• No results found

H3: Differentiëren

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "H3: Differentiëren"

Copied!
15
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Hoofdstuk 3:

Differentiëren.

V_1. a. (2x )2 3 2x 2x 2x2 2 2 8x6 e 34 5 11 3 3 4 4 4 2 2 2 2 4 3 5 x x x 1 x x x x x x x        b. x(x )x2 22 x xx24  xx52  x13 f. 1 1 3 3 2 3 3 2 1 3 3 3 3 8 x x x x (2x) 2 x 8 x        c.       4 4 4 4 2 3 3 2 3 6 4 2(3x) 2 3 x 162x 2 (9x ) 9 (x ) 729x 9x g.    4 4 3 3 2 3 1 2 3 3 3 4 3 2 2 x x x x ( x) (x ) x d. (3x )2 2 64 729x612 243x6 3x x 3x   h.   2 3 4 3 2 2 1 2 3 4 x x x 2x 2 x V_2. a. x x2 3 x2 3 x5 e. 4x x 2 x x 3 x b. x2 36 x66 x0 1 (x )  x   f.       3 1 3 1 1 4 2 4 2 14 4x3 2x x x x x c. x(x 1) 2 x(x22x 1) x  32x2x g. 1  x 1  x 1 x x x x x d. (x x ) 1 2x2 2x x 1(x )1 2 x2 2 x2 V_3.

De coördinaten van de toppen kun je vinden met 2nd trace (calc) optie 3/4 (minimum/maximum) en de

helling met 2nd trace (calc) optie 6 (dy/dx) x 2 .

a. Top: 3  1 4 8 ( , 1 ) en dy(2) 11 dx b. Toppen: (-0,82; 2,09) en (0,82; -0,09) en dy (2) 10 dx  c. Toppen: (-0,32; -0,63) en (6,32; 12,63) en dy(2) 10 dx V_4. a. f'(x) 30 7x  6 210x6 b. t'(x) 7x 6 c. s'(x) 28 2x  56x d. g'(t) 15 e. h(u) u 4 2u3 u 2  h'(u) 4u 36u21 f.   112    1 12   1 2 2 j(x) 7 x j'(x) 1 x 1 x g. p(s) s(1 2 s s) s    22s121 s  p'(s) 2s 3 s 1   h.  1 2   2 1   1 2 2 2 1 t(v) v (2 ) v v t'(v) 2v v i. m(r) (1 r)(1 r r ) 1 r    2   3  m'(r) 3r2 j. z'(x) 3x44x3

(2)

V_5. a. f(x) 0 1 2 f(0) 4 3 1 1 6x  42 B(0, 4 )21 1 3 3 x 27 x 27 3 A( 3, 0)       

b. y 4 12  3 1321 0, de lijn gaat door het punt A(-3, 0).

De helling van de lijn is 412. 2 1 2 f'(x) x en in A is de helling ook 1 2 f'( 3) 4 

Controle: Voer in y1  61x3421 graph 2nd prgm optie 5 (tangent) x 3. De rekenmachine

tekent de raaklijn en geeft de bijbehorende vergelijking. d. y 4 12. 1. a. df (1) 2 dx   , df (2)dx  0,25 en df ( 5) 0,016dx   b. f'(x) 2x 3 23 x      c. Die zijn gelijk. 2. a. f(x) 44 4x 4 f'(x) 16x 5 165 x x          b. 3 3 81 3 38 4 4 1 1 3 f(x) 3 3 3 x x (2x) 8x 8x               c. 2 2 2 3 2 2 2 3 x 2 x 2 4 f(x) 1 2x f'(x) 4x x x x x              d. f(x) 1 2 32 43 1 2x 1 3x 2 4x 3 f'(x) 2x 2 6x 3 12x 4 22 63 124 x x                       

(3)

3. a.   2   3   3 8 f(x) x 4x f'(x) 1 8x 1 x b. Los op: f'(x) 0 c. f'(2) 2     3 3 8 1 0 x 8 1 x            y 2x b 1 2 2 b 4 b b 3 y 2x 3       3 x 8 x 2 ( 2, 3)

d. Voor grote waarden van x wordt de term 83

x bijna 0 en gaat de helling naar 1.

y 1 is de horizontale asymptoot van de afgeleide functie. Voor x-waarden in de buurt van 0 wordt de afgeleide heel erg groot (positief en negatief). Dus de helling wordt nooit 1, verder kan de helling alles zijn.

4. a.         1,001 1 f 1;1,001 0,4999 x 1,001 1 . De helling in (1, 1) is ongeveer 0,50. 4,001 4 f 4; 4,001 0,2500 x 4,001 4           . De helling in (4, 2) is ongeveer 0,25. 9,001 9 f 9; 9,001 0,1667 x 9,001 9         . De helling in (9, 3) is ongeveer 0,17. b.  1 12  1  2 2 1 1 f'(x) x x 2 x

c. De exacte hellingen zijn respectievelijk 21, 41 en 61.

5. a.   14   34    1 4 4 1 1 4 4 3 4 3 1 1 f(x) x x f'(x) x (x ) 4 x b.  5  521   1 412  1 4 2 2 f(x) x x x f'(x) 5 x 5 x x c.   21   1 121   1   2 2 1 1 1 f(x) x f'(x) x x x x 2x x d.  3 6 5  31 65  116   1 16  16 6 6 f(x) x x x x x f'(x) 1 x 1 x e. f(x) (x  x)2 x22x x x  f'(x) 2x 3 x 1   f.   2  2      2 1 1 1 1 f(x) (x ) x 2 x f'(x) 2x x x x x f(x) x 1 f '(x) 2 x  

(4)

6. a. f'(x) 1 2 x1 b. f'(x)  34      1 2 1 4 f'(x) 0 1 1 2 x 2 x 1 x x       3 4 1 4 1 1 2 x 1 2 x 2 x 4 x 2 x 4 In ( ,14  14) is de helling 0 en in (4, 2) is de helling 34. c. y 34x b 3 4 3 4 2 4 b 3 b b 1 y x 1         

d. f'(0) bestaat niet. De helling wordt heel erg groot als x in de buurt van 0 komt. De raaklijn loopt daar verticaal.

7. a. f'(x) 3x 212 b. f'(x) 0         2 2 2 3x 12 0 3x 12 x 4 x 2 x 2 c. ( 2, 16)  (2, 16) d. zie grafiek. 8. a.  1 2 3 f'(x) x 2 b. f'(x) 0            2 1 3 2 1 3 2 x 2 0 x 2 x 6 x 6 x 6

In deze punten heeft de grafiek van f een horizontale raaklijn. Meestal zijn dit de uiterste waarden. Kijk daarvoor in een plot van de functie. Het minimum is: 1

3 f( 6)  1 6  3,27 en het maximum is 1 3 f( 6) 1 6 3,27 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 10 15 20 -5 -10 -15 -20 f

(5)

9. a. f'(x) 8x 316x en g'(x) 8x 38 b. f'(x) 0 g'(x) 0              3 2 2 8x 16x 0 8x(x 2) 0 8x 0 x 2 x 0 x 2 x 2      3 3 3 8x 8 0 8x 8 x 1 x 1

c. f heeft een minimum –8 voor x  2, een maximum 0 voor x 0 en nog een minimum –8 voor x 2. De functie g heeft een minimum –6 voor x 1 .

10. Als de afgeleide ergens nul is, dan heeft de grafiek daar een horizontale raaklijn. Meestal heeft de grafiek daar dan een uiterste waarde, maar niet altijd. Neem b.v. f(x) x 3. De

afgeleide in x 0 is 0, maar de grafiek heeft geen uiterste waarde.

Als de grafiek overgaat van stijgend in dalend, is de afgeleide daar meestal 0, maar niet altijd. De functie f(x) x heeft in (0, 0) een 'knik'; de afgeleide bestaat niet in x 0 .

11.

a. Domein: 0 x 3 

b. Stel: B(x, 0). Dan zijn de coördinaten van C(x, 9 x 2)

     2   3 A(x) AB BC 2x (9 x ) 18x 2x c. A'(x) 6x218             2 2 2 A'(x) 0 6x 18 0 6(x 3) 0 x 3 x 3 x 3

De oppervlakte is maximaal 12 3 als x 3.

12.  1 2 2 f'(x) x 2 y ax b           2 1 2 2 2 2 3 3 f'(x) 0 x 2 x 4 x 2 x 2 Toppen : ( 2, 4 ) en (2, )                   2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 2 1 3 3 4 5 a 1 2 2 4 y 1 x b 4 1 2 b b 2   1  3 y 1 x 2 13. a/b/c. f'(x) 3x 2c

f'(x) 0 heeft geen oplossingen als c een positief getal is. F heeft dan geen uiterste waarden. F heeft precies één uiterste waarde als c 0 en twee uiterste waarden als c 0 .

(6)

14. a. x3 8 0 3 x 8 x 2    

b. Voer in: y0 nDeriv(y , x, x)1 : de hellingfunctie van y1. nDeriv: math math optie 8.

In x 0 is f'(x) 0 . c. Nee.

15.

a. De functie f heeft één uiterste waarde. b. f'(x) 2x 36x2       2 f'(x) 0 2x (x 3) 0 x 0 x 3

c. In een plot van f’ zie je dat f’ zelfs twee uiterste waarden heeft. Om deze te vinden moet je de afgeleide functie nog een keer differentiëren en gelijk aan 0 stellen.

           2 f'' 6x 12x f'' 0 6x(x 2) 0 x 0 x 2 f'(0) 0 en f'(2) 8

De uiterste waarden van f’ zijn 0 (maximum) en –8 (minimum). d. De helling van de grafiek heeft een uiterste waarde (buigpunten). 16. a. f'(x) 1  4  1 2 2 x x       f'(x) 0 2 1 x x 2 x 4 f(4) 4

De uiterste waarde is –4 en is een minimum.

b.    12 f'(x) 1 2x     1 112    2 1 f''(x) 2 x 0 als x 0

x x . Dat betekent dat de grafiek van f’ altijd positief is en dus dat de helling altijd toeneemt. En als de helling altijd toeneemt stijgt de grafiek van f steeds sneller. x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 -12 f f’ x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5

(7)

17. a. f'(x) x 34x24x b. f''(x) 3x 28x 4          2 2 1 3 f'(x) 0 x(x 4x 4) x(x 2) 0 x 0 x 2 Horizontale raaklijn in (0, 0) en (2, 1 )   2   3 44 2 1 3 81 3 ABC formule f''(x) 0 x x 2 Buigpunten : ( , ) en (2, 1 ) 18. a. f'(x) 4x 44x38x2 b. f'(x) 0             2 2 2 4x (x x 2) 4x (x 2)(x 1) 0 x 0 x 2 x 1

c. f heeft een maximum van 13

15 voor x 1 en een minimum van 111511 voor x 2 .

d.   13   15 f(1) 2 en f'(1) 8 e. f''(x) 16x 312x216x     13   15 y 8x b 2 8 b          2 4x(4x 3x 4) 0 x 0 x 0,69 x 1,44  2 15

b 5 De helling is minimaal als x 0,69

   2 15

y 8x 5 en als x 1, 44 .

19.

a. f’ heeft een maximum, dus f heeft een buigpunt.

b. Als f extremen heeft, dan moet f’ 0 worden en van teken wisselen. Dat is alleen in het eerste geval. c. 20. 1 2 2 10 5 f(x) 10x 5x x x                2 3 2 3 3 2 2 10 10 f'(x) 10x 10x x x f'(x) 0 x x x (x 1) 0 x 0 x 1 Top : (1, 5)              3 4 3 4 4 3 3 1 2 4 1 2 9 20 30 f''(x) 20x 30x x x f''(x) 0 20x 30x 10x (2x 3) 0 x 0 x 1 Buigpunt : (1 , 4 ) x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 x y 1 2 3 4 5 6 -1 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14

(8)

21. a. L 6 : O 2 6   2 72 dm2.   3  3    V 0,1 6 21,6 dm G 1,06 21,6 22,9 kg b G 80 0,1 L 3 75,5 O 2 9,1  2 166 dm2   1,06V 80 V 75,5   13  3 L 754,7 L 754,7 9,1 22. 23. a. f(x) 3x 2 en g(x) 2sin x   b. f(x) x 1 en g(x) x   3 c. f(x) 2x 2 en g(x) 2log x d. f(x) x 1 , g(x) x en k(x) 1 x     24. 25. a. 1 x f(x) sin( ) a. k(x) 2 3  x 1 b. f(x) cos(2x) b. y 3u 2  3 (2x 1) 2 26. a. y 21u 3  12(3x 1) 3   1 x 321  21

b. Door de richtingsgetallen van u en y met elkaar te vermenigvuldigen. 27.

a. h(x)  2 (3x 2) 1   6x 5 b. k(x) 3 ( 2x 1) 2      6x 1

c. f(g(x)) a (mx p) b am x ap b        en g(f(x)) m (ax b) p am x bm p        De bewering geldt ook voor a 0 .

28. a. f'(x) 2x 2  b. g'(x) 1 2 x  f'(1) 4 g'(4)  41 c. h(1) g(f(1)) g(4) 2   d. h(x) x2 2x 1

e. De helling van de grafiek van h in het punt (1, 2) is 4 41 1

f. f'(2) 6 , g'(9) 61 en h'(2) 1

x 0 1 2

2x+1 1 3 5

(9)

29. a. f'(x) 2x 1  f'(1) 3 b. g'(u) 1 g'(4) 41 2 u   c. h'(x) h(1,001) h(1) 0,75 0,001   

d. De helling van n is het product van de hellingen van l en m. e. -f. f( 2) 4          1 3 4 4 h'( 2) f'( 2) g'(4) 3 30. a. h(x) (2x 1)  3 (2x 1)(2x 1)  2 (2x 1)(4x 24x 1) 8x  312x2 6x 1 2 h'(x) 24x 24x 6 b. f'(x) 2 g'(x) 3x 2 c. g'(f(x)) 3(f(x)) 2 3(2x 1) 2 d. g'(f(x)) f'(x) 3(2x 1) 2 6(4x   2  24x 1) 24x  224x 6 h'(x)  Hé, ze zijn gelijk! 31. a. u(x) 2x 4 en f(u) u   5  f'(x) 2 5u  4 10(2x 4) 4 b. u(x) 3x 2x en f(u) u 3  f'(x) (6x 1) 3u   2 3(6x 1)(3x 2x)2 c.       2 3 3 2 3 2 12 u(x) 3x 2 en f(u) 2u f'(x) 3 4u 12(3x 2) u (3x 2) d.               2 2 2 1 2x 1 2x 1

u(x) x x en h(u) u h'(x) (2x 1) y'(x) 3

2 u 2 x x 2 x x e.       2 1 2 2 2 1 4x u(x) 2x 2 en h(u) u h'(x) 4x u u (2x 2)              2 2 2 2 2 1 x 4x x

u(x) x 1 en k(u) u k'(x) 2x y'(x)

(2x 2) 2 u x 1 x 1 32. a. 1 2 2 1 2 2 2 u(x) x 2x en f(u) u  f'(x) (x 2) 2u 2(x 2)( x     2x) b. f'(x) 0 2 1 2 2 1 2 1 2 2(x 2)( x 2x) 0 x 2 0 x 2x 0 x 2 x(x 4) 0 x 2 x 0 x 4                 

(10)

33.

a. Alle grafieken gaan door (-1, 0) en (3, 0). b. u(x) x 22x 3 en y(u) 0,1u n

n 1

2 n 1

2

u'(x) 2x 2 en y'(u) 0,1nu f'(x) 0,1 n (2x 2)(x 2x 3) f'(x) 0 2x 2 0 x 2x 3 0 2x 2 (x 1)(x 3) 0 x 1 x 1 x 3                             

c. Als n een oneven getal is wisselt f'(x) niet van teken bij x 1 en is er dus geen uiterste waarde. 34. a. f(x) ( x 2)   3 3 2 2 2 2 u(x) x 2 en f(u) u u'(x) 1 en f'(u) 3u f'(x) 1 3u 3( x 2) f'(x) 0 3( x 2) 0 x 2 0 x 2                        

f'(2) 0 (de raaklijn loopt horizontaal) maar f heeft geen uiterste waarde voor x 2 (zie plot). De grafiek heeft een buigpunt met een horizontale raaklijn.

b. u(x) ax 2 en f(u) u   3

2 2 2

u'(x) a en f'(u) 3u   f'(x) a 3u  3a(ax 2)

f is altijd stijgend als f'(x) 0 . Een kwadraat is altijd positief, dus als a 0 is f'(x) 0 . c. f is dalend als f'(x) 0 . Dus voor a 0 .

35. a. 1 3 2 I    2 1 4 4m 4000dm3. b. ABC ~ AFE 2 h 1 b   c. 1 2 2 V  h 2h 40 40h  d. V 20t e. 40h2 20t f. u(t) 0,5t en h(u) u   2 h 0,5t h 0,5t 1 1 1 1 u'(t) 0,5 en h'(u) h'(t) 0,5 0,5 2 u 2 u 2 0,5t 4 0,5t 1 h'(1) 0,35 dm/s 4 0,5          

Als het reservoir bijna vol is geldt:

h 10  0,5t 10  0,5t 100  t 200s x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 -5 -10 n=2 n=3 n=4 BC=2 AM=1 EF=b AN=h

(11)

36. a./b. W(t) 400 20t  c. W 40h 2         2 1 40 h W 0,025W 0,025(400 20t) 10 0,5t h 10 0,5t d. u(t) 10 0,5t en h(u)   u        1 1 1 u'(t) 0,5 en h'(u) h'(t) 0,5 en h'(10) 0,065 2 u 2 u 4 10 0,5t liter/sec. e.  1  4 85 dh (150) 0,027 dt liter/sec. 37. a./c. b. H(t) 1500 6t  d. p(H) 1013 0,095(H 1500) 1013 0,095H 142,5 1155,5 0,095H        e. p(t) 1155,5 0,095(1500 6t) 1013 0,57t     38. a.

-b. Als je een grafiek spiegelt in de lijn y x krijg je de grafiek van de inverse functie. Als je functie en inverse functie na elkaar toepast, gebeurt er in feite niets.

c.     2 1 g'(x) en g'(1) 1 x d. f(g(x)) x f'(g(x)) g'(x) 1 f'(g(1)) g'(1) f'(2) g'(1) f'(2) 1 1 f'(2) 1           

De helling van f in punt (2, 1) is –1.

e. De helling van p is f'(a), en de helling van q is g'(f(a)) g'(f(a)) f'(a) (g(f(a)))' x' 1   

39.

a. Als d(P, AB) x dan is PT 100 x  . Met pythagoras kan berekend worden dat

2 2 2 AP BP  10 x  100 x     2      2     2 20 l 100 x 2 100 x 100 x 4 100 x 100 x 400 4x t (in seconden) 0 1 2 3 H (in meters) 1500 1506 1512 1518 p (in millibar) 1013 1012,43 1011,86 1011,29 x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 y=x g(x) f(x)

(12)

b. l '20 1 8x2 0 2 4x 400      d. 2 2 2 2 1 a 4 l 100 x 2  a x 100 x  a 4x 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 4x 1 4x 400 4x 4x 400 16x 4x 400 12x 400 x 33 x 33 x 33             a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 1 1 12 12 l ' 0 8x 1 0 2 a 4x 4x a 4x 16x a 4x 12x a x a x a x a                c. 2 40 l 100 x 2 400 x   minimum is 134,64 2 80 l 100 x 2 1600 x   minimum is 169,28

e. Als a 100 12 dan is xopt  112100 12 100 , en dat kan niet.

f. 21 1 12 a 1 2 a tan APM   12 3 o o APM 60 APB 120    

(13)

T_1. a. 3 2 23 2 13 3 3 2 f(x) x x f'(x) x 3 x       b. 23 213 1 113 1 3 3 3 f(x) x x x   f'(x) 2 x 2 x x c. 112 1 212 2 2 1 3 f(x) x 1 x x x 2x x         d. 4 3 34 3 41 4 4 1 1 3 f(x) x x x x f'(x) x 2 x 2 x 4 x           e. f(x) (2x x)2 4x24x x x f'(x) 8x 6 x 1 f. 2 2 2 2 2 4x 4 4 2 4 (x ) x x 4 x f'(x) 2x x x x x x x            T_2. a. f'(x) 2 1 0 2 x     b. f'(x) 1 c. y   1 x b 1 4 1 2 2 x x   1 2 1 1 2 x x   1 1 4 4 1 4 1 4 0 1 b b b y x            1 16 1 1 16 8 x ( , )  1 4 1 4 x ( , 0)  T_3. a. f(x) 0 4 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 x 2x x (x 4) 0 x 0 x 4 x 0 x 2 x 2              b. c. f'(x) 2x 34x 3 2 2x 4x 2x(x 2) 0 x 0 x 2 x 2          

f heeft twee minima van -2 voor x  2 en x 2 en een maximum 0 voor x 0 .

T_4. a. v(t) s'(t)  0,00045t20,034t 0,116 v'(t) 0,0009t 0,034 0 0,0009t 0,034 t 37,8 (37.8, 20.56)      

b. Na 37,8 minuten is de snelheid maximaal 0,758 km/min 45,5km/u.

x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 -3

(14)

T_5. a. k(x) 2 3x b. m(x) 2 3 x  c. -T_6. a. u(x) 2x 24 en f(u) u 3 2 2 2 2 u'(x) 4x en f'(u) 3u   f'(x) 4x 3u  12x(2x 4) b. f'(x) 0 2 2 2 12x(2x 4) 0 x 0 x 2 x 0 x 2 x 2 (0, 64) en ( 2, 0) en ( 2, 0)              T_7. a. u(x) 2x 3 en f(u)   u b. u'(x) 2 en f'(u) 2 u1  f'(x) 2 2 u1  2x 31  c. u(x) x 3x en h(u) u 2 2 2 3 1 1 3x 1 u'(x) 3x 1 en f'(u) f'(x) (3x 1) 2 u 2 u 2 x x           T_8. a. 20.000 3q 500  20.000 q 500 6667 3 q 6167     b. K 0,75(50 6167) €4.662,75 en W 3 6167 4662,75 €13.838,25       c. p(q 500) 20.000  K 0,75(50 q) 0,75(50 20.000 500) 15.000 337,50 p p        20.000 q 500 p 20.000 q 500 p     d. W p q K p (     20.000p 500) ( 15.000p 337,50) 20.337,50 500p  15.000p De maximale winst is € 14860,- bij een prijs van ongeveer € 5,48

(15)

T_9. a. b. 9x x 2 0 x(9 x) 0 0 x 9     c. 1 2 (0, 0) en (9, 4 ) d. u(x) 9x x en h(u) 2 u 2 1 2 2 1 1 9 2x u'(x) 9 2x, h'(u) h'(x) (9 2x) 2 u 2 u 2 9x x 9 2x f'(x) 2 9x x               e. f'(x) 0 f. 1 3 1 1 2 4 2 2 f(4 ) 6 en f'(4 )  1 2 2 2 2 2 2 2 9 2x 2 9x x 2 9x x 2(9 2x) 9x x (9 2x) 81 36x 4x 5x 45x 81 0                  1 2 3 1 1 1 4 2 2 4 1 2 1 1 2 2 y x b 6 4 b 2 b b 4 y x 4           9 9 1 1 2 10 2 10 ABC formule x 4 5 x 4 5       T_10. a. u 0,025t 21000 en H(u) u 2 1 1 0,025t u'(t) 0,05t en H'(u) H'(t) 0, 05t 2 u 2 u 0,025t 1000        H'(300) 0,13 cm/s en H'(600) 0,15 cm/s. b. H'(t) 0,1 Voer in: y1 0,025x2 0,025x 1000   en y2 0,1 intersect: x 163 Vanaf 163 seconden is de snelheid groter dan 0,1 cm/s.

T_11. a.

b. Het buigpunt is (0, 0). De raaklijn loopt daar verticaal. c. -x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 2 4 6 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

De Tweede Kamerfractie echter wenste haar handen niet te laten binden door het Bondsbestuur en het episcopaat.. Op de Bondsvergadering van mei 1922 wist het

Schrijf de formule op waarin staat hoe het volume van x afhangt Bepaal voor welke waarde van x het volume maximaal is.. Tip: Bepaal de afgeleide en stel deze gelijk

Eerder onderzoek bij aardappel heeft uitgewezen dat Humistar de opbrengst verhoogt en de sortering verbetert (grotere maat). In dit onderzoek is gebleken dat een bemesting

Door diverse factoren kan de energie- en aminozurenbehoeften van biologisch gehouden vleesvarkens afwijken van die van gangbare varkens.. De belangrijkste factoren zijn

Het extra brandstof- verbruik door de w/k-installatie bij de productie van w/k-warmte is afhankelijk van het elektrisch en thermisch gebruiksrendement van w/k-installaties en

Uit onderzoek naar de geuremissie uit Groen Label stallen (zie project 53017) blijkt dat een beperkt deel van deze systemen een lagere emissie heeft dan conventionele systemen, en

Uit de resultaten van experiment 1 bleek dat de biggen met 60% gefermenteerde granen (mengsel van tarwe en gerst) in het rantsoen iets meer voer opnamen dan de biggen die

Toch zit een kas niet barstensvol insecten, want bij biologische bestrijding houdt de natuurlijke vijand de plaaginsecten op zo’n laag niveau dat beide soorten moeilijk in