Hoofdstuk 4:
Rekenen met kansen
V-1.a. Van de 1000 auto’s gaan 0,35 0,40 1000 140 auto’s naar D en
0,65 0,80 1000 520 auto’s naar F. De rest, dat zijn dan 340 auto’s, gaat naar E.
Of ook wel: (0,35 0,60 0,65 0,20) 1000 340 b. P ACE( ) 0,65 0,20 0,13 V-2. a. 6 7 42 10 10 100 ( ) P RW b. c. P RR( )P RW( )P WR( )P(WW) 6 3 6 7 4 3 4 7 10 10 10 10 10 10 10 10 18 42 12 28 100 100 100 100 1
Het is zeker dat één van de uitkomsten voorkomt. V-3. a. 4 6 ( 2) (3, 4, 5 6) P meer dan P of b. 4 4 16 4 6 6 36 9 ( ) P MM en 2 2 4 1 6 6 36 9 ( ) P NN c. 4 2 8 2 6 6 36 9 ( ) P MN
d. Nee, je mist nog de route NM. De kans op deze route is ook 2 9. V-4. a. 5 800 ( ) P derde prijs
b. Op een lot kan meer dan één prijs vallen; het gaat dus om een trekking met terugleggen. c. P derde en eerste prijs( )
5 795 5 800 800 800 0,000039 d. 795 795 795 800 800 800 ( ) 0,9814 P niets V-5. a.
b. Het aantal routes van (0, 0) naar (p, q) kun je berekenen met p q p q p q
c. … om in het punt (5, 2) of (2, 5) te komen. Het gaat om 21 routes. d. De kans op één route is: 1 2 1 5
2 2 ( ) ( ) ( ) P kkmmmmm . Er zijn 7 21 2 routes, dus de kans op twee keer kop en vijf keer munt is 1 2 1 5
2 2 (2 , 5 ) 21 ( ) ( ) 0,1641 P k m . 5 800 795 800 795 800 795 800 5 800 5 800 795 800 5 800 5 800 5 800
1.
a. De kans dat je uit vaas A een rode knikker trekt is 20 400
25 500. Van de 500 keer dat je een knikker trekt, zal het 400 keer een rode zijn en 100 keer een witte.
De kans dat je uit vaas B een rode knikker trekt is 240 60
12
20 400 100. Van de 400 keer dat je uit vaas A een rode knikker hebt getrokken, trek je 240 keer ook een rode knikker uit vaas B (en 160 keer een witte). Van de 100 keer dat je een witte knikker uit vaas A getrokken hebt, trek je 60 keer een rode knikker uit vaas B en 40 keer een witte.
b. Van de 500 keer dat je twee trekkingen hebt gedaan zijn er in 160 60 220 keer een rode en een witte knikker getrokken. 220
500 ( , ) 0,44 P R W c. 160 60 500 500 ( ) ( ) 0,32 0,12 0,44 P RW P WR 2. a. 8 7 5 13 12 11 (2 , ) ( ) ( ) ( ) 3 0,4895 P R W P RRW P RWR P WRR . b. 8 7 6 5 4 3 13 12 11 13 12 11 (3 3 ) ( ) ( ) 0,2308 P R of W P RRR P WWW 3. a. 4 6 2 volgorden. b. 3 2 7 2 10 10 (2 , 2 ) 6 ( ) ( ) 0,2646 P R M 4.
a. Van de vijf enveloppen moeten er in twee 10 euro zitten.
Een mogelijke volgorde is LLLVV. De kans hierop is: 820 819 818 30 29
850849848847846 0,001 Er zijn in totaal 5 10
2
volgorden met 2 volle en 3 lege enveloppen.
(20 ) 10 0,001 0,0109 P euro b. 820 819 818 817 30 850 849 848 847 846 5 (10 ) 0,1535 1 P euro en 820 819 818 817 816 850 849 848 847 846 (0 ) 0,8352 P euro
c. P hoogstens( 20euro)P(0,10of 20euro) 0,8352 0,1535 0,0109 0,9996
d. P meer dan( 20euro) 1 0,9996 0,0004
5.
a. P meer dan fout( 2 )P(3, 4, 5of 6fout) 1 P(0,1of 2fout)
6 1 4 5 3 1 4 4 2 4 3 1 4 4 (0 ) ( ) 0,00024 6 (1 ) ( ) 0,0044 1 6 (2 ) ( ) ( ) 0,0330 2 ( 2 ) 1 (0,0002 0,0044 0,0330) 0,9624 P fout P fout P fout
P meer dan fout
b. P hoogstens fout( 5 ) 1 P(6fout) 1 ( ) 4 0,8220 c. P minstens en hoogstens fout( 3 4 )P(3of 4fout)
3 3 4 2 3 1 3 1 4 4 4 4 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4285 3 4 6. a. 3 11 36 12 (hoogstens 10) 1 (11 12) 1 P P of b. 6 1 36 6 ( 5) (2, 3 4) P minder dan P of c. Ja, 18 1 36 2 ( ) ( ) P even P oneven
7. Hij kan de vijf mensen niet voorzien van een schaar als er 2 of meer linkshandigen in de winkel komen.
( 1 ) 1 (0 1 )
P meer dan links P of links
5 4
1 (0,72 5 0,28 0,72 ) 0,4303
8.
a. Als je de eerste knikker (het eerste winnende getal) terug zou leggen, zou je die knikker ook de tweede keer kunnen pakken.
b. 2 1 2 1 9 8 72 36 ( ) P RR c. 2 7 7 2 7 9 8 9 8 18 (2 ) ( ) P euro P RW of WR
d. De kans op de twee knikker klopt dan niet meer. 9. a. 6 3 4 9 9 9 ( ) ( ) 2 P W en R P WR of RW b. 6 3 1 9 8 2 ( ) ( ) 2 P W en R P WR of RW
c. Het trekken met één greep komt overeen met een trekking zonder terugleggen.
d. 3 8 6 1 9 10 8 5 ( ) P RWW en 6 2 5 1 9 10 8 12 ( ) P WRW
De kans op een rode en witte bal is verschillend in beide vazen. 10.
a. Jelmer trekt zonder terugleggen twee ballen uit een vaas met 2 rode en 8 witte knikkers. b. 2 1 1 10 9 45 ( ) P beide prijzen 11. 20 19 1000 999 ( ) 0,00038 P beide prijzen 12.
a. Neem een vaas met 0,9 20 000 18 000 witte knikkers (kwaliteit A) en 2 000 rode knikkers. Trek uit deze vaas 5 knikkers zonder terugleggen.
b. Omdat de steekproef (5 blikken) klein is ten opzichte van de totale populatie (20 000 blikken) veranderen de kansen niet zo heel erg.
c. (1 4 ) 5 0,10 0,904 0,3281 1 P B en A d. P minstens B( 2 ) 1 P B of B(0 1 ) 1 (0,90 50,3281) 0,0815 som steen 2 1 2 3 4 5 6 st e en 1 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
13. a. 1 4 2 (0 ) ( ) ( ) 0,0625 P munt P kkkk 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 4 1 2 4 (1 ) (1 , 3 ) ( ) 0,25 1 4 (2 ) (2 , 2 ) ( ) ( ) 0,375 2 4 (3 ) (3 , 1 ) ( ) 0,25 3 (4 ) ( ) ( ) 0,0625 P munt P m k P munt P m k P munt P m k P munt P mmmm b. P meer dan m( 2 )P m of m(3 4 ) 0,25 0,0625 0,3125 c. som 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625 1 14. a. b. P(3 jaar) 0,15
c. P hoogstens( 2 jaar)P(0,1of 2 jaar)
0,19 0,27 0,21 0,67
d. P tussen en( 2 5 jaar)P(3of 4 jaar)
0,15 0,12 0,27 15. a. 11 9 7 5 3 1 36 36 36 36 36 36 1 som b. 7 36 ( 3) ((3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,3) (5,3) en (6,3)) 0,194 P laagste aantal is P 16. 39 38 37 52 51 50 (0 ) 0,4135 P harten 13 39 38 52 51 50 13 12 39 52 51 50 13 12 11 52 51 50 (1 ) 3 0,4359 (2 ) 3 0,1376 (3 ) 0,0129 P harten P harten P harten 17. a. (2 ) 4 0,122 0,8782 2 0,0688 2 P bromfiets b. P B( 0) 0,878 4 0,5943 aantal munt 0 1 2 3 4 kans 0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625
leeftijd aantal percentage
0 570 19 1 810 27 2 630 21 3 450 15 4 360 12 5 180 6 totaal 3000 100 harten 0 1 2 3 kans 0,4135 0,4359 0,1376 0,0129 som=1
3 3 4 ( 1) 4 0,122 0,878 0,3303 ( 2) 0,0688 ( 3) 4 0,122 0,878 0,0064 ( 4) 0,122 0,0002 P B P B P B P B B 0 1 2 3 4 kans 0,5943 0,3303 0,0688 0,0064 0,0002 Controle: som is 1
18. 8 7 6 5 1 10 9 8 7 3 (0 ) P enen 8 6 8 2 7 10 9 8 7 15 8 2 1 7 2 10 9 8 7 15 (1 ) 4 (2 ) 6 P één P enen 19. a. 4732 579 91 24 58925 ( ) 0,0921 P één of meer inbraken b. 579 58925 53499 ( ) 0,1067 P nog één inbraak c.
d. P in beide nog één keer( ) 0,0168 2 0,00028 20.
a. P bord(1 ) 1 (0,20 0,07 0,35 0,20) 0,18
b. bijvoorbeeld: P één verkocht bord( ) 0,18 0,05 0,009
21.
a. P euro(1 ) 1 (0,80 0,06 0,02) 0,12
b. gemiddeld per spel: € 0,62
c. gemiddeld: 500 0,02 10 500 0,06 5 ... 500 0,80 0 500 0,62 d. Ook weer € 0,62 e. 0,02 10 0,06 5 0,12 1 0,80 0 0,62 22. a. 6 5 4 1 10 9 8 6 ( 0) P B 4 6 5 1 10 9 8 2 ( 1) 3 P B 4 3 6 3 10 9 8 10 ( 2) 3 P B en 3 4 2 1 10 9 8 30 ( 3) P B
b. Per spel verwacht je 1,2 blauwe knikkers. Bij 50 keer spelen: 50 1,2 60 blauwe. 23. a. b. verwachtingswaarde is 1 2 3 2 1 36 36 36 36 36 2 3 4 ... 11 12 7 24. a. aantal inbraken na de 1e keer 0 1 2 3 kans 0,8721 0,1067 0,0168 0,0044 som = 1 aantal verkocht 1 2 3 4 5 6 kans 0,18 0,20 0,07 0,35 0 0,20 som = 1 aantal verkocht 0 1 2 3 4 6 kans 0,95 0,009 0,01 0,0035 0,0175 0,01 som = 1 combinati e verw. aantal verw. uitkering bbb 2 20 aaa 6 30 kkk 12 12 - 80 0 totaal 100 62 som 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 kan s 361 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 wins 48 8 0 -2 aantal enen 0 1 2 kans 5 15 158 152 som = 1
b. De verwachte winst is 48 0,01 8 0,06 0 0,30 2 0,63 0,30
25.
a. 300 600 0,05 200 600 0,03 200 500 0,04 200 400 0,06
100 300 0,05 € 22 900,
b. Het gaat om 1000 fietsen, dus een premie van € 22,90 26.
a.
b. De te verwachten kosten: 25 0,128 37,50 0,60 82,50 0,272 € 48,14
c. In 0,40 0,32 7800 998 gevallen geen reparatie.
27. a.
b. Het te verwachten aantal keer is 1 0,3426 2 0,3089 ... 5 0,0495 2,23
c. De te verwachten kosten zijn:
1000 0,3426 1320 0,3089 ... 2080 0,0495 €1362, d. 332 klanten. 156 332 (2 ) 100 47% P e keer wel en 87 332 (3 ) 100 26% P e keer wel e.
f. De te verwachten kosten zijn:
1320 0,47 1600 0,26 1840 0,19 2080 0,08 €1552,
28.
a. Vaas met 80 genummerde ballen. Trek hieruit 5 ballen zonder terugleggen.
b. 20 19 18 60 59 80 79 78 77 76 5 (3 , 2 ) 0,0839 2 P w m
Zijn winst is dan 3 10 10 € 20,
c. 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 (0 ) 0,0458 P w 60 59 58 57 56 55 54 53 20 19 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 10 (2 ) 0,2953 2 P w d. 20 19 18 17 20 19 18 60 80 79 78 77 80 79 78 77 (4 ) (3 ) (2 ) (0 ) 4 P w P w P w P w 20 19 60 59 80 79 78 77 6 0,2589 Dat is 1 op 3,86 koste n 25 37,50 82,50 kans 0,40 0,32 0,128 0,60 0,40 0,68 0,272 aantal keer 1 2 3 4 5 kans 0,3426 0,3089 0,1723 0,1267 0,0495 som = 1 aantal examens na de 1e keer 1 2 3 4 kans 0,47 0,26 0,19 0,08
T-1. a. 1 4 4 (4 ) ( ) 0,0039 P doen mee b. 1 3 3 4 4 (1 ) 4 ( ) 0,4219 P doet mee c. 3 4 4 ( 3 ) 1 (4 ) 1 ( ) 0,6836
P hoogstens doen mee P doen niet mee
d. 3 4
4
( 2 ) 1 (0 of 1doet mee) 1 (( ) 0,4219) 0,2617
P minstens doen mee P
T-2. a. 20 20 19 18 30 30 29 28 ( , ) 0,1872 P B BBB b. P tenminste één W( ) 1 P geen W( ) 1 0,1872 0,8128 c. 20 10 9 8 10 20 10 9 30 30 29 28 30 30 29 28 (1 3 ) ( , ) ( , ) 3 0,0936 P B en W P B WWW P W één B T-3. a. 1 1 2 1 4 3 12 6 ( 3) 2 P som is b. 1 1 2 1 4 3 12 6 ( 6) 2 P som is c. T-4. a. b. 3 5 3 1 12 12 12 12 ( ) 0 1 2 3 1,17 E verschil c. 1 2 3 3 2 1 12 12 12 12 12 12 ( ) 2 3 4 5 6 7 4,5 E som T-5. a. P D( )P AD of BD( ) 0,60 0,01 0,40 0,07 0,034 b. P G( ) 1 P D( ) 1 0,034 0,966 c. d. P DDD( ) 0,034 3 0,000039 e. P GGG( ) 0,966 3 0,9014 T-6. a. 97464 97385 79 b. 0,00081
c. P leeft minstens jaar( 1 ) 1 0,00081 0,99919
d. P sterft over( 2 jaar) 0,99919 0,00088 0,00088
e. 97633 100000 (28 ) 0,00083 0,00081 P jaar f. Nee. T-7. a. 97859 97778 997859 0,00083
b. P leeft minstens jaar( 1 ) 1 P leeft( 0 jaar) 0,99917
c.
d. P minstens( 3 jaar leeft) 1 P(0, 1of 2 jaar)
1 (0,00083 0,99917 0,00073 0,99927 0,00075) 0,9977 e. P twee man( ) 0,9977 2 0,9954 som 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 som 2 3 4 5 6 7 kan s 121 122 123 123 122 121 verschil 1 2 3 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 1 0 4 3 2 1 verschi l 0 1 2 3 kans 3 12 125 123 121
