Hoofdstuk 6:
Formules met breuken en machten.
V_1.
a. 7,742 10 11 774200000000
b. 123,62510 7,319 10 17
c. 123000 : 89 9,16 10 4 0,000916
d. Het aantal watermoleculen in een druppel water is groot. Het antwoord zal wel 1022 zijn.
V_2. V_3. a. 0,0000000023 2,3 10 9 a. 3,012 0,0000000023 6,93 10 9 b. 1285000000 1,285 10 9 b. 350000 3,42 10 8 1,197 10 2 c. 0,0000000000000000025 2,5 10 18 c. 2,95 : (4,5 10 ) 6,56 10 13 12 d. 252800000000000000 2,528 10 17 d. (2,5 10 ) : (3,27 10 ) 7,65 10 12 18 5 V_4.
a. 0,03 1,4 10 18 4,2 10 m 16 3 4,2 10 liter 19 zoet water op aarde.
b. 0,643 4,2 10 16 2,7 10 m 16 3 water in de ijskappen van Antarctica en Groenland.
c. 2 2 8 2
3
Opp 4 6370 3, 40 10 km zee en oceaan.
d. 0,97 1,4 10 181,358 10 m 18 3 water in de zeeën en oceanen. Het zeeniveau is
18 8 6 1,358 10 3,4 10 1 10 3994 m.
Door het smelten van de ijskappen komt er 2,7 10 16 m3 water bij. Daardoor wordt het
zeeniveau: 8 186
1,385 10
3,4 10 1 10 4074
m. Een stijging van 80 meter.
V_5. a. De vergrotingsfactor is 9 0,04 80 10 500000. b. 80 102 1069 25 keer zo groot. c. 150 10 9900000 0,135 m 13,5 cm d. 9 0,001 4 10 250000transistoren op één chip.
1.
a. 200025 80 kalenders per lid.
b. Als het aantal leden toeneemt, dan krijgt ieder lid minder kalenders mee. c. K 2000
a
d. O 5 T
2.
a. Het verband tussen O en T is rechtevenredig; de grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. Het verband tussen K en a is omgekeerd evenredig.
b. x y 7 is omgekeerd evenredig. x 1 8 8 8y x dan y x is rechtevenredig. 1 2 1 1 0,5 y 2x x x is omgekeerd evenredig.
x y 5 dan y x 5 is een lineair verband. Wel een rechte lijn, maar gaat niet door de
oorsprong.
3.
a/b/c.
Als de x twee keer zo groot wordt, wordt y2 ook twee keer zo groot.
Als de x zes keer zo groot wordt, wordt y1 zes keer zo klein.
d. Een recht evenredige functie is een lineaire functie die ook nog door de oorsprong gaat. Voor een recht evenredige functie geldt dat als de x twee keer zo groot wordt, de y ook twee keer zo groot wordt. e. y1 200x 200x1 200 x 1 2 2 1 y ' 200 1x 200x Voor y2 en y3 geldt: y' 200
f. het hellingsgetal van beide formules is 200.
4.
a. bier: 250 5 1250 cola-tic: 160 8 1280 wijn: 100 12 1200 sherry: 50 18 900 jenever: 35 35 1225
b. De genuttigde pure alcohol is ongeveer gelijk. c. Een glas sherry wijkt het meest af.
d. 24 p 1200
p 50 Het alcoholpercentage van wodka zal ongeveer 50% zijn.
e. I p 1200 of I 1200p of p1200I 1 200 y x y2 200x y3 200x 50 x 10 20 2000 2050 x 20 10 4000 4050 x 60 1 3 3 12000 12050
5.
a. 70 slagen in 60 seconden betekent per slag 6070 0,86 seconden.
b. f60p c.
d. p mag niet 0 zijn (je mag niet delen door 0), dus p 0
is de verticale asymptoot. En als p heel erg groot wordt, wordt f vrijwel 0; horizontale asymptoot: f 0 . e. De hartslag is niet zo regelmatig.
6.
a. P 13 122 €19,/m2. TK 19 2000 €38000,
b. V=0,56 P 13 0,5612 €34, 43 TK €19280,
c.
d. Als V steeds groter wordt, wordt 12V steeds kleiner (vrijwel 0) en zal de grafiek van P steeds
dichter bij de lijn P 13 komen te liggen. (horizontale asymptoot).
e. Als V vlakbij 0 is, wordt 12V heel groot, en dus P ook. V 0 is de verticale asymptoot.
7.
a. De verticale asymptoot is voor beide functies x 0
(je mag niet delen door 0)
Voor de horizontale asymptoot moet je grote waarden voor x invullen: y : y 8 en y : y 01 2
b.
c. Als je de grafiek van y2 8 naar boven verschuift
krijg je de grafiek van y1.
8.
a. x 5 : y 1 2, y2 10, y3 6
b. x 10 : y 1 1, y2 9, y3 7
c. Deze regel geldt alleen voor de eerste functie. d. Ze zijn elkaars gespiegelde in de lijn y 8 .
p (seconden) f (slagen/minuut) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 -5 -10 klant vloeroppervlak
in m2 totale kostenin euro/jaar
ADS 560 19.280 Express 1200 27.600 Fashion 140 13.820 Supra 3500 57.500 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 y1 y2
9.
a. 10 tekensets: GK 5 400010 € 405,
100 tekensets: GK 5 4000100 € 45,
10000 tekensets: GK 5 100004000 € 5, 40
b. GK=5 Hoe meer tekensets er worden geproduceerd, hoe dichter de gemiddelde kosten bij de € 5,- per tekenset komen te liggen.
c. 5 4000 5,25 x
Voer in: y1 5 4000x en y2 5,25
intersect: x 16000 . Createc moet minstens 16000 tekensets produceren.
d. K T (5 4000) 5T 4000 T
e. De vaste kosten zijn €
4000,-10.
a. p 0,003 5000 16,25 1,25 en K 4500 0,25 1,15 5000
De winst per cd is 10 cent. En de totale winst €
500,-b. W p K 0,003 q 16,25 ( 4500q 0,25) 0,003 q 16,25 4500q 0,25 0,003 q 16 4500q
c. De maximale winst per cd is € 8,65 d.
e. De top van W is bij die waarde van q waarvoor de afstand tussen de grafieken van p en K het grootst is.
f. Voer in: y1 0, 003x2 16x 4500
maximum: x 2667
De totale winst is maximaal bij 2667 cd’s en de winst per cd is maximaal bij een productie van 1225 cd’s.
11.
a.
b. Voer in: y1 43 x3 en y2 4 x2
intersect: x 3 . De inhoud is kleiner voor 0 R 3
c. I 34 R3 4 13 R R2 13 4 R R2 31 O R
d. Op een gegeven moment wordt 31 R 1
e. x6 x x4 2 en op den duur geldt x2 1
T GK 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 20000 22000 -2000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -1 q 1000 2000 3000 4000 5000 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 p K W R 1 2 3 4 5 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 -20 O I
12.
a. n 0 : y c x 0 c 1 c
b. De grafiek is een horizontale lijn op hoogte c.
13.
a. Alle grafieken gaan door het punt (1, 1).
b. Voer in: y115x2 en y2 0,15x3 intersect: x 100
Voor x-waarden groter dan 100 ligt y2 boven y1.
c. Voor n 1 is de grafiek van y c x n toenemend stijgend. Voor 0 n 1 is de grafiek afnemend stijgend. Als n 0 is er sprake van een afnemende daling.
14.
a.
b. 2x 2x 1,5
Voer in: y12x en y2 2x1,5intersect: (1, 2)
c. Alle grafieken gaan door (1, 2).
d. 2x 3 2x1,5 3 2x0,5 3 1 2 x 1 x 0,76 x 2 41 1,5 2x 3 x 1,31 15. a. L 11,75 4000 0,2 62 jaar. b. zie grafiek.
c. Als G 70 kg, het gemiddelde gewicht van een mens, dan is L 27 jaar. En de levensverwachting ligt toch iets hoger.
16.
a. Holifant 241 4000 0,25 30 slagen/min.
b. Hmevrouw 241 50 0,2591 en Hmeneer 241 100 0,25 76 dat is niet de helft van 91.
c. 241 G 0,25 40
Voer in: y1241 x 0,25 en y2 40 intersect: bij een gewicht van ongeveer 1318 kg.
17. a. b. 600 25 200 n 200n 24 int ersect : n 0,60 n n 840 25 350 350 33,6 int er sect : n 0,60 n n 1040 25 500 500 41,6 int ersect : n 0,60 n n 1220 25 650 650 48,8 intersect : n 0,60 n n 1580 25 1000 1000 63,2 intersect : n 0,60 n is dus ongeveer 0,6: TK 25 Q 0,60 x y 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -1 -2 2x
2 x
2x1,5 2x-1,5 G in kg L in jaar 0 1000 2000 3000 4000 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 Q (in liters) TK (in euro's) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 160018.
a. De macht is groter dan 0, dus de grafiek is stijgend; hoe groter het lichaamsgewicht hoe groter de circulatietijd. Het verband is niet rechtevenredig. De macht zou dan 1 moeten zijn.
b. Teland17,3 300 0,25 72,0sec. Thond 17,3 30 0,25 40,5 sec.
0,25 konijn
T 17,3 3 22,8 sec. 0,25
muis
T 17,3 0, 03 7,2 sec.
c. De grafiek van T is een afnemend stijgende functie. Dus voor grote waarden van G zijn de verschillen in circulatietijd kleiner. Bij de rat en de geit is er een groter verschil.
d. Als het gewicht van de hond G is, dan is het gewicht van de eland ongeveer 10G
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 eland hond T 17,3 (10G) 17,3 10 G 10 17,3 G 1,778 T 19. a. 51 k 5 3 k 125 51 125 k 0, 408 b. k 397103 0,397 k 649123 0,376 k1358153 0,402 c. P 0, 4 v 3
d. v 5 : P 0, 4 5 3 50 (wijkt 1 af) v 10 : P 0, 4 10 3 400 (wijkt 3 af)
3
v 12 : P 0, 4 12 691,2 (wijkt 42,2 af) v 15 : P 0,4 15 3 1350 (wijkt 8 af)
20.
a. 29 52 12 46 29
1 17
140 46
4 23,5. De toenames worden steeds groter, dus n 1 .
b. Als x 1 is y 5 . Dit invullen in de formule: 5 c 1 n c 1 c
c. Als de punten verder uit elkaar liggen, is de benadering nauwkeuriger.
d. y 5 x n moet door het punt (8, 140) gaan.
n
140 5 8
Voer in: y1 5 8n en y2 140 intersect: x 1,6 1,6
y 5 x
21.
a. 22,9 12,1 10,8 33,2 22,9 10,3 43,3 33,2 10,1 53,2 43,3 9,9
De toenames worden steeds kleiner, dus 0 n 1 .
b. Als S 1 is M 12,1 : 12,1 p 1 q p 1 p q q M 12,1 S 53,2 12,1 5
Voer in: y112,1 5 x en y2 53,2 intersect: x 0,92 0,92
M 12,1 S
c. De macht wordt dan 0,921 1,09 1 (dit kan handig met PwrReg)
d. S c M 1,09 1,09 5 76,1 5 c 53,2 c 76,1 c 0,07
22.
a. ongeveer 60 eenheden per minuut. b. (0,1; 0,9) (1, 4) (10, 20)
c. Bij een gewicht van 1 kg is het verbruik ongeveer 4 eenheden.
n n n 4 c 1 c 1 c P 4 M 60 4 50
Voer in: y1 4 50x en y2 60 intersect: x 0,69 P 4 M 0,69
d. S 85 : M 12,1 85 0,92 721 P 4 721 0,69 375 eenheden per minuut en dat komt
overeen met 375350 1,07 liter zuurstof per minuut.
e. Z 4 M0,69 0,011 M0,69
350
23.
a. C 53 cl siroop per cl water.
b. C 205 41 cl siroop per cl water.
c. De concentratie is minimaal als er zoveel mogelijk water bij zit; 30 cl water erbij.
5 1
30 6
C cl siroop per cl water.
d. C 5
w
e. Tussen C en w bestaat een omgekeerd evenredig verband.
24.
a. De breedte is 5, de lengte 8 en de hoogte 16. De inhoud is 5 8 16 640 cm3.
b. I l b h l b 2l 2 b l 2 cm3 2 b l2 2 2 2
1000 1000 b l 0, 002 b l
dm3.
c. b 5 : I 0,01 l 2
Neem bijvoorbeeld l 4 : I 0,01 16 0,16 . Als de lengte twee keer zo groot wordt (l 8 ), wordt de inhoud I 0,01 64 0,64 , en dat is 0,640,16 keer zo groot.4
Tussen I en l is het verband kwadratisch en tussen I en l2 rechtevenredig.
25.
a. h d 5 : I 0,785 25 5 98,125 cm3.
b. Als h d dan is I 0,785 d d 0,785 d 2 3: een machtsfunctie met graad 3.
c. I 0,785 d h 475 2 2 475 0,785 2 d h 605 605 h d d. Bijvoorbeeld: d 5 : h 60525 24,2 en 605 100 d 10 : h 6,05
Als de diameter 2 keer zo groot wordt, wordt de hoogte 4 keer zo klein. e. Tussen I en d2 bestaat een omgekeerd evenredig verband.
f. I 0,785 d h 2375 2 2375 0,785 2 30252 h d d
26.
a. Een gebroken functie.
b. Als v toeneemt wordt 196,0v steeds kleiner. Dus e neemt af. c. 4,4 196,0 5 v 196,0 0,6 v v 327 km/u
Dat is wel erg hard voor een auto.
d. Ja, voor elke v is 196,0v positief. Dus er wordt altijd een positief getal opgeteld bij 4,4. Dus de emissie is minstens 4,4. 27. a. r 0 : C m 0,780 0 m 1 m b. r2 C 0,5 0,780 c. r 2 : C m 0,780 4 0,37 m 36 r 6 : C m 0,780 0, 00013 m
C is dan 0,000130,37 2846 keer zo klein geworden.
Geldt niet voor andere waarden.
28.
a. Moeilijk af te lezen: ongeveer 190oC
b. Neem bijvoorbeeld G 1 en T 280 C : t 50 o minuten. Bij een twee keer zo zwaar stuk vlees en dezelfde temperatuur is de duur om gaar te worden ongeveer 75 minuten. Dat is dus niet twee keer zo lang.
c. G 1 : t 8000 6000 14000 TEMP TEMP en voor G 2 : t 16000 6000 22000 TEMP TEMP
. Bij een vaste
temperatuur wordt de gaartijd niet twee keer zo groot.
d. Neem bijvoorbeeld TEMP 200 . Dan wordt de gaartijd 110 minuten in plaats van 70 minuten. Het wordt dus minder dan twee keer zo lang.
e. Dat is wel erg warm om vlees in te braden!
29.
a. Het te verwachten hersengewicht is VH 12,3 70 0,67 211,9 gram.
Dat wijkt 1260 211,9211,9 100% 495%
af van 1260 gram.
b. 12,3 L 0,67 1260
Voer in: y112,3 x 0,67 en y2 1260 intersect: x 1001,6
r r2 C 0 0 0,5 1 1 0,39000 2 1, 41 2 0,30420 2 4 0,18508 3 9 0,05343 4 16 0,00939 5 25 0,00100 6 36 0,00007
30.
a. a v t mits de auto gedurende de reactietijd dezelfde snelheid houdt. De reactietijd is een
constante, dus de afstand a en de snelheid v zijn rechtevenredig.
b. 60 km/u komt overeen met 3,660 16,7 m/s. In een halve seconde heeft hij dus 8,3 m afgelegd.
c. v km/u komt overeen met 3,6v m/s. a3,6v treactie 3,61 v treactie
d. b 254 c1 802 25,2c . Hoe groter c, hoe kleiner b wordt. C is maximaal 1, en dan is b 25,2
e. 30 km/u: b 254 0,41 302 8,86 b254 0,61 302 5,91 b 254 0,81 302 4, 43
120 km/u: b 254 0,41 1202 141,7 b254 0,61 1202 94,5 b 254 0,81 1202 70,9
Bij een lage snelheid verschillen de waarde van b niet zo erg veel als bij grotere snelheden.
f. b 254 0,71 502 14,1. Hij moet dus nieuwe banden kopen.
g. c 0,6 : b 254 0,61 502 16, 4 en als c 0,8 : b 254 0,81 502 12,3
Het scheelt toch 2 meter. Niet mee eens. h. 65 3,61 0,5v254 0,51 v2 0,14v 0,0079v 2
T_1.
a. Als H in de buurt van de 0 komt wordt het percentage 100% of hoger! En dat kan niet.
b. W 90 28 62 cm. c. p 320 320 H 90 W d. 320 5 320 10 H H H 64 H 32
Op een hoogte van 32 tot 64 cm boven de grondwaterstand. De wortels kunnen maximaal
90 32 58 cm diep zitten.
e. Als W 90 , zitten de wortels in het grondwater; het vochtgehalte zal dan 100% zijn.
T_2.
a. De oppervlakte van het land is 150 m2, dus als de breedte 3 m is, is de lengte 50 m.
De totale kosten zijn: TK 12 (3 3 50 (50 3)) 12 106 €1272,
b. lengte breedte 150 c. TL 3 b l (l 3) 3b 150 (150 3) 3b 3 300 b b b d. TK 12 TL 12 (3b 3 300) 36b 36 3600 b b Voer in: y1 36x 36 3600 1272 x minimum: x 10
Bij een breedte van 10 m en een lengte van 15 m zijn de kosten minimaal €
684,-T_3.
a. I 30000 : M 0,07 30000 1,2630639 km/jaar.
b. I 60000 : M 0,07 60000 1,2673378 Een stijging van 73378 30639
30639 100% 139%
c. 0,07 I 1,26 61278
Voer in: y10,07 x 1,26 en y2 61278 intersect: x 52000
Het jaarinkomen moet dan met ruim 52000 3000030000 100% 73% stijgen.
T_4.
a. 40 k 1 n k 1 k
b. 52 40 5 n
Voer in: y1 40 5 x en y2 52 intersect: x 0,16 0,16
S 40 A
c. S 75
Voer in: y1 40 x 0,16 en y2 75 intersect: x 50,8 vierkante mijl.
d. Neem bijvoorbeeld A 2 : S 40 2 0,1645 soorten en als A 20 : S 40 20 0,16 65
In het Yellowstone Park zijn dan ongeveer 65 1,4 keer zoveel vogelsoorten.
H (in cm) p (in %) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -10
e.
f. Voor kleine waarden van A stijgt de grafiek veel sneller dan voor grote waarden. Als er bij een klein gebied wat bij komt, neemt het aantal
vogelsoorten meer toe dan een toename bij een groot gebied.
T_5.
a. Als t toeneemt, neemt de temperatuur T af. b.
c. Als t heel groot wordt, zal de temperatuur van de frisdrank steeds dichter in de buurt van de temperatuur van de koelkast komen. Dus T 6 is de horizontale asymptoot.
d. T a 6 t 5 en bijvoorbeeld (0, 18) invullen. a 18 6 5 a 12 5 a 60 T_6. a. O 0,1 360.000 0,67 528 m2. b. 0,1 G 0,67 350 Voer in: 0,67 1 y 0,1 x en y2 350 intersect: x 194.829
Een vliegtuig met een vleugeloppervlak heeft een draagvermogen van 194.824 kg. Het mag dus nog 44.829 kg vracht meenemen.
c. Neem O 700 . Dan is het draagvermogen ongeveer 548217 kg. Ruim 2,8 keer zo veel.
A S 2 4 6 8 10 12 10 20 30 40 50 60 70
