Hoofdstuk 3:
Differentiëren.
V_1. a. (2x )2 3 2x 2x 2x2 2 2 8x6 e 34 5 11 3 3 4 4 4 2 2 2 2 4 3 5 x x x 1 x x x x x x x b. x(x )x2 22 x xx24 xx52 x13 f. 1 1 3 3 2 3 3 2 1 3 3 3 3 8 x x x x (2x) 2 x 8 x c. 4 4 4 4 2 3 3 2 3 6 4 2(3x) 2 3 x 162x 2 (9x ) 9 (x ) 729x 9x g. 4 4 3 3 2 3 1 2 3 3 3 4 3 2 2 x x x x ( x) (x ) x d. (3x )2 2 64 729x612 243x6 3x x 3x h. 2 3 4 3 2 2 1 2 3 4 x x x 2x 2 x V_2. a. x x2 3 x2 3 x5 e. 4x x 2 x x 3 x b. x2 36 x66 x0 1 (x ) x f. 3 1 3 1 1 4 2 4 2 14 4x3 2x x x x x c. x(x 1) 2 x(x22x 1) x 32x2x g. 1 x 1 x 1 x x x x x d. (x x ) 1 2x2 2x x 1(x )1 2 x2 2 x2 V_3.De coördinaten van de toppen kun je vinden met 2nd trace (calc) optie 3/4 (minimum/maximum) en de
helling met 2nd trace (calc) optie 6 (dy/dx) x 2 .
a. Top: 3 1 4 8 ( , 1 ) en dy(2) 11 dx b. Toppen: (-0,82; 2,09) en (0,82; -0,09) en dy (2) 10 dx c. Toppen: (-0,32; -0,63) en (6,32; 12,63) en dy(2) 10 dx V_4. a. f'(x) 30 7x 6 210x6 b. t'(x) 7x 6 c. s'(x) 28 2x 56x d. g'(t) 15 e. h(u) u 4 2u3 u 2 h'(u) 4u 36u21 f. 112 1 12 1 2 2 j(x) 7 x j'(x) 1 x 1 x g. p(s) s(1 2 s s) s 22s121 s p'(s) 2s 3 s 1 h. 1 2 2 1 1 2 2 2 1 t(v) v (2 ) v v t'(v) 2v v i. m(r) (1 r)(1 r r ) 1 r 2 3 m'(r) 3r2 j. z'(x) 3x44x3
V_5. a. f(x) 0 1 2 f(0) 4 3 1 1 6x 42 B(0, 4 )21 1 3 3 x 27 x 27 3 A( 3, 0)
b. y 4 12 3 1321 0, de lijn gaat door het punt A(-3, 0).
De helling van de lijn is 412. 2 1 2 f'(x) x en in A is de helling ook 1 2 f'( 3) 4
Controle: Voer in y1 61x3421 graph 2nd prgm optie 5 (tangent) x 3. De rekenmachine
tekent de raaklijn en geeft de bijbehorende vergelijking. d. y 4 12. 1. a. df (1) 2 dx , df (2)dx 0,25 en df ( 5) 0,016dx b. f'(x) 2x 3 23 x c. Die zijn gelijk. 2. a. f(x) 44 4x 4 f'(x) 16x 5 165 x x b. 3 3 81 3 38 4 4 1 1 3 f(x) 3 3 3 x x (2x) 8x 8x c. 2 2 2 3 2 2 2 3 x 2 x 2 4 f(x) 1 2x f'(x) 4x x x x x d. f(x) 1 2 32 43 1 2x 1 3x 2 4x 3 f'(x) 2x 2 6x 3 12x 4 22 63 124 x x
3. a. 2 3 3 8 f(x) x 4x f'(x) 1 8x 1 x b. Los op: f'(x) 0 c. f'(2) 2 3 3 8 1 0 x 8 1 x y 2x b 1 2 2 b 4 b b 3 y 2x 3 3 x 8 x 2 ( 2, 3)
d. Voor grote waarden van x wordt de term 83
x bijna 0 en gaat de helling naar 1.
y 1 is de horizontale asymptoot van de afgeleide functie. Voor x-waarden in de buurt van 0 wordt de afgeleide heel erg groot (positief en negatief). Dus de helling wordt nooit 1, verder kan de helling alles zijn.
4. a. 1,001 1 f 1;1,001 0,4999 x 1,001 1 . De helling in (1, 1) is ongeveer 0,50. 4,001 4 f 4; 4,001 0,2500 x 4,001 4 . De helling in (4, 2) is ongeveer 0,25. 9,001 9 f 9; 9,001 0,1667 x 9,001 9 . De helling in (9, 3) is ongeveer 0,17. b. 1 12 1 2 2 1 1 f'(x) x x 2 x
c. De exacte hellingen zijn respectievelijk 21, 41 en 61.
5. a. 14 34 1 4 4 1 1 4 4 3 4 3 1 1 f(x) x x f'(x) x (x ) 4 x b. 5 521 1 412 1 4 2 2 f(x) x x x f'(x) 5 x 5 x x c. 21 1 121 1 2 2 1 1 1 f(x) x f'(x) x x x x 2x x d. 3 6 5 31 65 116 1 16 16 6 6 f(x) x x x x x f'(x) 1 x 1 x e. f(x) (x x)2 x22x x x f'(x) 2x 3 x 1 f. 2 2 2 1 1 1 1 f(x) (x ) x 2 x f'(x) 2x x x x x f(x) x 1 f '(x) 2 x
6. a. f'(x) 1 2 x1 b. f'(x) 34 1 2 1 4 f'(x) 0 1 1 2 x 2 x 1 x x 3 4 1 4 1 1 2 x 1 2 x 2 x 4 x 2 x 4 In ( ,14 14) is de helling 0 en in (4, 2) is de helling 34. c. y 34x b 3 4 3 4 2 4 b 3 b b 1 y x 1
d. f'(0) bestaat niet. De helling wordt heel erg groot als x in de buurt van 0 komt. De raaklijn loopt daar verticaal.
7. a. f'(x) 3x 212 b. f'(x) 0 2 2 2 3x 12 0 3x 12 x 4 x 2 x 2 c. ( 2, 16) (2, 16) d. zie grafiek. 8. a. 1 2 3 f'(x) x 2 b. f'(x) 0 2 1 3 2 1 3 2 x 2 0 x 2 x 6 x 6 x 6
In deze punten heeft de grafiek van f een horizontale raaklijn. Meestal zijn dit de uiterste waarden. Kijk daarvoor in een plot van de functie. Het minimum is: 1
3 f( 6) 1 6 3,27 en het maximum is 1 3 f( 6) 1 6 3,27 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 5 10 15 20 -5 -10 -15 -20 f
9. a. f'(x) 8x 316x en g'(x) 8x 38 b. f'(x) 0 g'(x) 0 3 2 2 8x 16x 0 8x(x 2) 0 8x 0 x 2 x 0 x 2 x 2 3 3 3 8x 8 0 8x 8 x 1 x 1
c. f heeft een minimum –8 voor x 2, een maximum 0 voor x 0 en nog een minimum –8 voor x 2. De functie g heeft een minimum –6 voor x 1 .
10. Als de afgeleide ergens nul is, dan heeft de grafiek daar een horizontale raaklijn. Meestal heeft de grafiek daar dan een uiterste waarde, maar niet altijd. Neem b.v. f(x) x 3. De
afgeleide in x 0 is 0, maar de grafiek heeft geen uiterste waarde.
Als de grafiek overgaat van stijgend in dalend, is de afgeleide daar meestal 0, maar niet altijd. De functie f(x) x heeft in (0, 0) een 'knik'; de afgeleide bestaat niet in x 0 .
11.
a. Domein: 0 x 3
b. Stel: B(x, 0). Dan zijn de coördinaten van C(x, 9 x 2)
2 3 A(x) AB BC 2x (9 x ) 18x 2x c. A'(x) 6x218 2 2 2 A'(x) 0 6x 18 0 6(x 3) 0 x 3 x 3 x 3
De oppervlakte is maximaal 12 3 als x 3.
12. 1 2 2 f'(x) x 2 y ax b 2 1 2 2 2 2 3 3 f'(x) 0 x 2 x 4 x 2 x 2 Toppen : ( 2, 4 ) en (2, ) 2 2 1 3 3 3 1 3 1 3 2 1 3 3 4 5 a 1 2 2 4 y 1 x b 4 1 2 b b 2 1 3 y 1 x 2 13. a/b/c. f'(x) 3x 2c
f'(x) 0 heeft geen oplossingen als c een positief getal is. F heeft dan geen uiterste waarden. F heeft precies één uiterste waarde als c 0 en twee uiterste waarden als c 0 .
14. a. x3 8 0 3 x 8 x 2
b. Voer in: y0 nDeriv(y , x, x)1 : de hellingfunctie van y1. nDeriv: math math optie 8.
In x 0 is f'(x) 0 . c. Nee.
15.
a. De functie f heeft één uiterste waarde. b. f'(x) 2x 36x2 2 f'(x) 0 2x (x 3) 0 x 0 x 3
c. In een plot van f’ zie je dat f’ zelfs twee uiterste waarden heeft. Om deze te vinden moet je de afgeleide functie nog een keer differentiëren en gelijk aan 0 stellen.
2 f'' 6x 12x f'' 0 6x(x 2) 0 x 0 x 2 f'(0) 0 en f'(2) 8
De uiterste waarden van f’ zijn 0 (maximum) en –8 (minimum). d. De helling van de grafiek heeft een uiterste waarde (buigpunten). 16. a. f'(x) 1 4 1 2 2 x x f'(x) 0 2 1 x x 2 x 4 f(4) 4
De uiterste waarde is –4 en is een minimum.
b. 12 f'(x) 1 2x 1 112 2 1 f''(x) 2 x 0 als x 0
x x . Dat betekent dat de grafiek van f’ altijd positief is en dus dat de helling altijd toeneemt. En als de helling altijd toeneemt stijgt de grafiek van f steeds sneller. x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -1 -2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 -12 f f’ x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5
17. a. f'(x) x 34x24x b. f''(x) 3x 28x 4 2 2 1 3 f'(x) 0 x(x 4x 4) x(x 2) 0 x 0 x 2 Horizontale raaklijn in (0, 0) en (2, 1 ) 2 3 44 2 1 3 81 3 ABC formule f''(x) 0 x x 2 Buigpunten : ( , ) en (2, 1 ) 18. a. f'(x) 4x 44x38x2 b. f'(x) 0 2 2 2 4x (x x 2) 4x (x 2)(x 1) 0 x 0 x 2 x 1
c. f heeft een maximum van 13
15 voor x 1 en een minimum van 111511 voor x 2 .
d. 13 15 f(1) 2 en f'(1) 8 e. f''(x) 16x 312x216x 13 15 y 8x b 2 8 b 2 4x(4x 3x 4) 0 x 0 x 0,69 x 1,44 2 15
b 5 De helling is minimaal als x 0,69
2 15
y 8x 5 en als x 1, 44 .
19.
a. f’ heeft een maximum, dus f heeft een buigpunt.
b. Als f extremen heeft, dan moet f’ 0 worden en van teken wisselen. Dat is alleen in het eerste geval. c. 20. 1 2 2 10 5 f(x) 10x 5x x x 2 3 2 3 3 2 2 10 10 f'(x) 10x 10x x x f'(x) 0 x x x (x 1) 0 x 0 x 1 Top : (1, 5) 3 4 3 4 4 3 3 1 2 4 1 2 9 20 30 f''(x) 20x 30x x x f''(x) 0 20x 30x 10x (2x 3) 0 x 0 x 1 Buigpunt : (1 , 4 ) x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 x y 1 2 3 4 5 6 -1 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 -14
21. a. L 6 : O 2 6 2 72 dm2. 3 3 V 0,1 6 21,6 dm G 1,06 21,6 22,9 kg b G 80 0,1 L 3 75,5 O 2 9,1 2 166 dm2 1,06V 80 V 75,5 13 3 L 754,7 L 754,7 9,1 22. 23. a. f(x) 3x 2 en g(x) 2sin x b. f(x) x 1 en g(x) x 3 c. f(x) 2x 2 en g(x) 2log x d. f(x) x 1 , g(x) x en k(x) 1 x 24. 25. a. 1 x f(x) sin( ) a. k(x) 2 3 x 1 b. f(x) cos(2x) b. y 3u 2 3 (2x 1) 2 26. a. y 21u 3 12(3x 1) 3 1 x 321 21
b. Door de richtingsgetallen van u en y met elkaar te vermenigvuldigen. 27.
a. h(x) 2 (3x 2) 1 6x 5 b. k(x) 3 ( 2x 1) 2 6x 1
c. f(g(x)) a (mx p) b am x ap b en g(f(x)) m (ax b) p am x bm p De bewering geldt ook voor a 0 .
28. a. f'(x) 2x 2 b. g'(x) 1 2 x f'(1) 4 g'(4) 41 c. h(1) g(f(1)) g(4) 2 d. h(x) x2 2x 1
e. De helling van de grafiek van h in het punt (1, 2) is 4 41 1
f. f'(2) 6 , g'(9) 61 en h'(2) 1
x 0 1 2
2x+1 1 3 5
29. a. f'(x) 2x 1 f'(1) 3 b. g'(u) 1 g'(4) 41 2 u c. h'(x) h(1,001) h(1) 0,75 0,001
d. De helling van n is het product van de hellingen van l en m. e. -f. f( 2) 4 1 3 4 4 h'( 2) f'( 2) g'(4) 3 30. a. h(x) (2x 1) 3 (2x 1)(2x 1) 2 (2x 1)(4x 24x 1) 8x 312x2 6x 1 2 h'(x) 24x 24x 6 b. f'(x) 2 g'(x) 3x 2 c. g'(f(x)) 3(f(x)) 2 3(2x 1) 2 d. g'(f(x)) f'(x) 3(2x 1) 2 6(4x 2 24x 1) 24x 224x 6 h'(x) Hé, ze zijn gelijk! 31. a. u(x) 2x 4 en f(u) u 5 f'(x) 2 5u 4 10(2x 4) 4 b. u(x) 3x 2x en f(u) u 3 f'(x) (6x 1) 3u 2 3(6x 1)(3x 2x)2 c. 2 3 3 2 3 2 12 u(x) 3x 2 en f(u) 2u f'(x) 3 4u 12(3x 2) u (3x 2) d. 2 2 2 1 2x 1 2x 1
u(x) x x en h(u) u h'(x) (2x 1) y'(x) 3
2 u 2 x x 2 x x e. 2 1 2 2 2 1 4x u(x) 2x 2 en h(u) u h'(x) 4x u u (2x 2) 2 2 2 2 2 1 x 4x x
u(x) x 1 en k(u) u k'(x) 2x y'(x)
(2x 2) 2 u x 1 x 1 32. a. 1 2 2 1 2 2 2 u(x) x 2x en f(u) u f'(x) (x 2) 2u 2(x 2)( x 2x) b. f'(x) 0 2 1 2 2 1 2 1 2 2(x 2)( x 2x) 0 x 2 0 x 2x 0 x 2 x(x 4) 0 x 2 x 0 x 4
33.
a. Alle grafieken gaan door (-1, 0) en (3, 0). b. u(x) x 22x 3 en y(u) 0,1u n
n 1
2 n 1
2
u'(x) 2x 2 en y'(u) 0,1nu f'(x) 0,1 n (2x 2)(x 2x 3) f'(x) 0 2x 2 0 x 2x 3 0 2x 2 (x 1)(x 3) 0 x 1 x 1 x 3
c. Als n een oneven getal is wisselt f'(x) niet van teken bij x 1 en is er dus geen uiterste waarde. 34. a. f(x) ( x 2) 3 3 2 2 2 2 u(x) x 2 en f(u) u u'(x) 1 en f'(u) 3u f'(x) 1 3u 3( x 2) f'(x) 0 3( x 2) 0 x 2 0 x 2
f'(2) 0 (de raaklijn loopt horizontaal) maar f heeft geen uiterste waarde voor x 2 (zie plot). De grafiek heeft een buigpunt met een horizontale raaklijn.
b. u(x) ax 2 en f(u) u 3
2 2 2
u'(x) a en f'(u) 3u f'(x) a 3u 3a(ax 2)
f is altijd stijgend als f'(x) 0 . Een kwadraat is altijd positief, dus als a 0 is f'(x) 0 . c. f is dalend als f'(x) 0 . Dus voor a 0 .
35. a. 1 3 2 I 2 1 4 4m 4000dm3. b. ABC ~ AFE 2 h 1 b c. 1 2 2 V h 2h 40 40h d. V 20t e. 40h2 20t f. u(t) 0,5t en h(u) u 2 h 0,5t h 0,5t 1 1 1 1 u'(t) 0,5 en h'(u) h'(t) 0,5 0,5 2 u 2 u 2 0,5t 4 0,5t 1 h'(1) 0,35 dm/s 4 0,5
Als het reservoir bijna vol is geldt:
h 10 0,5t 10 0,5t 100 t 200s x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 -5 -10 n=2 n=3 n=4 BC=2 AM=1 EF=b AN=h
36. a./b. W(t) 400 20t c. W 40h 2 2 1 40 h W 0,025W 0,025(400 20t) 10 0,5t h 10 0,5t d. u(t) 10 0,5t en h(u) u 1 1 1 u'(t) 0,5 en h'(u) h'(t) 0,5 en h'(10) 0,065 2 u 2 u 4 10 0,5t liter/sec. e. 1 4 85 dh (150) 0,027 dt liter/sec. 37. a./c. b. H(t) 1500 6t d. p(H) 1013 0,095(H 1500) 1013 0,095H 142,5 1155,5 0,095H e. p(t) 1155,5 0,095(1500 6t) 1013 0,57t 38. a.
-b. Als je een grafiek spiegelt in de lijn y x krijg je de grafiek van de inverse functie. Als je functie en inverse functie na elkaar toepast, gebeurt er in feite niets.
c. 2 1 g'(x) en g'(1) 1 x d. f(g(x)) x f'(g(x)) g'(x) 1 f'(g(1)) g'(1) f'(2) g'(1) f'(2) 1 1 f'(2) 1
De helling van f in punt (2, 1) is –1.
e. De helling van p is f'(a), en de helling van q is g'(f(a)) g'(f(a)) f'(a) (g(f(a)))' x' 1
39.
a. Als d(P, AB) x dan is PT 100 x . Met pythagoras kan berekend worden dat
2 2 2 AP BP 10 x 100 x 2 2 2 20 l 100 x 2 100 x 100 x 4 100 x 100 x 400 4x t (in seconden) 0 1 2 3 H (in meters) 1500 1506 1512 1518 p (in millibar) 1013 1012,43 1011,86 1011,29 x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 y=x g(x) f(x)
b. l '20 1 8x2 0 2 4x 400 d. 2 2 2 2 1 a 4 l 100 x 2 a x 100 x a 4x 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 3 4x 1 4x 400 4x 4x 400 16x 4x 400 12x 400 x 33 x 33 x 33 a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 1 1 12 12 l ' 0 8x 1 0 2 a 4x 4x a 4x 16x a 4x 12x a x a x a x a c. 2 40 l 100 x 2 400 x minimum is 134,64 2 80 l 100 x 2 1600 x minimum is 169,28
e. Als a 100 12 dan is xopt 112100 12 100 , en dat kan niet.
f. 21 1 12 a 1 2 a tan APM 12 3 o o APM 60 APB 120
T_1. a. 3 2 23 2 13 3 3 2 f(x) x x f'(x) x 3 x b. 23 213 1 113 1 3 3 3 f(x) x x x f'(x) 2 x 2 x x c. 112 1 212 2 2 1 3 f(x) x 1 x x x 2x x d. 4 3 34 3 41 4 4 1 1 3 f(x) x x x x f'(x) x 2 x 2 x 4 x e. f(x) (2x x)2 4x24x x x f'(x) 8x 6 x 1 f. 2 2 2 2 2 4x 4 4 2 4 (x ) x x 4 x f'(x) 2x x x x x x x T_2. a. f'(x) 2 1 0 2 x b. f'(x) 1 c. y 1 x b 1 4 1 2 2 x x 1 2 1 1 2 x x 1 1 4 4 1 4 1 4 0 1 b b b y x 1 16 1 1 16 8 x ( , ) 1 4 1 4 x ( , 0) T_3. a. f(x) 0 4 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 x 2x x (x 4) 0 x 0 x 4 x 0 x 2 x 2 b. c. f'(x) 2x 34x 3 2 2x 4x 2x(x 2) 0 x 0 x 2 x 2
f heeft twee minima van -2 voor x 2 en x 2 en een maximum 0 voor x 0 .
T_4. a. v(t) s'(t) 0,00045t20,034t 0,116 v'(t) 0,0009t 0,034 0 0,0009t 0,034 t 37,8 (37.8, 20.56)
b. Na 37,8 minuten is de snelheid maximaal 0,758 km/min 45,5km/u.
x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 -1 -2 -3
T_5. a. k(x) 2 3x b. m(x) 2 3 x c. -T_6. a. u(x) 2x 24 en f(u) u 3 2 2 2 2 u'(x) 4x en f'(u) 3u f'(x) 4x 3u 12x(2x 4) b. f'(x) 0 2 2 2 12x(2x 4) 0 x 0 x 2 x 0 x 2 x 2 (0, 64) en ( 2, 0) en ( 2, 0) T_7. a. u(x) 2x 3 en f(u) u b. u'(x) 2 en f'(u) 2 u1 f'(x) 2 2 u1 2x 31 c. u(x) x 3x en h(u) u 2 2 2 3 1 1 3x 1 u'(x) 3x 1 en f'(u) f'(x) (3x 1) 2 u 2 u 2 x x T_8. a. 20.000 3q 500 20.000 q 500 6667 3 q 6167 b. K 0,75(50 6167) €4.662,75 en W 3 6167 4662,75 €13.838,25 c. p(q 500) 20.000 K 0,75(50 q) 0,75(50 20.000 500) 15.000 337,50 p p 20.000 q 500 p 20.000 q 500 p d. W p q K p ( 20.000p 500) ( 15.000p 337,50) 20.337,50 500p 15.000p De maximale winst is € 14860,- bij een prijs van ongeveer € 5,48
T_9. a. b. 9x x 2 0 x(9 x) 0 0 x 9 c. 1 2 (0, 0) en (9, 4 ) d. u(x) 9x x en h(u) 2 u 2 1 2 2 1 1 9 2x u'(x) 9 2x, h'(u) h'(x) (9 2x) 2 u 2 u 2 9x x 9 2x f'(x) 2 9x x e. f'(x) 0 f. 1 3 1 1 2 4 2 2 f(4 ) 6 en f'(4 ) 1 2 2 2 2 2 2 2 9 2x 2 9x x 2 9x x 2(9 2x) 9x x (9 2x) 81 36x 4x 5x 45x 81 0 1 2 3 1 1 1 4 2 2 4 1 2 1 1 2 2 y x b 6 4 b 2 b b 4 y x 4 9 9 1 1 2 10 2 10 ABC formule x 4 5 x 4 5 T_10. a. u 0,025t 21000 en H(u) u 2 1 1 0,025t u'(t) 0,05t en H'(u) H'(t) 0, 05t 2 u 2 u 0,025t 1000 H'(300) 0,13 cm/s en H'(600) 0,15 cm/s. b. H'(t) 0,1 Voer in: y1 0,025x2 0,025x 1000 en y2 0,1 intersect: x 163 Vanaf 163 seconden is de snelheid groter dan 0,1 cm/s.
T_11. a.
b. Het buigpunt is (0, 0). De raaklijn loopt daar verticaal. c. -x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 2 4 6 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0,5 1 1,5 2 -0,5 -1 -1,5