MULO-B Meetkunde 1924 Algemeen

1924

Som 1

Bissectrice BE verdeelt zijde AC in de verhouding 2 : 1, namelijk de verhouding van de omliggende zijden BC en AB.

Driehoek BEC is gelijkbenig (twee hoeken van 300_{), waaruit volgt dat het voetpunt F van hoogtelijn EF} het midden is van BC.

Uit het feit dat BD = ½ AB = BF volgt dat D het midden is van BF zodat CD = ¾ BC. Uit EF : AD = CF : CD = 2 : 3 volgt dat EF = 2/3 AD. Nu geldt:

1 1 3 2 1 1 1

. ( ) .

2 2 4 3 2 2 2

Opp CDE  CD EF   BC AD  BC AD  Opp ABC

F E D C A B Som 2

Wanneer we punt A als oorsprong van een assenstelsel kiezen (met de assen op de gebruikelijke manier gekozen), dan zijn de coördinaten van de punten C en D in de straal R uit te drukken.

We vinden C = ( , )R R en D = (1 ,1 3) 2R 2R

De coördinaten van C behoeven geen verdere toelichting en de coördinaten van D volgen direct uit het feit dat driehoek MAD gelijkzijdig is.

We vinden dan: 2 _{(1 1 ₃₎2 ₍₁ 1_{) }}2 2 _{(2 3)} 2

2 2

CD     R   R waaruit volgt CD 2 3R

Desgewenst is 2 3 nog te herleiden tot 1( 6 2)

2  . C M A _B D

Een alternatieve berekening zou kunnen zijn: gebruik de cosinusregel in driehoek BCD waarbij BDR 3 en BCR 2 en _CBD150_{. Daarbij is dan de volgende exacte waarde nodig: cos(15 )}0 1_{( 6 2)}

4

 

Som 3

Wanneer we de gegeven omtrek van de raaklijnenvierhoek met 4s aanduiden en gebruik maken van de eigenschap dat raaklijnstukken vanuit een punt buiten een cirkel aan die cirkel gelijk van lengte zijn, dan zien we in de figuur dat 4r + 2x + 2y = 4s en dus x + y = 2s – 2r.

Hiermee is de lengte van zijde BC bekend. De constructie zou dan als volgt kunnen verlopen:

1) Construeer twee evenwijdige raaklijnen aan de cirkel, die drager worden van AB resp. DC. 2) Teken straal MS evenwijdig aan die raaklijnen en construeer in S raaklijn AD.

3) Construeer een lijnstuk B’C’ met de lengte van BC waarbij B’ op lijn AB en C’ op lijn DC ligt. 4) Construeer vanuit M de loodlijn op dit lijnstuk.

5) Als Q het snijpunt is van de cirkel en de loodlijn, transleer dan B’C’ zó dat het beeld door Q gaat. 6) Noem het beeld BC, waarmee de vierhoek geconstrueerd is.

y y x x r r r r S B C A D P R M Q