Vergelijking van twee toetsen voor periodiciteit

Vergelijking van twee toetsen voor periodiciteit

Citation for published version (APA):

Baaij, J. G. (1973). Vergelijking van twee toetsen voor periodiciteit. (Memorandum COSOR; Vol. 7301). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1973

Document Version:

Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record

Please check the document version of this publication:

• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can be important differences between the submitted version and the official published version of record. People interested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit the DOI to the publisher's website.

• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.

• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and page numbers.

Link to publication

General rights

Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain

• You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.

If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, please follow below link for the End User Agreement:

www.tue.nl/taverne Take down policy

If you believe that this document breaches copyright please contact us at: openaccess@tue.nl

providing details and we will investigate your claim.

'Sl?~RRC

. ,", ,!ll

,~~'~CO

5

:';,"~:

maart 1973

TECHNISCHE HOGESCHOOL EINDHOVEN ONDERAFDELING DER WISKUNDE

GROEP STATISTIEK EN OPERATIONS RESEARCH

Memorandum COSOR 73-01

Vergelijking van twe~ toetsen voor periodiciteit

Vergelijking van twee toetsen voor periodiciteit

Samenvatting.

In deze verhandeling worden een door Heuts [2J voorgestelde toets en een in het boek van Anderson [I J beschreven toets vergeleken. De laatste toets is uniform meest onderscheidend met betrekking tot een zekere groep Gvan trans forma ties. Heuts gaat uit van een minder algemeen model dan Anderson. Wij laten zien dat:

I. De toets van Heuts uitgaande van het beperkte model ook invariant is m.b.t. G.

2. De toets van Heuts uitgaande van een algemener model niet invariant is m.b.t. G, maar dat de toets in dit geval conservatief is.

3. De toetsingsgrootheid van Heuts minder informatie bevat dan de toetsings-grootheid uit Anderson [IJ.

I. Inleiding.

Op equidistante tijdstippen z~Jn YI'Y2' ••• 'YT waargenomen. Wij beschouwen Y = (Y

I,Y2, ••• ,YT)' en nemen aan dat T oneven is *) .De kolommen van de ma-trices V

=

(vO*,vl*, •••,v~(T_I)*) en W

=

(wI*,w2*, •••~w!(T_I)*) met

27Ti I) cos(T 27Ti 2) cOS(T 27ti 3) V

_o

= _{v i *} = cos(T 27Ti cos(T (T - I» en W. = ~* · (27Ti 1) s~nT · (27Ti 2) s~nT · (27Ti 3) Hn

T

sin(2;i (T - 1»

o

(i = 1,2, ••• ,~(T-I» vormen een orthogonale basis van~. T waarbij

/Iv.

"=,,

w.

,,=

!Y2T

~* ~* voor i = 1,2, ••• ,~(T-l) •

*)

Het geval dat T even is gaa~ nagenoeg analoog. Wijkomen hier later op terug.

Opmerking. We kunnen y blijkbaar volledig verklaren met een trigonometrisch . polynoom waarin alleperioden dieeen deler zijn van T zijn opgenomen:

waarin !(T-I) 2

I

i=I (a.v. + b.w. ) ~ ~* .~ ~* 1.1 1 I 2 I b - I · ~ = 1 2 I (T 1) . aO = -T vO*y , a; = -T v. y en . - w. y voor L ,

,···,2

-

•

~ ~* ~ ~*

De F-toets (Anderson [IJ, bIz. 111) is toepasbaar in het volgende algemene probleem; uitgaande vanhet model

1.2

Z

= ~OvO* +

I

(~.v. +

s.w. )

+ e

. D ~ ~* ~ ~*

~E:

waarin D c {1,2, •.• ,~(T-l)} en e - N(0,a 2I) willen we toetsen

waarin E c D.

o

tegen K:

I

iE:E 2 2 (~. + S.) > 0 ~ ~

De door Heuts [2J voorgestelde toets is toepasbaar in het speciale geval dat

T .

D = E = {p} waarin - = n geheel ~s. Het model wordt dus

p

1.3 + _-te

en we willen toetsen H

O: ~2_P + S2_P = 0 tegen

Opmerking. Deze laatste toets is dus aIleen toepasbaar voor perioden die een deler van de serielengte zijn en bovendien gelijk zijn aan een geheel aantal malen de tijd tussen twee opeenvolgende waarnemingen. Dit is bijvoorbeeld het geval wanneer we over maandomzetten van een geheel aantal jaren beschik-ken en seizoensinvloed (periodiciteit van een jaar) willen onderzoebeschik-ken.

- 3

-2. Vereenvoudiging d.m.v. voldoende statistische grootheden en invariantie. We gaan uit van het algemene model 1.2. De dichtheidvan Z is

f(y)=c exp{-_I_[y-a v -

L

(a.v. +S.w. )J'[y-aov

o -

L

(a.v. +S·w. )J}=

, 2a₂ 0 0* ._1.€D 1. 1. *_' 1. 1. * * _1.€. D 1. 1. * 1. 1. *

= c' exp{-_I- [y'y- 2a

oy'vo - 2

L

(a.y!v. + S"y!w. )J

2a2 * 1.€D. 1. 1. 1.* 1. 1. 1.*

zodat we gens de factorisatiestelling (zie [3J, bIz. 48)

Z'Z,

_{Z'vO*' Z'vi * en}

Z'wi * voor i € D voldoende zijn voor de parameters a2, 0.

0' ai en Si (i € D).

Dus ook ~2, !!O' !!i en 2i (i € D) zijn voldoende, waarin !!i en 2i zijn gede-finieerd volgens 1.1 en

2. I (a.2 + b.)2 •

-1. -1.

Zoals bekend zijn ~O' ~i en 2i de kleinste kwadratenschatters voor 0.

0 ' a i en

S·. Daar V

o ' v. en w. orthogonaal ziJ'n (i = 1,2, ••• ,!(T-I» ziJ'n aO' a.

1. * 1.* 1.* , - -1.

en b. 0.0. normaal verdeeld.

-1.

Ret toetsingsprobleem R

O: 0.p2 + S2 =p 0 tegen K: 0.p2 + S2p > 0 (E = {p}) is in-variant onder de volgende groepen van transformaties.

*)

gcOZ= Z + cOvO* met Co €

m;

d.w.z. g~o~o = !!O + Co •

Maximaal invariant is de verzameling S2, a. en b. voor i € D.

- -1. -1.

g d Z = Z +

L

(c.v. + d.w. ) met c. ,d'. €m; d.w.z.

e, iED\{p} 1. 1.* 1. 1.* 1. 1.

ge' , d a. = a. + e._{-1. -1. 1.} en g'c, db. = b. + d._{-1. -1. 1.} voor i € D \ {p}.

Maximaal invariant ziJ'n de statistische grootheden S2, a2 en b2•_{- -p -p}

G3: ge Z = (XiX2'···'X~) met

, 2 T 21TD 2

X~ =

X

_t +

T

I

[cos(y" (s - t) - e) - cos( ~p (s - t»J voor

e

E (-1T,1T)

s= 1

*) Met g' bedoelen we steeds de transformatie der statistische grootheden die door g geinduceerd wordt.

d.w.z. g' a

_e

=

a cos

e

+ b sin

e

en g' b

=

-

a sin

e

+ b cos

e.

-p -p -p

e

-p -p -p

Maximaal invariant zijn ~2 en (a2 + b2 ).

-p -p gc ~

=

c~ voor c > 0; Maximaal invariant is d.w.z. g' S2 = c2S 2 c -a2 + b2 -p -p S2 en De transformatiegroep G

=

G

1 @ G2 @ G3 @ G4 induceert de volgende groep G van transformaties op de parameterruimte.

G: ca. + c. en gS. =

1 1 1 c S.1 + d. voor i1 E D \ {p}.

gap

=

c(a_p cos

e

+ Sp sin

e),

SSp

=

c(- a_p sin

e

+ Sb cos

e)

en

g02 = c20 2 •

a2 + b2 Maximaal invariant is $2 = P P

.0 2

3. Toetsprocedures

heeft (zie bijv. [IJ,

een F-verdeling met 2 en T~ 3 vrijheids-Ret is bekend dat

graden en niet centraliteitsparameter $2 = bIz. 112).

De dichtheid van de niet centrale F-verdeling heeft monotoon aannemelijk-heidsquotient in de niet centraliteitsparameter ([3J, bIz. 268). De F-toets met verwerpingsgebied

{!

> c} is dus uniform meest onderscheidend in de

klasse van toetsen die invariant zijn m.b.t. G. (Immers

F

is maximaal inva-riant m.b.t. G.)

De toets van Heuts is toepasbaar in het geval we uitgaan van model 1.3 waarbij T = n x p •

We kunnen nu v en w schrijven als p dezelfde kolommen onder elkaar:

5

-(v v v) , 21T 21T 21T (n - I)), I) ,

v = met v = (cos (-), cos ( - 2), ••• , cos ( - en

p* n n n

(w w w) ,

(sin(~)

, • (21T 2) , • (21T (n- 1)),0)'

w =

...

met w = s~n - ••• , s~n -

.

p* n n n

We partitioneren y op dezelfde manier:

met v(i) = (v v v ) L "-(i-1)n+l'''-(i-l)n+2'·· ·'''-in (i = l,2, •••,n) • Zijn nu en b(,0 =

l

w'v(R,) - n L voor R, = 1,2, •• ~,p

dan is de toetsingsgrootheid van Heuts:

H heeft nu een teitsparameter

S-verde ling me t 2 en 2p - 2

$2 = _1_ (a 2 + S2); immers:

02 p P

vrijheidsgraden en niet central

i-0.) 202 a ~ N(a - ) p' n b(R,)

~N(S

20 2 ) voor R, = l,2, ••• ,p p' n en .!(1) ,£.(1), ••• ,.!(p) ,£.(p) zijn Stellen we nu 0.0. dan is u =

V

n l a(R,) -R, 2 -20 en v =

V

n 'b (R,) -R, 2 -20

H=---waarin p (u. - ~)2 ~

I

(v. - i)2 -~ - i=I-~

~

=.!.

!

u. p i= 1 -~ en

Zoals bekend hebben

p~2

+ pv2 en

I

(~i

-

~)2

+

I

(Yi - y)2 resp. een

i= 1 i= 1

niet centrale x2-verdeling met 2 vrijheidsgraden en niet centraliteitspara-meter

~2

= _1_ (a 2 + S2) en een centrale

x2~verdelingmet

2p - 2

vrij-0 2 p P

heidsgraden. Hieruit voIgt dat ~ de bovengenoemde S-verdeling bezit. Het verwerpingsgebied van deze toets heeft de vorm {~ > c}. We kunnen dit verwerpingsgebied ook schrijven in de vorm

(p~2 + py2)/2

{HI = _> cl }

(I

(u. - ~)2 +

I

(v. - v) 2) / (2p - 2) i=1 -1. i=1 -1.

-(zie bijv. [3J, bIz. 768).

Volgens de bovenstaande redenering heeft ~I een F-verdelign met 2 resp. 2p - 2 vrijheidsgraden en niet centraliteitsparameter ~2.

Opmerking. Nu is a =

1.

I

a(R.) en b =

1.

I

b(R.) -p _{p R.=1} -p P R.=1

-zodat 2 . -b»/(2p-2)_-p

(1.

f

(~

(R.) P R.=1 (a2 + b2_)/2 HI = -.!:.p_ _-.Ji.p _ - a )2 +

1.

f

(b(R.) -p p R.=1 -(3. 1)

4. Vergelijking van beide procedures.

We gaan uit van model 1.3. De H-toets is nu invariant onder G. De

transfor-(1) (1) ( R . ) . (R.)

maties uit G induceren transformaties van ~ ,~ , ••• ,~ en b •

7 -g' b(R,)

e

= - zodat (g' a )2 + (g' b )2 =

e

-p

e

""p G

3: Is niet relevant we gens D - {p} = ~.

en

We zien dat H of H' invariant is onder deze transformaties.

Stel eens dat we van een algemener model uitgaan dan model 1.3. We laten aan de hand van een voorbeeld zien dat nu

I. H in het algemeen niet invariant is onder G₂•

2. De noemer van H' in het algemeen ook niet centraal verdeeld is.

We gaan uit van T = 6 *)

,

D = {l,2} en E = {2}. Ret model is dus 2

4. I _{Z= o.OvO*} +

I

(o..v. + S.w. ) + e

i=1 1 1* 1 1*

en we willen toetsen.H

O: o.~ + S~ = 0 tegen K: o.~ +S~ >

o.

We beschouwen nu een transformatie g E G

2:

d.w.z. g'~1 = !I + c_{l ' g'QI = QI} +

d

_{l ,} g'~2 = !2 en g'Q2 = Q2'

Voor de statistische grootheden

~(I), ~(2), ~(I)

en

~(2)

geldt echter:

*) . . . .

g,.!(I)

=

~

I

[~t

+ C

1

cos(~

1ft) + d1 sin<1 1ft)] cos

~

1ft

=

t=1

=

a(l) - c -

!v'3d

- 1 1 4.3. en op dezelfde manier: g ,.!(2)

=

a(2) + c + 1 ~3 d 1 2 ° 1 zodat wegens 3.1 4.4

We zien dat HI (dus ook

!!)

niet invariant is onder g I.

Gaan we nu uit van model 1.3 en passen we de transformatie 4.2 toe op de waarnemingen met c

1 = a1 en d1 =81, dan wordt 4.1 het model voor de

getrans-formeerde waarnemingen. Aangezien

tg

la ",,:,2 en t.g'b

=

8 -2 2

geldt dat de noemer van 4.4 nu ook niet centraal (X2 _) verdeeld is met niet centraliteitsparameters

De toets is dus conservatief in dit geval.

Hetzelfde is het geval voor de F~toets wanneermen minder systematiek in zijn model veronderstelt dan in werkelijkheid aan de waarnemingen ten grond-slag ligt.

9

-...

H' en F hebben identieke tellers terwijl de noemers van deze statistisehe grootheden verdeeld zijn resp. volgens een xLverdeling met 2p - 2, resp. T - 3 vrijheidsgraden.

Daar p <

!

(T - I) geldt altijd T - 3 > 2p - 2 waaruit voIgt dat!!.' Minder in-formatie bevat dan

F.

De noemer van

F

bevat immers meer informatie over 02

dan de noemer van H'.

0pmerking. In het geval T even is kunnen we

Z

weer volledig verklaren met de kc;>lommen van V en W (zie § I) als we aan Wde kolom w

O

*

= (-1,1,-1,1, •••,1)'

toevoegen.

1

De statistisehe grootheid ~O =

T

wO*y en eventueel de parameter

So

spelen dezelfde rol als b. en S. voor i

=

1,2, ••• ,HT-l).

-~ ~

Tot slot merken we nog op dat, in geval we uitgaande van het algemene modet 1.2 willen toetsen H O: _~E. E

I

(a~~ +

S:)

~ = 0 tegen K: 2 2 (a. +

s.)

> 0 ~ ~ we groep G

3 vervangen door een groep transformaties die _iEE

I

(~~ + ~f) inva-riant laat. (Dit zijn bijvoorbeeld orthogonale transformaties van de vee to-ren waarvan de componenten uit a. en b. voor i E E (zie § 1) bestaan.)

-~ -~

Maximaal invariant is dan

met 8 2 gedefinieerd in 2.1.

Als toetsingsgrootheid kunnen we dan gebruiken

'\ 2 2

.L (~i + ~i)/2£

F = _~_E_E _

2.

2_{/ (T - 2k - 1)}

waarin £ het aantal elementen van E is. !heeft dan een F-verdeling met 2£

traliteitsparameter ~2 =

I

(a~ +

i E ~

en T - 2k - 1 vrijheidsgraden en niet

cen-2

S.).

Literatuur.

[IJ T.W. Anderson [1971J. The Statistical Analysis of Time Series. John Wiley &Sons, inc., New York.

[2J R.M.J. Heuts [1971J. A new test statistic.for searching hidden periodic-ities in time series and the derivation and numerical calculation of its power function.

Katholieke Economische Hogeschool Tilburg, ongepubliceerd. [3J E.L. Lehmann [1959J. Testing Statistical Hypothesis.