Koninklijke Eijsbouts Klokkengieterij en Fabriek van Torenuurwerken BV: verslag van werktuigbouwkundige projectstage

Koninklijke Eijsbouts Klokkengieterij en Fabriek van

Torenuurwerken BV

Citation for published version (APA):

Schepens, A. (1986). Koninklijke Eijsbouts Klokkengieterij en Fabriek van Torenuurwerken BV: verslag van werktuigbouwkundige projectstage. (DCT rapporten; Vol. 1986.005). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1986

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne

Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at:

openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

Koninklijke

Eijsbouts

Klokkengieterij

en fabriek

van

Torenuurwerken

bv

VERSLAG VAN WERKIIIUIGBOUWKUNDIGE PROJECTSTAGE

student : Arie Schepens

periode : 22 sept. t/m 6 dec. 1986

saienvattinq

Het voor U liggende rapport is een verslag van de stage door Arie Schepens, als student werktuigbouwkunde aan de TH Eindhoven, verricht bij Koninklijke Eysbouts bv. te Asten gedurende de periode van 22 september tot en met 6 december 1986.

Het doel van de aldaar verrichte opdracht was het maken van een eerste aanzet tot een theorievorming van de beweging van een luidklok.

Eerst wordt het luidkloksysteem beschouwd als een dubbele fysische slinger waarbij de botsing buiten beschouwing wordt gelaten.De beweginsvergelijking en de voorwaarden voor een starre en hangende klepel worden afgeleid.

Daarna wordt de invloed van de klepel op de beweging van de klok verwaar-

loosd. Opnieuw wordt de bewegingsvergelijking afgeleid en het tempo wordt bepaald.

Belangrijke grootheden zijn het massatraagheidsmoment en de positie van het

zwaartepunt van de klok. In hst. 4 worden dan ook een numerieke en een

experimentele methode aangegeven om deze te bepalen.

Met behulp van een onderzetting of een contragewicht kan het tempo van een

luidklok worden beinvloed. In de hst. 5 en 6 worden deze invloeden bepaald,

waarna in hst. 7 een methode wordt aangegeven om twee belangrijke waarden namelijk het product van,de massa en de afstand van het zwaartepunt tot de draaiingsas, en het massatraagheidsmoment van de klok te bepalen.

De bijlagen dienen ter ondersteuning van de tekst.

Voor de beweging van een luidklok is van belang dat dit in een bepaald tempo

gebeurt en dat de bijbehorende aanslag (botsing) voor een acceptabele klank zorgt. Dit alles vormt een complex geheel.

Dit rapport is een eerste kleine stap in de richting van een volledige theoretische doorgronding van de beweging van een luidklok.

Definitieve conclusies kunnen dus nog niet worden getrokken wel worden mogelijkheden tot verder onderzoek aangegeven.

Tenslotte wil ik dhr. Lehr, directeur van Koninklijke Eysbouts bv. en

ir. Schoofs van de TH Eindhoven hartelijk bedanken voor het tot stand komen

van deze stage en hun begeleiding tijdens die stage.

Verder wil ik de medewerkers van Koninklijke Eysbouts bv. bedanken voor de prettige werksfeer en Ans en Hans voor hun hulp bij het maken van het verslag.

bladzijde Samenvatting

Symbolenlijst Inleiding

Hoofdstuk 1 Probleemstelling

Hoofdstuk 2 De luidklok als dubbele fysische slinger

2 . 1 De bewegingsvergelijking 2.2 De starre klepel

2.3 De hangende klepel

Hoofdstuk 3 De luidklok als enkelvoudige fysische slinger

3.1 De bewegingsvergelijking 3.2 Het tempo

Hoofdstuk 4 Methoden ter bepaling van het massatraagheidsmoment en de positie van het zwaartepunt van de klok

4.1 De numerieke methode

4.2 De experimentele methode

Hoofdstuk 5 Variëren van het tempo van de luidklok met behulp

van de onderzetting

Hoofdstuk 6 Variëren van het tempo van de luidklok met behulp

van een contragewicht

6 . 1 Tempoverandering met behulp van een contragewicht 28

6.2 Het verband tussen Mc en hc bij een bepaald

gewenst tempo 3 0

Methode ter bepaling van het product Mt*zt en van Jt 32

Hoofdstuk 7 1 2 9 13 15 i 6 18 20 22 24

Conclusies en mogelijkheden tot verder onderzoek 34

Slot 35

Literatuur 36

Bijlage 1 Bepaling van de positievectoren van de zwaartepunten

van klok en klepel 37

Bijlage 3 Het verloop van p(a)

Bijlage 2 Bepaling van de gereduceerde lengte van een fysische slinger 38

39 Bijlage 4 Bepaling van de positie van het gezamelijke zwaartepunt en

het massatraagheidsmoment t.0.v een bepaalde as van een

lichaam bestaande uit twee massa's

Bijlage 5 Massatraagheidsmomenten van enkele lichamen

40

a A A dm 9 k 5' E. h a f s t a n d t u s s e n d e d r a a i p u n t e n van k l a k en k t e p e t de o n d e r z e t t i n g d e k i - i t i s c h e onet-.zetting

massa van een k t e i n e r i n g uit d e k t u k

g r a fi i ka t i e ii e rr_ n e t L i n g

<

a f s t a n d van het zwaartepunt van d e k t o k e n r e c h t e as t o t d e

onderkant v a n d e r e c h t e a s

/I €22 I

hoogte Van d e k i G k

a f s t a n d van het grondvlak van de ktok t o t d e d r a a i i n g s a s a f s t a n d van het zwaartepunt van d e k t o k t o t het grondvlak

a f s t a n d van het zwaartepunt van het c o n t r a g e w i c h t t o t d e

draa i i ngsas

a f s t a n d van h e t zwaartepunt van h e t s t a n d a a r d c o n t r a g e w i c h t t o t d e d r a a i i n g s a s

macçatraagheidsm~ment Cmtm.>van d e ktepe!. t e n opzichte van

z i j n dr~aipi-ink

mtm. van d e onderzettingsbatk t . o . v e i g e n zwaartepunt m t m . van het c o n t r a g r w i ch% t jl o Y e i y e n zwaartepunt

m t m . van d e k t a k en r e c h t e a5 t . o s v . e i g e n zwaartepunt

mtm. van het s t a n d a a r d c o n t r a g e w i c h t Y , o I v = e i g e n zwaartepunt m t m . van d e k t o k met tuidas t . o , . v . d e d r a a i i n g s a s I'03

mtm. van de ktepet t.osv. e i g e n zwaartepunt

g e r e d u c e e r d e s t i n g e r k e n g t e van de k t o k m e t L u i d a s g e m d u r e e r d e çtingerlenqte van d e k i e p e i masça van d e k t o k en r e c h t e a s massa van h e t c o n + r a g e w i c h t fnasça de k l e p e t massa van h e t s t a n d a a r d c o n t r a g e w i c h t massa van d e k t o k met t u i d a s

f a c t o r ? a f h a n k e t i j k van de maximate uitwijkhoek uitwendige s t p a a t van d e r i n g

inwendige s t r a a t ?ail de ring

tempo van d e k t o k zonder c o n t r a g e w i c h t

C m 3 C m l Cm1 Ckgf C ms- I .- Cm-f C m 3 Em7 Cm1 CmJ C m l .-2 E k gm"1 k ,7m2 3 .-I Ckgm"1 C k gm23 C k gm'3 .-8 Ckgm'l Ckgm"1 -7: Cm1 Lm1 t k g 1 CkgJ C k g l C k g l C k g l E-3 Cm1

a (5A a J b Y 0 ip e em

tempi, van de k t u k met cantragewicht

tempi, van d e k Lok met standaardcantragewi cht-

traaghe i d s s t r a a t van de k L e p e t

traagheidsctraat van de k t u k met Luidas slingertijd

kfnetische energie van de k t o k met- tuidac, kinetische energie van d e ktepet

afstand van h e t zwaartepunt van de klepet t o t draaiingsasrAS afstand van het zwaartepunt van de k t u k met luidas t o t .

draa i 5ngsas (Ctl

maximate u i t w i j k h o e k van de k t a k

verandering i n Lengte van d e onderzetting

mem.

van d e vertenging 6A t . o s v . de draaiingsas scheefstettingshoek

uitwijkhuek van de k t u k uitwijkhoek van de k t e p e t soortelijke massa :van d e k t o k

massa p e r lengte-eenheid van de anderzettingsbalken

fwf C r a d 3 fm3 fkgm"f trad3 t r a d 3 e-, Crab3 Ckgm-'3 I: k gm-.I f

- 1 -

Inleidinq

Dit is het verslag van de projectstage, verricht door Arie Schepens in het kader van zijn studie werktuigbouwkunde aan de TH Eindhoven.

Deze stage werd verricht bij Koninklijke Eysbouts bv. te Asten en vond

plaats in de periode van 22 september tot en met 6 december 1986.

Koninklijke Eysbouts bv. is een van oorsprong ambachtelijk familiebedrijf

dat is uitgegroeid tot een vermaarde klokkengieterij met ongeveer 50

medewerkers

Niet alleen de klokken worden gemaakt maar complete beiaarden,

oefenklavieren en luidklokinstallaties. Verder worden er ook nog torenuttr-

werken en astronomische-uurwerken gemaakt en worden in de gieterij eveneens kunstvoorwerpen gegoten.

Veel van de kennis binnen dit zeer specialistische bedrijf heeft men proef- ondervindelijk, geholpen door een geweldige ervaring en soms gehinderd door oude tradities, verworven.

Zo geldt dit ook voor de kennis betreffende de beweging van een luidklok.

Fundamenteel theoretisch onderzoek naar de beweging van een luidklok is nog nooit, of in beperkte mate, verricht.

Dhr. Lehr vond het dan ook zeer zinvol om een meer theoretische ondergrond voor de bestaande (praktijlclkennis te bepalen

Vandaar dat ik gedurende mijn stage heb gewerkt aan een eerste aanzet tot een theoretische beschouwing van de beweging van een luidklok.

-2-

1

P r o b l e e m s t e l l i n g .

Een l u i d k l o k is een k l o k d i e schommelend aan een as met behulp v a n e e n k l e p e l , d i e i n de klok s c h a r n i e r e n d ophangt, w o r d t aange-

s l a g e n . Het systeem wordt i n beweging gezet door a a n e e n touw t e

t r e k k e n d a t om een l u i d w i e l bevestigd is ( f i g u u r

1

1.

Het i n beweging z e t t e n g e b e u r t momenteel ook vaker met b e h u l p v a n e e n electromotor.

I n p r i n c i p e is d i t bewegingssysteem t e beschouwen a l s een dubbele fysische s l i n g e r , waarbij een b o t s i n g t u s s e n d e twee s l i n g e r s p l a a t s v i n d t . Met 'fysisch' wordt bedoeld d a t h e t n i e t om puntmas- sa's maar om lichamen gaat.

A f h a n k e l i j k van d e t o t a l e geometrie van d e c o n s t r u c t i e en de op-

l u i d h o e k kunnen er v e r s c h i l l e n d e s i t u a t i e s o n t s t a a n .

Het vinden van deze a f h a n k e l i j k h e i d is een b e l a n g r i j k doel b i j

-3- De s i t u a t i e s d i e kunnen o n t s t a a n z i j n :

1. De k l e p e l beweegt star mee i n de k l o k of heeft een dusdanige k l e i n e v e r s c h i l u i t w i j k i n g t e n opzichte v a n d e k l o k zodat de k l e p e l d e klokwand t i j d e n s h e t l u i d e n n i e t raakt.

De b o t s i n g t u s s e n klokwand en k l e p e l b l i j f t u i t waardoor g e e n

k l a n k t e horen is. Men spreekt van een starre k l e p e l ( f i g u u r

2.

De klepel hangt s t i l i n de k l o k en slaat a l l e e n dan a a n wan- n e e r d e klok e e n voldoende grote G i t w i j k i n g heeft. De k l e p e l

komt pas i n beweging na een ( e v e n t u e l e ) b o t s i n g .

I n deze s i t u a t i e spreekt men over e e n hangende k l e p e l ( f i g u u r

2).

3 ) .

FIGUÙR 2 STARRE KLEPEL

- FIGUUR 3 HANGENDE KLEPEL

3. De klepel ijlt i n beweging voor op d e k l o k en raakt deze

steeds i n h e t hoogst g e l e g e n raakpunt.

B i j deze beweging noemt men d e k l e p e l v l i e g e n d ( f i g u u r 4 ) .

4. De k l e p e l loopt i n beweging achter op d e k l o k en raakt deze i n

h e t laagst g e l e g e n raakpunt. De k l o k s c h e p t a l s h e t ware de klepel op.

‘J I \ A

1

FIGUUR 4 VLZEGENDE KLEPEL

-4-

5. De klepel slaat twee keer (of meer) s n e l achter elkaar a a n .

D i t v e r s c h i j n s e l , wat l i j k t op e e n soort s t u i t e r e n , wordt e e n d u b b e l s l a g genoemd.

6. De k l e p e l b l i j f t steeds a a n de e n e , dan aan d e a n d e r e klok-

wand k l e v e n . Er v i n d t een volkomen o n e l a s t i s c h e b o t s i n g

plaats.

Wanneer er ook daadwerkelijk een b o t s i n g t u s s e n klok en klepel

p l a a t s v i n d t , dan hoeft d i t nog geen g a r a n t i e t e z i j n v o o r e e n mooie k l a n k .

Een b i j z o n d e r b e l a n g r i j k aspect d a t een grote i n v l o e d u i t o e f e n t

op de kwaliteit v a n de k l a n k is d e c o n t a c t t i j d t u s s e n en k l o k en

k l e p e l . Een l a n g e r e c o n t a c t t i j d werkt dempend o p d e hoogfrequen-

t e e i g e n t r i l l i n g e n . Met dempend wordt bedoeld d a t deze e i g e n t r i l - l i n g e n , boventonen genoemd, minder sterk en korter k l i n k e n .

Hoe lager d e f r e q u e n t i e s van d e v e r s c h i l l e n d e e i g e n t r i l l i n g e n l i g g e n d e s t e minder worden de door deze e i g e n t r i l l i n g e n gegene- reerde t o n e n gedempt.

B i j e e n l a n g e r e c o n t a c t t i j d o n t s t a a t a l d u s een warmere, minder

-5-

B i j e e n kortere c o n t a c t t i j d worden d e boventonen minder gedempt

e n z a l d e k l o k h e l d e r d e r , dynamischer k l i n k e n . De c o n t a c t t i j d t u s s e n klok en k l e p e l t i j d e n s d e b o t s i n g wordt b e ï n v l o e d door v e r s c h i l l e n d e g r o o t h e d e n . Het s n e l h e i d s v e r s c h i l t u s s e n k l o k en

k l e p e l , de massa, vorm en m a t e r i a a l e i g e n s c h a p p e n van de k l e p e l

z i j n e n k e l e g r o o t h e d e n d i e van i n v l o e d z i j n .

P e r s o o n l i j k e motieven b l i j v e n n a t u u r l i j k een r o l s p e l e n b i j h e t

b e s l i s s e n over h e t a l dan n i e t a a n v a a r d b a a r z i j n v a n een bepaalde

k l a n k . Verder kan h e t z i j n d a t er aan bepaalde g r o o t h e d e n beper-

kingen worden opgelegd bijvoorbeeld i n verband met d e aanwezige r u i m t e of d e h a n t e e r b a a r h e i d . Het gevolg van dergelijke beperkin- gen is d a t men de k w a l i t e i t van d e k l a n k maar i n beperkte mate kan b e ï n v l o e d e n .

Een v l i e g e n d e k l e p e l (situatie 3) heeft een kortere c o n t a c t t i j d dan e e n v a l l e n d e k l e p e l ( s i t u a t i e 4) en d e k l a n k e r v a n wordt i n

h e t algemeen a l s prettiger e r v a r e n .

Een mogelijk probleem b i j een k l o k met v l i e g e n d e k l e p e l z i j n d e

k r a c h t e n o p d e klokkestoel en dus o p de t o r e n . Deze kunnen o p l o p e n t o t a a n z i e n l i j k e waarden.

Om deze k r a c h t e n t e verminderen moet men h e t zwaartepunt van h e t

t o t a l e bewegingssysteem d i c h t e r b i j d e d r a a i i n g s a s l e g g e n . D i t

kan men b e r e i k e n met behulp van een k r u k a s c o n s t r u c t i e ( f i g u u r 6 )

waarbij A e e n karakteristieke maat is d i e de o n d e r z e t t i n g wordt

genoemd. Door h e t t o e p a s s e n van een dergelijke c o n s t r u c t i e z a l de k l e p e l wel v a l l e n d worden maar vaak wordt d e v e r m i n d e r i n g van d e

k r a c h t e n b e l a n g r i j k e r geacht dan d e i e t s minder mooie k l a n k .

Een a n d e r e b i j k o m s t i g h e i d is d a t h e t statisch moment wordt v e r -

laagd waardoor de k l o k gemakkelijker i n beweging gezet kan wor-

-6-

Naast de k l a n k en h e t a l of n i e t a a n s l a a n v a n d e k l e p e l is ook

nog h e t tempo van d e l u i d k l o k v a n b e l a n g . Onder h e t tempo v a n e e n l u i d k l o k verstaat men h e t a a n t a l a a n s l a g e n p e r minuut.

Het tempo is a f h a n k e l i j k v a n h e t gewicht en h e t massatraagheids-

moment v a n de k l o k , d e l u i d a s en d e k l e p e l . En verder nog afhan-

k e l i j k van d e a f s t a n d e n van de zwaartepunten van d e k l o k , de

l u i d a s en d e k l e p e l t o t hun d r a a i p u n t e n en d e o p l u i h o o g t e .

De i n v l o e d van de k l e p e l wordt g e r i n g v e r o n d e r s t e l d daar z i j n massa o n g e v e e r 5% van d e klokmassa bedraagt.

Het v a r i ë r e n van h e t tempo is slechts i n beperkte mate mogelijk

door m i d d e l v a n een c o n t r a g e w i c h t , v e r a n d e r i n g v a n d e o n d e r z e t - t i n g of door a a n p a s s i n g van de o p l u i d h o o g t e .

D i t v a r i ë r e n gaat b i j een k r u k a s c o n s t r u c t i e ( f i g u u r 6 ) gemakke-

l i j k e r dan b i j een l u i d k l o k met rechte as ( f i g u u r

1

1.

Verder d i e n t nog opgemerkt t e worden d a t een v e r h o g i n g v a n h e t

tempo, om praktische redenen, moeilijker t e b e w e r k s t e l l i g e n is dan e e n v e r l a g i n g .

V a n u i t d e p r a k t i j k z i j n e r r i c h t w a a r d e n o n t s t a a n voor h e t tempo

v a n e e n l u i d k l o k met een bepaalde t o o n h o o g t e ( z i e tabel 1). slag- toon f fis B gis a ais b cl cis1 dl dis1 el fl fis1 g1 gis1 al ais1 bl c2 cis2 a2 dis2 e2 f2 fis2 8-2 gis2 a2 ais2 b2 cis3 a3 dis3 e3 f3 -2 u, 2331 2200 2077 1960 1850 1746 1648 1556 i468 1386 1308 1235 i165 1100 i038 980 925 873 824 778 734 693 654 617 583 550 519 490 462 437 412 389 367 346 327 309 291 krukassen

1

t a b e l

i

-7-

Deze temporeeksen hebben a l s basis h e t tempo v a n een C2-klok.

Onder d e kolom 'rechte as' staat h e t tempo d a t de k l o k zou hebben

b i j een rechte as. De tempi z i j n o n d e r l i n g omgekeerd e v e n r e d i g met de wortel u i t d e klokdiameters, e r v a n u i t g a a n d e d a t a l l e an-

dere f a c t o r e n (geometrische) relatief g e l i j k b l i j v e n .

Temporeeks 60 geeft d e tempi voor d e v e r s c h i l l e n d e k l o k k e n , u i t - gaande van een tempo v a n 60 a a n s l a g e n per minuut voor e e n C2- klok.

Meestal wordt v a n u i t p e r s o o n l i j k e motieven en b e s t a a n d e t r a d i t i e s

gekozen v o o r een bepaalde temporeeks.

Voor één e n k e l e l u i d k l o k is h e t tempo n i e t zo k r i t i s c h . B i j e e n g e l u i , een c o m b i n a t i e van meerdere k l o k k e n , d a a r e n t e g e n , o n t s t a a t wanneer d e k l o k k e n j u i s t v e r s c h i l l e n d e tempi hebben een a a n t r e k -

k e l i j k r i t m i s c h k l a n k s p e l ,

Een s n e l l e r en d a a r n a weer langzamer op elkaar v o l g e n v a n d e aan-

s l a g e n van de k l o k k e n i n h e t g e l u i , een steeds z i c h h e r h a l e n d e c y c l u s , l e i d t t o t een l e v e n d i g geheel. Uitgaande v a n een tempo- reeks u i t t a b e l

1

o n t s t a a t e r voor de tempi van d e k l o k k e n u i t een g e l u i een bepaalde verhouding.

Voor twee k l o k k e n d i e o p een hele t o o n van elkaar l i g g e n g e l d t bijvoorbeeld de tempoverhouding 17: 18.

B i j een g e l u i is h e t dus de b e d o e l i n g d a t d e tempi v a n d e ver-

s c h i l l e n d e klokken e e n d u i d e l i j k e verhouding b e z i t t e n terwijl h e t

n i v e a u van deze tempi w e l i e t s m a g v a r i ë r e n .

Met a n d e r e woorden: wanneer a l l e klokken u i t h e t g e l u i i e t s s n e l -

l e r of langzamer dan de v i a d e temporeeks v o o r g e s c h r e v e n waarden z i j n is d a t n i e t zo'n probleem als d e o n d e r l i n g e v e r h o u d i n g maar

-8-

Samenvattend kan g e c o n c l u d e e r d worden d a t d e twee b e l a n g r i j k s t e k a r a k t e r i s t i e k e n voor een l u i d k l o k z i j n :

-

h e t tempo

-

d e a a n s l a g .

Vereist is d a t de k l e p e l soepel a a n s l a a t , d i t i n een b e p a a l d tem-

po doet en wel zodanig d a t een mooie heldere k l a n k o n t s t a a t . Een s e c u n d a i r e e i s kan z i j n d a t d e k r a c h t e n op d e k l o k k e s t o e l binnen

bepaalde grenzen moeten b l i j v e n .

Be t o t nu t o e b e s t a a n d e kennis en i n z i c h t e n rond d e beweging v a n

e e n l u i d k l o k z i j n veelal afkomstig u i t d e p r a k t i j k en vaak door

m i d d e l v a n 'trial and error' verworven.

T h e o r e t i s c h e beschouwingen b e s t a a n er n a u w e l i j k s .

I n d i t r a p p o r t is dan ook een poging gedaan een eerste a a n z e t t e

maken t o t een theoretische beschouwing v a n de beweging van een

- 9 -

2 De luiäkïok als a l e fysische slinaer

In dit hoofdstuk wordt de luidklok beschouwd als een dubbele fysische slinger. De botsing tussen de slingers (de aanslag) wordt buiten

beschouwing gelaten.De bewegingsvergelijking en de voorwaarden voor een starre en hangende klepel worden afgeleid.

De klok en de luidas zijn star verbonden met elkaar en zij worden dan ook als een geheel gezien.De wrijving kan verder buiten beschouwing worden gelaten daar tijdens het luiden wrijvingsverliezen steeds worden gecompenseerd.

2 . 1 De beweqinasverqeliikinq

Voor het bepalen van de bewegingsvergelijking van de klok als dubbele

fysische slinger wordt uitgegaan van figuur 7

.

Verder wordt gebruik

gemaakt van de algemene bewegingsvergelijking volgens Lagrange.

Voor de betekenis van de gebruikte symbolen in figuur 7 ,maar ook in de

verdere afleiding

,

wordt verwezen naar de symbolenlijst.

1

Y

\ \

\

- 10

-

De algemene bewegingcvergelijking volgens Lagrange luidt:

I

I

'

met 9 : systeembeschrijvende coördinaten

,

g = ( )

T : kinetische energie van het systeem

U : potentiële energie.van het systeem

2 : uitwendige krachtvector

V : gradientoperator

v

Voor de positievectoren van de zwaartepunten van klok met luidas en van de klepel geldt ( zie Bijlage 1 ) :

z sin8

t

l

1 = ztcOSe

Xt Yt

zwaartepunt klok met luidas:

5

= (

zwaartepunt klepel:

N.B. wanneer het luidkloksysteem in rust is en het draaipunt van de klepel ( A 1 dan boven de draaiingsas ( O ) ligt moet a negatief genomen worden.

Voor de totale kinetische energie van het systeem geldt dat deze gelijk is aan de som van de kinetische energie van de klok met luidas en van de

klepel.In formulevorm :

T = Tt

+

Tk met Tt=

S;-Tt(8)

1 2

Substitutie van vergelijking ( 2 ) in ( 5 ) levert :

( 3 ) ( 4 )

( 5 )

Het systeem getekend in figuur 7 bezit alleen bewegingsenergie.

De potentiele energie van het systeem is nul.In formulevorm :

u = o

(8)

De uitwendige krachtvector kan bepaald worden met behulp van de virtuele arbe1d.Bi-j een variatie van de systeembeschrijvende cobrdinaten

verrichten de uitwendige krachten een bepaalde arbeid die de virtuele arbeid wordt genoemd.

-

11 -

In formulevorm geschreven levert dit:

T

6 A = Q *6q

met: 6A : virtuele arbeid

Q : uitwendige krachtvector

68

(6,)

6q : variatie systeembeschrijvende coördinaten, 6q =

De te verrichten arbeid binnen dit systeem (figuur 7) is een

verplaatsing van massa in het zwaartekrachtveld.In formulevorm :

6 A = M g*6yt t Mkg.öyk

6yt= B(z cos8) =

-

z sin8.68

t t

6yk= B(acos8 t z cosip) = -asin8*68

-

z sincpeay,

t

met:

k k

Substitutie van de vergelijkingen (10) in (9) levert :

Uit vergelijking ( 11 1 volgt voor de uitwendige krachtvector Q :

-PItgztsin8

-

M gasin8 k

-M gz sinip

1

e = (

k k

leveren na substitutie van

( 1 2 )

De afzonderlijke termen van de kinetische energie in vergelijking ( 1 )

vergelijking ( 7 ) :

J

i

+

M az êcos(cp-8) t M ~ cp Z ~ Jt8 -k Mkazk;cos (e-8 1 t Mka28

zk k k

( 1 3 )

Substitutie van de vergelijkingen ( 1 2 ) , ( 1 3 ) en ( 1 4 ) in de algemene

bewegingsvergelijking volgens Lagrange ( 1 ) levert een stelsel gekoppelde

niet-lineaire differentiaalvergelijkingen- Dat st.else1 beschrijft de

beweging van de klok met klepel getekend in figuur 7.

Wrijving en de botsing tussen de slingers zijn buiten beschouwing gelaten.

-

12 -

Het stelsel differentiaalvergelijkingen dat de beweging van de klok met

klepel

,

zonder wrijving en botsing ,beschrijft luidt:

Afhankelijk van de randvoorwaarden zou dit stelsel tot een oplossing

voor het verloop van alt) en 9(t) moeten leiden.

Het oplossen van dit stelsel is echter zeer moeilijk, zoniet onmogelijk. Terwijl er met de (eventuele) botsing nog geen rekening is gehouden.Deze

botsing zou mogelijk ingepast kunnen worden door steeds op het moment

van botsing weer uit te gaan van de oorspronkelijke vergelijkingen ( 1 5 ) , alleen dan met andere randvoorwaarden. Belangrijk daarbij is wel dat men weet in hoeverre de botsing elastisch dan wel onelastisch is.

Net vinden van de functies û(t) en rp(t) die de beweging van het systeem met de botsing volledig beschrijven is dus een zeer complexe zaak.

-

13

-

2.2 De starre klepel

Bij een zogenaamde starre klepel (figuur 8 ) beweegt de klepel star mee

met de klok. Met andere woorden de uitwijking van de klepel is steeds gelijk aan die van de klok.

Gelnterpreteerd in de voorwaarde:

1

3

Wanneer de voorwaarde

systeembeschrijvende cobrdinaten levert dit als

(16)

voor een starre klepelbeweging (16) wordt

gesubstitueerd in de bewegingsvergelijkingen voor de dubbele fysische

slinger (15) resulteert dat in twee vergelijkingen voor 9 . Deze twee

vergelijkingen dienen identiek te zijn. Ze luiden:

..

2 t k k ( 3 t Mka (Jzk i Mkzk t Mkazk) m i = ( -%gzk)*sin8 t M az 1 0 8 = (-Mtgzt

-

EL,ga).sinû

Voorwaarde voor het identiek zijn van de bovenstaande vergelijkingen

(17) luidt : -Mtgzt

-

%ga

-

-%gzk 2 t k k k

-

J t M a 2 t Mkazk JZk t M z t Mkazk

-

14 -

Voor het massatraagheidsmoment

volgens de regel van Steiner :

2

-

J A

-

Jzk

'

Mkzk

Verder wordt gedefinieerd :

2

Jt = Mttt

van de klepel om zijn draaipunt ( A ) geldt

traagheidsstraal van de klok met luidas) traagheidsstraal van de klepel)

Terwijl voor de gereduceerde lengten van klok met luidas en van de klepel dan respectievelijk geldt ( z i e Bijlage 21 :

Worden laatstgenoemde massatraagheidsmomenten en gereduceerde lengten gesubstitueerd in vergelijking ( 1 8 ) en wordt a opgelost dan krijgt men

als voorwaarde voor starre klepelbeweging :

(19)

1

a = k::kiLtrLM )

1

Wanneer a, de afstand tussen de draaipunten van klok en klepel, voldoet aan de voorwaarde geformuleerd in vergelijking (19) zal de klok star met de klok meebewegen.

Een negatieve waarde voor a betekent dat het draaipunt van de klepel, wanneer het systeem in rust is, boven de draaiingsas van de klok ligt. Bij het vaststellen van de totale geometrie van het bewegingasysteem moet men er dus voor hoeden dat de afstand tussen de draaipunten (a) niet voldoet aan vergelijking (19).

1 + - ( Mt

-

15

-

2.3 De hanqende klepel

Een hangende klepel (figuur 9) ontstaat wanneer de beweging van klok en klepel volledig ontkoppeld zijn en de klepel aldus stil in de klok blijft hangen.

Deze volledige ontkoppeling vindt dan plaats wanneer de draaipunten van

klok met luidas en van de klepel samenvallen.In de geometrie (figuur 7 )

heeft dit tot gevolg dat :

la=ol

Wanneer de waarde a = O wordt gesubstitueerd in de bewegingsvergelijking

( 1 5 ) resulteert dat in twee ontkoppelde differentiaalvergelijkingen, die ieder de bewegingsvergelijking voorstellen van een enkelvoudige fysische slinger (zie hst. 3 ) . Deze vergelijkingen luiden:

O#

klok met luidas Jte8 = -Mtgztsin9

klepel J A e q .e = -i$gzksinq

De klok wordt in beweging gezet, terwijl de klepel alleen dan gaat bewegen wanneer deze wordt aangestoten door de klok door middel van een botsing.0ok een hangende klepel dient vermeden te worden daar de klank die onstaat door de (eventuele) botsing niet acceptabel is.

-

16

-

3 De luidklok als enkelvoadiue fvsische s l h u e r

In het algemeen bedraagt het gewicht van de klepel 25% van het gewicht van

de klok met luidas. In dit hoofdstuk wordt er dan ook vanuit gegaan dat de klepel een geringe invloed uitoefent op de beweging van de klok.

De klok wordt dus beschouwd als een enkelvoudige slinger en de klepel wordt buiten beschouwing gelaten.

De bewegingsvergelijking die wordt afgeleid is oplosbaar en het tempo van de klok is dan ook te bepalen.

Over de kwaliteit van de (eventuele) aanslag is hier niets zinnigs te

zeggen. Het gaat hier puur om de beweging van de klok alleen.

3 . 1 De beweainusverueliikinq

Analoog aan de werkwijze gevolgd in hoofdstuk 2 en uitgaande van figuur 10

wordt de bewegingsvergePIjking bepaald.

Bij dit systeem bestaat er maar kên systeembeschrijvende coördinaat,

namelijk de uitwijkhoek 0 van de klok met luidas.

Voor het systeem getekend in figuur 10 gelden de volgende relaties :

g = ( e i 1 2 T = -J

( 8 )

2 t Q = -# gz sin3 t t

u = o

X

1

(20) Y FIGUUR 10

-

17 -

I

0 .

I

Jt8 = -Mtgztsin8

Substitutie van de vergelijkingen ( 2 0 ) in de algemene bewegings-

vergelijking volgens Lagrange (1) levert de bewegingsvergelijking van de

klok beschouwd als enkelvoudige fysische slinger.Deze luidt :

t

.

(21 1

1 I

Bovenstaande differentiaalvergelijking ( 2 1 ) leidt tot een oplossing voor

û(t)

.

Voor de bijbehorende slingertijd T I de tijd nodig voor een volledige

slingering, geldt (zie [l] 1 :

-

Waarbij p een factor is die afhankelijk is van de maximale uitwijkhoek (a)

en wel als volgt:

- M

M=l N=l

2N

-

1)2e(sinsa) 1 2M1

p = l + I : [ ( I T 2N

Voor het verloop van p(a), p als functie van a, wordt verwezen naar

Bijlage 3 . Voor kleine waarden van a i s pzl en ontstaat de gelineariseerde situatie.

- 18 -

3 . 2 Het temPo

Het tempo van een luidklok is gedefinieerd als het aantal aanslagen per minuut. In de situatie van de klok als enkelvoudige fysische slinger is het

tempo te beschouwen als het aantal uiterste standen per minuut.

Tijdens ben volledige slingering, die T sekonden duurt, bevindt de klok zich twee keer in een uiterste stand. In formulevorm geschreven levert dit:

2.60

tempo =

-

T

Substitutie van ( 2 2 ) in ( 2 4 ) levert :

( 2 4 )

[aanslagen/min.]

60 Mtgzt)

tempo = -J(-

rP Jt ( 2 5 )

Variaties in tempo zijn dus mogelijk door verandering van de massa of het massatraagheidsmoment, verplaatsing van het zwaartepunt of door het

veranderen van de maximale uitwijkhoek ( a ) .

Meestal is het zo dat een verandering van de ene grootheid ook de andere

-

19

-

Ter vereenvoudiging wordt in het vervolg voor het luidklok systeem uitgegaan van onderstaand model (figuur 11).

Verwaarloosd worden hierbij de massa's van de astappen, van het ophangwerk en de massa van het gedeelte van de onderzettingsbalk onder de draaiingsas.

MODEL F I G U U R

11

-

20

-

4 Hethoäen ter bemalhq van het massatraaqheidsmomnt en de Positie van h e t

zuaartemnt van de Hok

Bij het bepalen, of aanpassen, van het tempo van een luidklok zijn de positie van het zwaartepunt van de klok en het massatraagheidsmoment ten opzichte van de draaiingsas twee belangrijke grootheden.

In dit hoofdstuk worden twee methoden aangegeven, een numerieke en een experimentele, om deze grootheden te bepalen.

4 . 1 De numerieke methode

Bij deze methode gelden de tekenafspraken gemaakt in figuur 12. In deze

figuur is het gearceerde gedeelte een ring uit de klok. Deze ring heeft een massa dm en een afstand h tot het grondvlak.

dh I

FIGUUR 12

Voor de massa dm van de ring geldt:

met Ru(h) en Ri(h) dm = QTT(R:

-

Ri)dh 2

Voor de tstâle mâssâ M van de klok geldt:

(26)

M = . J d m

-

21

-

(29)

Ho

2 2

Ho

2 2

H

*I

@i(Ru

-

Ri)dh = f gv(RU - Ri)hdh

“ O O

Y

Het momentenevenwicht ten opzichte van het voor de afstand HZ van het zwaartepunt tot

- hI2dh

4 4

Ho

2 2

J = f 4g~(Ru - Ri)dh t J gir(RU

-

Ri)*(Has

O O

grondvlak levert als voorwaarde het grondvlak :

(31 1 Substitutie van de vergelijkingen (26) en (27) in (28) levert de

vergelijking waarmee de positie HZ van het zwaartepunt kan worden bepaald. Deze luidt:

Ru 3 2 2

j = edhef n ir dr f ~n(Ri

-

Ri)dhr(Has- h)

Voor het totale massatraagheidsmoment van de klok ten opzichte van de

-

22 -

4.2 De experimentele methode

Met deze methode kan de positie van het zwaartepunt en het massatraagheids- moment, ten opzichte van de draaiingsas, van een klok (eventueel met kroon)

met luidas worden bepaald. De totale massa van het systeem moet dan wel

bekend zijn.

Aan de luidas wordt een balk, met massa

Mb

en lengte L I bevestigd waar een

massa M aangehangen wordt. In evenwicht onstaat de situatie getekend in figuur 13.

- - -_

M

FIGUUR 1 3 ,

Voor de afstand

zt

van het zwaartepunt van de klok met luidas tot de

draaiingsas ( O ) moet uitgaande van het momentenevenwicht om O, gelden: L

pi tgz siny t = Hbgiasiny

+

P û P j y j

+

H,g(asiily i- Lcosy)

Herschreven leidt bovenstaande vergelijking tot :

M

) + - ( a + - _tany

z

= b-(a ' t

-

2tany Mt Mt

-

23 -

Voor het bepalen van het massatraagheidsmoment van de klok met luidas ten opzichte van de draaiingsas wordt het systeem, getekend in figuur 13,(zonder balk natuurlijk) in slingering gebracht. Het tempo, aantal uiterste standen

per minuut, wordt gemeten. Uit vergelijking (25) volgt dan voor het massa-

traagheidsmoment Jt ten opzichte van de draaiingsas :

Deze experimentele methode kan tempo noodzakelijk is.

-

24

-

5 Variêren van het t e m m van de luidkïok iet behulp van de onäerzettinq

Een verandering van de onderzetting is van invloed op het tempo.

In dit hoofdstuk wordt deze invloed beschreven met de kanttekening dat de opluihoek gelijk gehouden is.

Er wordt uitgegaan van figuur 14 waar een luidklok met krukasconstructie is

getekend. Bij de beschouwingen in dit hoofdstuk wordt de massa van de

onderzettingsbalk onder de draaiingsas,van de astappen en van het ophangwerk ter vereenvoudiging verwaarloosd.

'ó

FIGUUR 1 4

FIGUUR 1 4

Verder geldt:

em

= massa per lengteeenheid van de onderzettingsbalk

= massa van de klok met rechte as

ho = afstand van het zwaartepunt van de klok met rechte as tot

A = de onderzetting

de onderkant van de rechte as

= massatraagheidsmoment van de klok met rechte as t.o.v.

= massatraagheidsmoment van 4th onderzettingsbalk t.o.v.

Joz

het eigen zwaartepunt het eigen zwaartepunt

-

2s

-

Voor het bepalen van de afstand

zt

van het zwaartepunt van de totale

constructie tot de draaiingsas wordt uitgegaan van figuur 15 en verwezen

naar Bijlage 4 .

FIGUUR 15

Voor de afstanden x en zt uit figuur 15 geldt respectievelijk:

2QmA 1

Mo i- &,A (-A 2 i- ho

-

A)

x =

zt=

(ho

-

A)

-

X

Bovenstaande vergelijkingen resulteren in de volgende vergelijking voor

z

t:

Bij het gebruik van onderzettingsbalken moet men er voor waken dat

zt

niet

gelijk aan nul wordt. Deze voorwaarde leidt tot een kritische lengte van de onderzettingsbalken:

Voor het masstraagheidsmoment van de totale constructie ten opzichte van de

draaiingsas (Jt) geldt :

- 26 -

Substitutie van de vergelijkingen ( 3 4 ) en ( 3 5 ) in (36) levert : Mo(ho- A) - emA

( 3 7 )

In figuur 16 is de luidklok met krukasconstructie opnieuw getekend, alleen

hebben de onderzettingsbalken nu een lengte van A t 6A

.

Bij een verkorting is 6A

<

O en voor het bereik van 6A geldt : -A

5

6A

<

Akr-A

FIGUUR 16

Het massatraagheidsmoment ten opzichte van de draaiingsas van het stuk onderzettingsbalk met lengte 6A wordt 6Jb genoemd, waarbij 6Jb

<

O genomen moet worden als 6A

<

8

.

Analoog aan de voorafgaande werkwijze in dit hoofdstuk geldt voor de nieuwe waarden, aangegeven met ( , I :

( 3 8 ) 2

- 27

-

Substitutie van de vergelijkingen (38) en (39) in (40) levert:

L I

Het tempo van de klok met rechte as is te verkrijgen door in vergelijking

( 4 1 ) 6A = -A te substitueren met in achtname van de relatie Jbz= -6Jb die

dan geldt. , -I 60

Mo

hog Joz+

Moho

2) tempo rechte as = -J( WP ( 4 2 ) i_

I

Wanneer de vergelijkingen ( 4 1 ) en (37) worden vergeleken kan het volgende

geconcludeerd worden :

~~~

6A

>

O het tempo daalt

6 A

<

O het tempo st.ijgt

6A

<

Akr- A met -A

-

28

-

6 Variëren van het t e i w van een luidklok iet behulp van een contraqewicht

Voor het veranderen van het tempo van een luidklok kan ook gebruik gemaakt worden van een contragewicht.In dit hoofdstuk wordt beschreven wat de invloed is van een contragewicht op het tempo. Verder wordt het verband afgeleid tussen de massa van het contragewicht en de afstand van het

zwaartepunt van het contragewicht tot de. draaiingsas bij een bepaald tempo.

6.1 Tempoveranderinq met behulp van een contraqewicht

Bij het hanteren van een contragewicht ontstaat de situatie zoals

schematisch weergegeven is in figuur 17.

FIGUUR 17

Voor het tempo van de luidklok zonder het contragewicht geldt volgens vergelijking ( 2 5 ) :

60 *tgzt)

tempo = t =

-Y(-

0 W P Jt

-

29

-

Wanneer het contragewicht bevestigd wordt veranderen de massa, het massatraagheidsmoment t.o.v. de draaiingsas en de positie van het zwaartepunt van de totale constructie.

Analoog aan de werkwijze in hoofdstuk 5 geldt voor de nieuwe waarden, aangegeven met (1) : PI

1

= M t t M t C

z

1 (M

+

Mc) = Mtzt

-

M c c t t (44) J l = Jt 9 Jc t Mchc 2

met Mc : massa van het contragewicht

hc : afstand van het zwaartepunt van Mc tot draaiingsas

(M.B. wanneer het systeem in rust I s en het zwaartepunt van het contragewicht onder de draaiingsas ligt moet een negatieve waarde genomen worden)

Jc : massatraagheidsmoment van M t.o.v. eigen zwp.

C

Substitutie van de vergelijkingen (44) in (25) levert het veranderde tempo

als gevolg van het bevestigen van een contragewicht:

Uit de vergelijkingen (43) en (45) kan worden geconcludeerd dat wanneer het contragewicht boven de draaiingsas wordt aangebracht het tempo daalt.

Wordt het contragewicht echter onder de draaiingsas aangebracht dan zal

afhankelijk van de waarden van de variabelen in vergelijking (45) het tempo

stijgen dan wel dalen.Terwij1 deze daling minder zal zijn dan in het eerste geval

Bij voorkeur wort dus het contragewicht gebruikt om een daling in tempo te

bewerkstelligen en het contragewicht wordt daartoe boven de draaiingsas geplaatst.

-

30

-

6.2 Het verband tussen Mc en hcbii een bepaald ciewenst tempo

Wanneer het tempo van een luidklok d.m.v een contragewicht gecorrigeerd dient te worden naar een bepaalde gewenste waarde dan is het van belang de relatie Mc (hc) of hc (Mc

1

te kennen.

Deze relaties kunnen woren afgeleid door herschrijving van vergelijking (45).Voor de massatraagheidsmomenten in vergelijking (45) worden de volgende

relaties gesubstitueerd :

J =

Mead

C

met to : tempo van de klok zonder contragewicht

contragewicht (zie Bijlage 5)

d : factor afhankelijk van de geometrie van het

Wanneer vergelijking (45) wordt herschreven, met substitutie van boven-

staande relaties, resulteert dat in de volgende relatie voor Mc(hc) :

Bovenstaande relatie (46) geeft aan hoe groot Me moet zijn, wanneer deze

geplaatst wordt op afstand he# om het tempo te verlagen van to naar tl. De volgende constanten (onafhankelijk van Mc of h C ) worden ingevoerd :

Net behulp van vergelijking (46) wordt de inverse relatie hc(Mc) bepaald.

-

31

-

Relatie ( 4 7 ) geeft aan op welke afstand hc de massa Mc geplaatst dient te

worden om het tempo te verlagen van to naar t1

.

N.B de relaties voor Mc(hc) en hc(Mc) zijn alleen bruikbaar indien de massa

Mt en de positie van het zwaartepunt

zt

van het systeem zonder contra-

gewicht bekend zijn De positie van het zwaartepunt zou bijvoorbeeld m.b.v. de experimentele methode uit 4.2 bepaald kunnen worden.

-

32 -

7 Methode ter bepalina van het Product M . a . en van Jt

In praktijksituaties zijn Mt, zt en in mindere mate Jt moeilijk te bepalen.

Deze waarden zijn van belang bij het bepalen van een contragewicht om het tempo te varieren. (zie hst. 6 vgl. 4 6 ) .

In dit hoofdstuk wordt een methode beschreven om het product M _tcz _t

Jt te bepalen.

en om

Voor het tempo van een luidklok geldt:

(zie hst. 6)

Voor het tempo van een luidklok met contragewicht geldt:

(zie hst. 6)

De volgende afkortingen worden ingevoerd:

60f g WP c :=

K := Mt.zt

De vergelijkingen (43) en (45) resulteren dan in:

K

-

Mchc Jt t Jc t Mchc 2

q-1

= 2 (43) ( 4 5 ) ( 4 8 )

Aan de luidklok, die een tempo to had, wordt een bepaald contragewicht

bevestigd. Van dit standaardcontragewicht zijn M S' h5 en J5 bekend (bere-

kend of gemeten). Een mogelijk standaardcontragewicht is getekend in figuur 1 8

.

-

3 3

-

FIGUUR 18 VOORBEELD

Wordt het tempo ts van de luidklok met standaardcontragewicht gemeten dan kan, indien to bekend is, uit de vergelijkingen ( 4 8 ) K bepaald worden.

ne oplossing voor K luidt :

MshstO 2 t (Js

+

MshS)*(y- to

-

ts

-

2 K = Mt*Zt

-

I

Voor Jt geldt uitgaande van vergelijking ( 3 3 ) :

( 4 9 )

Wanneer dus voor een luidklok m.b.v. een standaardcontragewicht de waarden K=Mt*zt en Jt zijn bepaald dan kunnen deze worden gebruikt bij het

- 34

-

Conclusies en mmeliikheden tot verder onderzoek

Dit verslag is een eerste aanzet tot een theorievorming rond de beweging van de luidklok vandaar dat het ietwat voorbarig of onmogelijk is om nu al

conclusies te trekken.

Daarom wordt hier volstaan met enkele algemene opmerkingen en worden daarna enkele mogelijkheden tot verder onderzoek aangegeven die wel tot definitieve conclusies zouden kunnen leiden.

algemene opmerkingen:

-

de botsing is moeilijk te beschrijven binnen een bewegingsvergelijking

- het massatraagheidsmóment van de totale constructie is in principe te

bepalen

- het tempo en de aanslag, de twee belangrijkste karakteristieken van een

luidklok, zijn afhankelijk van veel variabelen

-

wanneer de invloed van de klepel op de beweging van de klok wordt

verwaarloosd kan de beweging van de klok worden beschreven maar over de botsing is niets zinnigs te zeggen

-

het effect van een contragewicht of onderzetting op het tempo is vrij

goed voorspelbaar, het effect op de aanslag (nog) niet

-

indien het tempo, de massa en de positie van het zwaartepunt van het

systeem bekend zijn dan kan m.b.v. een contragewicht in principe het tempo willekeurig worden aangepast

Mtbzt en Jt worden bepaald

- met behulp van een standaardcontragewicht kunnen het product

mogelijkheden tot verder onderzoek:

- simuleren van het probleem op een rekenmachine om te achterhalen wat

de invloeden van de verschillende variabelen zijn en om meer inzicht te verkrijgen in de problematiek

-

pogen de botsing in te passen in de bewegingsvergelijking (misschien

mogelijk door steeds de randvoorwaarden aan te passen)

-

fundamenteel wiskundig onderzoek van de bewegingsvergelijking wat

misschien kan leiden tot vereenvoudigingen

- nagaan wat een optimale botsing tussen klok en klepel is, welke groot-

heden van belang zijn (b.v. snelheid, massa, materiaaleigenschappen) en of deze eventueel te vatten zijn in een begrip zoals bijvoorbeeld

de contacttijd of het tempo

- toepassen van vereenvoudigingen en nagaan in hoeverre deze toelaatbaar zyn

-

35

-

-

Slot

Opnieuw is voor mij gebleken dat stages van wezenlijk belang zijn binnen onze opleiding.

Confrontatie met een situatie waar je na deze opleiding in terecht kunt komen, verruimt je beeld van -en vergemakkelijkt de later te maken stap naar die situatie.

Persoonlijk heb ik zeer veel voldoening van deze stage daar ik met een concreet, weinig aangeroerd en zeer interessant probleem bezig ben geweest, dat op een niveau veel hoger dan de vorige stage en onder prettige

werkomstandigheden.

Vandaar dat ik dhr. Lehr en ir. Schoofs nogmaals hartelijk wil bedanken voor het tot stand komen van deze stage en hun begeleiding vanuit respectievelijk Koninklijke Eysbouts bv. en de TH Eindhoven.

Tenslotte wil ik nog Hans en Ans bedanken voor hun assistentie bij het maken van dit verslag en verder alle andere medewerkers voor de prettige werk- sfeer

Literatuur

[I] E. Kamke, Differentialgleichungen

[Z] A. Lehr, Leerboek der Campanologie

-

3 7

-

Bijlaqe

1

Bepaling van de positievectoren van de zwaartepunten

van klok en klepel

Uit figuur 7 (blz. ) kunnen voor de posities van de zwaartepunten van klok

en klepel de onderstaande twee figuren worden gedestilleerd. Uit deze

figuren kunnen de positievectoren van de zwaartepunten van de klok en van de klepel direct worden afgelezen.

z c i n e t z coco t zwaartepunt klepel asin8 i- z sincp ( acos8

+

zkcosip 1 k z = -k zwaartepunt klok

-

3 8 -

Biilase 2 Bepaling van de gereduceerde lengte van een fysische slinger De gereduceerde (s1inger)lengte van een fysische slinger is gelijk aan de lengte van een mathematische slinger met dezelfde slingertijd als de fysische slinger.

Een mathematische slinger puntmassa die beweegt aan Voor de slingertijden van

respectievelijk :

Tmath T

fY S

is een denkbeeldige slinger die bestaat uit een een gewichtsloos koord.

een mathematische -en een fysische slinger geldt

met L: Y: P: J: M: Z: L 2rpJ

-

Y J 2 v p J

-

Mgz lengte slinger gravitatie versnelling

factor, gekoppeld aan de max. uitwijkhoek ( a )

massatraagheidsmoment van de fysische slinger massa fysische slinger

afstand van het zwaartepunt van de fysishe slinger tot zijn draaipunt

Uit de voorwaarde Tmath = T volgt :

fYS

Definieerd men verder:

J =

met M : t :

Mt2

massa fysische slinger

traagheidsstraal, de afstand tot het draaipunt waar-

op een puntmassa M zich moet bevinden om hetzelfde

massatraagheidsmoment te hebben als de fysische slinger

Substitutie van vergelijking (2) in

( 1 )

levert voor de gereduceerde lengte

Lr :

p-1

r z _{( 3 )}

u

-

40

-

Biilaére 4 Bepaling van de positie van het gezamelijke zwaartepunt en van

lichaam bestaande uit twee massa's

het massatraagheidsmoment t.o.v. een bepaalde as van een

In figuur i is een lichaam bestaande uit de massa's M l en

%

getekend.

De afstand tussen de zwaartepunten bedraagt AZ.

--,

X

z

FIGUUR 1

Voor de afstand

x

van het zwaartepunt van het totale lichaam ( z ) tot het

zwaartepunt van M 1 volgt uit een het momentenevenwicht om z :

M2g* (Az

-

X) = Mlg*x

Herschreven leidt bovenstaande vergelijking tot een waarde voor

x

van :

/i<-n,

M1 t M2'Az

Met de bepaling van

x

ligt het zwaartepunt van het totale lichaam vast.

Voor het massatragheidsmoment van het lichaam t.o.v. het eigen zwaartepunt (Jz) geldt :

2 2

= J

+

J2

+

MIX t M ( A - x )

JZ

1

2 2 ( 2 )

met J 1 : massatraagheidsmoment van M t.o.v. eigen zwaartepunt

J 2 : massatraagheidsmoment van M2 t.o.v. eigen zwaartepunt

1

Substitutie van vergelijking ( 1 ) in (2) levert :

M1*M2 2

- 41 -

<

X

Voor het bepalen van het massatraagheismoment van het lichaam t.o.v. een

willekeurige draaiingsas O wordt uitgegaan van figuur 2.

,

Voor het massatraagheidsmoment Jo van het lichaam t.o.v. draaiingsas O

geldt:

= J t ( M l -i M 2 ) * ( X

-

al) 2

JO Z ( 4 )

Substitutie van de vergelijkingen

(1)

en ( 3 ) in ( 4 ) levert :

2 V a 2

-

)2 (al i-

'

_(Ml

'

_{M21'(M, t M 2} Ml t M2 *M2 M l M L Jo = J 1 t J2

+

Herschreven leidt bovenstaande vergelijking tot :

2 1 1

-

42

-

biilaqe 5 Massatraagheidsmomenten van enkele lichamen

X Z 1 2 1 2 1 2 Jx = M(;R 1 J = M(7R

1

Jz = M(5R 1 Y 1 2 1 2 1 2 1 2 Jx = M(EH

+

;R 1 = M(=B

+

;R 1 1 2

Jr

Jz = M(5R 1 = M ( E b 1 2

+ E c

1 2 1 = M(Ea 1 2

+Eb

1 2 1 Jx JY Jz 1 2 1 2 = M(=a + ~ 1 c