Examen Lineaire Algebra
Faculteit Ingenieurswetenschappen 1ste zittijd
1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen 22 januari 2013
en verkorte programma’s
N.B.: Begin elke vraag op een nieuw blad. Schrijf op elk blad je naam en vermeld je groep. Gelieve duidelijk te maken welke vraag je beantwoordt. Lees de vragen aandachtig, verklaar elke stap en schrijf duidelijk!
1. Beschouw de lineaire afbeelding f : R3[X] → R2[X] : P (X) 7→ 3P (X)−XP0(X)+P00(X).
(a) Bepaal Ker(f ); geef een basis voor deze ruimte, alsook haar dimensie. (b) Bepaal Im(f ); geef een basis voor deze ruimte, alsook haar dimensie.
(c) Gegeven de deelruimte A = {P (X) ∈ R3[X] | P0(0) = 0} van R3[X]. Beschouw de
afbeelding f |A, dit is de beperking van f tot de ruimte A. Toon aan dat f |Abijectief is
en bepaal zijn inverse. 2. Zij Ap = 1 0 0 0 0 1 0 p 0 0 −1 0 0 p 0 −1 ,
waarbij p ∈ R. De eigenruimte behorende bij een eigenwaarde λ ∈ R van Ap noteren we Eλ.
(a) Bewijs dat, indien p 6= 0, Ap steeds 2 verschillende negatieve re¨ele eigenwaarden heeft.
(b) Bewijs dat, indien p 6= 0, dim(E1) = dim(E−1) = 1. Geef een basis van E1in dit geval.
(c) Zij nu p = 0. Bepaal dim(E1) en dim(E−1). Geef een basis van E−1in dit geval.
(d) Bepaal alle p ∈ R waarvoor Ap de matrix is van een orthogonale transformatie in R4
3. Gegeven de C-vectorruimte C2[X] = {z0+ z1X + z2X2|z0, z1, z2 ∈ C}. Beschouw nu de volgende afbeelding h, iα : C2[X] × C2[X] → C ; ( 2 X i=0 ziXi, 2 X i=0 zi0Xi) 7→ z0z00 + z1z10 + αz2z20, waarbij α ∈ C.
(a) Voor welke waarde(n) van α is h, iαsesquilineair?
(b) Voor welke waarde(n) van α is h, iαtoegevoegd symmetrisch?
(c) Voor welke waarde(n) van α is h, iαpositief definiet?
Beschouw nu, voor het vervolg van deze vraag, de prehilbertruimte (C2[X], h, i1) (zelfde
notatie als hierboven). Zij f : C2[X] → C2[X] de C-lineaire afbeelding bepaald door:
f (1) = X ; f (X) = 1 ; f (X2) = iγX2, waarbij γ ∈ C.
(d) Voor welke waarde(n) van γ is f een unitaire afbeelding?
4. (a) Bepaal in de euclidische ruimte R3 (met standaard inwendig product) het voorschrift
van de isometrie f (i.e. bepaal A ∈ M3,3(R) en B ∈ M3,1(R) zodat f (X) = AX + B),
die de samenstelling is van de orthogonale spiegeling ten opzichte van het vlak V met vergelijking 2x − y + z = 6, gevolgd door een rotatie over een hoek 3π2 om de rechte l door de oorsprong, loodrecht op dit vlak.
(b) Als we eerst roteren over een hoek3π2 om de rechte l en vervolgens orthogonaal spiegelen ten opzichte van het vlak V , wat is dan het voorschrift van de aldus bekomen isometrie? Verklaar je antwoord!
