELL

-

ELL

dan geldt

Wij krijgen dan tenslotte:

(5.42)

Voor de overgang op de niet-lineaire-spectrale-vorm gaan wij uit van harmo- nische excitatie en bepalen wij

EL

uit de tweede set vergelijkingen:

(5.46)

(5.47)

Substitutie van (5.46) in (5.45) leidt tot:

waarbij :

(5.28)

(5.49)

g

Duiden wij de ke-kolom van de (H*L) matrix

EHLYLL

aan met e

(le = 1, 2,

...,

L) dan dan (5.48) geschreven worden als:

-Bik

Intermezzo

-35-

volgt voor de uitgeschreven vergelijkingen (5.45):

Uit (5.32) volgt:

Pt

=

-lm

?m + !tL ALL 5L

Hieruit volgt na differentiatie van (5.55~~):

(5.541

i -

(5.56) ~ L L -L

-

YiL 4,L SL

De kolommen van IJiL spannen de complexe ruimte (El op waaruit volgt:

I

SL = ALL iL

1

(5.57)

Haken wij hiervan gebruik dan leidt (5.53) tot een identiteit en vormen

(5.52) en (5.54) een stelsel vergelijkingen dat volledig identiek is met het eerder afgeleide kwadratische stelsel (5.14) e

P

Uit vergelijking (5.50) volgt weer het recept voor ket reduceren van ket

aantal vrijheidsgraden, met name het aantal modale amplitudes

EL.

In deze vergelijking hebben wij te maken met de reeksen:

..-. Q IO x1 Cu co m

.-..

sa Mk G rd a r-4 o k G u) a, u, a d a, w rd

"--

I--- c.7 QI +i t"rl

---I--

II r: " rl k (1) "4 m

l i e b a t i e ( 5 - 6 3 ) vertoont grote Q P ~ E X X I ~ O D S ~ met de in hoofdstuk 2. afgsleide r e l a t i e (7,12) .,

6 ,

In het :morgaande is het w o r d e e l var?, het :nee-.em,en, van een "statisch" aân-

,-.-

&el v m r het elzzzneren win i n t z r n e v r i j h e l d s g r a d s n aangegeva en g ~ i l i u -

sbreerd aan de hand r a n een eenvoudig numeriek voorbeeld. Verdere nuaerieke studies z~1l9ea uitgevoerd gaan worden, voor het v ~ r k r i j c j e n van aser inzicht in de gevolgen an de beide invalshoeken, Hierbij za% net nam2 de IitenodSpik

rekentijd 13oor het verkrijgen van gersduceerde systemen zet een Bepaalde nauwkeurigheid sen rol ~ ~ e t e ~ ? spelen. Ve moeten dan wel k i j k e n n a a r echte

komglexe systemen (vele honderden vrijhsidsgradenj OBI een praktisch naarde- vol. inzicht hierin te verkrijgen.

4aarnaast zullen de n w e r i e k e studies zich ook gaaa richten op algemeen viskeus gede~pte systemen wcrarvoo~ vervracht wordt d a t soortgelijke tendensen onlaerkend zullen tcrordea imaï w a a r b i j r-net name de beoordeling van de n a m - keurigheid vari een gereduceerd máel. nog nadere st3.die zal vergen.