Über die Stärke und Steifigkeit von Kastenträgern mit Rechteckquerschnitt

Über die Stärke und Steifigkeit von Kastenträgern mit

Rechteckquerschnitt

Citation for published version (APA):

Janssen, J. D., & Veldpaus, F. E. (1970). Über die Stärke und Steifigkeit von Kastenträgern mit Rechteckquerschnitt. (DCT rapporten; Vol. 1970.038). Technische Hogeschool Eindhoven.

Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1970

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J . D . Janssen

1. Einleitung

Das mechanische Verhalten (dünnwandiger) Kastentrager lasst sich in bestimmten Fallen

-

wovon Abb.

1 . 1

einige Beispiele gibt

-

mit Hilfe der elementaren Bernoullischen und Bredtschen Biegungs- und Torsions- theorie nicht genugend exakt beschreiben.

/Abb. 1.11

Nach der Bredtschen Theorie treten axiale Verschiebungen des Querschnitts auf wenn der Trager mit einem Torsionsmoment (Abb. i.1.b) belastet wird. Behinderung dieser VerwÖlbung wird,u.a. das Auftreten von axialen Normal- spannungen undiextr-a Schubspannungen ~- zur FoYge ~ ~~ haben.

In bestimmten Belastungssituationen

-

siehe Z.B. Abb. 1.l.c und Ahb. 1.l.d

-

wird ausserdem eine hderung der Form des Querschnitts statt finden: das

Schiefziehen der Profillinie.

Es gibt eine ganze Reihe von eindimensionalen Theorien fur dünnwandige Kas- tentrager bei denen man den Einfluss dez Querschnittsverwölbung berücksich- tigt. O f t lasst man dabei die Wirkung des Schiefziehens ausser Betracht, siehe Z.B. D. Williams [i], W. FlÜgge und K. Marguerre [ 2 ] , R. Heilig 133, C. Kollbrunner und N. Hajdin[4]

.

Mittels Experimente kann klargestellt wer-

den dass dies Öfters nicht den Tatsachen entspricht [SI e Celbstverstandlich

ware es möglich die Wirkung des Schiefziehens hinreichend zu reduzieren wenn man genugend Querschotte im Trager einbaut. Diese Situation wird aber nicht

immer auftreten.

Zwar ist von a.a. Janssen

l5l

Dabrowski L6] Vlasov

171

Lacher [8],

Resinger [9] unci CsonKa [iÛ] eine Theorie angegeben worden bel der sowohl

die Wirkung der VerwÖlbung als des Cchiefziehens des Querschnitts wohl be- rücksichtigt wird. Eine Verglëichung dieser Theorien ist jedoch nicht der Zweck dieser Arbeit.

Mit Hilfe der klassischen Theorie fur Plattenbiegung und"du-i-ch genaue Ex- perimente hat Janssen [5] bewiesen dass die in L5] prasentierte Modifikation der Vlasovschen Theorie [71 die Realitat zur GenÜge darstellt. Aus dieser modifizierten Vlásov-Theorie ergibt sich u.a. dass eine bessere Beschreibung der Biegespannungen möglich ist a l s mlt

171.

- < Deshalb werden wir uns in dieser

Arbeit beschra-iiken auf die von Janssen estellten Theorie. Wenn wir seine auf dem Frinzip der minimalen potentiellen Energie basierte Arbeitsweise an-

wenden, so bleiben die Berechnungen Übersichtlich und systematisch. Wir werden danach streben die wichtigsten Ergebnisse in eine fur den Prakti- ker nutzbare Form darzustellen.

Bierbei werden wir uns beschränken auf zylindrische Kastentrager mit Recht- eckquerschnitt und zwei Symmetrieachsen. Obwohl diese Beschrankungen nicht wesentlich sind, so sind sie doch mehr*oder weniger notwendig um zu einer Theorie zu gelangen, die auch analytisch handsam ist. Bei einem beliebigen Querschnitt ist es zwechmässiger einen numerischen Weg zu folgen, etwa mit Bilfe der Nethode der finiten Elemente

[lil:

Der Beiastungszustand in einem Endquerschnitt des Tragers ist in den Theorien nach Bernoullii

-

Navier und Bredt völlig charakterisiert durch die Normal- kraft, die Querkräfte, die biegenden Momente und das Torsionsmoment. Wenn aber die VerwÖlbung und das Schiefziehen des Querschnitts berücksichtigt wer- den, werden auch die in Abb. 1.2 gezeichneten Gleichgewichtssysteme von grosser Wicht igkei t sein o

In dieser Arbeit werden wir fur einige spezifische Belastungen die Differenzen untersuchen-die zwischen der TEiéorie fur Trager mit starrem Querschnitt einer- seits und mit verformbarem Querschnitt andererseits auftreten. Dabei möchten wir uns beschranken auf Belastungssysteme, die hinsichtlich der beiden Symme- trieflächen des Tragers antimetrisch sind, wie Z.B. ein Torsionsmoment oder die in Abb. 1 . 2 gezeichneten Kraftesysteme. Elne eventuelle Belastung der zy- lindrischen Oberflkhe des Tragers lassen wir ausser Betracht und

2. - i Bezeichnungen

2.1. Koordinaten (siehe Abb. 2.1)

X

-

Längsachse

Y,Z

-

Querschnittshauptachsen

S

-

Konturordinate

2.2. Geometrische Daten (siehe Abb. 2.1)

-

R

-

P

halbe &he, bzw. lialbe Breite Wandstärke

Lange des Lrägers

Querschnittsfläche; F = 4 (b t

1 1

+ b2t2) 2.3. Werkstoffdaten E

-

Elastizitätsmodul G

-

Schubmodul v

-

Querdehnungszahl 2.4. Verschiebungsfunktionen ( s i e h e Abb. 2.2)

Verschiebung in axiaier Richtung

Verschiebung in der Richtung der Konturordinate Verwölbungsfunktion

Verdrehung des Querschnitts

Verformungswinkel der Profillinie Verschiebung u wenn B(x) = i

Verschiebung v wenn û(x) =

1 ,

K(X) = O

2.5. Spannungen und Kraftgrössen (siehe Abb. 2.2) os (x;s j M (x,s) 1s 2.6. Cteifigkeitsdaten a l $ a2Y a3’ aq C 4 a O Fi a2 Y2 62

-

axial e Bíemb r anno rmal sp annung Membr an s chub sp annung

-

-

Mémbranschubspannungen in Platte 1 , bzw. Platte 2

-

Biegespannung

-

Vergleichsspannung

-

vorgeschriebene SpannUngen im Endquerschnitt

-

Torsionsmoment

-

axiales

,

bzw. transversales Eimoment

-

vorgeschriebene Belastung im Endquerschnitt

-

Biegemoment pro Langeneinheit im Querschnitt

-

_{Biegemoment pro Langeneinheit im Längsschnitt}

D

Abb. 2.2

Cteifigkeiten nach (3.131, ( 3 . ! 4 ) , (3.!5), (3.21) Steif igkeit nach ( 4 . 4 )

1 c 4 a l

-

-a c 1 1 16

-

4 a

-

a l 3 2 a a

-

a 2(1 + E ) O a 2(i

-

E ) O 1

-

E 2

2.7. Indizien

S

-

fur Theorie mit starrer Profillinie

f

-

fur Theorie mit verformbarer Profillinie

b.

-

fur Theorie nach Bredt

2.8. Sonstige Symbole

potentielle Energie

charakteristische Lange des Tragers nach (6. i ) und (6.2)

cos h (ax) sin (yx)

cos h (ax) cos (yx)

sin h (ax) cos (yx)

sin h (ax) sin (yx)

d dx

3. Trager mit starrer Profillinie

Analog

r.51

grÜndet sich die Theorie auf das Prinzip der minimalen potentiellen Energie mit der ein Übersichtliches, gut fundiertes und konsistentes Näherungs- verfahren entsteht,

fahren.

Um nicht nur kinematische sondern auch dynamische Randbedingungen mit einzu- beziehen, betrachten wir einen Trager der bei x = O starr ist eingespannt und bei x = R von den Normalspannungen F ( s ) und von den Schubspannungen T ( s ) , die gleichmässig Über die Wandstarke verteilt sind, belastet ist. Selbstverständ- lich sollen O und T den in der Einleitung erwähnten Antimetriebedingungen ge- nügen, also:

das Übereinstimmt mit dem u.a. in [3] prasentierten Ver-

S ó d F = O 9 F

-

dY dz ds J T

-

dF = J” 7 - dF = O F F ds (3.2)

Die Theorie wird eindimensional als bekannt vorausgesetzt wird. turordinate, v(x,s), setzen wir

wenn das Modell der Verschiebungen im Querschnitt FÜr die Verschiebung in die Richtung der Kon- Unverformbarkeit der Profillinie wraus, während dagegen das Modell fur die axialen Verschiebungen sich grÜzndet auf die Bredtscher Torsionstheorie. Dann gilt (siehe Abb. 2.2):

nit (siehe Abb. 3 . l ) :

b fur y =

_-

+ b2

Y 2

( 3 a 3 )

( 3 . 4 )

Weil nur Membranspannungen auftreten, so folgt mit der angegebenen Belastung fur die poEentielle Energie V des Tragers:

-

Hieraus ergeben sich das axiale Bimoment B und das Torsionsmoment wichtige Spannungsresuitantender Belastung im Querschnitt x = E:

als

-

B = S F o ( s ) $ ( s ) dF

E

= 1 F T ( s ) h(s) dF (3.8) (3.9)

Analog (3.8) und (3.9) definieren wir das axiale Bimoment B(x) und das Torsionsmoment M(x) in einem beliebigen Querschnitt:

B(x) = S ~(x,s) $ ( s ) dF (3. 10) ~ F M(x) = 1 T(X,S) .his) dF F (3.11)

Mit der Substitution von (3.1) und (3.2) in (3.7) ergibt sich:

und a definiert werden durch:

1'

a2 3

wobei die Steifigkeitskonstanten a

a l = E 1 cj2dF =:

7

E b l 23 2(bltl + b2t2) (3,131 F a = G J (b-)2dF = G J F h2dF = 4 G b b (b t + E2tl) (3.14) 1 2 1 2 ds F 2 = G a3 F h

-

dcj dF = 4 2 blb2 (-blt2 + b2tl) (3.15) a s

Nach dem Prinzip der minimalen potentiellen Energie ist 6V = O fur alle zulässigen Variationen von P und 8 und hieraus folgen die Differentialglei- chungen fur B(x) und û(x>:

-

(3.16) a3B' + a 0'' = O (3.17)

und zwei dynarr,ische Randbedingungen fur x = R:

-

B = a B' (x=R) (3.18)

1

-

24 = a

(e'

+

u@)x=R

= a

e'

(x=R) + palB" (x=R) (3.19)

2 4

wobei die dimensionslose Konstante p angegeben wird durch:

3 2

a

1-I

= a

und a die spezifische Torsionssteifigkeit nach Bredt ist:

4 2 2 3 a - a - 2 - a4 a2 (3.20) (3.21)

Die Formeln (3.18) und (3.19) kann man auf jeden beliebigen Querschnitt x erweiteng sie stellen dann den Zusammenhang dar zwischen den Schnitt- grössen B(x)-.und M(x) einerseits und den Verschiebungsgrössen 8 (x) und

8 ( x ) andererseits:

M(x) = a 8' (x) + pa,B"(x) = a48'

(XI

+ UB' (x) (3.23)

4

Im Zusammenhang mit den Berechnungen des vierten Kapitels fur Trager mit verformbarem Querschnitt ist es angebracht ausser E(x) und N(x) a i s

dritte Schnittgrösse das transversale Bimoment Q(x) zu definieren:

Q(x) = B'(x) = a B" = a2(B + pû')

1 (3.24)

Aus (3.16) und (3.17) lasst sich eine Differentialgleichung in B(x) ab 1 ei t en :

wobei

(3.25)

(3.26)

der Funktionen

1 ,

x, cosh (Ax) und sinh (Ax). E s gilt:

cosh (Ax) + c sinh (Ax))

4 B(X> = -vc2 -t A(c3

1

M(x) = a c 4 2 (3.27) (3.28) (3.29) (3.30)

In dieser letzten Gleichung kommt selbstverstandlich zum Ausdruck dass das Torsionsmoment Tf konstant ist wenn der Trager nur im Endquerschnitt

c2, c und c erge-

3 4-

-

x = R belastet ist. Die Integrationskonstanten c

ben sich aus den Randbedingungen 8 = O, B = O fur x = O und B = 3 , PI = M fìir x = R.

Wenn der Trägerquerschnitt quadratisch ist (also b

halb a3 = O) bekomen wir die Torsionstheorie nach Bredt. Diese Theorie er- folgt auch wenn die VerwÖlbung in den Endquerschnitten x = O und x = Q

nicht behindert wird, (also B(o) = B(R) = O ) .

Nach Berechnung von B(x)

,

M(x) und Q(x) können die damit zusamenhangenden Spannungen festgestellt werden. Mit dem liookeschen Gesetz resultiert fur die Normalspannung D(X,S) und die Schubspannung T ( X , S ) in den Platten

(siehe Abb. 2.2): = b2, t l = t

1

2 und des- Pf + B'(x) - _- I4 + Q(x) T p l = 8b Ib2 8b Ib2 M

-

S'(x) = Fl

- Q(x)

8blb2 8b

1

b2 T2(X)t2 = (3.31) (3.32) (3.33)

Janssen [5] hat durch seine Forschung bewiesen, dass man eine bessere Verteilmg der Cchubspannungen erhalt wenn man axiales Gieichgewicht eines Elementes t(s)dxds aus den Tragerplatten voraussetzt. Dann ist das Resul- tat eine quadratische Verteilung der Schubspannungen fur jede Platte. Die Spannungen nach (3.32) und (3.33) sol1 man als Mittelwerte Über die dies- bezügliche Platte betrachten. Was den Zweck dieser Arbeit betrifft, so sind die Resultate nach (3.32) und (3.33) hínreichend genau.

4. Trager mit deformierbarer Profillinie

Die Theorie im dritten Kapitel grÜndet sich auf die Voraussetzung dass die Profillinie unverformbar ist. Wie aus ( 3 . 3 2 ) und (3.33) hervorgeht treten ausser den Bredtschen Schubspannungen

nungen Q auf.

8blb2t

In Abb. 4.1 sind diese zusätzlichen Schubspannungen angegeben in den Quer- schnitten zur Stelle x und x + dx

noch extra Schubspan- 8blb2t

1

1

Betrachten wir das KÖrperelement dx des Tragers als e k e n Rahmen, dann wird dieser Rahmen infolge der extra Schubspannungen belastet (siehe Abb. 4.1.b). Nur wenn kith im diesbezüglichen Querschnitt ein Querschott befindet, das in seiner Ebene verhältnismässig steif ist, wird keine Ver- formung der Profillinie auftreten.

Es liegt nahe das Deformationsmodell zu grÜnden auf die Pormänderung der Ptofillinie unter der skizzierten Belastung (Abb. 4.1.b). Wenn man nur die Biegungsenergie berücksichtigt, nimmt die Profillinie die in Abb. 4.2

dargestellte Form an, die vom Winkel

1

Abb. 4.21

I ,

charakterisiert werden kann.-

??Gr die Verschiebung in s-REchtung folgt dann:

mit :

(b2 TÜr y =

-

+ b2

m(s) =

1

-b fur

₁

z = _- + b

uberall wo $ ( s ) differenzierbar ist, zeigt sich: m(s) =

-

ds

(4. i >

(4.2)

(4.3)

Die Profilverfoïmung kann in mehrfacher Weise berucksichtigt werden (siehe Z.B. [ 5 , 6, 7 , 81).

Dabrowski teilt die Berechnung auf. Mit der Eypothese dass K gleich null

ist, wird zunächst

-

in einem ganz anderen Verfahren als iiÏ! dritten Ka- pitel

-

das transversale Bimoment Q = Q(x), das die Querschnittstreue gewähren soll, bestimmt. Nachher wird die Verformbarkeit des Querschnitts wiederhergestellt und wird ~ eine Differentialgleichung uierter ûrdnung fur den

Verformungswinkel K infolge der Belastung -Q(x), abgeleitet.

Wir werden hier dasselbe Verfahren anwenden als in

[s]

unc! grÜnden uns des- halb auf das Prinzip der minimalen potentiellen Energie. Die interessanten Differentialgleichungen und die dynamischen Randbedingungen können dann leicht bestimmt werden.

Die axiale Verschiebung u(x,s) wird in dieser Methode, wie auch im dritten Kapitel, gegeben von (3.3), während wir fur die Verschiebung in s-Richtung

(4.1) statt (3.4) benutzen werden. Dem Integral in (3.12), das die Focmände-

rungsenergie im Trager angibt, s o l l jetzt ein Glied hinzugefügt werden das von der mit K charakterisierten Plattenbiegung stammt. Dazu berechnen wir

die Biegungsenergie in einem Rahmen, der in der Art und Weise deformiert, wie in Abb. 4.1 angegeben.

Die Integration dieser Energie die Lange des Tragers entlang zeigt dass das zusätzliche Glied in (3.12) gleich

1

J

Unter Annahme der Behinderung der Querkontraktion im Falle einer Plattenbie-

R

x=o

c K~ dx ist.

gung, ergibt sich fur c:

Nach I57 fÜEirt diese Annahme zu hinreichend genauen Ergebnissen.

Ausser dem Torsionsmoment M(x) und dem axialen Bimoment B(x) tritt in d' Leser Theorie eine dritte Cchnittgrösse auf: das transversale Bimoment Q(x), das folgendermassen definiert wird:

Nachher wird klar werden dass diese Definition konsistent ist mlt (3.24)-

-

A l s wichtige Belastungsgrösse im Endquerschnitt x = R tritt, ausser M und

B,

auch das transversale Bimoment

{

auf:

-

{

= S ~ ( c ) m(s) dF

Die Formel fur die potentielle Energie fur einen bei x = O eingespann- ten und bei x = R von M,

- -

3 und

6

belasteten Trager lautet:

1' Neben den schon im dritten Kapitel eingeführten Cteif igkeitsgrössen a

a und a spielt in dieser Formel auch die Biegungssteifigkeit c eine Rolle. Aus S V = O fur alle zulässigen Variationen von 6,

e

und

ferentialgleichungen und drei dynamische Randbedingungen f& x = 9,:

2 3

folgen drei Dif-

-alBfl + a2B + a3e' + a2K' = O

a3B'

+

a2et1 + a Kt' = O 3 a2B' + a er' +

-

CK = O 3

-

E = a

₁

p ' (x = Q)

ii

= (a B + a2ev + a3K')x=Q 3 ( 4 . 9 ) ( 4 . 1 0 ) (4.1 i ) ( 4 . 1 2 ) ( 4 . 1 3 )

PÜr die Schnittgrössen B(xj, H(x) und Q(x) können analoge Gleichungen abgeleitet werden wenn whr einer, Trager mit Lange x betrachten. Es gilt:

( 4 . 1 4 ) ( 4 . 1 5 ) ( 4 . 1 6 )

Wir bemerken dass die Differentialgleichungen mit diesen Schnittgrössen auch folgendermassen geschrieben werden können:

M'(x) = O (4. 18)

Wenn e ( x ) und K(X) aus (4.8)

,

(4.9) und ( 4 . IO) eliminiert werden, ergibt sich fur B eine Differentialgleichung fÜnfter Ordnung.

Mit der LÖsung

Fur die allgemeine LÖsung folgt:

B=@(x) können û=û(x) und K = K ( X ) einfach bestimmt werden.

mit: $l = cosh ( a x ) sin (yx) @2 = cosh (ax) cos (yx)

Q3 = sinh (ax) cos (yx)

4,

= sbnh (ax) s i n (yx)

während die Ronstanten a , y,& und 6 definiert sind.mit:

a 1 a & = = ; (f)' O a4 und : a 4 = i * - C * a

> o

O a l o 4 (4.22) I (4.23)

I

(4.24) I I 1 (4.25) I ~ ~ 1 I (4.26) ,

i

(4.27) (4.28)

I

_I

1 (4.29) I

1

I I

I

(4.33) l i I Í I (4.31) 1 I I

Mit (4.14), (4.15), (4.16), (4.20), (4.21) und (4.22) ergibt sich fur B(x), M(x) und Q(x): B(x) = a o2 2a 1 (@iC3 + @zc4 + @3c5 + $4'6) M(x) = a c = konstant 4 2 (4.32) (4.33)

Da in (4.20),(4.21) und (4.22) und in (4.32), (4.33) und (4.34) die Funktionen

den" Charakter aben. In den graphischen Darstellungen des fÜnften Kapitels wird das klar zum Ausdruck kommen.

Die Spannuqgen G , T - und T

wähnten Art und Weise bestimt werden. Dann ergeben sich wieder die Beziehungen (3.31), (3.32) und (3.33). FÜr die Berechnung der Schubspannungen kann natÜr- lich auch das schon im dritten Kapitel genannte, genauere Verfahren nach 153 angewendet werden.

Ausser diesen Membranspannungan treten Biegespannungen auf, deren GrÖsse vom Biegemoment pro Langeneinheit im Querschnitt, M

pro Langeneinheit in Längsschnitten, M I s (x,s), Sestimmt ist. Wegen der Behin- derung der Querkontraktion bei Biegung gilt:

si (yx) und cos(yx) auftreten wird die LÖsung einen "schwanken-

in einem Querschnitt können nach der in 3. er-

i

2

s), und vom Biegemoment Ix

M = V M l s

!X (4.35)

Die maximale Biegespannung o, auf.

Es gilt:

infolge Et

D 1s tritt in den Eckpunkten des Tragers

max s und deshalb: s - -

--

min Ob max t2

wobei t die kleinste der Wandstärke t l und t ist.

min 2

(4.36)

5. Verrrleich der Theorien mittels eines konkreten Beisoiels

Die ausgeführten Theorien werden wir an Eand eines konkreten Beispiels mit- einander vergleichen. Dabei ergeben sich interessante Differenzen, die wir sodann fur beliebige Kastentrager mit Rechteckquerschnitt erläutern werden. GrÖssen die berechnet werden mit Eilfe der Bredtschen Theorie, der Theorie nach 3 und der Theorie nach 4 werden bezeichnet mit Oberindex

,

bzw. und ,

In Abb. 5.1. ist der Trager gezeichnet den wir unsere Aufmerksamkeit widmen wollen. Alle wichtigen Daten sind in der Abbildung angegeben worden.

b S f

In Abb. 5.2

....

Abb. 5.5 sind die interessantesten Spannungs- und Verformungs- daten angegeben worden. Es zeigt sich sofort dass die beiden Theorien, hin- sichtlich der Spannungen und des Verformungswinkels K , quantitativ und qua-

litativ ganz verschieden sind. Nur die Verdrehung

e

des Querschnitts stimmt in den beiden Theorien gut Überein. Experimente zeigen dass die Theorie, ge- grÜndet auf der Hypothese der verformbaren Profillinie, der Wlrklichkeit sehr nahe komt. In einer nächsten Veröffentlichung werden wir noch den F a l l erör- tern in dem eine bestimmte Zahl von gut aufgestellten Querschotten im Trager eine Situation hervorrufen, wobei der Theorie der starren Profillinie gefolgt werden kann. /Abb. 5.3; I i IAbb. 5.41 IAbb. 5.51 I 1 <

Infolge der Wölbbehinderung im Querschnitt x = O entstehen in beiden Tneorien Störspannungen die man hinsichtlich der Bredtschen Schubspannung (-ib = 5 N / m 2 )

als gross bezeichnen kann.

FÜr die maximale Vergleichspannung nach Mohr-Guest ( o ) in der Einspann-

stelle gilt: idmax

f o idmax idmax 3 o = 1,07 (5.11

U

idmax

Ausserdem s o l 1 man RÜcksicht nehmen auf die Biegespannungen, die, nach der Theorie der flexiblen Profillinie, bei einem Abstand von ungefähr 500 mm

der Einspannstelle maximal sind. Diese Spannungen kann man aber bestimt nicht vernachlässigen.

Die StÖrung hinsichtlich der Bredtschen Theorie ist in einer bestimmten Dis- tanz der Einspannstelle verschwunden. In der Theorie mit verformbarer Profil- linie ist diese Entfernung viel grösser als in der Theorie mit starrem Quer- schnitt (2300 mm bzw. 360 mm).

Im Gegensatz zur Theorie fur starre Querschnitte gibt die Verformbarkeit der Profillinie auch in der Gegend der Einleitungsstelle des Torsionsmomentes Ab- weichungen der Bredtschen Theorie. Diese Abweichungen treten auf wei1 die Be- lastung mit zwei Kraften p nach Abb. 5.1 nicht nur ein Torsionsmoment

E

sondern such ein transversales Bimoment Q verursacht, das in seinem Absolutwert ebenso gross ist wie M. Die dadurch hervorgerufenen Biegespannungen in den Platten sind, zusammen mit den Schubspannungen, verantwortlich fur eine grosse Zunahme der

-

-

maximalen Vergleichsspannung im Querschriitt x = R hinsichtlich CI b :

idmax Ç

In einer Entfernung von etwa 500 mm des belasteten Querschnitts x = R treten

sehr grosse axialen Membranspannungen auf (siehe ADb. 5.2). In Bezug auf die StÖrung beim Rande x = R kann nian schliessen, dass diese auf 2300 mm des Ran- des keinen merkbaren Einfluss mehr. ausubt.

Im nächsten Kapitel werden wir näher auf die anhand des gegebenen Beispiels festgestellten Erscheinungen eingehen. Ausserdem werden wir uns bemuhen um eine in der Praxis brauchbare Form der wichtigsten Ergebnisse.

6. Allgemeiner Vergleich der Theorien

6.1. Die Störungslänge

Wie aus den im vorigen Kapitel aufgeführten Abbildungen hervorgeht, haben die St&ur,gen hinsichtlich der Bredtschen Theorie e k e n "dämpfenden" Charak- ter, In einer Entfernung x von der Einleitungsstelle der Starung wird die GrÖsse der StÖrung in der Theorie mit starrer Profillinie bestimmt vom Wert

-Ax -Tr

e

wird die Störungslänge R

und in der Theorie mit verformbarer Profillinie vom Wert e-aX. Da e = 0,04

-

ziemlich arbiträr

-

definiert durch:

O

Man beachte dass in (6.2) a statt a benutzt wurde; wei1 E << 1 (siehe

Abb. 6.3) sind a und a nahezu g3eich.

Wenn v = 0,28 ergibt sich mit den Formeln fur a O O und A: O R S = 1,45 O (6.3) f N 0 = 3,3! O

__-

uLld fur deïi Spezialfali t = t = t erkiäit man:

1

2 R S = 1,45 (bi + b2) O Rf = 3,31 O (6.5)

FÜr das Beispiel im fÜnften Kapitel gilt somit: R z = 362 mm und Xf = 2310 m

Das Gebiet in dem die Effekte der Randstörung merkbar sind, ist fur Trager mit starrem Querschnitt erheblich kleiner als fur Trager mit verformbarem Querschnitt.

FÜr t

₁

O

O O

In Abb. 6.1, 6.2 und 6.3 sind

-,

-

und E dargestellt in Abhängigkeit

und von

-

dass E <<

1

fur reelle Massen des Tragers.

b l b l

,

unter der Bedingung t = t2 = t . Aus Abb. 6.3 geht hervor

b2

b l b2:

1

IAbb. 6.1

1

IAbb. 6.21 [Abb. 6.31

Wenn die Lange

Deformationszustand an einem Rand des Tragers nicht oder nur sehr wenig von den Bedingungen am anderen Rand beeinflusst. Einen Trager mit R >

wir a l s I’ unendlich lang’’ bezeichnen.

R des Tragers grösser ist als R werden der Spannungs- und

O

R werden

O

6 . 2 . Das axiale Bimoment B bei XÖlbbehinderung.

Wenn ein Trager, der sich als unendlich lang betrachten lässt, im Querschnitt x = R mit einem Torsionsmoment E belastet wird, so wird im allgemeinen eine Verwölbung der Querschnitte auftreten. Xird die Verwölbung im Querschnitt x = O

völlig behindert (siehe Abb. 5.1) so wird bei x = O ein axtales Bimoment B(o) auf treten. Annäherungsweise gilt:

-

und deshalb:

Aus Abb. 6.3 und Gleichung (6.10) gc-ht klar hervor dass bei Behinderung der 1:erwÖlbung grosse Unterschiede auftreten können zwischen den axialen Bimomenten Bs(o) und B ( o ) . Diese Behauptung ist augenfallig wenn man (6.8), (6.9) und

( 6 . 1 0 ) spezifiziert fur t = t = t:

f

1 2

-

f B ( o ) = 0,405 (bi

-

b2) - = Bf(0) 0,877 BS (0) (6.12) (6.13)

Man kann darlegen dass IB(x)

I

darstellt.

Die infolge B(o) auftretende maximale axiale Normalspannung in den Eckpunkten des Tragers, ( o ) , können wir vergleichen mit der Cchubspannung T~ nach Bredt.

Da :

IB(o)

I

im vorliegenden Pall den Kaximalwert von

o

ax

wird fur e k e n Trager mit konstanter Wandstarke gelten:

0 s ( Q > ax =

-

2,77 lJ b T und deshalb: r (6.14) (6.15) (6.16) (6.17)

6.3. Das transversale Bimoment Q bei Wölbbehinderung

Wenn im Querschnift x = O die VervÖlbung behindert ist, treten hinsichtlich der Theorie nach Bredt zusatzliche Cchubspannungen T auf, deren GrÖsse durch

das transversale Bimoment Q(o) bestimmt ist. Nahere Untersuchung ergibt: e

Qs(o) = li

2

(6.18)

f

Q ( O ) = 4~ 1-i

G

(6.19)

(6.20)

Die Schubspannungsverteilung im Querschnitt lasst sich mit (3.32) und (3.33) einfach bestimmen.

6 . 4 . Die Vergleichsspannung cr bei Wölbbehinderung. id

Wir erwahnen die Ergebnisse fur die Vergleichsspannung cr

im Querschnitt wo die VerwÖlbung behindert ist und beschränken uns dabei auf Trager mit konstanter IJandstarke t

1-1 3 0 )

nach Mohr-Guest id

= t 2 = t. Wenn b l >, b2 (und deshalb 1

,und v = 0 , 2 8 dann ergibt sich:

- S T f id b cr - = T ( 6 . 2 1 ) ( 6 . 2 2 )

6.5. Die Flattenbiegmg bei VÖlbbehinderung

Aus den graphischen Darstellungen in Kapitel 5 geht hervor dass bei WÖlb- behinderung fur Trager m i t verformbarer Profillinie in einer Entfernung

I von der Einspannstelle maximale Biegespannungen o in den Platten

x % 2 z auftreten. Venn t = + b = t und b l > b gilt: 2

1

‘ 2 ( 6 . 2 3 )

Wie aus ( 6 . 2 3 ) ersichtlich sein wird, sind diese Biegespannungen sicherlich nicht iiruner vernachiäs s igbar

.

6 . 6 . Effekte infolge eines transversalen Bimomentes

6.

Aus dem Beispiel im fÜnften Kapitel folgt dass die Beanspruchung durch ein transversales Bimoment

<

fur Trager mit verformbarer Prof illinie Anlass gibt zu einer ganz anderen Spannungsverteilung als von der Bredtschen Theorie

vorausgesagt wird. Wenn der Querschnitt starr ist, gibt eine Belastung keine zusätziichen Spannungen.

Fur die Belastungslage in Abb. 5.1 ist Trager mit

bei x = Rs

dem Torsionsmoment

E

gleich. Fur

t l = t2 = t gilt fur die maximale Eiegespannung cr in Langsflachen

f blb2 w 37,7

-

(’) = 12 a.

-

b t f T (6.24)

Die im Querschnitt x = Q auftretenden maximalen Schubspannungen sind ihrem Absolutwert nach zweimal so gross wie T

.

Die axialen Nembranspannungen, die fur x = Q gleich null sind, erreichen ihren Maximalwert in einer Entfernung von etwa x =

i

Q vom belasteten Rand her. Fur diese Spannungen gilt:

b O O f t tQO f =

-

l Y o 8 a.

-

_-

(3 ax ( x = R - xO) ‘b (6.25) 6.7. Die Torsionssteifigkeit

Auch die Torsionssteifigkeit ist von den Randbedingungen und der angewandten Theorie abhängig. Zur Berechnung der Steif igkeit betrachten wir einen Trager mit Lange\’ grösser als Q der belastet ist wie in Abb. 6.4. angegeben ist.

O ’

! i Abb. 6.41

Fur Trager mit starrer Profillinie ergibt sich:

Fishrend fur Trager mit verformbarer Profillinie gilt:

(6.26) (6.27) mit : (6.28) -a Q O $, = e EOS (a Q) O (6.29)

7. Schlussbemerkungen

Der Vergleich von Ergebnisse, erhalten Theorien fur dünnwandige Trager, macht

mit Hilfe zwei verschiedener klar dass das wohl oder nicht deformieren der Prof illinie grundsatzliche Unterschiede mit sich bringt. Manchmal wird fälschlich die Theorie fur Trager mit unverformbarem Quer- schnitt angewandt.

In der Praxis kann Unverformbarkeit der Prof illinie nur annaherend herge- stellt werden wenn genügend viele Querschotten angebracht worden sind. Die obige Darstellung macht klar dass derartige Querschotten nicht immer unbedingt eine Besserung des Spannungszustanden mit sich bringen.

Die in 5 studierte Konstruktion zeigt zum Beispiel dass die Spannungen in der Nahe der Wölbbehinderungsstelle bei einem Trager mit unverformbarem Querschnitt (also mit vielen Querschotten) um etwa 70% höher sind als bei einem Trager mit verformbarer Profillinie (also ohne Querschotten).

Das Beispiel macht auch klar dass eine Querschotte beim einführen einer Torsionsbelastung einen positiven Effekt hat.

Mit der Theorie fur Trager mit verformbarer Profillinie kann die Wirkung von Querschotten auf die Spannungen und Verformungen analysiert werden. In einer folgenden Veröffentlichung werden wir darauf näher eingehen.

[I] Williams, D: Torsion of a rectangular tube with axial constraints.

R.A.E. Report, Reports and Memoranda no. 1619, March, 1934.

[2] FlÜgge, FJ und Marguerre

,

K: WÖlbkräfte in dünnwandigen Profilstaben.

Ingenieur-Archiv, XVIII Band 1950

[3] Reilig, R: Beitrag zur Theorie der Kastentrager beliebigen Querschnitts-

form.

Der Stahlbau, 1961, Heft 1 1 , S 333.

Köllbrunner, C und Hajdin, N: Wölbkrafttarsion dünnwandiger Stäbe mit geschlossenem Profil.

Mitteilungen der Technischen Kommission der Schweizer Stahlbau-Vereinigung, Heft 32 (Juni 1966)

[4]

[5] Janssen, J: Over de torsietheorie van Vlasov voor dunwandige rechthoekige

kokers.

Dissertatie, Technische hogeschool Eindhoven ( 1 9 6 7 )

Dabrowski, R'i Der Schubverformungseinfluss auf die WÖlbkraf ttorsion der Kastentrager mit verformbarem biegesteifem Profil.

Der Bauingenieur, Band 4 0 , 1965, heft 1 1 [6]

[7] Vlasov, V : Thin-walled elastic beams.

2nd. ed., Israel Prograin for Scientific Translations, 3erusalem ( 1 9 Ó i )

181

Lacher,, G E Zur Berecbnung des "rhfliisses der Querschnittsverformmg auf die SpannungsverteLlung bei durch elastische oder starre Querschotte ver- steiften Tragwerke mie prismatischem, offenem o6er geschiossenem biege- steifem Querschnitt unter Querlast.

Der Stahlbau, 1962, Heft 10, S 2 9 9 , Keft 1 1 , S 325. eg] Resinger

,

F : Der dünnwandige Kastentrager.

Forschungsheft aus dem Gebiet des Stahlbaues, Nr. 13, Stahlbau-Verlag G.m.b.K.

,

RÖln.

[lo]

Csonka, P: Torion of a square-shaped tube clasped in at both ends. Hungarian Academy of Sciences, Budapest Acta Technica XXIV ( 1 9 5 9 ) , H 3, S 3 7 9 , H 4 , S 90.

[li] Janssen, J: De mogelijkheden van de methode der eindige elementen bij de

berekening van de sterkte en stijfheid van dunwandige balken.

4

C d

2 b 2

b

x-Achse : axiale Richtung durch Schwerpunkt

= Q Endflache des Tragers

Abb. 3.1

1

h= b

i

' i

Q

(x,) 8blb2t2

+

q = q d ; ; - dQ dx

(Rahmen mit Dicke dx)

b = 50mm b2 = 200 mm

1

t = t , = t 2 = 5mm R = 6 m 2 E = 200 kN/m v = 0,28 P = 5 k N b l b l Y

-

h -

I--

-2 - I - ” 2 4 Quercchnitt Abb. 5.1

Abb.

1 . 1

Beispielen wofÜr die Theorien von Bredt und Bernoulli nicht genugen.

1.2 Gleichgewichtsysteme.

2.1 Querschnitt des Tragers; Koordinatensystem. 2.2 Spannungen und Verschiebungen.

3.1 Graphische Darstellung $ ( s ) und h(c).

4.1 Zusätzliche Schubspannungen

4.2 Formänderung des Rahmens (schiefziehen) 5.1 Beispiel

5.2 B und o Funktionen von x

5.3 Q und T Funktionen ven x

e e

5.4 K und,oe Funktionen VOE x 5.5 8 Funktion VOI: x 6 . 1

-

Funktion von

-

max S & O b2 b! b! o 2\2 b2 b l Funktion von

-

b2 b l 6 . 3 E Funktion von

-

6.4 Trager mit Lange R 5 R 0

1

I

I

l

i

I i I I ,

I

l

i l

i

, l i