• No results found

Hoofdstuk 6: Differentiëren

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Hoofdstuk 6: Differentiëren"

Copied!
9
0
0

Bezig met laden.... (Bekijk nu de volledige tekst)

Hele tekst

(1)

Hoofdstuk 6:

Differentiëren.

1.

a. Om 07.00 uur en 19.00 uur stijgt de grafiek het sterkst; de grafiek loopt daar ‘t steilst. b. Nee, in het eerste deel daalde het water minder sterk dan in het tweede deel.

c. Om 10.00 uur, 16.00 uur en 22.00 uur steeg of daalde het water niet. d.

2.

a. De snelheid is positief, maar wordt wel steeds kleiner.

b. Langs de horizontale as staat de tijd in seconde en langs de verticale as de snelheid in m/s. c. De zojuist getekende grafiek snijdt dan de

horizontale as (de snelheid is 0). De gegeven grafiek loopt horizontaal.

3.

a. Voer in: y0 nDeriv(y , x, x)1 . Dit is de afgeleide van y1. De grafiek van de afgeleide van

 2

f(x) 3x is een rechte lijn.

b. De grafiek van f stijgt waar de grafiek van de afgeleide positief is (boven de horizontale as ligt).

4. De helling gaat over van negatief (grafiek is dalend) naar positief (grafiek is stijgend). Er is daar dus sprake van een minimum.

5. a.

b. De hellinggrafiek is dan 0 en wisselt van teken.

c. De functie stijgt voor x 0 en x 2 . De afgeleide is daar namelijk positief. 6.

a. De grafiek heeft daar een horizontale raaklijn. Omdat de hellinggrafiek daar door de x-as gaat, heeft de grafiek een maximum respectievelijk een minimum.

b. Voor x 0 is de helling gelijk aan -4. c./d. tijd in uren 6-8 8-10 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20 20-22 toename in m 2,4 1,3 -1,1 -2,4 -1,5 1,6 2,3 1,4 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) -54 -20 -4 0 -2 -4 0 f'(x) 45 24 9 0 -3 0 9 x y

(2)

7.

a. Na 30 km bereikt hij de top.

b. Deze grafiek kan niet getekend worden, want het niet bekend hoe lang hij over de verschillende trajecten doet.

c. zie b. 8.

9.

a. De hellingfunctie snijdt de x-as.

b.    

 

2 2

y 2,01 2 4,01

x 2,01 2 . De grafiek van de hellingfunctie gaat door (2, 4).

c.    

 

2 2

y 3,01 3 6,01

x 3,01 3 . Ja, de grafiek gaat ook door (3, 6). d. We hebben het nog niet voor alle waarden van x laten zien. 10.

a. 0,01 0,001 0,0001 en 0,00001

b. Hoe kleiner x, des te nauwkeuriger is de benadering.

c. De differentiequotiënten worden respectievelijk 4,01 4,001 4,0001 en 4,00001. 11.

b. y (2 x)2 22 4 4 x ( x)2 4 x(4 x) 4 x

x 2 x 2 x x

             

     

c. Als

x

naar 0 nadert, dan nadert het differentiequotiënt 4. d. f(3 x) (3  x)2 (3  x) (3 x) 9 6 x    x2.

e. y 9 6 x ( x)2 9 x(6 x) 6 x

x x x

          

   . Als x naar 0 nadert, dan nadert het differentiequotiënt 6. De helling van de grafiek van f in (3, 9) is 6.

12.                  

     

2 2 2 2 2

y (x x) x x 2x x ( x) x x(2x x) 2x x

x x x x x x . Als x naar 0 nadert, dan

nadert het differentiequotiënt naar 2x. Met andere woorden: f'(x) 2x .

x y x y x y

(3)

13. a. b. g'(x) 5 . c.                       y 5(x x) 3 (5x 3) 5x 5 x 3 5x 3 5 x 5 x x x x x x

d. Als x naar 0 nadert, dan is het differentiequotiënt altijd 5, voor elke waarde van x.

14. a. f(x x) (x  x)3 (x x) (x2  x) (x 22x x ( x) ) (x   2  x) x32x x x( x)2   2  x x 2x( x)2 2 x3 x33x x 3x( x)2  2 ( x)3 b. f(x  x) f(x) x 33x x 3x( x)2  2 ( x)3x3 3x x 3x( x)2  2 ( x)3 c. f 3x x 3x( x)2 2 ( x)3 3x x 3x( x)2 2 x3 3x2 3x x ( x)2 x x x x x              

d. Als x naar 0 nadert, dan nadert het differentiequotiënt naar 3x2. Met andere woorden:

 2

f'(x) 3x .

15.

a. Voer in: y1 x en y0 nDeriv(y , x, x)1 . Stel de tabel in met TblStart 0 en Tbl 0,1  

b. Met Tbl 0,01 is de helling bij 0,01 ongeveer 5, maar bij 0 nog steeds error. Bij een kleinere verfijning wordt de helling in de buurt van x 0 alleen maar groter. c.

16.

a. 0,01 0,001 0,0001 0,00001

b. Het differentiequotiënt is respectievelijk 10 31,6 100 en 316,2

c. Hoe kleiner de x, hoe beter/nauwkeuriger de benadering.

d. f x 0 x 1

x x x x x

 

     

e. Als x naar 0 nadert, wordt de noemer kleiner. Het differentiequotiënt wordt steeds groter. f. De helling in (0, 0) bestaat niet. De grafiek loopt in (0, 0) vertikaal.

17. g 3 2 4 x 4 (3 2 4 4) 3 2 x 3 2 x 2

x x x x x x

         

      

Als x steeds kleiner wordt, wordt het differentiequotiënt steeds groter. De helling in het randpunt bestaat niet.

x 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 -1 x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 yo ERR 1,581 1,118 0,913 0,791 0,707 0,646 0,598 0,559 0,527 0,500 x y 0,1 0,2 0,3 0,4 1 2 3 4 5 6 7 -1

(4)

18.

a. Horizontale asymptoot: y 0 en verticale asymptoot: x 0 b. De helling wordt in de buurt van x 0 steeds groter. 19.

a. De functie bestaat niet in x 0 . b. 0,1 0,01 0,001 0,0001

c. Het differentiequotiënt is respectievelijk -50 -5000 -500000 en -50000000 d. De helling wordt heel erg groot. De grafiek loopt dus heel erg steil.

20. a./b. 2 1 1 1 2 1 y 2 x x 2 x 2 x 2 x 1 1 1 x x x x 2 x x 2( x)            

c. De helling wordt weer heel erg groot.

21. Als de grafiek een horizontale asymptoot heeft gaat de grafiek steeds minder steil omhoog. De helling nadert dan naar 0.

22.

a. Als de hellingfunctie 0 is, loopt de grafiek van de functie horizontaal.

b.

c. De grafiek moet dalen (helling is negatief) voor x 2 en stijgen (helling is positief) voor x 2 .

B.v. y (x 2) 2c

voldoet voor iedere waarde van c. 23.

a. f heeft een top voor x 4 (maximum) en voor x 2 (minimum) g heeft drie toppen: x 5 en x 2 (maxima) en x 0 (minimum). b.

-c. Er zijn meerdere grafieken mogelijk die voldoen. Door een verticale verschuiving van de grafiek van f verandert de hellinggrafiek niet.

24.

a. Voor x 1 en voor x 1 is de helling negatief: de grafiek van f daalt daar.

b.

c. De hellinggrafiek blijft negatief bij x 0 ; de

grafiek loopt even horizontaal, maar blijft dan verder dalen. Bij x 5 gaat de helling van negatief over in positief. De grafiek gaat van dalend over in stijgend en heeft dus een minimum.

d.

e. zie ook opgave 23c.

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 -5 -10 -15 -20

(5)

25.

a. De grafiek van g is overal stijgend.

b. De grafiek van g heeft één of twee horizontale asymptoten. c. 26. a. y' 2 b. c. y 2x d. y 2x c  , waarbij c een willekeurig getal is.

27. a.

b. De grafiek van g’(x) snijdt bij x 1 de x-as. c.

d. s(x) x 2

e. De top van de grafiek van g is bijvoorbeeld (1; -1,5).

2 g(x) (x 1)  1,5 28. a. f'(x) 2x 4  f(x) x 24x b. 1 3 3 g(x) x c. Elke functie 1 3 3

G(x) x c voldoet hieraan. Hierin is c een constante.

29. a. f'(x) x en g'(x) 3 b. 1 2 2 f(x) x c en g(x) 3x c 30. a. F(x) 2x 2 c. F(x) 2x 5 b. 1 4 2 F(x)  x d. F(x) 2x 31. a. Voer in: x 1 y 2 en y0 nDeriv(y , x, x)1 activeren. b.

c. De hellinggrafiek lijkt op een exponentiële functie met groeifactor 2. x 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 1 -1 -2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6

y

2x

y 2x 3

y 2x 2, 5

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 g(x)

g'(x)

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 -1

(6)

32.

a. y 23,01 23 5,564 x 3,01 3

  De echte helling is ongeveer 5,545 b. Voer in: y1 2xx 1

 

1

y (0,1) 0,7177 y (0,01) 0,69561  y (0,001) 0,69341  y (0,0001) 0,69321  De uitkomsten naderen een vaste waarde.

c. y 2x x 2x 2 2x x 2x 2 (2x x 1) 2x 2 x 1 x x x x x                d. f'(x) 0,6931 2 x

e. De groeifactor van f’ is weer 2 en de beginwaarde 0,6931.

33. y 3x x 3x 3 3x x 3x 3 (3x x 1) 3x 3x 1

x x x x x

   

   

    

Als x naar 0 gaat, wordt de laatste term ongeveer 1, 099

x

h'(x) 1,099 3  .

34. a.

b. De hellinggrafiek lijkt ook weer exponentieel. c. beginwaarde: -0,693 0,347 0,693 0,5    0,173 0,347 0,5    0,087 0,173 0,5    … groeifactor: 0,5 d. 1 x 2 g'(x) 0,6931 ( )

e. Op dezelfde manier als in opdracht 32. 35.

a. f'(x) 1,609 5 x en 1 x 5

g'(x) 1,609 ( )

b. f is een stijgende functie (groeifactor is groter dan 1), dus de afgeleide moet altijd positief zijn. En g is een dalende functie; afgeleide altijd negatief.

c. h'(x) 1,099 3 x en 1 x 3

k'(x) 1,099 ( )

d. De bijbehorende constanten zijn tegengesteld.

36.                 

    

x 0 x x x

y 3 5 3 5 3 5 3 3(5 1) 3 5 1

x x x x x

Als x heel klein wordt, gaat   y x naar 3 1,609 4,828  x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 g(x) 1 0,5 0,25 0,125 0,063 0,031 0,016 0,008 0,004 helling -0,693 -0,347 -0,173 -0,087 -0,043 -0,022 -0,011 -0,005 -0,003

(7)

37. a. f(x) 0          2 3 3 2 2 3x x x 9x x x 9x x (x 9) 0 x 0 x 9 b. f(x) 0 voor x 9 . c.             y 3 x x x 0 3 x x x

d. Als x naar 0 nadert, gaat het differentiequotiënt naar 3. e. y 3x

f.     

xf 9,9,01 1,5012  xf 9,9,001    1,5001  xf 9,9,0001    1,5000 g. De helling van de grafiek in (9, 0) is -1,5.

h. y 1,5x b            0 1,5 9 b 13,5 b b 13,5 y 1,5x 13,5 i. 38. a. b.  y s(t  t) s(t) 5t 26t 10t t 6 t 5( t)      2(6t 5t ) 10t t 6 t 5( t) 2      2 y 10t 6 5 t t       c. naar 10t 6

d. De snelheid van het voorwerp, t seconde nadat het is weggegooid kan berekend worden met

  v 10t 6 39.    2 x 3 f'(x) 0,405 ( ) en f'(0) 0,405 40. a. F'(x)21x 3 f(x) 

b. P(2, 2): OppDAKP   4 2 8 OppDPL    21 4 2 4 Totale oppervlakte is 12.

c. Als x 2 ligt K op A en is de oppervlakte 0. d. AK x    2 x 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 4 P(x, 2) en L(x, x 3) O(x) (x 2) 2 (x 2)( x 3 2) 2x 4 (x 2)( x 1) 2x 4 ( x 2x 2) x 3x 5                       t s(t) 1 11 2,3 40,25 t+1 6(t 1) 5(t 1)  2 6t 6 5(t  22t 1) 5t  216t 11 t t 6(t  t) 5(t t)2 6t 6 t 5(t   22t t ( t) ) 5t   2 26t 10t t 6 t 5( t)      2 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

(8)

e. O'(x) f(x) f. 2 1 2 4 G'(x) 3ax  b x 1 1 4 1 12 3 1 12 2 3 2 3 3a en b 1 a G'(x) x x c G( 2) 2 c 0 c 2              g. x 3 h. Opp G(3) 121 33 3 22371211 41.

a. De functie stijgt op interval  ,4 (de afgeleide is daar positief) en daalt vanaf x 4 . b. Bij x 4 gaat de helling van positief naar negatief. De

functie gaat van een stijging over in een daling, dus is er een top in de grafiek. Bij x 0 verandert de afgeleide niet van teken, dus blijft stijgen.

c.

d. Daar heeft de helling een uiterste waarde; de grafiek loopt daar het steilst.

T_1. a/b/e.

c. x 0 : helling is maximaal 0; de grafiek daalt en heeft daar een buigpunt met horizontale raaklijn. 

x 2 : de grafiek heeft daar een minimale waarde. d. De grafiek stijgt op 2,

f. De helling is minimaal: buigpunt in de grafiek.

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 1 2 3 4 5 6 -1 -2 x y 1 2 3 -1 -2 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4

(9)

T_2. a. (x x)4(x x) (x2  x)2(x22x x ( x) ) (x   2  22x x ( x) )   2                             4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 x 2x x x ( x) 2x x 4x ( x) 2x( x) x ( x) 2x( x) ( x) x 4x x 6x ( x) 4x( x) ( x) b.                     4 3 2 2 3 4 4 1 1 3 2 2 3 2 2 1 2 (x 4x x 6x ( x) 4x( x) ( x) ) x y 2x 3x x 2x( x) ( x) x x

c. Als x naar 0 nadert gaat y

x naar 2x3. T_3.

a. De grafiek is dalend, dus f’ is negatief. b.       y 0,01;0,4 44,5 x         y 0,01;0,09 169,2 x        xy 0,01;0,04 336,7 c./d. hele grote negatieve waarden.

T_4. a. F(x) 3x4 c. H(x) 2x b. G(x) 0,6931 2x d.  1 6 2 K(x) x T_5. a. b. a 0,693 b 1,099 c 1,386 c. x 0,592 T_6. a.

b. De hellingen veranderen daardoor niet.

c. De helling is maximaal (bij x 0 ); de grafiek loopt daar ’t steilst en de helling is minimaal (bij x 1,2 ). De grafiek heeft op die plaatsen een buigpunt.

d. De hellingfunctie heeft 3 snijpunten met de x-as. T_7.

a. 0, b.

c. De grafiek heeft een verticale asymptoot: x 0 en een horizontale asymptoot: y 0 .

d. Het domein van de hellingfunctie is gelijk aan die van de functie.

In de buurt van x 0 is de helling heel erg groot en wordt kleiner naarmate de x groter wordt. De helling daalt tot 0. Bereik: 0, x y 1 2 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 x y 1 2 3 -1 -2 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 2 4 6 8 10 12 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 -12 -13

Referenties

GERELATEERDE DOCUMENTEN

[r]

4p 4 Stel op algebraïsche wijze een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in P.. Geef je antwoord in twee decimalen

Onder de grafiek is een vierkant getekend met twee zijden evenwijdig aan de x -as en twee zijden.. evenwijdig aan de

[r]

3p 5 Bepaal op exacte wijze een vergelijking van

[r]

In figuur 2 is het gebied rechts van de y -as dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g en de y-as, grijsgemaakt.. 5p 10 Bereken exact de inhoud van

Dit is zo als in het snijpunt van de grafieken het product van de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen aan deze grafieken gelijk is aan –1. 8p 12 Bewijs dat ze elkaar