Hoofdstuk 4:
Goniometrische formules
V-1a. De grafiek van f heeft symmetrieassen: 1 2
x k .
b. En bij g zijn dat x k . c. sin( a) sin( )a
d. cos( a) cos( )a
e. sin( a) sin( )a
f. Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de x-as: cos( t) cos( )t
V-2
a. f t( ) sin(7 t) sin( t) sin( )t
b. g t( ) cos( 2 t) cos( ) cos( ) t t
c. h t( ) sin( 3 t) sin( t) sin( )t
d. k t( ) sin( t 23 ) sin( t ) sin( ) t
V-3
a. 1 1 1 5
3 3 2 6
cos( x) sin( x ) sin( x )
b. 1 1 1 3 3
4 4 2 4 4
sin(x2 ) cos( x2 ) cos( x2 ) cos( x )
c. 1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 6 6
sin( 2 ) sin(x 2 ) cos(x 2x ) cos( 2x ) cos(2x )
V-4 a. 1 2 cos(2 )x b. 1 1 4 2 sin(x ) 1 1 3 3 1 1 6 6 2x k 2 2x k 2 x k x k 1 1 1 1 4 6 4 6 5 1 12 12 2 1 2 2 1 2 x k x k x k x k c. 1 2 tan( x) 3 d. 1 1 6 2 sin(3x ) 1 1 2 3 2 3 2 x k x k 1 1 1 1 6 6 6 6 1 3 3 2 3 1 2 3 2 3 1 2 x k x k x k x k 2 4 2 3 9 3 x k x k V-5 a. cos( x) cos(2 ) x b. 3 4 sin(2 ) sin(x x) 1 2 3 3 2 ... 2 ... 3 2 2 2 x x x x x k x k x k x k 3 3 4 4 3 1 4 4 1 2 1 4 3 4 2 ... 2 ( ) ... 3 2 2 2 x x x x x k x k x k x k c. 1 2 cos(4 ) cos(1x 3 )x d. 1 3 tan(4 ) tan(2x x ) 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 2 2 14 7 4 1 3 ... 4 1 3 ... 1 2 7 1 2 1 2 x x x x x k x k x k x k 1 3 1 3 1 1 6 2 4 2 2 x x k x k x k V-6 a. 4cos ( ) 2cos( ) 22 x x 2 1 4 2 2 (4 2)( 1) 0 1 p p p p p p x y 1 -1 1 -1 t -t
t
t
1 2 2 2 3 3 cos( ) cos( ) 1 2 2 2 x x x k x k x k b. 1 2 1
2cos ( )x 2cos( ) 1x c. 2sin ( ) 2cos ( ) 02 x 2 x 2 1 1 2 2 2 1 0 2 0 ( 2)( 1) 0 cos( ) 2 cos( ) 1 2 p p p p p p x x x k 2 2 2 1 1 2 2 1 1 4 4 1 1 4 2 2sin ( ) 2(1 sin ( )) 0 4 sin ( ) 2 sin( ) 2 sin( ) 2 1 2 , ..., 2 x x x x x x k x k x k d. 1 1 1 1 2 1 4 2cos(2x) 4sin (2x) e. 2 6 sin( ) 3x 3sin ( )x 2 1 1 1 1 1 4 2 2 4 2 2 1 1 1 4 2 4 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 cos( ) (1 cos ( )) ( 2) 0 cos( ) 0 cos( ) 2 2 1 2 4 3 4 x x p p p p x x x k x k x k x k 2 2 1 2 3 6 3 0 3( 1) 0 sin( ) 1 1 2 p p p x x k 1
a. BQA90o (hoekensom van een driehoek)
180 (90 ) 90
PQC
o o o (gestrekte hoek)
b. CPQ180o90o 90o (hoekensom van een driehoek)
180 90 90
APQ
o o o (hoekensom van een driehoek)
180 (90 ) (90 )
APD
o o o (gestrekte hoek)
c.
d. sin( )AQsin( ) PQcos( )
e. sin( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( )
f. cos( )AQcos( ) PQsin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( )
2
a. 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 4 6 4 6 4 6 2 2 2 2
sin( ) sin( ) sin( )cos( ) cos( )sin( ) 2 3 2
1 1 4 6 4 2
b. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2
cos( ) cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) 2 3 2
1 1 4 6 4 2 APQ V VABQ VPCQ VAPD cos( ) AQ cos( ) AB AQ cos( ) CQ PQ cos( ) DP sin( ) PQ sin( ) BQ AQ sin( ) CP PQ sin( ) AD
3
a. sin(2 ) sin(t t t ) sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) 2sin( ) cos( )t t t t t t
b. cos(2 ) cos(t t t ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos ( ) sin ( )t t t t 2 t 2 t 4 cos(2 ) cos ( ) sin ( ) (1 sin ( )) sin ( ) 1 2sin ( )t 2 t 2 t 2 t 2 t 2 t
2 2 2 2 2
cos(2 ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (1 cos ( )) 2cos ( ) 1t t t t t t
5
a. sin(2 ) 2cos( )t t b. sin(2 ) 2sin( )t t
1 1
2 2
2sin( ) cos( ) 2cos( ) 0 2cos( ) (sin( ) 1) 0 cos( ) 0 sin( ) 1 1 t t t t t t t t t
2sin( ) cos( ) 2sin( ) 0 2sin( ) (cos( ) 1) 0 sin( ) 0 cos( ) 1 0 t t t t t t t t t 6 a. 1 2
2sin( ) cos( )t t b. sin ( ) cos ( ) 12 t 2 t
1 2 5 1 6 6 7 11 12 12 7 11 7 11 12 12 12 12 sin(2 ) 2 1 2 2 1 2 , , 1 , 1 t t k t k t k x k t x t x 1 2 1 1 2 2 cos(2 ) 1 2 2 1 t t k t k t t 7
a. cos(2 ) 1 2sin ( )x 2 x cos(2 ) 2cos ( ) 1x 2 x
2 2 1 1 2 2 2sin ( ) 1 cos(2 ) sin ( ) cos(2 ) x x x x 2 2 1 1 2 2 2cos ( ) cos(2 ) 1 cos ( ) cos(2 ) x x x x b. 2 1 1 1 1 1 2 2 2 4 0 2 0 0
sin ( )x dx ( cos(2 ))x dx x sin(2 )x
c. 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 4 2 0 4 0 0cos ( )x dx ( cos(2 )x )dx sin(2 )x x
8 a. 1 2 1 4 8 cos( ) 1 2sin ( ) b. 1 2 1 4 8 cos( ) 2cos ( ) 1 2 1 1 8 2 2 1 1 1 8 2 4 1 1 1 1 1 1 8 2 4 8 2 4 2sin ( ) 1 2 sin ( ) 2 sin( ) 2 sin( ) 2 2 1 1 8 2 2 1 1 1 8 4 2 1 1 1 8 4 2 2cos ( ) 2 1 cos ( ) 2 cos( ) 2 De eerste oplossing vervalt omdat 1 1
8 2
0
9
a. Ze zijn gelijk.
b. f x( ) (1 sin( ))(1 sin( )) 1 sin ( ) x x 2 x
10
a. Ja!
b. sin(3 ) sin(2x x x ) sin(2 )cos( ) cos(2 )sin( ) x x x x
c. 2sin( )cos( ) cos( ) (1 2sin ( ))sin( )x x x 2 x x
2 3
2 3
3 3 3
2sin( )cos ( ) sin( ) 2sin ( ) 2sin( )(1 sin ( )) sin( ) 2sin ( )
2sin( ) 2sin ( ) sin( ) 2sin ( ) 3sin( ) 4sin ( )
x x x x x x x x x x x x x x d. sin( 3 ) x sin(3 )x
e. cos(3 ) cos(2x x x ) cos(2 )cos( ) sin(2 )sin( ) x x x x
2
3 2
3 3 3
(2cos ( ) 1)cos( ) 2sin(x)cos(x)sin(x) 2cos ( ) cos(x) 2(1 cos ( ))cos( )
2cos ( ) cos(x) 2cos( ) 2cos ( ) 4cos ( ) 3cos(x)
x x x x x x x x x 11
a. Nee, dat is niet zo.
b. sin(4 ) sin(2t t2 ) sin(2 )cos(2 ) cos(2 )sin(2 ) 2sin(2 )cos(2 )t t t t t t t 2 2sin( )cos( )cos(2 ) 4sin( )cos( )cos(2 )t t t t t t
c. sin(8 ) sin(4t t4 ) sin(4 )cos(4 ) cos(4 )sin(4 ) 2sin(4 )cos(4 )t t t t t t t 2 2sin(2 )cos(2 )cos(4 ) 8sin( )cos( )cos(2 )cos(4 t)t t t t t t
12
a. Ze lijken samen te vallen.
b. cos ( ) sin ( ) (cos ( ) sin ( ))(cos ( ) sin ( )) cos ( ) sin ( )4 x 4 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 13
a. (cos( ) sin( ))t t 2 cos ( ) 2sin( )cos( ) sin ( ) 1 2sin( )cos( ) 1 sin(2 )2 t t t 2 t t t t b. sin (2 ) (2sin( )cos( ))4 x x x 4 16 sin ( )cos ( ) 16(1 cos ( )) cos ( )4 x 4 x 2 x 2 4 x
16(1 2cos ( ) cos ( ))cos ( ) 16cos ( ) 32cos ( ) 16cos ( ) 2 x 4 x 4 x 4 x 2 x 8 x 14 a. 1 cos( ) cos ( ) 0 x 2 x 2 1 0 1 4 1 1 0 p p D
dus de vergelijking heeft geen oplossing. b. p x( ) (1 cos( ) cos ( ))(1 cos( )) x 2 x x
1 cos( ) cos ( ) cos( ) cos ( ) cos ( ) 1 cos ( )x 2 x x 2 x 3 x 3 x c. 1 cos( ) 1x , dus 1 cos ( ) 13 x en 0 1 cos ( ) 2 3 x
15 a.
1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1(cos ( ) sin ( ))x x dx cos(2 )x dx sin(2 )x 0
b.
1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 4 44 sin( )cos( )x x dx 2sin(2 )x dx cos(2 )x 1
16 f( x) 2sin (2 x) cos( x) 2( sin( ))x 2cos( ) 2sin ( ) cos( )x 2 x x f x( )
17 1 2 1 2 1 2 2
2(t 1) 2((sin( ) cos( ))x x 1) 2(sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( ) 1)x x x x 1
2 2sin( )cos( ) sin( )cos( )x x x x
18 a. 3 3 4 4 ( ) sin( ) cos( ) g x x x b. 3 3 3 3 4 4 4 4
( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( )
g x x x x x 3 1 3 1 1 1 4 2 4 2 4 4 3 3 1 1 4 4 4 4
cos( ) sin( ) sin( ) cos( 1 )
sin( ) cos( 1 2 ) sin( ) cos( ) ( )
x x x x x x x x g x
c. De grafiek van g is puntsymmetrisch in de oorsprong. Dan is de grafiek van f puntsymmetrisch in het punt 3
4 ( , 0). 19 1 1 1 4 2 6 cos( x) cos( x ) 1 1 1 1 1 1 4 2 6 4 2 6 3 1 1 1 4 6 4 6 2 2 2 3 9 3 8 4 2 2 9 9 3 9 2 2 2 2 8 2 2 2 x x k x x k x k x k x k x k x x x x 20 1 6 sin(2 ) sin(3x x ) 1 1 6 6 1 1 6 6 1 7 2 6 30 5 19 13 25 1 7 1 6 30 30 30 30 30 2 3 2 2 (3 ) 2 2 5 1 2 2 1 1 1 x x k x x k x k x k x k x k x x x x x x 21
a. 3 sin( ) cos( )x x b. sin(3 )x cos(3 )x c. 1 1
3 3 2sin(x ) 2cos(x ) 1 3 1 6 tan( )x x k 14 1 1 12 3 tan(3 ) 1 3 x x k x k 1 3 1 1 3 4 1 12 tan(x ) 1 x k x k 22
a. omdat 2x niet gelijk is aan 3x
b. 1 2 sin(2 ) sin(3x x ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 10 5 2 3 2 2 (3 ) 2 2 5 2 2 x x k x x k x k x k x k x k 23 a. 1 4 sin( x) cos(2 ) x 1 1 4 2 1 1 1 1 4 2 4 2 1 1 4 4 1 2 1 12 3 4 sin( ) sin(2 ) 2 2 (2 ) 2 3 2 2 2 x x x x k x x k x k x k x k x k
b. 1 2 cos(x) sin( 2 )x 1 1 2 2 1 2 3 3 cos( ) cos( 2 ) 2 2 2 2 3 2 2 2 x x x x k x x k x k x k x k x k c. 1 1 3 2 cos(x ) sin( x) 1 1 1 3 2 2 1 1 1 1 1 1 3 2 2 3 2 2 5 1 1 1 2 6 2 6 5 1 1 3 9 3 cos( ) cos( ) 2 2 2 1 2 4 1 x x x x k x x k x k x k x k x k d. 1 1 3 2 sin(2x ) cos( x ) 1 1 1 3 2 2 1 1 3 3 1 1 3 3 1 2 1 9 3 3
sin(2 ) sin( ) sin( )
2 2 2 2 3 2 1 2 1 2 x x x x x k x x k x k x k x k x k 24 a. 2sin(2 )cos( ) 0x x b. 1 1 1 4 2 2
cos(x ) sin( x) sin( x)
1 2 1 1 2 2 sin(2 ) 0 cos( ) 0 2 x x x k x k x k x k 1 1 1 4 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 2 4 2 2 3 1 1 1 2 4 2 4 1 1 1 2 3 2 cos( ) cos( ) ... ... 1 2 2 1 4 x x x x x x x k x k x k x k
c. 4 sin ( ) 5cos ( ) 4 4sin ( ) 5(1 sin ( )) 4 4 sin ( ) 5 sin ( ) 1 04 x 2 x 4 x 2 x 4 x 2 x
2 2 2 1 2 4 1 1 2 2 5 1 1 6 6 2 (4sin ( ) 1)(sin ( ) 1) 0 sin ( ) sin ( ) 1
sin( ) sin( ) sin( ) 1 sin( ) 1
x x x x x x x x x k x k x k 25 a. 1 3 2sin(2x ) 1 c. 1 3 2sin(2x ) 2 1 1 3 2 5 1 1 1 3 6 3 6 1 1 2 6 1 7 4 12 1 7 1 7 4 12 4 12 sin(2 ) 2 ... 2 ... 2 2 2 1 2 , , 1 , 1 x x x x k x k x k x k x x x x 1 1 3 2 3 1 1 1 3 4 3 4 5 1 12 12 5 1 24 24 19 19 1 1 24 24 24 24 sin(2 ) 2 2 ... 2 ... 2 2 2 2 , , 1 , 1 x x x x k x k x k x k x x x x b. Voor 1 7
4 x 12 en voor Voor 0 x 241,2419 x 1241 en voor
1 7 4 12 1 x 1 is f x( ) 1 19 24 1 x 2 is f x( ) 2 26 a. 1 5 2cos(3(x )) 2 1 1 1 5 2 1 2 1 2 5 3 5 3 19 1 15 15 19 1 2 2 45 3 45 3 cos(3( )) 3( ) ... 3( ) ... 3 2 3 2 x x x x k x k x k x k
31 16 26 1 11 41 45 45 45 45 45 45 31 16 1 11 41 45 45 45 45 45 26 45 : , , , , 1 , 1 0, , , 1 1 , 2 n opl x b. 1 1 1 2 4 2 cos( x ) 2 1 1 1 1 1 1 2 4 4 2 4 4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 x k x k x k x k x k x k
: 0 0, 2 n opl x x 27a. 2cos ( ) sin( ) 02 x x b. 2cos ( ) sin( ) 12 x x
2 2 2 2(1 sin ( )) sin( ) 0 2sin ( ) sin( ) 2 0 2 2 0 : 1,28 0,78 sin( ) 0,78 0,896 2 2,246 2 0,896, 2,246, 7,179, 8,529 ABC formule x x x x p p p p x x k x k x x x x
2 1 2 5 1 6 6 1 2 5 5 1 1 6 6 6 6 2sin ( ) sin( ) 1 0 (2sin( ) 1)(sin( ) 1) 0 sin( ) sin( ) 1 2 2 1 2 0, , 2 2 , 3 x x x x x x x k x k x k x c. f x'( ) 4cos( ) x sin( ) cos( )x x cos( ) (4 sin( ) 1) 0x x 1 4 1 2 1 1 2 8 cos( ) 0 sin( ) 0,25 2 3,39 2 ( , 1) (3,39; 2 ) x x x k x k x k A B 28 a.
b. f x'( ) 2sin( )cos( ) 2cos( ) x x x sin( )x
4 sin( )cos( )x x 3 1 1 4 2 2 3 1 4 2 1 2 '( ) 4 2 2 2 2 0 2 1 2 1 f y x b b y x
c. cos(2 ) cos ( ) sin ( )x 2 x 2 x 1 2 1 1 4 2 ( ) cos(2 ) 0 2 f x x x k x k
1 1 4 2 1 3 4 4 3 1 4 4 3 1 4 4 0 1 1 1 1 1 2 0 2 2 2 2( cos(2 ) ( cos(2 ) ( cos(2 )
sin(2 ) sin(2 ) sin(2 ) 1 2
Opp x dx x dx x dx x x x
29 a. 1 cos( ) 1t en 1 sin( ) 1at b. sin(2 )t 1 3 3 4 4 1 2 3 4 1 1 2 1 2 2 1 2 ( 2, 1) ( 2, 1) t k t k P P c. x t'( ) sin( ) 0t y t'( ) 3cos(3 ) 0 t t k 1 2 3t k ofwel 1 1 6 3 t k evenwijdig aan de x-as: 1 1 5 1 1
6 2 6 6 2
1 1 1
2 2 1 2 1
( 3, 1), (0, 1), ( 3, 1), ( 3, 1), (0, 1)
P P P P P
30
a. met de x-as: met de y-as:
1 1 5 6 2 6 1 1 2 2 1 2 1 2 6 3 2 3 1 1 2 2 2cos(3 ) 0 3 2 3 1 2 (1 3, 0) (0, 0) ( 1 3, 0) t t k t k t k t k P P P 1 2 1 2 0 3 sin(2 ) 0 2 (0, 2) (0, 0) (0, 2) t t k t k P P P b. '( ) 6 sin(3 ) 1 '( ) 6cos(2 ) y t t h x t t 3 7 1 1 9 10 10 2 10 10 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 10 5 2 1 1 1 6sin(3 ) 6cos(2 ) sin( 3 ) sin(2 ) 3 2 2 3 (2 ) 2 5 2 2 2 (2.85, 1.90) ( 2.85, 1.90) (1.76, 1.18) (0, 0) ( 1.76, 1.1 t t t t t t k t t k t k t k t k t k P P P P P 8) 31 a. 1 4 2 8 x per en 1 3 2 6 y per
. De periode van de beweging is dan 24.
b. 1 1 4 4 '( ) sin( ) 0 x t t en 1 1 3 3 '( ) cos( ) 0 y t t 1 4 1 4 1 1 1 1 0 4 2 8 2 12 16 2 20 2 sin( ) 0 4 (1, 0) ( 1, 3) (1, 3) ( 1, 0) (1, 3) ( 1, 3) t t k t k P P P P P P c. 1 1 1 1 4 4 4 4
(12 ) cos( (12 )) cos(3 ) cos( ) cos( ) ( )
x t t t t t x t
1 1 1 1
3 3 3 3
(12 ) sin( (12 )) sin(4 ) sin( ) sin( ) ( )
y t t t t t y t
12 t
P is het spiegelpunt van Pt bij spiegeling in de oorsprong.
32
a. y 2x3
b. voor 0 x 2, want 0 cos ( ) 1 2 x 33 a. x t( ) 5cos( ) 0t 1 1 2 12 4cos(2 ) 5 sin( ) t t dy t dx t 21 45 4 5 ( ) dy dx y x en 1 4 2 5 4 5 (1 ) dy dx y x b. v t( ) 25 sin ( ) 16cos (2 )2 t 2 t 1 2 ( ) 41 v en 1 2 (1 ) 41 v 34 a. b. x t( ) 3sin( ) 0 t 1 2 3 3 3 cos( ) 3 cos( ) t k t k t dy dx t
1 9 (0) 1 tan( ) 48 dy dx 2 3 1 3 (1) tan( ) 29 dy dx 2 3 1 3 (2) tan( ) 29 dy dx
hoek met de y-as: 42° hoek met de y-as: 61° hoek met de y-as: 61° c. 3 cos( ) 0 t 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 4 5 2 2 1 2 2 1 2 (3, 2 3) ( 3, 0) (3, 2 3) ( 3, 2 3) (3, 0) ( 3, 2 3) t k t k t k t k P P P P P P d. 2 1 2 3 3 ( ) ( '( )) | 3 cos( ) | v t y t t 1 2 1 1 1 2 3 2 2 2 ( ) 1 (2 ) (3 ) (5 ) v v v v en 1 1 1 2 3 2 (1 ) 3 (4 ) v v 35 a. sin(2 ) cos( )t t 1 5 1 6 6 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 6 3 1 1 1 1 2 2 2 2 1 sin(2 ) sin( ) 2 2 2 ( ) 2 2 3 2 ( 3, 3) ( 3, 3) (0, 0) t t t t k t t k t k t k t k P P P
b. x t( ) cos( ) cos( ) t t x t( ) y t( ) sin( 2 ) t sin(2 )t
Dus het punt P-t is het beeldpunt van Pt bij spiegeling in de x-as.
c. x( t) cos( t) cos( )t y( t) sin(2 2 ) sin( 2 )t t sin(2 )t
Dus het punt P t is het beeldpunt van Pt bij spiegeling in de oorsprong.
36
a. uit x2sin( )t volgt dat 1
2 sin( )t x 2 1 2 1 2 2 4 sin ( ) ( ) y t x x b. 2 x t( ) 2 37
a. 3 sin ( )2 x 3 sin( )cos( ) 0x x b. 1
3 cos(x ) sin(2 ) 0 x 1 3 1 6
3 sin( ) ( 3 sin( ) cos( )) 0 sin( ) 0 3 sin( ) cos( )
tan( ) x x x x x x x k x x k 1 3 5 6 5 5 6 6 5 5 6 6 sin(2 ) cos( ) sin(2 ) sin( ) 2 ... 2 ( ) ... 3 2 1 2 x x x x x x x x x k x k 5 2 5 18 3 16 2 x k x k c. 1 3 cos(2x ) cos( )x 1 3 1 1 3 3 2 1 3 3 4 2 9 3 cos(2 ) cos( ) 2 2 2 2 2 3 1 2 x x x x k x x k x k x k x k d. 2cos (2 ) ( 3 2)cos(2 )2 x x 3 0 1 2 (2cos(2 ) 3)(cos(2 ) 1) 0 cos(2 ) 3 cos(2 ) 1 x x x x
5 5 6 6 5 5 1 12 12 2 2x k 2 2x k 2 2x k 2 x k x k x k 38 a. 1 1 1 4 4 4
( ) 2sin( ) 2(sin( )cos( ) cos( )sin( ))
x t t t t
1 1
2 2
2( 2 sin( )t 2 cos( ))t 2(sin( ) cos( ))t t
b. y2 (sin( ) cos( ))t t 2 sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( ) 1 2sin( )cos( ) 1 sin(2 )2 t t t 2 t t t t c. x22y2 2(sin( ) cos( ))t t 22(sin( ) cos( ))t t 2 2(sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( ))2 t t t 2 t
2(sin ( ) 2sin( )cos( ) cos ( )) 2(1 sin(2 )) 2(1 sin(2 )) 42 t t t 2 t t t 39
a.
b. 1 cos( ) 1t en dus 0 cos ( ) 1 2 t 2
( ) 1 cos ( )
x t t is maximaal 2 en minimaal 1 De eindpunten zijn als cos( ) 1t of als cos( )t 1
(2, 2) en (2, -2) c. cos ( )2 t x 1 cos( ) 1 cos( ) 1 2 2 1 1 t x t x y y x x d. x t( ) a a2 6 2 6 ( 3)( 2) 0 3 2 a a a a a a 40 a. 1 3 sin(2t ) 0 1 5 1 5 3 6 3 6 1 1 3 3 1 2 3 3 1 1 6 3 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 ( 3, 0), ( , 0), ( 3, 0), ( , 0) t k t k t k t k t k t k P P P P
b. P passeert de y-as op de tijdstippen t 0 en t
2 2 1 3 ( ) cos ( ) 4cos (2 ) v t t t en v(0)v( ) 2 41 a. y x 1 1 4 4 3 3 1 4 1 1 1 1 4 4 1 4 4 sin ( ) cos ( ) sin(x) cos(x) tan( ) 1 ( 2, 2) ( 2, 2) x x x x k P en P
b. x t'( ) 3cos ( ) 2 t sin( )t 3 sin( )cos ( )t 2 t en y t'( ) 3 sin ( )cos( ) 2 t t
2 2 2 2 4 2 4 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 3cos ( )sin( )) (3sin ( )cos( )) 9cos ( )sin ( ) 9sin ( )cos ( ) 9cos ( )sin ( ) cos ( ) 9sin ( )cos ( ) sin ( )
9sin ( )cos ( ) (cos ( ) sin ( )) 9sin ( )cos ( ) 3 | sin( )cos( ) |
t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t c. 1 1 2 2 1 2 3 3 3 1 1 2 4 0 4 4 2 0 0
(3sin( )cos( ))t t dt 1 sin(2 )t dt cos(2 )t 1
42
a. grote wijzer: (2.85, -0.93) en kleine wijzer: (1.26, 1.55) De periode van de grote wijzer is 1 uur. Op tijdstip
1,3
t is de wijzer helemaal rond gegaan en nog 18 minuten.
De periode van de kleine wijzer is 12 uur. Op tijdstip
1,3
t . De kleine wijzer is gedraaid over een hoek van 360
12 1,3 39 o
.
b. De amplitude van de wijzers maken we even groot. De wijzers moeten dan dezelfde
x- en y-coördinaat hebben. 1 6 1 1 6 6 5 1 6 6 6 1 12 11 13 13 sin(2 ) sin( ) 2 ... 2 ... 1 2 2 2 1 t t t t t t t k t k t k t k 1 6 1 1 6 6 5 1 6 6 1 12 11 13 cos(2 ) cos( ) 2 ... 2 2 ... 1 2 2 2 2 1 t t t t t t t k t k t k t k Dus voor 1 11 1
t k vallen de wijzers samen: 1 11
1
t
c. Deze afstand bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras:
2 2
1 1
6 6
(3 sin(2 ) 2sin( )) (3cos(2 ) 2cos( ))
GK t t t t 2 2 2 1 1 1 6 6 6 2 2 2 1 1 1 6 6 6
(3sin(2 ) 2sin( )) 9 sin (2 ) 12sin(2 )sin( ) 4sin ( ) (3cos(2 ) 2cos( )) 9cos (2 ) 12cos(2 )cos( ) 4cos ( )
t t t t t t t t t t t t
Geloof je nog dat dit naar het goede antwoord leidt?
5
1 1
6 6 6
9 12(sin(2 )sin( t t) cos(2 )cos( t t)) 4 13 12cos(1 t) (verschilformule) En daar trek je nog de wortel uit!
d. 5 6 13 12cos(1 t) 2 Voer in: 5 1 13 12cos(16 ) y x en y2 2 intersect: x 0,125
Test jezelf
T-1
a. 1 3 1 1
4 4 4 4
( ) cos( ) sin( ) cos( )cos( ) sin( )sin( )
f x x x x x
3 3 1 1 1
4 4 2 2 2
1 2
sin( )cos( ) cos( )sin( ) 2 cos( ) 2 sin( ) 2 sin( ) 2 cos( ) 2 sin( ) x x x x x x x b. f x( ) sin(2 ) x 1 2 3 1 4 4
2 sin( ) 2sin( )cos( ) sin( ) (2cos( ) 2) 0 sin( ) 0 cos( ) 2 0, , 2 , 1 x x x x x x x x x x x x T-2
a. cos(4 ) cos(2 2 ) 1 2sin (2 )x x 2 x 2 2 1 1 2 2 2sin (2 ) 1 cos(4 ) sin (2 ) cos(4 ) x x x x b. 1 1 2 8 ( ) sin(4 ) F x x x c c. 2 1 1 1 1 1 2 2 2 8 0 2 0 0
sin (2 )x dx ( cos(4 ))x dx x sin(4 )x
T-3a. f x( ) (sin( ) sin(4 )) x x 2(cos( ) cos(4 ))x x 2 sin ( ) 2sin( )sin(4 ) sin (4 )2 x x x 2 x
2 2
cos ( ) 2cos( )cos(4 ) cos (4 ) 1 2(sin( )sin(4 ) cos( )cos(4 )) 1 2 2cos(4 ) 2 2cos(3 )
x x x x x x x x
x x x
b. f( x) (sin( x) sin( 4 )) x 2(cos( x) cos( 4 )) x 2
2 2
2 2
2 2
( sin( ) sin(4 )) (cos( ) cos(4 )) ( (sin( ) sin(4 ))) (cos( ) cos(4 )) (sin( ) sin(4 )) (cos( ) cos(4 )) ( )
x x x x x x x x x x x x f x T-4 a. 2 1 1 2 2 ( ) 2cos ( 1 ) sin( 1 ) g x x x b. 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2
( ) 2cos ( 1 ) sin( 1 ) 2cos ( ) sin( )
g x x x x x
2 1 1 2 2
2 2
2cos (x ) sin(x ) 2( sin( ))x cos( ) 2sin ( ) cos( )x x x
en 2 1 1 2 2
2 2
( ) 2cos ( ) sin( ) 2sin ( ) cos( ) 2sin ( ) cos( )
g x x x x x x x
c. De grafiek van g is symmetrisch in de y-as, dus de grafiek van f is symmetrisch in de lijn 1 2 1 x . T-5 a. 1 1 4 2
sin(2x ) cos( x ) sin( ) sin(x x)
1 1 4 4 1 1 4 4 1 2 1 12 3 4 2 2 2 2 3 2 1 2 1 2 x x k x x k x k x k x k x k 3 1 1 12 4 4 5 12 , , 1 1 x x x x
b. cos(2 ) 2sin ( ) 1 2sin ( ) 2sin ( ) 1 4 sin ( ) 0x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1 4 1 1 2 2 5 1 6 6 5 5 1 1 6 6 6 6 sin ( ) sin( ) sin( ) , 1 , 1 x x x x k x k x c. 1 1 2 2 6 sin(1 x) 2 3 cos(1 x) 1 1 2 3 1 1 2 6 1 3 tan(1 ) 3 1 1 x x k x k x 32 x132 T-6 a. 3 x t( ) 3 en 2 y t( ) 2 b. c. 5 6 2cos(3(t )) 0 1 2 3 3 5 1 5 1 6 2 6 2 5 1 2 5 1 2 6 6 3 6 2 3 2 2 1 2 3 3 3 3 1 1 0 2 2 3( ) 2 3( ) 1 2 (0, 0) ( 1 3, 0) (1 3, 0) t k t k t k t k t k t k P P P d. 5 6 6sin(3( )) 6cos(2 ) t dy dx t 6 6 (0) 1 dy dx geeft y x en 6 6 ( ) 1 dy dx geeft y x e. 5 2 6 3
2cos(3(t )) 3 sin(2 )t 2sin(2 ) 2sin( 2 )t t
1 3 2 4 5 5 5 5 5 1 6 2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 2 5 5 0 1 1 cos(3( )) cos( 2 ) 3 2 2 2 3 2 2 2 5 3 2 2 2 2 (0, 0) ( 2.85, 1.90) (1.76, 1.18) ( 1.76, 1.18) (2.85,1.90) t t t t k t t k t k t k t k t k P P P P P T-7 a. 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2
cos(2 ) 1 2sin ( ) 1 4 sin ( ) 1 (2sin( )) 1
y t t t t x
b. 4x2 4x4 4cos ( ) 4cos ( ) 4cos ( ) (1 cos ( )) 4cos ( ) sin ( )2 t 4 t 2 t 2 t 2 t 2 t (2sin( )cos( ))t t 2 (sin(2 ))t 2 y2
T-8
a. minimum: 1 en maximum: 2 evenwichtsstand: 1 2 1 a en amplitude: 1 2 b periode: c 2 2
Het ‘beginpunt’ ligt driekwart van een periode naar rechts 3 1 1 1 1 2( ) 12 2sin(2( 4 )) 12 2cos(2 ) f x x x 2 2 2 1 1 2 2 cos(2 ) 1 2sin ( ) 2sin ( ) 1 cos(2 ) sin ( ) cos(2 ) x x x x x x 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) 1 sin ( ) cos(2 ) 1 cos(2 ) cos(2 ) 1 cos(2 ) f x x x x x x b. 2 1 1 1 1
4( ) 1 sin ( ) cos(4 ) 1 2 2cos(2 ) cos(4 ) 12 2cos(2 ) cos(4 )
Extra oefening – Basis
B-1
a. f x( ) sin (2 ) cos (2 ) (2sin( )cos( )) (cos ( ) sin ( )) 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x 2
2 2 4 2 2 4
2 6 4 4 6 2
4sin ( )cos ( ) (cos ( ) 2sin ( )cos ( ) sin ( )) 4sin ( )cos ( ) 8sin ( )cos ( ) 4 sin ( )cos ( )
x x x x x x x x x x x x b. 2 2 2 1 2 1 2 2 4
( ) sin (2 ) cos (2 ) (sin(2 )cos(2 )) ( 2sin(2 )cos(2 )) sin (4 )
f x x x x x x x x
c. 2 1 1
2 2
sin ( )x cos(2 )x (zie T-8)
1 1 2 2 1 2 1 4 1 1 4 4 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 8 8 8 64 16 32 32 sin (4 ) cos(8 )
sin (4 ) ( cos(8 )) sin(8 )
x x x dx x dx x x
B-2 f x( ) sin( ) sin ( ) sin( ) (1 sin ( )) sin( ) cos ( ) x 3 x x 2 x x 2 x g x( ) B-3
a. 1
2
2sin( ) cos( )t t b. 2cos ( ) 2sin ( ) 12 t 2 t
1 2 5 1 6 6 5 1 12 12 sin(2 ) 2 2 2 2 t t k t k t k t k 2 2 1 2 1 1 3 3
2(cos ( ) sin ( )) 2cos(2 ) 1 cos(2 ) 2 2 2 2 t t t t t k t k 1 1 6 6 t k t k c. 1 2 sin(1 t) cos(3 )t
1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 4 2 3 3 1 1 1 1 4 2 4 4 2 4 sin(1 ) sin(3 ) 1 3 2 1 (3 ) 2 2 2 4 2 : 0, , 1 ,1 1 , 2 t t t t k t t k t k t k t k t k opl x B-4 2 2 2 2 1 2 24sin ( ) 4(1 cos ( )) 4 4cos ( ) 4 (2cos( )) 4 ( 4cos( ))
x t t t t t 1 2 1 2 4 4 4 (4cos( ))t 4 y B-5 a. y 3 cos( ) 1 cos( ) 2t t x 2
Extra oefening – Gemengd
G-1 y cos(4 ) 2cos (2 ) 1 2(2cos ( ) 1)t 2 t 2 t 2 1 2(4cos ( ) 4cos ( ) 1) 14 t 2 t 8cos ( ) 8cos ( ) 2 1 84 t 2 t x4 8x21 G-2 a. 4 sin ( ) cos ( ) 02 t 2 t 2 2 1 2 sin ( ) 0 cos ( ) 0 sin( ) 0 cos( ) 0 0 (2, 0) t t t t t k t k P b. 2 2 2 2 1 2 2 2
4sin ( ) cos ( ) (2sin( )cos( )) (sin(2 )) (2(2 sin(2 )) 4) (2 4)
y t t t t t t x c. 1 sin(2 ) 1t 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 sin(2 ) 1 2 t x G-3 a. 42 16 cirkel Opp 2 2t 16 16 segmenten Opp t 1
2 4cos( ) 4sin( ) 8sin( )cos( ) 4sin(2 ) 16 6 4sin(2 ) 16 24sin(2 ) driehoek grijs Opp t t t t t Opp t t t t b. Opp' 16 48cos(2 ) 0 t 1 3 2 1 3 2 2 3 1 3 2 3 cos(2 ) 1 2sin ( ) sin ( ) sin( ) 6 2 4 sin( ) 2 6 t t t t h t
Uitdagende opdrachten
U-1 a. b. 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 4( ) 4( ) 4( 2 ) 4( 2 ) 1 t t t t t t t t x y e e e e e e e e c. 1 1 1 1 2 2 2 2sinh( )cosh( ) cosh( )sinh( )x y x y (ex ex) ( ey ey) (ex ex) ( ey ey)
1 1 1 4( ) 4( ) 2( ) sinh( ) x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e e e x y
d. cosh(x y ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) x y x y
e. 1 2 '( ) ( x x) sinh( ) f x e e x en 1 2 '( ) ( x x) cosh( ) g x e e x f. 1 2 ( ) ( x x) sinh( ) F x e e x c en 1 2 ( ) ( x x) cosh( ) G x e e x
U-2
a. 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2
sin(t ) sin( )cos( t ) cos( )sin( t ) sin( )t 3 cos( )t
2 2 2 2 1 1 3 3 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4 sin ( ) 4 sin ( ) 4sin( )sin( )
4 sin ( ) 4( sin( ) 3 cos( )) 4sin( ) ( sin( ) 3 cos( ))
4 sin ( ) sin ( ) 2 3 sin( )cos( ) 3cos ( ) 2sin ( ) 2 3 sin( )cos( ) 3sin ( ) 3cos ( ) 3 x y xy t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t b. 4x24y24xy 3 2 2 (x y ) 3(x y ) 3
Dit is een ellips met assen evenwijdig aan de lijnen y x en y x
2 2 3 3 1 3 1 1 3 3 1 3 2 3 1 1 1 1 2 2 1 2 2 sin( ) sin( ) ... ( ) ... 2 1 2 ( 3, 3) ( 3, 3) t t t t t t t k t k P P 1 1 6 6 1 3 1 1 3 3 1 3 1 6 1 1 1 1 2 2 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
... ... 2 2 ( , ) ( , ) t t t t t t t t k t k P P 2 2 ( 3) ( 3) 6 lange as L en 12 12 2 korte as L c. 12 cirkel Opp 1 1 1 2 2 2 6 2 3 ellips Opp
